三角形五心概念

三角形的五心

（1）重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；

（2）外心扫三顶点的距离相等；

（3）垂心与三顶点这四点中,任一点是其余三点构成的三角形的垂心；

（4）内心、旁心到三边距离相等；

（5）垂心是三垂足构成的三角形的内心,或者说,三角形的内心是它旁心三角形的垂心；

（6）外心是中点三角形的垂心；

（7）中心也是中点三角形的重心；

（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心.

三角形的五心

一 定理

重心定理：三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的

离是它到对边中点距离的2倍.该点叫做三角形的重心.

外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点.该点叫做三角形的外心.

垂心定理：三角形的三条高交于一点.该点叫做三角形的垂心.

内心定理：三角形的三内角平分线交于一点.该点叫做三角形的内心.

旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.该点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.

三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心.它们都是三角形的重要相关点.

三角形五心分别是什么（一）2024

三角形五心分别是什么（一）

引言概述:三角形是几何学中的基本形状之一，它由三条直线边和三个角组成。在三角形中，有五个特殊的点，它们分别被称为三角形的五心。这些五心在三角形的性质和形态研究中起着重要的作用。本文将介绍三角形的五心是什么，并对它们的定义、性质和作用进行详细的阐述。正文:一、外心（Circumcenter）

1. 外心是三角形的一个重要概念，它是三角形三个顶点的垂直平分线的交点。

2. 外心具有以下性质：外心到三个顶点的距离相等，外心到三条边的距离都相等。

3. 外心在三角形中起着重要的作用，特别是在构造等边三角形和外心三等分线时具有重要意义。二、内心（Incenter）

1. 内心是三角形的另一个关键概念，它是三角形三条内切圆的圆心。

2. 内心具有以下性质：内心到三条边的距离相等，内心到三个顶点的连线上的角平分线垂直于相应的边。

3. 内心在三角形中具有重要作用，如构造等边三角形和求解三角形的面积等，还可以用于判断三角形是否等腰、直角等特殊类型。三、重心（Centroid）三角形五心分别是什么（一）2024

1. 重心是三角形的一个特殊点，它是三角形三个顶点连线的中点的集合。

2. 重心具有以下性质：重心到三个顶点的距离成等比例，重心到三角形三条中线的距离成等比例。

3. 重心在三角形的计算、分割和构造等方面具有重要作用，它能帮助确定三角形的质心以及用于判断三角形是否平衡。四、垂心（Orthocenter）

1. 垂心是三角形的一个关键概念，它是三角形三条高线的交点。2. 垂心具有以下性质：垂心到三个顶点的连线上的角的和为180度，垂心到三角形三条边的距离具有一定的关系。3. 垂心在三角形的垂线构造、判断特殊类型和计算各种长度方面具有重要作用。五、内垂心（Incenter）

1. 内垂心是三角形中的另一个关键点，它是三角形三条内角平分线的交点。

2. 内垂心具有以下性质：内垂心到三个顶点连线上的角的和为180度，内垂心到三个顶点的距离的倒数之和等于测角的弦长之和。3. 内垂心在三角形的一致性判断、特殊类型证明和计算连线长度等方面具有重要作用。总结:三角形的五心，即外心、内心、重心、垂心和内垂心，在几何学中有着重要的地位。它们各自具有独特的性质和作用，在三角形的性质研究和计算中发挥着关键的作用。了解五心的定义、性质和作用，能够帮助我们深入理解三角形的形态特点，并应用于解决几三角形五心分别是什么（一）2024

第 1 页 共 3 页 三角形的五心定理

三角形五心定理

三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。

一、三角形重心定理

三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）

重心的性质：

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。

5. 以重心为起点，以三角形三定点为终点的三条向量之和等于零向量。

二、三角形外心定理

三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：

1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

5、外心到三顶点的距离相等

第 2 页 共 3 页 三、三角形垂心定理

第五讲 三角形的五心

三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.

一、外心.

三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.

例1．过等腰△ABC底边BC上一点P引PM∥CA交AB于M；引PN∥BA交AC于N.作点P关于MN的对称点P′.试证：P′点在△ABC外接圆上.

(杭州大学《中学数学竞赛习题》)

分析：由已知可得MP′=MP=MB，NP′=NP

=NC，故点M是△P′BP的外心，点

N是△P′PC的外心.有

∠BP′P=21∠BMP=21∠BAC，

∠PP′C=21∠PNC=21∠BAC.

∴∠BP′C=∠BP′P+∠P′PC=∠BAC.

从而，P′点与A，B，C共圆、即P′在△ABC外接圆上.

由于P′P平分∠BP′C，显然还有

P′B:P′C=BP:PC.

例2．在△ABC的边AB，BC，CA上分别取点P，Q，S.证明以△APS，△BQP，△CSQ的外心为顶点的三角形与△ABC相似.

(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)

分析：设O1，O2，O3是△APS，△BQP，

△CSQ的外心，作出六边形

O1PO2QO3S后再由外

心性质可知

∠PO1S=2∠A，

∠QO2P=2∠B，

∠SO3Q=2∠C.

∴∠PO1S+∠QO2P+∠SO3Q=360°.从而又知∠O1PO2+

∠O2QO3+∠O3SO1=360°

将△O2QO3绕着O3点旋转到△KSO3，易判断△KSO1≌△O2PO1，同时可得△O1O2O3≌△O1KO3.

∴∠O2O1O3=∠KO1O3=21∠O2O1K

=21(∠O2O1S+∠SO1K)

=21(∠O2O1S+∠PO1O2)