考研数三知识点总结

数学三考研知识点总结

一、数学分析

1. 集合与映射

集合的基本概念，包括子集、并集、交集、补集等；映射的定义和性质，包括单射、满射、双射等。

2. 数列与级数

数列的概念，包括常数数列、等差数列、等比数列等；级数的概念，包括收敛级数、发散级数等。

3. 函数与极限

函数的定义和性质，包括连续函数、可导函数等；极限的概念，包括极限存在的条件、极限运算法则等。

4. 一元函数微分学

导数的定义和性质，包括高阶导数、隐函数求导等；微分的概念和应用，包括微分中值定理、泰勒公式等。

5. 一元函数积分学

不定积分的计算方法，包括分部积分、换元积分等；定积分的计算方法，包括定积分的几何意义、定积分的性质等。

6. 定积分的应用

定积分在几何、物理等领域的应用，包括求曲线长度、曲线面积、体积等问题。

7. 多元函数微分学

偏导数的概念和性质，包括高阶偏导数、全微分等；多元函数的极值和条件极值的判定。

8. 重积分

重积分的定义和性质，包括累次积分、极坐标系下的重积分等；重积分的应用，包括质量、质心、转动惯量等问题。

9. 曲线积分与曲面积分

曲线积分的概念和计算方法，包括第一类曲线积分和第二类曲线积分；曲面积分的概念和计算方法，包括第一类曲面积分和第二类曲面积分。 10. 常微分方程

常微分方程的基本概念，包括初值问题、兼切性、自由度等；常微分方程的解法，包括特征方程法、常数变易法、常系数高阶线性齐次微分方程的特解法等。

11. 泛函分析

线性空间和内积空间的定义和性质，包括线性子空间、正交投影等；巴拿赫空间和希尔伯特空间的概念和性质。

12. 牛顿-莱布尼茨公式

牛顿-莱布尼茨公式的推导和应用，包括用它来求定积分、用它来求极限等。

二、代数与数论

1. 线性代数

线性代数的基本概念，包括向量空间、线性变换、矩阵等；线性方程组的解法，包括高斯消元法、矩阵的秩等。

精品

-可编辑- 高 等 数 学

考研指定教材：同济大学数学系主编《高等数学》（上下册）（第六版）

第一章 函数与极限 (7天)（考小题）

学习内容 复习知识点与对应习题 大纲要求

第一节：映射与函数

(一般章节) 函数的概念，常见的函数（有界函数、奇函数与偶函数、单调函数、周期函数）、复合函数、反函数、初等函数具体概念和形式.（集合、映射不用看；双曲正弦，双曲余弦，双曲正切不用看）

习题1－1：4，5，6，7，8，9，13，

15，16（重点） 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题中的函数关系.

2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．

3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．

4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念. 第二节：

数列的极限

(一般章节) 数列定义，数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性 )（本节用极限定义证明极限的题目考纲不作要求，可不看，如P26例1，例2，例3，定理1,2,3的证明都不作要求，但要理解；定理4不用看）

习题1－2：1

第三节：

函数的极限

(一般章节) 函数极限的基本性质（不等式性质、极限的保号性、极限的唯一性、函数极限的函数局部有界性,函数极限与数列极限的关系等） P33(例4,例5)（例7不用做，定理2,3的证明不用看，定理精品

-可编辑- 4不用看）

习题1－3：1，2，3，4 5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系．

6．掌握极限的性质及四则运算法则.

7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．

8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限． 第四节：

无穷大与无穷小（重要） 无穷小与无穷大的定义，它们之间的关系，以及与极限的关系（无穷小重要，无穷大了解）

考研数学三高等数学考察重点及题型总结

章节 知识点 题型 重要度等级

第一章 函数、极限、连续 等价无穷小代换、洛必达法则、泰勒展开式 求函数的极限 ★★★★★

函数连续的概念、函数间断点的类型 判断函数连续性与间断点的类型 ★★★

第二章 一元函数微分学 导数的定义、可导与连续之间的关系 按定义求一点处的导数，可导与连续的关系 ★★★★

函数的单调性、函数的极值 讨论函数的单调性、极值 ★★★★

闭区间上连续函数的性质、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理 微分中值定理及其应用 ★★★★★

第三章 一元函数积分学 积分上限的函数及其导数 变限积分求导问题 ★★★★★

定积分的应用 用定积分计算几何量 ★★★★

第四章 多元函数微积分学 隐函数、偏导数、全微分的存在性以及它们之间的因果关系 函数在一点处极限的存在性，连续性，偏导数的存在性，全微分存在性与偏导数的连续性的讨论与它们之间的因果关系 ★★★

二重积分的概念、性质及计算 二重积分的计算及应用 ★★★★★ 第五章 无穷级数 级数的基本性质及收敛的必要条件，正项级数的比较判别法、比值判别法和根式判别法，交错级数的莱布尼茨判别法 数项级数敛散性的判别 ★★★★★

第六章 常微分方程 一阶线性微分方程、齐次方程，微分方程的简单应用 用微分方程解决一些应用问题 ★★★★

数学三考研常见的知识点解析

数学三是考研数学的一部分，主要涵盖了高等数学和线性代数的内容。下面将对数学三考研常见的知识点进行解析。

一、高等数学

1.常见函数及其性质：

常见函数有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。在考研中，需要掌握这些函数的基本性质，如定义域、值域、奇偶性、单调性等。

2.极限与连续：

极限是高等数学的重要概念之一、需要掌握数列极限和函数极限的求解方法，如夹逼准则、洛必达法则等。此外，连续函数的判定与性质也是考试重点，例如连续函数与间断点、连续函数的运算性质等。

3.导数与微分：

导数是函数的变化率，微分是导数的微小增量。需要熟练掌握导数的定义和求导法则，如基本初等函数的导数、链式法则、隐函数求导等。此外，还需要理解函数的凸凹性与极值点的求解方法。

4.定积分与不定积分：

定积分是求函数在一定区间上的面积，不定积分是求函数的原函数。需要熟练掌握定积分与不定积分的定义和性质，如牛顿-莱布尼茨公式、变量替换法、分部积分法等。

5.级数与幂级数： 级数是无穷项数列的和，幂级数是形如∑(a_n*x^n)的级数。需要掌握级数和幂级数的收敛性判定方法，如比较判别法、根值判别法、幂函数展开等。

二、线性代数

1.矩阵与行列式：

矩阵是二维数组，行列式是一个数。需要了解矩阵的基本运算，如加法、乘法、转置运算等。行列式的运算包括展开法、伴随矩阵法、逆矩阵法等。

2.向量与线性方程组：

向量是有方向和大小的量，线性方程组是一组线性方程的集合。需要掌握向量的基本运算，如加法、数量积、向量积等。对于线性方程组，需要掌握高斯消元法、矩阵法、矩阵的秩等解法。

3.特征值与特征向量：

特征值是矩阵对应的线性变换中的固有值，特征向量是与特征值对应的非零向量。需要了解特征值与特征向量的求解方法，如特征方程的根、特征向量的求解等。

4.正交与正交对角化：

正交是指向量间的垂直关系，正交矩阵满足乘积为单位阵。正交对角化是将一个矩阵通过正交变换转化为对角矩阵。需要掌握正交与正交对角化的概念及其性质。