平面向量的概念及其线性运算
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a a
a b b b
b b
C D
b 平面向量概念及其线性运算（1）
【知识点】：
一、向量概念：
1、 向量：既有方向，又有大小的量叫做向量；注意向量与数量的区别。
2、 零向量：长度为零的向量叫零向量；记作0；注意零向量的方向是任意的。
3、 单位向量：长度等于1的向量叫单位向量。，j为两个互相垂直的单位向量。
4、 相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫做相等向量，若向量a，b相等，记作ba。
共线向量（也称平行向量），应注意两个向量共线但不一定相等，而两个向量相等则一定共线。
5、 向量的两种表示：
若jyixa＝（基底表示），那么y,xa（坐标表示）
注：，j为两个互相垂直的单位向量。
二、向量的加减法：
1、 向量的加法：若aAB，bBC，则baAC；其几何意义如下表示：
注意：1、)yy,xx(ba),y,x(b),y,x(a21212211＝则＝若;
2、BCABAC;
2、 向量的减法：若aOA，bOB，则baBA；其几何意义如下表示：
注意：1、)yy,xx(ba),y,x(b),y,x(a21212211＝则＝若；
a
2、aa,AOOA； 3、OAOBAB;
3、 向量加减法的运算律：
1、交换率：abba ； 2、结合律：)cb(ac)ba(cba
)cb(ac)ba(cba
4、 向量加减法的平行四边形法则：若aAB，bAD，则baAC，baDB,；
其几何意义如下表示： a，b不共线时 a，b同向时 a，b反向时
a，b同向时 a，b反向时 a，b不共线时 2
三、实数与向量的积：
实数与向量a的积是一个向量，记做a；它的长度和方向规定如下：
1、长度（模）：aa；
2、当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0
时，0a。
实数与向量积的运算律：
1、结合律：aa；
2、分配律：aaa；baba；（以上R,）；
向量共线定理：
定理：0bba且 a∥b；
推广：a∥b存在实数21,，使ba21；
四、平面向量的基本定理：
定理：如果21e,e是同一个平面内的两个不共线的向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,，使得2211eea成立；这时我们称不共线向量21e,e为这一平面内所有向量的一组基底。
注意：在一个平面内基底不唯一，但当基底确定后每一向量都被这个基底唯一表示；
五、向量的坐标运算：
1、)yy,xx(ba),y,x(b),y,x(a21212211＝则＝若;
2、)yy,xx(ba),y,x(b),y,x(a21212211＝则＝若；
3、Ry,xa,y,xa，＝则若；
4、)yy,xx(AB),y,x(B),y,x(A12122211＝则若;
5、平行向量的坐标表示：a∥b且0b0yxyx1221
利用这些知识可以解决
点共线或者线共点的问题 3 B A
C D
E
F
A B D C
A B
C D
b
c a
E 【相关例题】：
1、 下列各量中哪些是向量？哪些不是向量？说明理由
（1）、密度 （2）、湿度 （3）、浮力 （4）、价格
2、下列命题中不正确的是（ ）
A、0没有方向 B、0只与0相等 C、0的模为0 D、0与任何向量共线
3、下列命题：（1）、向量就是有向线段；（2）、单位向量都相等；（3）四边形ABCD中，ADBC是ABCD为平行四边形的充要条件；（4）、若ba，bc，则ca；
其中正确的命题序号是
4、如图：D、E、F分别是正ABC的边AB、BC、CA的中点，则
1）、与DE相等的向量有
2）、与DE共线的向量有
3）、与FC模相等但不平行的向量有
5、 化简下列各式：
1、DACDBCAB 2、)()(CDBCDBAB
3、ABADBC 4、)()(QPNPMQMN
5、ADODOA 6、MPMNQPNQ
6、 如图，一艘船从A点出发以hkm/32的速度向垂直于对岸
的方向行驶，同时河水的流速为hkm/2，求船实际航行的速度和方向；
7、 如图，点B是平行四边形ACDE外一点，且aAB＝，bAC＝，
cAE＝，用cba,,，表示向量CDBCBD,,和CE。
4 D A B C F
H M
8、已知a，b，是非零向量，那么ba与ba一定相等吗？为什么？
10、化简下列各式：
1)、)26(32)32(31abba 2)、)(41)23(31)2(21bababa
11、设两个非零向量1e和2e不共线
1)、如果21eeAB，2123eeBC，2128eeCD，求证：A、C、D三点共线；
2)、如果21eeAB，2132eeBC，212ekeCD，且A、C、D三点共线，求k值；
13、如图，平行四边形ABCD中，aAB＝，bAD＝,
H、M是AD，CD的中点，F为BC上一点，且BCBF31，
用a、b表示AM，HF，（N为AM与HF交点)；
14、已知212eea，2123eeb，求ba，ba和ba23；
5 A
B
C M N
B B C A
D E N
M
A
C D F M N
15、如图，AB31AM，ACAN31
求证：BC31MN
16、ABC中，ABAD41，BCDE,且与边AC相交于点E，ABC的中线AM与DE相交于点N，设aAB，bAC，用向量a，b分别表示向量AE,BC,DE,DB,EC,DN,AN.
17、已知)1,2(),2,1(ba，求：（1）、ba32，（2）、ba3，（3）、ba3121；
18、（1）、已知)1,1(M，)3,2(N，求MN；
（2）、已知)3,5(MN，)2,2(M，求N点坐标；
（3）、已知)3,5(MN，)1,1(N，求M点坐标；
19、如图，已知ABC， )8,7(A，)5,3(B，)3,4(C，
M、N分别是AB、AC的中点，D是BC的中点，MN与
AD交于F，求DF；
20、（1）、已知)1,1(a，)1,(xb，bau2，bav2，且u∥v，求x的值；
（2）、向量)1,3(b，)1,2(c，若向量a与c共线，求ba的最小值；
6
（3）、已知b的方向与)4,3(a的方向相同，且b＝15，求b；
21、已知平行四边形ABCD的顶点)2,1(A，)1,3(A，)6,5(A求顶点D的坐标。
22、已知点)1,1(O,)2,1(A,)5,4(B及ABtOAOP，求当1t，21，-2，2时，其对应点P的坐标，并在坐标平面内画出这些点。
23、证明下列各组点共线
（1）、)2,1(A,)4,3(B,)5.3,2(C,
（2）、)2,1(P,)0,5.0(Q,)6,5(R
24、已知)3,2(A,)1,2(B,)4,1(C,)4,7(D，AB与CD是否共线？
