平面向量的概念及线性运算

平面向量的概念及线性运算

知识点一：向量的概念

1．向量:既有大小又有方向的量叫做向量.

2．向量的表示方法:

(1)字母表示法:如等.

(2)几何表示法:用一条有向线段表示向量.如等.

(3)向量的有关概念

向量的模:向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).

零向量:长度为零的向量叫零向量.

单位向量:长度等于1个单位的向量.

相等向量:长度相等且方向相同的向量.

相反向量: 长度相等且方向相反的向量.

共线向量:方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).

规定:与任一向量共线.

要点诠释：

1．数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；

向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.

2．零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别.

3．平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在

同一直线上的线段的位置关系.

知识点二：向量的加(减)法运算

1．运算法则：三角形法则、平行四边形法则

2．运算律：①交换律：；②结合律：

要点诠释：

1．两个向量的和与差仍是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与

终点.

2．.探讨该式中等号成立的条件，可以解决许多相关的问题.

知识点三：数乘向量

1．实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：

(1)；

(2)①当时，的方向与的方向相同；

②当时.的方向与的方向相反； ③当时，.

2．运算律

设为实数

结合律：；

分配律：，

3．共线向量基本定理

非零向量与向量共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数，使.

要点诠释：

是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一.

类型一：向量的基本概念

1．判断下列各命题是否正确：

(1)若，则；

(2)若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；

(3)若，则

(4)两向量相等的充要条件是且.

思路点拨：相等向量即为长度相等且方向相同的向量.

解析：

(1)不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同，因此由推不出.

(2)正确，且.又A、B、C、D是不共线的四点，四边形是

平行四边形，则且与方向相同.因此.

(3)正确，的长度相等且方向相同；又的长度相等且方向相同，的

长度相等且方向相同.故.

(4)不正确，当但方向相反时，即使，也不能得到，故不是 的充要

条件.

总结升华：我们应该清醒的认识到，两个非零向量相等的充要条件应是长度相等且方向相同，向量相等是可传递的.复习向量时，要注意将向量与实数、向量与线段、向量运算与实数运算区别开来.

举一反三：

【变式1】下列说法正确的个数是( )

①向量，则直线直线

②两个向量当且仅当它们的起点相同，终点也相同时才相等；

③向量既是有向线段；

④在平行四边形中，一定有.

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

【答案】C

类型二：向量的线性运算

2．如图所示，的两条对角线相交于点，且用表示

思路点拨：利用三角形法则和数乘运算，用向量法讨论几何问题，关键是选取适当的基向量表示其他向量，本题的基底就是，由它可以“生”成.

解析：在中

总结升华：用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量加、减法、数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解，既充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用加法三角形、平行四边形法则，运用减法三角形法则，充分利用三角形的中位线，相似三角形对应边成比例的平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.

举一反三：

【变式1】如图，△中，点是的中点，点在边上，且，与相交于点，求的值.

【答案】解：(如图)设

则

和分别共线，

∴存在

使

故 ，而

∴由基本定理得

即

类型三：共线向量与三点共线问题

3．设两非零向量和不共线，

(1)如果求证三点共线. (2)试确定实数，使和共线.

思路点拨：要证明三点共线，须证存在使即可.而若和共线，则一定存在，使.

解析：(1)证明

共线，又有公共点，

∴三点共线.

(2)解 ∵ 和 共线，

∴存在，使，

则由于 和不共线，

只能有 则.

总结升华：本题充分地运用了向量共线的充要条件，即共线存在使(正用与逆用)

举一反三：

【变式1】设和是两个不共线的非零向量，若向量，试证明：A、C、D三点共线.

证明：

∴又

∴

∴与共线，

∴A、C、D三点共线.

类型四：综合应用

4．在中，分别为三边上的动点，且在时，分别从A，B，C出发，各以一定的速度沿各边向B，C，A移动，当t=1时，分别到达B，C，A，求证：在的任何一时刻t，的重心为G.

解析：设的重心为G.

由已知点D，E，F在边AB，BC，CA上的速度分别是

在任意时刻时，有

又

为一确定向量. 的重心不变.

总结升华：熟练地进行向量的线性运算是解决本题的关键，另外中设重心为G，则应该熟练记忆并灵活运用.

举一反三：

【变式1】如图，已知点分别是三边的中点，

求证：.

【答案】

证明：连结.

因为分别是三边的中点，

所以四边形为平行四边形.

由向量加法的平行四边形法则，得(1)，

同理在平行四边形中，(2)，

在平行四边形在中，(3) 将(1)(2)(3)相加，得

.

平面向量的概念及线性运算

基础达标：

1.下面的几个命题：

①若；

②长度不等且方向相反的两向量不一定是共线向量；

③若满足且与同向，则；

④由于方向不定，故不能与任何向量平行；

⑤对于任意向量必有.

其中正确命题的序号是：( )

A.①②③ B.⑤ C.③⑤ D.①⑤

2.在正六边形ABCDEF中，O为其中心，则

A. B. C. D.

3.如图所示，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则=( )

A. B. C. D.

4.若是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )

A. B.

C. D.

5.如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是DC、BC中点，已知，用表示

=___________，___________.

6.设是两个不共线向量，则向量与向量共线的充要

条件是_______________.

7.一条渔船距对岸4km，以2km/h速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8km，求

河水的流速.

8.已知，D、E是△ABC中AB、AC的中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知，试用

分别表示.

平面向量的概念及线性运算

基础达标答案与解析：

1.B 【思路分析】向量的概念.

2.B 【思路分析】，故选B.

3.D 【思路分析】∵，由三角形中位线定理，

故选D.

4.B 【思路分析】向量的加、减法法则.

5. 【思路分析】设，M、N为DC、BC中点，，，

在△ABN中△ADM中① ②

解①②：.

6.

【思路分析】由不共线，必有故

7.解：

【思路分析】如图，设表示船垂直于对岸的速度，表示水流的速度，

则由，

就是渔船实际航行的速度，

航行的时间为

在中，

，

8.【思路分析】向量的加、减法法则

解：由三角形中位线定理知：DE//BC且DE=BC

故

. 平面向量的基本定理及坐标表示

知识点一：平面向量基本定理

如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合.

①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底；

②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的.

这说明如果且，那么.

③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际

上是平面向量坐标表示的基础.

要点诠释：

平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量.

知识点二：向量坐标与点坐标的关系

当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则=(x，y).

要点诠释：

当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(x2-x1，y2-y1).

知识点三：平面向量的坐标运算

运 算 坐标语言

加法与减法 记=(x1，y1)，=(x2，y2)

=(x1+x2，y1+y2)，=(x2-x1，y2-y1)

实数与向量的乘积 记=(x，y)，则=(x，y)