直线与圆的位置关系知识集结知识元不含有参数的直线与圆位置关系
知识讲解
1．直线与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系
2．判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2
+（y﹣b）2
＝r2
（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
圆心到直线的距离d
＝
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相离：△＜0．例题精讲
不含有参数的直线与圆位置关系
例1.
已知点P在单位圆x2
+y2
=1上运动，P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d
1、
d
2，则d
1+d
2的最小值是．
例2.
点P是直线x+y﹣2=0上的动点，点Q是圆x2
+y2
=1上的动点，则线段PQ长的最小值为．
例3.
经过圆x2
+y2
﹣2x+2y=0的圆心且与直线2x﹣y=0平行的直线方程是（）
A．2x﹣y﹣3=0B．2x﹣y﹣1=0
C．2x﹣y+3=0D．x+2y+1=0
含有参数类型直线与圆的位置关系
知识讲解
1．直线与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系
2．判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2
+（y﹣b）2
＝r2
（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
圆心到直线的距离d
＝
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相离：△＜0．例题精讲
含有参数类型直线与圆的位置关系
例1.
已知△ABC的三边长为a，b，c，满足直线ax+by+2c=0与圆x2
+y2
=4相离，则△ABC是（）
A．直角三角形B．锐角三角形
C．钝角三角形D．以上情况都有可能
例2.
直线ax﹣y+a=0（a≥0）与圆x2
9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
一、填空题
1．已知集合 A＝ {( x，y)| x，y 为实数，且 x2＋ y2＝ 1} ，B＝{( x，y)| x ，y 为实数，
且 x＋y＝1} ，则 A∩B 的元素个数为 ________．
解析 集合 A 表示圆，集合 B 表示一条直线，又圆心 (0,0) 到直线 x＋y＝1 的距
离 d＝ 1 2 A∩B 的元素个数有 2 个． ＝ ＜1＝r ，所以直线与圆相交，故
2 2
答案 2
．圆 C1 ：x2＋y2＋ x ＝ ，圆 C2：x2＋y2＋ y＝ ，则两圆的位置关系是
________． 2 2 0 4 0
解析 圆 C1：
( x＋
1) 2＋ y2 ＝ ，圆 C2 ：x2＋
( y＋
2) 2＝ 2，
1 2
所以 C1C2＝ 5，且 2－1＜ 5＜2＋1，所以两圆相交．
答案 相交
3．若直线 x－ y＋ a＝
0 与圆
( x－
1) 2＋y2＝
1 有公共点，则实数 a 的取值范围是
2
________．
解析 若直线与圆有公共点，即直线与圆相交或相切，故有 | a＋2|
5 ≤1，
解得－ 2－ 5≤ a≤－ ＋
5.
2
答案 [ －2－ 5，－ 2＋ 5]
4．与圆 x2＋ y2＝
25 外切于点 P ，且半径为
第 1 页 共 2 页 高中数学知识点：直线与圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系：
(1)直线与圆相交，有两个公共点；
(2)直线与圆相切，只有一个公共点；
(3)直线与圆相离，没有公共点.
2.直线与圆的位置关系的判定：
(1)代数法：
判断直线l与圆C的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线l与圆C有公共点.
有两组实数解时，直线l与圆C相交；
有一组实数解时，直线l与圆C相切；
无实数解时，直线l与圆C相离.
(2)几何法：
由圆C的圆心到直线l的距离d与圆的半径r的关系判断：
当dr时，直线l与圆C相交；
当dr时，直线l与圆C相切；
当dr时，直线l与圆C相离.
要点诠释：
(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得. 第 2 页 共 2 页 (2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.
(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决.
4．2.1 直线与圆的位置关系
1．知道直线与圆的位置关系的分类．
2．能根据方程，判断直线和圆的位置关系．
3．能够解决有关直线和圆的位置关系的问题．
直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 ____个 ____个 ____个
判
定
方
法 几何法：设圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2 d____r
d____r d____r
代数法：由 Ax＋By＋C＝0x－a2＋y－b2＝r2
消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ____0 Δ____0 Δ____0
【做一做】 直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是( )
A．过圆心 B．相切 C．相离 D．相交
答案：两 一 零 ＜ ＝ ＞ ＞ ＝ ＜
【做一做】 D
代数法与几何法的比较
剖析：代数法的运算量较大，几何法的运算量较小，并且也简单、直观．受思维定式的影响，看到方程就想解方程组，自然就想到代数法．
【例】 若直线4x－3y＋a＝0与圆x2＋y2＝100：①相交；②相切；③相离，试分别求实数a的取值范围．
解法一：(代数法)
由方程组 4x－3y＋a＝0，x2＋y2＝100，消去y，
得25x2＋8ax＋a2－900＝0.
则Δ＝(8a)2－4×25(a2－900)＝－36a2＋90 000.
①当直线和圆相交时，Δ＞0，即－36a2＋90 000＞0，解得－50＜a＜50；
②当直线和圆相切时，Δ＝0，解得a＝50或a＝－50；
③当直线和圆相离时，Δ＜0，解得a＜－50或a＞50.
解法二：(几何法)
圆x2＋y2＝100的圆心为(0,0)，半径r＝10，
则圆心到直线4x－3y＋a＝0的距离d＝|a|32＋42＝|a|5. ①当直线和圆相交时，d
②当直线和圆相切时，d＝r，即|a|5＝10，所以a＝50或a＝－50；
