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一元二次方程根的判别式和根与系数的关系

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第 1 页 共 4 页 中考专题复习《一元二次方程根的判别式和根与系数的关系》

【课标要求】

1、根的判别式及应用(△=acb42)：(1)判定一元二次方程根的情况。(2)确定字母的值或取值范围。

2、根与系数的关系(韦达定理)的应用：韦达定理:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2，则x1+x2=—ba，x1·x2=ca。

(1)已知一根求另一根及未知系数； (2)求与方程的根有关的代数式的值；

(3)已知两根求作方程； (4)已知两数的和与积，求这两个数；

(5)确定根的符号:( 1x、2x是方程两根)。

3、应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时，一般把求作方程的二次项系数设为1，即以1x、2x为根的一元二次方程为0)(21212xxxxxx；求字母系数的值时，需使二次项系数a≠0，同时满足△≥0；求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和21xx，•两根之积21xx的代数式的形式，整体代入。

【知识要点】

1. 一元二次方程根的判别式：

关于x的一元二次方程002acbxax的根的判别式为 .

（1）acb42>0一元二次方程002acbxax有两个 实数根.

（2）acb42=0一元二次方程有 相等的实数根，即21xx .

（3）acb42<0一元二次方程002acbxax 实数根.

2． 一元二次方程根与系数的关系

若关于x的一元二次方程20(0)axbxca有两根分别为1x，2x，那么21xx ，

21xx . 变形：2221xx ，21xx 。2112xxxx＝ 。

3．易错知识辨析：

1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件.

2）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：① 根的判别式042acb；② 二次项系数0a，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.

一 、【典型示例】

【例1】当k为何值时，方程2610xxk，（1）两根相等；（2）有一根为0；（3）两根为倒数.

【例2】已知关于x的方程047)1(222aaxax，

（1）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；

（2）若方程的有两个实数根为1x、2x ，且322221xx，求a的值。

第 2 页 共 4 页 【例3】若1x=23是二次方程012axx的一个根,求a的值和该方程的另一个根.

二、【针对练习】

（一）填空题

1、设1x、2x是方程2330xx的两个实数根，则2112xxxx的值为 。

2、已知关于x的一元二次方程032xx的两个实数根分别为α、β，则(α+3)(β+3)= 。

3、若关于x的一元二次方程为052bxax（0a）的解是1x，则ba2017的值是 。

4、如果关于x的一元二次方程01122xkkx有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是

5、已知关于x的方程01)(2abxbax，1x、2x是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①21xx；②abxx21；③222221baxx．则正确结论的序号是

．

（二）解答题

1．设关于x的方程0)12(2kxkkx的两实数根为1x、2x，，若,4171221xxxx求k的值.

2、已知，关于x的方程xmmxx2222的两个实数根1x、2x满足12xx，求实数m的值.

3、已知：关于x的方程0)1(2)13(2kxkkx。（1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根；

（2）若此方程有两个实数根1x、2x,且221xx，求k的值.

第 3 页 共 4 页 【课后作业】

1．设1x、2x是方程03422xx的两个根，则)1)(1(21xx ，2221xx ，

1211xx＝ ，221)(xx .

2．当c__________时，关于x的方程2280xxc有实数根．（填一个符合要求的数即可）

3. 已知关于x的方程2(2)20xaxab的判别式等于0，且12x是方程的根，则ab= ．

4. 已知ab，是关于x的方程2(21)(1)0xkxkk的两个实数根，则22ab的最小值是 。

5．已知，是关于x的一元二次方程22(23)0xmxm的两个不相等的实数根，且满足111，则m的值是（ ）

Ａ．3或1 Ｂ．3 Ｃ．1 Ｄ．3或1

6．一元二次方程2310xx的两个根分别是12xx，，则221212xxxx的值是（ ）

Ａ．3 Ｂ．3 Ｃ．13 Ｄ．13

7．若关于x的一元二次方程02.2mxx没有实数根，则实数m的取值范围是（ ）

A．m－1 C．m>l D．m<－1

8．已知关于x的一元二次方程2120xmxm．

（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值；

（2）若方程的两实数根之积等于292mm，求6m的值．

9、已知、是方程0722xx的两个实数根。求4322的值。

第 4 页 共 4 页 10、关于x的方程0)3()12(2axax.

（1）求证：无论a为任何实数，该方程总有两个不相等的实数根。

（2）以该方程的两根为一直角三角形的两直角边长，已知该三角形斜边上的中线长为235，求实数a的值。

11、已知关于x的方程022)13(2mxmmx。（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根.

（2）若关于x的二次函数22)13(2mxmmxy的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式.

12、已在△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程023)32(22kkxkx的两个实数根，第三边BC的长为5。

（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形。

（2）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长。

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一元二次方程根与系数关系(附答案)

一元二次方程根与系数关系(附答案)

. . 一元二次方程根与系数的关系 （附答案）

评卷人 得 分

一．选择题（共6小题）

1．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（ ）

A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根

C．没有实数根 D．无法确定

2．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是（ ）

A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1 D．m＜﹣1

3．关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是（ ）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．没有实数根 D．不能确定

4．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（ ）

A．2 B．4 C．5 D．6

5．若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α+β的值为（ ）

A．﹣5 B．5 C．﹣2 D．

6．已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，则常数c的值为（ ）

A．﹣1 B．0 C．1 D．3

评卷人 得 分

二．填空题（共1小题）

7．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p，q，且p2﹣pq+q2=18，则的值为 ．

评卷人 得 分

. . 三．解答题（共8小题）

8．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0．

（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；

（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L的长．

9．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．

（1）若该方程的一个根为1，求a的值；

（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

10．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）=0（m为常数）．

（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；

（2）若该方程一个根为3，求m的值．

人教版同步教参数学九年级-一元二次方程：根的判别式和根与系数的关系

人教版同步教参数学九年级-一元二次方程：根的判别式和根与系数的关系

一元二次方程

第2节 根的判别式和根与系数的关系

【知识梳理】

1、一元二次方程根的判别式

关于x的一元二次方程)0(02acbxax，用配方法可得

222442aacbabx）（

acb42称为根的判别式

0＞，则方程有两个不相等的实数根

0＜，则方程没有实数根

0，则方程有两个相等的实数根

反过来也成立。

2、一元二次方程根与系数的关系

如果21,xx是方程)0(02acbxax的两个根，

则

acxxabxx2121

【诊断自测】

1．一元二次方程的两个根x1、x2和系数a、b、c的关系： 。

2．若方程3x2−4x−4=0的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2=（ ）

A．−4 B．3 C．−43 D．43

3．已知x1、x2是一元二次方程x2−4x+1=0的两个根，则x1•x2等于（ ）

A．−4 B．−1 C．1 D．4

4．已知x1、x2是一元二次方程3x2=6−2x的两根，则x1−x1x2+x2的值是（ ）

A．−43 B．83 C．−83 D．43

【考点突破】

类型一：根的判别式常见题型 1、已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．

（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；

（2）已知方程的一个根为x=0，求代数式（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5的值（要求先化简再求值）．

答案：见解析。

解析：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．

∴△=（2m+1）2﹣4m（m+1）=1＞0，

∴方程总有两个不相等的实数根；

（2）∵x=0是此方程的一个根，

∴把x=0代入方程中得到m（m+1）=0，

∴m=0或m=﹣1，

∵（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5=4m2﹣4m+1+9﹣m2+7m﹣5=3m2+3m+5，

把m=0代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=5；

一元二次方程根的判别及根与系数的关系易错点剖析

一元二次方程根的判别及根与系数的关系易错点剖析

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根与系数关系的应用错例示例

一元二次方程中根与系数的关系为：如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝－ba，x1 · x2＝ca．此结论成立的条件是“原方程存在两个根x1和x2”.

一、例1 判断正误：方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根之和为－ba．( )

错解：对．

正解：错误．因不知方程是否有根.

二、例2 若方程x2＋(m2 - l)x＋l＋m＝0的两根互为相反数，则m的值

为( )

(A)l 或一1； (B)l； (C)－l； (D)0.

错解：选A．

正解：选C．因当m＝l时，原方程无实根.

三、例3 下列方程中，两根之和为13的方程是( )

(A)3x2－x＋2＝0； (B)3x2＋x＋2＝0；

(C)x2－13 x＋3＝0； (D)6x2 -2x一1＝0．

错解：选A或C．

正解：选D．因方程A，C均无实根．

四、例4 已知关于x的方程x2－(2m＋1)x ＋ (m＋l)2＝0的两个实数根的平方和为7，求m的值．

错解：设方程两根为x1，x2，则x1＋x2＝2m＋l，x1·x2＝(m＋1)2．∵x12＋x22＝7，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝7，(2m＋l) 2 －2(m＋l)2＝7．即2m2＝8，m＝±2． 学习必备

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正解：设方程两根为x1，x2，则x1＋x2＝2m＋l，x1·x2＝(m＋1)2．∵x12＋x22＝7，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝7，(2m＋l)，2 －2(m＋l)2＝7．即2m2＝8，m＝±2．当m＝2时，原方程b2-4ac＜0，∴m＝－2．

五、例5 已知方程x2 ＋ 2(m -l)x＋3m2－11＝0，问m为何实数时，方程有两个根x1、x2，且x1x2＋x2x1＝－1．

错解：由根与系数的关系有xI ＋x2＝－2(m－1) ，x1·x2＝3m2－11，∵x1x2＋x2x1＝－1，∴x12＋x22x1x2＝－1，∴(x1＋x2)2－2x1x2x1x2＝－1，∴[－2(m－1)]2－2(3m2－11)3m2－11＝－1，即 m2－8m＋15＝0，∴m1＝3，m2＝5．

专题4.一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

专题4.一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

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第三章 方程（组）和不等式

﹡4．一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

【热身练练】

1．一元二次方程2210xx的根的情况为（ ）

Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根

Ｃ．只有一个实数根 Ｄ．没有实数根

2. 若方程kx2－6x＋1＝0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 .

3．设x1、x2是方程3x2＋4x－5＝0的两根,则2111xx ，.x12＋x22＝ .

4．关于x的方程2x2＋(m2－9)x＋m＋1＝0，当m＝ 时，两根互为倒数；

当m＝ 时，两根互为相反数.

5．若x1 =23是二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根,则a＝ ，该方程的另一个根x2

= .

【知识要点】

1. 一元二次方程根的判别式：

关于x的一元二次方程002acbxax的根的判别式为 .

（1）acb42>0一元二次方程002acbxax有两个 实数根，即2,1x .

（2）acb42=0一元二次方程有 相等的实数根，即21xx .

（3）acb42<0一元二次方程002acbxax 实数根.

2． 一元二次方程根与系数的关系

若关于x的一元二次方程20(0)axbxca有两根分别为1x，2x，那么21xx ，21xx .

3．易错知识辨析：

（1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不专题训练 姓名