1.3 二次函数的性质 浙教版九年级数学上册同步练习(含解析)

浙教版九年级数学上册同步练习

1.3二次函数的性质

一、选择题（每题3分，共24分）

1．若二次函数的图像经过点P(－2，4)，则该图像必经过点（ ）

A．(2，4)B．(2，－4)C．(－4，2)D．(4，2)

2．把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，

所得的抛物线是 （ ）

A． B．

C．D．

3．已知函数 的图像与x轴有交点，则k的取值范围是（　）

A．k<4B．k≤4C．k<4，且k≠3D． k≤4且k≠3

4．已知二次函数，，则下列结论一定正确的是

（ ）

A．若，则B．若，则

C．若，则D．若，则

5．如表中列出的是二次函数y＝a＋bx＋c中x与y的几组对应值：x…﹣2013…

y…6﹣4﹣6﹣4…

下列各选项中，正确的是 （ ）A．这个函数的图象开口向下

B．这个函数的图象与x轴有两个交点，且都在y轴同侧

C．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大

D．方程a＋（b＋2）x＋c＝﹣4的解为＝0，＝1

6．如图，已知抛物线（m为常数）恰好只经过图中网格区域

（包括边界）中的3个格点（横纵坐标均为整数），则满足条件的整数m有

（ ）个A．1B．2C．3D．4

7．抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列

判断中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b＋c＝0；④若点（﹣0.5，y1），

（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；其中正确的个数有 （ ）

A．2B．3C．4D．5

8．如图，抛物线y＝﹣2x2＋2与x轴交于点A、B，其顶点为E．把这条抛

物线在x轴及其上方的部分记为C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于

点B、D，C2的顶点为F，连接EF．则图中阴影部分图形的面积为（ ）

A．4B．3C．2D．1

二、填空题（每题3分，共24分）

9．把二次函数用配方法化成的形式是

________．

10．如图，在平面直角坐标系xOy中，，，如果抛物线

与线段AB有公共点，那么a的取值范围是______

．11．已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式

_____________．

12．已知二次函数的图像顶点在x轴上，则_________

13．已知函数，则使成立的值恰好有三个，则的值为

______________．

14．如图，抛物线的对称轴是，与x轴的一个交点为，则不等式的解集为___________．

15．二次函数的图象如图所示，则三个代数式①abc，②，③中，值为正数的有______．（填序号）

16．如图，抛物线 与y轴交于A点，与x轴交于B、C两点，

B(-1，0)， C(3，0)，连接AC，将线段AC 向上平移落在EF处，且EF恰好

经过这个抛物线的顶点D，则四边形ACFE的周长为______

．三、解答题（每题8分，共72分）

17．已知抛物线．

（1）求它的对称轴和顶点坐标；

（2）写出一种将它平移成抛物线的方法．

18．已知一个二次函数图象的顶点是，且与轴的交点的纵坐标为

4．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）当取哪些值时，的值随值的增大而增大？

（3）点在这个二次函数的图象上吗？

19．已知：抛物线经过点.

（1）求的值；

（2）若，求c的值，

（3）在（2）的情况下，求这条抛物线的顶点坐标；20．已知二次函数y＝－（m＋2）x＋2m－1

(1)求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；

(2)若该函数的图象与y轴交于点（0，3），求当0＜x＜5时，求y的取值范

围．

21．如图已知二次函数图象与直线交于点，点B

． (1)求m，a的值．

(2)求点B坐标．

(3)连结，求面积．

22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）经过原点，并交

x轴正半轴于点A.已知OA=6，且方程恰好有两个相等的实数

根．

(1)求该抛物线的表达式；

(2)若将图象在x轴及其上方的部分向右平移m个单位交于点P，B，是该图象两个顶点，若恰好为等腰直角三角形，求m的值．

23．如图，抛物线（a＞0）交x轴于点A（﹣1，0），B（3，

0），交y轴于点C，作直线BC．

(1)若OB＝OC，求抛物线的表达式；

(2)P是线段BC下方抛物线上一个动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交线段BC

于点E．若EB＝EC＝EP，求a

的值．24．已知二次函数．

(1)求证：二次函数的图象必过点；

(2)若点在函数图象上，，求该函数的表达式；

(3)若该函数图象与轴有两个交点，求证：．

25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（，0），B

（3，）两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、

C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；

(3)抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐

标；若不存在，请说明理由．参考答案：

1．解：∵二次函数的图像经过点P(－2，4)，∴，解得：，∴二次函数的解析式为，当时，，

∴该图像必经过点(2，4)，故选项A正确，B错误；当时，，故选项C错误；当时，，故选项D错误；

故选：A．

2．解：∵抛物线的顶点坐标为（1，3），

∴向左平移2个单位，再向上平移3个单位后的顶点坐标是∴所得抛物线解析式是．

故选：C．3．解：当，即时，函数 的图像与x轴有交点，∴，解得：；当，即时，与x轴有交点，

综上所述，k的取值范围是．

故选：B

4．解：，

选项A：若，则，，无法判断的符号，故

此选项不符合题意；

选项B：若，则， ，则 故此选项符合题意；

选项C：若，则，则这个二次函数开口向下，不可能对于

任意的x，都有 ，故此选项不符合题意；

同理选项D也不符合题意；

故选B．5．解：∵抛物线经过点（0，-4），（3，-4），

∴抛物线的对称轴为直线x=，

而x=1时，y=-6＜-4，

∴抛物线的开口向上，与x轴有两个交点，且在y轴两侧，所以A、B选项都不

符合题意；

∵抛物线的对称轴为直线x=，

∴当x＞时，y的值随x值的增大而增大，所以C选项不符合题意；

∵点（0，-4），（1，-6）在抛物线上，也在直线y=-2x-4上，

即y=a+bx+c与直线y=-2x-4的交点坐标为（0，-4），（1，-6），

∴方程a+bx+c=-2x-4的解为=0，=1，

即方程a+（b+2）x+c=-4的解为=0，=1，所以D选项符合题意．

故选：D．6．由题意得，当时，，抛物线必过点，抛物线（m为常数）恰好只经过图中网格区域（包括边界）中

的3个格点（横纵坐标均为整数），

分情况讨论如下：①当点是抛物线的顶点时，则抛物线对称轴为直线，解得，抛物线解析式为，由题意得，抛物线还经过点，如图1，把点分别代入解析式，等式成立，

符合题意；②当点不是抛物线的顶点，而是抛物线上关于对称的其中一个点，则抛物线经过，如图2，抛物线对称轴为直线，解得，抛物线解析式为，把代入解析式，得，即抛物线经过点，抛物线还经过点，

符合题意；③当点不是抛物线的顶点，且在图中也找不到对应格点，要想抛物线恰好只

经过图中网格区域（包括边界）中的3

个格点（横纵坐标均为整数）时，抛物线应经过，如图3，抛物线对称轴为直线，解得，抛物线解析式为，把点分别代入解析式，等式成立，

符合题意；

综上，满足条件的整数m有3个，

故选：C．7．解：由图象可知a＞0，c＜0，

∵对称轴为x＝﹣1，

∴b＝2a，

∴b＞0，

∴abc＜0，故①错误；

∵图象与x轴有两个不同的交点，

∴b2﹣4ac＞0，故②正确；

∵图象与x轴的一个交点是（1，0），

∴与x轴的另一个交点是（﹣3，0），

∴9a﹣3b＋c＝0，故③正确；

∵（﹣2，y2）到对称轴x＝﹣1的距离是1，（﹣0.5，y1）到对称轴x＝﹣1的距

离是0.5，

∴y1＜y2

；故④错误；综上分析可知，②③正确，故A正确．

故选：A．8．解：作FC⊥x轴于点C，如右图所示，

则阴影部分的面积等于四边形EOCF的面积，

∵抛物线y＝﹣2x2＋2，

∴当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝1，该抛物线的顶点坐标为（0，2），

∴AB＝1﹣（﹣1）＝2，OE＝2，

∵这条抛物线在x轴及其上方的部分记为C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴

交于点B、D，C2的顶点为F，

∴OC＝AB＝2，

∵四边形EOCF是矩形，

∴四边形EOCF的面积是2×2＝4，

∴图中阴影部分图形的面积为4，

故选：A．

9．解：

，故答案为：．

10．解：把代入得；把代入得，

所以a的取值范围为

．故答案为．

11．解：把点代入二次函数解析式得：，则有，∴；

故答案为15．

12．解：由题意得，顶点纵坐标为：，即：，解得：．

故答案为：2．

13．解：∵，∴顶点坐标为， 如图：点关于轴的对称点为，∵成立的值恰好有三个，∴．故答案为：．

14．解：根据图示知，抛物线y＝ax2+bx+c图象的对称轴是x＝1，与x轴的一个

交点坐标为（﹣3，0），

根据抛物线的对称性知，抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x＝

1对称，即

抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与（﹣3，0）关于直线x＝1对称，

∴另一个交点的坐标为（5，0）

，