2.4正态分布(高中数学人教A版选修2-3)

[课时达标检测]

一、选择题

1．正态曲线关于y轴对称，当且仅当它所对应的正态总体的均值为( )

A．1 B．－1

C．0 D．不确定

解析：选C 均值即为其对称轴，∴μ＝0.

2．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X<4)＝0.84，则P(X≤0)＝( )

A．0.16 B．0.32

C．0.68 D．0.84

解析：选A 由X～N(2，σ2)，可知其正态曲线如图所示，对称轴为直线x＝2，则P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X<4)＝1－0.84＝0.16.

3．若随机变量X的密度函数为f(x)＝12π·e－x22，X在区间(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为p1，p2，则p1，p2的关系为( )

A．p1>p2 B．p1

C．p1＝p2 D．不确定

解析：选C 由正态曲线的对称性及题意知：μ＝0，σ＝1，所以曲线关于直线x＝0对称，所以p1＝p2.

4．总体密度曲线是函数f(x)＝12πσe－－22σ2，x∈R的图象的正态总体有以下命题：

①②③④正态曲线关于直线x＝μ对称；②正态曲线关于直线x＝σ对称；③正态曲线与x轴一定不相交；④正态曲线与x轴一定相交，其中正确的命题是( )

A．②④ B．①④

C．①③ D．②③

解析：选C 利用正态函数图像的基本特征判断．

5．如果提出统计假设：某工厂制造的零件尺寸X服从正态分布N(μ，σ2)，当随机抽取某一个测量值α时，可以说明假设不成立的是下列中的( )

A．α∈(μ－3σ，μ＋3σ) B．α∉(μ－3σ，μ＋3σ)

C．α∈(μ－2σ，μ＋2σ) D．α∉(μ－2σ，μ＋2σ)

解析：选B 由生产实际中的3σ原则可知：P(μ－3σ

二、填空题

6．已知正态分布落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时达到最高点． 解析：由正态曲线关于直线x＝μ对称且在x＝μ处达到峰值和其落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，得μ＝0.2.

高中数学选修2-3学案

1 2.4正态分布

学习目标：1、通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质

2、结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解

3、掌握正态分布在实际生活中的意义和作用

重点：1、结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解

2、掌握正态分布在实际生活中的意义和作用

二、基础知识归纳

总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．

它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积．

1．正态分布概率密度函数：

2．正态分布

参数,的含义：

3正态曲线的特点：

总体密度曲线b单位O频率/组距a高中数学选修2-3学案

2 4标准正态曲线:

对于标准正态总体N（0，1），)(0x是总体取值小于0x的概率，即)()(00xxPx，其中00x，图中阴影部分的面积表示为概率0()Pxx只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不难发现:当00x时，)(1)(00xx；而当00x时，Φ（0）=0.5

二、例题探究：

例1、下面给出了三个正态总体的函数表示式，请找出其均值μ和标准差σ.

(1)φμ，σ(x)＝12πe22x，x∈(－∞，＋∞)；

(2)φμ，σ(x)＝122πe218x，x∈(－∞，＋∞)；

(3)φμ，σ(x)＝22πe22(1)x－＋，x∈(－∞，＋∞)．

例2、若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为142.求该正态分布的概率密度函数的[解析]式．

例3、设X～N(1,22)，试求：(1)P(－1

三、课堂练习：

1．如果ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ>3)＝P(ξ<1)成立，则μ＝______.

打印版

高中数学

1．正态总体N(0，49)，数值落在(－∞，－2)∪(2，＋∞)的概率为( )

A．0.46 B．0.997 4

C．0.03 D．0.002 6

答案 D

解析 P(－2

∴数值落在(－∞，2)∪(2，＋∞)的概率为1－0.997 4＝0.002 6.

2．若随机变量η服从标准正态分布N(0,1)，则η在区间(－3,3]上取值的概率等于( )

A．0.682 6 B．0.954 4

C．0.997 4 D．0.317 4

答案 C

解析 μ＝0，σ＝1，∴(－3,3]内概率就是(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率0.997 4.

3．在某市2013年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N(98,100)．已知参加本次考试的全市理科学生约9 450人．某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第多少名？( )

A．1 500 B．1 700

C．4 500 D．8 000 打印版

高中数学 答案 A

解析

因为学生的数学成绩X～N(98,100)，所以P(X≥108)＝12[1－P(88

6)＝0.158 7，故该学生的数学成绩大约排在全市第0.158 7×9 450≈1 500名，故选A.

4．(2012·新课标全国理)某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1

000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．

答案 38

解析 依题意，部件正常工作就是该部件使用寿命超过1 000小时，元件正常工作的概率为0.5，则部件正常工作的概率为1212×12＋12×1－12＋1－12×12＝38.

5．已知X～N(2.5,0.12)，求X落在区间(2.4,2.6]中的概率．

2.4正态分布

教学要求

了解正态分布的意义和性质

教学重点

能借助正态分布的图像理解正态分布的性质

教学重点

会用)(),(xFx

的意义求正态分布小于X

的概率

教学过程

一、复习提问：前面我们学习了哪三种分布列？他们都是离散型随机变量分布列。

二、讲授新课：

1．正态曲线

函

数),(,

21

)(22

2)(

,



xexx







，其中实数

和)0(

为参数，

)(

,x



的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．

2．正态分布

如果对于任何实数)(,baba

，随机变量X

满足

dxxbXaPb

a)()(

,





，则称随机变量X

服从正态分布．

正态分布完全由参数

和)0(

确定，因此正态分布常记作),(2



N

，如果随机变量X

服从正态分布，则记为),(~2



NX

．

3．正态曲线的性质

正态曲线),(,

21

)(22

2)(

,



xexx







有以下性质：

(1)曲线位于x

轴上方，与x

轴不相交；

(2)曲线是单峰的，它关于直线

x

对称；

(3)曲线在

x处达到峰值



21

；

(4)曲线与x

轴之间的面积为

1；(5)当

一定时，曲线的位置由

确定，曲线随着

的变化而沿x

轴平移，如图①；

(6)当

一定时，曲线的形状由

确定，

越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；



越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图②.

4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值（

3

原则）

6826.0)(

XP

；

9544.0)22(

XP

；

9974.0)33(

XP

【典例分析】

考点1正态曲线

例1如图所示是一个正态曲线．试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．

强化训练1若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为



241

.

求该正态分布的概率密度函数的解析式．

考点2利用正态分布求概率

例2在某项测量中，测量结果服从正态分布)4,1(~NX