概率论与数理统计（茆诗松）第二版课后习题参考答案
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1第一章 随机事件与概率
习题1.1
1． 写出下列随机试验的样本空间：
（1）抛三枚硬币；
（2）抛三颗骰子；
（3）连续抛一枚硬币，直至出现正面为止；
（4）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球，先从中取出一个，放回后再取出一个；
（5）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球，先从中取出一个，不放回后再取出一个．
解：（1）Ω = {(0, 0, 0)，(0, 0, 1)，(0, 1, 0)，(1, 0, 0)，(0, 1, 1)，(1, 0, 1)，(1, 1, 1)，(1, 1, 1)}，
其中出现正面记为1，出现反面记为0；
（2）Ω = {(x
1 , x
2 , x
3)：x
1 , x
2 , x
3 = 1, 2, 3, 4, 5, 6}；
（3）Ω = {(1)，(0, 1)，(0, 0, 1)，(0, 0, 0, 1)，…，(0, 0, …, 0, 1)，…}，
其中出现正面记为1，出现反面记为0；
（4）Ω = {BB，BW，BR，WW，WB，WR，RR，RB，RW}，
其中黑球记为B，白球记为W，红球记为R；
（5）Ω = {BW，BR，WB，WR，RB，RW}，
其中黑球记为B，白球记为W，红球记为R．
2． 先抛一枚硬币，若出现正面（记为Z），则再掷一颗骰子，试验停止；若出现反面（记为F），则再抛
一枚硬币，试验停止．那么该试验的样本空间Ω是什么？
解：Ω = {Z1，Z2，Z3，Z4，Z5，Z6，FZ，FF}．
3． 设A, B, C为三事件，试表示下列事件：
（1）A, B, C都发生或都不发生；
（2）A, B, C中不多于一个发生；
（3）A, B, C中不多于两个发生；
（4）A, B, C中至少有两个发生．
解：（1
）CBAABCU
；
（2
）CBACBACBACBAUUU
；
（3
）ABC
或CBACBACBACBABCACBACABUUUUUU
；
（4
）ABCBCACBACABUUU
．
4． 指出下列事件等式成立的条件：
（1）A∪B = A；
（2）AB = A．
解：（1）当A ⊃ B时，A∪B = A；
（2）当A ⊂ B时，AB = A．
5． 设X为随机变量，其样本空间为Ω = {0 ≤ X ≤ 2}，记事件A = {0.5 < X ≤ 1}，B = {0.25 ≤ X < 1.5}，写出
下列各事件：
（1
）BA
；
（2
）BAU
； 2
Ω （3）AB
；
（4）BAU
．
解：（1）}5.11{}5.025.0{<<≤≤=XXBAU
；
（2）Ω=≤≤=}20{XBAU
；
（3）AXXAB=≤<≤≤=}21{}5.00{U
；
（4）BXXBA=≤≤<≤=}25.1{}25.00{UU
．
6． 检查三件产品，只区分每件产品是合格品（记为0）与不合格品（记为1），设X为三件产品中的不合
格品数，指出下列事件所含的样本点：
A =“X = 1”，B =“X > 2”，C =“X = 0”，D =“X = 4”．
解：A = {(1, 0, 0)，(0, 1, 0)，(0, 0, 1)}，B = {(1, 1, 1)}，C = {(0, 0, 0)}，D = ∅．
7． 试问下列命题是否成立？
（1）A − (B − C
) = (A − B
)∪C；
（2）若AB = ∅且C ⊂ A，则BC = ∅；
（3）(A∪B
) − B = A；
（4）(A − B
)∪B = A．
解：（1）不成立，CBAACBAACBACBACBACBACBAUUUU)()()()(−≠−====−=−−
；
（2）成立，因C ⊂ A，有BC ⊂ AB = ∅，故BC = ∅；
（3）不成立，因ABABABBBABBABBA≠−====−UUU)()(
；
（4）不成立，因ABABBBABBABBA≠===−UUUUU))(()(
．
8． 若事件ABC = ∅，是否一定有AB = ∅？
解：不能得出此结论，如当C = ∅时，无论AB为任何事件，都有ABC = ∅．
9． 请叙述下列事件的对立事件：
（1）A =“掷两枚硬币，皆为正面”；
（2）B =“射击三次，皆命中目标”；
（3）C =“加工四个零件，至少有一个合格品”．
解：（1）=A
“掷两枚硬币，至少有一个反面”；
（2）=B
“射击三次，至少有一次没有命中目标”；
（3）=C
“加工四个零件，皆为不合格品”．
10．证明下列事件的运算公式：
（1）BAABAU=
；
（2）BAABAUU=
． AB
(A − B
)∪CC
A − (B − C
) Ω
C A B 3证：（1
）AABBABAAB=Ω==)(UU
；
（2
）BABABAAABAAUUUUU=Ω==)())((
．
11．设F 为一事件域，若A
n ∈F ，n = 1, 2, …，试证：
（1）∅ ∈F ；
（2）有限并∈
=Un
iiA
1F ，n ≥ 1；
（3）有限交∈
=In
iiA
1F ，n ≥ 1；
（4）可列交∈+∞
=I
1iiA
F ；
（5）差运算A
1 − A
2 ∈ F ．
证：（1）由事件域定义条件1，知
Ω ∈F ，再由定义条件2，可得
∅∈Ω=
F ；
（2）在定义条件3中，取A
n + 1 = A
n + 2 = … = ∅，可得∈=∞
==UU
11iin
iiAA
F ；
（3）由定义条件2
，知∈
nAAA,,,
21L
F ，根据（2
）小题结论，可得∈
=Un
iiA
1F ，
再由定义条件2
，知∈
=Un
iiA
1F ，即∈
=In
iiA
1F ；
（4）由定义条件2
，知∈LL,,,,
21nAAA
F ，根据定义条件3
，可得∈∞
=U
1iiA
F ，
再由定义条件2
，知∈∞
=U
1iiA
F ，即∈∞
=I
1iiA
F ；
（5）由定义条件2
，知∈
2A
F ，根据（3
）小题结论，可得∈
21AA
F ，即A
1 − A
2 ∈ F ． 4习题1.2
1． 对于组合数
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
rn
，证明：
（1）
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
−=
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
rnn
rn
；
（2）
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−
+
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
−−
=
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
rn
rn
rn1
11
；
（3）n
nnnn
2
10=
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
++
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
+
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
L
；
（4）1
2
22
1−
⋅=
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
++
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
+
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
n
n
nn
nnn
L
；
（5）
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+
=
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
++
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
−⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
+
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
nbab
na
nba
nba
0110L
，n = min{a, b}；
（6）
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
=
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
++
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
+
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
nn
nnnn2
10222
L
．
证：（1）
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
=
−=
−−−=
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
−rn
rrnn
rnnrnn
rnn
!)!(!
)]!([)!(!
；
（2）
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
=
−=−+
−−
=
−−−
+
−−−
=
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−
+
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
−−
rn
rnrn
rnr
rnrn
rnrn
rnrn
rn
rn
)!(!!
)]([
)!(!)!1(
)!1(!)!1(
)!()!1()!1(1
11
；
（3）由二项式展开定理nnnn
y
nn
yxn
xn
yx
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
++
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
+
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
=+−
L1
10)(
，令x = y = 1，得
n
nnnn
2
10=
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
++
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
+
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
L
；
（4）当1 ≤ r ≤ n时，
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
−−
=
−⋅−−
=
−⋅−=
−⋅=
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
11
)!()!1()!1(
)!()!1(!
)!(!!
rn
n
rnrn
n
rnrn
rnrn
r
rn
r
，
故1
2
11
11
01
22
1−
⋅=
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
−−
++
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−
+
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−
=
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
++
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
+
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
n
n
nn
nn
nn
n
nn
nnn
LL
；
（5）因aa
x
aa
xaa
x
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
++
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
+
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
=+L
10)1(
，bb
x
bb
xbb
x
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
++
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
+
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
=+L
10)1(
，
两式相乘，其中x n
的系数为
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
++
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
−⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
+
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
0110b
na
nba
nba
L
，
