概率论与数理统计教学教案
第八章 假设检验
授课序号01
教 学 基 本 指 标
教学课题 第八章 第一节 假设检验的基本概念 课的类型 新知识课
教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合
教学重点 假设检验的基本步骤 教学难点 假设检验的思想
参考教材 高教版、浙大版《概率论与梳理统计》 作业布置 课后习题
大纲要求 了解原假设和备择假设的概念
理解显著水平检验法的基本思想
掌握假设检验的基本步骤
了解假设检验可能产生的两类错误
教 学 基 本 内 容
一、基本概念：
1、假设检验的基本步骤
（1）、建立假设
提出一个原假设00:H和备择假设1H，
备择假设1H有三种常用的形式：
（I）01:H，在0的两侧讨论与的可能不同，这样的检验问题也成为双侧检验；
（II）10:H，在0的右侧讨论与的可能不同，这样的检验问题也成为单侧（右侧）检验；
（III）10:H，在0的左侧讨论与的可能不同，这样的检验问题也成为单侧（左侧）检验。
（2）、给出拒绝域的形式
若检验是 00:H; 10:H，则0ˆ{}Wc
若检验是00:H; 10:H，则0ˆ{}Wc 若检验是 00:H; 10:H，则0ˆ{}Wc
当有了具体的样本数据后，
（1） 如果1(,...,)nxxW，拒绝0H；
（2） 如果1(,...,)nxxW，不拒绝0H（通常也简单理解为接受0H）．
2、确定显著性水平
检验带来的后果 根据样本观测值所得的结论
当1(,,)nxxWL，接受0H 当1(,,)nxxWL，拒绝0H
总体分布的实际情况（未知） 0H成立 判断正确 犯第一类错误
0H不成立 犯第二类错误 判断正确
3、建立检验统计量，给出拒绝域
《概率论与数理统计》习题及答案第⼋章
《概率论与数理统计》习题及答案
第⼋章1. 设x.,x2,,%…是从总体X中抽岀的样本，假设X服从参数为兄的指数分布，⼏未知，给泄⼊〉0和显著性⽔平a(Ovavl),试求假设H o的⼒$检验统计量及否建域.
解
选统汁量*=2⼈⼯⼄=2如庆
则Z2 -Z2(2n) ?对于给宦的显著性⽔平a,査z'分布表求出临界值加⑵"，使
加⑵2))=Q
因z2 > z2 > 所以(F"： (2/1)) => (/2 > /； (2n)),从⽽a = P{X2 > 加⑵“} n P{r > Za(2/0)
可见仏:2>^的否定域为Z2>Z；(2?).2. 某种零件的尺⼨⽅差为O-2=1.21,对⼀批这类零件检查6件得尺⼨数据(毫⽶)：，，，，，。设零件尺⼨服从正态分布，问这批零件的平均尺⼨能否认为是毫⽶(a = O.O5).
解问题是在/已知的条件下检验假设：“ = 32.50Ho的否定域为1“ l> u af2
u0(n5 = 1.96 ,因1“ 1=6.77 >1.96,所以否泄弘，即不能认为平均尺⼨是亳⽶。
3. 设某产品的指标服从正态分布，它的标准差为b = 100,今抽了⼀个容量为26的样本，计算平均值1580,问在显著性⽔平a = 0.05下，能否认为这批产品的指标的期望值“不低于1600。
解问题是在b?已知的条件下检验假设://>1600
的否定域为u < -u a/2,其中X-1600 r-r 1580-1600 c , “
11 = ------------ V26 = ------------------- x 5.1 = —1.02.
100 100
⼀叫05 =—1.64.
因为// =-1.02>-1.64 =-M005,所以接受H(>,即可以认为这批产品的指标的期望值“不低于1600.4. ⼀种元件，要求其使⽤寿命不低于1000⼩时，现在从这批元件中任取25件，测得其寿命平均值为950⼩时，已知该元件寿命服从标准差为o-=100 ⼩时的正态分布，问这批元件是否合格(<7=0.05)
大学数学云课堂 1.[一]某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%）3.25 3.27 3.24 3.26 3.24。设测定值
总体服从正态分布，问在α = 0.01下能否接受假设：这批矿砂的含镍量的均值为3.25.
解：设测定值总体X～N（μ，σ 2），μ，σ 2均未知
步骤：（1）提出假设检验H
0：μ=3.25; H1：μ≠3.25 （2）选取检验统计量为)1(~25.3
--
=nt
nSX
t
（3）H
0的拒绝域为| t |≥).1(
2-nt
α
（4）n=5, α
= 0.01，由计算知01304.0)(
11
,252.35
12=-
-==å
=iiXX
nSx
查表t0.005(4)=4.6041, )1(343.0
501304.025.3252.3
||
2-<=-
=ntt
α
（5）故在α = 0.01下，接受假设H0
2．[二] 如果一个矩形的宽度ω与长度l的比618.0)15(
21
»-=lω，这样的矩形称为黄金矩形。
这种尺寸的矩形使人们看上去有良好的感觉。现代建筑构件（如窗架）、
工艺品（如图片镜框）、甚至司机的执照、商业的信用卡等常常都是采用黄金矩型。下面列出某工艺品工
厂随机取的20个矩形的宽度与长度的比值。设这一工厂生产的矩形的宽度与长短的比值总体服从正态分
布，其均值为μ，试检验假设（取α = 0.05）
H0：μ = 0.618 H1：μ≠0.618
0.693 0.749 0.654 0.670 0.662 0.672 0.615 0.606 0.690 0.628 0.668
0.611 0.606 0.609 0.601 0.553 0.570 0.844 0.576 0.933.
解：步骤：（1）H0：μ = 0.618； H1：μ≠0.618 （2）选取检验统计量为)1(~618.0
--
=nt
nSX
t
（3）H0的拒绝域为| t |≥).1(
2-nt
α
（4）n=20 α = 0.05，计算知
1第四章 大数定律与中心极限定理
习题4.1
1． 如果XXP
n→
，且YXP
n→
．试证：P{X = Y
} = 1．
证：因
|
X − Y
| = | −(X
n − X
) + (X
n − Y
)| ≤ |
X
n − X
| + |
X
n − Y
|，对任意的ε
> 0，有
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
≥−+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
≥−≤≥−≤
2||
2||}|{|0εε
ε
YXPXXPYXP
nn，
又因XXP
n→
，且YXP
n→，有0
2||lim=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
≥−
+∞→ε
XXP
n
n，0
2||lim=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
≥−
+∞→ε
YXP
n
n，
则P{|
X − Y
| ≥ ε
} = 0，取
k1
=ε，有01
||=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
≥−
kYXP，即11
||=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
<−
kYXP
， 故11
||lim1
||}{
1=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
<−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
<−==
+∞→+∞
=kYXP
kYXPYXP
k
kI
．
2． 如果XXP
n→
，YYP
n→
．试证：
（1）YXYXP
nn+→+
；
（2）XYYXP
nn→
．
证：（1）因
|
(X
n + Y
n) − (X + Y
)
| = | (X
n − X
) + (Y
n − Y
)| ≤ |
X
n − X
| + |
Y
n − Y
|，对任意的ε
> 0，有
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
≥−+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
≥−≤≥+−+≤
2||
2||}|)()({|0εε
ε
YYPXXPYXYXP
nnnn，
又因XXP
n→
，YYP
n→，有0
2||lim=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
≥−
+∞→ε
XXP
n
n，0
2||lim=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
≥−
+∞→ε
YYP
n
n，
故0}|)()({|lim=≥+−+
+∞→ε
YXYXP
nn
n，即YXYXP
nn+→+
；
（2）因
|
X
nY
n − XY | = | (X
n − X
)Y
n + X
(Y
n − Y
) | ≤ |
X
n − X
| ⋅ | Y
n | + | X | ⋅ |
Y
n − Y
|，对任意的ε
> 0，有
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
