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实数(一)平方根与立方根

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平方根与立方根

一、知识回顾

1．算术平方根的定义：

2．平方根的定义：若a2＝b，则称a是b的平方根，例如：52＝25，(－5)2＝25

∴5与-5都是25的平方根或称25的平方根为±5。

3．平方根的表示法：每一个正数a都有两个平方根，我们以±a表示，其中a表示正平方根，－a表示负平方根。( 0只有一个平方根就是0；负数在实数系里没有平方根)

例：16＝4、－16＝－4；16的平方根为±16＝±4

4．2x＝x；2ba＝ba。例：23＝3；254＝5-4＝1

5．立方根的定义：若a3＝b，则称a是b的立方根。

例：53＝125，∴5是125的立方根；(-5)3＝-125，∴－5是－125的立方根。

6．立方根的表示法：每一个实数a的立方根均只有一个，我们以3a表示。

例：－125的立方根为3125＝－3125＝－5

7．立方根的性质：

8．33a＝a(不论a为正或负均是)

9．完全平方数：任一整数的平方即为完全平方数。例如：52＝25，25为完全平方数。

10．完全立方数：任一整数的立方即为完全立方数。例：53＝125，125为完全立方数。

11．运用质因子分解化为标准分解式，求平方根（适用于完全平方数）：

（1）将数字化为标准分解式；（2）将各执因子之次方除以2当成开平方后该质数的次方，再将所有数连乘。例：9053253281002242

（2222242532532532532）

12．运用质因子分解化为标准分解式，求立方根（适用于完全立方数）：

（1）将数字化为标准分解式；（2）将各质因子之次方除以3，当成开立方后该质数的次方，再将所有数连乘。

例：90532532729000233633（3323363532532）

二、练习：

1、—8是 的平方根； 64的平方根是 ； 64 ；

—64的立方根是 ； 9 ； 9的平方根是 。 2、把下列各数保留一位小数：

11≈ 17≈

大于17而小于11的所有整数为：

3、几个基本公式：（注意字母a的取值范围）

(1)2)(a= ； 2a =

(2)33a= ； 33)(a= ； 3a=

4、 求下列各式的值：

(1)2)16( (2)－29 (3)2)36( (4)－(2)3()2

的值求、若332,05aaa 的值）（，求、若332)(6mnnmnm

三、知识巩固：

1、求下列各数的平方根及算术平方根：

（1）900； （2）1； （3）0 （4）14;

2、x取何值时，下列各式有意?

（1）2x： ； （2）2x

;

（3）22xx： ；（4）34x：

；

（5）212xx： ； （6） 1xx： 。

3、解下列方程：

（1）2490x 4)3(92y （2）01253273x cba04、若ba,为实数，则下列命题正确的是（ ）

A、22,baba则若 B、22,baba则若

C、22,baba则若 D、22,0babaa则且若

5、已知aaa43，求a的值。

四、知识提高

1、已知：732.13，477.530，填空：

（1）300 ； （2）3.0 ；

（3）0.03的平方根约为 ； （4）若77.54x，则x

2、已知442.133，107.3303，694.63003，求：

（1）33.0 ； （2）3000的立方根≈

；

（3）07.313x，则x （4）3x≈-0.01442，则x

3、若xx222，则x的取值范围是

4、已知cba、、位置如图所示，试化简

：

（1）22cbacbaa （2）22abcbcba

5、已知115的小数部分为m，115的小数部分为n，求m+n的值

6、将324作质因子分解，并求324之值。 215()5= 7、知等腰三角形的两边长ba,满足23523130abab，求三角形的周长

8、如果一个数的平方根是1a和72a，求这个数

五、课后作业

1、下列说法正确的是(

)

A、16的平方根是4 B、6表示6的算术平方根的相反数

C、 任何数都有平方根

D、2a一定没有平方根

2、若a有意义，则a的取值范围是

3、若335m，则m

4、若0xx，则x的取值范围是 ；xx4433，则x的取值范围是

5、2(3)= ，

6、满足23x的整数的x值有

7、平方根等于它本身的数有 ；立方根等于它本身的数有

8、已知xxy21121，求yx32的平方根

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平方根 算术平方根 立方根 实数

平方根 算术平方根 立方根 实数

1 实数

学习目标

1.理解并掌握算术平方根、平方根、立方根等概念及性质，并会用根号表示它们.

2.会求算术平方根、平方根和立方根.

3.理解有理数、无理数以及实数的概念，知道这些数和数轴上的点的对应关系.

4.会进行实数的运算.

知识精讲

1.算术平方根.

（1）概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即ax2，那么这个正数x叫作a的算术平方根.其中a叫作被开方数.a的算术平方根记作)0(aa，读作“根号a”.

（2）性质：正数的算术平方根是正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根.

注意：非负数a的算术平方根a有双重非负性：被开方数a是非负数；算术平方根a本身也是非负数.

2.平方根.

（1）概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫作a的平方根（或二次方根）.即如果ax2，那么x叫作a的平方根，记作)0(aa.

（2）开平方：求一个数a的平方根的运算，叫作开平方.

注意：开平方运算与平方的运算互为逆运算.

（3）性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.

注意：①求某数的平方根，先要看这个数是不是非负数.

②要判断一个数是不是另一个数的平方根，只需验证这个数的平方是否等于另一个数.

③一个正数的正的平方根即为算术平方根.a表示a的算术平方根，a表示a的平方根.

④在求一个数的平方根时，只要求出它的算术平方根，就可直接写出它的另一个平方根.

⑤要熟记1至20之间的整数的平方.

3.立方根.

（1）概念：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫作a的立方根或三次方根.即如果ax3，那么x叫作a的立方根，记作3a，读作“三次根号a”.

注意：这里的根指数3不能省略.

（2）开立方：求一个数a的立方根的运算叫作开立方，其中a叫作被开方数.

注意：开立方运算与立方根运算互为逆运算.

（3）性质：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.

平方根立方根实数练习题

平方根立方根实数练习题

平方根、立方根、实数练习题

一、选择题

1、化简(－3)2 的结果是（ ）

A.3 B.－3 C.±3 D．9

2．已知正方形的边长为a，面积为S，则（ ）

A．Sa B．±Sa C．aS D．aS

3、算术平方根等于它本身的数（ ）

A、不存在；B、只有1个；C、有2个；D、有无数多个；

4、下列说法正确的是（ ）

A．a的平方根是±a；B．a的算术平方根是a；

C．a的算术立方根3a；D．-a的立方根是－3a．

5、满足-2＜x＜3的整数x共有（ ）

A．4个；B．3个；C．2个；D．1个．

6、如果a、b两数在数轴上的位置如图所示，则

2ba的算术平方根是（ ）；

A、a+b；B、a-b；C、b-a；D、-a-b；

7、如果-21x有平方根，则x的值是（ ）

A、x≥1；B、x≤1；C、x=1；D、x≥0；

8．已知a中，a是正数，如果a的值扩大100倍，则a的值（ ）

A、扩大100倍；B、缩小100倍；C、扩大10倍；D、缩小10倍；

9、2008年是北京奥运年，下列各整数中，与2008最接近的一个是（ ）

A．43；B、44；C、45；D、46；

10．如果一个自然数的算术平方根是n，则下一个自然数的算术平方根是（ ）

A、n+1；B、2n+1；C、1n；D、21n。

11. 以下四个命题

①若a是无理数，则a是实数；②若a是有理数，则a是无理数；③若a是整数，则a是有理数；④若a是自然数，则a是实数．其中，真命题的是（ ）

Ａ．①④ Ｂ．②③ Ｃ．③ Ｄ．④

12. 当01a，下列关系式成立的是（ ）

Ａ．aa，3aa Ｂ．aa，3aa a． －1． 0 b．． 1． Ｃ．aa，3aa Ｄ．aa，3aa

平方根立方根实数练习题 5

平方根立方根实数练习题 5

平方根、立方根练习题

一、选择题

1、化简(－3)2 的结果是（ ）

A.3 B.－3 C.±3 D．9

2．已知正方形的边长为a，面积为S，则（ ）

A．Sa B．±Sa C．aS D．aS

3、算术平方根等于它本身的数（ ）

A、不存在；B、只有1个；C、有2个；D、有无数多个；

4、下列说法正确的是（ ）

A．a的平方根是±a；B．a的算术平方根是a；

C．a的算术立方根3a；D．-a的立方根是－3a．

5、满足-2＜x＜3的整数x共有（ ）

A．4个；B．3个；C．2个；D．1个．

6、如果a、b两数在数轴上的位置如图所示，则 2ba的算术平方根是（ ）；

A、a+b；B、a-b；C、b-a；D、-a-b；

7、如果-21x有平方根，则x的值是（ ）

A、x≥1；B、x≤1；C、x=1；D、x≥0；

8．已知a中，a是正数，如果a的值扩大100倍，则a的值（ ）

A、扩大100倍；B、缩小100倍；C、扩大10倍；D、缩小10倍；

9、2008年是北京奥运年，下列各整数中，与2008最接近的一个是（ ）

A．43；B、44；C、45；D、46；

10．如果一个自然数的算术平方根是n，则下一个自然数的算术平方根是（ ）

A、n+1；B、2n+1；C、1n；D、21n。

11. 以下四个命题

①若a是无理数，则a是实数；②若a是有理数，则a是无理数；③若a是整数，则a是有理数；④若a是自然数，则a是实数．其中，真命题的是（ ）

Ａ．①④ Ｂ．②③ Ｃ．③ Ｄ．④

12. 当01a，下列关系式成立的是（ ）

Ａ．aa，3aa Ｂ．aa，3aa a． －1． 0 b．． 1． Ｃ．aa，3aa Ｄ．aa，3aa

第四次实数中的平方根和立方根复习

第四次实数中的平方根和立方根复习

实数中的平方根和立方根复习

一、基础知识。

1、一般地，如果一个数的平方等于α，即x²=α，那么这个数x叫做α的 ，也叫做二次方根。

2、一个正数α有 个平方根，一个是α的算术平方根，记作 ，另一个平方根是 ，它们互为 ，两个平方根合起来，可以记作 ；0的平方根是 ；负数 平方根。

3、求一个数α的 的运算，叫做开平方。开平方和平方互为 ，故可以利用平方运算来求平方根，。

4、3和﹣3的平方都是9，即9的平方根是 ；9的算术平方根是 。

5、3的平方根表示为 ；3的算术平方根可表示为 。

6、比较 。

7、求一个数的立方根的运算，叫做 ，开立方与立方互为 。

8、正数有 个平方根，它们 ，正数只有 个正的立方根；负数

平方根，但负数有 个负的立方根；0的平方根、立方根都是 。

9、立方根等于它本身的数有 ，平方根等于它本身的数有 。

10、的平方根等于 ，算术平方根等于 ，立方根等于 。

二、巩固训练。

1、4的算术平方根是 。

2、计算 4 的结果是 。

3、使式子 2－3х有意义的х的取值范围是 。

4、估算 19 +2的值是 。

5、设 10 =α，ъ是α的小数部分，则α－ъ= 。

6、若α²＝（﹣5）²，b³＝（﹣5）³，则α＋b的值为 。