平方根与立方根及实数知识点总结
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平方根与立方根及实数知识点
总结（总4页） (5) Vk44 , (6) -v36 ,
“平方根”与“立方根”知识点小结
一、 知识要点
1、 平方根：
⑴、定义：如果x2=a,则x叫做a的平方根，记 作“ 土而”（a称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反 数；0的平方根是0；负数没有平方根。
（3）、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的
算术平方根，记作“亦”。
2、 立方根：
⑴、定义：如果戸=（7,则x叫做a的立方根，记 作“需”（a称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根 是0；负数有一个负的立方根。
3、 开平方（开立方）：求一个数的平方根（立 方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、 规律总结：
1、 平方根是其本身的数是0；算术平方根 是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是 0 和
±1。
2、 每一个正数都有两个互为相反数的平方
根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都 有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相 同。
3、石本身为非负数，即長有意 义的条件是
4、 公式：（1）（亦）2=a （a$0） ； （2）畅=一扬 （a取任何数）。
5、非负数的重要性质：若儿个非负数之和等于
0,则每一个非负数都为0（此性质应用很广， 务必掌握）。
例1求下列各数的平方根和算术平方根
⑴64；⑵（3；⑶访；⑷存 例2求下列各式的值
（1） 土阿；（2） -<16 ；
（4）7M）7-
例3.求下列各数的立方根：
（1）343； （2） -2—；⑶
27
二.巧用被开方数的非负性求值•
大家知道，当a$0时，a的平方根是土、方， 即a是非负数.
例4、若>12-x -y/x-2 - y = 6,求yx的立方根.
练习：已知y = Vm + l2x-l+2,求0的值.
三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.
我们知道，当时，a的平方根是土y[u 9 而(+V^) + (―) = 0.
四. 巧解方程
例 6、解方程(1) (x+1) 2=36 (2)
27(x+l)3=64
五、 巧用算术平方根的最小值求值.
我们已经知道^>0,即a=0时其值最小，换
句话说石的最小值是零.
例 4、已知：y= Ja-2 +J30 + 1),当 a、b 取不 同的值时，y也有不同的值.当y最小时，求W的 非算术平方根.
练习①已知Jx—3 +卜一3| + (远+ 2)，=0,求xyz 的值。
②已知与&+—8互为相反数,求a, b 的值。
六. 实数
lx实数：有理数和无理数统称为实数.我们一般用下 列两种情况将实数进行分类： 2. 关于有理数的运算法则：运算规律和运算性 质，在进行实数运算时仍适用.在实数范围内， 不仅可以进行加.减•乘•除•乘方运算，而且 正数和零总可以进行开平方运算，任何一个数都 可以开立方运算.
3. 实数和数轴上的点的对应关系：实数和数轴 上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上 的一个点表示.反过来，数轴上的每一个点都可 以表示一个实数.我们可以用儿何作图方法，在 数轴上表示某些无理数，如0、历等.
思考：(1)—a2—定是负数吗一a —定是正数 吗
(2)大家都知道75是一个无理数，那么75—1
在哪两 个整数之间 ⑶V15的整数部分为盯小数部分为b,则a=
b= ___
(4)实数包括 ___________ 或
⑸下列各数：(満)'，兀，0.28, 0, x/4 ,
22
3.14159, 0.121121112…,-Q —.其中无 7
理数有()个
七、实数大小比较的方法
一、平方法比较°和巧的大小
2二.移动因式法比较2盯和3“的大小例5、已知：一个正数的平方根是与
求a的平方的相反数的立方根. ①按属性分类： ②按符号分类
练习:若2d + 3和a-12是数川的平方根，求加 的值.
理数J正无逕数
i负无理数 或 实如0 实 JJE整数 有理*正分数 无理数
整数 俾有•理數H负分数 I负实肌负无理数 四、求商法比较扌、斥和JFT的大小
练习：比较下列各组数的大小：
①->/2 和-V3 ；② \[3 和 3 - y[2 ；③、/13"和 3匕
5
④-"和一。
八、解答题（每题4分，共8分）
当“5 丄时，化简 Jl-4d + 4a' + l 2。-11
2
2、已知实数a. b在数轴上表示的点如上图, 化简 \a + b\ + yl（a-b + i）~
