2019-2020学年南通市启东中学高一下学期期中数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年南通市启东中学高一下学期期中数学试卷

一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）

1. 在直角坐标系xOy中，已知点𝐴(0,−1)，𝐵(2,0)，过A的直线交x轴于点𝐶(𝑎,0)，若直线AC的倾斜角是直线AB倾斜角的2倍，则𝑎=( )

A. 14

B.

34

C.

1

D.

43

2. 在△𝐴𝐵𝐶中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，则下列等式恒成立的是( )

A. 𝑏=𝑎𝑐𝑜𝑠𝐶+𝑐𝑐𝑜𝑠𝐴 B. 𝑏=𝑎𝑐𝑜𝑠𝐴+𝑐𝑐𝑜𝑠𝐶

C. 𝑏=𝑎𝑠𝑖𝑛𝐶+𝑐𝑠𝑖𝑛𝐴 D. 𝑏=𝑎𝑐𝑜𝑠𝐶−𝑐𝑐𝑜𝑠𝐴

3. 如图所示是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中

①𝐵𝑀//平面ADE；②𝐶𝑁//平面ABF；③平面𝐵𝐷𝑀//平面AFN；④平面𝐵𝐷𝐸//平面NCF．

以上四个命题中，真命题的序号是( )

A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④

4. 经过点𝑀(2,2)且在两轴上截距相等的直线是( )

A. 𝑥+𝑦=4 B. 𝑥+𝑦=2

C. 𝑥=2或𝑦=2 D. 𝑥+𝑦=4或𝑥=𝑦

5. 在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴=90°，𝐴𝐵=1，则𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )

A. 1 B. −1 C. 0 D. √2

6. 已知x、y满足𝑥2+(𝑦−2)2=3，则𝑦𝑥的取值范围是( )

A. [−√3,√3] B. [−√33,√33]

C. (−∞,−√3]∪[√3,+∞) D. (−∞,−√33]∪[√33,+∞)

7. 已知△𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且𝑐𝑎=𝑐𝑜𝑠𝐵1+𝑐𝑜𝑠𝐴，则△𝐴𝐵𝐶为( ) A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形

C. 直角三角形 D. 三边均不相等的三角形

8. 设𝛼，𝛽是两个不同的平面，l是一条直线，若𝑙//𝛼，𝑙//𝛽，𝛼∩𝛽=𝑚，则( )

A. l与m平行 B. l与m相交 C. l与m异面 D. l与m垂直

9. 在 △𝐴𝐵𝐶 中，角A，B，C 的对边分别是，若 ，则 △𝐴𝐵𝐶 的形状是( )

A. 等腰三角形 B. 直角三角形

C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形

10. 若圆(𝑥−1)2+(𝑦+2)2=𝑟2(𝑟>0)上有且仅有两个点到直线2𝑥−𝑦+6=0的距离等于√5，则r的取值范围是(

)

A.

(0,2√5) B. (√5,3√5) C. (√5,2√5) D. (2√5,3√5)

二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）

11.

其中真命题是 .(写出所有真命题的序号)

12. 已知直线𝑎𝑥−𝑦+𝑎=0与直线𝑥+2𝑦−2=0平行，则实数a的值为______．

13. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2√3的半圆，若该圆锥的顶点及底面圆周在球O的表面上，则球O的体积为______．

14. 在△𝐴𝐵𝐶中，若，则角的值是 ．

15. 已知集合𝐴={𝑥|(12)𝑥>14}，𝐵={𝑥|log2(𝑥−1)<2}.则𝐴∩𝐵= ______ ．

16. 在△𝐴𝐵𝐶中，，则的值为________．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 在如图所示的五面体ABCDEF中，𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐵=2𝐴𝐷=2，∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐵𝐶𝐷=120°，四边形EDCF为正方形，平面𝐸𝐷𝐶𝐹⊥平面ABCD． (1)证明：在线段AB上存在一点G，使得𝐸𝐺//平面BDF；

(2)求该五面体的体积．

18. 已知向量𝑚⃗⃗⃗ =(2𝑠𝑖𝑛𝑥,2𝑐𝑜𝑠𝑥),𝑛⃗ =(√3𝑐𝑜𝑠𝑥,𝑐𝑜𝑠𝑥),𝑓(𝑥)=𝑚⃗⃗⃗ ⋅𝑛⃗ −1．

(1)求函数𝑓(𝑥)的最小正周期和单调递增区间；

(2)将函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的12，把所得到的图象再向左平移𝜋6单位，得到函数𝑦=𝑔(𝑥)的图象，求函数𝑦=𝑔(𝑥)在区间[0,𝜋8]上的最小值．

19. 飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20250m，速度1000𝑘𝑚/ℎ，飞行员先看到山顶的俯角为18°30′，经过150s后又看到山顶的俯角为81°，求山顶的海拔高度(精确到1𝑚)(𝑠𝑖𝑛18.5°≈0.317，𝑠𝑖𝑛81°≈0.988)

20. 已知抛物线C：𝑦2=4𝑥．

(Ⅰ)过抛物线C上的点P向x轴作垂线PQ，交x轴于点Q，求PQ中点R的轨迹D的方程；

(Ⅱ)在曲线D上求一点M，使它到点𝑁(3,0)的距离最小．

21. 在△𝐴𝐵𝐶中，若|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3，且𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝑐𝑜𝑠𝐴+𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝑐𝑜𝑠𝐶=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝑠𝑖𝑛𝐵

(1)求角B的大小；

(2)求△𝐴𝐵𝐶的面积S．

22. 如图，已知⊙𝑂：𝑥2+𝑦2=1和定点𝐴(2,2)，由⊙𝑂外一点𝑃(𝑎,𝑏)向⊙𝑂引切线PQ，Q为切点，且满足|𝑃𝑄|=|𝑃𝐴|．

(Ⅰ) 求实数a，b之间满足的关系式；

(Ⅱ) 求线段PQ的最小值．

【答案与解析】

1.答案：B

解析：

【试题解析】

本题考查直线的斜率公式和二倍角公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

设直线AC的倾斜角𝛽是直线AB倾斜角𝛼的2倍，即有𝑡𝑎𝑛𝛽=𝑡𝑎𝑛2𝛼，运用两点的斜率公式和二倍角公式，解方程可得a的值．

解：设直线AC的倾斜角𝛽是直线AB倾斜角𝛼的2倍，

即有𝑡𝑎𝑛𝛽=𝑡𝑎𝑛2𝛼=2𝑡𝑎𝑛𝛼1−𝑡𝑎𝑛2𝛼，

由𝑘𝐴𝐶=1𝑎，𝑘𝐴𝐵=12，

即有1𝑎=2×121−14，

解得𝑎=34．

故选B．

2.答案：A

解析：解：选项A，等式右边=𝑎⋅𝑎2+𝑏2−𝑐22𝑎𝑏+𝑐⋅𝑏2+𝑐2−𝑎22𝑏𝑐=2𝑏22𝑏=𝑏=左边，即选项A正确；

选项B，等式右边=𝑎⋅𝑏2+𝑐2−𝑎22𝑏𝑐+𝑐⋅𝑎2+𝑏2−𝑐22𝑎𝑏≠左边，即选项B错误；

选项C，由正弦定理知，𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵=𝑐𝑠𝑖𝑛𝐶，

若选项C成立，则𝑠𝑖𝑛𝐵=𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐶+𝑠𝑖𝑛𝐶𝑠𝑖𝑛𝐴，

∵𝐴+𝐵+𝐶=𝜋，

∴𝑠𝑖𝑛𝐵=sin(𝐴+𝐶)=𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐶+𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑖𝑛𝐶，

∴𝑠𝑖𝑛𝐶=𝑐𝑜𝑠𝐶，𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑐𝑜𝑠𝐴，

∴𝐴=𝐶=𝜋4，𝐵=𝜋2， 即只有当𝐴=𝐶=𝜋4，𝐵=𝜋2时，选项C才是正确的，故并不是恒成立，选项C错误；

选项D，等式右边=𝑎⋅𝑎2+𝑏2−𝑐22𝑎𝑏−𝑐⋅𝑏2+𝑐2−𝑎22𝑏𝑐=2(𝑎2−𝑐2)2𝑏≠左边，即选项D错误．

故选：A．

根据余弦定理，对选项A，B和D中等式右边的式子进行化简，看能否恒等于左边；结合正弦定理、三角形的内角和与两角和公式可判断选项C．

本题考查解三角形，熟练运用正弦定理和余弦定理是解题的关键，属于基础题．

3.答案：A

解析：解：由正方体的平面展开图可得此正方形为𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐸𝐹𝑀𝑁，

由图可得：①②③④均正确，

故选：A．

先由正方体的平面展开图可得此正方形为𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐸𝐹𝑀𝑁，

再由图结合线面平行，面面平行的判定定理可得①②③④正确，得解，

本题考查了线面平行，面面平行的判定定理，属中档题．

4.答案：D

解析：

本题主要考查用两点式、截距式求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．

直线在坐标轴上的截距为零时，直线过原点，用两点式求得直线方程；当直线在坐标轴上的截距不为零时，设方程为𝑥+𝑦=𝑘，把点𝑀(2,2)代入，求得𝑘=4，可得直线方程，综合可得结论．

解：当直线在坐标轴上的截距为零时，直线过原点，方程为𝑦−02−0=𝑥−02−0，即𝑥=𝑦．

当直线在坐标轴上的截距不为零时，设方程为𝑥+𝑦=𝑘，

把点𝑀(2,2)代入可得2+2=𝑘，求得𝑘=4，可得直线方程为𝑥+𝑦=4．

故所求直线方程为𝑥=𝑦或𝑥+𝑦=4．

故选D．

5.答案：B

解析：解：如图，

∵∠𝐴=90°；

∴𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =0；

又𝐴𝐵=1；

∴𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ −𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ )

=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ −𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 2

=0−1

=−1．

故选：B．

可画出图形，根据条件可得到𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =0，𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 2=1，而𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ −𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ，带入𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 进行数量积的运算即可求出𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．

考查向量垂直的充要条件，向量减法的几何意义，以及向量数量积的运算．

6.答案：D

解析：

设直线方程为𝑦=𝑘𝑥，再根据圆心(0,2)到直线的距离小于等于半径，求得𝑦𝑥的取值范围．本题主要考查点到直线的距离公式，直线的斜率公式，属于基础题．

解：由题意可得，𝑦𝑥表示圆𝑥2+(𝑦−2)2=3上的点(𝑥,𝑦)与原点(0,0)连线的斜率，设为k，

故此直线方程为𝑦=𝑘𝑥，

再根据圆心(0,2)到直线的距离小于等于半径，可得2√𝑘2+1≤√3，

求得𝑘≤−√33或𝑘≥√33，故𝑦𝑥的取值范围是𝑘≤−√33或𝑘≥√33，

故选D．