高中数学第三章概率2_2建立概率模型教学案北师大版必修3

2．2建立概率模型●三维目标1．知识与技能(1)使学生进一步掌握古典概型的概率计算公式．(2)能建立概率模型解决实际问题．2．过程与方法根据本节课的内容和学生的实际水平，通过两个试验的观察让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比骰子试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题．3．情感、态度与价值观概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象．适当地增加学生合作学习交流的机会，尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例．使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是地科学态度和锲而不舍的求学精神．重点：建立概率模型解决古典概型在实际生活中的应用．难点：古典概型中比较复杂的背景问题的概率求值问题．●教学建议本节课是在学生已掌握了古典概型的定义及能够解决简单的概率求值问题的基础上学习的，教师可以例题为主线，通过学生自己动手发现问题，引导学生自主解决．●教学流程创设情境，引入新课，通过掷骰子试验建立古典概率模型⇒引导学生分析探究建立概率模型后每次试验的基本事件，掌握树状图是列举基本事件的常用方法⇒通过例1及变式训练掌握“有放回”与“不放回”的古典概型的区别及相应概率的求法与技巧⇒通过例2及变式训练掌握运用树状图解决“有序”与“无序”的古典概型的方法技巧⇒通过例3及变式训练，使学生掌握运用数形结合的方法解决所建立概率模型的技巧⇒归纳整理课堂小结，整体把握本节知识⇒完成当堂双基达标，巩固本节知识并进行反馈、矫正如何观察分析试验中的等可能结果？【提示】一次试验中的“等可能结果”实际是针对特定的观察角度而言的，例如：甲、乙、丙三名同学排成一排，计算甲站在中间的概率时，若从三个同学的站位来看，共有“甲乙丙”、“甲丙乙”、“乙甲丙”、“乙丙甲”、“丙甲乙”、“丙乙甲”六种结果，若仅从甲的站位来看，则只有三种结果，即站左边、中间或右边．1．一般来说，在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件是人为规定的．如果每次试验有一个并且只有一个基本事件出现，只要基本事件的个数是有限的，并且它们的发生是等可能的，就是一个古典概型．2．从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而所得到的古典概型的所有可能的结果数越少，问题的解决就变得越简单． 3．树状图是进行列举的一种常用方法.121 (1)若每次取出后不放回，连续取两次，求取出的产品中恰有一件是次品的概率； (2)若每次取出后又放回，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率．【思路探究】 分别利用列举法列举出可能出现的条件，找到符合要求的事件，利用概率公式求概率．【自主解答】 (1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果为(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．由6个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．事件A 由4个基本事件组成．因而P (A )＝46＝23.(2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果为(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 1)共9个基本事件．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B 表示“恰有一件次品”这一事件，则B ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．事件B 由4个基本事件组成，因而P (B )＝49.1．“有放回”与“无放回”问题的区别在于：对于某一试验，若采用“有放回”抽样，则同一个个体可能被重复抽取，而采用“不放回”抽样，则同一个个体不可能被重复抽取．2．无论是“有放回”还是“无放回”抽取，每一件产品被取出的机会都是均等的．一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上1,2,3，…，10这10个数字，今随机地抽取两个小球，如果：(1)小球是不放回的； (2)小球是有放回的．求两个小球上的数字为相邻整数的概率．【解】 设事件A ：两个小球上的数字为相邻整数．则事件A 包括的基本事件有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(10,9)，(9,8)，(8,7)，(7,6)，(6,5)，(5,4)，(4,3)，(3,2)，(2,1)共18个．(1)不放回取球时，总的基本事件数为90，故P (A )＝1890＝945＝15.(2)有放回取球时，总的基本事件为100，故P (A )＝18100＝950.图3－2－1用红、黄、蓝三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：(1)3个矩形颜色都相同的概率；(2)3个矩形颜色都不同的概率．【思路探究】由涂色的有序性可画出树状图解题．【自主解答】所有可能的基本事件共有27个，如图所示：红红红蓝黄蓝红蓝黄黄红蓝黄黄红红蓝黄蓝红蓝黄黄红蓝黄蓝红红蓝黄蓝红蓝黄黄红蓝黄(1)记“3个矩形都涂同一颜色”为事件A，由图知，事件A的基本事件有3个，故P(A)＝327＝19.(2)记“3个矩形颜色都不同”为事件B，由图知，事件B的基本事件有6个，故P(B)＝627＝29.1．本题列出全部可能的结果采用的是树状图，对于试验结果不太多的情况，都可采用此法．2．列出基本事件时要注意问题是否与顺序有关．将甲、乙两枚骰子先后各抛掷一次，a，b分别表示抛掷甲、乙两枚骰子所得的点数，若把点P(a，b)落在不等式组{x>0， y>0， x＋y≤4所表示的平面区域的事件记为A，求P(A)．【解】利用直角坐标系表示基本事件数及不等式组所表示的平面区域如图所示(阴影部分)．由图可知基本事件数为36个，落在不等式组所表示的平面区域的点共有6个，所以P(A)＝636＝16.(1)求点数之和出现7点的概率；(2)求出现两个4点的概率；(3)求点数之和能被3整除的概率．【思路探究】明确先后掷两枚骰子的基本事件总数，然后用古典概型概率计算公式求出，可借图来确定基本事件总数．【自主解答】如图所示，从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共36种．(1)记“点数之和出现7点”为事件A ，从图中可以看出事件A 包含的基本事件共6个，(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)，故P (A )＝636＝16.(2)记“出现两个4点”为事件B .从图中可以看出事件B 包含的基本事件只有1个，即(4,4)，故P (B )＝136.(3)记“点数之和能被3整除”为事件C ，则事件C 包含的基本事件共12个，(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)，故P (C )＝1236＝13.1．求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体基本事件用平面直角坐标系中的点表示，以便准确地找出某事件所包含的基本事件总数．2．数形结合能使解决问题的过程变得形象直观，给问题的解决带来方便．某乒乓球队有男乒乓球运动员4名、女乒乓球运动员3名，现要选一男一女两名运动员组成混合双打组合参加某项比赛，试列出全部可能的结果，若某女乒乓球运动员为国家一级运动员，则她参赛的概率是多少？【解】 由于男运动员从4人中任意选取，女运动员从3人中任意选取，为了得到试验的全部结果，我们设男运动员为A ，B ，C ，D ，女运动员为1,2,3，我们可以用一个“有序数对”来表示随机选取的结果．如(A,1)表示：第一次随机选取从男运动员中选取的是男运动员A ，从女运动员中选取的是女运动员1，可用列举法列出所有可能的结果．如下表所示，设“国家一级运动员参赛”为事件E .由上表可知，可能结果总数是12个．设女运动员1为国家一级运动员，她参赛的可能事件有4个，故她参赛的概率为P (E )＝412＝13.知识性错误致误设袋中有4只白球和2只黑球，现从袋中无放回地摸出2只球． (1)求这2只球都是白球的概率；(2)求这2只球中1只是白球1只是黑球的概率．【错解】 一次摸出2只球，观察结果的颜色只能是(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)3种情况．(1)用A 表示“2只球都是白球”这一事件，则A ＝{(白，白)}，所以P (A )＝13.(2)用B 表示“2只球中1只是白球1只是黑球”这一事件，则B ＝{(白，黑)}，所以P (B )＝13. 【错因分析】 在上述错解中(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)3种结果的出现不是等可能的．【防范措施】 弄清基本事件总数有哪些，注意每个基本事件的出现是等可能的． 【正解】 我们不妨把4只白球标以1,2,3,4号，2只黑球标以5,6号，则基本事件有(1,2)，(1,3)，…，(1,6)，(2,1)，(2,3)，…，(2,6)，…，(6,1)，(6,2)，…，(6,5)，共30个．(1)用A 表示“2只球都是白球”这一事件，则A ＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}共12个．所以P (A )＝1230＝25.(2)用B 表示“2只球中1只是白球1只是黑球”这一事件，则B ＝{(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)}，共16个．所以P (B )＝1630＝815.1．注意区分古典概型中有无放回及有无顺序问题．2．建立概率模型，常用列举法、列表法、树状图法求出基本事件的总数，从而解决问题．1．下列不属于古典概型的性质的是( ) A ．所有基本事件的个数是有限个 B ．每个基本事件发生的可能性相等 C ．任两个基本事件不能同时发生D ．可能有2个基本事件发生的可能性不相等【解析】 古典概型的特征之一就是每个基本事件发生的可能性相等． 【答案】 D2．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是( )A.12B.13C.14D.15【解析】 该试验共4个基本事件，所求事件包含2个基本事件，∴其概率P ＝12.【答案】 A3．从1,2,3，…，20中任取一个数，它恰好是3的倍数的概率是( ) A.320 B.14 C.310 D.15【解析】 从1,2,3，…，20中任取一个数共有20种基本事件，其中是3的倍数是3,6,9,12,15,18共6种基本事件，由古典概型概率公式得是3的倍数的概率是620＝310.【答案】 C4．一个家庭中有两个小孩，设生男还是生女是等可能的，求此家庭中两小孩均为女孩的概率．【解】 所有的基本事件是：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)共4个，均为女孩的基本事件只有1个，故此家庭中两个均为女孩的概率为P ＝14＝0.25.一、选择题1．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是( )A.15B.14C.45D.110【解析】 由古典概型的计算公式得P (A )＝810＝45.【答案】 C2．从{1,2,3,4,5}中随机选一个数为a ，从{1,2,3}中随机选一个数为b ，则b >a 的概率是( )A.45B.35C.25D.15【解析】 从{1,2,3,4,5}中随机选一个数a ，从{1,2,3}中随机选一个数b ，共有以下不同结果：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)共15种．其中满足b >a 的有(1,2)，(1,3)，(2,3)三种，所以b >a 的概率为315＝15，故选D.【答案】 D3．将一颗均匀的正方体骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b 、c ，则方程x 2＋bx ＋c ＝0有相等的实根的概率为( )A.112B.19C.136D.118【解析】 方程x 2＋bx ＋c ＝0有相等实根，故Δ＝b 2－4c ＝0即b 2＝4c .基本事件总数为6×6＝36.当b ＝4，c ＝4或b ＝2，c ＝1时，b 2＝4c 成立，故P ＝236＝118.【答案】 D4．从分别写有A ，B ，C ，D ，E 的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好按字母顺序相邻的概率是( )A.15B.25C.310D.710【解析】 从5张卡片中任取2张的基本事件总数为10，而恰好按字母顺序相邻的基本事件共有4个，故此事件的概率为410＝25.【答案】 B 5．(2013·咸阳检测)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是( )。

§2.2建立概率模型教学设计一、教材的地位和作用本节课是高中数学必修三第三章概率的第二节古典概率模型的第二课时，是在随机事件的概率之后，几何概率模型之前，学生对古典概率模型的特点有了初步的认识，对于同一个实验，建立不同的概率模型，培养学生发散思维能力，让学生体会数学文化价值，进一步深入的理解古典概率模型，为其它概率的学习奠定基础，加深对概率和随机事件的理解，体会随机事件和确定事件的不同，有利于解释生活中的一些问题。

二、学情分析：高一文科班学生，数学基础整体偏弱，其中有二十多名学生数学基础较差，优点在于学生听讲还比较认真，学习态度比较端正，因此在教学设计中，必须抓好基本概念，帮助学生理清概念内涵脉络，低起点，小步走，异步达标，对于培养优秀学生要通过课后训练来逐步实现，因此在课后配备古典概率模型核心素养检测试题。

三、教学目标1.知识与技能（1）进一步正确理解古典概率模型的两大特点，能从实际问题中识别和抽象出古典概率模型。

（2）会用列举法计算一些随机事件的基本事件及其发生的概率，进一步掌握古典概率模型的概率公式根据实际问题建立适当的概率模型解决简单的实际问题。

（3）会2.过程与方法（1）通过掷骰子问题的分析以及例2的学习，经历对同一个问题从不同的角度分析，建立不同的古典概率模型，感知应用数学解决问题的方法，发展学生提出问题，分析问题和解决问题的能力。

（2）通过模拟实验解决摸奖公平问题的过程，转化为例2用古典概率模型来解决问题，探究数学解决问题的方法。

（3）对于同一个实际问题，通过不同角度的思考，建立不同的概率模型，使问题的解决不断地简化，发展学生的发散思维能力，体验求简意识，发展学生批判性思维的能力。

3.情感态度价值观：通过本节课的学习，增强学生数学建模意识，树立学生数学应用意识，体会数学的应用价值与社会价值。

4.本节课程内容涉及的核心素养和数学文化：本节课的引入以生活中的抓阄摸奖为素材让学生体会数学源于生活，数学文化根植于我们的生活，本节课涉及到了数学建模意识（古典概率模型），数学应用、数学抽象和数学逻辑推理等。

2．2 建立概率模型知识点建立不同的古典概型[填一填]一般地，在解决实际问题中的古典概型时，对同一个古典概型，把什么看作一个基本事件(即一次试验的结果)是人为规定的，也就是从不同的角度去考虑，只要满足以下两点：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；②每个试验结果出现的可能性相同．就可以将问题转化为不同的古典概型来解决，所得可能结果越少，那么问题的解决就变得越简单．[答一答]应该从哪个角度来建立古典概型？提示：一次试验中，常常不会确定基本事件，即对于把什么看作是古典概型中的基本事件会感到困难，其突破方法是结合实例积累经验，循序渐进地掌握．例如，一枚均匀的硬币连续抛掷2次，向上的面有(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)4种等可能结果，这是一个古典概型；如果只考虑两次抛掷向上的面是否相同，那么可以认为试验只有两个结果：“向上的面相同”“向上的面一正一反”，这两个结果也是等可能的，也是古典概型；而把出现“2次正面”“2次反面”“1次正面、1次反面”当作基本事件时，就不是古典概型．由此可见，无论从什么角度来建立古典概型，都要满足古典概型的两个特征：①试验的所有可能结果只有有限个； ②每一个试验结果出现的可能性相同． 否则，建立的概率模型不是古典概型．1．古典概型是一种最基本的概型，在应用公式P (A )＝mn 时，关键是正确理解基本事件与事件A 的关系，从而求出m 、n .2．求某个随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数常用的方法是列举法(画树状图和列表)，注意做到不重不漏．3．对于用直接方法难以解决的问题，可以求其对立事件的概率，进而求得其概率，以降低难度.类型一 随机事件中基本事件数的计算【例1】 同室4人各写一张贺卡，先集中起来，则每人从中拿一张别人送出的贺卡的分配方法有多少种？【思路探究】 将四张卡片分别编号，再利用树状图列举出来．【解】 将4张贺卡编号为1,2,3,4，将4个人编号为1,2,3,4，进行不对号排列，画出如图所示的树状图，则共有9种分配方式．规律方法这是一个不对号入座问题，可以计算得3个人不对号入座的方法有2种；4个人不对号入座的方法有9种．一个袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，从中先后取出2个球，共有多少种不同的结果？解：解法一：从袋中先后取出2个球，如记(红，白)表示从袋中先取出红球，再取出白球，则所有可能的结果为共有12种不同的结果．解法二：画树状图如图．共有12种不同的结果．类型二 概率模型的建立【例2】 抛掷两枚质地均匀的骰子，求： (1)点数之和是7的概率； (2)出现两个4点的概率．【思路探究】 首先找出所有基本事件，然后利用古典概型的概率公式进行计算． 【解】 作图如下，从图中容易看出，所有基本事件与点集S ＝{(x ，y )|x ∈N *，y ∈N *,1≤x ≤6,1≤y ≤6}中的元素一一对应．因为S 中点的总数是6×6＝36个，所以基本事件总数n ＝36.(1)记“点数之和为7”为事件A ，从图中可看到事件A 包含的基本事件共6个：(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)．所以P (A )＝636＝16.(2)记“出现两个4点”为事件B ，从图中可看到事件B 包含的基本事件只有1个：(4,4)．所以P (B )＝136.规律方法 从不同的角度把握问题，进而转化为不同的古典概型，这是我们进行概率计算的重要思想．当所选取的试验可能出现的结果的角度不同时，基本事件的个数也将不同，但是最终所求概率的值是确定的．在建立古典概型时：(1)要尽可能使所有可能出现的结果较少，以便使问题的解决更加简单；(2)建立概率模型时，要求后面所研究的事件都能轻易地表示成若干个基本事件的和．任取一个正整数，求该数的平方值的末位数字是1的概率．解：因为正整数的个数是无限的，所以不属于古典概型．但是一个正整数的平方值的末位数字只取决于该正整数的末位数字，而正整数的末位数字是0,1,2，…，9中的任意一个数字．现任取一个正整数，0,1,2，…，9这10个数字在该正整数的末位是等可能出现的，因此所有的基本事件为0,1,2，…，9，共10个．而任取一个正整数，且该数的平方值的末位数字是1的事件有：1,9，共2个．故所求概率为210＝15.类型三 概率的综合应用【例3】 (1)从含有两件正品a 1、a 2和一件次品b 1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品恰有一件次品的概率．(2)从含有两件正品a 1、a 2和一件次品b 1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后放回，连续取两次，求取出的两件产品恰有一件次品的概率．【思路探究】 因为取得产品中有一件次品，故可以把事件写出来，直接判断即可． 【解】 (1)每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其可能的结果组成的基本事件有6个，即(a 1，a 2)，(a 2，a 1)，(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．用A 表示“取出的两件产品中，恰好有一件次品”这一事件，则事件A 由4个基本事件组成，因而，P (A )＝46＝23.(2)有放回地连续取出两件，其可能的结果有：(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 1)，由9个基本事件组成，由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B 表示“恰有一件次品”这一事件，则事件B 包含4个基本事件，因而，P (B )＝49.规律方法 注意区分“放回”与“不放回”的区别．无放回取球时，取一次少一个球，每次的取法数递减1；有放回取球时，每一次的取法数不发生改变．一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上1,2，3，…，10这10个数字，今随机地抽取两个小球，如果：(1)小球是不放回的． (2)小球是有放回的．求两个小球上的数字为相邻整数的概率．解：事件A ＝{两个小球上的数字为相邻整数}，则A ＝{(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(10,9)，(9,8)，(8,7)，(7,6)，(6,5)，(5,4)，(4,3)，(3,2)，(2,1)}，故m A ＝18.(1)不放回取球时，总的基本事件数n ＝10×9＝90. 故P (A )＝1890＝15(2)有放回取球时，总的基本事件数n ＝10×10＝100. 故P (A )＝18100＝950.——易错警示——因忽略古典概型中等可能性的判断而出错【例4】 任意投掷两枚骰子，计算： (1)“出现的点数相同”的概率； (2)“出现的点数之和为奇数”的概率； (3)“出现的点数之和为偶数”的概率．【错解】 (1)点数相同是指同为1点，2点，…，6点，其中之一的概率是16.(2)点数之和为奇数，可取3、5、7、9、11共5种，所以“出现的点数之和为奇数”的概率为55＋6＝511.(3)点数之和为偶数，可取2、4、6、8、10、12共6种，所以“点数之和为偶数”的概率为611.【错解分析】 (1)的错误在于改变了原事件的含义，原事件是要求在投掷的所有结果中出现点数同为1,2,3,4,5,6的概率，而不是点数相同时，其中之一的概率；(2)(3)中给出的点数之和为奇数与偶数的11种情况不是等可能事件，如点数之和为2只出现一次：(1,1)，点数之和为3，则出现两次：(2,1)、(1,2)．【正解】 (1)任意投掷两枚骰子，可看成等可能事件，其结果可表示为数组(i ，j )(i ，j ＝1,2，…，6)，其中两个数i ，j 分别表示两枚骰子出现的点数，共有6×6＝36(种)结果，其中点数相同的数组为(i ，j )(i ＝j ＝1,2，…，6)共有6种结果，故“出现的点数相同”的概率为636＝16. (2)由于每个骰子上有奇、偶数各3个，而按第1、第2个骰子的点数顺次写时，有(奇、奇)、(奇，偶)、(偶、奇)、(偶、偶)这四种等可能结果，所以“其和为奇数”的概率为P ＝24＝12. (3)由于骰子各有3个偶数，3个奇数，因此“点数之和为偶数”、“点数之和为奇数”这两个结果等可能，且为对立事件，所以“点数之和为偶数”的概率为P ＝1－P (“点数之和为奇数”)＝1－12＝12.【纠错心得】 古典概型必须具备两个条件：(1)有限性(即指试验中所有可能发生的基本事件只有有限个)； (2)等可能性(即指每个基本事件发生的可能性相等)．判断一个事件是否为古典概型，同学们只要紧紧抓住这两个条件，即可得出正确结论．从装有编号分别为a ，b 的2个黄球和编号分别为c ，d 的2个红球的袋中无放回地摸球，每一次任摸一球，求：(1)第1次摸到黄球的概率； (2)第2次摸到黄球的概率．解：(1)第1次摸球有4个可能的结果：a ，b ，c ，d ，其中第1次摸到黄球的结果包括：a ，b ，故第1次摸到黄球的概率是24＝0.5.(2)先后两次摸球有12种可能的结果：(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(b ，a )，(b ，c )，(b ，d )，(c ，a )，(c ，b )，(c ，d )，(d ，a )，(d ，b )，(d ，c )，其中第2次摸到黄球的结果包括：(a ，b )，(b ，a )，(c ，a )，(c ，b )，(d ，a )，(d ，b )，故第2次摸到黄球的概率为612＝0.5.一、选择题1．抛掷一只骰子，落地时向上的点数是5的概率是( D ) A.13 B.14 C.15D.16解析：掷一次骰子相当于做一次试验，因为骰子是均匀的，它有6个面，每个面朝上的机会是相等的，故出现5点的可能性是16.2．将一枚质地均匀的硬币先后抛三次，恰好出现一次正面朝上的概率为( C ) A.12 B.14 C.38D.58解析：总事件数为8个，分别为：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．“恰好出现1次正面朝上”的事件为事件A ，包括(正，反，反)，(反，正，反)和(反，反，正)3个．所以，所求事件的概率为38.3．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线x ＋y ＝5下方的概率为( A )A.16B.14C.112D.19解析：试验是连掷两次骰子．共包含6×6＝36个基本事件，事件“点P 在直线x ＋y ＝5下方”，共包含(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)6个基本事件，故P ＝636＝16.二、填空题4．从含有三件正品和一件次品的4件产品中不放回地任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是12.解析：从4件产品中不放回的任取两件，共有基本事件总数为4×3÷2＝6.取出的两件中恰有一件次品，则另一件为正品包括1×3＝3(种)可能结果，故恰有一件次品的概率为36＝12.5．袋中有2个白球，2个黑球，从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是56.解析：设白球为白1，白2，黑球为黑1，黑2，从中摸出2个球的所有情况为白1白2；白1黑1；白1黑2；白2黑1；白2黑2；黑1黑2，共6种，其中至少摸出1个黑球有5种情况，故P ＝56.。

3.2.2 建立概率模型1．进一步掌握古典概型的概率计算公式．(重点) 2．对于一个实际问题，尝试建立不同的概率模型来解决．(重点、难点)[基础·初探]教材整理概率模型阅读教材P134～P137“思考交流”以上部分，完成下列问题．由概率模型认识古典概型(1) 一般来说，在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件是人为规定的．如果每次试验有一个并且只有一个基本事件出现，只要基本事件的个数是有限的，并且它们的发生是，就是一个古典概型．等可能的去考虑一个实际问题，可以(2)从不同的角度来解决，而所古典概型将问题转化为不同的得到的古典概型的所有可能的结果数越少，问题的解决就变得越简单．(3)树状图是进行列举的一种常用方法．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)古典概型中所有的基本事件的个数是有限个．( )(2)树状图是进行列举的一种常用方法．( )(3)在建立概率模型时，所得的结果越少，问题越复杂．( )(4)计算基本事件总数和事件A所包含的基本事件的个数时，所选择的观察角度必须统一．( )【解析】(1)√，由古典概型的特征知(1)正确．(2)√，用树状图进行列举直观形象．(3)×，结果越多问题就越复杂．(4)√，由古典概型的概率公式易知正确．【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√[小组合作型]121.【导学号：63580037】(1)若每次取出后不放回，连续取两次，求取出的产品中恰有一件是次品的概率；(2)若每次取出后又放回，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率．【精彩点拨】 利用列举法列举出所有可能出现的事件，找到符合要求的事件，利用概率公式求概率．【自主解答】 (1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果为(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．由6个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．事件A 由4个基本事件组成．因而P (A )＝46＝23. (2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果为(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 1)共9个基本事件．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B 表示“恰有一件次品”这一事件，则B ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．事件B 由4个基本事件组成，因而P (B )＝49.1．“有放回”与“无放回”问题的区别在于：对于某一试验，若采用“有放回”抽样，则同一个个体可能被重复抽取，而采用“不放回”抽样，则同一个个体不可能被重复抽取． 2．无论是“有放回”还是“无放回”抽取，每一件产品被取出的机会都是均等的．[再练一题]1．一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共24个，除颜色外其他特征完全相同，已知蓝色球3个．若从袋子中随机取出1个球，取到红色球的概率是16.。

2．2 建立概率模型学习目标 1.能建立概率模型解决简单的实际问题.2.能认识和理解对于同一个随机试验，可以根据需要来建立我们需要的概率模型.3.学会选用比较简单、适用的概率模型解决实际生活中有关概率的问题．知识点一基本事件的相对性思考掷一粒均匀的骰子，计算“向上的点数为奇数”的概率，可以怎样规定基本事件？梳理一般地，在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件(即一个试验结果)是人为规定的，如果每次试验有一个并且只有一个基本事件出现．只要基本事件的个数是________，并且它们的发生是____________，就是一个古典概型．知识点二同一问题的不同概率模型思考在“知识点一”的思考中，规定不同的基本事件，“向上的点数为奇数”的概率分别是多少？相等吗？梳理从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的__________来解决，而所得到的________的所有可能结果越少，问题的解决就变得越________．类型一基本事件的相对性例1 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．反思与感悟“有放回”与“不放回”问题的区别在于：对于某一试验，若采用“有放回”抽样，则同一个个体可能被重复抽取，而采用“不放回”抽样，则同一个个体不可能被重复抽取．跟踪训练1 一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上1,2,3，…，10这10个数字，今随机地抽取两个小球，如果：(1)小球是不放回的；(2)小球是有放回的．求两个小球上的数字为相邻整数的概率．类型二概率模型的多角度构建例2 口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一个球．试计算第二个人摸到白球的概率．反思与感悟 当事件个数没有很明显的规律，并且涉及的基本事件又不是太多时，我们可借助树状图直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法．树状图可以清晰准确地列出所有的基本事件，并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况．另外，如果试验结果具有对称性，可简化结果更利于模型的建立与解答．跟踪训练2 假设有5个条件很类似的女孩，把她们分别记为A 、C 、J 、K 、S ，她们应聘秘书工作，但只有3个秘书职位，因此5人中仅有3人被录用，如果5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率： (1)女孩K 得到一个职位； (2)女孩K 和S 各自得到一个职位．1．有红心1,2,3和黑桃4,5这5张扑克，将牌正面向下置于桌上，现从中任意抽取一张，那么抽到的牌为红心的概率为( ) A.35 B.25 C.15 D.452．某农科院在2×2的4块试验田中选出2块种植某品种水稻进行试验，则每行每列都有一块试验田种植水稻的概率为( )A.23B.12C.16D.133．从含有3个元素的集合的所有子集中任取一个，所取的子集是含有2个元素的集合的概率是( )A.310B.112C.4564D.384．从甲、乙、丙、丁4名同学中选出3人参加数学竞赛，其中甲不被选中的概率为( ) A.14 B.13 C.12 D.345．下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的概率为________.1．对同一个概率问题，如果从不同的角度去考虑，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而得到古典概型的所有可能的结果越少，问题的解决就越简单．因而在平时的学习中要多积累从不同的角度解决问题的方法，逐步达到活用． 2．基本事件总数的确定方法：(1)列举法：此法适合于较简单的试验，就是把基本事件一一列举出来；(2)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适合较复杂问题中基本事件数的探求； (3)列表法：列表法也是列举法的一种，这种方法能够清楚地显示基本事件的总数，不会出现重复或遗漏；(4)分析法：分析法能解决基本事件总数较大的概率问题．3．在计算基本事件的总数时，由于分不清“有序”和“无序”，因而常常导致出现“重算”或“漏算”的错误．解决这一问题的有效方法是交换次序，看是否对结果有影响，并合理使用分步法．答案精析问题导学 知识点一思考 可以规定向上的点数为1,2,3,4,5,6共6个基本事件；也可以规定“向上的点数为奇数”、“向上的点数为偶数”共2个基本事件． 梳理有限的 等可能的 知识点二思考 若按6个基本事件，“向上的点数为奇数”有3个基本事件，故概率为36＝12；若按2个基本事件，则概率为12，两种方法结果相同．梳理古典概型 古典概型 简单 题型探究例1 解 每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．总的事件个数为6，而且可以认为这些基本事件是等可能的．用A 表示“取出的两件中恰有一件次品”，这一事件，所以A ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．因为事件A 由4个基本事件组成，所以P (A )＝46＝23.跟踪训练1 解 设事件A ：两个小球上的数字为相邻整数．则事件A 包括的基本事件有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(10,9)，(9,8)，(8,7)，(7,6)，(6,5)，(5,4)，(4,3)，(3,2)，(2,1)共18个． (1)不放回取球时，总的基本事件数为90，故P (A )＝1890＝15.(2)有放回取球时，总的基本事件数为100，故P (A )＝18100＝950.例2 解 方法一 需要找出4个人按顺序依次摸球的所有可能结果数和第二个人摸到白球的可能结果数．解题过程如下：用A 表示事件“第二个人摸到白球”，把2个白球编上序号1,2；2个黑球也编上序号1,2.于是，4个人按顺序依次从袋中摸出一个球的所有可能结果，可用树状图直观地表示出来如图：由图可知，试验的所有可能结果数是24，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以，这24种结果出现的可能性相同，其中，第二个人摸到白球的结果有12种，故第二个人摸到白球的概率为P (A )＝1224＝12.方法二 把2个白球编上序号1、2，两个黑球也编上序号1、2,4个人按顺序依次从袋中摸出一球，前两人摸出的球的所有可能的结果如图所示：由图可知，试验的所有结果数是12，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以这12种结果出现的可能性相同，其中，第二个人摸到白球的结果有6种，故第二个人摸到白球的概率为P (A )＝612＝12.方法三 由于4个球除颜色外完全相同，如果对2个白球不加区别，对2个黑球也不加区别，4个人按顺序依次从袋中摸出一球，所有可能的结果如图所示：由图可知，试验的所有结果数是6，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以这6种结果出现的可能性相同，其中，第二个人摸到白球的结果有3种，故第二个人摸到白球的概率为P (A )＝36＝12.方法四 只考虑第二个人摸出的球的情况．第二个人可能摸到口袋中的任何一个，共4种结果，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以这4种结果出现的可能性相同，其中，摸到白球的结果有2种，故第二个人摸到白球的概率为P (A )＝24＝12.跟踪训练2 解 5个人仅有3人被录用结果共有10种，如图所示，由于5个人被录用的机会相等，所以这10种结果出现的可能性相同．(1)女孩K 被录用的结果有6种，所以她得到一个职位的概率为35.(2)女孩K 和S 都被录用的结果有3种，所以K 和S 各自得到一个职位的概率为310. 当堂训练1．A [从5张牌中任抽一张，共有5种可能的结果，抽到红心的可能结果有3个．∴P ＝35.]2．D [如图给4块试验田分别标号A1、A2、B 1、B 2.基本事件为(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(B 1，B 2)共6种基本事件，其中“每行每列都有一块试验田种植水稻”(记为事件A )的基本事件有(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，共2个． ∴P (A )＝26＝13，故选D.]3．D [设3个元素为a ，b ，c ，则所有子集共8个，∅，{a }，{b }，{c }，{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }，{a ，b ，c }，含2个元素的子集共3个，故所求概率为38.]4．A [基本事件有甲乙丙，甲乙丁，甲丙丁，乙丙丁，共4个．甲不被选中的事件为乙丙丁，∴P ＝14.]5．0.4 [10个数据落在区间[22,30)内的数据有22,22,27,29，共4个，因此，所求的频率为410＝0.4.]。

2．2 建立概率模型知识点建立不同的古典概型[填一填]一般地，在解决实际问题中的古典概型时，对同一个古典概型，把什么看作一个基本事件(即一次试验的结果)是人为规定的，也就是从不同的角度去考虑，只要满足以下两点：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；②每个试验结果出现的可能性相同．就可以将问题转化为不同的古典概型来解决，所得可能结果越少，那么问题的解决就变得越简单．[答一答]应该从哪个角度来建立古典概型？提示：一次试验中，常常不会确定基本事件，即对于把什么看作是古典概型中的基本事件会感到困难，其突破方法是结合实例积累经验，循序渐进地掌握．例如，一枚均匀的硬币连续抛掷2次，向上的面有(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)4种等可能结果，这是一个古典概型；如果只考虑两次抛掷向上的面是否相同，那么可以认为试验只有两个结果：“向上的面相同”“向上的面一正一反”，这两个结果也是等可能的，也是古典概型；而把出现“2次正面”“2次反面”“1次正面、1次反面”当作基本事件时，就不是古典概型．由此可见，无论从什么角度来建立古典概型，都要满足古典概型的两个特征：①试验的所有可能结果只有有限个；②每一个试验结果出现的可能性相同．否则，建立的概率模型不是古典概型．1．古典概型是一种最基本的概型，在应用公式P (A )＝mn 时，关键是正确理解基本事件与事件A 的关系，从而求出m 、n .2．求某个随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数常用的方法是列举法(画树状图和列表)，注意做到不重不漏．3．对于用直接方法难以解决的问题，可以求其对立事件的概率，进而求得其概率，以降低难度.类型一 随机事件中基本事件数的计算【例1】 同室4人各写一张贺卡，先集中起来，则每人从中拿一张别人送出的贺卡的分配方法有多少种？【思路探究】 将四张卡片分别编号，再利用树状图列举出来．【解】 将4张贺卡编号为1,2,3,4，将4个人编号为1,2,3,4，进行不对号排列，画出如图所示的树状图，则共有9种分配方式．规律方法 这是一个不对号入座问题，可以计算得3个人不对号入座的方法有2种；4个人不对号入座的方法有9种．一个袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，从中先后取出2个球，共有多少种不同的结果？解：解法一：从袋中先后取出2个球，如记(红，白)表示从袋中先取出红球，再取出白球，则所有可能的结果为共有12种不同的结果．解法二：画树状图如图．共有12种不同的结果．类型二概率模型的建立【例2】抛掷两枚质地均匀的骰子，求：(1)点数之和是7的概率；(2)出现两个4点的概率．【思路探究】首先找出所有基本事件，然后利用古典概型的概率公式进行计算．【解】作图如下，从图中容易看出，所有基本事件与点集S＝{(x，y)|x∈N*，y∈N*,1≤x≤6,1≤y≤6}中的元素一一对应．因为S中点的总数是6×6＝36个，所以基本事件总数n＝36.(1)记“点数之和为7”为事件A，从图中可看到事件A包含的基本事件共6个：(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)．所以P (A )＝636＝16.(2)记“出现两个4点”为事件B ，从图中可看到事件B 包含的基本事件只有1个：(4,4)．所以P (B )＝136.规律方法 从不同的角度把握问题，进而转化为不同的古典概型，这是我们进行概率计算的重要思想．当所选取的试验可能出现的结果的角度不同时，基本事件的个数也将不同，但是最终所求概率的值是确定的．在建立古典概型时：(1)要尽可能使所有可能出现的结果较少，以便使问题的解决更加简单；(2)建立概率模型时，要求后面所研究的事件都能轻易地表示成若干个基本事件的和．任取一个正整数，求该数的平方值的末位数字是1的概率．解：因为正整数的个数是无限的，所以不属于古典概型．但是一个正整数的平方值的末位数字只取决于该正整数的末位数字，而正整数的末位数字是0,1,2，…，9中的任意一个数字．现任取一个正整数，0,1,2，…，9这10个数字在该正整数的末位是等可能出现的，因此所有的基本事件为0,1,2，…，9，共10个．而任取一个正整数，且该数的平方值的末位数字是1的事件有：1,9，共2个．故所求概率为210＝15.类型三 概率的综合应用【例3】 (1)从含有两件正品a 1、a 2和一件次品b 1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品恰有一件次品的概率．(2)从含有两件正品a 1、a 2和一件次品b 1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后放回，连续取两次，求取出的两件产品恰有一件次品的概率．【思路探究】 因为取得产品中有一件次品，故可以把事件写出来，直接判断即可． 【解】 (1)每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其可能的结果组成的基本事件有6个，即(a 1，a 2)，(a 2，a 1)，(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．用A 表示“取出的两件产品中，恰好有一件次品”这一事件，则事件A 由4个基本事件组成，因而，P (A )＝46＝23.(2)有放回地连续取出两件，其可能的结果有：(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 1)，由9个基本事件组成，由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B 表示“恰有一件次品”这一事件，则事件B 包含4个基本事件，因而，P (B )＝49.规律方法 注意区分“放回”与“不放回”的区别．无放回取球时，取一次少一个球，每次的取法数递减1；有放回取球时，每一次的取法数不发生改变．一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上1,2，3，…，10这10个数字，今随机地抽取两个小球，如果：(1)小球是不放回的． (2)小球是有放回的．求两个小球上的数字为相邻整数的概率．解：事件A ＝{两个小球上的数字为相邻整数}，则A ＝{(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(10,9)，(9,8)，(8,7)，(7,6)，(6,5)，(5,4)，(4,3)，(3,2)，(2,1)}，故m A ＝18.(1)不放回取球时，总的基本事件数n ＝10×9＝90. 故P (A )＝1890＝15(2)有放回取球时，总的基本事件数n ＝10×10＝100. 故P (A )＝18100＝950.——易错警示——因忽略古典概型中等可能性的判断而出错【例4】 任意投掷两枚骰子，计算： (1)“出现的点数相同”的概率； (2)“出现的点数之和为奇数”的概率； (3)“出现的点数之和为偶数”的概率．【错解】 (1)点数相同是指同为1点，2点，…，6点，其中之一的概率是16.(2)点数之和为奇数，可取3、5、7、9、11共5种，所以“出现的点数之和为奇数”的概率为55＋6＝511.(3)点数之和为偶数，可取2、4、6、8、10、12共6种，所以“点数之和为偶数”的概率为611.【错解分析】 (1)的错误在于改变了原事件的含义，原事件是要求在投掷的所有结果中出现点数同为1,2,3,4,5,6的概率，而不是点数相同时，其中之一的概率；(2)(3)中给出的点数之和为奇数与偶数的11种情况不是等可能事件，如点数之和为2只出现一次：(1,1)，点数之和为3，则出现两次：(2,1)、(1,2)．【正解】 (1)任意投掷两枚骰子，可看成等可能事件，其结果可表示为数组(i ，j )(i ，j ＝1,2，…，6)，其中两个数i ，j 分别表示两枚骰子出现的点数，共有6×6＝36(种)结果，其中点数相同的数组为(i ，j )(i ＝j ＝1,2，…，6)共有6种结果，故“出现的点数相同”的概率为636＝16. (2)由于每个骰子上有奇、偶数各3个，而按第1、第2个骰子的点数顺次写时，有(奇、奇)、(奇，偶)、(偶、奇)、(偶、偶)这四种等可能结果，所以“其和为奇数”的概率为P ＝24＝12. (3)由于骰子各有3个偶数，3个奇数，因此“点数之和为偶数”、“点数之和为奇数”这两个结果等可能，且为对立事件，所以“点数之和为偶数”的概率为P ＝1－P (“点数之和为奇数”)＝1－12＝12.【纠错心得】 古典概型必须具备两个条件：(1)有限性(即指试验中所有可能发生的基本事件只有有限个)； (2)等可能性(即指每个基本事件发生的可能性相等)．判断一个事件是否为古典概型，同学们只要紧紧抓住这两个条件，即可得出正确结论．从装有编号分别为a ，b 的2个黄球和编号分别为c ，d 的2个红球的袋中无放回地摸球，每一次任摸一球，求：(1)第1次摸到黄球的概率； (2)第2次摸到黄球的概率．解：(1)第1次摸球有4个可能的结果：a ，b ，c ，d ，其中第1次摸到黄球的结果包括：a ，b ，故第1次摸到黄球的概率是24＝0.5.(2)先后两次摸球有12种可能的结果：(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(b ，a )，(b ，c )，(b ，d )，(c ，a )，(c ，b )，(c ，d )，(d ，a )，(d ，b )，(d ，c )，其中第2次摸到黄球的结果包括：(a ，b )，(b ，a )，(c ，a )，(c ，b )，(d ，a )，(d ，b )，故第2次摸到黄球的概率为612＝0.5.一、选择题1．抛掷一只骰子，落地时向上的点数是5的概率是( D ) A.13 B.14 C.15D.16解析：掷一次骰子相当于做一次试验，因为骰子是均匀的，它有6个面，每个面朝上的机会是相等的，故出现5点的可能性是16.2．将一枚质地均匀的硬币先后抛三次，恰好出现一次正面朝上的概率为( C ) A.12 B.14 C.38D.58解析：总事件数为8个，分别为：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．“恰好出现1次正面朝上”的事件为事件A ，包括(正，反，反)，(反，正，反)和(反，反，正)3个．所以，所求事件的概率为38.3．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线x ＋y ＝5下方的概率为( A )A.16B.14C.112D.19解析：试验是连掷两次骰子．共包含6×6＝36个基本事件，事件“点P 在直线x ＋y ＝5下方”，共包含(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)6个基本事件，故P ＝636＝16.二、填空题4．从含有三件正品和一件次品的4件产品中不放回地任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是12.解析：从4件产品中不放回的任取两件，共有基本事件总数为4×3÷2＝6.取出的两件中恰有一件次品，则另一件为正品包括1×3＝3(种)可能结果，故恰有一件次品的概率为36＝12.5．袋中有2个白球，2个黑球，从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是56.解析：设白球为白1，白2，黑球为黑1，黑2，从中摸出2个球的所有情况为白1白2；白1黑1；白1黑2；白2黑1；白2黑2；黑1黑2，共6种，其中至少摸出1个黑球有5种情况，故P ＝56.。