天津市红桥区2021届新高考第四次大联考数学试卷含解析

天津市红桥区2021届新高考数学第四次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）A ．1213B ．1314C ．2129D ．1415【答案】C 【解析】 【分析】由题意知：2BC =，'5B C =，设AC x =，则2AB AB x '==+，在Rt ACB 'V 中，列勾股方程可解得x ，然后由P 2xx =+得出答案. 【详解】解：由题意知：2BC =，'5B C =，设AC x =，则2AB AB x '==+ 在Rt ACB 'V 中，列勾股方程得：()22252x x +=+，解得214x =所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为21214P 2122924x x ===++ 故选C. 【点睛】本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题.2．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，56104a a a +=+，则21S =（ ） A ．7 B ．14C ．28D ．84【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式，可求解得到114a =，利用求和公式和等差中项的性质，即得解 【详解】56104a a a +=+Q ，111111465a d a d a d ∴+-=-+-解得114a =．121211121()21842a a S a +∴===．故选：D 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、求和公式和等差中项，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.3．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆的面为S ，且()22a b c =+-，则sin 4C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．2C ．4D ．4【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出C 的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可． 【详解】解：由()22a b c =+-，得2221sin 22ab C a b c ab =+-+，∵ 2222cos a b c ab C +-=，∴ sin 2cos 2C ab C ab =+，cos 1C C -=即2sin 16C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵ 0C π<<，∴ 5666C πππ-<-<， ∴ 66C ππ-=，即3C π=，则sin sin sin cos cos sin 4343434C πππππππ⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12 故选D ． 【点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出C 的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．4．在四面体P ABC -中，ABC V 为正三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，则四面体P ABC -的体积为（ ）A ．B ．C ．24D ．【答案】A 【解析】 【分析】推导出PB BC ⊥，分别取BC PC ，的中点,D E ,连结,,AD AE DE ，则,,AD BC AE PC DE BC ⊥⊥⊥，推导出AE DE ⊥，从而⊥平面AE PBC ，进而四面体P ABC -的体积为13P ABC A PBC PBC V V S AE --==⋅⋅V ，由此能求出结果. 【详解】解： Q 在四面体P ABC -中，ABC V 为等边三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，222PB BC PC ∴+=，PB BC ∴⊥，分别取BC PC ，的中点,D E ，连结,,AD AE DE ， 则,,AD BC AE PC DE BC ⊥⊥⊥，且AD 4DE AE ===，，222AE DE AD ∴+=，AE DE ∴⊥，PC DE E PC =⊂Q I ，平面PBC ，DE ⊂平面PBC ，∴⊥平面AE PBC ，∴四面体P ABC -的体积为：13P ABC A PBC PBC V V S AE --==⋅⋅V1111=86118113232PB BC AE ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=.故答案为：811. 【点睛】本题考查四面体体积的求法，考查空间中线线，线面，面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力. 5．在ABC ∆中，30C =︒，2cos 3A =-，152AC =-，则AC 边上的高为（ ） A ．5 B ．2C ．5D ．152【答案】C 【解析】 【分析】结合正弦定理、三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，求得BC 边长，由此求得AC 边上的高. 【详解】过B 作BD CA ⊥，交CA 的延长线于D .由于2cos 3A =-，所以A 为钝角，且25sin 1cos 3A A =-=，所以()()sin sin sin CBA CBA A C π∠=-∠=+5321152sin cos cos sin 32326A C A C -=+=⨯-⨯=.在三角形ABC 中，由正弦定理得sin sin a b A B=，即1525152-=-，所以25BC =.在Rt BCD ∆中有1sin 2552BD BC C ==⨯=，即AC 边上的高为5. 故选：C【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，属于中档题. 6．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“- ”当作数字“1”，把阴爻“--”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：卦名 符号表示的二进制数 表示的十进制数 坤000震 001 1坎 010 2 兑0113依此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“ ”表示的十进制数是（ ） A ．18 B ．17C ．16D ．15【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知“屯”卦符号“”表示二进制数字010001，将其转化为十进制数即可.【详解】由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“”表示二进制数字010001，转化为十进制数的计算为1×20+1×24=1． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查数制是转化，新定义知识的应用等，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的一个焦点为F （c,0）（c ＞0）5的一条渐近线被圆x 2+y 2﹣2cx ＝0截得的弦长为5 ）A ．221205x y -=B ．22125100x y -=C ．221520x y -=D ．221525x y -=【答案】C 【解析】 【分析】由题得5c a =2225b c a b ==-+222+=a b c ，联立解方程组即可得25a =，220b =，进而得出双曲线方程. 【详解】由题得ce a== ① 又该双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，且被圆x 2+y 2﹣2cx ＝0截得的弦长为b == ②又222+=a b c ③ 由①②③可得：25a =，220b =，所以双曲线的标准方程为221520x y -=.故选：C 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，圆的方程的有关计算，考查了学生的计算能力.8．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取得最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A1 B1C．12D．12【答案】B 【解析】 【分析】设(),P x y ，利用两点间的距离公式求出m 的表达式，结合基本不等式的性质求出m 的最大值时的P 点坐标，结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可. 【详解】设(),P x y ，因为A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，所以()()0,1,0,1A F -， 则PA m PF====当0y =时，1m =，当0y >时，m ==≤= 当且仅当1y =时取等号，∴此时()2,1P ±，2PA PF ==，Q 点P 在以,A F 为焦点的椭圆上，22c AF ==，∴由椭圆的定义得22a PA PF =+=，所以椭圆的离心率212c c e a a ====，故选B. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．9．复数z 满足()11z i -=，则复数z 等于（） A ．1i - B ．1i +C ．2D ．-2【答案】B 【解析】 【分析】通过复数的模以及复数的代数形式混合运算，化简求解即可. 【详解】复数z 满足()112z i -==， ∴()()()2121111i z i i i i +===+--+， 故选B. 【点睛】本题主要考查复数的基本运算，复数模长的概念，属于基础题． 10．下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是（ ） A ．正方体 B ．球体C ．圆锥D ．长宽高互不相等的长方体【答案】C 【解析】 【分析】根据基本几何体的三视图确定． 【详解】正方体的三个三视图都是相等的正方形，球的三个三视图都是相等的圆，圆锥的三个三视图有一个是圆，另外两个是全等的等腰三角形，长宽高互不相等的长方体的三视图是三个两两不全等的矩形． 故选：C ． 【点睛】本题考查基本几何体的三视图，掌握基本几何体的三视图是解题关键． 11．已知等差数列{}n a 中，468a a +=则34567a a a a a ++++=（ ） A ．10 B ．16C ．20D ．24【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列性质得到46582a a a +==，再计算得到答案. 【详解】已知等差数列{}n a 中，4655824a a a a +==⇒=345675520a a a a a a ++++==故答案选C 【点睛】本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型.12．设i 为虚数单位，若复数(1)22z i i -=+，则复数z 等于( ) A ．2i - B ．2iC ．1i -+D ．0【答案】B 【解析】 【分析】根据复数除法的运算法则，即可求解. 【详解】22(1)22,21iz i i z i i+-=+==-. 故选:B. 【点睛】本题考查复数的代数运算，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

天津市红桥区2021届新高考四诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线与抛物线在第一象限交于点A ，与准线在第三象限交于点B ，过点A 作准线的垂线，垂足为H .若tan 2AFH ∠=，则AF BF=（ ）A ．54B ．43C ．32D ．2【答案】C 【解析】 【分析】需结合抛物线第一定义和图形，得AFH V 为等腰三角形，设准线与x 轴的交点为M ，过点F 作FC AH ⊥，再由三角函数定义和几何关系分别表示转化出()cos 2pBF πα=-，()tan sin 2p AF απα=-，结合比值与正切二倍角公式化简即可【详解】如图，设准线与x 轴的交点为M ，过点F 作FC AH ⊥.由抛物线定义知AF AH =， 所以AHF AFH α∠=∠=，2FAH OFB πα∠=-=∠，()()cos 2cos 2MF pBF παπα==--，()()()tan tan sin 2sin 2sin 2CF CH p AF ααπαπαπα===---，所以()2tan tan tan 13tan 2tan 222AFBF αααπαα-====--.故选：C 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，三角函数的性质，数形结合思想，转化与化归思想，属于中档题 2．若()12nx -的二项展开式中2x 的系数是40，则正整数n 的值为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B 【解析】 【分析】先化简()12n x -的二项展开式中第1r +项()112rrn r r n T C x -+=⋅⋅-，然后直接求解即可【详解】()12nx -的二项展开式中第1r +项()112r r n r r n T C x -+=⋅⋅-.令2r =，则()2232n T C x =⋅-，∴2440n C =，∴4n =-（舍）或5n =. 【点睛】本题考查二项展开式问题，属于基础题 3．关于函数()sin 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，下列叙述正确的是（ ） A ．单调递增 B ．单调递减C ．先递减后递增D ．先递增后递减【答案】C 【解析】 【分析】先用诱导公式得()sin cos 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再根据函数图像平移的方法求解即可. 【详解】函数()sin cos 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移3π个单位得到,如图所示,()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增.故选：C 【点睛】本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题.4．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了100GW ，达到114.6GW ，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息，正确的统计结论是（ ）A ．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B ．10年来全球新增装机容量连年攀升C ．10年来中国新增装机容量平均超过20GWD ．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过13【答案】D 【解析】 【分析】先列表分析近10年全球风力发电新增装机容量，再结合数据研究单调性、平均值以及占比，即可作出选择. 【详解】 年份 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 累计装机容量 158.1 197.2 237.8 282.9 318.7 370.5 434.3 489.2 542.7 594.1 新增装机容量39.140.645.135.851.863.854.953.551.4中国累计装机装机容量逐年递增，A 错误；全球新增装机容量在2015年之后呈现下降趋势，B 错误；经计算，10年来中国新增装机容量平均每年为19.77GW ，选项C 错误；截止到2015年中国累计装机容量197.7GW ，全球累计装机容量594.1158.1436GW -=，占比为45.34%，选项D 正确.故选：D 【点睛】本题考查条形图，考查基本分析求解能力，属基础题.5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()()212*111N ()n n n S S S n ++++=+∈，121,2a a ==，则n S =( )A ．()12n n + B ．12n + C ．21n - D ．121n ++【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件判断出数列{}1n S +是等比数列，求得其通项公式，由此求得n S . 【详解】由于()()()212*111N ()n n n S S S n ++++=+∈，所以数列{}1n S +是等比数列，其首项为11112S a +=+=，第二项为212114S a a +=++=，所以公比为422=.所以12n n S +=，所以21n n S =-. 故选：C 【点睛】本小题主要考查等比数列的证明，考查等比数列通项公式，属于基础题.6．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长相等，60ABC ︒∠=，则直线1BC 与平面11ACC A 所成角的正切值等于（ ） A ．64B ．104C ．5 D ．155【答案】D 【解析】 【分析】以A 为坐标原点，AE 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，1AA 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系．求解平面11ACC A 的法向量，利用线面角的向量公式即得解. 【详解】如图所示的直四棱柱1111ABCD A B C D -，60ABC ︒∠=，取BC 中点E ，以A 为坐标原点，AE 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，1AA 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系．设2AB =，则11(0,0,0),(0,0,2),(3,1,0),(3,1,0),(3,1,2)A A B C C -， 11(0,2,2),(3,1,0),(0,0,2)BC AC AA ===u u u r u u u r u u u r．设平面11ACC A 的法向量为(,,)n x y z =r，则10,20,n AC y n AA z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩v v 取1x =，得(1,n =r．设直线1BC 与平面11ACC A 所成角为θ，则11sin 4||BC n BC n θ⋅===⋅u u u r r u u u r r ，cos θ∴==， ∴直线1BC 与平面11ACC A所成角的正切值等于5故选：D 【点睛】本题考查了向量法求解线面角，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题. 7．定义域为R 的偶函数()f x 满足任意x ∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-.若函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ）A．0,2⎛ ⎝⎭B．⎛ ⎝⎭C．⎛ ⎝⎭D．⎛ ⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得()f x 的周期为2，当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-，令()log (1)a g x x =+，则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，画出图像，数形结合，根据(2)(2)g f >，求得a 的取值范围. 【详解】()f x 是定义域为R 的偶函数，满足任意x ∈R ，(2)()(1)f x f x f +=-，令1,(1)(1)(1)x f f f =-=--，又(1)(1),(1))(2)(0,f f x f x f f -=∴+==，()f x ∴为周期为2的偶函数，当[2,3]x ∈时，22()212182(3)f x x x x =-+-=--，当2[0,1],2[2,3],()(2)2(1)x x f x f x x ∈+∈=+=--， 当2[1,0],[0,1],()()2(1)x x f x f x x ∈--∈=-=-+， 作出(),()f x g x 图像，如下图所示：函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点， 则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，()0f x ≤Q ，若1a >，()f x 的图像和()g x 的图像只有1个交点，不合题意，所以01a <<，()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点， 则有(2)(2)g f >，即log (21)(2)2,log 32a a f +>=-∴>-，221133,,01,03a a a a ∴><<<∴<<Q . 故选:B.【点睛】本题考查函数周期性及其应用，解题过程中用到了数形结合方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题.8．已知函数()(1)(2)x e f x m x x e -=---（e 为自然对数底数），若关于x 的不等式()0f x >有且只有一个正整数解，则实数m 的最大值为（ ）A ．32e e +B ．22e e +C ．32e e -D ．22e e -【答案】A 【解析】 【分析】若不等式()0f x >有且只有一个正整数解，则(1)y m x =-的图象在()y g x =图象的上方只有一个正整数值，利用导数求出()g x 的最小值，分别画出()y g x =与(1)y m x =-的图象，结合图象可得. 【详解】解：()(1)(2)0xf e e x m x x =--->-， ∴(1)(2)x m x x e e ->-+， 设()(2)xy g x x e e ==-+， ∴()(1)x g x x e '=-，当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减， ∴()(1)0g x g ≥=，当x →+∞时，()f x →+∞，当x →-∞，()f x e →， 函数(1)y m x =-恒过点()1,0，分别画出()y g x =与(1)y m x =-的图象，如图所示，，若不等式()0f x >有且只有一个正整数解，则(1)y m x =-的图象在()y g x =图象的上方只有一个正整数值，∴3(31)(32)e m e -≤-+且(21)(22)x m e e ->-+，即32(3)m g e e ≤=+，且m e >∴32e ee m +<≤，故实数m 的最大值为32e e+，故选：A 【点睛】本题考查考查了不等式恒有一正整数解问题，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数形结合思想，考查了数学运算能力.9．已知cos(2019)3πα+=-，则sin(2)2πα-=（ ）A ．79B ．59C ．59-D ．79-【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式得cos(2019)cos παα+=-，sin(2)cos 22παα-=，再利用倍角公式，即可得答案.【详解】由cos(2019)3πα+=-可得cos()3πα+=-，∴cos 3α=，∴225sin(2)cos22cos 121299πααα-==-=⨯-=-. 故选：C. 【点睛】本题考查诱导公式、倍角公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意三角函数的符号. 10．已知α、,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，αβ≠，则下列是等式sin sin 2αβαβ-=-成立的必要不充分条件的是（ ） A ．sin sin αβ> B ．sin sin αβ< C ．cos cos αβ> D ．cos cos αβ<【答案】D 【解析】 【分析】构造函数()sin h x x x =-，()sin 2f x x x =-，利用导数分析出这两个函数在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上均为减函数，由sin sin 2αβαβ-=-得出sin sin 2ααββ-=-，分0α=、02πα-<<、02πα<<三种情况讨论，利用放缩法结合函数()y h x =的单调性推导出02παβ-<<<或02πβα<<<，再利用余弦函数的单调性可得出结论. 【详解】构造函数()sin h x x x =-，()sin 2f x x x =-， 则()cos 10h x x '=-<，()cos 20f x x '=-<，所以，函数()y f x =、()y h x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上均为减函数，当02x π-<<时，则()()00h x h >=，()()00f x f >=；当02x π<<时，()0h x <，()0f x <.由sin sin 2αβαβ-=-得sin sin 2ααββ-=-. ①若0α=，则sin 20ββ-=，即()00f ββ=⇒=，不合乎题意；②若02πα-<<，则02πβ-<<，则()()sin sin 2sin h h αααβββββ=-=->-=，此时，02παβ-<<<，由于函数cos y x =在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，函数sin y x =在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则sin sin αβ<，cos cos αβ<；③若02πα<<，则02πβ<<，则()()sin sin 2sin h h αααβββββ=-=-<-=，此时02πβα<<<，由于函数cos y x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，函数sin y x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则sin sin αβ>，cos cos αβ<.综上所述，cos cos αβ<. 故选：D. 【点睛】本题考查函数单调性的应用，构造新函数是解本题的关键，解题时要注意对α的取值范围进行分类讨论，考查推理能力，属于中等题.11．已知命题300:2,80p x x ∃>->，那么p ⌝为（ ）A ．3002,80x x ∃>-≤ B ．32,80x x ∀>-≤ C ．3002,80x x ∃≤-≤D ．32,80x x ∀≤-≤【答案】B 【解析】 【分析】利用特称命题的否定分析解答得解. 【详解】已知命题0:2p x ∃>，380x ->，那么p ⌝是32,80x x ∀>-≤. 故选：B ． 【点睛】本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.12．给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（ ） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．64种【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，有246C =种分法；②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有2种情况，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，有222A =种情况， 此时有224⨯=种情况，则有6424⨯=种不同的安排方法； 故选：C ． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年全国统一高考数学试卷(天津市卷)(含详细解析)2021年全国统一高考数学试卷（天津卷）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共9题；共45分）1.设集合A={−1,0,1}，A={1,3,5}，A={0,2,4}，则(A∩A)∪A=（）A.{0}B.{0,1,3,5}C.{0,1,2,4}D.{0,2,3,4}2.已知A∈A，则“A>6”是“A2>36”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数A=ln|A|/A2+2的图像大致为（）A。

B。

C。

D.4.从某网格平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66,70),[70,74),⋯,[94,98]，并整理得到如下的费率分布直方图，则评分在区间[82，86)内的影视作品数量是（）A。

20 B。

40 C。

64 D。

805.设A=log2 0.3，A=log1 0.4，A=0.4，则a，b，c的大小关系为（）A.A<A<AB.A<A<AC.A<A<AD.A<A<A6.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（）A.3AB.4AC.9AD.12A7.若2A=5A=10，则A+A=（）A。

-1 B.lg7 C。

1 D.log7 1088.已知双曲线A2/A2−A2/A2=1，两个圆锥的高之比为11:32A/3，则9.已知双曲线A2/A2−A2/A2=1，两个圆锥的高之比为11:32A/3，则这两个圆锥的底面半径之比为（）解析】【解答】解：对于奇函数f(x)，有f(-x)=-f(x)，所以f(x)的图象关于原点对称；而f(x)的值域为[-2,2]，所以-f(x)的值域也为[-2,2]，即f(-x)的值域也为[-2,2]；又因为f(-x)=-f(x)，所以f(x)的图象关于y轴对称；综上所述，f(x)的图象关于原点和y轴对称，故选B.分析】根据奇偶函数的定义和图象的对称性求解即可.4.【答案】B考点】函数的连续性，导数的定义解析】【解答】解：由题意得f(x)在x=0处连续，所以f(0-)=f(0+)=a；又因为f'(x)=2ax，所以f'(0)=0；又因为f''(x)=2a，所以f''(0)=2a>0；由导数定义可知，f(x)在x=0处取得极小值，故选B.分析】根据函数连续性、导数的定义和二阶导数的符号判断极值类型求解即可.5.【答案】D考点】向量共面的判定，向量的叉积解析】【解答】解：设向量AB=a，向量AC=b，则向量AD=a+b；又因为向量AD与向量BC共面，所以向量AD叉乘向量BC的模长为0，即|(a+b)×c|=0；展开得：|a×c+b×c|=0；又因为a×c和b×c平行，所以a×c和b×c的线性组合为0向量；即存在实数k，使得ka×c+kb×c=0；又因为a和c不共线，所以k≠0，故a和b共线，即AB//AC，故选D.分析】根据向量共面的判定和向量的叉积求解即可.6.【答案】C考点】平面向量的模长，向量的投影解析】【解答】解：设向量AB=a，向量AC=b，则向量AD=a+b；又因为向量AD与向量BC垂直，所以向量AD在向量BC上的投影为0，即AD·BC=0；展开得：(a+b)·(b-c)=0；即a·b-b·b+a·c-b·c=0；又因为|a|=2，所以a·a=4，所以a·b=2；又因为|b|=1，所以b·b=1，所以b·c=1；代入得2-1+a·c-1=0，即a·c=0；又因为a和c不共线，所以a和c垂直，故选C.分析】根据向量的模长和投影的定义，以及向量垂直的判定求解即可.7.【答案】D考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式解析】【解答】解：设等差数列的公差为d，则有a1+a8=2(a1+7d)=64，解得a1=5，d=3；设等比数列的首项为b1，则有b2/b1=b3/b2=2，解得b1=4，q=√2；所以an=5+3(n-1)和bn=4*√2^(n-1)；又因为c1=b1^2+b1=20，=b^2n+bn=18*2^(n-1)+4*√2^(n-1)；展开得：cn=2^(n-1)(18+4*√2)=2^(n-1)(9+2*√2)^2-5*2^(n-1)，故选D.分析】根据等差数列和等比数列的通项公式，以及通项公式的性质求解即可.8.【答案】B考点】三角函数的定义，三角函数的图象解析】【解答】解：由题意得sinx>0，cosx<0，tanx<0；又因为tanx=sinx/cosx，所以sinx和cosx的符号相反；故x在第二象限，故选B.分析】根据三角函数的定义和图象，以及符号的判断求解即可.9.【答案】A考点】平面向量的模长，向量的夹角解析】【解答】解：设向量OA=a，向量OB=b，则有|a|=|b|=1，且a·b=0；又因为角AOB=60°，所以cos60°=(a·b)/(|a||b|)=0.5；代入得：a·b=0.5；又因为a·b=0，所以a·a+b·b=1+1=2；展开得：2+2a·b=2，即a·b=-0.5；代入得：a·a=1.5，b·b=0.5；所以|a+b|=√(a·a+b·b+2a·b)=√3，故选A.分析】根据平面向量的模长和夹角的定义，以及余弦定理求解即可.10.【答案】D考点】圆锥曲线的定义，椭圆的性质解析】【解答】解：由题意得右焦点为F，离心率为2√5，且|BF|=√5；又因为椭圆的离心率为c/a，所以c=2√5a；又因为椭圆的上顶点为B，所以b=√(a^2-c^2)=√(a^2-20a)；又因为|BF|=√5，所以a^2+c^2=5，代入得：5a^2=25，即a^2=5；代入得：c=2√5，b=√5，所以椭圆的方程为：x^2/5+y^2/4=1，故选D.分析】根据椭圆的定义和性质，以及离心率的定义和计算求解即可.解：函数$f(-x)=\frac{(-x)^2+2}{(-x)^2+2}=1$，即$f(x)=f(-x)$，所以$f(x)$是偶函数，排除选项A和C。

2020-2021学年天津市四校联考高二（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共9小题，共45.0分）1.已知全集U={−2,−1,0，1}，集合A={x|x2+x−2=0}，B={0,1}，则A∪(∁U B)=()A. {−2,−1,0}B. {−2,−1,1}C. {−2,0，1}D. {−2,−1,0，1}2.设x∈R，则“x2−5x+6>0”是“x−4>0”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如表所示，由最小二乘法求得回归方程为ŷ=0.85x+2.1，则表中看不清的数据为()x0134y 3.3 4.8 5.7A. 2.2B. 1.8C. 1.6D. 1.44.函数f(x)=e x−cosx的部分图象大致为()A. B.C. D.5.为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对党史知识的了解，某学校开展党史知识竞赛活动，以班级为单位参加比赛.高二1班在5道党史题(2道选择题和3道填空题)依次不放回地随机抽取2道题作答，设事件A 为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到填空题”，则P(B|A)=()A. 34B. 310C. 12D. 356.为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某学校鼓励学生参加体育兴趣小组，有5名学生报名足球、篮球、乒乓球3个兴趣小组，要求每名学生只能报名一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一名且最多有两名学生报名，其中学生甲只能报名乒乓球兴趣小组，则不同的报名方法数为( )A. 60种B. 50种C. 30种D. 24种7. 曲线f(x)=xe x 在x =2处的切线l 与坐标轴围成的三角形的面积是( )A. 8e23B. 5e 23C. e 24D. e 228. 如图，计划在一块空地上种植面积为2400m 2的草坪，草坪的四周留有人行通道，设计要求草坪外侧南北的人行通道宽2m ，东西的人行通道宽3m ，如何设计草坪的边长才能使人行通道占地面积最小，最小面积是( )A. 550m 2B. 538m 2C. 528m 2D. 504m 29. 已知函数f(x)=xlnx 且0<x 1<x 2，则下列结论中正确的是( )①x 1f(x 2)>x 2f(x 1)； ②x 2+f(x 2)>x 1+f(x 1)； ③f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1>0；④当lnx >−1时，x 1f(x 1)+x 2f(x 2)>2x 2f(x 1).A. ①②③B. ②④C. ①③④D. ①④二、单空题（本大题共6小题，共30.0分） 10. 命题p ：∀n ∈N ，n 2>2n ，则￢p 是______ ．11. 在(x +1√x )9的展开式中，x 3的系数是______ .(用数字作答)12. 天文学家通过长期对某一天体的观测收集到大量数据，发现这些数据变量X 近似服从正态分布N(9,σ²)，若P(X <10)=0.91，则P(8≤X ≤9)+P(X >10)= ______ ．13. 有甲，乙，丙三个箱子，甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有2个红球、3个白球，丙箱中有4个红球.现从三个箱子中任选一箱，从中任意摸出一球，则摸到红球的概率是______ ． 14. 已知a >b >0，且ab =12，则4a 2+b 2+72a+b的最小值是______ ，此时b = ______ ．15. 已知函数f(x)=x 3−ax +sinx ，当a =6时，函数f(x)的极值点的个数是______ ；若函数f(x)在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是______ ． 三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16. 教育部决定自2020年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点(也称强基计划).强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，强基计划的校考由试点高校自主命题.已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目，且每门科目是否通过相互独立.若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率分别为13，23，12，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率均为25． (Ⅰ)设A 为事件“该考生报考乙大学在笔试环节至少通过二门科目”，求事件A 发生的概率；(Ⅱ)设X 为该考生通过甲大学的笔试环节科目数，求随机变量X 的分布列和数学期望．17. 已知函数f(x)=x 2+bx +c(b,c ∈R)．(Ⅰ)若f(x)<0的解集是{x|−1<x <2}，求不等式bx 2+cx +8≥0的解集； (Ⅱ)设p ：−1<x <2，q ：2−a ≤x ≤1+a ，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)若b =a −1，c =a −2，解关于x 的不等式f(x)>0．18.已知函数f(x)=12ax2−(a+1)x+lnx(a∈R)．(Ⅰ)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(4,f(4))处的切线方程；(Ⅱ)若函数f(x)在x=2处取得极值，求函数f(x)在[1,3]上的最大值与最小值．19.我国探月工程嫦娥五号探测器于2020年12月1日23时11分降落在月球正面预选着陆区着陆，在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入到预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响.某学校为了了解高中生的航空航天知识情况，设计了一份调查问卷，从该学校高中生中随机抽选100名学生进行调查，调查样本中男生、女生各50名，如图是根据样本调查结果绘制的等高条形图(阴影区域表示“得分超过85分的部分”)．得分不超过85分的人数得分超过85分的人数合计女生男生合计(Ⅰ)请将上面列联表填写完整．(Ⅱ)依据α=0.05的独立性检验，能否认为该学校高中生了解航空航天知识程度与性别有关联？(Ⅲ)现从得分超过85分的同学中采用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽选3人参加下一轮调查，记X为选出参加下一轮调查的女生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．如表是K²独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d ．20. 已知函数f(x)=x −e x +1．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)设g(x)=−f(x)−1，x >0时，(x −k)g′(x)+x +1>0，求整数k 的最大值； (Ⅲ)求证：n ∈N ∗时，∑1k n k=1>ln(n +1)．答案和解析1.【答案】B【解析】解：U ={−2,−1,0，1}，A ={1,−2}，B ={0,1}， ∴∁U B ={−2,−1}，A ∪(∁U B)={−2,−1,1}． 故选：B ．可求出集合A ，然后进行补集和并集的运算即可．本题考查了集合的列举法和描述法的定义，并集和补集的定义及运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：由x 2−5x +6>0，解得x <2或x >3， 由x −4>0，得x >4，即由x 2−5x +6>0不能得到x −4>0，反之，由x −4>0，能够得到x 2−5x +6>0． 即“x 2−5x +6>0”是“x −4>0”的必要不充分条件． 故选：B ．分别求解一元二次不等式与一元一次不等式，然后结合充分必要条件的判定得答案． 本题考查充分必要条件的判定，考查不等式的解法，是基础题．3.【答案】D【解析】解：由题意可知，x −=0+1+3+44=2，y −=m+3.3+4.8+5.74=m+14.84，则样本中心(2,m+13.84)在回归方程为y ̂=0.85x +2.1上，所以m+13.84=0.85×2+2.1，解得m =1.4． 故选：D ．先求出样本中心，再利用线性回归方程必过样本中心，求解即可．本题考查了线性回归方程的应用，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：根据题意，f(x)=e x−cosx，当x>0时，e x>1而cosx≤1，则有f(x)= e x−cosx>0，即在y轴右侧，函数图象在x轴上方，排除A、C，又由f(−π2)=e−π2−cos(−π2)=e−π2−0>0，排除B；故选：D．根据题意，由排除法分析，结合函数的解析式分析可得当x>0时，f(x)=e x−cosx>0，排除AC，又由f(−π2)=e−π2>0，排除B；即可得答案．本题考查函数的图象分析，注意用间接法分析，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：因为共有2道选择题和3道填空题，依次不放回地随机抽取2道题作答，第1次抽到选择题，故剩下1道选择题和3到填空题，所以P(B|A)=34．故选：A．利用条件概率的含义结合古典概型的概率公式求解即可．本题考查了条件概率的含义以及古典概型概率公式的应用，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：根据题意，分2步进行分析：①将5名学生分为1−2−2的三组，有C52C32C11A22=15种分组方法，②学生甲所在的组报名乒乓球兴趣小组，剩下2组报名参加其他2个组，有A22=2种安排方法，则有15×2=30种报名方法，故选：C．根据题意，分2步进行分析：①将5名学生分为1−2−2的三组，②学生甲所在的组报名乒乓球兴趣小组，剩下2组报名参加其他2个组，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：由f(x)=xe x，得f′(x)=e x+xe x，∴f′(2)=3e2，又f(2)=2e2，∴曲线f(x)=xe x在x=2处的切线l的方程为y−2e2=3e2(x−2)，即y=3e2x−4e2．取x=0，得y=−4e2，取y=0，得x=43，∴曲线f(x)=xe x在x=2处的切线l与坐标轴围成的三角形的面积是S=12×43×4e2=8e23．故选：A．求出原函数的导函数，得到函数在x=2处的切线方程，分别求出切线在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．8.【答案】D【解析】解：设草坪南北方向长为x米，则草坪东西方向长为2400x，人行道占地面积为S平方米，∵要求草坪外侧南北的人行通道宽2m，东西的人行通道宽3m，∴S=(x+4)(2400x +6)−2400=6x+9600x+24≥2√6x⋅9600x+24=504，当且仅当6x=9600x，即x=40时，等号成立，S取得最小值504．故选：D．根据已知条件，可得人行道面积S=(x+4)(2400x+6)−2400，再结合均值不等式，即可求解．本题主要考查了均值不等式的实际应用，需要学生熟练掌握公式，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：对于①，令g(x)=f(x)x=lnx，则g(x)在(0,+∞)上单调递增，由0<x1<x2，可得g(x1)<g(x2)，即f(x1)x1<f(x2)x2，即x1f(x2)>x2f(x1)，故①正确；对于②，令ℎ(x)=f(x)+x=xlnx+x，ℎ′(x)=lnx+2，由ℎ′(x)>0可得x>e−2，由ℎ′(x)<0可得0<x<e−2，所以ℎ(x)在(0,e−2)上单调递减，在(e−2,+∞)上单调递增，当0<x1<x2<e−2时，ℎ(x1)>ℎ(x2)，即x1+f(x1)>x2+f(x2)，故②错误；对于③，令m(x)=f(x)−x=xlnx−x，m′(x)=lnx，在(0,1)上，m′(x)<0，m(x)单调递减，在(1,+∞)上，m′(x)>0，m(x)单调递增，故当0<x1<x2<1时，m(x1)>m(x2)，即f(x1)−x1>f(x2)−x2，所以f(x2)−f(x1)<x2−x1，所以f(x2)−f(x1)x2−x1<0，故③错误；对于④，因为lnx>−1时，f′(x)=lnx+1>0，所以f(x)单调递增，由①可知，x1⋅f(x1)+x2⋅f(x2)−2x2f(x1)>x1[f(x1)−f(x2)]+x2[f(x2)−f(x1)]=(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，即x1f(x1)+x2f(x2)>2x2f(x1)，故④正确．故选：D．根据条件分别构造不同的函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可．本题主要考查利用导数判断函数的单调性，并用到了函数单调性的定义，考查转化思想与逻辑推理能力，属于难题．10.【答案】∃n∈N，n2≤2n【解析】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，可知命题p：∀n∈N，n2>2n的否定￢p是：∃n∈N，n2≤2n．故答案为：∃n∈N，n2≤2n．利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，即可求解．本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题．11.【答案】126【解析】解：∵(x√x)9的展开式中，通项公式为Tr+1=C9r⋅x9−3r2，令9−3r2=3，求得r=4，可得x3的系数是C94=84，故答案为：126．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．12.【答案】0.5【解析】解：因为数据变量X近似服从正态分布N(9,σ²)，故正态分布曲线的对称轴为X=9，因为P(X<10)=0.91，所以P(X>10)=1−0.91=0.09，P(8≤X≤9)=P(9<X<10)=0.5−P(X>10)=0.5−0.09，所以P(8≤X≤9)+P(X>10)=0.5−0.09+0.09=0.5．故答案为：0.5．利用正态曲线的对称性求解即可．本题考查了正态分布曲线的应用，解题的关键是掌握正态分布曲线的对称性，考查了运算能力，属于基础题．13.【答案】23【解析】解：由题意，甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有2个红球、3个白球，丙箱中有4个红球，现从三个箱子中任选一箱，从中任意摸出一球，则摸到红球的概率为13×35+13×25+13×1=23．故答案为：23．利用古典概型的概率公式以及分类计数原理进行分析求解即可．本题考查了古典概型概率公式的应用以及分类计数原理的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．14.【答案】2√5√5−12【解析】解：由a>b>0，且ab=12，4a2+b2+7 2a+b =(2a+b)2−4ab+72a+b=(2a+b)+52a+b≥2√(2a+b)⋅52a+b=2√5，当且仅当2a+b=√5时，等号成立，故4a2+b2+72a+b的最小值为2√5，由2a+b=√5，ab=12，解得b=√5−12，或b=√5+12，由a>b>0，b=√5+12舍去，故答案为：√5−12．化简4a2+b2+72a+b，利用基本不等式性质可求得答案．本题考查了基本不等式的运用：求最值，考查了转化思想和运算能力，属于基础题．15.【答案】2 (−∞,1]【解析】解：f(x)=x3−ax+sinx，当a=6时，f(x)=x3−6x+sinx，则f′(x)=3x2−6+cosx，令f′(x)=0，即6−3x2=cosx，作出函数y=6−3x2和y=cosx的图象，数形结合可知方程6−3x2=cosx有两个解，即方程f′(x)=0有两个解，所以f′(x)=3x2−6+cosx有两个零点，且都为变号零点，所以函数f(x)的极值点个数是2．若函数f(x)在R 上是增函数，则f′(x)⩾0在R 上恒成立， 即f′(x)=3x 2−a +cosx ⩾0⇔a ⩽3x 2+cosx ， 令g(x)=3x 2+cosx ，则g′(x)=6x −sinx ，因为g ′′(x)=6−cosx >0，所以g′(x)在R 上单调递增，又g′(0)=0，所以当x <0时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x >0时，g′(x)>0，g(x)单调递增， 所以g(x)min =g(0)=1，所以a ⩽1． 即a 的取值范围为(−∞,1]． 故答案为：2；(−∞,1]．函数f(x)的极值点的个数即f′(x)变号零点个数，令f′(x)=0，即6−3x 2=cosx ，数形结合可得方程有2个解，进而得到函数f(x)的极值点的个数是2；函数f(x)在R 上是增函数，即f′(x)⩾0在R 上恒成立，即不等式a ⩽3x 2+cosx 在R 上恒成立，构造函数g(x)=3x 2+cosx ，求函数g(x)的最值可求实数a 的取值范围． 本题考查函数的零点与方程的解之间的关系，考查数形结合的数学思想，考查利用导数研究函数的单调性，考查直观想象和数学运算的核心素养，属于中档题．16.【答案】解：(I)事件A 可分为考生报考乙大学在笔试环节通过二门科目，或者考生报考乙大学在笔试环节通过三门科目，∴P(A)=C 32(25)235+C 33(25)3=44125．(II)由题意可得，X 的值可能为0，1，2，3， P(X =0)=23×13×12=19，P(X =1)=13×13×12+23×23×12+23×13×12=718， P(X =2)=13×23×12+13×12×13+23×23×12=718，P(X =3)=13×23×12=19， 即X 的分布列为∴EX =0×19+1×718+2×718+3×19=32．【解析】(I)根据已知条件，事件A 可分为考生报考乙大学在笔试环节通过二门科目，或者考生报考乙大学在笔试环节通过三门科目，分别求出对应的概率，并求和，即可求解．(II)由题意可得，X 的值可能为0，1，2，3，分别计算出其所对应的概率，再结合期望公式，即可求解．本题考查离散型随机变量分布列，以及期望的求法，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)由题意知：−1，2是方程x 2+bx +c =0的两根，由根与系数的关系，得{−1+2=−b−1×2=c，解得b =−1，c =−2，代入不等式bx 2+cx +8≥0， 可得：−x 2−2x +8≥0，化简得(x +1)2≤9， 解得−4≤x ≤2，故所求不等式的解集为：[−4,2]．(Ⅱ)设p ：−1<x <2，q ：2−a ≤x ≤1+a ，若p 是q 的充分不必要条件， 则p ⊊q ，可得{2−a ≤−12≤1+a ，解得a ≥3，故实数a 的取值范围为：[3,+∞)． (Ⅲ)若b =a −1，c =a −2，则不等式f(x)>0化为x 2+(a −1)x +a −2>0， Δ=(a −1)2−4×(a −2)=(a −3)2≥0，当a =3时，不等式化为x 2+2x +1>0，则不等式的解集为{x|x ≠−1}， 当a ≠3时，两根为−1，2−a ，当a >3时，−1>2−a ，则不等式的解集为{x|x >−1或x <2−a}， 当a <3时，2−a >−1，则不等式的解集为{x|x >2−a 或x <−1}， 综上得：a =3时，不等式的解集为{x|x ≠−1}， a >3时，不等式的解集为{x|x >−1或x <2−a}， a <3时，则不等式的解集为{x|x >2−a 或x <−1}．【解析】(Ⅰ)由题意，利用不等式对应方程的关系，结合根与系数的关系求得b 、c 的值，再代入不等式求出对应的解集；(Ⅱ)若p 是q 的充分不必要条件，则p ⊊q ，可求得a 的取值范围；(Ⅲ)把b =a −1，c =a −2代入不等式f(x)>0中，求含有字母系数的不等式的解集即可．本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题，也考查了含有字母系数的不等式解法与应用问题，考查了转化思想，属于基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)当a =1时，f(x)=12x 2−2x +lnx ，f′(x)=x −2+1x ，所以k 切=f′(4)=94，又f(4)=12×42−2×4+ln4=2ln2，所以曲线y =f(x)在点(4,f(4))处的切线方程：y −2ln2=94(x −4)，即9x −4y −36+8ln2=0．(Ⅱ)f′(x)=ax −(a +1)+1x =ax 2−(a+1)x+1x=(ax−1)(x−1)x，因为函数f(x)在x =2处取得极值， 所以f′(2)=0，解得a =12， 所以f(x)=14x 2−32x +lnx ， f′(x)=12x −32+1x =x 2−3x+22x=(x−1)(x−2)2x，在(1,2)上f′(x)<0，f(x)单调递减， 在(2,3)上f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)极小值=f(2)=14×22−32×2+ln2=−2+ln2， f(1)=−54，f(3)=−94+ln3，且f(1)<f(3)，所以f(x)的最大值为−94+ln3，最小值为−2+ln2．【解析】(Ⅰ)当a =1时，f(x)=12x 2−2x +lnx ，求导得f′(x)=x −2+1x ，由导数的几何意义可得k 切=f′(4)，又f(4)=2ln2，进而可得答案．(Ⅱ)求导得f′(x)=(ax−1)(x−1)x，由于函数f(x)在x =2处取得极值，则f′(2)=0，解得a =12，分析f(x)的单调性，最值，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．19.【答案】解：(I)根据图可得，女生中得分不超过85分的人数50×710=35，女生得分超过85分的人数50−35=15，男生中得分不超过85分的人数50×12=25，男生得分超过85分的人数25，即可得表中的数据(II)∵K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(35×25−25×15)50×50×60×40≈4.17>3.841，又∵α=0.05，∴该学校高中生了解航空航天知识程度与性别有关联． (III)由(I)可得，得奖人数中男生：女生=5：3，从得分超过85分的同学中采用分层抽样的方法抽取8人，则男生占5人，女生占3人， 则X 取值可能为0，1，2，3， P(X =0)=C 53C 83=528，P(X =1)=C 31⋅C 52C 83=1528， P(X =2)=C 32⋅C 51C83=1556，P(X =3)=C 33C 83=156，随机变量X 的分布列为EX=0×528+1×1528+2×1556+3×156=98．【解析】(I)由图中可得，女生中不超过85的人数：超过85分的人数=7：3，男生中不超过85分的人数：超过85分的人数=1：1，根据男女生人数均为50人，即可补充联表的数据．(II)根据已知条件，运用独立性检验公式，即可求解．(III)运用分层抽样的方法，可知抽取的8人中男生占5人，女生占3人，且X取值可能为0，1，2，3，分别求出其概率，再结合期望公式，即可求解．本题考查离散型随机变量分布列，以及独立性检验公式和期望公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．20.【答案】解：(Ⅰ)f′(x)=1−e x，当x<0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x>0时，f′(x)<0，f(x)单调递减．(Ⅱ)g(x)=−f(x)−1=−x+e x−2，g′(x)=−1+e x，若x>0时，(x−k)g′(x)+x+1>0，则x>0时，(x−k)(−1+e x)+x+1>0，当x>0时，k<x+1e x−1+x，令ℎ(x)=x+1e x−1+x，ℎ′(x)=−(xe x+1)(e x−1)2+1=e x(e x−x−2)(e x−1)2，令H(x)=e x−x−2，H′(x)=e x−1，当x>0时，H′(x)>0，H(x)单调递增，而H(1)<0，H(2)>0，所以H(x)在(0,+∞)内存在唯一的零点，设x0，则x0∈(1,2)，当x∈(0,x0)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，当x∈(x0,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，所以ℎ(x)在(0,+∞)上的最小值ℎ(x0)=1+x0e x0−1+x0=1+x0∈(2,3)，所以k<x+1e x−1+x恒成立，所以整数k 的最大值为2． (Ⅲ)证明：设p(x)=x −lnx −1， p′(x)=1−1x =x−1x，当x >1时，p′(x)>0，p(x)单调递增， 当0<x <1时，p′(x)<0，p(x)单调递减， 所以p(x)min =p(1)=0， 所以p(x)≥p(0)=0， 所以x −lnx −1≥0， 所以x −1≥lnx ， 令x =n+1n ，得1n >lnn+1n，所以1+12+13+...+1n >ln(n +1)．【解析】(Ⅰ)求导得f′(x)=1−e x ，分析导数的正负，进而可得f(x)的单调区间． (Ⅱ)根据题意可得g(x)=−x +e x −2，求导得g′(x)=−1+e x ，，则若x >0时，(x −k)g′(x)+x +1>0，转化为当x >0时，k <x+1e x −1+x ，令ℎ(x)=x+1e x −1+x ，只需k <ℎ(x)min ，即可得出答案．(Ⅲ)设p(x)=x −lnx −1，求导分析单调性，最值，得p(x)≥p(0)=0，即x −1≥lnx ，令x =n+1n，得1n >lnn+1n，进而可得答案．本题考查导数额综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．。

2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式：·如果事件A B ，互斥，那么()()()P AB P A P B =+．·如果事件A B ，相互独立，那么()()()P AB P A P B =． ·球的体积公式34π3V R =，其中R 表示球的半径． ·圆锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，则A B =（ ）A ．{}1,2,3,4B ．{}2,3,4C ．{}2,4D ．{}12．设,a b ∈R ，则“33a b =”是“33a b =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列图中，线性相关性系数最大的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列函数是偶函数的是（ ）A ．22e 1x x y x -=+B ．22cos 1x x y x +=+C ．e 1x xy x -=+D ．||sin 4e x x xy +=5．若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>6．若,m n 为两条不同的直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）A ．若//m α，//n α，则m n ⊥B ．若//,//m n αα，则//m nC ．若//,αα⊥m n ，则m n ⊥D ．若//,αα⊥m n ，则m 与n 相交7．已知函数()()πsin303f x x ωω⎛⎫=+>⎪⎝⎭的最小正周期为π．则()f x 在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值是（ ）A ．B ．32-C ．0D ．328．双曲线22221()00a x y a b b >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ） A ．22182y x -=B ．22184x y -= C ．22128x y -= D ．22148x y -=9．一个五面体ABC DEF -．已知AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．并已知123AD BE CF ===，，．则该五面体的体积为（ ）A B 12C D 12第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分． 10．已知i 是虚数单位，复数))i 2i ⋅= ．11．在63333x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为 ．12．圆22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为 ． 13．,,,,ABCDE 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A 的概率为 ；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为 ．14．在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点，1,2CE DE BE BA BC ==+λμ，则λμ+= ；F 为线段BE 上的动点，G 为AF中点，则AF DG ⋅的最小值为 ．15．若函数()21f x ax =-+恰有一个零点，则a 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ===，，． (1)求a ； (2)求sin A ；(3)求()cos 2B A -的值．17．已知四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，1A A ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，其中12,1AB AA AD DC ====．N 是11B C 的中点，M是1DD 的中点．(1)求证1//D N 平面1CB M ；(2)求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值；(3)求点B 到平面1CB M 的距离．18．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB的中点，其中ABCS △(1)求椭圆方程．(2)过点30,2⎛⎫-⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．19．已知数列{}na 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为nS ．若1231,1a S a ==-．(1)求数列{}na 前n 项和nS ；(2)设11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=⎧=⎨+<<⎩，*,2k k ∈≥N ．（ⅰ）当12,k k n a +≥=时，求证：1n k n ba b -≥⋅；（ⅱ）求1nS i i b =∑．20．设函数()ln f x x x =．(1)求()f x 图象上点()()1,1f 处的切线方程；(2)若()(f x a x ≥在()0,x ∈+∞时恒成立，求a 的值；(3)若()12,0,1x x ∈，证明()()121212f x f x x x -≤-．1．B【分析】根据集合交集的概念直接求解即可. 【详解】因为集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =， 所以{}2,3,4AB =，故选：B 2．C【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，33a b =和33a b =都当且仅当a b =，所以二者互为充要条件. 故选：C. 3．A【分析】由点的分布特征可直接判断【详解】观察4幅图可知，A 图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，r 值相比于其他3图更接近1. 故选：A 4．B【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可. 【详解】对A ，设()22e 1x x f x x -=+，函数定义域为R ，但()112e 1f ---=，()112e f -=，则()()11f f -≠，故A 错误；对B ，设()22cos 1x x g x x +=+，函数定义域为R ，且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+，则()g x 为偶函数，故B 正确；对C ，设()e 1x xh x x -=+，函数定义域为{}|1x x ≠-，不关于原点对称，则()h x 不是偶函数，故C 错误； 对D ，设()||sin 4e x x x x ϕ+=，函数定义域为R ，因为()sin141eϕ+=，()sin141eϕ---=， 则()()11ϕϕ≠-，则()x ϕ不是偶函数，故D 错误. 故选：B. 5．B【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可. 【详解】因为 4.2xy =在R 上递增，且0.300.3-<<，所以0.300.30 4.24.2 4.2-<<<，所以0.30.30 4.21 4.2-<<<，即01a b <<<，因为 4.2log y x =在(0,)+∞上递增，且00.21<<，所以 4.24.2log0.2log 10<=，即0c <，所以b a c >>， 故选：B 6．C【分析】根据线面平行的性质可判断AB 的正误，根据线面垂直的性质可判断CD 的正误.【详解】对于A ，若//m α，//n α，则,m n 平行或异面或相交，故A 错误.对于B ，若//,//m n αα，则,m n 平行或异面或相交，故B 错误.对于C ，//,αα⊥m n ，过m 作平面β，使得s βα=，因为m β⊂，故//m s ，而s α⊂，故n s ⊥，故m n ⊥，故C 正确. 对于D ，若//,αα⊥m n ，则m 与n 相交或异面，故D 错误. 故选：C. 7．A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得()sin2f x x =-，再整体求出,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】()()πsin3sin 3πsin33f x x x x ωωω⎛⎫=+=+=-⎪⎝⎭，由2ππ3T ω==得23ω=， 即()sin2f x x =-，当,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 时，ππ2,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，画出()sin2f x x =-图象，如下图，由图可知，()sin2f x x =-在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减，所以，当π6x =时，()min πsin 3f x =-=故选：A 8．C【分析】可利用12PF F △三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设2PFm =，由面积公式求出m ，由勾股定理得出c ，结合第一定义再求出a .【详解】如下图：由题可知，点P 必落在第四象限，1290F PF ∠=︒，设2PFm =，211122,PF F PF F θθ∠=∠=，由21tan 2PF k θ==，求得1sin θ=，因为1290F PF ∠=︒，所以121PF PF k k ⋅=-，求得112PF k =-，即21tan 2θ=，2sin θ=由正弦定理可得：121212::sin :sin :sin 902PF PF F F θθ=︒= 则由2PF m =得1122,2PF m F F c ===，由1212112822PF F SPF PF m m =⋅=⋅=得m = 则21122PFPF F F c c =====由双曲线第一定义可得：122PF PF a -==a b ===所以双曲线的方程为22128x y -=. 故选：C 9．C【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可.【详解】用一个完全相同的五面体HIJ LMN -（顶点与五面体ABC DEF-一一对应）与该五面体相嵌，使得,D N ；,E M ;,F L 重合，因为AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．1,2,3AD BE CF ===， 则形成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为1322314+=+=+=，212111142ABC DEF ABC HIJ V V --==⨯⨯⨯=. 故选：C.10．7【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.【详解】))i 2i 527⋅=-+=.故答案为：7.11．20【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.【详解】因为63333x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()63636216633C 3C ,0,1,,63rrr r r r r x T xr x ---+⎛⎫⎛⎫===⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令()630r -=，可得3r =， 所以常数项为0363C20=.故答案为：20.12．45##0.8【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A 及AF 的方程，从而可求原点到直线AF 的距离.【详解】圆22(1)25-+=x y 的圆心为()1,0F ，故12p=即2p =， 由()2221254x y y x⎧-+=⎪⎨=⎪⎩可得22240x x +-=，故4x =或6x =-（舍）， 故()4,4A ±，故直线()4:13AF y x =±-即4340x y --=或4340x y +-=， 故原点到直线AF 的距离为4455d ==， 故答案为：45 13．3512【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到A 的概率；采用列举法或者条件概率公式可求乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率. 【详解】解法一：列举法 从五个活动中选三个的情况有：,,,,,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE ,共10种情况，其中甲选到A 有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ， 则甲选到A 得概率为：63105P ==；乙选A 活动有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ， 其中再选则B 有3种可能性：,,ABC ABD ABE ， 故乙选了A活动，他再选择B活动的概率为31=62.解法二：设甲、乙选到A 为事件M ，乙选到B 为事件N ，则甲选到A 的概率为()2435C 3C 5P M ==；乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为()()()133524351C 2C C P MN C P N M P M ===故答案为：35；1214． 43518-【分析】解法一：以{},BA BC 为基底向量，根据向量的线性运算求BE ，即可得λμ+，设BF BE k =，求,AF DG ，结合数量积的运算律求AF DG ⋅的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE ，即可得λμ+，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，求,AF DG ，结合数量积的坐标运算求AF DG ⋅的最小值. 【详解】解法一：因为12CE DE =，即13C E B A =，则13BE B C C E B A B C =+=+，可得1,13λμ==，所以43λμ+=； 由题意可知：1,0BC BA BA BC ==⋅=， 因为F为线段BE上的动点，设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+∈， 则113AF AB BF AB kBE k BA kBC ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭， 又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC ⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 22111563112329510k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又因为[]0,1k ∈，可知：当1k =时，AF DG ⋅取到最小值518-； 解法二：以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E ⎛⎫---⎪⎝⎭， 可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭， 因为(),BE BA BC λμλμ=+=-，则131λμ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，所以43λμ+=； 因为点F 在线段1:3,,03BE y x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦上，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 且G 为AF 中点，则13,22a G a -⎛⎫- ⎪⎝⎭， 可得()131,3,,122a AF a a DG a +⎛⎫=+-=-- ⎪⎝⎭， 则()()22132331522510a AF DG a a a +⎛⎫⎛⎫⋅=+---=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且1,03a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以当13a =-时，AF DG ⋅取到最小值为518-； 故答案为：43；518-. 15．()(11-⋃【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数()g x =()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，则两函数图象有唯一交点，分0a =、0a >与0a <进行讨论，当0a >时，计算函数定义域可得x a≥或0x ≤，计算可得(]0,2a ∈时，两函数在y 轴左侧有一交点，则只需找到当(]0,2a ∈时，在y 轴右侧无交点的情况即可得；当0a <时，按同一方式讨论即可得.【详解】令()0f x =，即21ax =--，由题可得20xax -≥，当0a =时，x ∈R，有211=--=，则x =去；当0a >时，则23,2121,ax x a ax ax x a ⎧-≥⎪⎪--=⎨⎪-<⎪⎩， 即函数()g x =()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩有唯一交点， 由20xax -≥，可得x a ≥或0x ≤，当0x ≤时，则20ax -<，则211ax ax =--=-，即()22441xax ax -=-，整理得()()()2242121210a xax a x a x ⎡⎤⎡⎤---=++--=⎣⎦⎣⎦，当2a =时，即410x +=，即14x =-， 当()0,2a ∈，12x a=-+或102x a =>-（正值舍去）， 当()2,a ∈+∞时，102x a =-<+或102x a=<-，有两解，舍去， 即当(]0,2a ∈时，210ax -+=在0x ≤时有唯一解， 则当(]0,2a ∈时，210ax -+=在x a ≥时需无解，当(]0,2a ∈，且x a ≥时，由函数()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩关于2x a =对称，令()0h x =，可得1x a =或3x a =， 且函数()h x 在12,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在23,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 令()g x y ==2222142a x y a a ⎛⎫- ⎪-⎭=⎝，故x a ≥时，()g x 图象为双曲线()222214y x a a-=右支的x 轴上方部分向右平移2a所得，由()222214y x a a -=的渐近线方程为22a y x x a =±=±，即()g x 部分的渐近线方程为22a y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其斜率为2， 又(]0,2a ∈，即()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩在2x a ≥时的斜率(]0,2a ∈， 令()0g x ==，可得x a =或0x =（舍去），且函数()g x 在(),a +∞上单调递增，故有13a aa a⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解得1a <1a <当a<0时，则23,2121,ax x a ax ax x a ⎧-≤⎪⎪=--=⎨⎪->⎪⎩，即函数()g x =()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩有唯一交点， 由20xax -≥，可得0x ≥或x a ≤，当0x ≥时，则20ax -<，则211ax ax =--=-，即()22441xax ax -=-，整理得()()()2242121210a xax a x a x ⎡⎤⎡⎤---=++--=⎣⎦⎣⎦，当2a =-时，即410x -=，即14x =， 当()2,0a ∈-，102x a =-<+（负值舍去）或102x a=-， 当(),2a ∈-∞时，102x a =->+或102x a=>-，有两解，舍去， 即当[)2,0a ∈-时，210ax -+=在0x ≥时有唯一解，则当[)2,0a ∈-时，210ax -+=在x a ≤时需无解，当[)2,0a ∈-，且x a ≤时，由函数()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩关于2x a =对称，令()0h x =，可得1x a =或3x a =，且函数()h x 在21,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在32,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 同理可得：x a ≤时，()g x 图象为双曲线()222214y x a a-=左支的x 轴上方部分向左平移2a所得，()g x 部分的渐近线方程为22a y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其斜率为2-， 又[)2,0a ∈-，即()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩在2x a <时的斜率[)2,0a ∈-， 令()0g x ==，可得x a =或0x =（舍去），且函数()g x 在(),a -∞上单调递减，故有13a aa a⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解得1a <-，故1a <-符合要求；综上所述，()()11,3a ∈-.故答案为：()(11-⋃.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数()f x 的零点问题转化为函数()g x =()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩的交点问题，从而可将其分成两个函数研究. 16．(1)4(3)5764【分析】（1）2,3a t c t ==，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【详解】（1）设2,3a t c t ==，0t >，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即229254922316t t t t =+-⨯⨯⨯，解得2t =（负舍）； 则4,6a c ==.（2）法一：因为B 为三角形内角，所以sin B =再根据正弦定理得sin sin a bA B =，即4sin A ，解得sin A =法二：由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯，因为()0,πA ∈，则sin A ==（3）法一：因为9cos 016B =>，且()0,πB ∈，所以π0,2B ⎛⎫∈⎪⎝⎭，由（2）法一知sin B =因为a b <，则A B <，所以3cos 4A ==，则3sin 22sin cos 24A A A ===2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭()9157cos 2cos cos 2sin sin 216864B A B A B A -=+=⨯=.法二：3sin 22sin cos 24A A A ===则2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，因为B 为三角形内角，所以sin B ===，所以()9157cos 2cos cos 2sin sin 216864B A B A B A -=+=⨯= 17．(1)证明见解析(3)11【分析】（1）取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得1N//D MP ，结合线面平行判定定理即可得证；（2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解；（3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. 【详解】（1）取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，由N 是11B C 的中点，故1//NP CC ，且112NP CC =，由M 是1DD 的中点，故1111122D M DD CC ==，且11//D M CC ， 则有1//D M NP 、1D M NP =，故四边形1D MPN 是平行四边形，故1//D N MP ，又MP ⊂平面1CB M ，1D N ⊄平面1CB M ，故1//D N 平面1CB M ；（2）以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系，有()0,0,0A 、()2,0,0B 、()12,0,2B 、()0,1,1M 、()1,1,0C 、()11,1,2C ，则有()11,1,2CB =-、()1,0,1CM =-、()10,0,2BB =，设平面1CB M 与平面11BB CC 的法向量分别为()111,,m x y z =、()222,,n x y z =，则有111111200m CB x y z m CM x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，1222122020n CB x y z n BB z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，分别取121xx ==，则有13y =、11z =、21y =，20z =，即()1,3,1m =、()1,1,0n =，则cos ,19m n m n m n ⋅==⋅+故平面1CB M 与平面11BB CC ；（3）由()10,0,2BB=，平面1CB M 的法向量为()1,3,1m =，则有11BB m m⋅=+即点B 到平面1CB M . 18．(1)221129x y +=(2)存在()30,32T t t ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭，使得0TP TQ ⋅≤恒成立.【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程. （2）设该直线方程为：32y kx =-，()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t ， 联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用,k t 表示TP TQ ⋅，再根据0TP TQ ⋅≤可求t 的范围. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为12e =，故2a c =，b ，其中c 为半焦距，所以()()2,0,0,,0,A c B C ⎛- ⎝⎭，故122ABC S c =⨯△ 故c =a =3b =，故椭圆方程为：221129x y +=.（2）若过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：32y kx =-， 设()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t ，由22343632x y y kx ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩可得()223412270k x kx +--=， 故()222Δ144108343245760kk k =++=+>且1212221227,,3434k x x x x k k +==-++ 而()()1122,,,TP x y t TQ x y t =-=-，故()()121212123322TP TQ x x y t yt x x kx t kx t ⎛⎫⎛⎫⋅=+--=+---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()22121233122k x x k t x x t ⎛⎫⎛⎫=+-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22222731231342342k k k t t k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯--+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2222222327271812332234k k k t t t k k ⎛⎫----++++ ⎪⎝⎭=+()22223321245327234t t k t k⎛⎫⎡⎤+--++- ⎪⎣⎦⎝⎭=+， 因为0TP TQ ⋅≤恒成立，故()223212450332702t t t ⎧+--≤⎪⎨⎛⎫+-≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得332t -≤≤.若过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线的斜率不存在，则()()0,3,0,3P Q -或()()0,3,0,3P Q -，此时需33t -≤≤，两者结合可得332t -≤≤.综上，存在()30,32T t t ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭，使得0TP TQ ⋅≤恒成立. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设. 19．(1)21n nS=-(2)①证明见详解；②()131419nn S ii n b=-+=∑【分析】（1）设等比数列{}na 的公比为0q >，根据题意结合等比数列通项公式求q ，再结合等比数列求和公式分析求解； （2）①根据题意分析可知12,1k kn ab k -==+，()121n kk b -=-，利用作差法分析证明；②根据题意结合等差数列求和公式可得()()1211213143449k k k k i i b k k ---=⎡⎤=---⎣⎦∑，再结合裂项相消法分析求解. 【详解】（1）设等比数列{}na 的公比为0q >， 因为1231,1aS a ==-，即1231a a a +=-，可得211q q +=-，整理得220q q --=，解得2q 或1q =-（舍去），所以122112nn n S -==--.（2）（i ）由（1）可知12n na-=，且N*,2k k ∈≥，当124kk n a +=≥=时，则111221111k k k k k a n n a a -++⎧=<-=-⎨-=-<⎩，即11k k a n a +<-<可知12,1k kn ab k -==+，()()()1111222121k k k n a k k b b a a k k k k --+=+--⋅=+-=-，可得()()()()1112112122120k n k n k k k k k k k k bk a b ---=--+=--≥--=-⋅≥-，当且仅当2k =时，等号成立， 所以1n k n ba b -≥⋅；（ii ）由（1）可知：1211n nn S a +=-=-，若1n =，则111,1Sb ==； 若2n ≥，则112k k k a a -+-=，当1221k k i -<≤-时，12i i b b k --=，可知{}i b 为等差数列，可得()()()111211112221122431434429k k k k k k k k ii b k kk k k -------=-⎡⎤=⋅+=⋅=---⎣⎦∑， 所以()()()232113141115424845431434499nn S nn i i n b n n -=-+⎡⎤=+⨯-⨯+⨯-⨯+⋅⋅⋅+---=⎣⎦∑，且1n =，符合上式，综上所述：()131419nn S ii n b=-+=∑.【点睛】关键点点睛：1.分析可知当1221k k i -<≤-时，12i i b b k --=，可知{}ib 为等差数列；2.根据等差数列求和分析可得()()1211213143449k k kk ii b k k ---=⎡⎤=---⎣⎦∑.20．(1)1y x =- (2)2(3)证明过程见解析【分析】（1）直接使用导数的几何意义；（2）先由题设条件得到2a =，再证明2a =时条件满足； （3）先确定()f x 的单调性，再对12,x x 分类讨论.【详解】（1）由于()ln f x x x =，故()ln 1f x x '=+.所以()10f =，()11f '=，所以所求的切线经过()1,0，且斜率为1，故其方程为1y x =-.（2）设()1ln h t t t =--，则()111t h t t t-'=-=，从而当01t <<时()0h t '<，当1t >时()0h t '>.所以()h t 在(]0,1上递减，在[)1,+∞上递增，这就说明()()1h t h ≥，即1ln t t -≥，且等号成立当且仅当1t =.设()()12ln g t a t t =--，则()((ln 1f x a x x x a x x a x g ⎛⎫-=-=-=⋅ ⎪⎭⎝. 当()0,x ∈+∞()0,∞+，所以命题等价于对任意()0,t ∈+∞，都有()0g t ≥.一方面，若对任意()0,t ∈+∞，都有()0g t ≥，则对()0,t ∈+∞有()()()()112012ln 12ln 1212g t a t t a t a t at a t t t ⎛⎫≤=--=-+≤-+-=+-- ⎪⎝⎭，取2t =，得01a ≤-，故10a ≥>.再取t =2022a a a ≤-=-=-，所以2a =.另一方面，若2a =，则对任意()0,t ∈+∞都有()()()212ln 20g t t t h t =--=≥，满足条件.综合以上两个方面，知a 的值是2. （3）先证明一个结论：对0a b <<，有()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-. 证明：前面已经证明不等式1ln t t -≥，故lnln ln ln ln ln ln 1ln 1b b b a a a b a aa b b b b b a b a a--=+=+<+---， 且1lnln ln ln ln ln ln ln 1ln 11a ab b a a b b b a b b a a a aaab a b a bb⎛⎫--- ⎪--⎝⎭=+=+>+=+----， 所以ln ln ln 1ln 1b b a aa b b a -+<<+-，即()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-. 由()ln 1f x x '=+，可知当10e x <<时()0f x '<，当1e x >时0f x.所以()f x 在10,e ⎛⎤⎥⎝⎦上递减，在1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上递增. 不妨设12x x ≤，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.情况一：当1211e x x ≤≤<时，有()()()()()()122122121ln 1f x f x f x f x x x x x x -=-<+-<-<，结论成立；情况二：当1210ex x <≤≤时，有()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-. 对任意的10,e c ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，设()ln ln x x x c c ϕ=-()ln 1x x ϕ'=+由于()x ϕ'单调递增，且有1111111ln 1ln11102e2e ec c ϕ⎛⎫⎪'=+<+=-= ⎪⎝⎭，且当2124ln 1x c c ≥-⎛⎫- ⎪⎝⎭，2cx >2ln 1c ≥-可知 ()2ln 1ln 1ln 102c x x c ϕ⎛⎫=+>+=-≥ ⎪⎝⎭'.所以()x ϕ'在()0,c 上存在零点0x ，再结合()x ϕ'单调递增，即知00x x <<时()0x ϕ'<，0x x c <<时()0x ϕ'>.故()x ϕ在(]00,x 上递减，在[]0,x c 上递增.①当0xx c ≤≤时，有()()0x c ϕϕ≤=；②当00x x <<112221e eff c⎛⎫=-≤-=< ⎪⎝⎭，故我们可以取1,1q c ⎫∈⎪⎭.从而当201cx q <<->()1ln ln ln ln 0x x x c c c c c c q cϕ⎫=----=-<⎪⎭.再根据()x ϕ在(]00,x 上递减，即知对00x x <<都有()0x ϕ<；综合①②可知对任意0x c <≤，都有()0x ϕ≤，即()ln ln 0x x x c c ϕ=-.根据10,e c ⎛⎤∈⎥⎝⎦和0x c <≤的任意性，取2c x =，1x x =，就得到1122ln ln 0x x x x -≤.所以()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x xx -=-=-情况三：当12101ex x <≤≤<时，根据情况一和情况二的讨论，可得()11e f x f ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭()21e f f x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭而根据()f x 的单调性，知()()()1211e f x f x f x f ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭或()()()1221e f x f x f f x ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭.故一定有()()12f x f x -.综上，结论成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合()f x 的单调性进行分类讨论.。

天津市红桥区2021届新高考数学第四次押题试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量()3,2AB =u u u r ，()5,1AC =-u u u r ，则向量AB u u u r 与BC uuur 的夹角为（ ）A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒【答案】C 【解析】 【分析】求出()2,3BC AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r，进而可求()32230AB BC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r ,即能求出向量夹角.【详解】解：由题意知，()2,3BC AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r. 则()32230AB BC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r所以AB BC ⊥u u u r u u u r ，则向量AB u u u r 与BC uuur 的夹角为90︒.故选:C. 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，考查了数量积的坐标表示.求向量夹角时，通常代入公式cos ,a b a b a b⋅=r rr r r r 进行计算.2．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“1322a a a +<”是“210n S -<”的（ ） A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要【答案】A 【解析】 【分析】首先根据等比数列分别求出满足1322a a a +<，210n S -<的基本量，根据基本量的范围即可确定答案. 【详解】{}n a 为等比数列，若1322a a a +<成立，有()21201q a q -+<，因为2210q q -+≥恒成立， 故可以推出10a <且1q ≠， 若210n S -<成立，当1q =时，有10a <， 当1q ≠时，有()211101n a q q--<-，因为21101n q q-->-恒成立，所以有10a <， 故可以推出10a <，q ∈R ，所以“1322a a a +<”是“210n S -<”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了等比数列基本量的求解，充分必要条件的集合关系，属于基础题.3．已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =，且()1f x '<，则不等式()22lg lg f x x <的解集为（ ）A ．10,10⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()10,10,10骣琪??琪桫C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()10,+∞ 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数()()g x f x x =-,利用导数研究函数的单调性，即可得到结论. 【详解】设()()g x f x x =-,则函数的导数()()1g x f x ''=-,()1f x Q '<，()0g x '∴<，即函数()g x 为减函数,(1)1f =Q ,(1)(1)1110g f ∴=-=-=，则不等式()0<g x 等价为()(1)g x g <，则不等式的解集为1x >,即()f x x <的解为1x >，22(1)1f g x g x Q <，由211g x >得11gx >或11gx <-，解得10x >或1010x <<, 故不等式的解集为10,(10,)10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭.故选:B . 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性，根据函数的单调性解不等式，考查学生分析问题解决问题的能力,是难题. 4．已知复数z 534i=+，则复数z 的虚部为（ ） A ．45B ．45-C ．45iD ．45-i 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出 【详解】()()()53453434343455i z i i i i -===-++-， 则复数z 的虚部为45-. 故选：B. 【点睛】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若495,81a S ==，则10a =（ ） A ．23 B ．25C ．28D ．29【答案】D 【解析】 【分析】由981S =可求59a =，再求公差，再求解即可. 【详解】解：{}n a Q 是等差数列95981S a ∴==59a ∴=，又45a =Q ， ∴公差为4d =，410629a a d ∴=+=，故选：D 【点睛】考查等差数列的有关性质、运算求解能力和推理论证能力，是基础题.6．已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．4B ．4C ．4D ．2【答案】A 【解析】 【分析】先利用最高点纵坐标求出A ，再根据324123T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭求出周期，再将112，π⎛⎫⎪⎝⎭代入求出φ的值.最后将38π代入解析式即可. 【详解】由图象可知A ＝1， ∵324123T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以T ＝π，∴22T πω==. ∴f （x ）＝sin （2x+φ），将112，π⎛⎫⎪⎝⎭代入得(6sin π+φ）＝1， ∴6π+φ22k k Z ππ=+∈，，结合0＜φ2π＜，∴φ3π=.∴()23f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. ∴3384312f sin sin πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin 1234sin πππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭3434sin cos cos sin ππππ⎛⎫=--=⎪⎝⎭故选：A. 【点睛】本题考查三角函数的据图求式问题以及三角函数的公式变换.据图求式问题要注意结合五点法作图求解.属于中档题.7．已知函数21()(1)()2x f x ax x e a R =--∈若对区间[]01，内的任意实数123x x x 、、，都有123()()()f x f x f x +≥，则实数a 的取值范围是( ）A ．[]12， B ．[]e,4C ．[]14， D ．[)[]12,4e ⋃， 【答案】C 【解析】分析：先求导,再对a 分类讨论求函数的单调区间，再画图分析转化对区间[]01，内的任意实数123x x x 、、，都有()()()123f x f x f x +≥，得到关于a 的不等式组，再解不等式组得到实数a 的取值范围. 详解：由题得()[(1)]()xxxxf x ax e x e ax xe x a e =-+-=-=-'.当a ＜1时，()0f x '<，所以函数f （x ）在[]01，单调递减， 因为对区间[]01，内的任意实数123x x x 、、，都有()()()123f x f x f x +≥， 所以(1)(1)(0)f f f +≥， 所以111,22a a +≥ 故a≥1，与a ＜1矛盾，故a ＜1矛盾.当1≤a<e 时，函数f(x)在[0,lna]单调递增，在(lna,1]单调递减. 所以2max 1()(ln )ln ln ,2f x f a a a a a a ==-+ 因为对区间[]01，内的任意实数123x x x 、、，都有()()()123f x f x f x +≥， 所以(0)(1)(ln )f f f a +≥，所以2111ln ln ,22a a a a a a +≥-+ 即211ln ln 1022a a a a a -+-≤令211()ln ln 1,(1)22g a a a a a a a e =-+-≤<，所以21()(ln 1)0,2g a a =-<'所以函数g(a)在（1，e ）上单调递减， 所以max 1()(1)02g a g ==-<， 所以当1≤a<e 时，满足题意.当a e ≥时，函数f(x)在(0,1)单调递增,因为对区间[]01，内的任意实数123x x x 、、，都有()()()123f x f x f x +≥， 所以(0)(0)(1)f f f +≥, 故1+112a ≥， 所以 4.a ≤ 故 4.e a ≤≤综上所述，a ∈[]14，. 故选C.点睛：本题的难点在于“对区间[]01，内的任意实数123x x x 、、，都有()()()123f x f x f x +≥”的转化.由于是函数的问题，所以我们要联想到利用函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值、极值等）来分析解答问题.本题就是把这个条件和函数的单调性和最值联系起来，完成了数学问题的等价转化，找到了问题的突破口. 8．给出下列三个命题：①“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”的否定；②在ABC V 中，“30B ︒>”是“cos B <”的充要条件； ③将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度，得到函数π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象． 其中假命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】结合不等式、三角函数的性质,对三个命题逐个分析并判断其真假,即可选出答案. 【详解】对于命题①,因为()220002110x x x --+=≥,所以“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”是真命题,故其否定是假命题,即①是假命题;对于命题②,充分性:ABC V 中,若30B ︒>,则30180B ︒︒<<,由余弦函数的单调性可知,cos180cos cos30B ︒︒<<,即1cos 2B -<<,即可得到cos 2B <,即充分性成立;必要性:ABCV中,0180B ︒︒<<,若cos B <结合余弦函数的单调性可知,cos180cos cos30B ︒︒<<,即30180B ︒︒<<,可得到30B ︒>,即必要性成立.故命题②正确;对于命题③,将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度,可得到π2cos 23π2cos 26x y x ⎡⎤⎛⎫=+= ⎪⎢⎛⎥⎫+ ⎪⎝⎝⎣⎦⎭⎭的图象,即命题③是假命题． 故假命题有①③. 故选:C 【点睛】本题考查了命题真假的判断,考查了余弦函数单调性的应用,考查了三角函数图象的平移变换,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.9．很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2；如此循环，最终都能够得到1.下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入n 的值为10，则输出i 的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B 【解析】 【分析】根据程序框图列举出程序的每一步，即可得出输出结果. 【详解】输入10n =，1n =不成立，n 是偶数成立，则1052n ==，011i =+=； 1n =不成立，n 是偶数不成立，则35116n =⨯+=，112i =+=； 1n =不成立，n 是偶数成立，则1682n ==，213i =+=； 1n =不成立，n 是偶数成立，则842n ==，314i =+=；1n =不成立，n 是偶数成立，则422n ==，415i =+=；1n =不成立，n 是偶数成立，则212n ==，516i =+=；1n =成立，跳出循环，输出i 的值为6.故选：B. 【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题.10．已知集合{}2230A x x x =--≤{}2B x x =＜，则A B =I ( ) A ．()1,3 B ．(]1,3C ．[)1,2-D ．()1,2-【答案】C 【解析】 【分析】解不等式得出集合A ，根据交集的定义写出A∩B ． 【详解】集合A ＝{x|x 2﹣2x ﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x ≤3}，={x x<2}B ，{|1<2}A B x x ∴⋂=≤﹣故选C ． 【点睛】本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题． 11．已知变量的几组取值如下表：若y 与x 线性相关，且ˆ0.8yx a =+，则实数a =（ ） A ．74B ．114C ．94D ．134【答案】B 【解析】 【分析】求出,x y ，把坐标(,)x y 代入方程可求得a ． 【详解】 据题意，得()()151191234, 2.4 4.3 5.374244x y =+++==+++=，所以1950.842a =⨯+，所以114a =． 故选：B ． 【点睛】本题考查线性回归直线方程，由性质线性回归直线一定过中心点(,)x y 可计算参数值．12．已知1F ，2F 是双曲线222:1xC y a-=()0a >的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于A ，B 两点，若AB =△2ABF 的内切圆的半径为（ ）A ．3B ．C ．3D ．3【答案】B 【解析】 【分析】设左焦点1F 的坐标， 由AB 的弦长可得a 的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形ABF 2的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径. 【详解】由双曲线的方程可设左焦点1(,0)F c -，由题意可得22b AB a==，由1b =，可得a =所以双曲线的方程为: 2212x y -=所以12(F F ，所以2121122ABF S AB F F =⋅⋅==V 三角形ABF 2的周长为()()22112242C AB AF BF AB a AF a BF a AB =++=++++=+==设内切圆的半径为r ，所以三角形的面积1122S C r r =⋅⋅=⋅=，所以=解得3r =， 故选：B 【点睛】本题考查求双曲线的方程和双曲线的性质及三角形的面积的求法，内切圆的半径与三角形长周长的一半之积等于三角形的面积可得半径的应用，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

天津市红桥区2021届新高考数学第二次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=u u u v u u u u v，222AF F B =u u u u v u u u u v，则椭圆E 的离心率为( )A ．23B ．34C D 【答案】C 【解析】 【分析】根据222AF F B =u u u u r u u u r表示出线段长度，由勾股定理，解出每条线段的长度，再由勾股定理构造出,a c 关系，求出离心率. 【详解】222AF F B =u u u u r u u u u r Q设2BF x =，则22AF x =由椭圆的定义，可以得到1122,2AF a x BF a x =-=-120AF AF ⋅=u u u r u u u u rQ ,12AF AF ∴⊥在1Rt AF B V 中，有()()()2222232a x x a x -+=-，解得3a x =2124,33a a AF AF ∴== 在12Rt AF F △中，有()22242233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得225=9c a ，c e a ∴==故选C 项. 【点睛】本题考查几何法求椭圆离心率，是求椭圆离心率的一个常用方法，通过几何关系，构造出,a c 关系，得到离心率.属于中档题.2．5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的5G 技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为$$0.042y x a=+.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5G 手机市场占有率能超过0.5%（精确到月）（ ）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月【答案】C 【解析】 【分析】根据图形，计算出,x y ，然后解不等式即可. 【详解】 解：1(12345)35x =⨯++++=，1(0.020.050.10.150.18)0.15y =⨯++++= 点()3,0.1在直线ˆˆ0.042yx a =+上 ˆ0.10.0423a=⨯+，ˆ0.026a =- ˆ0.0420.026yx =- 令ˆ0.0420.0260.5yx =-> 13x ≥因为横轴1代表2019年8月，所以横轴13代表2020年8月， 故选：C 【点睛】考查如何确定线性回归直线中的系数以及线性回归方程的实际应用，基础题.3．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，若存在点P 满足1212::4:6:5PF PF F F =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．52C ．53D ．5【答案】B【解析】【分析】利用双曲线的定义和条件中的比例关系可求. 【详解】122155642F FePF PF===--.选B.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，离心率求解时，一般是把已知条件，转化为a,b,c的关系式.4．已知棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面中，最大面积为（）A．22B．23C．4D．26【答案】B【解析】【分析】由三视图可知，该三棱锥如图, 其中底面ABC是等腰直角三角形，PC⊥平面ABC,结合三视图求出每个面的面积即可.【详解】由三视图可知，该三棱锥如图所示：其中底面ABC是等腰直角三角形，PC⊥平面ABC,由三视图知，2,22,PC AB==因为,PC BC PC AC⊥⊥,,AC BC AC CB=⊥,所以2,2AC BC PA PB AB=====所以12222PAC PCB ACBS S S∆∆∆===⨯⨯=,因为PAB ∆为等边三角形，所以(2244PAB S AB ∆==⨯=所以该三棱锥的四个面中，最大面积为故选：B 【点睛】本题考查三视图还原几何体并求其面积; 考查空间想象能力和运算求解能力;三视图正确还原几何体是求解本题的关键;属于中档题、常考题型. 5．若θ是第二象限角且sinθ =1213，则tan()4πθ+= A ．177-B ．717- C ．177D ．717【答案】B 【解析】由θ是第二象限角且sinθ =1213知：5cos 13θ==-，5t n 1a 2θ-=． 所以tan tan 457tan()41tan tan 4517πθθθ+︒+==--︒．6．已知函数3(1),1()ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若()()f a f b >，则下列不等关系正确的是（ ）A ．221111a b <++ B C ．2a ab < D ．()()22ln 1ln 1a b +>+【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的单调性得到,a b 的大小关系，再利用不等式的性质，即可得答案. 【详解】∵()f x 在R 上单调递增，且()()f a f b >，∴a b >.∵,a b 的符号无法判断，故2a 与2b ，2a 与ab 的大小不确定， 对A ，当1,1a b ==-时，221111a b =++，故A 错误； 对C ，当1,1a b ==-时，21,1a ab ==-，故C 错误；对D ，当1,1a b ==-时，()()22ln 1ln 1a b +=+，故D 错误；对B ，对a b >B 正确. 故选：B. 【点睛】本题考查分段函数的单调性、不等式性质的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题. 7．已知随机变量X 的分布列如下表：其中a ，b ，0c >.若X 的方差()13D X ≤对所有()0,1a b ∈-都成立，则（ ） A ．13b ≤B ．23b ≤C ．13b ≥D ．23b ≥【答案】D 【解析】 【分析】根据X 的分布列列式求出期望,方差,再利用1a b c ++=将方差变形为21()412b D X a b -⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭,从而可以利用二次函数的性质求出其最大值为113b -≤,进而得出结论. 【详解】由X 的分布列可得X 的期望为()E X a c =-+, 又1a b c ++=,所以X 的方差()()()()22211D X a c a a c b a c c =-+-+-++-()()()222a c a b c a c a c =-++--++ ()2a c a c =--++()2211a b b =--++- 21412b a b -⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭,因为()0,1a b ∈-,所以当且仅当12ba -=时,()D X 取最大值1b -, 又()13D X ≤对所有()0,1a b ∈-成立, 所以113b -≤,解得23b ≥,故选:D. 【点睛】本题综合考查了随机变量的期望､方差的求法,结合了概率､二次函数等相关知识,需要学生具备一定的计算能力,属于中档题.8．已知集合{}23100A x x x =--<，集合{}16B x x =-≤<，则A B I 等于（ ） A ．{}15x x -<< B ．{}15x x -≤< C ．{}26x x -<< D ．{}25x x -<<【答案】B 【解析】 【分析】求出A 中不等式的解集确定出集合A ，之后求得A B I . 【详解】由{}()(){}{}2310025025A x x x x x x x x =--<=+-<=-<<，所以{}15A B x x ⋂=-≤<， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关集合的运算的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，集合的运算，属于基础题目. 9．已知1sin 243απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α的值等于（ ） A ．79-B ．29-C ．29D ．79【答案】A 【解析】 【分析】由余弦公式的二倍角可得，27cos()12sin 2249παπα⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，再由诱导公式有 cos()sin 2παα+=-，所以7sin 9α=-【详解】 ∵1sin 243απ⎛⎫+=⎪⎝⎭ ∴由余弦公式的二倍角展开式有27cos()12sin 2249παπα⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭又∵cos()sin 2παα+=-∴7sin 9α=- 故选：A 【点睛】本题考查了学生对二倍角公式的应用，要求学生熟练掌握三角函数中的诱导公式，属于简单题 10．函数()sin x y x-=（[),0x π∈-或(]0,x π∈）的图象大致是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】确定函数的奇偶性，排除两个选项，再求x π=时的函数值，再排除一个，得正确选项． 【详解】 分析知，函数()sin x y x-=（[),0x π∈-或(]0,x π∈）为偶函数，所以图象关于y 轴对称，排除B ，C ，当x π=时，sin 0xx=，排除D ， 故选：A ． 【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等，研究特殊的函数的值、函数值的正负，以及函数值的变化趋势，排除错误选项，得正确结论．11．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案. 【详解】解：由题意，若A 、B 的体积不相等，则A 、B 在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之，A 、B 在等高处的截面积不恒相等，但A 、B 的体积可能相等，例如A 是一个正放的正四面体，B 一个倒放的正四面体，必要性不成立，所以p 是q 的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力.12．设12,x x 为()()cos 0f x x x ωωω=->的两个零点，且12x x -的最小值为1，则ω=（ ） A ．π B ．2πC ．3π D ．4π 【答案】A 【解析】 【分析】先化简已知得()2sin()6f x wx π=-,再根据题意得出f （x ）的最小值正周期T 为1×2，再求出ω的值．【详解】由题得()2sin()6f x wx π=-,设x 1，x 2为f （x ）=2sin （ωx ﹣6π）（ω＞0）的两个零点，且12x x -的最小值为1， ∴2T=1，解得T=2； ∴2πω=2，解得ω=π． 故选A ． 【点睛】本题考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设函数1,2()21,2,1a x f x log x x a =⎧=⎨-+≠>⎩，若函数2()()()g x f x bf x c =++有三个零点123,,x x x ，则122313x x x x x x ++=（ ）A ．12B ．11C ．6D ．32．ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1a =，30B =︒，cos 7C -=，则ABC 的面积为（ ） ABCD．23．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ，过正方体中两条异面直线AB ，11A D 的中点,P Q 作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（ ）A．2B1 CD ．14．根据最小二乘法由一组样本点(),i i x y （其中1,2,,300i =），求得的回归方程是ˆˆˆybx a =+，则下列说法正确的是( )A ．至少有一个样本点落在回归直线ˆˆˆy bx a =+上B ．若所有样本点都在回归直线ˆˆˆy bx a =+上，则变量同的相关系数为1C ．对所有的解释变量i x （1,2,,300i =），ˆˆibx a +的值一定与i y 有误差 D ．若回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率ˆ0b>，则变量x 与y 正相关 5．3本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是（ ） A ．12B ．14C ．15D ．1106．要得到函数()sin(3)3f x x π=+的导函数()f x '的图像，只需将()f x 的图像（ ）A ．向右平移3π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 B ．向右平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 C ．向左平移3π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 D ．向左平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍7．使得()3nx n N x x +⎛+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．78．设抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离为1d ，到直线:34120l x y ++=的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ） A ．2B ．153C ．163D ．39．已知函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，若不等式()()()12122f x f x x x t+>++有解，则t 的取值范围是（ ） A ．(,2ln 2)-∞- B ．(],2ln 2-∞- C ．(,112ln 2)-∞-+D ．(],112ln 2-∞-+10．已知函数13()sin cos 2f x x x =+，将函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 11．如图所示的程序框图，若输入4a =，3b =，则输出的结果是（ ）A ．6B ．7C ．5D ．812．如图，正四面体P ABC -的体积为V ，底面积为S ，O 是高PH 的中点，过O 的平面α与棱PA 、PB 、PC 分别交于D 、E 、F ，设三棱锥P DEF -的体积为0V ，截面三角形DEF 的面积为0S ，则（ ）A ．08V V ≤，04S S ≤B ．08V V ≤，04S S ≥C ．08V V ≥，04S S ≤D ．08V V ≥，04S S ≥二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年天津市红桥区高考数学质量调查试卷（一）（一模）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合A＝{x|x＞0}，B＝{﹣2，﹣1，0，则（∁R A）∩B＝（）A．{0，2}B．{﹣2，﹣1}C．{﹣2，﹣1，0}D．{2}2．（5分）“|x﹣1|＜2成立”是“x（x﹣3）＜0成立”的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）函数y＝的图象大致是（）A．B．C．D．4．（5分）某校对高三年级800名学生的数学成绩进行统计分析．全年级同学的成绩全部介于80分与150分之间，将他们的成绩按照[80，90），100），[100，[110，120），130），[130，[140，150]分组，则成绩在[120，130）内的学生人数为（）A．200B．240C．360D．2805．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛6．（5分）已知函数y＝f（x）在区间（﹣∞，0）内单调递增（﹣x）＝f（x），若a＝f（3）﹣1.2），c＝f（），则a，b（）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞b＞c7．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5﹣y2＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin（x+）（x+），x∈R，给出下列四个命题：①函数f（x）的最大值为1；②函数f（x）的最小正周期为π；③函数f（x）在[，]上单调递增；④将函数f（x）的图象向左平移个单位长度（x）＝sin2x．其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．49．（5分）已知函数f（x）＝|lnx|，g（x）＝，若关于x的方程f（x）（x）恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（）A．（﹣ln2，0]B．[0，ln2]C．（﹣2﹣ln2，0]D．[0，2+ln2）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10．（5分）i是虚数单位，则复数＝．11．（5分）在（x﹣）8的二项展开式中，x2项的系数为．12．（5分）已知直线ax+y﹣2＝0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形．13．（5分）2021年是中国共产党成立100周年，现有A，B两队参加建党100周年知识竞赛，每人回答一个问题，答对者为本队赢1分；A队中每人答对的概率均为，B队中3人答对的概率分别为，，，若事件M表示“A队得2分”，事件N表示“B队得1分”（MN）＝．14．（5分）已知x＞0，y＞﹣1，且x+y＝1，则．15．（5分）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，∠ABC＝60°．动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则•．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（14分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）若cos A＝，求sin（2A﹣B）的值；（Ⅲ）若b＝2，c＝2a，求边a的值．17．（15分）如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝2AD＝2，四边形EDCF为矩形，平面EDCF⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：DF∥平面ABE；（Ⅱ）求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值．18．（15分）如图，椭圆E：+＝1（a＞b＞0）（0，﹣1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A），问直线AP与AQ的斜率之和是否为定值，求出这个定值；若不是19．（15分）已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n＝2a n+（﹣1）n，n≥1．（Ⅰ）求数列{a n}的前3项a1，a2，a3；（Ⅱ）求证：数列{a n+•（﹣1）n}是等比数列；（Ⅲ）求数列{（6n﹣3）•a n}的前n项和T n．20．（16分）已知函数f（x）＝x（lnx﹣m﹣1），m∈R．（Ⅰ）若m＝2，求曲线y＝f（x）在点（e，f（e）；（Ⅱ）当x＞1时，求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅲ）若对于任意x∈[e，e2），都有f（x）＜4lnx成立2021年天津市红桥区高考数学质量调查试卷（一）（一模）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合A＝{x|x＞0}，B＝{﹣2，﹣1，0，则（∁R A）∩B＝（）A．{0，2}B．{﹣2，﹣1}C．{﹣2，﹣1，0}D．{2}【分析】根据补集与交集的定义，计算即可．【解答】解：集合A＝{x|x＞0}，B＝{﹣2，3，2}，所以∁R A＝{x|x≤0}，所以（∁R A）∩B＝{﹣4，﹣1．故选：C．【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．2．（5分）“|x﹣1|＜2成立”是“x（x﹣3）＜0成立”的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】分别解出不等式：|x﹣1|＜2，x（x﹣3）＜0，即可判断出结论．【解答】解：由|x﹣1|＜2，解得：﹣2＜x＜3．由x（x﹣3）＜2，解得：0＜x＜3．“|x﹣4|＜2成立”是“x（x﹣3）＜2成立”的必要不充分条件．故选：C．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）函数y＝的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】确定函数的定义域，考查函数的性质，即可得到函数的图象．【解答】解：设f（x）＝，则函数的定义域为R∵f（﹣x）＝＝﹣∴函数为奇函数∵，f″（x）＝﹣sin x，∴函数在原点右侧，靠近原点处单调增，f（x）＜8，x＞0时．故选：C．【点评】本题考查函数的图象，解题的关键是确定函数的单调性与奇偶性，属于基础题．4．（5分）某校对高三年级800名学生的数学成绩进行统计分析．全年级同学的成绩全部介于80分与150分之间，将他们的成绩按照[80，90），100），[100，[110，120），130），[130，[140，150]分组，则成绩在[120，130）内的学生人数为（）A．200B．240C．360D．280【分析】先利用频率之和为1，求出成绩在[120，130）内的频率，再利用频率、频数、样本容量之间的关系求解即可．【解答】解：由频率分布直方图可知，成绩在[120，所以成绩在[120，130）内的频数为800×0.3＝240．故选：B．【点评】本题考查了频率分布直方图的理解和应用，考查了频率、频数、样本容量之间关系的运用，考查了逻辑推理能力与计算能力，属于基础题．5．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则r＝8，解得r＝，故米堆的体积为××π×（）2×5≈，∵1斛米的体积约为1.62立方尺，∴÷1.62≈22，故选：B．【点评】本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础．6．（5分）已知函数y＝f（x）在区间（﹣∞，0）内单调递增（﹣x）＝f（x），若a＝f（3）﹣1.2），c＝f（），则a，b（）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞b＞c【分析】根据题意，由f（﹣x）＝f（x）可得f（x）为偶函数，结合函数的单调性可得f （x）在（0，+∞）上递减，进而又由2﹣1.2＜2﹣1＜1＜log23，分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数y＝f（x）满足f（﹣x）＝f（x），又由函数y＝f（x）在区间（﹣∞，0）内单调递增，+∞）上递减，a＝f（3）＝f（log26），b＝f（2﹣1.6），c＝f（﹣6），又由2﹣1.2＜2﹣1＜3＜log23，则b＞c＞a，故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数的奇偶性，属于基础题．7．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5﹣y2＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是（）A．B．C．D．【分析】求得抛物线的准线方程，再由抛物线的定义可得p＝8，求出M的坐标，求得双曲线的左顶点和渐近线方程，再由斜率公式，结合两直线平行的条件：斜率相等，计算即可得到a的值．【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞2）的准线方程为x＝﹣，由抛物线的定义可得5＝6+，可得p＝8，即有y2＝16x，M（1，双曲线﹣y3＝1的左顶点为A（﹣，0），渐近线方程为y＝±x，直线AM的斜率为，由双曲线的一条渐近线与直线AM平行，可得＝，解得a＝，故选：A．【点评】本题考查抛物线和双曲线的定义、方程和性质，主要考查抛物线的定义和渐近线方程，运用两直线平行的条件是解题的关键．8．（5分）已知函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin（x+）（x+），x∈R，给出下列四个命题：①函数f（x）的最大值为1；②函数f（x）的最小正周期为π；③函数f（x）在[，]上单调递增；④将函数f（x）的图象向左平移个单位长度（x）＝sin2x．其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】①求出函数最大值判断；②求出函数最小正周期判断；③根据正弦函数和复合函数单调性判断；④求出平移后的函数表达式，比较判断．【解答】解：f（x）＝cos（2x﹣）﹣8sin（x+）＝cos（8x﹣）＝cos（8x ﹣）sin（﹣），对于①，f（x）的最大值为1；对于②，f（x）的最小正周期为，所以②对；对于③，x∈[，∈[﹣，]，]上不是单调函数，所以f（x）在[，]上不是单调函数；对于④，将函数f（x）的图象向左平移，得到y＝f（x+）﹣，所以④对．故选：C．【点评】本题以命题真假判断为载体，考查了三角函数的恒等变换，考查了三角函数的基本性质，属于基础题．9．（5分）已知函数f（x）＝|lnx|，g（x）＝，若关于x的方程f（x）（x）恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（）A．（﹣ln2，0]B．[0，ln2]C．（﹣2﹣ln2，0]D．[0，2+ln2）【分析】设h（x）＝f（x）+m，则h（x）是f（x）的图象沿着x＝1上下平移得到，作出函数h（x）与g（x）的图象，利用图象关系确定两个函数满足的条件进行求解即可．【解答】解：设h（x）＝f（x）+m，作出函数f（x）和g（x）的图象如图，则h（x）是f（x）的图象沿着x＝1上下平移得到，由图象知要使方程f（x）+m＝g（x）恰有三个不相等的实数解，则等价为h（x）与g（x）的图象有三个不同的交点，则满足，即，即﹣ln2＜m≤6，即实数m的取值范围是（﹣ln2，0]，故选：A．【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用函数图象平移关系以及数形结合是解决本题的关键．综合性较强，属于难题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10．（5分）i是虚数单位，则复数＝i．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的性质即可得出．【解答】解：复数＝＝＝﹣i，故答案为：＝﹣i．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（5分）在（x﹣）8的二项展开式中，x2项的系数为﹣56．【分析】先求出展开式的通项公式，令x的指数为2，由此即可求解．【解答】解：展开式的通项公式为T＝C，令8﹣2r＝2，解得r＝8，所以展开式的含x2项的系数为C，故答案为：﹣56．【点评】本题考查了二项式定理的应用，涉及到展开式的通项公式，属于基础题．12．（5分）已知直线ax+y﹣2＝0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形4±．【分析】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．【解答】解：圆心C（1，a），∵△ABC为等边三角形，∴圆心C到直线AB的距离d＝，即d＝，平方得a2﹣5a+1＝0，解得a＝3±，故答案为：4±【点评】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．13．（5分）2021年是中国共产党成立100周年，现有A，B两队参加建党100周年知识竞赛，每人回答一个问题，答对者为本队赢1分；A队中每人答对的概率均为，B队中3人答对的概率分别为，，，若事件M表示“A队得2分”，事件N表示“B队得1分”（MN）＝．【分析】事件M表示“A队得2分”，事件N表示“B队得1分”，由n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式求出P（M），再由相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求出P（N），由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出P（MN）．【解答】解：事件M表示“A队得2分”，事件N表示“B队得1分”，则P（M）＝＝，P（N）＝+（1﹣+（1﹣＝，∴P（MN）＝P（M）P（N）＝＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的运算，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．14．（5分）已知x＞0，y＞﹣1，且x+y＝1，则2+．【分析】由题意可得＝+，再利用乘1法和基本不等式即可求出最小值．【解答】解：＝x+++（y+1）++＝（+）（x+y+8）＝+）≥）＝6+，当且仅当＝时，即x＝3﹣﹣2时取等号，故最小值为2+，故答案为：2+．【点评】本题考查了乘1法和基本不等式的运用，考查运算能力，属于基础题．15．（5分）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，∠ABC＝60°．动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则•．【分析】利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于λ的代数式，根据具体的形式求最值．【解答】解：由题意，得到AD＝BC＝CD＝1•＝（）＝（）＝＝2×8×cos60°+λ1×1×cos60°+×1×1×cos120°＝7++﹣≥+＝（当且仅当；故答案为：．【点评】本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值；关键是正确表示所求，利用基本不等式求最小值．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（14分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）若cos A＝，求sin（2A﹣B）的值；（Ⅲ）若b＝2，c＝2a，求边a的值．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，结合sin A≠0，利用同角三角函数基本关系式可求tan B的值，结合范围B∈（0，π），可求B的值．（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求sin A的值，利用二倍角公式可求sin2A，cos2A 的值，进而根据两角差的正弦公式即可求解．（Ⅲ）由已知利用余弦定理即可求解a的值．【解答】解：（Ⅰ）因为a cos B＝b sin A，所以sin A cos B＝sin B sin A，因为sin A≠8，所以tan B＝，因为B∈（0，π），所以B＝．（Ⅱ）因为cos A＝，sin A＝＝，cos6A＝2cos2A﹣5＝﹣所以sin（4A﹣B）＝sin2A cos B﹣cos2A sin B＝×﹣（﹣＝．（Ⅲ）因为B＝，b＝6，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，可得4＝a6+c2﹣ac＝a2+7a2﹣2a5＝3a2，解得a＝．【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角差的正弦公式，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．17．（15分）如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝2AD＝2，四边形EDCF为矩形，平面EDCF⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：DF∥平面ABE；（Ⅱ）求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值．【分析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，先证明直线向量与平面法向量数量积为零，进而证明直线与平面平行；（Ⅱ）用向量数量积计算二面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取BC中点G，连接DG，因为＝AD，所以四边形ABGD为平行四边形，所以DG∥AB，又因为AB⊥AD，因为四边形EDCF为矩形，所以ED⊥CD，又因为平面EDCF⊥平面ABCD，平面EDCF∩平面ABCD＝CD，所以ED⊥平面ABCD，所以ED⊥DA，于是DA、DG，建立如图所示的空间直角坐标系，＝（0，2，3），，0，），＝（﹣7，2，），设平面ABE的法向量为＝（x，y，，令z＝1，，7，1），因为•＝﹣+，又因为DF⊄平面ABE，所以DF∥平面ABE．（Ⅱ）解：＝（﹣1，），＝（﹣7，0，），设平面BEF的法向量为＝（u，v，，令v＝，，，4），所以平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值为＝＝．【点评】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．18．（15分）如图，椭圆E：+＝1（a＞b＞0）（0，﹣1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A），问直线AP与AQ的斜率之和是否为定值，求出这个定值；若不是【分析】（Ⅰ）由题意可得b＝1，结合椭圆的离心率及隐含条件求得a，则椭圆E的方程可求；（Ⅱ）设出直线PQ的方程，联立直线方程和椭圆方程，然后借助于根与系数的关系整体运算得答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，b＝52＝b2+c7，解得，∴椭圆的方程为；（Ⅱ）由题设知，直线PQ的方程为y＝k（x﹣7）+1 （k≠2），得（1+2k3）x2﹣4k（k﹣6）x+2k（k﹣2）＝7，由已知Δ＞0，设P（x1，y6），Q（x2，y2），x7x2≠0，则，，从而直线AP与AQ的斜率之和：＝＝．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查了椭圆的简单性质，涉及直线和圆锥曲线位置关系的问题，常采用联立直线方程和圆锥曲线方程，利用根与系数的关系求解，是中档题．19．（15分）已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n＝2a n+（﹣1）n，n≥1．（Ⅰ）求数列{a n}的前3项a1，a2，a3；（Ⅱ）求证：数列{a n+•（﹣1）n}是等比数列；（Ⅲ）求数列{（6n﹣3）•a n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）分别令式子S n＝2a n+（﹣1）n中n分别为1，2，3得到a1，a2，a3的关系式，即可求解出a1，a2，a3；（Ⅱ）先由a n＝S n﹣S n﹣1得到a n与a n﹣1的关系式，整理得：，再求得a1﹣，即可证明结论；（Ⅲ）先由（Ⅱ）求得a n，进而求得（6n﹣3）•a n，再对n分奇数与偶数利用错位相减法求得其前n项和即可．【解答】（Ⅰ）解：当n＝1时，有：S1＝a2＝2a1+（﹣7）⇒a1＝1，当n＝6时，有：S2＝a1+a7＝2a2+（﹣4）2⇒a2＝5，当n＝3时，有：S3＝a8+a2+a3＝6a3+（﹣1）5⇒a3＝2，综上可知a4＝1，a2＝3，a3＝2；（Ⅱ）证明：由已知得：n≥8时，，化简得：a n＝2a n﹣8+2×（﹣1）n﹣3，上式可化为：，又＝，∴数列{}是以，公比为2的等比数列；（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知＝×2n﹣1，∴，（6n﹣3）•a n＝（5n﹣1）[2n﹣7﹣2×（﹣1）n]＝（5n﹣1）•2n ﹣6﹣2×（﹣1）n×（4n﹣1）当n为偶数时，T n＝[1•30+3•21+…+（2n﹣6）•2n﹣1]﹣3[﹣1+3﹣6+…﹣（2n﹣3）+（2n﹣1）]，令，B n＝5[﹣1+3﹣3+…﹣（2n﹣3）+（4n﹣1）]∵①②则①﹣②得：＝1+3（21+72…+2n﹣2）﹣（2n﹣1）•7n＝＝﹣2+（3﹣2n）•5n，∴，B n＝2[﹣8+3﹣5+…﹣（4n﹣3）+（2n﹣8）]＝，所以；当n为奇数时，，B n＝2[﹣6+3﹣5+…﹣（2n﹣5）+（2n﹣2）﹣（2n﹣1）]＝＝﹣5n，所以，综上，T n＝3+（2n﹣3）•8n+（﹣1）n﹣1•3n．【点评】本题主要考查等比数列的定义及基本量的计算、分类讨论思想及错位相减法在数列求和中的应用，属于中档题．20．（16分）已知函数f（x）＝x（lnx﹣m﹣1），m∈R．（Ⅰ）若m＝2，求曲线y＝f（x）在点（e，f（e）；（Ⅱ）当x＞1时，求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅲ）若对于任意x∈[e，e2），都有f（x）＜4lnx成立【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求出切线的斜率，求出切点坐标，然后求解切线方程．（Ⅱ）求出导数通过①当m≤0 时，②当m＞0 时，判断导函数的符号，判断函数的单调性求解函数的极值即可．（Ⅲ）题目化为f（x）﹣4lnx＜0，问题转化为（x﹣4）lnx﹣（m+1）x＜0 对于x∈[e，e2]恒成立，即对于x∈[e，e2]恒成立，构造函数，求出导函数，令t（x）＝4lnx+x﹣4，x∈[e，e2]，利用导函数求解最小值t（x）min＝t（e）＝e﹣4+4＝e＞0，推出gʹ（x）＞0，g（x）在区间[e，e2]上单调递增，然后求解最大值推出结果即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝（lnx﹣3）x，f（e）＝﹣2e，，则k＝f′（e）＝﹣3． (3)所以y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y+2e＝﹣（x﹣e）即x+y+e＝2．（Ⅱ）因为f（x）＝（lnx﹣m﹣1）x（m∈R），所以x＞0，①当m≤0时x＞3fʹ（x）＝lnx﹣m＞0，函数f（x）（1，无单调减区间 (7)②当m＞0时，令，解得m，当1＜x＜e m时，fʹ（x）＜4；当m，fʹ（x）＞0，所以函数f（x）（1，e m），单调增区间是m，+∞）， (2)在区间（1上的极小值为m）＝（m﹣m﹣1）e m＝﹣e m，无极大值． (10)（Ⅲ）因为对于任意x∈[e，e6]，都有成立f（x）﹣4lnx＜0，即问题转化为（x﹣5）lnx﹣（m+1）x＜0x∈[e，e7]恒成立，即对于，e7]恒成立， (11)令，则，令t（x）＝4lnx+x﹣7，e2]，则，所以t（x），e2]上单调递增，故t（x）min＝t（e）＝e﹣4+4＝e＞0，进而gʹ（x）＞3所以g（x），e2]上单调递增，函数， (15)要使对于，e2]恒成立，只要max，所以，即实数m的取值范围是【点评】本题考查函数的导数的应用，二次导数的应用，构造法以及转化思想的应用，考查分析问题解决问题的能力，是难题．。

2021年全国统一高考数学试卷（天津卷）一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}1,0,1A =-，{}1,3,5B =，{}0,2,4C =，则()A B C = （A）{}0（B）{}0,1,3,5（C）{}0,1,2,4（D）{}0,2,3,42.已知a ∈R ，则“6a >”是“236a >”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件3.函数2ln 2x y x =+的图像大致为（A）（B）（C）（D）4.从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其平分数据，将所得400个评分数据分为8组：[)66,70，[)70,74， ，[]94,98，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[)82,86内的影视作品数量为（A）20（B）40（C）64（D）805.设3.0log 2=a ，4.0log 21=b ，3.04.0=c ，则a 、b 、c 的大小关系为（A）c b a <<（B）b a c <<（C）ac b <<（D）bc a <<6.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为3π32，两个圆锥的高之比为3:1，则这两个圆锥的体积之和为（A）π3（B）π4（C）π9（D）π127.若1052==ba，则=+ba 11（A）1-（B）7lg （C）1（D）10log 78.已知双曲线12222=-by a x ()0,0>>b a 的右焦点与抛物线px y 22=（0>p ）的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于B A 、两点，交双曲线的渐近线与D C 、两点，若AB CD 2=,则双曲线的离心率为（A）2（B）3（C）2（D）39.设R a ∈,函数ax ax a x a x a x x f ≥<⎩⎨⎧+++--=,5)1(2),22cos()(22ππ,若)(x f 在区间）（+∞,0内恰好有6个零点，则a 的取值范围是（A）⎥⎦⎤ ⎝⎛⎦⎤ ⎝⎛41125492，， （B）⎦⎤ ⎝⎛⎥⎦⎤ ⎝⎛41125247，， （C）⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛3411492， （D）⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛3411247，， 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.i 是虚数单位，复数922ii++=______.11在361(2)x x+的展开式中，6x 的系数是_____.的直线与y 轴交于点A ，与圆22(1)1x y +-=相切与点B，则||AB =____.13.若0,0,a b >>则21++ab a b 的最小值为_____.14.甲、乙两人在每次猜谜语活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对一方获胜，否则本次平局。