下载文档原格式
2.2.2向量减法运算及其几何意义1•了解相反向量的概念 : 2 •掌握向量的减法运算•并理解其儿何意义 ]3 •理解向量加法与减法的联系•能将向量的减法运算转化为加法=I 运算i重点:向星的减法及具儿何意义 难点:向量减法的简单应用 易错学习导引 知识衔接湿暮提示如果您在观石木"件旳辻 莎中漬吳 用幷右幻灯片.*覇打并 可iEtfiU:・学习目标核心提示1. 向量加法的平行四边形法则:以（）为起点皿』为邻边 作平行四边形（1\CB •则以（）为起点的对角线加即 为a 与的和2. 向量加法的三角形法则:在平面上任取一点A,作习｝=a.BC=b.则向量加即为（I 与D 的和点:作两个向量的差向量时易忽略同•起点这•前提条件==课前自主学习主题向量减法及其几何意义1.实数Q的相反数是-爼,的相反数是a, 0的相反数是0, 若把实数a换成向量a,结论还成立吗？提示:成立•向量a的相反向量是-a, -a的相反向量是a, 0的相反向量是0・2.我们知道,在数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数,向量的减法是否也有类似的法则?如何理解向量的减法呢？提示:向量的减法有类似的法则，即a-b可理解为向量a 加上向量b的相反向量.3.由于a-b=a+ (-b).因此要作出a与b的差向量a-b,可以转化为作a与-b的和向量.已知向量a, b如图所示,你能利用平行四边形法则作出差向量a-b吗?提示:利用平行四边形法则•在平面内任取一点0,作uuw=a, UUI OA OB =1）作=-b,以为邻迸作uuw uum uuu平行魏形OAEcW^ =a-bUULOE结论：1.相反向量及性质(1)定义与a长度_____ ,方向 ____ 的向量，叫做a的相反向量，记作：相等相反■(2)性质①- (-a)二_・a②如果a, b是互为相反的向量，那么a+b=_0 ®a-b=a+ ( ).④零向量的肅反向量仍是零向量.2.向量的减法及几何意义(1)向量的减法向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的差,即a-—=a+ (-b),即为两个向量差的运算. b(2)向量减法的几何意义如图，设uum =a, UUL =b,OA OB则=a-b,即a-buum—魏终点的向量.A勺终点—指向被减向量b BU4UUM. V4UUH V4V4UX U4UUU UM3LB MUUUAB-DC-CB=AB+CEH-BCumu uuu uuiu uuui uuu 童鏈+BC)+CD=AC+CD=AD 口 5^： L4MLB AD2.在四边形ABCD 中, UtMIU ututu*. UUIU —AB —DC —CB 【解析】 umu==课堂合作探究类型一向量的减法运算【典例1】化简下列各式:(1)UU1 UUlt UUL UUUUUl UUUX UUU1AB_AD_DC(2) (AB+MB)+(-OB-MO)【解题指南】(1)通过相反向量，把减法变为加法.(2)有相同起点的向量的减法用三角形法则.UUL uuux UUU UUlt(AB^BO)+(OM+MB)UULUUUX UUUX UULDB — DC=CB【解析］⑴原式= UUJLuuit uum uuu AB+MB+BCHOM UU U U B=AB(2【方法总结】向量减法运算的常用方法运算转化为加法运算运用向量减法的三角形法则，此时、要注意两个向量要有共同的起点‘【拓展延伸】非零向量的差的三角不等式(1)当a, b不共线时，根据三角形边长的不等关系知|a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|.⑵当a, b共线且同向时，若|a|>|b|,贝!Ja-b与a,b同向，且|a-b| = |a|-1b| ; 若 | a |〈 | b |,贝！Ja-b与a, b反向，且 | a-b | = | b | -1 a |.⑶当a, b共线且反向时,a-b与a同向，与b反向，且| a-b| 二|a| + |b|・综上所述,对于任意两个非零向量，总有下列向量不等式成立：| | a | -1 b | | W | a-b | W | a | +1 b | •【跟踪训练】下列式子不能化简为_的是AD A.UUL UUUl UULD (AB+CD)+BCD.UUUX UUUL UUL UUUc. (AEH-MB)+(BC+CM)n UUUl UUUl UUUlD・ OC - 0A+CDuum uuui uuuMB+AD-BM()UU1 UUL uum UUUI AB+BC+CNAD+(MB+BC)+CM=AD+(MC+CM)=AD (OC _ OA) ；只有D 无法化简为. uum ucu uum uum +CD=AC+CD=AD UUUL UUL UUU UUUX UUltUUU uum ；对于G 有 uuui uum 【解析］选D ・对于；对于B,有諾 uu mAD【补偿训练】如图，己知向量a, b, c,求作向量a-b-c.【解析】在平面内任取一点0,作向量左=a，，则向量a-b二uum ,再作向量nut二c,则向量uum=a-b-c.BA BC CAB0 a%类型二用已知向量表示其他向量【典例2】如图所示,四边形ACDE 是平行四边形,B是该平行四边形夕卜一点，且=a, =b,二c试UUl UUU UUL用向量a, b胡表示向量AEuum UUL uumCD,BC,BD法几何意义的应用.【解析】因为四边形ACDE 是平行四边形, 所以 二C,=b-a fUUUl UU1 UUL UUUA UU1故 CD 二鵠.a +匹二 AC-ABuum uui uuuiBD = BC + CD【解题指南】【延伸探究】1.本例条件不变，试用向量a, b, c表示叫与皿• BECE 【解析】二c-a, =c-b.UUL UU1 UU1 UUL UUL UUUlBE = AE-AB CE 二AE_AC2.本例中的条件“点B是该平行四边形ACDE外一点”若换为“点B是平行四边形ACDE内一点”，其他条件不变，其结论又如何呢？【解析］因为四边形ACDE是平行四边形所以 3 nt€f UUL whra”uiCD = AE BC 二AC-AB=b-a+c<UUIU UUI UUIUBD=BC+CD【方法总结】1.利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意(1) 一个关键: 一个关键是确定已知向量与被表示向量的转化渠道.(2)三点注意:①注意相等向量、相反向量、共线向量与构成三角形三向量之间的关系;②注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律;③注意在封闭图形中利用多边形法则.2.用已知向量表示其他向量的一般步骤(1)观察待表示的向量位置.(2)寻找相应的平行四边形或三角形.(3)运用法则找关系,化简得结果.【跟踪训练】已知|a| = |b| = |a-b|=18,则|a+b| =【解析】如图，由向量加法■减法的平行四边形法则和三角形法则,可知在平行四边形ABCD中,BUVUU LUJU. LU4U1 ULUHAB = a,AD = b,AC = a + b,DB = a-b因为|a| = |b| = |a-b| = 18,所以三角形ABD是等边三角形■高AO=9 , 所以对角线AC的长度为18 JP|a+b|A8・答案:18 书弟【知识思维导图】进行向量的加减运算时.常用变形⑵运用AB+BA=Q 或花+花二花化简(3)AB=0B^0A"类比”实数的减法运算得出向量的减法运算法则（核心量养'3.运用法则找关系4•化简结果1 •平行四边形法则表示向量加法、减法 平行四边形/BCD 中，AC=AB^-AD, N BD =AD -A T D C2.向量形式的三角不等式||a 卜 |b||W|a ・b|W|a|+| 方 | a 与6方向相同，|a ・61=|| a|- b || a 与b 方向相反,\a-b\=\a\^\b\用已知向量表示其他向量的步骤： 1•观察各向量的位置2•寻找（或作）相应的平行四边形或三角形 课时分层作业 知识深化 、方法总结/点击进入Word版可编辑套题3.运用法则找关系4•化简结果。
2.2.2向量减法运算及其几何意义
知识回顾:
向量加法:
三角形法则
• b
4行四边形法则
向量加法推广:
首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点霜向耒尾由量的终点的向量・即：
A%+A^A3+A3A4+L + 4-14 = A A：
0诀:
“膏尾相接耆尾直”・
.向量构成一
个封闭图形, 零向量.即：
MUMUMLI
+ A”」
An」
向量的加法性质:
向量减法定义：a-b=a + {-b),
如图，已知，在平面内任取一点0,
UUU I ML4U I UUU I I I I _
作OA=a，OB =b，贝！| BA = a-b・即a-b可以表示从向量%的终点指向向量:的终点的向量. 这是向量减法的几何意义.
O ?
B
B
向量减法的几何作法：
0 (a — b) + b = a + (_b ) + /? = Q + O = d・•••求就是求这样一个向量它与&的和等于
图示:
a
说明:
例1・化简下列各式：
⑴ AB + CA + BC^
(2)-OE+OF-OD-DO；
(3)(AB-CD) - (AC-BD).
解：(1)原式=(AB + BC) + CA
= AC+CA=AC-AC = O.
(2)原式=(OF-OE)-^OD^DO)
UUUI I
= EF-0
(3) (AB-W)-(AC-BD).
(AB-CD)-(AC-BD) = AB-CD-AC + BD
= (AB-AC)-CD + BD = CB-CD-hBD
=DB + BD = 0 ・
(AB-W)-(AC-BD)=AB-CD-AC + BD
= (AB-AC) + (^D-^) = (AB-AC) + (DC-5B) =CB + BC = 0 ・
(AB-CD) - (AC -BD)
= AJS-CD-AC + BD = AB + DC+CA-^BD
=AB + BD + DC + CA = 0 ・
向量的加法，减法的运算并不困难，但运算的途径很多，十分灵活，如平面任一向量即可以写成两个向量的和，也可以写成两个向量的差等.通过这种调整来简
BC = AC -AB ,
化运算.如:
B C = B A + A C ・
四边形，且恥=a,A^ = b,A^ = c,试用a,b,c 表示向量
A J=C —a,
C^=A^-A^=c~b 9
Bb-B^+Cb=b~a+c.
如图，在五边形ABCDE 中，若ACDE 是平行
解析：T 四边形ACDE 是平行四边形，
B
例3如图，设P,Q为“ABC内的两点，且乔=£茲+*乱，菽=€■忑S +*疋,则ZVIBP的面积与
△AEQ的面积之比为___________ .
解析:设芯=2恥，冰=丄荒
5 5
则由平行四边形法则得
乔=桶+乔，
且AMPN为平行四边形，于是
NP//AM. g卩NP〃AB,所以°
， B △ ABC 同理何得沖国=斗，故沪竺=』・
^AABC 4 ^AABQ °
C
N
M lA^I 1 =亠■ 伍
丄 =—
W 5・
例3如图'已知向量a sb K C sd ,求作向量a-b ,c-d .作法:
例4如图，平行四边J^ABCD^,AB=a9AD=b9用表示向量疋"、万臣.
fi?:由平行四边形法则得：
AC =AB + AD =a+b;
由作向量差的方法得：
DB =AB-AD=a-b.
Ml已知向量恥=°,筋=以ZDAB = 120°,且
\a\ = |&| =3,求\a+b\ |a^b|.
解析：以AB.AD为邻边作平行四边形ABCD.
由于|A&I = |A5| =3,故此四边形为菱形,
所以△ADC的正三角形，则|就| =3.
由于菱形对角线互相垂直平分, 所以△AOD是直角三角形，|筋| = |筋丨sin 60°
解析：以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD, 由于|A&I = |A^| =3,故此四边形为菱形，
由向量加减法知，
故|刁© = \a+b \, | D5| = |a—b|. 因为
ZDAB = 120°,所以ZDAC = 60°,Q
所以△ADC的正三角形，则|就| =3.
由于菱形对角线互相垂直平分, 所以AAOD是直角三角形，10151 = | AS I sin 60°= 3 X 曹= 所以|a+b| = 3,|a ~~b\ =3丿5"・
例2 如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1, 恋=a，就=£h^=c，试求：（1） |a+b+c| ；（2）\a~~b+c\.
解析：（1）由已知得。
+ 〃=曲+就=朮又就=c.
则a+&+c=A^,且|硅| =2施,“
・•・延长AC到E,使| C&I = \At\
D
I a +ft+c| — 2^/2.
例3根据条件判断下列四边形ABCD 的形状 ⑴前=就； 平
行四边形 (2) 处=就,且|话| =|筋|； 棱形
(3) 前+况=筋+0方；(O 是四边形所
在平面内一
点) 平行四边形
⑷犹=陆+前； 平行四边形
(5)四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交点O,并且 花=况，竟=前. 厂平行四边形
A
F
A/ --------------- “
解析：(1)四边形AECD是平行四边形;
(2)四边形ABCD是菱形；
(3)四边形ABCD是平行四边形;
(4)四边形ABCD是平行四边形；
(5)四边形ABCD是平行四边形.
化简OB—筋）+（號一徒）的结果是
（D）B・方 C. A& D莊
A. cA
•p — jhqq —皿Q n 信"信—他 8・q l p H 世 iqQHqHH4v —ql<
小结与反思
1.向量减法的实质是向量加法的逆运算•利用相反向量的 定义，一瓦5=茁就可以把减法转化为加法.即，减去一个 向量等于加上这个向量的相反向量•如a — 0=d + （ —方）.
2.在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两 向量的终点，箭头指向被减数”•解题时要结合图形，准确 判断，防止混淆.
3•以向量恥为邻边作平行四边形ABCD,贝I 」
一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住.
AC = d,万京=a —b,这
课后作业
1 •教材P77习题
2.2A4、
2・《乐学》2.2.2
6、8B4、5。
