上海交通大学2010级数学分析第1学期第2次测验解答

一、填空题（每小题4分，共 16分）1. 极限210arcsin lim x x x x →⎛⎫= ⎪⎝⎭61e . 2. 极限=∑=∞→n i n n i n 1arctan 1lim 2ln 214-π .3.积分(121arctan d x x x x -+=⎰154. 4. (电院专业同学做此题，不做4*)设常数0a >，则平面曲线222222()4()x y a x y +=-所围图形的面积为 24a . 4*. (管院专业同学做此题，不做4)设)(x f 49623-+-=x x x ，则)(x f 在]4,0[上的最大值为 0 . 二、单项选择题（每小题3分，共12分）1. 考虑下列断语，则有 ……【 D 】 (I) 若],[)(b a R x f ∈，则],[)(2b a R x f ∈. (II) 若],[)(b a R x f ∈，则],[)(b a R x f ∈.(A) I 正确，II 不正确. (B) I 不正确，II 正确. (C) I ，II 均不正确. (D) I ，II 均正确. 2. 设常数0>k ，则方程ln 0exx k -+=在),0(+∞内的实根个数为 ……【 B 】 (A) 3. (B) 2. (C) 1. (D) 0.3. 设)(x g 为区间I 上的上凸函数，)(x f 为J 上递减的下凸函数，且J g R ⊂)(，则【 A 】 (A) g f 为I 上的下凸函数. (B) g f 为I 上的上凸函数. (C) g f 必为I 上的单调函数. (D) 以上结论都不正确.4. 设)(x F 是)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数, 则下列命题中, 错误命题个数为【 A 】 (I) )(x F 在],[b a 上连续.(II) 若0)()(<b F a F ，则),(b a ∈∃ξ，使0)(=ξF . (III) )(x f 在],[b a 上没有第一类间断点.(IV) 若0)()(<b f a f ，则),(b a ∈∃ξ，使0)(=ξf . (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. B 卷：1.(A) 2.(C) 3.(B) 4.(D)三、(本题共12分) 全面讨论函数2)1(12--=x x y 的性态，并列表作图 （已知43)1(24,)1(2-+=''--='x x y x x y ） 解 函数定义域：1≠x令 .00=→='x y 令210-=→=''x y（5）拐点)98,21(-- ，极小值点)1,0(-由∞=→y x 1lim 得垂直渐近线 1=x ；由0lim =∞→y x 得水平渐近线 0=y . ----------------------------------（8）草图：（12）四、计算题 (第1小题6分，其它4小题各7分，共34分)1. 求极限111lim ln 1x x x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭. 解 原式=xx xx x ln )1(ln 1lim1---→ ------------------------------（2）=21)1(ln 1lim ---→x x x x =)1(211lim 1--→x x x =2121lim1=→x x --------------------------------（6） 2. 求极限30e sin (1)lim x x x x x x→-+.解 原式=3243220))(6())(21(lim xx x x x x x x x x --+-⋅+++→οο-------（3）=323320))(3(lim x x x x x x x x --+++→ο=31)(3lim 3330=+→x x x x ο ------------------------------（7）3.求不定积分x . 解 原式=⎰--x xd 1arcsin 2=)111arcsin 1(22dx xxx x -----⎰-----（3）=)11arcsin 1(2dx xx x ⎰+---=C x x x +++--14arcsin 12 ----------------------------（7）4. 设函数[0,1]f C ∈，且0)0(=f ，当(0,1]x ∈时，()0f x >，又20()(xf x f t t =⎰，求)(x f 的表达式.解 由于当0≠x 时，()0f x >，由2()f x 可导知()f x 也可导. 方程两边对x 求导，得xx x f x f x f 2tan 21tan )()()(2+='---------------(2)当0≠x 时，有 xx x f 2tan 21tan )(2+='方程两边对x 积分得 dx xxx f ⎰+=2tan 21tan 21)(=⎰⎰--=-xxd dx x x 22cos 2cos 21cos 2sin 21=C x+-2cos arcsin21 -----------------------（6）再由0)0(=f 得C=8π. ------------------------------------------（7）5. 计算定积分e21(ln )d x x x ⎰.解 原式=xdx x x x x d x e eeln 23)(ln 33)(ln 12123312⎰⎰-= ---------------------（3）=⎰⎰--=-e ee dx x x x e xdx e 12133133)ln (923ln 923 -------------------（6）=32275)31(9233333-=---e e e e --------------------------------（7）五、(本题共10分) 设)(),(x g x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且()()0f a f b >，()()02a bf a f +<，又对任意的[,]x a b ∈有()0g x ≠.试证:在),(b a 内至少存在一点ξ，使)()()()(ξξξξg f g f '='.证 不妨设,0)(>a f 则0)2(,0)(<+>ba fb f ，由0)2()(<+⋅b a f a f ，0)()2(<⋅+b f ba f 及零点存在定理知 ),2(),2,(21b b a x b a a x +∈∃+∈∃使 0)()(21==x f x f -----------------------（5） 构造函数 )()()(x g x f x F =],[b a x ∈，-------------------------------------（8） 则0)()(21==x F x F ，故由Rolle 定理知),(),(21b a x x ⊂∈∃ξ使0)(='ξF 即)()()()(ξξξξg f g f '=' ------------------（10）六、（本题共10分）设)(),(x g x f 是定义在]1,0[上的有界函数，)(x f 和)(x g 在]1,0[上取值相异的点构成数列}{n x ，该数列满足1ln(1)()n n x x n +=+∀∈N . 证明：(1) 数列}{n x 收敛，且lim 0n n x →∞=；(2) ]1,0[R g f ∈-，并计算积分值1[()()]d f x g x x -⎰.证（1）因为n n n x x x ≤+=+)1ln(1 ，N n ∈∀，故数列}{n x 单调减，又]1,0[∈n x 有界， 所以数列}{n x 收敛。

上海交通大学 数学分析测验解答2010。

12。

19一、填空题(每题4分,共16分）1. 函数3()24f x x x =+-的零点个数为1.2. 写出e x y x =在1x =处的四阶带Peano 型余项的Taylor 展开式2344345e e(12(1)(1)(1)(1)(1))2!3!4!x x x x x x o x =+-+-+-+-+-. 3. 函数2()e x f x x -=([1,3]x ∈) 的最大值为24e ,最小值为1e .4.曲线2y =1,x y x =±=±.二、选择题（每题4分，共16分） 1. 设()f x 和()g x 均为上的凸函数， 则下列函数中必为凸函数的是 ( C )（A )|()()|f x g x +。

（B )()()f x g x ⋅. (C ）max{(),()}f x g x . （D ）[()]f g x 。

2. 设函数()()f x C ∈， 其导函数'()f x 的图形如右图所示， 则()f x 在上有 （ A ）（A ） 两个极小值点， 两个极大值点。

（B ） 两个极小值点, 一个极大值点. (C) 三个极小值点, 一个极大值点. （D ） 一个极小值点， 两个极大值点3. 设函数()x f 在0=x 连续， 0>α为常数, 且()lim0||x f x A x α→=>， 则以下四条叙述中正确的是 ( A ）（A ) ()x f 在0=x 取极值。

(B ) 存在0δ>使得对()δ,0U x ∈∀有()0>x f 。

(C ） ()x f 在0=x 可导。

（D ） ()x f 在0=x 不可导。

4. 设函数()x f 和()x g 在[]b a ,上可导，且[]()a x g b a x =∈,min ,[]()b x g b a x =∈,max 。

下列三个命题中，真命题的个数是 （ D ) I 存在[]b a ,∈ξ，使得()()()()()f b f a f g b a ξ'-=-。

2010届上海市数学八校联考（第二次）本卷文理合用，考试时间120分钟，满分150分一、 填空题 (本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 函数2()2(0)f x x x =+≥的反函数1()f x -=____________.2. 设12(1)i log (3)()z m m m =++-∈R ，若z 是虚数，则m 的取值范围为____________.3.设函数210()0xx f x x -⎧-≤⎪=>，若0()1f x >，则x 0的取值范围是____________.4. (理) 已知直线l 的极坐标方程sin 13θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ρ，若直线l 与双曲线22216x y a -=的一条渐近线平行，则正实数a =____________.(文) 直线3250x y +-=的方向向量与直线520ax y -+=的法向量垂直，则实数a =____________. 5. (理) 在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品个数的数学期望的值是____________.(文) 已知{}{}200A x x x B x x a =-≤=+≤，，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是____________. 6. 已知圆锥的母线长为5 cm ，侧面积为15πcm 2，则此圆锥的体积为____________cm 3. 7. (理) 若数列{}n a 的通项1C 2nn n na ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则6S =____________.(文) 若等差数列{}n a 中，()lim1n n nn a n S n +=+→∞，则公差d =____________.8. (理) 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若20102008420102008S S -=，则2n n S(文) 如果执行右面的程序框图，那么输出的i =____________.9. 在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若22(a c +-则角B 的取值范围为____________. 10. (理) 若数列{}n a 满足*111()n nd n d a a +-=∈N ，为常数列”. 已知数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“调和数列”，且1220200x x x +++=…，则318x x 的最大值是____________.(文)已知na x ⎛ ⎝的展开式中二次项系数之和为512，且展开式中3x 的系数为9，常数a 的值为____________. 11.函数sin 0cos ()10()011x xf x x ωω=∈R ，又()2()0f f αβαβ=-=-，且的最小值等于34π，则正数ω的值为______. 12. (理) 已知{}{}21020x A x x x B x a -=-≤=+≤，，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是____________.(文) 若方程lg 5x x =-+在区间(,1)()k k k +∈Z 上有解，则所有满足条件的k 的值的和为____________. 13. (理) 对于函数()y f x =的图像上任意两点()(),(),()A a f a B b f b ，，设点C 分AB 的比为(0)λλ>. 若函数为2()(0)f x x x =>，则直线AB 必在曲线段AB 的上方，且由图像的特征可得不等式22211a b a b λλλλ++⎛⎫> ⎪++⎝⎭. 若函数为2010()log f x x =，请分析该函数的图像特征，类比上述不等式可以得到不等式____________.(文) 在ABC ∆中，角A B C 、、的所对边分别为a b c 、、，AH 为BC 边上的高，在以下结论中 ①()AH AB BC AH AB ⋅+=⋅；②2AH AC AH ⋅=；③22()2cos BC AC AB b c bc A ⋅-=+-，其中，正确结论的序号是____________.14. (理) 设{}n a 是公比为q 的等比数列，其前n 项的积为n T ，并且满足条件99199100100111001a a a a a ->-><-，，，给出下列结论: ①01q <<；②1981T <；③991011a a <；④使1n T <成立的最小自然数n 等于199，其中正确结论的序号是____________.(文) 设{}{}(,)3(,)2A x y y x B x y y x b b A B =≤--=≥+≠∅，，为常数，(1) b 的取值范围是____________. (2) 设(,)()P x y A B ∈，点T的坐标为，若OP OT 在方向上投影的最小值为-b 的值为____________.二、选择题 (本大题满分16分) 本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分. 15. “1a >”是“11a<”的 A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件16. (理) 如果执行右图的程序框图，那么输出的i =A. 12B. 13C. 14D. 15③sin AH AC c B AH⋅=；④22()2cos BC AC AB b c bc A ⋅-=+-，其中，正确结论的序号是A. ①③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④(文) 2010年上海世博会期间，某高校有14名志愿者参加接待工作. 若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为A. 124414128C P P B. 124414128C C CC. 12441412833C C C P D. 12443141283C C C P18. (理) 已知()[,]f x x a b ∈在上的最大值为M ，最小值为m ，给出下列五个命题:①若对任何[,]x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(,]m -∞； ②若对任何[,]x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(,]M -∞；③若关于x 的方程()p f x =在区间[,]a b 上有实数解，则p 的取值范围是[,]m M ； ④若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[,]a b 上有解，则p 的取值范围是(,]m -∞； ⑤若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[,]a b 上有解，则p 的取值范围是(,]M -∞，其中正确的命题的个数为A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个(文) 以下有四个命题: ①一个等差数列{}n a 中，若存在*10()k k a a k +>>∈N ，则对于任意正整数n k >，都有0n a >； ②一个等比数列{}n a 中，若存在*100()k k a a k +<<∈，N ，则对于任意*n ∈N ，都有0n a <； ③一个等差数列{}n a 中，若存在*100()k k a a k +<<∈，N ，则对于任意*n ∈N ，都有0n a <； ④一个等比数列{}n a 中，若存在正整数k ，使10k k a a +<，则对于任意*n ∈N ，都有10n n a a +<.其中真命题的个数是A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. (理) (本题满分14分，第一小题8分，第二小题6分)如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，PF ABCD ⊥平面，垂足F 在AD 上，且13AF FD =，2FB FC FB FC ⊥==，，E 是BC 的中点，四面体P BCF -的体积为83.(1) 求异面直线EF 与PC 所成的角；(2) 求点D 到平面PBF 的距离.(文) (本题满分14分，第一小题8分，第二小题6分) 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，PF ABCD ⊥平面，垂足F 在AD 上，FB FC ⊥，2FB FC ==，E 是BC 的中点，四面体P- (1) 求异面直线EF 与PC 所成的角；(2) 求点E 到平面PBF 的距离.20. (本题满分14分，第一小题6分，第二小题8分如图，在半径为12的圆O (1) 将十字形的面积表示为θ(2) θ为何值时(用反三角函数表示θ)， 多少?21. (本题满分16分，理科学生完成1~3小题，第一小题7分，第二小题9分)已知复数122log (21)i 1i ()x z k z x x k =++=-∈，其中、R ，记12z z 的实部为()f x . 若函数()f x 是关于x 的偶函数. (1) 求k 的值；(2) 求函数2(log )(0,]0y f x x a a a =∈>∈在，，R 上的最小值； (3) 求证: 对任意实数m ，函数()y f x =图像与直线12y x m =+的图像最多只有一个焦点.22. (本题满分16分，第一小题4分，第二小题6分，第三小题6分)(理) 设向量(1,)(,1)(,)s x y t y x x y =+=-∈，R ，满足22s t +=，已知定点(1,0)(,)A P x y ，动点. (1) 求动点(,)P x y 的轨迹C 的方程；(2) 过原点O 作直线l 交轨迹C 于两点M 、N ，若23MAN π∠=，试求MAN ∆的面积： (3) 过原点O 作直线l 与直线2x =交于D 点，过点A 作OD 的垂线与以OD 为直径的圆交于G 、H (不妨设点G 在直线OD 上方)，试判断线段OG 的长度是否为定值? 并说明理由.(文) 设向量(1,)(,1)(,)s x y t y x x y =+=-∈，R ，满足22s t +=，已知定点(1,0)(1,0)(,)A B P x y -，，动点. (1) 求动点(,)P x y 的轨迹C 的方程；(2) 已知直线m : y x t =+交轨迹C 与两点M 、N 两点，A 、B 在直线MN 两侧，求四边形MANB 的面积的最大值；(3) 过原点O 作直线l 与直线2x =交于D 点，过点A 作OD 的垂线与以OD 为直径的圆交于点G 、H (不妨设点G 在直线OD 上方)，求证: 线段OG 的长为定值.23. (本题满分18分，理科第一小题4分，第二小题8分，第三小题6分；文科第一小题4分，第二小题6分，第三小题8分)设数列{}n a 的通项公式为*(0)n a pn q n p =+∈>，N . 数列{}n b 定义如下: 对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值；(1) 若31123p q b ==-，，求；(2) (理) 若21p q ==-，，求数列{}m b 的前m 项和公式；(文) 若21p q ==-，，求数列{}m b 的前2m 项和公式；(3) (理) 是否存在p 和q ，使得*32()m b m m =+∈N ? 如果存在，求p 和q 的取值范围；如果不存在，请说明理由；(文) 若13p =，是否存在q ，使得*32()m b m m =+∈N ? 如果存在，求q 的取值范围；如果不存在，请说明理由.2010届上海市八校联考（第二次）参考答案八校联考（第二次）（松江二中、青浦、七宝、市二、行知、进才、位育，新增：奉贤、金山、崇明、南汇、嘉定一中、南洋）（答案因故省略部分详细过程，敬请见谅）一、 填空题 (本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.[2,)x ∈+∞2. (,2)(2,3)-∞3. (,1)(1,)--+∞∞4. (理) (文) 152-5. (理)35(文) 1a ≤- 6. 12π7. (理) 6364-(文) 2- 8. (理) 2 (文) 13 9. 2,,323ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥2⎣⎭⎝⎦10. ()100()16理文 11.2312. ()(,2]()1---理文∞ 13. 201020102010log log ()log ()11a b a bλλλλ++<++理文①②③④14. ()()(1)3(2)10b ≤--理①③④文二、选择题 (本大题满分16分) 本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分. 15. A16. (理) B (文) C17. (理) D (文) B 18. (理) B (文) D三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. (理) (1) )也可使用其他反三角函数表示(:4)PF =提示(2) 3:2FD n n⋅，提示(文) (1) 见理科(2) 1:E PBF P BEF d V V --==，提示利用体积变更20. (1) 22122sin cos cos )tan 2S xy x θθθθϕϕ=-=--=，其中0,42y x θππ⎛⎫>>∴∈ ⎪⎝⎭(2) max 11arctan 422S θπ=+21. (1) 2122log x kx +=1221x x ⋅+1(21)02x k x x k ⎛⎫-=-+=∈= ⎪ ⎪⎝⎭R ，故，其中，得(2)2221()log (21)log log (0,]012x f x x y x a a x =+-==∈>=，，且，当且仅当时取到最小值2min min 21log 21101(0,]log a y y a x a x a y ≥≥==<<∈==时，，；，时，函数单调递减，故时，(3) :方法一 221log (21)log 1()2x x x m m h x ⎛⎫+-=⇒=+= ⎪⎝⎭联立方程得，证明单调递减:方法二 2log (21)2122(21)10x x x m x m x m m ++=++=-=≤联立方程，则，即，当时，无解；21102log 2121x m m m x >=⇒=--时，唯一解，得证22. (理) (1) 221:112x y a c b +===，提示根据椭圆定义得知，(2) AMBN 为2212121212283B MA r MB r AMB r r r r rr π==∠=+=++=，设左焦点为、、，则，则22212121212412cos4sin 3323r r r r AB r r S r r ππ+-=====，故，(3) 交轨法) 方法一: 0(2,)D y 设动点，OD 以为直径的圆:222200020():220:2x x y y y l GA x y y y x y -+-=+-=+=，，二式联立消去方法二: 0(2,)D y 设动点，2OD GA M OD OG GD OD AG OG OD OM ⊥⊥=⋅交于，为直径，，，故2200002220002824():()22022444y y y l OD y x l GA x y y x y OG y y y +==+-=====+++，，得，，故方法三: 0(2,)D y 设动点，OD 以为直径的圆:22020x x y y y -+-=，20():2202l GA x y y O GA OM OD OG +-====，点到距离方法四: 22(2,0)D OG GD OD AG OG OD OM x x N ⊥⊥=⋅=为直径，，，，，交轴于，OAM ∆∽ODN ∆22OG =故(文) (1) 见理科(2) 12max 0S y y t S =-====时，(3) 见理科23. (理) (1) min 311207233n a n m n n b =-≥≥==，解得，故(2) 221221444m m m m m k S m m k S m ==+=+=+-，，，(3) 032:3132m m q m qpn q m p n b m m m p p--+≥>⇒≥=++<≤+假设存在，且，，根据定义2(31)p q p m p q --≤-<--即恒成立 21310(310)31031313p q p q p p m m p p p p ⎛⎫++->-<<-≤--== ⎪--⎝⎭当或，则或矛盾；当，即得21211210,,3333333q q q p q ⎡⎤⎡⎤--≤<--⇒∈--=∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故综上， (文) (1) 见理科 (2) 2212m m m m b k m b k S m m ==+=+为奇数，为偶数，(3) 见理科2010届上海市数学八校联考(第二次)11 / 11。

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北京邮电大学2009—-2010学年第一学期《工科数学分析》期末考试试题（B 卷）注意事项:学生必须将答题内容写在答题纸上,写在试题纸上一律无效.一、填空（本大题共10小题，每小题4分,共40分）1. 已知()f x 的定义域为[0,1]， 则()f x 的定义为 。

2。

极限 30arctan lim ln(12)x x x x →-=+ 。

3.设2arctan ,0,()0x x f x a x ⎧<⎪=⎨⎪+≥⎩在(,)-∞+∞上连续, 则a = .4. 设当0x →时，x α与sin22sin x x -是同阶无穷小量， 则α= .5. 函数()y y x =由方程222sin()0x x y e xy ++-=所确定, 则y '= 。

6。

不定积分 2arctan x xd x =⎰ .7. 定积分1|ln |e e x d x =⎰ 。

8.微分方程tan cos y y x x '+=的通解是 .9.已知()f x 有一个原函数为2ln x ，则()xf x d x '=⎰ 。

10。

广义积分21445d x x x +∞-∞=++⎰_____________________________ 二(8分)。

求定积分201(tan )dx I x πα=+⎰的值， 其中0α>为常数. 三（10分). 设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导, 0a b <<.证明存在(,)a b ξ∈，使得 22()()()().3f b f a f a ab b b a ξξ'-=++- 四（10分）。

2010学年第一学期期末八年级数学试卷参考答案与评分标准（2010．12）1、x 23；2、1-a ；3、)4173)(4173(2---+--x x ；4、x=2；5、一条直线，(1,k)；6、x ≥34；7、-2；8、＜81且m ≠0；9、y=2x+2，x ＞1；10、x(123-2x)=2000；11、线段AB 的垂直平分线（除中点外）；12、84；13、4；、14、6；15、（0，-2）或（0，-11）；16、D ；17、B ；18、B ；19、A ；20、C ； 21、解：原式=x x xx x x 282212212++-3′ =x 29 2′22、解：a=3 b=-4 c=-1⊿=(-4)2-4×3×(-1)=28 1′3723228)4(±=⨯±--=x 2′ 3721+=x 3722-=x 2′23、解：根据题意：∵y 1与x 成反比例∴y 1=xk 11′ ∵y 2与(x-2)成正比例∴y 2=k 2(x-2) 1′ ∵y=y 1+y 2 ∴y=xk 1+ k 2(x-2) 1′ 把x=1 ，y=1代入 k 1-k 2=1 把x=3， y=7代入7321=+k k 得k 1=6 k 2=5 2′)2(56-+=x xy 1′ 当x=5时，y=+565×3=5811′24、解：（1）把A(2，-3)代入，y=mx 和y=xn得 m=23- ∴ y=23-x 1′n=-6 ∴ y=x6- 1′（2）根据题意,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=x y x y 623∴⎩⎨⎧-==3211y x ⎩⎨⎧=-=3222y x∴B(-2，3) 1′ ∵AC//x 轴 BC//y 轴∴C （-2 ，-3） 1′ (3) ∵ BC=6 AC=4∴S △ABC =21×4×6=12 2′ 25、解：（1）v=2t 3′0≤t ≤20 1′ (2)当t=3.5时，v=3.5×2=7m 1′(3当)v=16时,t=216=8(秒) 1′ 26、证明：连接AC ， 1′∵AD ⊥DC ， ∴∠ADC=900 ∴△ADC 是直角三角形∵AD=4，CD=3 ∴ AC=5 1′∴S △ADC =21×3×4=6， 1′ ∵△ABC 中，BC=12，AB=13，AC=5 ∴AC 2+BC 2=25+144=169=AB 2∴△ABC 是直角三角形，且∠ACB=90° 1′ ∴S △ABC =30 1′∴S=30-6=24 1′答；略。

交大高等数学考试题库及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的零点个数是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 32. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是（）。

A. 0B. 1C. -1D. ∞3. 以下哪个函数是奇函数？（）A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x^54. 曲线y = x^3 - 3x^2 + 2在点(1,0)处的切线斜率是（）。

A. 0B. 1C. -1D. 25. 以下哪个级数是收敛的？（）A. ∑(1/n^2)，n从1到∞B. ∑(1/n)，n从1到∞C. ∑((-1)^n/n)，n从1到∞D. ∑(n)，n从1到∞二、填空题（每题4分，共20分）6. 函数f(x) = 2x - 3的反函数是________。

7. 定积分∫(0到1) x^2 dx的值是________。

8. 微分方程dy/dx = 2x的通解是y =________。

9. 函数y = sin(x)的二阶导数是________。

10. 函数f(x) = e^x在x = 0处的泰勒级数展开的前三项是________。

三、解答题（每题15分，共40分）11. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6在区间[1,3]上的最大值和最小值。

12. 证明函数f(x) = x^2 - 4x + 3在区间(-∞,2)上是单调递减的，并求其极小值。

四、证明题（每题10分，共20分）13. 证明：对于任意实数x，都有e^x > 1 + x。

14. 证明：函数f(x) = x^3在R上是增函数。

答案：一、选择题1. C2. B3. B4. C5. A二、填空题6. f^(-1)(x) = (x+3)/27. 1/38. y = x^2 + C9. -cos(x)10. 1 + x + x^2/2三、解答题11. 最大值：f(3) = 0，最小值：f(2) = -112. 证明：f'(x) = 2x - 4 < 0 在区间(-∞,2)上恒成立，因此f(x)在该区间上单调递减。

20092010学年第一学期《高等数学1》考试参考答案与评分标准2009-2010学年第一学期《高等数学1》考试参考答案与评分标准一、选择题（每小题4分，共24分。

在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分）1．当0x x →时，)(x α、)(x β都是无穷小，则当0x x →时（ ）不一定是无穷小.(A) )()(x x βα+， (B) )()(22x x βα+ ， (C) [])()(1ln x x βα⋅+， (D) )()(2x x βα。

【解】 应选D 。

2. 设a 不是π的整数倍，极限ax ax ax -→⎪⎭⎫⎝⎛1sin sin lim 的值是（ ）.（A ） 1， （B ）e ， （C ）ae cot ，（D ）ae tan 。

【解】 应选C 。

事实上ax a x ax a x a a x a x -→-→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛11sin sin sin 1lim sin sin limaa x a x ax a a x a a x sin 1sin sin sin sin sin sin sin sin 1lim ⋅---→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=aa e sin 1cos ⋅=ae cot =。

3. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0 ,0 ,1sin )(2x a x x e x x f ax 在0=x 处连续，则=a （ ）.（A ）1， （B ） 0， （C ）e （D ）1-。

【解】 应选D 。

事实上由于()a e a x x e x x f axx axx x 212cos lim 1sin lim )(lim 2020+=⋅+=-+=→→→，而af =)0(，要使函数)(x f 在0=x 处连续，必需且只需)0()(lim 0f x f x =→，即a a =+21，解得1-=a 。

4. 设函数)(x f 在点a x =处可导，那么极限=--+→hh a f h a f h )2()(lim 0（ ）. （A ） )(3a f '， （B ）)(2a f '，(C) )(a f '， （D ）)(31a f ' 。

第11章 级数1．写出下列级数的前5项：(1) 11(1)3n nn -∞=-∑；(2) 113(21)242n n n ∞=⨯-⨯∑；(3) 21(ln )nn n ∞=∑；(4) 1!n n n n ∞=∑ 解答：(1)23451111133333-+-+-； (2) 1131351357135792242462468246810••••••••••+++++••••••••••；(3) 2345611111(ln 2)(ln 3)(ln 4)(ln 5)(ln 6)+++++； (4)234511212312341234512345••••••••••+++++。

所属章节：第十一章第一节 难度：一级2．写出下列级数的通项：(1) 2341357++++；(2)2-+；(3)2242468x x ++++⨯⨯⨯⨯解答：(1) 21nn -； (2) 1(1)(1)n n n --+；(3)2242n xn•。

所属章节：第十一章第一节 难度：一级3．已知级数的部分和S n ，写出该级数，并求和：(1) 1n n S n+=；(2) 212n n n S -=；解答：(1) 一般项为111121u S +===，111,2,3,1(1)n n n n n u S S n n n n n -+-=-=-==--，故该级数为212(1)n n n∞=--∑，该级数的和为1lim lim 1n n n n S n →∞→∞+==；(2) 一般项为1112u S ==，11121211,2,3,222n n n n n n n n u S S n -----=-=-==，故该级数为112n n ∞=∑，该级数的和为21lim lim 12n n n n n S →∞→∞-== 。

所属章节：第十一章第一节难度：一级4．根据定义求出下列级数的和：(1) 1326n nnn ∞=+∑；(2) 11(2)n n n ∞=+∑；(3) 1(1)(2)(3)n nn n n ∞=+++∑；(4) 1n ∞=∑解答：(1) 111113211332()()1162321123nnn n n n n n ∞∞∞===+=+=+=--∑∑∑； (2) 1111111111113()(1)(2)222324354n n n n nn ∞∞===-=-+-+-+=++∑∑； (3) 111123111111[()]()()2(1)(2)(3)2122322334n n nn n n n n n∞∞===-+-⋅=-++⨯=++++++∑∑； (4)11n n∞∞===-∑∑1n ∞==∑1==-所属章节：第十一章第一节难度：一级5．证明下列级数发散： (1)121n nn ∞=+∑；(2) 12nn n ∞=∑；(3) 11nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑；(4)111n nnn nn n +∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑解答：(1) 由于10212n n u n =→≠+，所以级数121n n n ∞=+∑发散；(2) 由于20nn u n =→+∞≠，所以级数12n n n∞=∑发散；(3) 由于1()01n n n u n e =→≠+，所以级数11nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑发散； (4) 由于1111011(1)()(1)n n nn nn n n n nn n u n e n n n ++=≥=→≠+++，所以级数111n nn n n n n +∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑发散。

上海交通大学试卷(答案)（2019至2020学年第1学期）课程名称初等数论第1题：选择题[共21分]1.1[3分]15125与25256能否表示成两个整数的平方和？（B）(A)都不能(B)仅15125能(C)仅25256能(D)都能1.2[3分]令k为三维实空间中一条直线上的全体整点的集合的势。

k的可能取值有多少种？（B）(A)2种(B)3种(C)可数无穷种(D)不可数多种1.3[3分]下面各数中哪一个没有原根？（B）(A)4(B)8(C)9(D)181.4[3分]最小的可以被所有判别式为−100的整正定二元二次型表出的(正)整数为哪一个？（B）(A)5(B)25(C)100(D)不存在1.5[3分]令A为一个正整数集合，令αn表示A中不超过n的元素的个数，并且令α˙=lim sup n→∞αnn >0。

∑a∈A 1a等于多少？（C）(A)π2+π4+π61−α(B)11−α2(C)∞(D)具体取值不能仅由α决定1.6[3分]225+1含有下述哪一个素因子？（D）(A)2(B)11(C)101(D)6411.7[3分]实数轴上是否存在一族开区间，使得每个有理数都只被其中有限个区间覆盖，每个无理数都被其中无限个区间盖住？（A）(A)存在(B)不存在(C)存在性与选择公理等价(D)由Godel不完全性定理可知这无法判定第2题：填空题[共30分]2.1[5分]11x+8y=600的正整数解(x,y)的个数为6。

2.2[5分]72020在十进制展开中最后两位是01。

2.3[5分]称2的幂次或者2的幂次的3倍为一个好数。

把100颗一模一样的珠子分成大小不一的若干堆，使得每一堆里头的珠子个数都是好数。

这种分法的个数为34。

2.4[5分]模257的原根共有128个。

2.5[5分](1747)=1（填一个整数）。

2.6[5分]13x=71(mod380)的解为327+380k。

第3题：计算题[10分]试确定y2+x−x3=0的所有整数解(x,y)。

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题参考答案答案速查： 一、选择题三、解答题（15）()f x 的单调递减区间为(,1)[0,1)-∞-U ；()f x 的单调递增区间为[1,0)[1,)-+∞U .()f x 的极小值为0；极大值为11(1)2e --.（16）(I)略；(II)0 （17）()233(1)2t t t t ψ=+>- （18）23ablπρ⎛⎝⎭（19）(,)a b 为22(,2),(2,)55---- （20）13316π- （21）略（22）(I) 1λ=-，2a =-； (II) 32110210x k ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭，k 为任意常数（23）1a =-；0Q ⎫⎪⎪=⎪⎪⎭一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.(1) 函数()f x = ( ) (A) 0. (B)1. (C) 2. (D)3.【答案 B【考点】函数间断点的类型 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：函数的间断点分为第一类间断点和第二类间断点。

第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。

第二类间断点为无穷间断点。

在本题中，()f x = 0,1x =±0lim ()lim x x x f x →→→==，0lim 1,lim 1x x +-→→===- 所以0x =为第一类间断点1lim ()2x f x →==，但函数()f x 在1x =处没有定义，所以1x =可去间断点。

1lim ()limx x f x →-→-==∞，所以1x =-为无穷间断点.所以选择B.(2) 设12,y y 是一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解，若常数λμ，使12y y λμ+是该方程的解，12y y λμ-是该方程对应的齐次方程的解，则 ( ) (A)11,22λμ==. (B) 11,22λμ=-=-.(C) 21,33λμ==. (D) 22,33λμ==.【答案】A【考点】线性微分方程解的性质及结构 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：线性微分方程的解的性质即叠加原理，线性微分方程通解的结构为齐次方程的通解加上特解。

第三学期数学分析考试题一、 判断题（每小题2分，共20分）1.开域是非空连通开集，闭域是非空连通闭集． （ ）2.当二元函数的重极限与两个累次极限都存在时，三者必相等． （ ）3.连续函数的全增量等于偏增量之和． （ ）4.xy y x f =),(在原点不可微． （ ）5.若),(),(y x f y x f yx xy 与都存在，则),(),(y x f y x f yx xy =． （ ）6.dy y x xyy )1(sin 21+⎰+∞在)1,0(内不一致收敛． （ ） 7.平面图形都是可求面积的． （ ） 8.学过的各种积分都可以以一种统一的形式来定义. （ ）9.第二型曲面积分也有与之相对应的“积分中值定理”． （ ） 10.二重积分定义中分割T 的细度T 不能用}{max 1i ni σ∆≤≤来代替． （ ）二、 填空题（每小题3分，共15分）1.设)sin(y x e z xy+=，则其全微分=dz ． 2.设32),,(yz xy z y x f +=，则f 在点)1,1,2(0-P 处的梯度=)(0P grad ． 3.设L 为沿抛物线22x y =,从)0,0(O 到)2,1(B 的一段，则⎰=+Lydx xdy ．4.边长为a 密度为b 的立方体关于其任一棱的转动惯量等于 ．5.曲面273222=-+z y x 在点（3,1,1）处的法线方程为 ． 三、计算题（每小题5分，共20分） 1．求极限xy y x y x )(lim22)0,0(),(+→．2． 设),(y x z z =是由方程ze z y x =++所确定的隐函数，求xy z ． 3．设]1,0[]1,0[⨯=A ，求⎰⎰++=Ay x ydxdyI 2322)1(. 4．计算抛物线)0()(2>=+a axy x 与x 轴所围的面积.四、(10分)密度22),,(y x z y x +=ρ的物体V 由曲面222y x z +=与2=z 所围成，求该物体关于z 轴的转动惯量． 五、（10分）求第二类曲面积分⎰⎰++S dxdy z dzdx y dydz x222其中S 是球面2222)()()(R c z b y a x =-+-+-并取外侧为正向． 六、（第1小题8分，第2小题7分，共15分）．1. 求曲线6222=++z y x ，22y x z +=在点（1，1，2）处的切线方程和法平面方程． 2．证明：221140π=+⎰+∞dx x ． 七、（10分）应用积分号下的积分法，求积分)0(ln )1cos(ln 10>>-⎰a b dx xx x x ab ．第三学期数学分析参考答案及评分标准一、 判断题（每小题2分，共20分）1.开域是非空连通开集，闭域是非空连通闭集． （⨯） 2.当二元函数的重极限与两个累次极限都存在时，三者必相等． （ √ ） 3.连续函数的全增量等于偏增量之和． （ ⨯） 4.xy y x f =),(在原点不可微． （ √ ）5.若),(),(y x f y x f yx xy 与都存在，则),(),(y x f y x f yx xy =． （ ⨯）6.dy y x xyy )1(sin 21+⎰+∞在)1,0(内不一致收敛． （ √ ）7.平面图形都是可求面积的． （⨯） 8.学过的各种积分都可以以一种统一的形式来定义. （ √ ）9.第二型曲面积分也有与之相对应的“积分中值定理”． （⨯）10.二重积分定义中分割T 的细度T 不能用}{max 1i ni σ∆≤≤来代替． （ √ ） 二、 填空题（每小题3分，共15分） 1.设)sin(y x e z xy+=，则其全微分=dzdy y x y x x e dx y x y x y e xy xy )]cos()sin([)]cos()sin([+++++++．2.设32),,(yz xy z y x f +=，则f 在点)1,1,2(0-P 处的梯度=)(0P grad (1,-3,-3)． 3.设L 为沿抛物线22x y =,从)0,0(O 到)2,1(B 的一段，则⎰=+Lydx xdy 2 ．4.边长为a 密度为b 的立方体关于其任一棱的转动惯量等于b a 532． 5.曲面273222=-+z y x 在点（3,1,1）处的法线方程为111193--=-=-z y x ． 三、计算题（每小题5分，共20分） 1．求极限xy y x y x )(lim22)0,0(),(+→．解：先求其对数的极限)ln(lim22)0,0(),(y x xy y x +→．由于)0,(0ln )ln(2222222+→=+→≤+r r y x r r y x xy 令，所以)ln(lim22)0,0(),(y x xy y x +→=0，故xy y x y x )(lim22)0,0(),(+→=1．2． 设),(y x z z =是由方程ze z y x =++所确定的隐函数，求xy z ． 解：方程ze z y x =++两边对x ，y 求偏导数，得 xze x z z∂∂=∂∂+1 y z e y z z ∂∂=∂∂+1 解得11-=∂∂=∂∂z e y z x z 32)1()1()11(-=∂∂⋅--=-∂∂=z zz z z xy e e y z e e e y z 。