高考文科数学考前提分题型强化训练：大题专项5 解析几何综合问题 Word版含解析

【背一背重点知识】1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即0(,)0Ax By C F x y ++=⎧⎨=⎩消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0．通过这个方程解的情况判断直线与圆锥曲线的位置关系，具体如下表所示．2（I ）圆锥曲线的弦长的定义：直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长． （II ）圆锥曲线的弦长的计算：设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1－x 2|·|y 1－y 2|．（抛物线的焦点弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝22sin pθ，θ为弦AB 所在直线的倾斜角)． 【讲一讲提高技能】1．利用直线与圆锥曲线的交点个数求参数利用直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元转化成一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，即方程为一次方程；若不为0，则方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．例1．【炎德英才大才大联考湖南师大2017届高三上学期第3次月考，20】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为()()121,0,10F F -，，点A 在椭圆C 上．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)是否存在斜率为2的直线l ，使得当直线l 与椭圆C 有两个不同交点M N 、时，能在直线53y =上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM NQ =？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【答案】(Ⅰ)2212x y +=；(Ⅱ)点Q 不在椭圆上． 【解析】(Ⅱ)椭圆C 上不存在这样的点Q ，证明如下：设直线l 的方程为2y x t =+，2．利用弦长公式求解直线与圆锥曲线的弦长问题当直线(斜率为k )与圆锥曲线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，则|AB |x 1－x 2||y 1－y 2|，而|x 1－x 2|利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解．例2．【广西陆川县中学2017届高三上学期12月考，20】（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率e =且椭圆C 经过点1,2A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．直线:l y x m =+与椭圆C 交于不同的,A B 两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）若AOB ∆的面积为1（O 为坐标原点），求直线l 的方程．【答案】（1）2214x y +=；（2）y x =±【解析】试题分析：（I ）根据题意可以得到,,a b c 的方程组，解方程可以求出,,a b c 的值，进而得到椭圆的方程；（2）将直线y x m =+与椭圆联立得到2258440x mx m ++-=，设出()()1122,,,A x y B x y ，利用韦达定理表示弦长AB =d =，利用面积公式即可得到方程，解得m ．试题解析：（1）∵离心率2c e a ==，∴2234c a =，得224a b =，①∵椭圆C 经过点1,A ⎛ ⎝⎭，∴221314a b +=，② 联立①②，解得224,1a b ==∴椭圆C 的方程为2214x y +=．3．利用点差法求解圆锥曲线问题点差法是一种常见的设而不求的方法，在解答平面解析几何的某些问题时，合理的运用点差法，可以有效减少解题的运算量，达到优化解题过程的目的．点差法的基本过程为：设点、代入、作差、整理代换．例3【山东省实验中学2017届高三第一次诊，20】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点(1,0)F ，过点F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P ，Q 两点，当直线PQ 经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60︒．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，线段OF 上是否存在点(,0)T t ，使得QP TP PQ TQ ⋅=⋅？若存在，求出实数t 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）22143x y +=（2）1(0,)4t ∈直线TR 的方程为：222314()3434k k y x k k k+=--++ ， ……………9分 令0y =得：T 点的横坐标22213344k t k k ==++， ……………10分 因为2(0,)k ∈+∞， 所以234(4,)k +∈+∞，所以1(0,)4t ∈．……………12分所以线段OF 上存在点(,0)T t 使得QP TP PQ TQ ⋅=⋅，其中1(0,)4t ∈．……………13分 【练一练提升能力】1．【重庆巴蜀中学2017届高三12月考，20】已知椭圆C ：22221(a b 0)x y a b +=>>的两个焦点分别为1(2,0)F -，2(2,0)F ，过焦点2F 的直线l （斜率不为0）与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为D ，O 为坐标原点，直线OD 交于椭圆M ，N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当四边形12MF NF 为矩形时，求直线l 的方程．【答案】(I)22162x y +=；(II)2)y =-． 【解析】（Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，设其方程为(x 2)y k =-，点11(x ,y )A ，22(x ,y )B ．33(x ,y )M ，33N(x ,y )--，由221,62(x 2),x y y k ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)x 121260k k x k +-+-=． 所以21221213k x x k +=+，因为121224(x 4)13ky y k x k-+=+-=+． 所以AB 中点22262(,)1313k kD k k-++．因此直线OD 方程为30(k 0)x ky +=≠．考点：椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系等有关知识的综合运用．2．【重庆巴蜀中学2017届高三上学期期中，20】（本小题满分12分）已知椭圆222:1x E y a+=（常数1a >），过点(),0A a -且以t 为斜率的直线与椭圆E 交于点B ，直线BO 交椭圆E 于点C （O 坐标原点）．（1）求以t 为自变量，ABC ∆的面积()S t 的函数解析式； （2）若12,,12a t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，求()S t 的最大值．【答案】（1）()()22220,11a tS t t a a t =>>+；（2）2． 【解析】试题分析：（1）首先设出直线AB 的方程，然后联立椭圆的方程求得点B 的纵坐标，由此利用三角形的面积公式得到()S t 的函数解析式；（2）首先结合（1）得出当2a =时，()S t 的解析式，然后利用基本不等式求出最大值．试题解析：（1）设直线AB 的方程为：()y t x a =+，由()2221y t x a x y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222120a t y aty +-=，∴0y =或2221at y a t =+，则点B 的纵坐标为2221B at y a t =+，∴()()222220,11ABC AOB B a tS t S S OA y t a a t ∆∆====>>+ ．（2）当2a =时，()2881414t S t t t t==++，∵1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴144t t t t +≥=， 当且仅当114,t 2t t==时，上式等号成立，∴()882144S t t t=≤=+，即()S t 的最大值()max 2S t =．3．【山东省肥城市2017届高三上学期升级统测，20】（本小题满分13分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别是12,F F ，离心率12e =，过点1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆E 截得的线段长为3． （1）求椭圆E 的方程；（2）若直线l 过椭圆E 的右焦点2F ，且与x 轴不重合，交椭圆E 于,M N 两点，过点2F 且与l 垂直的直线与圆22:2150C x y x ++-=交于,P Q 两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．【答案】（1）22143x y +=（2）⎡⎣（2）当直线l 与x 轴不垂直时，设l 的方程()()()()11221,0,,,,y k x k M x y N x y =-≠，由()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()22224384120k x k x k +-+-=，则221212228412,4343k k x x x x k k -+==++，所以()212212143k MN x k +=-=+，过点()21,0F 且与l 垂直的直线()1:1m y x k=--，圆心()1,0C -到m，所以PQ ==． 故四边形MPNQ面积12S MN PQ ==l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(．当l 与x 轴垂直时，其方程为1,3,8x MN PQ ===，四边形MPNQ 面积为12，综上，四边形MPNQ面积的取值范围为⎡⎣．轨迹与轨迹方程【背一背重点知识】 1．曲线与方程的概念：在直角坐标系中，如果某曲线C （看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x ，y)=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．求轨迹方程的基本步骤：（1）建系设点：建立适当的坐标系，用有序实数对（x ，y ）表示曲线上任意一点M 的坐标；（2）列出关于动点的几何等量关系是：写出适合条件的p （M ）的集合P={M|p(M)}；（3）坐标化:用坐标表示条件p(M)，列出方程F(x ，y)=0；（4）化简：化方程f(x ，y)=0为最简形式；（5）检验：说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上，同时检验前后化简的等价性． 3．求轨迹方程的基本方法：直接法、相关点法、定义法、参数法、交轨法等． 【讲一讲提高技能】 1．直接法求轨迹方程当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程，称之直接法．例1．【湖北孝感2017届高三上学期第一次统考，20】（本小题满分12分）双曲线()222:103x y C a a +=>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作x 轴垂直的直线交双曲线C 于A B 、两点，1F AB ∆的面积为12，抛物线()2:20E y px p =>以双曲线C 的右顶点为焦点．（Ⅰ）求抛物线E 的方程； （Ⅱ）如图，点(),02P P t t ⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭为抛物线E 的准线上一点，过点P 作y 轴的垂线交抛物线于点M ，连接PO 并延长交抛物线于点N ，求证：直线MN 过定点．【答案】（Ⅰ）24y x =；（Ⅱ）证明见解析． 【解析】（Ⅱ）由（Ⅰ）知：()()1,0P t t -≠，则2,4t M t ⎛⎫⎪⎝⎭直线PO 的方称为y tx =-，代入抛物线E 的方程有：244,N tt ⎛⎫-⎪⎝⎭ 当24t ≠时，22244444MNt t t k t t t +==--，∴直线MN 的方程为：22444t t y t x t ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，即()2414t y x t =--，∴此时直线MN 过定点()1,0，当24t =时，直线MN 的方称为：1x =，此时仍过点()1,0 即证直线MN 过定点．【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的．定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现．2．定义法求轨迹方程如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法．例2．【河北石家庄2017届高三第一次质检，20】（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知点()1,0F ，直线:1l x =-，动直线l '垂直l 于点H ，线段HF 的垂直平分线交l '于点P ，设点P 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程；（2）以曲线C 上的点()()000,0P x y y >为切点作曲线C 的切线1l ，设1l 分别与,x y 轴交于,A B 两点，且1l 恰与以定点()(),02M a a >为圆心的圆相切，当圆M 的面积最小时，求ABF ∆与PAM ∆面积的比． 【答案】（1）24y x =；（2）14． 【解析】（2）解法一：由题意知切线的斜率必然存在，设为，则 ．由，得，即由，得到．∴，……………………6分 解法二：由，当时，，以为切点的切线的斜率为以为切点的切线为即，整理………………6分令则，令则，………………7分点到切线的距离(当且仅当时，取等号)． ∴ 当时，满足题意的圆的面积最小．………………9分∴，．，．……………11分∴．△与△面积之比为．………………12分3．相关点法求轨迹方程相关点法：用动点Q 的坐标x ，y 表示相关点P 的坐标x 0、y 0，然后代入点P 的坐标（x 0，y 0）所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q 轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法． 例3．【广东省惠州市2017届第二次调研考试数学（理）试题】（本小题满分12分）已知点()1,0A ，点P 是圆C:()2218x y ++=上的任意一点，线段PA 的垂直平分线与直线C P 交于点E ． （Ⅰ）求点E 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线y kx m =+与点E 的轨迹有两个不同的交点P 和Q ，且原点O 总在以Q P 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）,33⎛- ⎝⎭（Ⅱ）设()11,x y P ，()22Q ,x y ，则将直线与椭圆的方程联立得：2222y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，消去y ，得：()222214220kx kmx m +++-=，0∆>，2221m k <+………①122421kmx x k +=-+，21222221m x x k -=+…………………6分 原点O 总在以Q P 为直径的圆的内部∴Q 0OP ⋅O <即12120x x y y +<……7分而()()2212122221m k y y kx m kx m k -=++=+∴2222222202121m m k k k --+<++……9分即22223k m +<∴223m <，且满足①式m 的取值范围是⎛ ⎝⎭…12分 4．交轨法求轨迹方程求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法．例4．【吉林省长春市普通高中2017届高三质量监测（一）数学（理）试题】（本小题满分12分） 以边长为4的等比三角形ABC 的顶点A 以及BC 边的中点D 为左、右焦点的椭圆过,B C 两点． （1）求该椭圆的标准方程；（2）过点D 且x 轴不垂直的直线l 交椭圆于,M N 两点，求证直线BM 与CN 的交点在一条直线上．【答案】（1）22196x y +=（2）x =（II ） ① 当MN 不与x 轴重合时，设MN的方程为x my =+B，2)C -联立椭圆与直线MN 2223180x y x my ⎧+-=⎪⎨=+⎪⎩消去x可得22(23)120m y ++-=，即12y y +=1221223y y m -=+ 设11(,)M x y ，22(,)N x y 则BM：2y x -=①5．参数法求轨迹方程当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一变数t 的关系，得(),(),x g t x t ϕ=⎧⎨=⎩再消去参变数t ，得到方程(,)0f x y =，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法．例 5．设椭圆方程为1422=+y x ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足)(21+=，点N 的坐标为)21,21(，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程．).44,4()2,2()(21222121kk k y y x x OB OA OP ++-=++=+=设点P 的坐标为),,(y x 则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.44,422k y k k x 消去参数k 得0422=-+y y x ③ 当k 不存在时，A 、B 中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P 的轨迹方 程为.0422=-+y y x 【练一练提升能力】1．【河北武邑中学2017届高三上学期第四次调研，21】已知椭圆2222:1x y C a b+=，()0a b >>，且过点⎛ ⎝⎭． (Ⅰ）求椭圆C 的方程； (Ⅱ)设与圆223:4O x y +=相切的直线l 交椭圆C 与A ，B 两点，求OAB ∆面积的最大值及取得最大值时直线l 的方程．【答案】（1）2213x y +=；（2，此时直线方程1y =±．【解析】AB ===2=≤当且仅当2219k k=，即k =11222OAB S AB r ∆∴=⨯≤⨯，OAB ∴∆，此时直线方程1y =±．2．【河南南阳一中2017届高三上学期第4次月考，20】如图，已知点A 的椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点互不重合．（1）求椭圆C 的方程；（2）求证：直线AB ，AD 的斜率之和为定值．【答案】（1）22142y x +=；（2）证明见解析． 【解析】试题解析：（1）由题意，可得2cea==，代入得22211a b+=，又222a b c=+，解得2a=，b=c=所以椭圆C的方程为221 42y x+=．分别将①②式代入（*），得242m-==，所以0AD AB k k +=，即直线AB ，AD 的斜率之和为定值0．3．【广西陆川县中学2017届高三上学期模拟二，20】已知椭圆D ：()222101y x b b+=<<的左焦点为F ，其左、右顶点为A 、C ，椭圆与y 轴正半轴的交点为B ，FBC 的外接圆的圆心(),P m n 在直线0x y +=上．（I ）求椭圆D 的方程；（II ）已知直线l ：x =N 是椭圆D 上的动点，NM l ⊥，垂足为M ，是否存在点N ，使得FMN 为等腰三角形？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(I)2221x y +=；(II)N ⎛ ⎝⎭或0,⎛ ⎝⎭．【解析】即12cm -=，22b c n b -=因为(),P m n 在直线0x y +=上，所以21022c b cb--+=………（4分）即()()10b b c +-= 因为()10b +>，所以b c = 再由221b c =-求得2212b c ==所以椭圆D 的方程为2221x y +=………（7分）圆锥曲线中的范围、最值问题【背一背重点知识】1、求圆锥曲线最值范围问题常见的方法有两种（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用图像性质结合曲线的定义来解决，这是几何法． （2）代数法：题目中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．求函数的最值范围常见的代数方法有:配方法、判别式法、基本不等式法、单调性法、三角换元法等． 2、求有关圆锥曲线的最值问题市应注意以下几点：（1）圆锥曲线上本身存在的最值问题．如 ①椭圆上两点间最大距离为a 2；②椭圆的焦半径的取值范围为[]c a c a +-,，c a -和c a +分别表示椭圆的焦点到椭圆上的最短距离和最长距离等．（II ）圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题，常把两点间的距离公式转化为区间上的二次函数的最值问题，有时也用圆锥曲线的参数方程，化为三角函数的最值问题解决； （III ）圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线法；(4)由直线(系)和圆锥曲线的位置关系，求直线中或圆锥曲线中某个参数(系数)满足的范围，解决方法是把所求参数化为另一变元的函数关系求解． 【讲一讲提高技能】圆锥曲线中的范围和最值问题的求解方法：求解有关圆锥曲线的最值、参数范围的问题：一是注意题目中的几何特征，充分考虑图形的性质；二是运用函数思想．建立目标函数，求解最值．在利用代数法解决最值和范围问题时常从以下几个方面入手: (1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的范围； (5)利用函数的值域的求法，从而确定参数的取值范围．例1．【湖南永州市2017届高三第一次模拟，20】（本小题12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的焦距为2，y 轴上一点Q 的坐标为()03，．（Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）若对于直线:l y x m =+，椭圆C 上总存在不同的两点A 与B 关于直线l 对称，且332QA QB ⋅<，求 实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，．（Ⅱ）由题意设()11A x y ，，()22B x y ，，直线AB 方程为：y x n =-+． 联立2212y x n x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 整理可得：2234220x nx n -+-=， 由()()222412222480n n n ∆=---=->，解得n <分（法二：请酌情给分）由题意设()11A x y ，，()22B x y ，，直线AB 的中点为()P x y ，， 则121222x x x y y y =+=+，， 将A ，B 两点分别代入椭圆方程，并联立22112222220220x y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，两式相减得：()2222121220x x y y -+-=， 即()()()()1212121220x x x x y y y y -++-+=， 又AB l ⊥，所以，12121AB y y k x x -==--，所以，AB 的中点P 的轨迹方程为：12y x =，【方法点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．例2．【四川巴中市2017届“零诊”，20】 (本小题满分12分) 已知椭圆M ：13222=+y a x (0>a )的一个焦点为)0,1(-F ，左右顶点分别为B A ,，经过点F 的直线l 与椭圆M 交于D C ,两点． （1）求椭圆方程；（2）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，求||21S S -的最大值．【答案】（1）22143x y +=；（2．【方法点睛】求解范围问题的常见求法：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 【练一练提升能力】1．．【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考，20】（本小题满分12分）已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于,A B 两点． （1）若3AF FB =，求直线AB 的斜率；（2）设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．【答案】（1；（2）4．2．【河北省衡水中学2017届高三摸底联考，20】（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3460x y ++=与圆()222x y b a +-=相切． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知椭圆C 的左顶点A 的两条直线12,l l 分别交椭圆C 于,M N 两点，且12l l ⊥，求证: 直线MN 过定点，并求出定点坐标；（III ） 在（II ） 的条件下求AMN ∆面积的最大值．【答案】（I ）2214x y +=；（II ）过定点6(,0)5-，证明见解析；（III ）1625．（2）(2,0)A -设1:2l x my =-，21:2l x y m=-- 由222440x my x y =-⎧⎨+-=⎩得22(4)40m y my +-=222284(,)44m m M m m -∴++解答题（共10题）1．【江西南昌市2017届摸底考试，20】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>短轴的一个端点与其两个焦点构成面积为3的直角三角形． （1）求椭圆C 的方程；（2）过圆22:2E x y +=上任意一点P 作圆E 的切线l ，l 与椭圆C 交于,A B 两点，以AB 为直径的圆是否过定点，如过，求出该定点；不过说明理由．【答案】（1）22163x y +=（2）坐标原点（Ⅱ）圆E 的方程为222x y +=，设O 为坐标原点 当直线l 的斜率不存在时，不妨设直线AB方程为x =则A B -， 所以2AOB π∠=……………6分所以AB 为直径的圆过坐标原点当直线l 的斜率存在时，设其方程设为y kx m =+，设()()1122,,,A x y B x y因为直线与相关圆相切，所以d ==2222m k \=+联立方程组22163x y y kx m +==+⎧⎪⎨⎪⎩得222()6x kx m ++=，即222(12)4260k x kmx m +++-=， …………7分2222222164(12)(26)8(63)8(41)0k m k m k m k D =-+-=-+=+>， 12221224122612km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩……………9分 22222221212121222(1)(26)4(1)()1212k m k m x x y y k x x km x x m m k k+-∴+=++++=-+++222366012m k k --==+OA OB ∴⊥ ………………… 11分所以AB 为直径的圆恒过坐标原点O ．………………………… 12分2．【湖北省黄石市2017届高三年级九月份调研，20】本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=过点()()2,0,0,1A B 两点．（1）求椭圆C 的方程及离心率；（2）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．【答案】（1）2214x y +=，e =2）面积为23．【云南省、四川省、贵州省2017届高三上学期百校大联考数学，20】（本小题满分12分）已知抛物线2:2(0)E y px p =>，直线3x my =+与E 交于A ，B 两点，且6OA OB =，其中O 为坐标原点．（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点C 的坐标为（-3，0），记直线CA 、CB 的斜率分别为1k ，2k ，证明：22212112m k k +-为定值． 【答案】（1）2y x =；（2）详见解析 【解析】试题解析：（1）解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立方程组223y px x my ⎧=⎨=+⎩，消元得2260y pmy p --=，所以122y y pm +=，126y y p =-．……………………………………………………………………………2分又2121212122()9664y y OA OB x x y y y y p p=+=+=-=，……………………………………………………6分 所以12p =，从而2y x =．………………………………………………………………………………………5分4．已知椭圆C ：2224x y +=．（1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，试判断直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论．分析：（1）把椭圆C ：2224x y +=化为标准方程，确定2a ，2b ，利用ace =求得离心率；（2）设点),(00y x A ，)2,(t B ，其中00≠x ，由OB OA ⊥，即0=∙，用0x 、0y 表示t ，当t x =0或t x ≠0分别根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，与圆的半径比较，从而判断直线AB 与圆222x y +=的位置关系．解析：（1）由题意椭圆C 的标准方程为12422=+y x ， 所以42=a ，22=b ，从而224222=-=-=b a c ，所以22==a c e ．5．如图，曲线C 由上半椭圆22122:1(0,0)y x C a b y a b+=>>≥和部分抛物线22:1(0)C y x y =-+≤连接而成，12,C C 的公共点为,A B ，其中1C 的离心率为2． （1）求,a b 的值；（2）过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q （均异于点,A B ），若AP AQ ⊥，求直线l 的方程．【答案】（1）2a =，1b =；（II ） 8(1)3y x =-- 【解析】（2）由（1）知，上半椭圆1C 的方程为221(0)4y x y +=≥，(1,0)B 易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为(1)(0)y k x k =-≠ 代入1C 的方程中，整理得：2222(4)240k x k x k +-+-= （*）设点P 的坐标(,)P P x y由韦达定理得2224P B k x x k +=+又(1,0)B ，得2244P k x k -=+，从而求得284P ky k -=+所以点P 的坐标为22248(,)44k kk k --++ 同理，由2(1)(0)1(0)y k x k y x y =-≠⎧⎨=-+≤⎩得点Q 的坐标为2(1,2)k k k ---- 22(,4)4kAP k k ∴=+，(1,2)AQ k k =-+ 因为AP AQ ⊥0AP AQ ∴⋅=，即222[4(2)]04k k k k --+=+0k ≠，4(2)0k k ∴-+=，解得83k =-经检验，83k =-符合题意，故直线l 的方程为8(1)3y x =--6．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有||||FA FD =．当点A 的横坐标为3时，ADF ∆为正三角形． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）若直线1//l l ，且1l 和C 有且只有一个公共点E ， （ⅰ）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）ABE ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（I ）24y x =．（II ）（ⅰ）直线AE 过定点(1,0)F ．（ⅱ）ABE ∆的面积的最小值为16．由2004y x =，整理可得0204(1)4y y x y =--， 直线AE 恒过点(1,0)F ．当204y =时，直线AE 的方程为1x =，过点(1,0)F ，所以直线AE 过定点(1,0)F ．（ⅱ）由（ⅰ）知，直线AE 过焦点(1,0)F ， 所以000011||||||(1)(1)2AE AF FE x x x x =+=+++=++， 设直线AE 的方程为+1x my =， 因为点00(,)A x y 在直线AE 上， 故001x m y -=，7．如图，梯形ABCD 的底边AB 在y 轴上，原点O 为AB的中点，|||2,AB CD AC BD ==⊥M 为CD 的中点．（Ⅰ）求点M 的轨迹方程；（Ⅱ）过M 作AB 的垂线，垂足为N ，若存在正常数0λ，使0MP PN λ=，且P 点到A 、B 的距离和为定值，求点P 的轨迹E 的方程；（Ⅲ）过1(0,)2的直线与轨迹E 交于P 、Q 两点，求OPQ ∆面积的最大值．【答案】（Ⅰ）()221,0x y x +=≠；（Ⅱ）0 2.λ=()2291,0x y x +=≠；． 【解析】（Ⅱ）设(),P x y ，则()0(1),M x y λ+，代入M 的轨迹方程有2220(1)1(0).x y x λ++=≠ 即221(0)12()10x y x λ+=≠+，∴P 的轨迹为椭圆（除去长轴的两个端点）．要P 到,A B 的距离之和为定值，则以,A B 为焦点，故1212(1)0λ-=+． ∴0 2.λ= 从而所求P 的轨迹方程为()2291,0x y x +=≠． 9分（Ⅲ）易知l 的斜率存在，设方程为1.2y kx =+ 联立()2291,0x y x +=≠，有223(9)0.4k x kx ++-=设()()1122,,,P x y Q x y ，则1212223,.94(9)k x x x x k k -+=-=++21x x ∴-==令29t k =+，则21x x -=且9.t ≥211122OPQ S x x ∆∴=⨯-=，119,0.9t t ≥∴<≤所以当119t =，即9,t =也即0k =时，OPQ ∆．8．已知,A B 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上两动点，12,F F 分别为其左右焦点，直线AB 过点()2,0F c ，且不垂直于x 轴，1ABF ∆的周长为8，且椭圆的短轴长为32． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P 为椭圆C 的左端点，连接PA 并延长交直线4:=x l 于点M ．求证：直线BM 过定点．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明详见解析． 【解析】1122111212||||||||||||||(||||)(||||)4AB AF BF AF BF AF BF AF AF BF BF a ++=+++=+++=所以⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==3232284b a b a ，则椭圆C 的方程为22143x y +=直线:4l x =，可得点164,M m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即234,2M m ⎛⎫-⎪⎝⎭，从而直线BM 的方程为()22222222212334234682434m m m y x m m m ++=----+，化简得()2233442y m x m =---，即()2324y m x =--，从而直线BM 过定点()2,09．已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x ，左焦点)0,3(-F ，且离心率23=e ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l ：m kx y +=（0≠k ）与椭圆C 交于不同的两点M ，N （M ，N 不是左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆C 的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．【答案】（1）1422=+y x ；（2）证明见解析，定点的坐标为)0,56(． 【解析】（2）由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x m kx y 得0448)41(222=-+++m kmx x k ，0)44)(41(4)8(222>-+-=∆m k km ， 整理得01422>+-m k ，设),(11y x M ，),(22y x N ，则221418k kmx x +=+，22214144k m x x +-=由已知，AN AM ⊥，即0=⋅AN AM ，又椭圆的右顶点为)0,2(A ，所以0)2)(2(2121=+--y y x x ， ∵2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++=， ∴04))(2()1(221212=+++-++m x x km x x k ，即04418)2(4144)1(22222=+++⋅-++-⋅+m kkm km k m k ． 整理得01216522=++k mk m ， 解得k m 2-=或56km -=均满足01422>+-m k ． 当k m 2-=时，直线l 的方程为k kx y 2-=，过定点)0,2(，与题意矛盾，舍去；当56k m -=时，直线l 的方程为)56(-=x k y ，过定点)0,56(，故直线l 过定点，且定点的坐标为)0,56(．10．【浙江省绍兴市柯桥区2016届高三教学质量调测（二模）数学（理）试题】（本小题满分15分）如图，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率是2，点12E ⎫⎪⎭在椭圆上，设点11,A B 分别是椭圆的右顶点和上顶点，过 点11,A B 引椭圆C 的两条弦1A E 、1B F ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线1A E 与1B F 的斜率是互为相反数．①直线EF 的斜率是否为定值？若是求出该定值，若不是，说明理由； ②设1A EF ∆、1B EF ∆的面积分别为1S 和2S ，求12S S +的取值范围．【答案】（I）2214xy+=；（II）①是定值21；②(0,．【解析】试题分析：（I）借助题设条件建立方程组求解；（II）借助题设运用直线与椭圆的位置关系探求．试题解析：②设直线1:2EF y x b=+，联立方程组221244y x bx y⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，消去y得：222220x bx b++-=，()()2222422840,b b b b ∆=---=-><21212122,22,x x b x x b EF x +=-=-=-=设12d d 分别为点11,A B 到直线EF的距离，则12d d ==，()(12121112S S d d EF b b +=+=++-当1b <<()1220,1S S += ；当11b -≤≤时，12S S ⎡+=⎣ ；当1b <<-时，()1220,1S S +=- ；12S S ∴+的取值范围是(0,．。

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解析几何解答题1、椭圆G ：)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆，且点N (0，3）到椭圆上的点最远距离为.25（1）求此时椭圆G 的方程;（2）设斜率为k(k ≠0）的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ，Q 为EF 的中点，问E 、F 两点能否关于过点P(0，33）、Q 的直线对称?若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由．2、已知双曲线221x y -=的左、右顶点分别为12A A 、，动直线:l y kx m =+与圆221x y +=相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为111222(,),(,)P x y P x y 。

（Ⅰ）求k 的取值范围，并求21x x -的最小值;(Ⅱ)记直线11P A 的斜率为1k ，直线22P A 的斜率为2k ，那么，12k k ⋅是定值吗？证明你的结论.3、已知抛物线2:C y ax=的焦点为F，点(1,0)K-为直线l与抛物线C准线的交点，直线l与抛物线C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D ．(1）求抛物线C的方程。

（2）证明:点F在直线BD上；（3）设89FA FB•=，求BDK∆的面积。

高中数学解析几何综合提高测试题（附答案）高二数学解析几何综合提高【本讲主要内容】解析几何综合提高直角坐标系（平面及空间），直线和圆的方程，简单的线性归划，直线与圆的位置关系【知识掌握】【知识点精析】1. 两点间距离公式：①数轴上：②平面上：③空间：平面上线段AB的中点坐标公式2. 直线的倾斜角、斜率直线的倾斜角；直线的斜率：直线的斜率是平面直角坐标系中表示直线位置的重要特征数值，在判断两条直线的位置关系和确定它们的夹角等问题中起着关键作用。

3. 直线的方程：①点斜式：②斜截式：③两点式：④截距式：⑤一般式：4. 两条直线的位置关系：若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x ＋b2则：l1与l2的夹角公式：（为l1与l2的夹角）点P（x0，y0）到直线l：的距离公式：5. 简单的线性归划：在平面直角坐标系中，二元一次不等式表示在直线的某一侧的平面区域。

简单的线性归划讨论在二元一次不等式等线性约束条件下，求线性目标函数ax＋by的最值问题，一些实际问题可以借助这种方法解决。

6. 曲线和方程：把曲线看作适合某种条件P的点M的集合P＝{M|P(M)}，建立直角坐标系后，点集P中任一元素M都有一个有序实数对（x，y）和它对应，（x，y）是某个二元方程f(x,y)＝0的解，反之以二元方程f(x,y)＝0的解为坐标，都有一点M与它对应，且M是点集P中的一个元素。

这种对应关系就是曲线与方程的关系。

7. 圆的方程：标准方程：，其中圆心是（a，b），半径为r一般方程：参数方程：，半径为r，为参数8. 直线与圆的位置关系：相切：d＝r 相离：d 相交：dr其中：d为圆心到直线的距离，r为圆的半径【解题方法指导】例1. 如图，圆内有一点，AB为过点且倾斜角为的弦。

（1）当时，求AB的长。

（2）当弦AB被点平分时，写出AB的直线方程。

解：（1）当时，直线AB的斜率为直线AB的方程为：即：①把①代入，得即解此方程得所以，（2）当弦AB被点平分时，，直线O 的斜率为－2，所以直线AB的斜率为，根据点斜式，直线AB的方程为即点评：（1）中求|AB|时，由直线的方程和圆的方程联立消元得一元二次方程。

高考文科数学考前提分题型强化训练大题专项1 三角函数、解三角形综合问题1.已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P--.(1)求sin(α+π)的值;(2)若角β满足sin(α+β)=,求cos β的值.2.(2019北京,文15)在△ABC中,a=3,b-c=2,cos B=-.(1)求b,c的值;(2)求sin(B+C)的值.3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.(1)证明:sin A sin B=sin C;(2)若b2+c2-a2=bc,求tan B.4.已知函数f(x)=cos-π-2sin x cos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x∈-ππ时,f(x)≥-.5.已知函数f(x)=sin2x+sin x cos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若f(x)在区间-π上的最大值为,求m的最小值.6.(2019福建泉州5月质检,17)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a+b=5,(2a+b)·cos C+c·cos B=0.(1)若△ABC的面积为,求c;(2)若点D为线段AB的中点,∠ACD=30°,求a,b.答案解析1.解 (1)由角α的终边过点P--,得sin α=-,所以sin(α+π)=-sin α=.(2)由角α的终边过点P--,得cos α=-,由sin(α+β)=,得cos(α+β)=±.由β=(α+β)-α,得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α, 所以cos β=-或cos β=.2.解 (1)由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B,得b2=32+c2-2×3×c×-.因为b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-2×3×c×-.解得c=5,所以b=7.(2)由cos B=-得sin B=.由正弦定理得sin A=sin B=.在△ABC中,B+C=π-A.所以sin(B+C)=sin A=.3.(1)证明根据正弦定理,可设=k(k>0).则a=k sin A,b=k sin B,c=k sin C.代入中,有,变形可得sin A sin B=sin A cos B+cos A sin B=sin(A+B).在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,所以sin A sin B=sin C.(2)解由已知,b2+c2-a2=bc,根据余弦定理,有cos A=-.所以sin A=-.由(1),sin A sin B=sin A cos B+cos A sin B,所以sin B=cos B+sin B,故tan B==4.4.(1)解f(x)=cos 2x+sin 2x-sin 2x=sin 2x+cos 2x=sinπ.所以f(x)的最小正周期T=π=π.(2)证明因为-π≤x≤π,所以-π≤2x+ππ.所以sinπ≥sin-π=-.所以当x∈-ππ时,f(x)≥-.5.解 (1)因为f(x)=-sin 2x=sin 2x-cos 2x+=sin-π,所以f(x)的最小正周期为T=π=π.(2)由(1)知f(x)=sin-π.因为x∈-π,所以2x-π-π-π.要使f(x)在-π上的最大值为,即sin-π在-π上的最大值为1.所以2m-ππ,即m≥π.所以m的最小值为π.6.解 (1)∵(2a+b)cos C+c cos B=0,∴(2sin A+sin B)cos C+sin C cos B=0,即2sin A cos C+sin B cos C+sin C cos B=0.∴2sin A cos C+sin(B+C)=0,即2sin A cos C+sin A=0.∵A∈(0,π),∴sin A≠0.∴cos C=-.∵C∈(0,π),∴sin C=.∴S△ABC=a·b sin C=.∴ab=2.在△ABC中,c2=a2+b2-2ab cos C=(a+b)2-ab=25-2=23,∴c=.(2)∵cos C=-,∴C=120°.。

高考大题专项练五 高考中的解析几何1.设A ,B 为曲线C :y=x 24上两点,A 与B 的横坐标之和为4. (1)求直线AB 的斜率;(2)设M 为曲线C 上一点,C 在M 处的切线与直线AB 平行,且AM ⊥BM ,求直线AB 的方程.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1≠x 2,y 1=x 124,y 2=x 224,x 1+x 2=4,于是直线AB 的斜率k=y 1-y2x 1-x 2=x 1+x 24=1. (2)由y=x 24,得y'=x2. 设M (x 3,y 3),由题设知x 32=1, 解得x 3=2,于是M (2,1). 设直线AB 的方程为y=x+m ,故线段AB 的中点为N (2,2+m ),|MN|=|m+1|. 将y=x+m 代入y=x 24得x 2-4x-4m=0.当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x 1,2=2±2√m +1. 从而|AB|=√2|x 1-x 2|=4√. 由题设知|AB|=2|MN|,即4√2(m +1)=2(m+1),解得m=7. 所以直线AB 的方程为y=x+7.2.已知三点O (0,0),A (-2,1),B (2,1),曲线C 上任意一点M (x ,y )满足|MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+2. (1)求曲线C 的方程;(2)点Q (x 0,y 0)(-2<x 0<2)是曲线C 上动点,曲线C 在点Q 处的切线为l ,点P 的坐标是(0,-1),l 与PA ,PB 分别交于点D ,E ,求△QAB 与△PDE 的面积之比.MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2-x ,1-y ),MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-x ,1-y ), OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ),OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2), ∵|MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+2,∴√4x 2+4(1-y )2=2y+2,∴x 2=4y. ∴曲线C 的方程为x 2=4y.(2)设Q (x 0,x 024),则S △QAB =2(1-x 024),∵y=x 2,∴y'=1x ,∴k l =1x 0,∴切线l 的方程为y-x 024=12x 0(x-x 0)与y 轴交点M (0,-x 024),|PM|=1-x 024.直线PA 的方程为y=-x-1,直线PB 的方程为y=x-1,由{y =-x -1,y =12x 0x -x 024,得x D =x 0-22, 由{y =x -1,y =12x 0x -x 024,得x E =x 0+22, ∴S △PDE =12|x D -x E |·|PM|=1-x 024,∴△QAB 与△PDE 的面积之比为2.3.(2018全国Ⅰ,文20)设抛物线C :y 2=2x ,点A (2,0),B (-2,0),过点A 的直线l 与C 交于M ,N 两点. (1)当l 与x 轴垂直时,求直线BM 的方程; (2)证明:∠ABM=∠ABN.l 与x 轴垂直时,l 的方程为x=2,可得M 的坐标为(2,2)或(2,-2).所以直线BM 的方程为y=12x+1或y=-12x-1.l 与x 轴垂直时,AB 为MN 的垂直平分线,所以∠ABM=∠ABN.当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为y=k (x-2)(k ≠0),M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1>0,x 2>0. 由{y =k (x -2),y 2=2x 得ky 2-2y-4k=0, 可知y 1+y 2=2k,y 1y 2=-4.直线BM ,BN 的斜率之和为k BM +k BN =y 11+y22=x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2)(x 12.①将x 1=y 1k+2,x 2=y 2k+2及y 1+y 2,y 1y 2的表达式代入①式分子,可得x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2)=2y 1y 2+4k (y 1+y 2)k=-8+8k =0.所以k BM +k BN =0,可知BM ,BN 的倾斜角互补, 所以∠ABM=∠ABN. 综上,∠ABM=∠ABN.4.已知中心在原点O ,左焦点为F 1(-1,0)的椭圆C 的左顶点为A ,上顶点为B ,F 1到直线AB 的距离为√7|OB|.(1)求椭圆C 的方程; (2)若椭圆C 1的方程为x 2m 2+y 2n 2=1(m>n>0),椭圆C 2的方程为x 2m 2+y 2n 2=λ(λ>0,且λ≠1),则称椭圆C 2是椭圆C 1的λ倍相似椭圆.如图,已知C 2是椭圆C 的3倍相似椭圆,若椭圆C 的任意一条切线l 交椭圆C 2于两点M ,N ,试求弦长|MN|的取值范围.设椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),∴直线AB 的方程为x-a +yb =1. ∴F 1(-1,0)到直线AB 的距离d=√a 2+b =√77b ,a 2+b 2=7(a-1)2.又b 2=a 2-1,解得a=2,b=√3, 故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1. (2)椭圆C 的3倍相似椭圆C 2的方程为x 212+y 29=1,①若切线l 垂直于x 轴,则其方程为x=±2,易求得|MN|=2√6.②若切线l 不垂直于x 轴,可设其方程为y=kx+b ,将y=kx+b 代入椭圆C 的方程,得(3+4k 2)x 2+8kbx+4b 2-12=0,∴Δ=(8kb )2-4(3+4k 2)(4b 2-12)=48(4k 2+3-b 2)=0,即b 2=4k 2+3,(*)设M ,N 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),将y=kx+b 代入椭圆C 2的方程,得(3+4k 2)x 2+8kbx+4b 2-36=0, 此时x 1+x 2=-8kb 3+4k2,x 1x 2=4b 2-363+4k2,|x 1-x 2|=4√3(12k 2+9-b 2)3+4k2,∴|MN|=2·4√3(12k 2+9-b 2)3+4k2=4√6√1+k23+4k2=2√61+13+4k2.∵3+4k 2≥3,∴1<1+12≤43,即2√6<2√6√1+13+4k2≤4√2.综合①②,得弦长|MN|的取值范围为[2√6,4√2].5.(2018全国 Ⅲ,文20)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C :x 24+y 23=1交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M (1,m )(m>0). (1)证明:k<-12;(2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且FP ⃗⃗⃗⃗⃗ +FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.证明:2|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 124+y 123=1,x 224+y 223=1.两式相减,并由y 1-y2x 1-x 2=k 得x 1+x 24+y 1+y 23·k=0. 由题设知x 1+x 22=1,y 1+y 22=m ,于是k=-34m. 由题设得0<m<32,故k<-12.(2)由题意得F (1,0).设P (x 3,y 3),则(x 3-1,y 3)+(x 1-1,y 1)+(x 2-1,y 2)=(0,0). 由(1)及题设得x 3=3-(x 1+x 2)=1,y 3=-(y 1+y 2)=-2m<0.又点P 在C 上,所以m=34,从而P (1,-32),|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=32.于是|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(x 1-1)2+y 12=√(x 1-1)2+3(1-x 124)=2-x12.同理|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2-x2. 所以|FA⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4-12(x 1+x 2)=3. 故2|FP⃗⃗⃗⃗⃗ |=|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |. 6.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为12,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+√6=0相切,过点P (4,0)且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点. (1)求椭圆C 的方程; (2)求OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围;(3)若B 点关于x 轴的对称点是E ,证明:直线AE 与x 轴相交于定点.,ca =12√6√2=b ,即b=√3.又a 2=b 2+c 2,所以a=2,b=√3. 故椭圆C 的方程为x 2+y 2=1.l 的斜率存在,设直线l 的方程为y=k (x-4), 由{y =k (x -4),x 24+y 23=1,可得(3+4k 2)x 2-32k 2x+64k 2-12=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则Δ=322k 4-4(3+4k 2)(64k 2-12)>0, 所以0≤k 2<14. 则x 1+x 2=32k23+4k2,x 1x 2=64k 2-123+4k2. ①所以OA⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2 =x 1x 2+k 2(x 1-4)(x 2-4) =(1+k 2)x 1x 2-4k 2(x 1+x 2)+16k 2=(1+k 2)·64k 2-123+4k 2-4k 2·32k 23+4k2+16k 2=25-874k 2+3.因为0≤k 2<14,所以-873≤-874k 2+3<-874,则-4≤25-874k 2+3<134, 即OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[-4,134).B ,E 关于x 轴对称,所以可设E (x 2,-y 2),则直线AE 的方程为y-y 1=y 1+y2x 1-x 2(x-x 1).令y=0,可得x=x 1-y 1(x 1-x 2)y 1+y 2. 因为y 1=k (x 1-4),y 2=k (x 2-4), 所以x=2x 1x 2-4(x 1+x 2)x 1+x 2-8=2×64k 2-123+4k 2-4×32k 23+4k 232k23+4k2-8=1, 所以直线AE 与x 轴交于定点(1,0). 7.(2018天津,文19)设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的右顶点为A ,上顶点为B.已知椭圆的离心率为√5,|AB|=√13.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l :y=kx (k<0)与椭圆交于P ,Q 两点,l 与直线AB 交于点M ,且点P ,M 均在第四象限.若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍,求k 的值.设椭圆的焦距为2c ,由已知有c 2a 2=59.又由a 2=b 2+c 2,可得2a=3b.由|AB|=√a 2+b 2=√13,从而a=3,b=2.所以,椭圆的方程为x 29+y 24=1.(2)设点P 的坐标为(x 1,y 1),点M 的坐标为(x 2,y 2),由题意,x 2>x 1>0,点Q 的坐标为(-x 1,-y 1).由△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍,可得|PM|=2|PQ|,从而x 2-x 1=2[x 1-(-x 1)],即x 2=5x 1.易知直线AB 的方程为2x+3y=6,由方程组{2x +3y =6,y =kx ,消去y ,可得x 2=63k+2.由方程组{x 29+y 24=1,y =kx ,消去y ,可得x 1=√9k +4.由x 2=5x 1,可得√9k 2+4=5(3k+2),两边平方, 整理得18k 2+25k+8=0,解得k=-89,或k=-12. 当k=-89时,x 2=-9<0,不合题意,舍去; 当k=-12时,x 2=12,x 1=125,符合题意. 所以,k 的值为-12. 8.如图,已知椭圆x 2+y 2=1的左焦点为F ,过点F 的直线交椭圆于A ,B 两点,线段AB 的中点为G ,AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴分别交于D ,E 两点. (1)若点G 的横坐标为-14,求直线AB 的斜率;(2)记△GFD 的面积为S 1,△OED (O 为原点)的面积为S 2.试问:是否存在直线AB ,使得S 1=S 2?说明理由.依题意可知,直线AB 的斜率存在,设其方程为y=k (x+1),将其代入x 2+y 2=1,整理得(4k 2+3)x 2+8k 2x+4k 2-12=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),所以x 1+x 2=-8k24k 2+3.故点G 的横坐标为x 1+x22=-4k24k 2+3=-14,解得k=±12.(2)假设存在直线AB ,使得S 1=S 2,显然直线AB 不能与x 轴或y 轴垂直. 由(1)可得G (-4k24k 2+3,3k4k 2+3).设点D 坐标为(x D ,0). 因为DG ⊥AB ,所以3k 4k 2+3-4k24k 2+3-x D ·k=-1,解得x D =-k24k 2+3,即D (-k24k 2+3,0).因为△GFD ∽△OED , 且S 1=S 2,所以|GD|=|OD|. 所以√(-k24k 2+3--4k24k 2+3)2+(-3k4k 2+3)2=|-k24k 2+3|,整理得8k 2+9=0.因为此方程无解,所以不存在直线AB ,使得S 1=S 2.。

高考中解析几何问题的热点题型圆锥曲线是平面解析几何的核心部分，也是每年高考必考的一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主．这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常作为压轴题的形式出现．热点一 圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题．[考查角度一] 圆锥曲线中的定点问题[典题1] 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F (1,0)，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上异于O 的两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求证：直线AB 过x 轴上一定点．(1)[解] 因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为(1,0)， 所以p2＝1，所以p ＝2. 所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)[证明] ①当直线AB 的斜率不存在时，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，t ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，－t .因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12， 所以t t 24·－t t 24＝－12，化简得t 2＝32.所以A (8，t )，B (8，－t )， 此时直线AB 的方程为x ＝8.②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋b ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )， 联立得⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋b ，化简得ky 2－4y ＋4b ＝0.根据根与系数的关系得y A y B ＝4bk ， 因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以y A x A ·y B x B＝－12， 即x A x B ＋2y A y B ＝0，即y 2A4·y 2B4＋2y A y B ＝0， 解得y A y B ＝0(舍去)或y A y B ＝－32. 所以y A y B ＝4bk ＝－32，即b ＝－8k ， 所以y ＝kx －8k ，y ＝k (x －8)． 综上所述，直线AB 过定点(8,0)．定点问题的常见解法：(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．[2019·河南洛阳模拟]设M 是焦距为2的椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，A ，B 是椭圆E 的左、右顶点，直线MA 与MB 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2＝－12.(1)求椭圆E 的方程；(2)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)在点N (x 0，y 0)处的切线方程为x 0xa 2＋y 0yb 2＝1.若P 是直线x ＝2上任意一点，从P 向椭圆E 作切线，切点分别为C ，D ，求证直线CD 恒过定点，并求出该定点坐标．解：(1)由题意，2c ＝2，c ＝1，A (－a,0)，B (a,0)，设M (x ，y )，∵k 1k 2＝－12， ∴y x ＋a ·y x －a ＝－12，即y 2x 2－a 2＝－12. ∵M (x ，y )在椭圆E 上，∴x 2a 2＋y 2b 2＝1， ∴b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2a 2x 2－a 2＝－12，∴b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2. 又a 2－b 2＝c 2＝1， ∴a 2＝2，b 2＝1.∴椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设切点坐标为C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，P (2，t )． 则切线方程分别为x 1x 2＋y 1y ＝1，x 2x2＋y 2y ＝1. ∵两切线均过点P ， ∴2x 12＋ty 1＝1，2x 22＋ty 2＝1， 即x 1＋ty 1＝1，x 2＋ty 2＝1， ∴直线CD 的方程为x ＋ty ＝1.对于任意实数t ，点(1,0)都适合这个方程，即直线CD 恒过定点(1,0)．[考查角度二] 圆锥曲线中的定值问题[典题2] 如图，已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M (0,2)任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点)．(1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)，与直线y ＝2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2.证明：|MN 2|2－|MN 1|2为定值，并求此定值．(1)[证明] 依题意，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋2， 代入x 2＝4y ，得x 2＝4(kx ＋2)， 即x 2－4kx －8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1x 2＝－8，直线AO 的方程为y ＝y 1x 1x ，直线BD 的方程为x ＝x 2.解得交点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 1x 2x 1，注意到x 1x 2＝－8及x 21＝4y 1， 则有y ＝y 1x 1x 2x 21＝－8y 14y 1＝－2.因此点D 在定直线y ＝－2上(x ≠0)．(2)[解] 依题意知，切线l 的斜率存在且不等于0， 设切线l 的方程为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入x 2＝4y 得x 2＝4(ax ＋b )，即x 2－4ax －4b ＝0， 由Δ＝0得(4a )2＋16b ＝0，化简整理得b ＝－a 2. 故切线l 的方程可写为y ＝ax －a 2.分别令y ＝2，y ＝－2得N 1，N 2的坐标为N 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋a ，2，N 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ＋a ，－2， 则|MN 2|2－|MN 1|2＝⎝⎛⎭⎪⎫2a －a 2＋42－⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋a 2＝8，即|MN 2|2－|MN 1|2为定值8.1．解答圆锥曲线中的定点、定值问题的一般步骤第一步：研究特殊情形，从问题的特殊情形出发，得到目标关系所要探求的定点、定值．第二步：探究一般情况．探究一般情形下的目标结论． 第三步：下结论，综合上面两种情况定结论．2．求定值问题常见的两种方法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．[2019·江西南昌二中月考]已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为22，直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，且满足|AF 1|＋|AF 2|＝42，k OA ·k OB ＝－12，O 为坐标原点．(1)求椭圆的方程；(2)证明：△OAB 的面积为定值．(1)解：由椭圆的离心率为22，可得c a ＝22，即a ＝2c . 又2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝42， ∴a ＝22，c ＝2，b 2＝4， ∴椭圆方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 28＋y 24＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋4mkx ＋2m 2－8＝0， Δ＝8(8k 2－m 2＋4)>0，x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1·x 2＝2m 2－81＋2k 2，又k OA ·k OB ＝－12，∴y 1·y 2＝－12x 1·x 2＝－m 2－41＋2k 2，又y 1·y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝m 2－8k 21＋2k 2，∴m 2－8k 21＋2k 2＝－m 2－41＋2k 2，即4k 2＋2＝m 2. 设原点到直线AB 的距离为d ， 则S △OAB ＝12|AB |d ＝121＋k 2|x 1－x 2|·|m |1＋k 2 ＝|m |264k 2m 2－16(m 2－4)m 2＝24k 2－m 2＋4＝2 2.当直线斜率不存在时，有A (2，2)，B (2，－2)，d ＝2，S △OAB ＝12×2×22＝2 2. 故△OAB 的面积为定值2 2.热点二 圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题．[考查角度一] 求线段长度、三角形面积的最值[典题3] [2019·山东卷]平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心、以3为半径的圆与以F 2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点．过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .①求|OQ ||OP |的值；②求△ABQ 面积的最大值．[解] (1)由题意知，2a ＝4，则a ＝2. 又c a ＝32，a 2－c 2＝b 2，可得b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由(1)知，椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1.①设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ，由题意知，Q (－λx 0，－λy 0)．因为x 204＋y 20＝1，又(－λx 0)216＋(－λy 0)24＝1，即λ24⎝ ⎛⎭⎪⎫x 204＋y 20＝1， 所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2. ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0， 由Δ＞0，可得m 2＜4＋16k 2.(*)则有x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m21＋4k2.因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )， 所以△OAB 的面积为S ＝12|m ||x 1－x 2| ＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2(16k 2＋4－m 2)m 21＋4k2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k2 . 设m 21＋4k2＝t . 将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.(**)由(*)(**)可知0＜t ≤1， 因此S ＝2(4－t )t ＝2－t 2＋4t ，故S ≤2 3.当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3. 由①知，△ABQ 的面积为3S ， 所以△ABQ 的面积的最大值为6 3.圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法、基本不等式法、换元法、导数法、或利用判别式构造不等关系、利用隐含或已知的不等关系建立不等式等方法求最值、范围；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值．[2019·江西南昌模拟]已知圆E ：x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －122＝94经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点F 1，F 2，且与椭圆C 在第一象限的交点为A ，且F 1，E ，A 三点共线，直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，且MN →＝λOA →(λ≠0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)当三角形AMN 的面积取到最大值时，求直线l 的方程． 解：(1)如图，圆E 经过椭圆C 的左、右焦点F 1，F 2， ∵F 1，E ，A 三点共线， ∴F 1A 为圆E 的直径，∴AF 1＝32×2＝3，AF 2⊥F 1F 2. 令y ＝0，则x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫0－122＝94，解得x ＝±2，∴c ＝ 2. |AF 2|2＝|AF 1|2－|F 1F 2|2＝9－8＝1， 2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝4， ∵a 2＝b 2＋c 2， 解得a ＝2，b ＝2， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由(1)得点A 的坐标为(2，1)， ∵MN →＝λOA →(λ≠0)， ∴直线l 的斜率为22，故设直线l 的方程为y ＝22x ＋m ，联立方程组⎩⎨⎧y ＝22x ＋m ，x 24＋y22＝1，消去y ，得x 2＋2mx ＋m 2－2＝0， ∴－2<m <2.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝m 2－2，Δ＝2m 2－4m 2＋8>0， |MN |＝1＋k 2|x 2－x 1| ＝1＋12(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝12－3m 2.点A 到直线l 的距离d ＝6|m |3. S △AMN ＝12|MN |·d ＝1212－3m 2×63|m | ＝22(4－m 2)m 2≤22×4－m 2＋m 22＝ 2.. 当且仅当4－m 2＝m 2，即m ＝±2时，直线l 的方程为y ＝22x ±2.[考查角度二] 求几何量、某个参数的取值范围[典题4] [2019·山东青岛模拟]已知抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线上存在一点G 到焦点的距离为3，且点G 在圆C ：x 2＋y 2＝9上．(1)求抛物线C 1的方程；(2)已知椭圆C 2：x 2m 2＋y 2n 2＝1(m ＞n ＞0)的一个焦点与抛物线C 1的焦点重合，且离心率为12.直线l ：y ＝kx －4交椭圆C 2于A ，B 两个不同的点，若原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，求k 的取值范围．[解] (1)设点G 的坐标为(x 0，y 0)，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋p2＝3，x 2＋y 20＝9，y 20＝2px 0，得x 0＝1，y 0＝±22，p ＝4， ∴抛物线C 1的方程为y 2＝8x . (2)由(1)得抛物线C 1的焦点F (2,0)，∵椭圆C 2的一个焦点与抛物线C 1的焦点重合， ∴椭圆C 2的半焦距c ＝2，m 2－n 2＝c 2＝4，∵椭圆C 2的离心率为12， ∴2m ＝12⇒m ＝4，n ＝23， ∴椭圆C 2的方程为x 216＋y 212＝1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －4，x 216＋y 212＝1，得(4k 2＋3)x 2－32kx ＋16＝0，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝32k 4k 2＋3，x 1x 2＝164k 2＋3.由Δ＞0⇒(－32k )2－4×16(4k 2＋3)＞0⇒k ＞12或k ＜－12①. ∵原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部， 则OA →·OB →＞0，∴OA →·OB →＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝y 1y 2＋x 1x 2＝(kx 1－4)·(kx 2－4)＋x 1x 2 ＝(k 2＋1)x 1x 2－4k (x 1＋x 2)＋16 ＝(k 2＋1)×164k 2＋3－4k ×32k4k 2＋3＋16＝16(4－3k 2)4k 2＋3＞0⇒－233＜k ＜233.② 由①②得，实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－233，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，333. 求参数范围的常用方法：(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围．(3)判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的范围．已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，中心在原点．若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M ，N .当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．解：(1)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2＝1， 则右焦点F (a 2－1，0)，由题设|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3.∴所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设P (x P ，y P )，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )， P 为弦MN 的中点，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3(m 2－1)＝0， ∵直线与椭圆相交，∴Δ＝(6km )2－4(3k 2＋1)×3(m 2－1)>0 ⇒m 2<3k 2＋1.①由根与系数的关系，得x M ＋x N ＝－6km 3k 2＋1，x M ·x N ＝3(m 2－1)3k 2＋1.∴x P ＝x M ＋x N 2＝－3km3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，∴k AP ＝y P ＋1x P＝－m ＋3k 2＋13km ，又∵|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN ， 则－m ＋3k 2＋13km ＝－1k ， 即2m ＝3k 2＋1.②把②代入①，得m 2<2m ，解得0<m <2； 由②，得k 2＝2m －13>0，解得m >12.综上，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2. 热点三 圆锥曲线中的探索性问题圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立．涉及这类命题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系问题．[考查角度一] 探究是否存在常数的问题[典题5] [2019·四川卷]如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，点P (0,1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1.(1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )． 又点P 的坐标为(0,1)，且PC →·PD →＝－1，于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y22＝1.(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0.其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)>0， 由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1.从而，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝(－2λ－4)k 2＋(－2λ－1)2k 2＋1 ＝－λ－12k 2＋1－λ－2. 所以，当λ＝1时，－λ－12k 2＋1－λ－2＝－3. 此时OA →·OB →＋λP A →·PB →＝－3为定值．当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD .此时，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝OC →·OD →＋PC →·PD →＝－2－1＝－3. 故存在常数λ＝1，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值－3.解决是否存在常数的问题时，应首先假设存在，看是否能求出符合条件的参数值，如果推出矛盾就不存在，否则就存在．[考查角度二] 探究是否存在点的问题[典题6] [2019·河北石家庄一模]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，点A 为椭圆上一点，∠F 1AF 2＝60°，且S △F 1AF 2＝ 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q .问：在x 轴上是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过定点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．[解] (1)由e ＝12可得a 2＝4c 2，① S △F 1AF 2＝12|AF 1||AF 2|sin 60°＝3， 可得|AF 1||AF 2|＝4，在△F 1AF 2中，由余弦定理可得 |AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1||AF 2|cos 60°＝4c 2，又|AF 1|＋|AF 2|＝2a ， 可得a 2－c 2＝3，② 联立①②得a 2＝4，c 2＝1， ∴b 2＝3.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设点P (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，由题意知Δ＝64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0， 化简得4k 2－m 2＋3＝0， ∴x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝3m ，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m ，3m . 由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x ＝4，得Q (4,4k ＋m )，假设存在点M 的坐标为(x 1,0)，则MP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4k m －x 1，3m ，MQ →＝(4－x 1,4k ＋m )．∵以PQ 为直径的圆恒过点M ， ∴MP →·MQ →＝0，即－16k m ＋4kx 1m －4x 1＋x 21＋12k m ＋3＝0，∴(4x 1－4)k m ＋x 21－4x 1＋3＝0对任意k ，m 都成立．则⎩⎨⎧4x 1－4＝0，x 21－4x 1＋3＝0，解得x 1＝1，故存在定点M (1,0)符合题意．解决是否存在点的问题时，可依据条件，直接探究其结果；也可以举特例，然后再证明．[考查角度三] 探究存在性的问题[典题7] [2019·新课标全国卷Ⅱ]已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，请说明理由．(1)[证明] 设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2，得 (k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9bk 2＋9.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M＝－9k ，即k OM ·k ＝－9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． (2)[解] 四边形OAPB 能为平行四边形．理由如下：因为直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k >0，k ≠3.由(1)得OM 的方程为y ＝－9k x . 设点P 的横坐标为x P .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2，得x 2P ＝k 2m29k 2＋81， 即x P ＝±km 3k 2＋9.将点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m 的坐标代入直线l 的方程，得b ＝m (3－k )3， 因此x M ＝k (k －3)m3(k 2＋9).四边形OAPB 为平行四边形，当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分时成立，即x P ＝2x M .于是±km3k 2＋9＝2×k (k －3)m3(k 2＋9)， 解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7.因为k i >0，k i ≠3，i ＝1,2，所以当直线l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形．解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否有解．课时跟踪检测(五十六)[高考基础题型得分练]1．[2019·山西太原模拟]已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是点F 1，F 2，其离心率e ＝12，点P 为椭圆上的一个动点，△PF 1F 2面积的最大值为4 3.(1)求椭圆的方程；(2)若A ，B ，C ，D 是椭圆上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点F 1，AC →·BD →＝0，求|AC →|＋|BD →|的取值范围．解：(1)由题意，得当点P 是椭圆的上、下顶点时， △PF 1F 2面积取最大值，此时S △PF 1F 2＝12·|F 1F 2|·|OP |＝bc ，∴bc ＝43， ∵e ＝12，∴b ＝23，a ＝4， ∴椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.(2)由(1)得，椭圆的方程为x 216＋y 212＝1， 则F 1的坐标为(－2,0)， ∵AC →·BD →＝0，∴AC ⊥BD .①当直线AC 与BD 中有一条直线斜率不存在时，易得|AC →|＋|BD →|＝6＋8＝14.②当直线AC 的斜率k 存在且k ≠0时，则其方程为y ＝k (x ＋2)， 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y ＝k (x ＋2)，x 216＋y 212＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－48＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－16k 23＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－483＋4k 2，∴|AC →|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝24(k 2＋1)3＋4k 2，此时直线BD 的方程为y ＝－1k (x ＋2)， 同理，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k (x ＋2)，x 216＋y 212＝1，可得|BD →|＝24(k 2＋1)3k 2＋4，∴|AC →|＋|BD →|＝24(k 2＋1)4k 2＋3＋24(k 2＋1)3k 2＋4＝168(k 2＋1)2(3k 2＋4)(4k 2＋3)， 令t ＝k 2＋1(k ≠0)，则t >1， ∴|AC →|＋|BD →|＝16812＋t －1t 2， ∵t >1，∴0<t －1t 2≤14， ∴|AC →|＋|BD →|∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫967，14.由①②可知，|AC →|＋|BD →|的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤967，14.2．[2019·甘肃兰州模拟]已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝63，过C 1的左焦点F 1的直线l ：x －y ＋2＝0被圆C 2：(x －3)2＋(y －3)2＝r 2(r >0)截得的弦长为2 2.(1)求椭圆C 1的方程；(2)设C 1的右焦点为F 2，在圆C 2上是否存在点P ，满足|PF 1|＝a 2b 2|PF 2|？若存在，指出有几个这样的点(不必求出点的坐标)；若不存在，请说明理由．解：(1)∵直线l 的方程为x －y ＋2＝0， 令y ＝0，得x ＝－2，即F 1(－2,0)，∴c ＝2，又e ＝c a ＝63， ∴a 2＝6，b 2＝a 2－c 2＝2， ∴椭圆C 1的方程为x 26＋y 22＝1.(2)∵圆心C 2(3,3)到直线l ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|3－3＋2|2＝2，又直线l ：x －y ＋2＝0被圆C 2：(x －3)2＋(y －3)2＝r 2(r >0)截得的弦长为22，∴r ＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2222＝2＋2＝2， 故圆C 2的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝4. 设圆C 2上存在点P (x ，y )满足|PF 1|＝a 2b 2|PF 2|， 即|PF 1|＝3|PF 2|，且F 1，F 2的坐标分别为F 1(－2,0)，F 2(2,0)， 则(x ＋2)2＋y 2＝3(x －2)2＋y 2， 整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋y 2＝94， 它表示圆心是C ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，半径是32的圆．∵|CC 2|＝⎝⎛⎭⎪⎫3－522＋(3－0)2＝372， 故有2－32<|CC 2|<2＋32，故圆C 与圆C 2相交，有两个公共点．∴圆C 2上存在两个不同的点P ，满足|PF 1|＝a 2b 2|PF 2|.3．[2019·新课标全国卷Ⅲ]已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．解：由题知，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ， R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则 k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba ＝－b ＝k 2.所以AR ∥FQ .(2)解：设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)， 则S △ABF ＝12|b －a |·|FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2.由题设可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2， 所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)．而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)． 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合． 所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1.[冲刺名校能力提升练]1．[2019·河北石家庄摸底考试]平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，离心率e ＝32，过点F 且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的弦长为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)记椭圆C 的上、下顶点分别为A ，B ，设过点M (m ，－2)(m ≠0)的直线MA ，MB 与椭圆C 分别交于点P ，Q .求证：直线PQ 必过一定点，并求该定点的坐标．解：(1)由e ＝32，可得a 2＝4b 2，因过点F 垂直于x 轴的直线被椭圆所截得弦长为1， 所以2b 2a ＝1，所以b ＝1，a ＝4， 椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知，A (0,1)，B (0，－1)，点M 的坐标为(m ，－2)， 直线MAP 方程为y ＝－3m x ＋1， 直线MBQ 方程为y ＝－1m x －1.分别与椭圆x 24＋y 2＝1联立方程组，消去x ，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫m 29＋4y 2－29m 2y ＋m29－4＝0和(m 2＋4)y 2＋2m 2y ＋m 2－4＝0， 由韦达定理，可解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫24m m 2＋36，m 2－36m 2＋36，Q ⎝⎛⎭⎪⎫－8m m 2＋4，4－m 2m 2＋4. 则直线PQ 的斜率k ＝m 2－1216m ，则直线方程为y －4－m 2m 2＋4＝m 2－1216m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8m m 2＋4，化简可得直线PQ 的方程为y ＝m 2－1216m x －12， 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12.所以直线PQ 必过y 轴上的一定点⎝⎛⎭⎪⎫0，－12. 2.如图，已知椭圆x 24＋y23＝1的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于D ，E 两点．(1)若点G 的横坐标为－14，求直线AB 的斜率；(2)记△GFD 的面积为S 1，△OED (O 为原点)的面积为S 2.试问：是否存在直线AB ，使得S 1＝S 2？并说明理由．解：(1)依题意可知，直线AB 的斜率存在， 设其方程为y ＝k (x ＋1)，将其代入x 24＋y23＝1， 整理得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3.故点G 的横坐标为x 1＋x 22＝－4k 24k 2＋3＝－14，解得k ＝±12.(2)假设存在直线AB ，使得S 1＝S 2， 显然直线AB 不能与x 轴、y 轴垂直．由(1)可得G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 24k 2＋3，3k 4k 2＋3.设点D 的坐标为(x D,0)．因为DG ⊥AB ， 所以3k4k 2＋3－4k 24k 2＋3－x D×k ＝－1， 解得x D ＝－k 24k 2＋3，即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 24k 2＋3，0.因为△GFD ∽△OED ， 所以S 1＝S 2⇔|GD |＝|OD |. 即⎝⎛⎭⎪⎫－k 24k 2＋3－－4k 24k 2＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 4k 2＋32 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－k 24k 2＋3， 整理得8k 2＋9＝0. 因为此方程无解，所以不存在直线AB ，使得S 1＝S 2.3．[2019·山西太原模拟]如图所示，在直角坐标系xOy 中，点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，12到抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线的距离为54.点M (t,1)是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 的中点Q (m ，n )在直线OM 上．(1)求曲线C 的方程及t 的值； (2)记d ＝|AB |1＋4m2，求d 的最大值．解：(1)y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，∴1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2＝54，p ＝12， ∴抛物线C 的方程为y 2＝x . 又点M (t,1)在抛物线C 上，∴t ＝1. (2)由(1)知，点M (1,1)， 从而n ＝m ，即点Q (m ，m )，依题意，直线AB 的斜率存在，且不为0， 设直线AB 的斜率为k (k ≠0)． 且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝x 1，y 22＝x 2，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝x 1－x 2， 故k ·2m ＝1，∴直线AB 的方程为y －m ＝12m (x －m )， 即x －2my ＋2m 2－m ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2my ＋2m 2－m ＝0，y 2＝x消去x ， 整理得y 2－2my ＋2m 2－m ＝0，∴Δ＝4m －4m 2>0，y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝2m 2－m . 从而|AB |＝1＋1k 2·|y 1－y 2|＝1＋4m 2·4m －4m 2 ＝2(1＋4m 2)(m －m 2). ∴d ＝|AB |1＋4m2＝2m (1－m )≤m ＋(1－m )＝1， 当且仅当m ＝1－m ，即m ＝12时等号成立， 又m ＝12满足Δ＝4m －4m 2>0. ∴d 的最大值为1.。

第3讲 解析几何中的综合问题【课前热身】第3讲 解析几何中的综合问题(本讲对应学生用书第43~47页)1.(选修2-1 P37习题10改编)已知椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的两个焦点分别为F 1，F 2，短轴的一个顶点为P ，若∠F 1PF 2为钝角，则椭圆离心率的取值范围为 .【答案】21⎫⎪⎪⎝⎭ 【解析】由题意知，P21F+P 22F <F 122F，即2a 2<(2c )2，所以ca >2，即椭圆的离心率e 的取值范围为21⎫⎪⎪⎝⎭.2.(选修2-1 P73复习题12改编)已知直线y=ax+1与双曲线3x 2-y 2=1相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过原点，则实数a= . 【答案】±1【解析】将y=ax+1代入3x 2-y 2=1，得(3-a 2)x 2-2ax-2=0，则Δ=4a 2+24-8a 2>0，即a 2<6且a 2≠3.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).因为OA ⊥OB ，则OA u u u r ·OB u u ur =0，即x 1x 2+y 1y 2=0，所以x 1x 2+(ax 1+1)(ax 2+1)=0，即(1+a 2)x 1x 2+a (x 1+x 2)+1=0，即(1+a 2)·22-3a +a·223-a a +1=0，解得a 2=1，满足a 2<6且a 2≠3，所以a=±1.3.(选修2-1 P58习题6改编)已知点P 在抛物线x 2=4y 上运动，F 为抛物线的焦点，点A 的坐标为(2，3)，则PA+PF 取得最小值时点P 的坐标为 . 【答案】(2，1)【解析】因为抛物线上的点P 到焦点F 的距离等于点P 到准线y=-1的距离PP'(P'是点P 在准线上的射影).又因为22<4×3，所以点A (2，3)在抛物线的上方，故PA+PF=AP+PP'≥AP'，当且仅当A ，P ，P'共线时，等号成立，此时PA ⊥x 轴，(PA+PF )min =AP'=3-(-1)=4，点P 的坐标为(2，1).4.(选修2-1 P73复习题6改编)若椭圆210x +2y m =1与双曲线x 2-2y b =1有相同的焦点，且椭圆与双曲线交于点Py ⎫⎪⎪⎝⎭，则m+b= . 【答案】9【解析】因为双曲线x 2-2y b =1的焦点在x轴上，半焦距为，所以椭圆210x +2y m =1的焦点也在x轴上，半焦距为，则由题意知2210-111910-19m b y m y b ⎧⎪=+⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩，，，解得m=1，b=8，所以m+b=9.5.(选修2-1 P66复习题16改编)若椭圆ax 2+by 2=1与直线x+y=1交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，直线OM (O 为坐标原点)的斜率为，且OA ⊥OB ，则椭圆的方程为 . 【答案】(2-2)x 2+(4-2)y 2=1【解析】联立2211x yax by+=⎧⎨+=⎩，，消去y，得(a+b)x2-2bx+b-1=0，当Δ>0时，可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=2ba b+，x1·x2=-1ba b+，弦AB的中点M的坐标为b aa b a b⎛⎫⎪++⎝⎭，，所以OM的斜率为ab=22，即b=2a①.又OA⊥OB，即OAu u u r·OBu u u r=0，所以x1x2+y1y2=0，而x1x2+y1y2=x1x2+(1-x1)(1-x2)=2x1x2-(x1+x2)+1=1-2a b+，从而1-2a b+=0，所以a+b=2②.联立①②，解得a=22-2，b=4-22，满足Δ>0，所以椭圆的方程为(22-2)x2+(4-22)y2=1. 【课堂导学】解析几何中的范围与最值问题例1如图，已知椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)的离心率为12，其左焦点到点P(2，1)10.不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且线段AB 被直线OP平分.(1)求椭圆C的方程；(2)求△ABP面积取最大值时直线l的方程.(例1)【分析】(1)题目中给出了椭圆离心率和左焦点到点P (2，1)10，列出两个方程，解方程组确定椭圆方程中a ，b 的值，写出椭圆方程.(2)利用OP 平分AB 确定直线的斜率和纵截距之间的关系，使用参数表示△ABP 的面积，确定这个面积取得最大值的条件，从而得到所求的直线方程.【解答】(1)设椭圆左焦点为F (-c ，0)，则由题意得：2(2)11012c c a ++==⎪⎩，，解得12.c a =⎧⎨=⎩，由a 2=b 2+c 2，得b 2=3，所以椭圆C 的方程为24x +23y =1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M.当直线AB 与x 轴垂直时，若OP 平分线段AB ，则直线AB 的方程为x=0，与不过原点的条件不符，舍去.故斜率存在，可设直线AB 的方程为y=kx+m (m ≠0)，由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，，消去y ，整理得(3+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-12=0， ① 其中Δ=64k 2m 2-4(3+4k 2)(4m 2-12)>0，且12221228-344-1234km x x k m x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，，所以线段AB 的中点M2243-3434kmm k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，.因为点M 在直线OP 上，所以2×2334m k +=2-434kmk +.由m ≠0，得k=-32.此时方程①为3x 2-3mx+m 2-3=0，则Δ=3(12-m 2)>0，12212-33x x m m x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，， 所以AB=21k +·|x 1-x 2|=39·212-m .设点P 到直线AB 的距离为d ，则d=2232+=13. 设△ABP 的面积为S ，则S=12AB·d=36·22(-4)(12-)m m . 其中m ∈(-23，0)∪(0，23).令u (m )=(12-m 2)(m-4)2，m ∈(-23，0)∪(0，23).u'(m )=-4(m-4)(m 2-2m-6)=-4(m-4)(m-1-7)(m-1+7).所以当且仅当m=1-7时，u (m )取到最大值.综上，所求直线l 的方程为3x+2y+27-2=0.【点评】(1)本题的入手很容易，但第二问中的最值问题就显得很困难，其一是必须确定直线方程中的斜率和截距之间的关系，其二是建立起面积函数后求解其在什么情况下达到最大值，其中使用了导数的方法.(2)解决圆锥曲线中的最值问题基本思想是建立目标函数，根据目标函数，利用圆锥曲线的几何特征、判别式法或基本不等式求出最值.解析几何中的定点问题例2 (2014·淮安、宿迁摸底)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22x a +22y b =1(a>b>0)和直线l ：x=m (m ∈R )，且四点(3，1)，(3，-1)，(-22，0)，33，)中有三个点在椭圆C 上，剩余一个点在直线l 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)若动点P 在直线l 上，过点P 作直线交椭圆C 于M ，N 两点，使得PM=PN ，再过点P 作直线l'⊥MN ，求证：直线l'恒过定点，并求出该定点的坐标.【点拨】第(2)问要先求出直线方程(含参数).【分析】因为两点即可确定椭圆方程，所以第(1)小问中需要对所给四个点进行讨论，再用适合要求的两点求椭圆方程.第(2)小问需要先求出直线方程，再证明其过定点.【解答】(1)由题意有3个点在椭圆C 上.根据椭圆的对称性，则点(3，1)，(3，-1)一定在椭圆C 上，即29a +21b =1. ①若点(-22，0)在椭圆C 上，则点(-22，0)必为椭圆C 的左顶点，而3>22，则点(-2，0)一定不在椭圆C 上，故点33，)在椭圆C 上，点(-2，0)在直线l 上，所以23a +23b =1. ②联立①②可解得a 2=12，b 2=4，所以椭圆C 的方程为212x +24y =1. (2)由(1)可得直线l 的方程为x=-22，设P (-22，y 0)，y 0∈2323⎛ ⎝⎭，. 当y 0≠0时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，显然x 1≠x 2.联立2211222211241124x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，则2212-12x x+2212-4y y=0，即1212--y yx x=-13·1212x xy y++.又PM=PN，即P为线段MN的中点，故直线MN的斜率为-13·0-22=022.又因为l'⊥MN，所以直线l'的方程为y-y0=-22(x+22)，即y=-42322x⎛⎫+⎪⎪⎝⎭，显然直线l'恒过定点42-03⎛⎫⎪⎪⎝⎭，.当y0=0时，直线MN即x=-22，此时l'为x轴，亦过点42-0⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，.综上所述，直线l'恒过定点42-0⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，.【点评】椭圆背景下的直线过定点和圆背景下的直线过定点的处理方法类似，一是求出直线方程，根据直线方程求出定点；二是求出构成直线两点的坐标，再用三点共线论证.其中，如果可以用特殊化或对称性得出定点坐标或所在位置，再论证其一般性，这样的方法计算较为简单.变式(2015·镇江期末)如图，已知椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)的右焦点F(1，0)，离心率为2，过点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N.(1)求椭圆的方程；(2)求证：直线MN必过定点，并求出此定点的坐标；(3)若弦AB ，CD 的斜率均存在，求△FMN 面积的最大值.(变式)【解答】(1)由题意得c=1，ca =2，则2，b=1，所以椭圆的方程为22x +y 2=1. (2)当AB ，CD 斜率均存在时，设直线AB 的方程为y=k (x-1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M 122x x +⎛⎝，12-12x x k ⎫+⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎭，联立22(-1)2-20y k x x y =⎧⎨+=⎩，，得(1+2k 2)x 2-4k 2x+2k 2-2=0，所以212221224122-212k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，，故M2222-1212k k k k ⎛⎫⎪++⎝⎭，，将上式中的k 换成-1k ，可得N 22222k k k ⎛⎫⎪++⎝⎭，.由22212k k +=222k +，解得k=±1，则直线MN 斜率不存在，此时直线MN 过点203⎛⎫⎪⎝⎭，. 当直线MN 斜率存在时，方法一：k MN =22222--12222-122kk k k k kk ++++=24-(3+3)2-2k k k =32×2--1k k ， 直线MN 的方程为y-22k k +=32×22-2--12k x k k ⎛⎫⎪+⎝⎭.令y=0，得x=222k ++23×22-12k k +=23×223-12k k ++=23， 所以直线MN 过定点203⎛⎫⎪⎝⎭，.当AB ，CD 中有一个斜率不存在时，MN 也过点203⎛⎫⎪⎝⎭，. 综上所述，直线MN 过定点203⎛⎫⎪⎝⎭，.方法二：动直线MN 最多过一个定点，由对称性可知，定点必在x 轴上.下面证明，动直线MN 过定点P 203⎛⎫⎪⎝⎭，. 当k ≠±1时，k PM =222-1222-123kk k k ++=32×21-k k . 将上式中的k 换成-1k ，可得k PN =32×21-11-k k =32×21-k k ，则k PM =k PN ，所以直线MN 过定点P 203⎛⎫⎪⎝⎭，.当AB ，CD 中有一个斜率不存在时，直线MN 也过点203⎛⎫⎪⎝⎭，. 综上，直线MN 过定点203⎛⎫⎪⎝⎭，. (3)由(2)可知直线MN 过定点P 203⎛⎫⎪⎝⎭，， 所以S △FMN =S △FPN +S △FPM=12×2132kk++12×21-312kk+=16×222||(33)(2)(12)k kk k+++=12×242||(1)252k kk k+++=12×221||||225kkkk+++.令t=|k|+1||k∈[2，+∞)，S△FMN=f(t)=12×22(-2)5tt+=12×221tt+.f'(t)=12×2221-2(21)tt+<0，则f(t)在[2，+∞)上单调递减.所以当t=2时，f(t)取得最大值，此时S△FMN 取得最大值19，此时k=±1.解析几何中的定值问题例3设A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆22ya+22xb=1(a>b>0)上的两点，已知向量m=11x yb a⎛⎫⎪⎝⎭，，n=22x yb a⎛⎫⎪⎝⎭，.若m·n=0且椭圆的离心率e=3，短轴长为2，O为坐标原点.(1)求椭圆的方程；(2)试判断命题“△AOB的面积为定值”是否为真命题，并说明理由.【解答】(1)由题意知2b=2，e=ca==，a2=b2+c2，解得a=2，b=1，所以椭圆的方程为24y+x2=1.(2)①当直线AB的斜率不存在，即x1=x2，y1=-y2时，由m·n=0，得21x-214y=0.因为点A(x1，y1)在椭圆上，故21x+214y=1，解得|x1|=，|y1|=，△AOB的面积S=12|x1||y1-y2|=12|x1|×2|y1|=1.②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，联立2214y kx myx=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去y得(k2+4)x2+2kmx+m2-4=0，则x1+x2=2-24kmk+，x1x2=22-44mk+.由m·n=0，得x1x2+124y y=0，即x1x2+12()()4kx m kx m++=0，整理得2m2=k2+4.点O到直线AB的距离d=，所以△AOB的面积S=12·AB=12===1，所以△AOB的面积为1.故命题是真命题.变式 (2016·徐州一中)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22x a +22y b =1(a>b>0)过点P 312⎛⎫ ⎪⎝⎭，，离心率为12.(1)求椭圆C 的方程.(2)设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.①若直线l 过椭圆C 的右焦点，记△ABP 三条边所在直线的斜率的乘积为t ，求t 的最大值.②若直线l 的斜率为3，试探究OA 2+OB 2是否为定值?若是定值，则求出此定值；若不是定值，请说明理由.【解答】(1)由离心率e=c a =12，得a ∶b ∶c=2∶3∶1，则可设椭圆C 的方程为224x c +223y c =1.由点P 312⎛⎫ ⎪⎝⎭，在椭圆C 上，得214c +234c =1，即c 2=1.所以椭圆C 的方程为24x +23y =1.(2)①由(1)知椭圆C 的右焦点为F (1，0).由题意得直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为y=k (x-1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当k ≠0时，t=k·113-2-1y x ·223-2-1y x =k 3·113-2y y ·223-2y y ，即t=k 31212311911-?24y y y y ⎡⎤⎛⎫++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦.由22(-1)3412y k x x y =⎧⎨+=⎩，，消去x ，得(3+4k 2)y 2+6ky-9k 2=0.显然Δ>0，有y 1+y 2=2-634kk +，y 1y 2=22-934k k +， 从而11y +21y =1212y y y y +=23k ，所以t=k3221341--4k k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-k 2-34k.当k=0时，t=0也满足上式，所以t=-k 2-34k ，其中k ∈R .所以当k=-38时，t 取得最大值964.②设直线l 的方程为y=32x+n ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以OA 2+OB 2=21x+3-2134x +22x +3-2234x =14(21x +22x )+6.由22323412y x n x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，，消去y ，得3x 2+23nx+2n 2-6=0.当Δ>0时，x 1+x 2=-233n ，x 1x 2=22-63n ， 从而21x +22x =(x 1+x 2)2-2x 1x 2=243n -24-123n =4， 所以OA 2+OB 2=7为定值.解析几何中的探索性问题例4 (2016·苏北四市期末)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22x a +22y b =1(a>b>0)的离心率e=12，左顶点为A (-4，0)，过点A 作斜率为k (k ≠0)的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E.(1)求椭圆C 的方程.(2)已知点P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的k (k ≠0)都有OP ⊥EQ ?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.(3)若过点O作直线l的平行线交椭圆C于点M，求AD AEOM+的最小值.(例4)【点拨】第(3)问可转化为各点横坐标之间的关系. 【解答】(1)因为左顶点为A(-4，0)，所以a=4.又e=12，所以c=2.又因为b2=a2-c2=12，所以椭圆C的标准方程为216x+212y=1.(2)由题意知直线l的方程为y=k(x+4)，联立方程组2211612(4)x yy k x⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，，消去y，得216x+2[(4)]12k x+=1.化简得(x+4)[(4k2+3)x+16k2-12)]=0，所以x1=-4，x2=22-1612 43kk++.当x=22-161243kk++时，y=k22-1612443kk⎛⎫++⎪+⎝⎭=22443kk+，所以D222-1612244343k kk k⎛⎫+⎪++⎝⎭，.因为点P为AD的中点，所以点P的坐标为222-16124343k kk k⎛⎫⎪++⎝⎭，，则k OP=-34k(k≠0).因为直线l 的方程为y=k (x+4)，令x=0，得点E 的坐标为(0，4k )，假设存在定点Q (m ，n )(m ≠0)，使得OP ⊥EQ ，则k OP ·k EQ =-1，即-34k ·-4n km =-1恒成立，所以(4m+12)k-3n=0恒成立，所以4120-30m n +=⎧⎨=⎩，，即-30m n =⎧⎨=⎩，，因此定点Q 的坐标为(-3，0).(3)因为OM ∥l ，所以OM 的方程可设为y=kx ，由2211612x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得点M 的横坐标为x M =±24343k +，由OM ∥l，得AD AEOM +=|-||-|||D A E A M x x x x x +=-2||D A M x x x =222-16128434343k k k ++++=13·2243k +=13(243k ++243k ⎫⎪+⎭≥22，当且仅当243k +=243k +，即k=±32时取等号，所以当k=±32时，AD AEOM +取得最小值为22.【点评】本题有两个特色：第(2)小题的待定系数法求定点坐标，另外有的考题会涉及用待定系数法因式分解求根等；第(3)小题将斜线段的比值转化为水平或竖直线段的比值，这种转化的优点是可以优化数学运算，请考生认真体会.变式 (2016·泰州期末)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2+y 2=4，椭圆C ：24x +y 2=1，A 为椭圆右顶点.过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中D6-05⎛⎫⎪⎝⎭，.设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2.(1)求k1k2的值.(2)记直线PQ，BC的斜率分别为k PQ，k BC，是否存在常数λ，使得k PQ=λk BC?若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.(变式)【解答】(1)设B(x0，y0)，则C(-x0，-y0)，24x+2y=1，因为A(2，0)，所以k1=-2yx，k2=2yx+，所以k1k2=-2yx·2yx+=22-4yx=2211-4-4xx=-14.(2)设直线AP的方程为y=k1(x-2)，联立122(-2)4y k xx y=⎧⎨+=⎩，，得(1+21k)x2-421k x+4(21k-1)=0，解得x P=21212(-1)1kk+，yP=k1(x P-2)=121-41kk+.联立122(-2)14y k xxy=⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得(1+421k)x2-1621kx+4(421k-1)=0，解得x B=21212(4-1)14kk+，yB=k1(x B-2)=121-414kk+.所以k BC=BByx=121-24-1kk，k PQ=65PPyx+=1212121-412(-1)615kkkk+++=121-54-1kk，所以kPQ=52k BC，故存在常数λ=52，使得k PQ=52k BC.椭圆与圆的综合例5(2015·南师附中)如图，已知焦点在x轴上的椭圆C过点(-2，0)，且离心率为32，Q为椭圆C的右顶点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知过点N65⎛⎫⎪⎝⎭，的直线l与椭圆C交于A，B两点，求证：以AB为直径的圆必过定点Q.(例5)【分析】本题主要考查直线的方程、椭圆的标准方程、圆的简单性质等基础知识，考查灵活运用数形结合、化归与转化思想进行运算求解、推理论证的能力.(1)求椭圆的标准方程，即只要求出有关的基本量即可；(2)要求以AB为直径的圆过点Q，即求∠AQB=π2，但要注意对直线斜率的讨论.【解答】(1)设椭圆C的标准方程为22xa+22yb=1(a>b>0)，且a2=b2+c2.由题意知，a=2，ca=，，则b=1，所以椭圆C的标准方程为24x+y2=1.(2)由(1)得Q(2，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2).①当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x=6 5.联立226514xxy⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，解得6545xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或654-.5xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即A6455⎛⎫⎪⎝⎭，，B64-55⎛⎫⎪⎝⎭，(不妨设点A在x轴上方)，则直线AQ的斜率k AQ=-1，直线BQ的斜率k BQ=1.因为k AQ·k BQ=-1，所以AQ⊥BQ，所以∠AQB=π2，所以以AB为直径的圆必过定点Q.②当直线l与x轴不垂直时，由题意可设直线AB的方程为y=k6-5x⎛⎫⎪⎝⎭(k≠0).联立226-514y k xxy⎧⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩，，消去y，得(25+100k2)x2-240k2x+144k2-100=0.因为点N65⎛⎫⎪⎝⎭，在椭圆C的内部，显然Δ>0且2122212224025100144-100.25100kx xkkx xk⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，因为QAu u u r=(x1-2，y1)，QBu u u r=(x2-2，y2)，y1=k16-5x⎛⎫⎪⎝⎭，y2=k26-5x⎛⎫⎪⎝⎭，所以QA u u u r ·QB u u u r =(x 1-2)(x 2-2)+y 1y 2=(x 1-2)(x 2-2)+k 16-5x ⎛⎫⎪⎝⎭·k x 2-65=(1+k 2)x 1x 2-2+65k 2(x 1+x 2)+4+3625k 2=(1+k 2)22144-10025100k k +-2+65k 22224025100k k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭+4+3625k 2=0，所以QA u u u r ⊥QB u u u r，即QA ⊥QB ，所以△QAB 为直角三角形. 综上，以AB 为直径的圆必过定点Q.【点评】在涉及直线与圆锥曲线有两个交点时，一般不是求出这两个点的坐标，而是设出这两个点的坐标，根据直线方程和曲线方程联立后方程根的情况，使用根与系数的关系进行整体代入.在处理圆中的直径问题时，我们常用数量积来表示垂直.【课堂评价】1.(2016·南通、扬州、泰州、淮安三模)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22x a -y 2=1与抛物线y 2=-12x 有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为 .【答案】y=±2x【解析】由y 2=-12x 得它的焦点坐标为(-3，0)，从而在双曲线中，c=3，故9=a 2+1，解得a=2，所以双曲线22x a -y 2=1的渐近线方程为y=±1a x=±2x.2.(2016·无锡期末)设△ABC是等腰三角形，∠ABC=120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为.【答案】31+【解析】设AB=BC=2c，则由余弦定理可得CA=22?-2cos120AB BC AB BC+⨯=23c.根据双曲线的定义可得CA-CB=2a，即23c-2c=2a，所以(3-1)c=a，故双曲线的离心率e=ca=31+.3.(2015·山西联考)如图，已知椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)的右焦点为F(1，0)，右顶点为A，且AF=1.(1)求椭圆C的标准方程.(2)若动直线l：y=kx+m与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x=4交于点Q，问：是否存在一个定点M(t，0)，使得MPu u u r·MQuuu u r=0?若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由.(第3题)【解答】(1)由题设得c=1，a-c=1，解得a=2，所以b=3，故椭圆C的标准方程为24x+23y=1.(2)联立方程组223412y kx mx y=+⎧⎨+=⎩，，消去y，得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0，因为直线l与椭圆C有且只有一个交点，所以Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=0，即m2=3+4k2.设P (x P ，y P )，则x P =-2434km k +=-4km ，yP =kx P +m=-24k m +m=3m ，即P 43-k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.因为M (t ，0)，Q (4，4k+m )，所以MP u u u r =43--k t MQ m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭u u uu r ，，=(4-t ，4k+m )，所以MP u u u r ·MQ uuu u r =4--k t m ⎛⎫⎪⎝⎭·(4-t )+3m ·(4k+m )=t 2-4t+3+4km (t-1)=0恒成立，故21-430t t t =⎧⎨+=⎩，，即t=1，所以存在点M (1，0)符合题意.4.(2015·泰州期末)如图，在平面直角坐标系xOy 中，离心率为2的椭圆C ：22x a +22y b =1(a>b>0)的左顶点为A ，过原点O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点.若直线PQ 的斜率为22时，PQ=23.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)试问：以MN 为直径的圆是否经过定点(与直线PQ 的斜率无关)?请证明你的结论.(第4题)【解答】(1)设P002x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，. 因为直线PQ 的斜率为2时，PQ=23，所以20x+202x ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭=3，所以20x =2，所以22a +21b =1. 因为e=ca==，所以a 2=4，b 2=2，所以椭圆C 的标准方程为24x +22y =1. (2)方法一：以MN 为直径的圆过定点(，0).证明如下：设P (x 0，y 0)，则Q (-x 0，-y 0)，且204x +22y =1，即20x +220y =4.因为A (-2，0)，所以直线PA 的方程为y=002y x +(x+2)，所以M 00202y x ⎛⎫⎪+⎝⎭，， 直线QA 的方程为y=00-2y x (x+2)，所以N0020-2y x ⎛⎫⎪⎝⎭，. 以MN 为直径的圆为(x-0)(x-0)+0022y y x ⎛⎫- ⎪+⎝⎭002-2y y x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=0，即x 2+y 2-00204-4x y x y+20204-4y x =0.因为20x-4=-220y，所以x 2+y 2+02x y y-2=0.令y=0，解得，故以MN 为直径的圆过定点(，0).方法二：设P (x ，y )，Q (-x ，-y )，A (-2，0)，则k AP ·k AQ =2y x +·-2y x =2221-4-4x x ⎛⎫⎪⎝⎭=-12.设直线AP 的斜率为k ，则直线AQ 的斜率为-12k ，直线AP 的方程为y=k (x+2).令x=0，y=2k ，所以M (0，2k ).同理N 10-k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则以MN为直径的圆的方程为x2+(y-2k)1yk⎛⎫+⎪⎝⎭=0，即x2+y2+1-2kk⎛⎫⎪⎝⎭y-2=0.令y=0，解得，故以MN为直径的圆过定点(，0).温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第23~24页.【检测与评估】第3讲解析几何中的综合问题一、填空题1.(2016·苏北四市期末)抛物线y2=4x的焦点到双曲线216x-29y=1渐近线的距离为.2.(2016·南京三模)设F是双曲线的一个焦点，点P在双曲线上，且线段PF的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为.3.(2016·南通密卷)过双曲线22xa-22yb=1(b>a>0)的左焦点F(-c，0)(c>0)作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，O为坐标原点，若OEu u u r=12(OFu u u r+OPu u u r)，则双曲线的离心率为.4.(2016·无锡新区期中)已知抛物线C1：x2=2y的焦点为F，以F为圆心的圆C2交C1于A，B两点，交C1的准线于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则圆C2的标准方程为.5.(2016·淮安期中)如图，已知椭圆C1：22xa+22yb=1(a>b>0)和圆C2：x2+y2=r2都过点P(-1，0)，且椭圆C122，过点P作斜率为k1，k2的直线分别交椭圆C1，圆C2于点A，B，C，D，且k1=λk2，若直线BC恒过定点Q(1，0)，则λ=.(第5题)6.(2016·如东中学月考)已知椭圆C：22x+y2=1，点M1，M2，…，M5为其长轴AB 的6等分点，分别过这五点作斜率为k(k≠0)的一组平行线，交椭圆C于点P1，P2，…，P10，则10条直线AP1，AP2，…，AP10的斜率的乘积为.二、解答题7.(2016·常州期末)在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的离心率是e ，定义直线y=±be 为椭圆的“类准线”.已知椭圆C 的“类准线”方程为y=±，长轴长为4. (1)求椭圆C 的方程.(2)点P 在椭圆C 的“类准线”上(但不在y 轴上)，过点P 作圆O ：x 2+y 2=3的切线l ，过点O 且垂直于OP 的直线与l 交于点A ，问：点A 是否在椭圆C 上?并证明你的结论.8.(2016·盐城三模)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：24x +23y =1的左顶点为A ，右焦点为F ，P ，Q 为椭圆C 上的两点，圆O ：x 2+y 2=r 2(r>0). (1)若PF ⊥x 轴，且满足直线AP 与圆O 相切，求圆O 的方程；(2)若圆O的半径为，点P ，Q 满足k OP ·k OQ =-34，求直线PQ 被圆O 截得的弦长的最大值.9.(2016·苏州大学考前指导卷)已知椭圆M ：22x a +22y b =1(a>b>0)的焦距为，点P (0，2)关于直线y=-x 的对称点在椭圆M 上. (1)求椭圆M 的方程.(2)如图，椭圆M 的上、下顶点分别为A ，B ，过点P 的直线l 与椭圆M 交于两个不同的点C ，D.①求OC u u u r ·OD u u u r的取值范围. ②当AD 与BC 相交于点Q 时，试问：点Q 的纵坐标是否是定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.(第9题)10.(2017·泰州中学)已知椭圆Γ：24x +y 2=1.(1)如图，设椭圆Γ的短轴端点分别为A ，B ，直线AM ，BM 分别与椭圆Γ交于E ，F两点，其中点M 12m ⎛⎫⎪⎝⎭，满足m ≠0且m ≠±3.①求证：直线EF 与y 轴交点的位置与m 无关； ②若△BME 的面积是△AMF 面积的5倍，求m 的值.(2)若圆O ：x 2+y 2=4，l 1，l 2是过点P (0，-1)的两条互相垂直的直线，其中l 1交圆O 于T ，R 两点，l 2交椭圆Γ于另一点Q ，求△TRQ 面积取最大值时直线l 1的方程.(第10题)【检测与评估答案】第3讲 解析几何中的综合问题一、 填空题1. 35 【解析】抛物线y 2=4x 的焦点坐标为F (1，0)，双曲线216x -29y =1的一条渐近线方程为3x-4y=0，所以F (1，0)到3x-4y=0的距离=35.2.【解析】不妨设双曲线方程为22x a -22y b =1(a>0，b>0)，设F (-c ，0)，线段PF 的中点为(0，b )，则P (c ，2b ).由点P 在双曲线上，得22c a -4=1，所以.3.【解析】抛物线y 2=4cx 的准线方程为l ：x=-c ，焦点为F'(c ，0)，与双曲线的右焦点重合，过点P 作PM ⊥l 于点M ，连接PF'，由OE u u u r =12(OF u u u r+OP u u u r )，得点E 为线段FP 的中点，所以PF'∥OE 且PF'=2OE=2a.又因为OE ⊥FP ，所以F'P ⊥FP ，由抛物线的定义可知PM=PF'=2a ，所以点P 的横坐标为2a-c ，将其代入抛物线方程可得P (2a-c).在Rt △FF'P 中，FF'=2c ，PF'=2a ，∠FPF'=90°，所以PF=2b.又在Rt △PFM 中，由勾股定理得(2a )2+()2=(2b )2，即c 2-ac-a 2=0，所以e 2-e-1=0，解得e=或e=(舍去).4. x 2+21-2y ⎛⎫⎪⎝⎭=4 【解析】抛物线C 1：x 2=2y 的焦点为F 102⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以圆C 2的圆心坐标为F 102⎛⎫ ⎪⎝⎭，.因为四边形ABCD 是矩形，且BD 为直径，AC 为直径，而F 102⎛⎫ ⎪⎝⎭，为圆C 2的圆心，所以点F 为该矩形的两条对角线的交点，故点F 到直线CD 的距离与点F 到AB 的距离相等，又点F 到直线CD 的距离为p=1，所以直线AB 的方程为y=32，代入抛物线方程x 2=2y ，得A 32⎫⎪⎭，，B32⎛⎫ ⎪⎝⎭，，故圆C 2的半径=2，所以圆C 2的方程为x 2+21-2y ⎛⎫ ⎪⎝⎭=4.5. 2 【解析】因为椭圆过点P (-1，0)，所以a=1，又椭圆的离心率为，所以c=，则b 2=1-12=12，故C 1：x 2+2y 2=1.又由题意得圆C 2：x 2+y 2=1，由x 2+y 2=1与y=k 1(x+1)联立，消去y ，得(21k +1)x 2+221k x+21k -1=0，解得x=-1或x=21211-1k k +，故B 21122111-211k k k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，，同理可得C 22222221-222121k k k k ⎛⎫⎪++⎝⎭，.因为B ，C ，Q 三点共线，所以1212121211--11k k k k ++=22222222211-2-121k k k k ++，解得k 1=2k 2，故λ=2.6. -132 【解析】根据椭圆的性质，作出图象如图所示，点P 1，P 2，…，P 10之间具有对称性，不妨以图中的两个点P 2，P 9为例，它们关于坐标原点对称.设P 2(x 0，y 0)，P 9(-x 0，-y 0)，从而2AP k ·9AP k2020-2y x .因为点(x 0，y 0)在椭圆22x +y 2=1上，从而202x +20y =1，即20y =1-202x =202-2x ，所以2AP k ·9AP k =2020-2y x =-12，故10条直线AP 1，AP 2，…，AP 10的斜率的乘积为51-2⎛⎫ ⎪⎝⎭=-132.(第6题) 二、解答题7. (1) 由题意得232abca⎧=⎪⎨⎪=⎩，，又a2=b2+c2，解得b=3，c=1，所以椭圆C的方程为24x+23y=1.(2) 点A在椭圆C上.证明如下：设切点为Q(x0，y0)，x0≠0，则2x+2y=3，切线l的方程为x0x+y0y-3=0，当y P=23时，xP=3-23y，即P3-2323x⎛⎝，，则k OP=233-23yx3-2y，所以k OA=2-3y，直线OA的方程为y=2-3yx.由002-3-30yy xx x y y⎧=⎪⎨⎪+=⎩，，解得6-33(2-3)6-3xyyyy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即A00003(2-3)6-36-3yy y⎛，.因为26-34y⎛⎫⎪⎪⎝⎭+23(2-3)6-33yy⎡⎤⎢⎥⎣⎦=220002009(3-)3(4-433)3-12336y y yy y+++=2002003-123363-12336y yy y++=1，所以点A的坐标满足椭圆C的方程.当y P=-23时，同理可得点A的坐标满足椭圆C的方程，所以点A在椭圆C上.8. (1) 因为椭圆C的方程为24x+23y=1，所以A(-2，0)，F(1，0).如图，因为PF⊥x轴，所以P312⎛⎫±⎪⎝⎭，，根据对称性，可取P312⎛⎫⎪⎝⎭，，则直线AP的方程为y=12(x+2)，即x-2y+2=0.由圆O与直线AP相切，得r=25，所以圆O的方程为x2+y2=45.(第8题)(2) 易知圆O 的方程为x 2+y 2=3.①当PQ ⊥x 轴时，k OP ·k OQ =-2OPk=-34，所以k OP=±，此时得直线PQ 被圆O截得的弦长为.②当PQ 与x 轴不垂直时，设直线PQ 的方程为y=kx+b ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)(x 1x 2≠0)，由k OP ·k OQ =-34，得3x 1x 2+4y 1y 2=0，即3x 1x 2+4(kx 1+b )(kx 2+b )=0，所以(3+4k 2)x 1x 2+4kb (x 1+x 2)+4b 2=0 (*).联立22143y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去y ，得(3+4k 2)x 2+8kbx+4b 2-12=0，将x 1+x 2=-2834kbk +，x 1x 2=224-1234b k +代入(*)式， 得2b 2=4k 2+3.由于圆心O 到直线PQ 的距离为， 所以直线PQ 被圆O 截得的弦长为l=故当k=0时，l 有最大值，.>，所以直线PQ 被圆O截得的弦长的最大值为.9. (1) 因为点P (0，2)关于直线y=-x 的对称点为(-2，0)，且(-2，0)在椭圆M 上，所以a=2.又2c=2，故c=，则b 2=a 2-c 2=4-3=1，所以椭圆M 的方程为24x +y 2=1. (2) ①当直线l 的斜率不存在时，C (0，1)，D (0，-1)，所以OC u u u r ·OD u u u r =-1.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y=kx+2，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，联立22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去y ，整理得(1+4k 2)x 2+16kx+12=0，由Δ>0，可得4k 2>3，且x 1+x 2=-21614kk +，x 1x 2=21214k +，所以OC u u u r ·OD u u u r =x 1x 2+y 1y 2=(1+k 2)x 1x 2+2k (x 1+x 2)+4=-1+21714k +，所以-1<OC u u u r ·OD u u u r<134，综上，OC u u u r ·OD u u u r ∈13-14⎡⎫⎪⎢⎣⎭，. ②由题意得l AD ：y=22-1y x x+1，l BC ：y=111y x +x-1，联立方程组，消去x 得y=121221233-kx x x x x x ++，又4kx 1x 2=-3(x 1+x 2)，解得y=12，故点Q 的纵坐标为定值12.10. (1) ①因为A (0，1)，B (0，-1)，M 12m ⎛⎫⎪⎝⎭，，且m ≠0，m ≠，所以直线AM 的斜率为k 1=-12m ，直线BM 的斜率为k 2=32m ，所以直线AM 的方程为y=-12m x+1，直线BM 的方程为y=32m x-1，联立22141-12x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，消去y ，得(m 2+1)x 2-4mx=0，所以x=0，x E =241mm +，所以E 2224-111m m m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，.联立22143-12x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，消去y ，得(m 2+9)x 2-12mx=0，所以x=0，x F =2129m m +，所以F 222129-99m m m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，.又已知m ≠0，m 2≠3，所以直线EF 的斜率k=222222-19--19412-19m m m m m mmm ++++=222(3)(-3)-4(-3)m m m m +=-234m m +，所以直线EF 的方程为y-22-11m m +=-234m m+241m x m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭. 令x=0，得y=2，所以EF 与y 轴交点的位置与m 无关.②S △AMF =12MA ·MF ·sin ∠AMF ，S △BME =12MB ·ME ·sin ∠BME ，∠AMF=∠BME ，5S △AMF =S △BME ，所以5MA ·MF ·=MB ·ME ，所以5MA ME =MB MF ，所以254-1mmm m +=212-9m m m m +，因为m ≠0，所以整理方程得(m 2-3)(m 2-1)=0， 又有m ≠，所以m 2-3≠0，所以m 2=1，所以m=±1为所求.(2) 因为直线l 1⊥l 2，且都过点P (0，-1)，当直线l 1的斜率为0时，由题意得T (-，-1)，R(，-1)，Q (0，1)，S △TRQ =12×2×2=2；当直线l 1的斜率不存在时，不符合题意；当直线l 1的斜率存在且不为零时，设直线l 1：y=kx-1，即kx-y-1=0，直线l 2：y=-1k x-1，即x+ky+k=0，因为圆心(0，0)到直线l 1：kx-y-1=0的距离，所以直线l 1被圆x 2+y 2=4所截的弦TR=.联立22014x ky k x y ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去y ，得k 2x 2+4x 2+8kx=0，所以x Q +x P =-284k k +，因为x P =0，所以，所以S △TRQ =12QP ·TR==3213k 2=52，解得k=±时等号成立.因为>2，所以所求直线l 1：y=±x-1.。

专题05 解析几何一、单选题1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，倾斜角为02πθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的直线l 经过抛物线的焦点F ，且与抛物线相交于M ，N 两点.若22F N M N F F →→→⋅=-，则sin 2θ=（ ）AB ．13CD【答案】D 【解析】如图所示，过点M ，N 分别作准线的垂线，垂足分别为D ，C ，直线l 与准线交于点E ，由题意可得||2||FM FN →→=， 设||FN x =，则||2FM x =，由抛物线的定义可知，||CN x =，||2MD x =， ||||1||||2CN EN MD EM ==， 所以||3EN x =,在ENC △中，||1cos cos ||3CN ENC EN θ∠===，所以sin θ=则sin 22sin cos θθθ== 故选：D.2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知直线210x y --=的倾斜角为α，则21tan 2tan2αα-=（ ）A ．14-B ．1-C ．14D ．1【答案】D【解析】根据题意，得tan2α=，所以21tan221tantan2aαα-==.故选：D.3.【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知c是双曲线2222:1x yCa b-=(0a>，0b>)的半焦距，离心率为e，则1be c+的最大值是（）ABCD．2【答案】B 【解析】因为c是双曲线2222:1x yCa b-=(0a>，0b>)的半焦距，所以c则1b a be c c++===当且仅当a b=时，等号成立.故选：B.4.【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知点F，A分别为椭圆2222:1x yCa b+=(0a>，0b>)的左焦点左顶点，过原点O的直线l交C于P，Q两点，直线QF交AP于点B，且2QA QP QB+=，若||PF的最小值为4，则椭圆C的标准方程为（）A．22198x yB．2212516x y+=C．2213632x y+=D．2214936x y+=【答案】C【解析】如图，连接OB，AQ，则OB 是PAQ △的中位线， ||||1||||2OB OF AQ FA ∴==，即12c a c =-， 3a c ∴=，又||PF 的最小值为a c -，4a c -=，6a ∴=，2c =，22232b a c =-=.故椭圆C 的标准方程为2213632x y +=.故选：C.5. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】已知圆22:4O x y +=与x 轴交于,M N 两点，点P 在直线:0l x y +-=上，过圆O 上的任意两点,S T 分别向l 作垂线，垂足为,S T ''，以下说法不正确的是（ ）A ．||||PM PN +的最小值为B ．PM PN ⋅为定值C ．SPT ∠的最大值为3πD ．当ST 为直径时，四边形SS T T ''面积的最大值为16 【答案】B 【解析】设(2,0),(2,0)M N -，则N 关于l 对称的点为2)N '，所以||||PM PN +的最小值为MN '=故A 正确；2()()4PM PN OM OP ON OP OP ⋅=-⋅-=-不是定值，故B 错误；当OP 最小，且当,PS PT 为圆O 的切线时，SPT ∠最大，此时3SPT π∠=，故C 正确；在四边形SS T T ''中，//SS TT ''，且8SS TT ''+=.因此，当S T ''最长，即||4S T ST ''==时面积最大，最大值为16，故D 正确故选：B6. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若过点2F 作渐近线的垂线，垂足为P ，且12F PF △的面积为2b ，则该双曲线的离心率为（ ）A ．1B ．1CD 【答案】D 【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a =±，则点2(,0)F c 到渐近线b y x a=±的距离2PF b =，在2OPF 中，122222,,||,2F PF OPF PF b OF c OP a S S ab b ======，所以ab =，离心率c e a =故选：D7. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）】已知圆22:1C x y +=，直线:2l x =，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 过定点（ ）A ．1,02⎛⎫⎪⎝⎭B ．(0,2)C ．(2,1)D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】因为P 为直线l 上的动点，所以可设(2,)P t ， 由题意可得圆心C 的坐标为(0,0)，以线段PC 为直径的圆N 的圆心为1,2⎛⎫⎪⎝⎭t P所以方程为2220x y x ty +--=，两圆方程作差，即得两圆公共弦AB 的方程为210x ty +-=，()210-+=x ty ，所以直线AB 过定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭．故选：A. 二、填空题1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】对于双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>来说，我们定义圆222x y a +=为它的“伴随圆”.过双曲线22241(0)9x y a a -=>的左焦点1F 作它的伴随圆的一条切线，设切点为T ，且这条切线与双曲线的右支相交于点P .若M 为1PF 的中点，M 在T 右侧，且||||MO MT -为定值12，则该双曲线的离心率为_______.【解析】如图，设2F 为双曲线的右焦点，在1Rt OFT 中，1,||OF c OT a ==，所以1||TF b =，()()21121121111112222MO MT PF MF TF PF PF TF PF PF TF ⎛⎫-=--=--=-+ ⎪⎝⎭3122b a a =-=-=，解得1a =，所以c e a ==2. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】小明同学发现家中墙壁上灯光的边界类似双曲线的一支， O 为双曲线的一支的顶点.小明经过测量得知，该双曲线的渐近线相互垂直，且AB 与OC 垂直，80cm,20cm AB OC ==，若该双曲线的焦点位于直线OC 上，则在点O 以下的焦点距点O ______cm .【答案】1) 【解析】解：设该双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>.因为渐近线相互垂直，所以a b =.由题意知，2222(20)401a a b+-=，解得30,a b c ===故该双曲线的一个焦点位于点O以下1)cm . 故答案为：1) 三、解答题1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】已知圆22:(32M x y +=，点Q 是圆M上的一个动点，点(N .若线段QN 的垂直平分线交线段QM 于点T . （1）求动点T 的轨迹曲线C 的方程；（2）设O 是坐标原点，点(2,1)P ，点R （异于原点）是曲线C 内部且位于y 轴上的一个动点，点S 与点R 关于原点对称，直线,PR PS 分别与曲线C 交于A ，B （异于点P ）两点.判断直线AB 是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，说明理由.【答案】（1）22182x y +=；（2）过定点，(0,2)-. 【解析】（1）由题意可知，||||||||TM TN TM TQ r MN +=+==>=∣， 所以动点T 的轨迹为以M ，N 两点为焦点的椭圆.设椭圆的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c，则2,a a c ==由222a b c =+，得b =所以曲线C 的方程为22182x y +=.（2）设直线AB 的方程为()()1122,,,,y kx t A x y B x y =+，由221,82,x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，整理得()222148480k x ktx t +++-=， 则()()()22222(8)4144816820kt k t k t ∆=-+-=-+>，2121222848,4141kt t x x x x k k -+=-=++. 又直线PA 的方程为1111(2)2y y x x --=--， 即1111(2)2kx t y x x +--=--，令0x =，得11(12)22k x ty x --=-.因此点R 的坐标为11(12)20,2k x t x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭，同理可得，22(12)20,2k x t S x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭. 由OS RO =，得1212(12)2(12)2022k x t k x tx x ----+=--，化简得()1212(24)(242)80k x x k t x x t ---+++=，即222488(24)(242)804141t kt k k t t k k -⎛⎫-⨯--+-+= ⎪++⎝⎭， 整理得22420kt k t t +++-=， 即(2)(21)0t k t ++-=.因为(2,1)P 不在直线y kx t =+上，故210k t +-≠，所以20,2t t +==-，此时，由0∆>，得214k >. 因此直线AB 过定点(0,2)-.2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】设抛物线E ：()220y px p =>焦点为F ，准线为l ，A 为E上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B 、D 点． （Ⅰ）若60BFD ∠=︒，BFD △p 的值及圆F 的方程； （Ⅰ）若点A 在第一象限，且A 、B 、F 三点在同一直线1l 上，直线1l 与抛物线E 的另一个交点记为C ，且CF FA λ=，求实数λ的值．【答案】（Ⅰ）2p =，圆F 为：()221613x y -+=；（Ⅰ）13λ=． 【解析】解：（Ⅰ）焦点到准线l 的距离为p ，又ⅠBF FD =，60BFD ∠=︒，ⅠBFD △为正三角形．ⅠBF =2p B ⎛- ⎝，Ⅰ21sin 602BFDS BF =︒=△2p ∴=， Ⅰ圆F 为：()221613x y -+=． （Ⅰ）若A 、F 、B 共线，则AF BF DF ==，2BDA π∴∠=Ⅰ12AD AF AB ==，6DBA π∴∠=Ⅰ直线AB 的倾斜角为3π或23π，由对称性可知，设直线l：2px =+，()11,A x y ，()22,C x y ，CF FA λ=，联立()121222221211202p y y y x y y p y y p y y px λλ⎧⎧+=-⋅=+⎪⎪⇒-=⇒⎨⎨⎪⎪⋅=-=-⋅=⎩⎩， Ⅰ()2143λλ-=，231030λλ∴-+=，3λ∴=或13λ=， 又AF BF p =>，12p x >，01λ∴<<，所以13λ=．3. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在C 上，但不在x 轴上，当点P 在C 上运动时，12PF F △的周长为定值6，且当112PF F F ⊥时，132PF =. （1）求C 的方程.（2）若斜率为(0)k k ≠的直线l 交C 于点M ，N ，C 的左顶点为A ，且1,,AM AN k k k -成等差数列，证明：直线l 过定点.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【解析】（1）解：由题意知，22223,2226,,b a a c a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩所以2,1,a c b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）证明：由题意知，(2,0)A -.设直线:l y kx m =+，与椭圆C 方程联立，得221,43,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩ 整理得()2223484120kxkmx m +++-=.设()()1122,,,M x y N x y ，则12221228,34412,34km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩ ()12121212121212432(2)2222242AM AN y y kx m kx m x x k k k m k x x x x x x x x m k +++++=+=+=+-⋅==+++++++-12k-⨯， 所以2k m =.所以:2(21)l y mx m m x =+=+，恒过点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.4. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，M 是椭圆E 上一点，M 关于x 轴的对称点为N ，且14MA NB k k ⋅=． （1）求椭圆E 的离心率；（2）若椭圆E的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，斜率为1的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，在y 轴上存在点R ，使得以线段PQ 为直径的圆经过点R ，且()0RQ RP PQ +⋅=，求直线l 的方程． 【答案】（1（2）1y x =±. 【解析】解：（1）由椭圆E 的方程可得(,0),(,0)A a B a -． 设()00,M x y ，则()00,N x y -， 所以200022000.MA NBy y y k k x a x a x a -⋅=⋅=-+--． 又点()00,M x y 在椭圆E 上，所以2200221x y a b+=，所以22220002221y x a x b a a -=-=，所以220222014MA NBy b k k x a a ⋅=-==-，所以椭圆E的离心率e ． （2）由题意知椭圆E的一个焦点为，所以椭圆E 的标准方程为2214x y +=．设直线l 的方程为()()1122,(0,),,,,y x m R t P x y Q x y =+，线段PQ 的中点为(),S S S x y ，联立221,4,x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得2258440x mx m ++-=，则()()2226420441650m m m ∆=--=->，解得25m <，所以21212844,55m m x x x x -+=-=， 所以124,255S S S x x m mx y x m +==-=+=， 所以4,55m m S ⎛⎫-⎪⎝⎭． 由()0RQ RP PQ +⋅=，得RS PQ ⊥，所以511405m t m -⨯=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 解得35mt =-． 又因为以线段PQ 为直径的圆过点R ， 所以PR QR ⊥， 所以12121y t y tx x --⋅=-． 又1122,y x m y x m ==++，代入上式整理得()212122()()0x x m t x x m t +-++-=，即()222244880555m m m -⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1m =±．所以直线l 的方程为1y x =±．。