初中数学竞赛0002

2000我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷（第一试）一．已知m,n为整数，方程2(180x n m+-++=有两个不相等的实数根,方程2(370x n m+-+-=有两个相等的实数根.求n的最小值，并说明理由。

二．已知M、N分别在正方形ABCD的边DA、AB上，且MN=AN，过A作BM的垂线，垂足为P。

求证：∠APN=∠BNC三．设N是正整数，如果存在大于1的正整数k，使得N-2)1(-kk是k的正整数倍，则N 称为一个“千禧数”，试确定在1，2，3，…，2000中“千禧数”的个数并说明理由。

2000我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷（第二试）一．给定四个命题：（1）sin15°与sin75°的平方和为1；（2）函数 y=x2-8x+6的最小值为–10；（3）=（4）若= x=10.其中错误的是。

二．如图，△ABC中，AD和BE相交于F，已知△AFB的面积=12平方厘米，△BFD的面积=9平方厘米，△AFE的面积=6平方厘米，那么，四边形CDEF的面积等于平方厘米。

三．在△ABC中，BC=2，△ABC的面积为1，若∠B是锐角，则∠C的度数是。

四．某自来水公司水费计算办法如下：每户每月用水不超过5吨的，每吨收费0。

85元；超过5吨的，超出部分每吨收取较高的的定额费用。

已知今年7月份张家用水量与李家用水量之比为2：3，其中张家当月水费是14.60元，李家当月水费是22.65元，那么，超出5吨部分的收费标准是每吨元。

五．满足方程11x2+2xy+9y2+8x-12y+6=0的实数根对（x,y）的个数是。

六．函数y=x2-3|x|+7的图象与函数y= x2-3x+| x2-3x |+6的图象的交点个数是 . 七．已知抛物线y= x2+(k+1)x+1与x轴的两个交点A,B不全在原点左侧，抛物线的顶点为C ，要使△ABC 恰为等边三角形，那么k 的值为 .八．如图，已知AB 是圆O 的直径，PQ 是圆O 的弦，PQ 与AB 不平行， R 是PQ 的中点。

初中数学竞赛辅导资料（二）（含答案）式子的整除甲内容提要1．定义：如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式，并且余式是零，则称这个整式被另一个整式整除。

2．根据被除式＝除式×商式＋余式，设f(x),p(x),q(x)都是含x 的整式，那么式的整除的意义可以表示为：若f(x)＝p(x)×q(x)，则称f(x)能被 p(x)和q(x)整除例如∵x2－3x－4＝（x－4）（x +1）,∴x2－3x－4能被（x－4）和（x +1）整除。

显然当x=4或x=－1时x2－3x－4＝0，3．一般地，若整式f(x)含有x –a的因式，则f(a)=0反过来也成立，若f(a)=0,则x－a能整除f(x)。

4．在二次三项式中若x2+px+q=(x+a)(x+b)＝x2+(a+b)x+ab则p=a+b,q=ab在恒等式中，左右两边同类项的系数相等。

这可以推广到任意多项式。

乙例题例1己知x2－5x+m能被x－2整除，求m 的值。

x－3解法一：列竖式做除法（如右）x－2 x2－5x+m由余式m－6＝0得m=6x2－2x解法二：∵x2－5x+m 含有x－2 的因式－3x+m∴以x=2代入x2－5x+m 得－3x+622－5×2 ＋m=0 得m=6 m－6解法三：设x2－5x+m 除以x－2 的商是x+a (a为待定系数)那么 x 2－5x+m ＝(x+a)(x －2)＝ x 2+(a-2)x－2a根据左右两边同类项的系数相等，得⎩⎨⎧=--=-m a a 252 解得⎩⎨⎧=-=63m a （本题解法叫待定系数法）例2 己知:x 4－5x 3+11x 2+mx+n 能被x 2－2x+1整除求：m 、n 的值及商式解：∵被除式＝除式×商式 （整除时余式为0）∴商式可设为x 2+ax+b得x 4－5x 3+11x 2+mx+n ＝（x 2－2x+1）（x 2+ax+b ）＝x 4+(a-2)x 3+(b+1-2a)x 2+(a-2b)x+b根据恒等式中，左右两边同类项的系数相等，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-+-=-n b mb a a b a 12112152 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-=4113n m n b a ∴m=－11, n=4, 商式是x 2－3x+4例3 m 取什么值时，x 3+y 3+z 3+mxyz (xyz ≠0)能被x+y+z 整除?解：当 x 3+y 3+z 3+mxyz 能被x+y+z 整除时，它含有x+y+z 因式令x+y+z ＝0，得x=－（y+z ），代入原式其值必为0即［－（y+z ）］3+y 3+z 3－myz(y+z)=0把左边因式分解，得 －yz(y+z)(m+3)=0,∵yz ≠0, ∴当y+z=0或m+3=0时等式成立∴当x,y （或y,z 或x,z ）互为相反数时，m 可取任何值 ，当m=－3时，x,y,z 不论取什么值，原式都能被x+y+z 整除。

中国教育学会中学数学教学专业委员会 2012年全国初中数学竞赛试题【安徽赛区】一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1、如果2a =-11123a+++的值为【 】（A）（B（C ）2 （D）解：B ∵213+=+a ∴1231-=+a ，12312+=++a，123121-=++a因此原式=22、 在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式y x y x 2222+≤+的整数点坐标（x ，y ）的个数为【 】 （A ）10 （B ）9 （C ）7 （D ）5 解：B 解法一：y x y x 2222+≤+化为()()21122≤-+-y x因为x 、y 均为整数，因此()()01122=-+-y x 或()()11122=-+-y x 或()()21122=-+-y x分别解得⎩⎨⎧==11y x 或⎩⎨⎧==10y x ⎩⎨⎧==12y x ⎩⎨⎧==01y x ⎩⎨⎧==21y x 或⎩⎨⎧==20y x ⎩⎨⎧==22y x ⎩⎨⎧==00y x ⎩⎨⎧==02y x 所以共有9个整点 解法二：y x y x 2222+≤+化为()()21122≤-+-y x 它表示以点（1,1）为圆心，2为半径的圆内，画图可知，这个圆内有9个（0,2）、（0,1）（0,0），（1,0），（1,1），（1,2），（2,0），（2,1），（2,2）3、如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒，AD = 3，BD = 5，则CD 的长为【 】（A ）23 （B ）4 （C ）52 （D ）4.5解：图，以CD 为边作等边△CDE ，连接AE ． 由于AC = BC ，CD = CE ，BCD BCA ACD DCE ACD ACE ∠=∠+∠=∠+∠=∠．所以 △BCD ≌△ACE ， BD = AE ．又因为30ADC ∠=︒，所以90ADE ∠=︒．在Rt △ADE 中，53AE AD ==，，于是4=，所以CD = DE = 4．4、如果关于x 的方程20x px q p q --=（，是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是【 】 （A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 （D ） 8解：C ∵p 、q 是正整数∴042>+=∆q p ，021<-=⋅q x x ∴正根为3242<++q p p解得p q 39-<∴⎩⎨⎧==11q p ，⎩⎨⎧==21q p ，⎩⎨⎧==31q p ，⎩⎨⎧==41q p ，⎩⎨⎧==51q p ，⎩⎨⎧==12q p ，⎩⎨⎧==22q p 5、黑板上写有1，12，13，…，1100共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是【 】 （A ）2012 （B ）101 （C ）100 （D ）99 解：C 1)1)(1(-++=++b a ab b a ∵计算结果与顺序无关∴顺次计算得：21)121)(11(=-++，31)131)(12(=-++，41)141)(13(=-++，…… 1001)11001)(199(=-++二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6、如果a ，b ，c 是正数，且满足9a b c ++=，111109a b b c c a ++=+++，那么a b c b c c a a b+++++的值为 ．解：7在910111=+++++a c c b b a 两边乘以9=++c b a 得103=++++++ac bc b a b a c 即7=+++++ac bc b a b a c 7、如图，⊙O 的半径为20，A 是⊙O 上一点．以OA 为对角线作矩形OBAC ，且12OC =．延长BC ，与⊙O 分别交于D E ，两点，则CE BD -的值等于 285 ．解：如图，设DE 的中点为M ，连接OM ，则OM DE ⊥．因为16OB ==，所以161248205OB OC OM BC ⋅⨯===，366455CM BM ===，． CE BD EM CM DM BM -=---（）（）643655BM CM =-=-285=． 8、设n 为整数，且1≤n ≤2012. 若22(3)(3)n n n n -+++能被5整除，则所有n 的个数为 . 解：1600()()()953332422222++=-+=+++-n n n n n n n n因此9|54+n ，所以)5(mod 14≡n ，因此25k ,15±±=或k n 240252012⋯⋯=÷所以共有2012-402=1600个数9、如果正数x ，y ，z 可以是一个三角形的三边长，那么称x y z （，，）是三角形数．若a b c （，，）和111a b c（，，）均为三角形数，且a ≤b ≤c ，则ac的取值范围是 . 解：1253≤<-ca依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧>+>+a c b cb a 111，所以ac b ->，代入（2）得ca c cb a 11111+-<+<，两边乘以a 得c a a c a +-<1即ac ac a c -<-化简得0322<+-c ac a ，两边除以2c 得 0132<+-⎪⎭⎫⎝⎛c a c a 所以253253+<<-c a 另一方面：a ≤b ≤c ，所以1≤c a 综合得1253≤<-c a 10、已知n 是偶数，且1≤n ≤100．若有唯一的正整数对a b （，）使得22a b n =+成立，则这样的n 的个数为 ．解：依题意得()()b a b a b a n -+=-=22 由于n 是偶数，a+b 、a-b 同奇偶，所以n 是4的倍数当1≤n ≤100时，4的倍数共有25个 但是224⨯=，6412224⨯=⨯=，8416232⨯=⨯=，10420240⨯=⨯=，8612424248⨯=⨯=⨯=，14428256⨯=⨯=，10630260⨯=⨯=，16432264⨯=⨯= 12618436272⨯=⨯=⨯=，10820440280⨯=⨯=⨯=，22444288⨯=⨯= 12816624448296⨯=⨯=⨯=⨯=这些不符合要求，因此这样的n 有25-12=13个 三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11、如图，在平面直角坐标系xOy 中，8AO =，AB AC =，4sin 5ABC ∠=．CD 与y 轴交于点E ，且COE ADE S S =△△．已知经过B ，C ，E 三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式．解：因为sin ∠ABC =45AO AB =，8AO =，所以AB = 10．由勾股定理，得6BO ==．易知ABO ACO △≌△， 因此 CO = BO = 6．于是(08)A -，，(60)B ，，(60)C -，．设点D 的坐标为()m n ，．由C O E A D E S S =△△，得C D B A O B S S =△△．所以1122BC n AO BO ⋅=⋅，1112()8622n ⨯-=⨯⨯．解得 4n =-． 因此D 为AB 的中点，点 D 的坐标为(34)-，．因此CD ，AO 分别为AB ，BC 的两条中线，点E 为△ABC 的重心，所以点E 的坐标为8(0)3-，． 设经过B ，C ，E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为(6)(6)y a x x =-+．将点E 的坐标代入，解得a =272． 故经过B ，C ，E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为228273y x =-． 12、如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，AC ，BD 是它的对角线，AC 的中点I 是△ABD 的内心. 求证： （1）OI 是△IBD 的外接圆的切线；（2）AB ＋AD ＝2BD.（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知CID IAD IDA ∠=∠+∠，CDI CDB BDI BAC IDA IAD IDA ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠．所以CID CDI ∠=∠， CI = CD ． 同理，CI = CB ．故点C 是△IBD 的外心．连接OA ，OC ，因为I 是AC 的中点，且OA = OC ，所以OI ⊥AC ，即OI ⊥CI ．故OI 是△IBD 外接圆的切线．（2）如图，过点I 作IE ⊥AD 于点E ，设OC 与BD 交于点F ．由 BCCD =，知OC ⊥BD ． 因为∠CBF =∠IAE ，BC = CI = AI ，所以Rt BCF Rt AIE △≌△．所以BF = AE ． 又因为I 是△ABD 的内心，所以22AB AD BD AE BD BD BF BD +-=+-==．故2AB AD BD +=． 13、给定一个正整数n ，凸n 边形中最多有多少个内角等于150︒？并说明理由． 解：14、将2，3，…，n （n ≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a b c ，，（可以相同）使得b a c =，求n 的最小值．解：当1621n =-时，把23n ，　，　，分成如下两个数组：{}88162322121+- ，　，　，　，　，　和{}84521- ，　，　，　． 在数组{}88162322121+- ，　，　，　，　，　中，由于38821632221<>-（，），所以其中不存在数a b c ，，，使得ba c =．在数组{}84521- ，　，　，　中，由于48421>-， 所以其中不存在数a b c ，，，使得ba c =． 所以，162n ≥． 下面证明当162n =时，满足题设条件．不妨设2在第一组，若224=也在第一组，则结论已经成立．故不妨设224=在第二组． 同理可设4842=在第一组，8216(2)2=在第二组．此时考虑数8．如果8在第一组，我们取8282a b c ===，，，此时ba c =；如果8在第二组，我们取16482a b c ===，，，此时b a c =．综上，162n =满足题设条件． 所以，n 的最小值为162．注：也可以通过考虑2，4，16，256，65536的分组情况得到n 最小值为65536．。

1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试 一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．１． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223y xy x y xy x +--+的值是（A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）35． 答（ ）２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是（A ） 10； （B ）12；（C ） 16； （D ）18． 答（ ）３． 方程012=--x x 的解是（A ）251±； （B ）251±-； （C ）251±或251±-； （D ）251±-±． 答（ ）４．已知：)19911991(2111n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（Ａ）11991-； （Ｂ）11991--；（Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ． 答（ ）５． 若M n 1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除． 答（ ）６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么d c b a +++的最大值是（Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１． 答（ ）７． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是（Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3． 答（ ）８． 在锐角ΔABC 中，1=AC ，c AB =， 60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则（Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤21； 答（ ）11=S 3S =132=S（C ）c > 2； （D ）c = 2． 答（ ） 二、填空题１．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ．２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+acb 32 ． 3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，qpn m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则４．四边形ABCD 中，∠ ABC 135=，∠BCD 120=，AB 6=，BC 35-=，CD = 6，则AD = ．第二试x + y ， x － y ， x y ，yx四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y ）．二、ΔABC 中，AB ＜AC ＜BC ，D 点在BC 上，E 点在BA 的延长线上，且BD ＝BE ＝AC ，ΔBDE 的外接圆与ΔABC 的外接圆交于F 点（如图）．求证：BF ＝AF ＋CF三、将正方形ABCD 分割为 2n 个相等的小方格（n 是自然数），把相对的顶点A ，C 染成红色，把B ，D 染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定. 3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7. 答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4. 答( )5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xk y 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是(A)21S S > (B)21S S = (C)21S S < (D)不确定答( )6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3. 答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD ,AB=2CD , ︒=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , FA=AB .则AE :EB 等于(A)1:2 (B)1:3 (C)2:5 (D)3:10 答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11. 答( ) 二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x ,则xx x x 44211+-++的最大值是__________.3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点，又AB PE ⊥于E 点，若3,2==AC BC ，则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(baa b . 第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在ABC ∆中，D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求：M 和N. 1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一.选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是(A)1; (B)-1; (C)1-x ; (D)1+x ;2.对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是 (A)Ⅰ,Ⅱ都对 (B)Ⅰ对,Ⅱ错 (C)Ⅰ错,Ⅱ对. (D)Ⅰ,Ⅱ都错. 3.设x 是实数,11++-=x x y .下列四个结论: Ⅰ.y 没有最小值;Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值;Ⅲ.有有限多个x (不止一个)使y 取到最大值; Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值. 其中正确的是(A)Ⅰ (B)Ⅱ (C)Ⅲ (D)Ⅳ 4.实数54321,,,,x x x x x 满足方程组其中54321,,,,a a a a a 是实常数,且54321a a a a a >>>>,则54321,,,,x x x x x 的大小顺序是(A)54321x x x x x >>>>; (B)53124x x x x x >>>>; (C)52413x x x x x >>>>; (D)24135x x x x x >>>>. 5.不等式73)1(12+<-<-x x x 的整数解的个解(A)等于4 (B)小于4 (C)大于5 (D)等于5 6.在ABC ∆中,BC AO O A =∠,,是垂心是钝角, 则)cos(OCB OBC ∠+∠的值是 (A)22-(B)22(C)23 (D)21-. 答( )7.锐角三角ABC 的三边是a , b , c ,它的外心到三边的距离分别为m , n , p ,那么m :n :p 等于(A)cb a1:1:1; (B)c b a :: (C)C B A cos :cos :cos (D)C B A sin :sin :sin . 答( ) 8.13333)919294(3-+-可以化简成 (A))12(333+; (B))12(333- (C)123- (D)123+ 答( ) 二.填空题1. 当x 变化时,分式15632212++++x x x x 的最小值是___________.2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.3.若方程k x x =--)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k =____________.4.锐角三角形ABC 中,︒=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB ,AC 分别交于D , E ,连接DE , 把三角形ABC 分成三角形ADE与四边形BDEC ,设它们的面积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________.第二试一.设H 是等腰三角形ABC 垂心,在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小,这时乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.二.ABC ∆中, BC =5, AC =12, AB =13, 在边AB ,AC 上分别取点D , E , 使线段DE 将ABC ∆分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE 的最小长度.三.已知方程0022=++=++b cx x c bx x 及分别各有两个整数根21,x x 及21,x x '',且,021>x x 021>''x x . (1)求证:;0,0,0,02121<'<'<<x x x x (2)求证:1-b ≤c ≤1+b ; (3)求c b ,所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题 第一试(4月3日上午8：30—9：30)考生注意：本试共两道大题，满分80分.一、选择题（本题满分48分，每小题6分）本题共有8个小题都给出了A ，B 、C ，D ，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分.〔答〕( )2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,zA．都不小于0 B．都不大于0C．至少有一个小0于D．至少有一个大于0 〔答〕( )3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长A．等于4 B．等于5C．等于6 D．不能确定〔答〕( )A．1 B．-1 C．22001D．-22001〔答〕( )5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A．4对B．8对C．12对D．16对〔答〕( )〔答〕( )7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。

数学竞赛试题及答案初中试题一：代数问题题目：如果\( a \)和\( b \)是两个连续的自然数，且\( a^2 + b^2= 45 \)，求\( a \)和\( b \)的值。

解答：设\( a \)为较小的自然数，那么\( b = a + 1 \)。

根据题意，我们有：\[ a^2 + (a + 1)^2 = 45 \]\[ a^2 + a^2 + 2a + 1 = 45 \]\[ 2a^2 + 2a - 44 = 0 \]\[ a^2 + a - 22 = 0 \]分解因式得：\[ (a + 11)(a - 2) = 0 \]因此，\( a = -11 \)或\( a = 2 \)。

由于\( a \)是自然数，所以\( a = 2 \)，\( b = 3 \)。

试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，直角边的长度分别为3厘米和4厘米，求斜边的长度。

解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边\( c \)可以通过以下公式计算：\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]其中\( a \)和\( b \)是直角边的长度。

代入数值：\[ c = \sqrt{3^2 + 4^2} \]\[ c = \sqrt{9 + 16} \]\[ c = \sqrt{25} \]\[ c = 5 \]所以斜边的长度是5厘米。

试题三：数列问题题目：一个等差数列的前三项分别是2，5，8，求这个数列的第10项。

解答：等差数列的通项公式是：\[ a_n = a_1 + (n - 1)d \]其中\( a_n \)是第\( n \)项，\( a_1 \)是首项，\( d \)是公差。

已知首项\( a_1 = 2 \)，公差\( d = 5 - 2 = 3 \)。

代入公式求第10项：\[ a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 9 \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 27 \]\[ a_{10} = 29 \]所以这个数列的第10项是29。

第九讲 一元二次方程一元二次方程是中学代数的重要内容之一 是进一 学习其他方程、 等式、函数等的基础 其内容非常丰富 本讲 要介绍一元二次方程的基本解法．方程ax2+bx+c=0(a≠0)称 一元二次方程．一元二次方程的基本解法有开 方法、配方法、公式法和国式分解法．对于方程ax2+bx+c=0(a≠0) △=b2-4ac称 该方程的根的判别式．当△＞0时 方程有两个 相等的实数根 即当△=0时 方程有两个相等的实数根 即当△ 0时 方程无实数根．分析 可以使用公式法直接求解 下面介绍的是采用因式分解法求解．因所以例2 解关于x的方程x2-(p2+q2)x+pq(p+q)(p-q)=0．解 用十字相乘法分解因式得与x-p(p-q)]与x-q(p+q)]=0所以x1=p(p-q) x2=q(p+q)．例3 已知方程(2000x)2-2001×1999x-1=0的较大根 a 方程x2+1998x-1999=0的较小根 平 求干-平的值．解 由方程(2000x)2-2001×1999x-1=0得(20002x+1)(x-1)=0(x+1999)(x-1)=0故x1=-1999 x2=1 所以平=-1999．所以干-平=1-(-1999)=2000．例4 解方程 (3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1)．分析 本题容易犯的错误是约去方程两边的(x-1) 将方程变3x-1=4x+1所以x=-2 这样就丢掉了x=1这个根．故特别要注意 用含有未知数的整式去除方程两边时 很可能导致方程失根．本题 确的解法如下．解 (3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)=0(x-1)与(3x-1)-(4x+1)]=0(x-1)(x+2)=0所以 x1=1 x2=-2．例5 解方程 x2-3｜x｜-4=0．分析 本题含有绝对值符号 因 求解方程时 要考虑到绝对值的意义．解法1 显然x≠0．当x＞0时 x2-3x-4=0 所以x1=4 x2=-1(舍去)．当x 0时 x2+3x-4=0 所以x3=-4 x4=1(舍去)．所以原方程的根 x1=4 x2=-4．解法2 由于x2=｜x｜2 所以｜x｜2-3｜x｜-4=0所以 (｜x｜-4)(｜x｜+1)=0所以 ｜x｜=4 ｜x｜=-1(舍去)．所以 x1=4 x2=-4．例6 已知二次方程3x2-(2a-5)x-3a-1=0有一个根 2 求另一个根 并确定a的值．解 由方程根的定义知 当x=2时方程成立 所以3×22-(2a-5)×2-3a-1=0故a=3．原方程3x2-x-10=0 即(x-2)(3x+5)=0例7 解关于x的方程 ax2+c=0(a≠0)．分析 含有字母系数的方程 一般需要对字母的取值范围进行讨论．当c=0时 x1=x2=0当ac＞0(即a c同号时) 方程无实数根．例8 解关于x的方程(m-1)x2+(2m-1)x+m-3=0．分析 讨论m 由于二次项系数含有m 所以首先要分m-1=0 m-1≠0两种情况( 能认 方程一定是一元二次方程) 当m-1≠0时 再分△＞0 △=0 △ 0三种情况讨论．解 分类讨论．(1)当m=1时 原方程变 一元一次方程x-2=0所以x=2．(2)当m≠1时 原方程 一元二次方程．△=(2m-1)2-4(m-1)(m-3)=12m-11．例9 解关于x的方程a2(x2-x+1)-a(x2-1)=(a2-1)x．解 整理方程得(a2-a)x2-(2a2-1)x+(a2+a)=0．(1)当a2-a≠0 即a≠0 1时 原方程 一元二次方程 因式分解后与ax-(a+1)]与(a-1)x-a]=0(2)当a2-a=0时 原方程 一元一次方程 当a=0时 x=0 当a=1时 x=2．例10 求k的值 使得两个一元二次方程x2+kx-1=0 x2+x+(k-2)=0有相同的根 并求两个方程的根．解 妨设a是这两个方程相同的根 由方程根的定义有a2+ka-1=0a2+a+(k-2)=0．- 有ka-1-a-(k-2)=0即 (k-1)(a-1)=0所以k=1 或a=1．(1)当k=1时 两个方程都变 x2+x-1=0 所以两个方程有两个相同的根没有相异的根(2)当a=1时 代入 或 都有k=0 时两个方程变x2-1=0 x2+x-2=0．解这两个方程 x2-1=0的根 x1=1 x2=-1 x2+x-2=0的根 x1=1 x2=-2．x=1 两个方程的相同的根．例11 若k 整数 且关于x的方程(k2-1)x2-6(3k-1)x+72=0有两个 相等的 整数根 求k的值．解 原方程变形、因式分解(k+1)(k-1)x2-6(3k-1)x+72=0与(k+1)x-12]与(k-1)x-6]=0即4 7．所以k=2 3使得x1 x2同时 整数 但当k=3时 x1=x2=3 题目 符 所以 只有k=2 所求．例12 关于x的一元二次方程x2-5x=m2-1有实根a和平 且｜干｜+｜平｜ 6 确定m的取值范围．解 妨设方程的根干 平 由求根公式得｜干｜+｜平｜=干+平=5 6符合要求 所以m2 1．例13 设a b c △ABC的三边 且二次三项式x2+2ax+b2 x2+2cx-b2有一次公因式 证明 △ABC一定是直角三角形．证 因 题目中的两个二次三项式有一次公因式 所以二次方程x2+2ax+b2=0 x2+2cx-b2=0必有公共根 设公共根 x0 则两式相加得若x0=0 代入 式得b=0 这 b △ABC的边 符 所以公共根x0=-(a c)．把x0=-(a c)代入 式得(a+c)2-2a(a+c)+bg2=0整理得a2=b2+c2所以△ABC 直角三角形．例14 有若 个大小相同的球 可将它们摆成 方形或 三角形 摆成 三角形时比摆成 方形时 边多两个球 求球的个数．解 设小球摆成 三角形时 边有x个球 则摆成 方形时 边有(x-2)个球． 时 三角形共有球时 方形共有(x-2)2个球 所以即 x2-9x+8=0x1=1 x2=8．因 x-2 1 所以x1=1 符合题意 舍去．所以x=8 时共有球(x-2)2=36个．练 习 九1．解方程(2)20x2+253x+800=0(3)x2+｜2x-1｜-4=0．2．解下列关于x的方程(1)abx2-(a4+b4)x+a3b3=0(2)(2x2-3x-2)a2+(1-x2)b2=ab(1+x2)．3．若对任何实数a 关于x的方程x2-2ax-a+2b=0都有实数根 求实数b的取值范围．4．若方程x2+ax+b=0和x2+bx+a=0有一个公共根 求(a+b)2000的值．5．若a b c △ABC的三边 且关于x的方程4x2+4(a2+b2+c2)x+3(a2b2+b2c2+c2a2)=0有两个相等的实数根 试证△ABC 是等边三角形．。

2012年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）1．如果实数a ，b ，c ||||a b b c ++可以化简为（ ）．（A ）（B ）（C ） a （D ）a2．如果正比例函数y = ax （a ≠ 0）与反比例函数y =xb（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（ ）． （A ）（2，3） （B ）（3，－2） （C ）（－2，3） （D ）（3，2）3．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）． （A ）1 （B ）214a - （C ）12 （D ）144．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ ）．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）45．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，则0123p p p p ，，，中最大的是（ ）．（A ）0p （B ）1p （C ）2p （D ）3p 二、填空题6．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是 .7．如图，正方形ABCD 的边长为E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE ，DB 分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是 .8．如果关于x 的方程x 2+kx+43k 2－3k+92= 0的两个实数根分别为1x ，2x ，那么2012220111x x 的值为 ．9．2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m 的值为 .10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O，AB 是直径，AD = DC. 分别延长BA ，CD ，交点为E. 作BF⊥EC，并与EC 的延长线交于点F. 若AE = AO ，BC = 6，则CF 的长为 .三、解答题11．已知二次函数232y x m x m =++++（），当13x -<<时，恒有0y <；关于x 的方程2320x m x m ++++=（）的两个实数根的倒数和小于910-．求m 的取值范围．12．如图，⊙O 的直径为AB ，⊙O 1过点O ，且与⊙O 内切于点B ．C 为⊙O 上的点，OC 与⊙O 1交于点D ，且OD CD >．点E 在OD 上，且DC DE =，BE 的延长线与⊙O 1交于点F ，求证：△BOC∽△1DO F ．13．已知整数a ，b 满足：a －b 是素数，且ab 是完全平方数. 当a≥2012时，求a 的最小值.14．求所有正整数n ，使得存在正整数122012x x x ，，　，，满足12201x x x <<<，且122012122012n x x x +++=.参考答案1．C 解：由实数a ，b ，c 在数轴上的位置可知0b a c <<<，且b c >， 所以||||()()()a b b c a a b c a b c ++=-+++--+a =-．2．D 解：由题设知，2(3)a -=⋅-，(3)(2)b -⋅-=，所以263a b ==，.解方程组236y x y x⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，得32x y =-⎧⎨=-⎩，； 32.x y =⎧⎨=⎩，所以另一个交点的坐标为（3，2）.3．D 解：由题设知，1112a a b a b <+<++<+，所以这四个数据的平均数为1(1)(1)(2)34244a ab a b a b+++++++++=， 中位数为(1)(1)44224a ab a b++++++=， 于是4423421444a b a b ++++-=. 4．D 解：设小倩所有的钱数为x 元、小玲所有的钱数为y 元，x y ，均为非负整数. 由题设可得2(2)2()x n y y n x n +=-⎧⎨+=-⎩，， 消去x 得(2y －7)n = y+4，2n =721517215)72(-+=-+-y y y .因为1527y -为正整数，所以2y －7的值分别为1，3，5，15，所以y 的值只能为4，5，6，11．从而n 的值分别为8，3，2，1；x 的值分别为14，7，6，7．5．D 解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以01239891036363636p p p p ====，，，，因此3p 最大．6．7＜x≤19解：前四次操作的结果分别为3x －2，3(3x －2)－2 = 9x －8，3(9x －8)－2 = 27x －26，3(27x －26)－2 = 81x －80.由已知得 27x －26≤487，81x －80＞487. 解得 7＜x≤19.容易验证，当7＜x≤19时，32x -≤487 98x -≤487，故x 的取值范围是 7＜x≤19．7．8 解：连接DF ，记正方形ABCD 的边长为2a . 由题设易知△BFN ∽△DAN ，所以21AD AN DN BF NF BN ===， 由此得2AN NF =，所以23AN AF =. 在Rt△ABF 中，因为2AB a BF a ==，，所以AF =，于是cos AB BAF AF ∠==. 由题设可知△ADE≌△BAF，所以 AED AFB ∠=∠，0018018090AME BAF AED BAF AFB ∠=-∠-∠=-∠-∠=. 于是cos AM AE BAF =⋅∠，23MN AN AM AF AM =-=- 415MND AFD S MN S AF ∆∆==. 又21(2)(2)22AFD S a a a ∆=⋅⋅=，所以2481515MND AFD S S a ∆∆==.因为a =8MND S ∆=.8．32-解：根据题意，关于x 的方程有∆=k 2－4239(3)42k k -+≥0，由此得(k －3)2≤0．又(k －3)2≥0，所以(k －3)2=0，从而k=3. 此时方程为x 2+3x+49=0，解得x 1=x 2=32-. 故2012220111x x =21x =23-．9．8解：设平局数为a ，胜（负）局数为b ，由题设知23130a b +=，由此得0≤b≤43.又 (1)(2)2m m a b +++=，所以22(1)(2)a b m m +=++. 于是0≤130(1)(2)b m m =-++≤43，87≤(1)(2)m m ++≤130，由此得 8m =，或9m =.当8m =时，405b a ==，；当9m =时，2035b a ==，，5522a b a +>=，不合题设. 故8m =．10．223解：如图，连接AC ，BD ，OD. 由AB 是⊙O 的直径知∠BCA =∠BDA = 90°. 依题设∠BFC = 90°，四边形ABCD 是⊙0的内接四边形，所以∠BCF =∠BAD, 所以 Rt△BCF∽Rt△BAD ，因此BC BACF AD=. 因为OD 是⊙O 的半径，AD = CD ，所以OD 垂直平分AC ，OD∥BC， 于是2DE OEDC OB==. 因此223DE CD AD CE AD ===，. 由△AED ∽△CEB ，知DE EC AE BE ⋅=⋅．因为322BA AE BE BA ==，， 所以 32322BA AD AD BA ⋅=⋅，BA=22AD ，故AD CF BC BA =⋅==11．解： 因为当13x -<<时，恒有0y <，所以23420m m ∆=+-+>（）（），即210m +>（），所以1m ≠-． ………（5分） 当1x =-时，y ≤0；当3x =时，y ≤0，即2(1)(3)(1)2m m -++-++≤0， 且233(3)2m m ++++≤0，解得m ≤5-． ………（10分）设方程()()2320x m x m ++++=的两个实数根分别为12x x ，，由一元二次方程根与系数的关系得()121232x x m x x m +=-+=+，．因为1211910x x +<-，所以121239210x x m x x m ++=-<-+， 解得12m <-，或2m >-．因此12m <-． …（20分） 12． 证明：连接BD ，因为OB 为1O 的直径，所以90ODB ∠=︒．又因为DC DE =，所以△CBE 是等腰三角形． …………（5分） 设BC 与1O 交于点M ，连接OM ，则90OMB ∠=︒．又因为O C O B =，所以22BOC DOM DBC ∠=∠=∠12DBF DO F =∠=∠． …………（15分）又因为1BOC DO F ∠∠，分别是等腰△BOC ，等腰△1DO F 的顶角，所以△BOC∽△1DO F ．13．解：设a －b = m （m 是素数），ab = n 2（n 是正整数）. 14．因为(a+b)2－4ab = (a －b)2，15．所以(2a －m)2－4n 2= m 2，(2a －m+2n)(2a －m －2n) = m 2.因为2a －m+2n 与2a －m －2n 都是正整数，且2a －m+2n ＞2a －m －2n (m 为素数)，所以 2a －m+2n =m 2，2a －m －2n =1.解得 a =2(1)4m +，n =214m -. 于是b = a －m =214m -（）.又a≥2012，即2(1)4m +≥2012.又因为m 是素数，解得m≥89. 此时，a≥41)(892+=2025.当2025a =时，89m =，1936b =，1980n =.因此，a 的最小值为2025. 14．解：由于122012x x x ，，　，都是正整数，且122012x x x <<<，所以1x ≥1，2x ≥2，…，2012x ≥2012．于是 122012122012n x x x =+++≤1220122012122012+++=． 当1n =时，令12201220122201220122012x x x ==⨯=⨯，，　，，则1220121220121x x x +++=. 当1n k =+时，其中1≤k ≤2011，令 1212k x x x k ===，，　，，122012(2012)(1)(2012)(2)(2012)2012k k x k k x k k x k ++=-+=-+=-⨯,，，则1220121220121(2012)2012k k x x x k+++=+-⋅-1k n =+=． 综上，满足条件的所有正整数n 为122012，　，　，　．。

2019 年初中七年级数学竞赛试题及答案一、选择题 ( 每小题 6 分，共 48 分；以下每题的4 个结论中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内． )1 ．如果 a 是有理数，代数式2a 1 1 的最小值是 --------------------------（）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 42 ．正五边形的对称轴有--------------------------------------------------（ ）（ A ） 10 条（ B ）5 条（ C ） 1 条（ D ） 0 条3．已知等腰三角形的两边长分别为是3 和 6，，则这个三角形的周长是 --------（ ）（ A ） 9（ B ） 12（ C ） 15（ D ） 12 或 154．从一幅扑克牌中抽出5 张红桃， 4 张梅花， 3 张黑桃放在一起洗匀后，从中一次随机抽出 10张，恰好红桃、梅花、黑桃 3 种牌都抽到，这件事情 --------------- （ ）（ A ）可能发生 （ B ）不可能发生 （ C ）很有可能发生（ D ）必然发生5 ． 如 果（ A ）a b c abc 的 值 为 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - （）ab1 ， 则abcc1（ B ） 1 （ C ）1（ D ）不确定6．棱长是 1cm 的小立方体组成如图所示的几何体，那么这个几何体的表面积是（）（ A ） 36cm 2（ B ） 33cm 2（ C ） 30cm 2 （ D ） 27cm 2（第 6 题图）（第 7 题图）7．如图是一块矩形 ABCD 的场地，长 AB=102m ，宽 AD=51m ，从 A 、B 两处入口的中路宽都为1m ，两小路汇合处路宽为 2m ，其余部分种植草坪，则草坪面积为 ----------- （ ） 22 2 （Ｄ） 2（ A ） 2018m （ B ） 2018m （Ｃ） 2018m 2018m 8．如果一个方程有一个解是整数，我们称这个方程有整数解 . 请你观察下面的四个方程：（ 1） 6x 4 y13 （ 2） 3x7 y 10 （3） ( x3)( y 2) 4（ 4）1 11xy 2005其中有整数解的方程的个数是 ------------------------------------- ( )(A) 1(B) 2(C) 3 (D) 4二、填空题 ( 每小题 6 分，共 42 分 )9．观察下列算式：4 × 1 × 2+1=3 24 × 2 × 3+l=54 × 3 × 4+l=7 4 × 4 × 5+1=9222用代数式表示上述的律是.10．七 0 一班班主任一起共 48人到公园去划船 .每只小船坐 3 人，租金20 元，每只大船坐 5 人，租金 30元 . 他租船要付的最少租金是元 .11． 2018 减去它的1，再减去剩余数的1，再减去剩余数的1，⋯，依此推，一直234到减去剩余数的1，那么最后剩余的数是.200512．一个正 n 形恰好有 n 条角，那么个正n 形的一个内角是度.13．如， DE是△ ABC的 AB 的垂直平分，分交AB、 BC于 D、 E， AE 平分∠ BAC，若∠ B=30°，∠ C=度．14．ABC的三分a， b，c，其中a， b 足a b4(a b2)20 ，第三的 c 的取范是．15．根据下列 5 个形及相点的个数的化律，在第100 个形中有个点 .三、解答 ( 共 60 分 )16．（ 15 分）如，ABC中， AB=6，BD=3， AD BC于 D，B=2 C，求 CD的 .AB CD17．（ 15 分）两个代表从甲地乘往乙地，每可乘 35 人。

2012全国初中数学竞赛各省市试题汇编重排版目录一2012广东初中数学竞赛预赛 (2)二2012年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案（河南赛区） (5)三2012年北京市初二数学竞赛试题 (10)四2012年全国初中数学竞赛（海南赛区） (11)五2012年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷参考答案 (14)六2012年全国初中数学竞赛试卷答案（福建赛区） (15)七2012年全国初中数学竞赛试题 (20)八2012年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试卷 (22)九2012年全国初中数学联赛（浙江赛区）试题及参考答案 (28)十2012年四川初中数学联赛(初二组)初赛试卷 (30)十一2012年全国初中数学竞赛试题【安徽赛区】 (31)十二2012届湖北省黄冈地区九年级四科联赛数学试题 (36)十三2012年全国初中数学竞赛试题（副题） (41)十四2012年全国初中数学竞赛试题（副题）参考答案 (43)十五2012年全国初中数学竞赛试题（正题） (52)十六2012年全国初中数学竞赛试题（正题）参考答案 (57)小贴士：word目录发生下列问题ctrl+左键显示“由于本机的限制，该操作已被取消，请与系统管理员联系”请按下列步骤自行解决1.开始，运行里输入regedit,回车2.在注册表中，找到HKEY_CURRENT_USER\Software\Classes\.html 项3.在默认项上点右键选择修改4.将Max2.Association.HTML改为Htmlfile，确认，然后退出注册表5.重启正在使用的Office程序，然后再次点Office里面超链接，ok了一2012广东初中数学竞赛预赛二 2012年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案（河南赛区）一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分.1．在1,3,6,9四个数中，完全平方数、奇数、质数的个数分别是【 】（A ）2,3,1 （B ）2,2,1 （C ）1,2,1 （D ）2,3,2 【答】A ．解：完全平方数有1,9；奇数有1,3,9；质数有3．2．已知一次函数(1)(1)y m x m =++-的图象经过一、二、三象限，则下列判断正确的是【 】（A ）1m >- （B ）1m <- （C ）1m > （D ）1m <【答】C ．解：一次函数(1)(1)y m x m =++-的图象经过一、二、三象限，说明其图象与y轴的交点位于y 轴的正半轴，且y 随x 的增大而增大，所以10,10.m m ->⎧⎨+>⎩解得1m >．3．如图，在⊙O 中，CD DA AB ==，给出下列三个结论：（1）DC =AB ；（2）AO ⊥BD ；（3）当∠BDC =30° 时，∠DAB =80°．其中正确的个数是【 】（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【答】D ．解：因为CD AB =，所以DC =AB ；因为AD AB =，AO 是半径,所以AO⊥BD ；设∠DAB =x 度，则由△DAB 的内角和为180°得：2(30)180x x -︒+=︒，解得80x =︒．第3题图O DC BA4. 有4张全新的扑克牌，其中黑桃、红桃各2张，它们的背面都一样，将它们洗匀后，背面朝上放到桌面上，从中任意摸出2张牌，摸出的花色不一样的概率是【 】（A ）34 （B ）23 （C ）13 （D ）21【答】B ．解：从4张牌中任意摸出2张牌有6种可能，摸出的2张牌花色不一样的有4种可能，所以摸出花色不一样的概率是3264=. 5．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(1,0)，点B 的坐标是(3,3)--，点C 是y 轴上一动点，要使△ABC 为等腰三角形，则符合要求的点C 的位置共 有【 】（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 D ）5个 【答】D ．解：由题意可求出AB =5，如图，以点A 为圆心AB 的长为半径画弧，交y 轴于C 1和C 2，利用勾股定理可求 出OC 1=OC 2=225126-=，可得)62,0(),62,0(21-C C ， 以点B 为圆心BA 的长为半径画弧，交y 轴于点C 3和C 4， 可得34(0,1),(0,7)C C -，AB 的中垂线交y 轴于点C 5，利用三角形相似或一次函数的知识可求出)617,0(5-C ．6．已知二次函数221y x bx =++（b 为常数），当b 线系”，图中的实线型抛物线分别是b 取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），这条抛物线的解析式是【 】（A ）221y x =-+ （B ）2112y x =-+ （C ）241y x =-+ （D ）2114y x =-+【答】A ．解：221y x bx =++的顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--88,42b b ，设4b x -=，882by -=，由4b x -=得x b 4-=，所以222218)4(888x x b y -=--=-=．二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）7．若2=-n m ，则124222-+-n mn m 的值为 ． 【答】7．解：71221)(212422222=-⨯=--=-+-n m n mn m ．8．方程112(1)(2)(2)(3)3x x x x +=++++的解是 ．y xO 第6题图xyO ABC 1C 2C 3 C 4C 5 第5题图【答】120,4x x ==-．解：11(1)(2)(2)(3)x x x x +++++11111223x x x x =-+-++++11213(1)(3)x x x x =-=++++.∴22(1)(3)3x x =++，解得 1x =9．如图，在平面直角坐标系中，点B 的坐标是（1,0），若点A 的坐标为（a ，b ），将线段BA 绕点B 顺时针旋转 90°得到线段BA '，则点A '的坐标是 ．【答】(1,1)b a +-+．解：分别过点A 、A '作x 为C 、D ．显然Rt △ABC ≌Rt △B A 'D ． 由于点A 的坐标是(,)a b ，所以OD OB BD =+1OB AC b =+=+，1A D BC a '==-，所以点的A '坐标是(1,1)b a +-+．10．如图，矩形ABCD 中，AD =2，AB =3，AM =1，DE 是以点A 为圆心2为半径的41圆弧，NB 是以点M 为圆心2为半径的41圆弧，则图中两段弧之间的阴影部分的面积为 ．【答】2．解：连接MN ，显然将扇形AED 向右平移 可与扇形MBN 重合，图中阴影部分的面积等于 矩形AMND 的面积，等于221=⨯．11．已知α、β是方程2210x x +-=的两根，则3510αβ++的值为 ．【答】2-．解：∵α是方程2210x x +-=的根，∴212αα=-．∴ 322(12)22(12)52αααααααααα=⋅=-=-=--=-，又 ∵2,αβ+=- ∴ 3510(52)5105()8αβαβαβ++=-++=++=5(2)82⨯-+=-．12．现有145颗棒棒糖，分给若干小朋友，不管怎样分，都至少有1个小朋友分到5颗或5颗以上，这些小朋友的人数最多有 个．【答】36．解：利用抽屉原理分析，设最多有x 个小朋友，这相当于x 个抽屉，问题变为把145颗糖放进x 个抽屉，至少有1个抽屉放了5颗或5颗以上,则41x +≤145，解得x ≤36，所以小朋友的人数最多有36个．三、解答题（第13题15分，第14题15分，第15题18分，共48分）13．王亮的爷爷今年（2012年）80周岁了，今年王亮的年龄恰好是他出生年份的各位数字之和，问王亮今年可能是多少周岁？解：设王亮出生年份的十位数字为x ，个位数字为y （x 、y 均为0 ~ 9的整数）．∵王亮的爷爷今年80周岁了，∴王亮出生年份可能在2000年后，也可能是2000年前．故应分两种情况： …………………2分A BM第10题图E 第9题图（1）若王亮出生年份为2000年后，则王亮的出生年份为200010x y ++，依题意，得2012(200010)20x y x y -++=+++，整理，得 1011,2xy -=x 、y 均为0 ~ 9的整数， ∴0.x = 此时 5.y =∴王亮的出生年份是2005年，今年7周岁．…………………8分（2）若王亮出生年份在2000年前，则王亮的出生年份为190010x y ++，依题意，得2012(190010)19x y x y -++=+++，整理，得 111022x y =-，故x 为偶数，又1021110211,09,22x xy --=≤≤ ∴ 779,11x ≤≤ ∴ 8.x = 此时7.y = ∴王亮的出生年份是1987年，今年25周岁． …………………14分 综上，王亮今年可能是7周岁，也可能是25周岁．……………15分14．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A 、B 的坐标分别是(5,0)、(3,2)，点D 在线段OA 上，BD =BA ， 点Q 是线段BD 上一个动点，点P 的坐标是(0,3)，设直线PQ 的解析式为y kx b =+．（1）求k 的取值范围；（2）当k 为取值范围内的最大整数时，若抛物线25y ax ax =-的顶点在直线PQ 、OA 、AB 、BC 围成的四边形内部，求a 的取值范围．解：（1）直线y kx b =+经过P (0,3)，∴ 3b =．∵B (3,2)，A (5,0)，BD =BA ，∴ 点D 的坐标是(1,0)， ∴ BD 的解析式是1y x =-, 1 3.x ≤≤依题意，得 1,3.y x y kx =-⎧⎨=+⎩，∴4,1x k =- ∴ 41 3.1k -≤≤解得13.3k --≤≤……………………………………………7分 （2） 13,3k --≤≤且k 为最大整数，∴1k =-.则直线PQ 的解析式为3y x =-+.……………………………………………9分又因为抛物线25y ax ax =-的顶点坐标是525,24a ⎛⎫-⎪⎝⎭，对称轴为52x =．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=.25,3x x y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.21,25y x 即直线PQ 与对称轴为52x =的交点坐标为51(,)22，∴125224a <-<．解得 822525a -<<-．……………………………………15分 15. 如图，扇形OMN 的半径为1，圆心角是90°．点B 是MN 上一动点，BA ⊥OM 于点A ，BC ⊥ON 于点C ，点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点，GF 与CE 相交于点P ，DE 与AG 相交于点Q ．（1）求证：四边形EPGQ 是平行四边形；（2）探索当OA 的长为何值时，四边形EPGQ 是矩形；（3）连结PQ ，试说明223PQ OA +是定值．解：（1）证明：如图①，∵∠AOC =90°，BA ⊥OM ，BC ⊥ON ， ∴四边形OABC 是矩形． ∴OC AB OC AB =,//． ∵E 、G 分别是AB 、CO 的中点， ∴.,//GC AE GC AE = ∴四边形AECG 为平行四边形.∴.//AG CE ……………………………4分 连接OB ， ∵点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点， ∴ GF ∥OB ，DE ∥OB ， ∴ PG ∥EQ ，∴四边形EPGQ 是平行四边形．………………………………………………6分（2）如图②，当∠CED =90°时，□EPGQ 是矩形． 此时 ∠AED +∠CEB =90°．又∵∠DAE =∠EBC =90°，∴∠AED =∠BCE ．∴△AED ∽△BCE ．………………………………8分 ∴AD AEBE BC=． 设OA =x ，AB =y ，则2x ∶2y =2y ∶x ，得222y x =．…10分又 222OA AB OB +=，即2221x y +=．∴2221x x +=，解得x =． ABC ODEF GP QMN 图②A B CO D E F GPQMN图①∴当OAEPGQ 是矩形．………………………………12分 （3）如图③，连结GE 交PQ 于O '，则.,E O G O Q O P O '=''='．过点P 作OC 的平行线分别交BC 、GE 于点B '、A '．由△PCF ∽△PEG 得，2,1PG PE GE PF PC FC === ∴ PA '=23A B ''=13AB ， GA '=13GE =13OA ，∴ 1126A O GE GA OA '''=-=．在Rt △PA O ''中，222PO PA A O ''''=+，即2224936PQ AB OA=+， 又 221AB OA +=， ∴ 22133PQ AB =+，∴ 2222143()33OA PQ OA AB +=++=．……………………………………18分．选择题(每小题5分，共25分)．方程|2x －4|＝5的所有根的和等于( )． A ．－0.5 B ．4.5 C ．5 D ．4．在直角坐标系xOy 中，直线y ＝ax ＋24与两个坐标轴的正半轴形成的三角形的面积等于72，则不在直线y ＝ax ＋24上的点的坐标是( )． A ．(3，12) B ．(1，20) C ．(－0.5，26) D ．(－2.5，32) ．两个正数的算术平均数等于大( )．A ．4B ．C ．6D ．．在△ABC 中，M 是AB 的中点，N 是BC 边上一点，且CN ＝2BN ，连接AN 与MC 交于点O ，四边形BMON 的面积为14cm2，则△ABC 的面积为( )． A ．56cm2 B ．60cm2 C ．64cm2 D ．68cm2．当a ＝1.67，b ＝1.71，c ＝0.46时，222121a ac ab bc b ab bc ac c ac bc ab++--+--+--+等于( )． A ．20 B ．15 C ．10 D ．5.55 ．填空题(每小题7分，共35分)．计算：1×2－3×4＋5×6－7×8＋…＋2009×2010－2011×2012＝＿＿＿．．由1到10这十个正整数按某个次序写成一行，记为a1，a2，…，a10，S1＝a1，S2＝a1B'N M A'QP O'GF E DC BAO图③＋a2，…，S10＝a1＋a2＋…＋a10，则在S1，S2，…，S10中，最多能有＿＿个质数． ．△ABC 中，AB ＝12cm ，AC ＝9cm ，BC ＝13cm ，自A 分别作∠C 平分线的垂线，垂足为M ，作∠B 的平分线的垂线，垂足为N ，连接MN ，则AMNABC S S ∆∆=＿＿＿＿．．实数x 和y 满足x2＋12xy ＋52y2－8y ＋1＝0，则x2－y2＝＿＿＿．．P 为等边△ABC 内一点，AP ＝3cm ，BP ＝4cm ，CP ＝5cm ，则四边形ABCP 的面积等于＿＿cm2．(满分10分)．求证：对任意两两不等的三个数a ，b ，c ，222()()()()()()()()()a b c b c a c a b a c b c b a c a c b a b +-+-+-++------是常数．(满分15分)．已知正整数n 可以表示为2011个数字和相同的自然数之和，同时也能表示为2012个数字和相同的自然数之和，试确定n 的最小值．(满分15分)．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝∠BAC ＝70°，P 为形内一点，∠PAB ＝40°，∠PBA ＝20°，求证：PA ＋PB ＝PC ．（本试卷共4页，满分120分，考试时间：3月11日8:30——10:30）一、选择题（本大题满分50分，每小题5分） 1、下列运算正确的是（ ）A ．x 2‧x 3=x 6B ． 2x +3x =5x 2C ．(x 2)3=x 6D ． x 6÷x 2=x 32、有大小两种游艇，2艘大游艇与3艘小游艇一次可载游客57人，3艘大游艇与2艘小游艇一次可载游客68人，则3艘大游艇与6艘小游艇一次可载游客的人数为（ ） A ．129 B ．120 C ．108 D ．963、实数a ＝20123－2012，下列各数中不能整除a 的是（ ） A ．2013 B ．2012 C ．2011 D ．20104、如图1所示的两个圆盘中，指针落在每一个数所在的区域上的机会均等，则两个指针同时落在数“1”所在的区域上的概率是（）P CBA图1A ．251 B ．252 C ．256 D ．2524 5、一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后匀速行驶，过了一段时间，汽车到达下一个车站．乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶，下面可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的图象是（ ）6、要使1213-+-x x 有意义，则x 的取值范围为A ．321　x ≤≤ B ．321　＜x ≤ C ．321x ＜≤ D ． 321＜x＜7、菱形的两条对角线之和为L 、面积为S ，则它的边长为（ ）A ．S L 4212-B ．S L 2212-C ．S L 4221-D ．2421L S -8、如图2，将三角形纸片ABC 沿DE 折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处， 且DE ∥BC ，下列结论中，一定正确的个数是（ ）①△CEF 是等腰三角形 ②四边形ADFE 是菱形③四边形BFED 是平行四边形 ④∠BDF +∠CEF ＝2∠A A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9、如图3，直线x ＝1是二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的对称轴，则有A ．a ＋b ＋c ＝0B ．b ＞a ＋cC ．b ＝2aD ．abc ＞010、铁板甲形状为直角梯形，两底边长分别为4cm ，10cm ，且有一内角为60°；铁板乙形状为等腰三角形，其顶角为45°，腰长12cm ．在不改变形状的前提下，试图分别把它们从一个直径为8.5cm 的圆洞中穿过，结果是（ ）A ．甲板能穿过，乙板不能穿过B ．甲板不能穿过，乙板能穿过C ．甲、乙两板都能穿过D ．甲、乙两板都不能穿过 二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）11、x 与y 互为相反数，且3=-y x ，那么122++xy x 的值为__________. 12、一次函数y =ax +b 的图象如图4所示，则化简1++-b b a 得________.13、若x=－1是关于x 的方程a 2x 2+2011ax －2012=0的一个根，则a 的值为__________. 14、一只船从A 码头顺水航行到B 码头用6小时，由B 码头逆水航行到A 码头需8小时，则一块塑料泡沫从A 码头顺水漂流到B 码头要用______小时（设水流速度和船在静水中的速度不变）． 15、如图5，边长为1的正方形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 、BC 于E 、F ，则阴影部分的面积是 ．16、如图6，直线l 平行于射线AM ，要在直线l 与射线AM 上各找一点B 和C ，使得以A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰直角三角形，这样的三角形最多能画_______个．图3 图4AB C D EF 图2ABCEAMlABC D17、如图7，△ABC 与△CDE 均是等边三角形，若∠AEB =145°，则∠DBE 的度数是________.18、如图8所示，矩形纸片ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝3cm ， 把∠B 、∠D 分别沿CE 、AG 翻折，点B 、D 分别落在对角线AC 的点B ＇和D ＇上，则线段EG 的长度是________.三、解答题(本大题满分30分，每小题15分) 19、某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要30天完成，如果让乙工程队单独工作，则需要60天方可完成；甲工程队施工每天需付施工费2.5万元，乙工程队施工每天需付施工费1万元.请解答下列问题：（1）甲、乙两个工程队一起合作几天就可以完成此项工程？（2）甲、乙两个工程队一起合作10天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，请问共需多少天才能完成此项工程？（3）如果要使整个工程施工费不超过65万元，甲、乙两个工程队最多能合作几天？（4）如果工程必须在24天内（含24天）完成，你如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费.20、如图9，四边形ABCD 是矩形，点P 是直线AD 与BC 外的任意一点，连接PA 、PB 、PC 、PD ．请解答下列问题： （1）如图9（1），当点P 在线段BC 的垂直平分线MN 上（对角线AC 与BD 的交点Q 除外）时，证明△PAC ≌△PDB ；（2）如图9（2），当点P 在矩形ABCD 内部时，求证：PA 2+PC 2=PB 2+PD 2； （3）若矩形ABCD 在平面直角坐标系xoy 中，点B 的坐标为（1，1），点D 的坐标为（5，3），如图9（3）所示，设△PBC 的面积为y ，△PAD 的面积为x ，求y 与x 之间的函数关系式．图9 （2）图8 B ＇ E D ＇A B C DG图9（1） MN QAB CDP7、提示：可设菱形的两条对角线长分别为，利用对角线互相垂直进行解答.9、分析:由函数的图象可知:当x=1时有a ＋b ＋c ＜0,当x=-1时有a-b ＋c ＞0,即a ＋c ＞b,即b ＜a ＋c ，函数的对称轴为12=-=ab x ，则b ＝－2a ，因为抛物线的开口向上，所以a ＞0，抛物线与y 轴的交点在负半轴，所以c ＜0，由b ＝－2a 可得b ＜0．所以abc ＞0，因而正确答案为D 10、分析：分别计算铁板的最窄处便可知，如图Ａ，直角梯形，AD=4cm ，BC=10cm ，∠C=60°，过点A 过AE//CD ，交BC 于点E ，过点B 作BE ⊥CD 于点F ，可求得AB=36cm ＞8.5cm ，BE=35cm ＞8.5cm 铁板甲不能穿过，如图Ｂ，等腰三角形ABC 中，顶角∠A=45°，作腰上的高线BD ，可求得BD=26cm ＜8.5cm ，所以铁板乙可以穿过； 所以选择Ｂ二、填空题（本大题满分40分，每小题5分） 11、 45- 12、a +1 13、 a 1=2012, a 2=－1 14、4815、41单位面积 16、3个 17、85° 18、1017、分析：易证△CEA 与△CDB 全等，从而有∠DBC=∠EAC ，因为，∠ABE+∠BAE=180°-145°=35°所以有∠EAC+∠EBC=120°-35°=85°， 所以∠EBD=∠EBC+∠DBC=85°18、分析：AB ＝4cm ，BC ＝3cm ，可求得AC=5cm ，由题意可知C B ＇=BC=3cm ，A B ＇=2cm 设BE=x ，则AE=4-x ，则有(4-x )2-x 2 =22, x =1.5cm ，即BE=DG=1.5cm ，过点G 作GF ⊥AB 于点F ，则 可求出EF=1 cm ，所以EG=103122=+三、解答题(本大题满分30分，每小题15分)19、本题满分15分，第（1）、（2）、（3）小题，每小题4分，第（4）小题3分.解：（1）设甲、乙两个工程队一起合作x 天就可以完成此项工程，依题意得：1)601301(=+x ，解得：x =20 答：甲、乙两个工程队一起合作20天就可以完成此项工程.（2）设完成这项道路改造工程共需y 天，依题意得：16010301=+⨯y ，解得y =40 。