北师大版-数学-八年级上册-5.4 应用二元一次方程组增收节支 教学设计

第五章二元一次方程组5. 4 应用二元一次方程组—增收节支教学设计1．会利用列表分析题中所蕴含的数量关系，列出二元一次方程组解决实际问题；(重点) 2．进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程.一、创设情境，引入新知新年来临,爸爸想送Mike一个书包和随身听作为新年礼物.爸爸对Mike说：“我在家乐福、人民商场都发现同款的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452 元，且随身听的单价比书包单价的 4 倍少8 元，你能说出随身听和书包单价各是多少元，那么我就买给你做新年礼物.”你能帮助他吗？二、合作交流，探究新知1. 一种商品进价为150元，售价为165元，则该商品的利润为_____元；2. 一种商品进价为150元，售价为165元，则该商品的利润率为______；3. 一种商品标价为150元，打八折后的售价为____元；4. 一种商品标价为200元，当打______折后的售价为170元.5. 某工厂去年的总收入是x 万元,今年的总产值比去年增加了20%,则今年的总收入是__________万元；6. 若该厂去年的总支出为y 万元,今年的总支出比去年减少了10%,则今年的总支出是________万元；7. 若该厂今年的利润为780万元,那么由5, 6可得方程________________.问1：增长（亏损）率问题的公式？原量×（1+增长率）=新量原量×（1-亏损率）=新量问2：银行利率问题中的公式？（利息、本金、利率）利息=本金×利率×期数（时间）本息和=本金+利息利润：总产值-总支出利润率：(总产值-总支出)/总产值×100%三、运用新知例1 某工厂去年的利润(总产值-总支出)为200 万元,今年总产值比去年增加了2 0％,总支出比去年减少了10％,今年的利润为780 万元.去年的总产值、总支出各是多少万元?例 2 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品,每克甲原料含0.5 单位蛋白质和 1 单位铁质,每克乙原料含0.7 单位蛋白质和0.4 单位铁质, 若病人每餐需要35 单位蛋白质和40 单位铁质, 那么每餐甲、乙原料各多少克恰好满足病人的需要？例3 甲、乙两人从相距36 千米的两地相向而行,如甲比乙先走2 小时,那么他们在乙出发2.5 小时后相遇;如果乙比甲先走2 小时,那么他们在甲出发 3 小时后相遇,甲、乙两人每时各走多少千米?归纳总结四、巩固新知1. 甲、乙两种商品原来的单价和为100 元，因市场变化，甲商品降价10％，乙商品提价40％，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20％．若设甲、乙两种商品原来的单价分别为x 元、y 元，则下列方程组正确的是（）2. 某校春季运动会比赛中，八年级（1）班、（5）班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：（1）班与（5）班得分比为6 : 5；乙同学说：（1）班得分比（5）班得分的2 倍少40 分．若设（1）班得x 分，（5）班得y 分，根据题意所列的方程组应为（）3. 有甲乙两种溶液,甲种溶液由酒精1 升，水3 升配制而成;乙种溶液由酒精3 升，水2 升配制而成.现要配制浓度为50%的酒精溶液7 升，甲乙两种溶液应各取几升？4. 某人以两种形式存8000 元，一种储蓄的年利率为10%，另一种储蓄的年利率为11%.一年到期后，他共得利息855 元(没有利息税)，问两种储蓄他各存了多少钱？5. 一班和二班共有100 名学生，他们的体育达标率(达到标准的百分率)为81﹪，如果一班学生的体育达标率为87.5﹪，二班学生的体育达标率为75﹪，那么一、二班的学生数各是多少？五、归纳小结略.◆教学反思。

5． 4应用二元一次方程组——增收节支读的学生人数计算，一共需装备多少名中小学教师？1．会利用列表剖析题中所包含的数目分析：解决本题的要点是求出今年秋天关系，列出二元一次方程组解决实质问题；入学的学生中，小学生和初中生各有民工子(要点)女多少人．欲求解这个问题，先要求出昨年2．进一步经历和体验列方程组解决实秋天入学的学生中，小学生和初中生各有民际问题的过程．工儿女多少人．解： (1)设昨年秋天在主城区小学学习的民工儿女有x 人，在主城区中学学习的民x＋ y＝ 5000，工儿女有 y 人．则解得20%x＋ 30%y＝ 1160.一、情境导入(1) 某工厂昨年的总产值是x 万元，今x＝3400 ，年的总产值比昨年增添了20%，则今年的总20%x＝ 680， 30%y＝ 480， 500×y＝1600.产值是 ________万元；(2) 若该厂昨年的总支出为y 万元，今680＋1000×480＝ 820000( 元 ) ＝ 82( 万元 ) ．年的总支出比昨年减少了10%，则今年的总答：今年秋天新增的1160 名中小学生支出是 ________万元；共免收 82 万元“借读费”．(3) 若该厂今年的收益为780 万元，那(2) 今年秋天入学后，在小学就读的民么由 (1) ，(2) 可得方程 ________________ ．工儿女有 3400×(1 ＋ 20%)＝ 4080( 人 ) ，在中二、合作研究学就读的民工儿女有1600×(1 ＋ 30%)＝研究点一：列二元一次方程组解决百分2080(人)，需要装备的中小学教师数、小数 ( 增收节支 ) 问题(4080 ÷40) ×2＋(2080 ÷40) ×3＝【种类一】列二元一次方程组解决增360( 名) ．长率问题答：一共需装备360 名中小学教师．为认识决民工儿女入学难的问方法总结：在解决与增添有关的问题题，我市成立了一套进城民工儿女就学的保中，应注意本来的量与增添后的量之间的换障体制，此中一项就是免交“借读费”．据算关系：增添率＝( 增添后的量－本来的统计，昨年秋天有5000名民工儿女进入主量 ) ÷本来的量．城区中小学学习，展望今年秋天进入主城区【种类二】列二元一次方程组解决利中小学学习的民工儿女将比昨年有所增添，润问题此中小学增添20%，中学增添30%，这样今某商场购进甲、乙两种商品后，年秋天将新增1160 名民工儿女在主城区中甲商品涨价 50%、乙商品涨价40%作为标价，小学学习．适逢元旦，商场举办促销活动，甲商品打八(1) 假如按小学每年收“借读费” 500折销售，乙商品打八五折酬宾，某顾客购置元、中学每年收“借读费”1000 元计算，求甲、乙商品各 1 件，共付款538 元，已知商今年秋天新增的1160 名中小学生共免收多场共盈余 88元，求甲、乙两种商品的进价少“借读费”？各是多少元？(2) 假如小学每 40 名学生装备 2名教分析：本题中所含的等量关系有：① 甲师，中学每 40名学生装备 3名教师，按今商品的售价＋乙商品的售价＝538 元；②甲年秋天入学后，民工儿女在主城区中小学就商品的收益＋乙商品的收益＝88 元．此中甲商品的售价＝甲商品的进价×(1＋②若购甲、丙两种型号：设购进甲型号50%)× 80%，乙商品的售价＝乙商品的进价手机 x2部，丙型号手机 y2部．× (1 ＋ 40%)× 85%，收益＝售价－进价．x2＋ y2＝ 40，解：设甲商品的进价为 x 元，乙商品的依据题意，得＝40000.1200x ＋ 800y2进价为 y 元，依据题意，得2错误 !x2＝ 20，x＋ y＝450，解得2化简，得解得y ＝ 20.1.2x ＋1.19y ＝ 538.因此购进甲型号手机20部，丙型号手x＝ 250，机 20部．③若购乙、丙两种型号：设购进乙型号y＝ 200.手机 x3部，丙型号手机 y3部．答：甲商品的进价为 250 元，乙商品的x3＋ y3＝ 40，进价为 200 元．依据题意，得400x ＋ 800y ＝ 40000.方法总结：销售问题中进价、收益、售33价、折扣等量之间的关系：收益＝售价－进x3＝－ 20，价，售价＝标价× 折扣，售价＝进价＋收益解得y ＝ 60.等．3研究点二：列方程组解决方案问题由于 x3表示手机部数，只好为正整数，某商场计划用 40000元从厂家购因此这类状况不合题意，应舍去．进若干部新式手机，以知足市场需求．已知综上所述，商场共有两种进货方案．该厂家生产三种不一样型号的手机，出厂价分方案 1：购甲型号手机30 部，乙型号手别为甲型号手机每部1200 元，乙型号手机机 10部；每部 400 元，丙型号手机每部 800 元．方案 2：购甲型号手机20 部，丙型号手(1) 若所有资本只用来购进此中两种不机 20部．同型号的手机共40 部，请你研究一下商场(2) 方案 1 赢利： 120×30＋80×10＝的进货方案；4400( 元 ) ；(2) 商场每销售一部甲型号手机可赢利方案 2获利： 120×20＋ 120×20 ＝120 元，每销售一部乙型号手机可赢利804800( 元 ) ．元，每销售一部丙型号手机可赢利120 元，因此，第二种进货方案赢利最多．那么在同时购进两种不一样型号手机的几种方法总结：认真读题，找出相等关系．当方案中，哪一种进货方案赢利最多？用含未知数的式子表示相等关系的两边时，分析：依据题意有三种购置方案：① 甲、要注意不一样型号的手机数目和单价要对应．乙；② 甲、丙；③乙、丙．而后依据所含等三、板书设计量关系求出每种方案的进货数．增收节支问题解： (1) ①若购甲、乙两种型号：设购剖析列二元一次方程, 组解决实质进甲型号手机 x1部，乙型号手机y1部．根解决x ＋ y ＝ 40，增添率问题11据题意，得收益问题1200x1＋ 400y1＝ 40000.问题 )利用图表剖析等量关系x1＝ 30，因此购进甲型号手机30方案选择解得y1＝ 10.部，乙型号手机10 部．经过问题的解决使学生进一步认识数学与现实世界的亲密联系，乐于接触生活环境中的数学信息，愿意参加数学话题的研讨，从中懂得数学的价值，逐渐形成运用数学的意识；而且经过对问题的解决，培育学生合理优化的经济意识，加强他们的节俭和有效合理利用资源的意识．。

八年级数学上册5.4应用二元一次方程组_增收节支教学设计（新版北师大版）一. 教材分析《八年级数学上册5.4应用二元一次方程组》这一节主要讲述了如何利用二元一次方程组解决实际问题。

通过前面的学习，学生已经掌握了二元一次方程组的基本概念和解法，本节内容则侧重于让学生将这些知识应用于实际问题，培养学生的应用能力和解决问题的能力。

教材通过具体的例子引导学生理解方程组的应用，并通过练习题让学生巩固所学知识。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二元一次方程组的概念和解法有一定的了解。

但是，学生在应用这些知识解决实际问题时，可能会遇到一些困难，比如不知道如何将实际问题转化为方程组，或者在解方程组的过程中出现错误。

因此，在教学过程中，需要关注学生的这些困难，并通过具体的例子和练习题帮助学生克服这些困难。

三. 教学目标1.让学生理解二元一次方程组的应用，能够将实际问题转化为方程组，并求解。

2.培养学生解决问题的能力和思维能力。

3.让学生通过实际问题，体会数学与生活的联系，提高学习数学的兴趣。

四. 教学重难点1.如何将实际问题转化为方程组。

2.如何正确地求解方程组。

五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过具体的例子引导学生理解方程组的应用，并通过练习题让学生巩固所学知识。

在教学过程中，注重引导学生主动思考，培养学生的解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学课件或黑板。

2.练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出本节课的主题，比如“小明和小红一共存款1800元，小明存款比小红多300元，求两人各自存款多少？”让学生思考如何解决这个问题，引发学生的兴趣。

2.呈现（15分钟）讲解如何将实际问题转化为方程组，并以刚才的问题为例，展示解方程组的过程。

引导学生理解方程组的解就是实际问题的答案。

3.操练（15分钟）让学生独立完成一些类似的练习题，巩固所学知识。

教师可适时给予解答和指导。

4.巩固（10分钟）通过一些综合性的练习题，让学生巩固所学知识，并培养学生的解决问题的能力。

第五章二元一次方程组4 应用二元一次方程组——增收节支一、教学目标1. 能借助表格分析较为复杂问题中的数量关系，建立方程组解决问题；2. 能利用二元一次方程组解决含增长率、利润率等百分数的实际问题；3.在经历和体验运用方程(组)解决实际问题的过程中，进一步体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型；4. 培养学生抽象、概括、分析解决实际问题的能力.二、教学重难点重点：能借助表格分析较为复杂问题中的数量关系，建立方程组解决问题.难点：能利用二元一次方程组解决含增长率、利润率等百分数的实际问题.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等.四、教学过程设计为y 万元，你能将下表填完整吗？预设答案：列出方程组：200(120%)(110%)780.x y x y -=⎧⎨+--=⎩，完整作答：解：设该厂去年的总收入是x 万元，总支出为y 万元.根据题意，得200(120%)(110%)780.x y x y -=⎧⎨+--=⎩，解得20001800.x y =⎧⎨=⎩， 答：去年的总收入为2000万元，总支出为1800万元.【例1】医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品.每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质. 若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？解析：设每餐需甲、乙原料各x 克，y 克. 你能根据题意将表填完整吗？完成表格如下：由此可得方程组：0.50.7350.440.x yx y+=⎧⎨+=⎩，完整作答：解：设每餐需甲、乙原料各x克，y克.根据题意，得0.50.7350.440.x yx y+=⎧⎨+=⎩，化简得：57350 52200.x yx y+=⎧⎨+=⎩，①②由①-②得：5y=150，y＝30.把y=30代入①，得x=28.所以每餐甲原料28克,乙原料30克恰好满足病人的需要.【例2】甲、乙两人从相距36km的两地相向而行. 如果甲比乙先走2h，那么他们在乙出发2.5h后相遇；如果乙比甲先走2h，那么他们在甲出发3h后相遇. 甲、乙两人的速度各是多少？画线段图分析：如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发后2.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发后3小时相遇；设甲、乙两人的速度分别是x km/h，y km/h，填写下表并求x，y的值.预设答案：解：设甲、乙两人的速度分别是x km/h，y km/h.根据题意，得4.5 2.536 3536.x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得63.6. xy=⎧⎨=⎩，所以甲的速度是6km/h，乙的速度是3.6km/h.【方法归纳】思维导图的形式呈现本节课的主要内容：教科书第119页习题5.5第1、4题.。

5.4 应用二元一次方程组——增收节支课题5.4 应用二元一次方程组——增收节支课型教学目标1.进一步掌握利用二元一次方程组解决实际问题的方法.2.根据具体问题的数量关系,形成方程模型,培养利用方程的观点认识现实世界的意识和能力.3.通过由具体实例的分析、思考与合作学习的过程,培养学生理论联系实际的辩证唯物主义思想以及善于分析问题、解决问题的良好习惯.重点让学生熟练掌握利用二元一次方程解决实际问题的方法. 难点分析未知量,正确列出二元一次方程组.教学用具新课导入课程讲授一、新课引入1.复习上节课中应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤.2.某工厂去年的利润(总收入-总支出)为200万元.今年总收入比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为780万元.去年的总收入、总支出各是多少万元?设去年的总产值为x万元,总支出为y万元,则有总收入/万元总支出/万元利润/万元去年x y 200今年根据上表,可以列出方程组_______________ .解得___________ .因此,去年的总收入是___________ .总支出是_______________. .二、例题讲解【例1】医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品.每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质,每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质.若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质,那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要?甲原料x g 乙原料y g所配制的营养品其中所含铁质 分析:设每餐需甲原料x g 、需乙原料y g,则有______【答案】设每餐需甲原料x g 、需乙原料y g,根据题意,得 化简,得①-②,得5y=150, y=30.将y=30代入①,得x=28.所以每餐需要甲原料28 g 、乙原料30 g.小结 解信息量大、关系复杂的实际问题时,要仔细分析题意,找出等量关系,利用它们的数量关系适当地设元,然后列方程组解题.作业布置课后反思八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．小数0.0…0314用科学记数法表示为83.1410-⨯，则原数中小数点后“0”的个数为（ ） A ．4 B ．6C ．7D ．8【答案】C【分析】科学记数法的标准形式为a×10n （1≤|a|＜10，n 为整数）．本题数据“83.1410-⨯”中的a ＝3.14，指数n 等于−8，所以，需要把3.14的小数点向左移动8位，就得到原数，即可求解． 【详解】解：3.14×10−8＝0.1． 原数中小数点后“0”的个数为7， 故答案为：C ． 【点睛】本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法a×10n 表示的数，“还原”成通常表示的数，当n ＞0时，就是把a 的小数点向右移动n 位所得到的数，当n ＜0时，就是把a 的小数点向左移动n 位所得到的数．2．2211年3月11日，里氏1．2级的日本大地震导致当天地球的自转时间较少了2．222 22216秒，将2．222 22216用科学记数法表示为（ ） A ．71.610-⨯ B ．61.610-⨯C ．51.610-⨯D ．51610-⨯【答案】A【分析】科学记数法的表示形式为a ×12n 的形式，其中1≤|a|＜12，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数． 【详解】70000 00016 1.610-=⨯．，故选A. 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×12n 的形式，其中1≤|a|＜12，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3．直线y=ax+b 经过第一、二、四象限，则直线y=bx ﹣a 的图象只能是图中的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：已知直线y=ax+b经过第一、二、四象限，所以a＜0，b＞0，即可得直线y=bx﹣a 的图象经过第一、二、三象限，故答案选B．考点：一次函数图象与系数的关系．4．已知直线y＝－x＋4与y＝x＋2如图所示，则方程组42y xy x=-+⎧⎨=+⎩的解为( )A．31xy=⎧⎨=⎩B．13xy=⎧⎨=⎩C．4xy=⎧⎨=⎩D．4xy=⎧⎨=⎩【答案】B【解析】二元一次方程组42y xy x=-+⎧⎨=+⎩的解就是组成二元一次方程组的两个方程的公共解，即两条直线y＝－x＋4与y＝x＋2的交点坐标13 xy=⎧⎨=⎩．故选B点睛：本题考查了一次函数与二元一次方程组．二元一次方程组的解就是组成该方程组的两条直线的图象的交点．54的值是（）A．16 B．2 C．2±D．2±【答案】B【分析】根据算术平方根的定义求值即可．4=1．故选：B．【点睛】本题考查算术平方根，属于基础题型．6．某班共有学生40人，其中10月份生日的学生人数为8人，则10月份生日学生的频数和频率分别为（）A．10和25% B．25%和10 C．8和20% D．20%和8【答案】C【分析】直接利用频数与频率的定义分析得出答案．【详解】解：∵某班共有学生40人，其中10月份生日的学生人数为8人，∴10月份生日学生的频数和频率分别为：8、840＝0.2.故选：C.【点睛】此题考查了频数与频率，正确掌握相关定义是解题关键．7．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB=10cm，则△DBE的周长等于（）A．10cm B．8cm C．12cm D．9cm【答案】A【解析】试题分析：∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE，由勾股定理得：22AD CD-22AD DE-∴AE=AC=BC，∴DE+BD=CD+BE=BC，∵AC=BC，∴BD+DE=AC=AE，∴△BDE的周长是BD+DE+BE=AE+BE=AB=1．故选A．考点：1.角平分线的性质；2.垂线；3.勾股定理；4.等腰直角三角形．816）A．2 B．－2 C．4 D．±2【答案】D1616∴16的平方根是±2 故选D ． 【点睛】此题考查的是求一个数的算术平方根和平方根，掌握算术平方根的定义和平方根的定义是解决此题的关键．9．下列各式：15（1﹣x ），43x π-，222x y -，25x x，其中分式共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A 【解析】分式即AB形式,且分母中要有字母，且分母不能为0. 【详解】本题中只有第五个式子为分式，所以答案选择A 项. 【点睛】本题考查了分式的概念，熟悉理解定义是解决本题的关键.10．如图，在ABC ∆中，10AB AC ==，AB 的垂直平分线DE 交AC 于点D ，连接BD ，若BCD 的周长为17，则BC 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD ，AB=2AE ，把△BCD 的周长转化为AC 、BC 的和，然后代入数据进行计算即可得解． 【详解】∵DE 是AB 的垂直平分线， ∴AD=BD ，AB=2AE=10，∵△BCD 的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=11， ∵AB=AC=10， ∴BC=11-10=1． 故选：B ．【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等定理的应用． 二、填空题11．A 、B 、C 三地在同一直线上，甲、乙两车分别从A ，B 两地相向匀速行驶，甲车先出发2小时，甲车到达B 地后立即调头，并将速度提高10%后与乙车同向行驶，乙车到达A 地后，继续保持原速向远离B 的方向行驶，经过一段时间后两车同时到达C 地，设两车之间的距离为y （千米），甲行驶的时间x （小时）．y 与x 的关系如图所示，则B 、C 两地相距_____千米．【答案】1．【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以求得甲乙两车的速度，再根据“路程=速度×时间”，即可解答本题．【详解】解：设甲车的速度为a 千米/小时，乙车的速度为b 千米/小时，(62)()560(62)(96)a b b a -⨯+=⎧⎨-=-⎩，解得8060a b =⎧⎨=⎩， ∴A 、B 两地的距离为：80×9＝720千米， 设乙车从B 地到C 地用的时间为x 小时， 60x ＝80（1+10%）（x+2﹣9）， 解得，x ＝22，则B 、C 两地相距：60×22＝1（千米） 故答案为：1． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．12．如图，,3,5ABC EBD AB cm BD cm ==≌，则CE 的长度为__________．【答案】2cm【分析】根据全等三角形的对应边都相等，得到BC 、BE 的长，即可求出CE 的长． 【详解】解：,3,5ABC EBD AB cm BD cm ∆∆==≌5,3BC BD cm EB AB cm ∴====532CE BC EB cm ∴=-=-=故答案为：2cm ． 【点睛】本题考查的主要是全等三角形的性质，对应的边都相等，注意到全等三角形的对应顶点写在对应的位置，正确判断对应边即可．13．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，DE ⊥AB 于点E ，点F 在AC 上，BD DF =，若3AF =，1BE =，则DE 的长为_______．【答案】43【分析】由AD 为角平分线，利用角平分线定理得到DE=DC ，再由BD=DF ，利用HL 得到三角形FCD 与三角形BDF 全等，利用全等三角形对应边相等得出CD=BE ，利用AAS 得到三角形ACD 与三角形AED 全等，利用全等三角形对应边相等得到AC=AE ，由AB=AE+EB ，得出AB=AF+2BE ．再利用直角三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，DC AC ⊥，DE DC ∴=，在Rt CFD ∆和Rt EBD ∆中，DF BDCD ED =⎧⎨=⎩， Rt CFD Rt EBD(HL)∴∆≅∆， 1CF EB ∴==，314AC AF CF ∴=+=+=；在ACD ∆和AED ∆中， 90CAD EAD ACD AED AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ()ACD AED AAS ∴∆≅∆，AC AE ∴=，2325AB AE EB AC EB AF FC EB AF EB ∴=+=+=++=+=+=，3BC ∴==，∴111222AC CD AB DE AC BC +=， 即1114543222DE DE ⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯， 解得：43DE =． 故答案：43. 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．14．若关于x 的一元二次方程2(2)210k x x --+=有实数根，则k 的取值范围是_______． 【答案】3k ≤且2k ≠【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的性质计算，即可得到答案． 【详解】关于x 的一元二次方程2(2)210k x x --+=有实数根∴()()2202420k k -≠⎧⎪⎨---≥⎪⎩∴23k k ≠⎧⎨≤⎩，即3k ≤且2k ≠．【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义和判别式的性质，从而完成求解．15．如图，在直角坐标系中有两条直线，l 1：y ＝x+1和L 2：y ＝ax+b ，这两条直线交于轴上的点（0，1）那么方程组1y x y ax b =+⎧⎨=+⎩的解是_____．【答案】01x y =⎧⎨=⎩．【分析】根据两条直线交于轴上的点（0，1），于是得到结论．【详解】∵l 1：y ＝x+1和l 2：y ＝ax+b ，这两条直线交于轴上的点（0，1），∴方程组1y x y ax b =+⎧⎨=+⎩的解是01x y =⎧⎨=⎩，故答案为：01x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】本题考查了解方程组的问题，掌握解方程组的方法是解题的关键． 16．若5x-3y-2=0，则105x ÷103y =_______； 【答案】100【分析】由同底数幂除法运算法则，进行计算即可得到答案. 【详解】解：∵5320x y --=， ∴532x y -=，∴5353210101010100x y x y -÷===； 故答案为100. 【点睛】本题考查了同底数幂的除法，掌握同底数幂除法法则是解题的关键.17．已知一个三角形的三边长为3、8、a ，则a 的取值范围是_____________． 【答案】5＜a ＜1【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得8-3＜a ＜8+3，再解即可．【详解】解：根据三角形的三边关系可得：8-3＜a ＜8+3，解得：5＜a ＜1，故答案为：5＜a ＜1．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．三、解答题18．如图：已知直线y kx b =+经过点()5,0A ，()1,4B ．（1）求直线AB 的解析式；（2）若直线24y x =-与直线AB 相交于点C ，求点C 的坐标；（3）根据图象，直接写出关于x 的不等式240x kx b ->+>的解集．【答案】（1）5y x =-+；（2）点C 的坐标为()32，；（3）35x <<【分析】（1）将A 、B 坐标代入解析式中计算解答即可；（2）将两直线方程联立求方程组的解即可；（3）根据图像找出y>0，且直线24y x =-高于直线y kx b =+部分的x 值即可.【详解】解：（1）因为直线y kx b =+经过点()5,0A ，()1,4B所以将其代入解析式中有504x b x b +=⎧⎨+=⎩，解得15k b =-⎧⎨=⎩， 所以直线AB 的解析式为5y x =-+；（2）因为直线24y x =-与直线AB 相交于点C所以有524y x y x =-+⎧⎨=-⎩，解得32x y =⎧⎨=⎩所以点C 的坐标为()32，；（3）根据图像可知两直线交点C 的右侧直线24y x =-高于直线y kx b =+且大于0，此时x 的取值范围是大于3并且小于5，所以不等式240x kx b ->+>的解集是35x <<.【点睛】本题考查的是一次函数综合问题，能够充分调动所学知识是解题的关键.19．如图：已知∠AOB 和C 、D 两点，求作一点P ，使PC=PD ，且P 到∠AOB 两边的距离相等．【答案】见解析【分析】先作CD 的垂直平分线和∠AOB 的平分线，它们的交点为P 点，则根据线段垂直平分线的性质和角平分线的性质得到PC=PD ，且P 到∠AOB 两边的距离相等．【详解】解：如图，点P 为所作．【点睛】本复考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．20．在综合与实践课上，同学们以“一个含30的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线,a b 且//a b 和直角三角形ABC ，090BCA ∠=，30BAC ∠=，60ABC ∠=. 操作发现：（1）在如图1中，146∠=，求2∠的度数；（2）如图2，创新小组的同学把直线a 向上平移，并把2∠的位置改变，发现21120∠-∠=，说明理由； 实践探究：（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将如图中的图形继续变化得到如图，AC 平分BAM ∠，此时发现1∠与2∠又存在新的数量关系，请直接写出1∠与2∠的数量关系.【答案】操作发现：（1）244∠=；（2）见解析；实践探究：（3）12∠=∠.【解析】(1)如图1，根据平角定义先求出∠3的度数，再根据两直线平行，同位角相等即可得；(2)如图2，过点B 作BD//a ，则有∠2+∠ABD=180°，根据已知条件可得∠ABD =60°-∠1，继而可得∠2+60°-∠1=180°，即可求得结论；(3)∠1=∠2，如图3，过点C 作CD//a ，由已知可得∠CAM=∠BAC=30°，∠BAM=2∠BAC=60°，根据平行线的性质可得∠BCD=∠2，继而可求得∠1=∠BAM=60°，再根据∠BCD=∠BCA-∠DCA 求得∠BCD=60°，即可求得∠1=∠2.【详解】(1)如图1，∵∠BCA=90°，∠1=46°，∴∠3=180°-∠BCA-∠1=44°，∵a//b ，∴∠2=∠3=44°；(2)理由如下：如图2，过点B 作BD//a ，∴∠2+∠ABD=180°，∵a//b ，∴b//BD ，∴∠1=∠DBC ，∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=60°-∠1，∴∠2+60°-∠1=180°，∴∠2-∠1=120°；(3)∠1=∠2，理由如下：如图3，过点C 作CD//a ，∵AC 平分∠BAM ，∴∠CAM=∠BAC=30°，∠BAM=2∠BAC=2×30°=60°，∵CD//a ，∴∠BCD=∠2，∵a//b，∴∠1=∠BAM=60°，b//CD，∴∠DCA=∠CAM=30°，∵∠BCD=∠BCA-∠DCA，∴∠BCD=90°-30°=60°，∴∠2=60°，∴∠1=∠2.【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角板的知识，正确添加辅助线，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键.21．已知y 与x﹣2 成正比例，且当x =﹣4 时，y =﹣1．（1）求y 与x 的函数关系式；（2）若点M（5.1，m）、N（﹣1.9，n）在此函数图像上，判断m 与n 的大小关系.【答案】（2）y=12x-2;（2）m＞n．【分析】（2）首先根据题意设出关系式：y=k（x-2），再利用待定系数法把x=-4，y=-2代入，可得到k的值，再把k的值代入所设的关系式中，可得到答案;（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出m，n的值，比较后即可得出结论．【详解】解：∵y与x-2成正比例，∴关系式设为：y=k（x-2），∵x=-4时，y=-2，∴-2=k（-4-2），解得：k=12，∴y与x的函数关系式为：y=12（x-2）=12x-2．故答案为：y=12x-2; （2）∵点 M （5.2，m ）、N （﹣2.9，n ）是一次函数y=12x-2图象上的两个点， ∴m=12×5.2-2=2.55，n=12×(-2.9)-2=-2.3． ∵2.55>-2.3，∴m ＞n ．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数关系式和一次函数图象上点的坐标特征，关键是设出关系式，代入x ，y 的值求k 是解题的关键．22．已知ABC 是等边三角形，点D 是直线BD 上一点，以AD 为一边在AD 的右侧作等边ADE ．（1）如图①，点D 在线段BC 上移动时，直接写出BAD ∠和CAE ∠的大小关系；（2）如图②，点D 在线段BC 的延长线上移动时，猜想DCE ∠的大小是否发生变化．若不变请求出其大小；若变化，请说明理由．【答案】（1）BAD CAE ∠=∠，理由见解析；（2）60DCE ∠=︒，不发生变化；理由见解析【解析】（1）由等边三角形的性质得出∠BAC=∠DAE ，容易得出结论；（2）由△ABC 和△ADE 是等边三角形可以得出AB=BC=AC ，AD=AE ，∠ABC=∠ACB=∠BAC=∠DAE=60°，得出∠ABD=120°，再证明△ABD ≌△ACE ，得出∠ABD=∠ACE=120°，即可得出结论．【详解】解：（1）BAD CAE ∠=∠；理由如下：∵ABC 和△ADE 是等边三角形，∴60BAC DAE ∠=∠=︒，∴BAD CAE ∠=∠；（2）60DCE ∠=︒，不发生变化；理由如下：∵ABC 是等边三角形，ADE 是等边三角形，∴60DAE BAC ABC ACB ∠=∠=∠=∠=︒，AB AC =，AD AE =，∴120ABD ∠=︒，BAC BAE DAE BAE ∠-∠=∠-∠，∴DAB CAE ∠=∠，在ABD △和ACE △中AB AE DAB CAE AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABD ACE SAS △≌△（）， ∴120ACE ABD ∠=∠=︒．∴1206060DCE ACE ACB ∠=∠-∠=︒-︒=︒．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．23．已知：如图，△ABC 中，∠ABC=45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G.(1)求证：BF=AC ；(2)求证：CE=12BF ； (3)CE 与BG 的大小关系如何？试证明你的结论.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2CE.证明见解析.【分析】(1)证明△BDF ≌△CDA ，得到BF ＝AC ；（2）由（1）问可知AC ＝BF ，所以CE ＝AE ＝12BF ；（3） BG ＝CG ，CG 在△EGC 中，CE ＜CG .【详解】解:(1)证明:因为CD ⊥AB, ∠ABC ＝45°，所以△BCD 是等腰直角三角形.所以BD ＝CD.在Rt △DFB 和Rt △DAC 中,因为∠DBF ＝90°－∠BFD, ∠DCA ＝90°－∠EFC,又∠BFD ＝∠EFC,所以∠DBF ＝∠DCA.又因为∠BDF ＝∠CDA ＝90°,BD ＝CD,. 所以Rt △DFB ≌Rt △DAC.所以BF ＝AC.(2)证明:在Rt △BEA 和Rt △BEC 中,因为BE 平分∠ABC,所以∠ABE ＝∠CBE.又因为BE ＝BE, ∠BEA ＝∠BEC ＝90°, 所以Rt △BEA ≌Rt △BEC.所以CE ＝AE ＝12AC. 又由(1),知BF ＝AC,所以CE ＝12AC ＝12BF. (3) BG =2CE.证明:连接CG ,因为△BCD 是等腰直角三角形,所以BD ＝CD,又H 是BC 边的中点,所以DH 垂直平分BC.所以BG ＝CG ,在Rt △CEG 中,∠GCE=45°，所以BG=CG=2CE.【点睛】本题考查了全等三角形的证明方法，熟练掌握全等的证明方法是本题的解题关键.24．如图，直线a b ，相交于点A ，C E 、分别是直线b a 、上一点，且BC a ⊥，DE b ⊥，点M N ，分别是EC DB ，的中点．求证：MN BD ⊥．【答案】证明见解析．【分析】根据直角三角形的性质得到DM=BM，根据等腰三角形的三线合一证明结论．【详解】解：证明：∵BC⊥a，DE⊥b∴△EBC和△EDC都是直角三角形∵M为CE中点，∴DM=12EC，BM=12EC∴DM=BM∵N是DB的中点∴MN⊥BD.【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．25．如图，在面积为3的△ABC中，AB=3，∠BAC=45°，点D是BC边上一点．（1）若AD是BC边上的中线，求AD的长；（2）点D关于直线AB和AC的对称点分别为点M、N，求AN的长度的最小值；（3）若P是△ABC内的一点，求2PA PB PC++的最小值．【答案】（1）见解析；（2655（329【分析】（1）作CE，DF分别垂直于AB于点E，F，已知CE⊥AB，S△ABC=3，∠BAC=45°，可得AE=CE=2，BE=1，因为DF ∥CE ，AD 是BC 边上的中线，可得BF=EF=12，在Rt △AFD 中利用勾股定理即可求出AD 的长． （2）在Rt △BEC 中，求得BC ，当AD ⊥CB 时，AN=AD 最小，根据等面积法，即可求出AD ． （3）将△APB 绕点A 逆时针旋转90°得到△AFE ，易知△AFP 是等腰直角三角形，∠EAC=135°，作EH ⊥BA 交BA 的延长线于H ．在Rt △EAH 中，可得22AE AB ==EH=AH=2，在Rt △EHC 中，求得EC ，2PA PB PC FP EF PC CE ++=++≥，2PA PB PC ++的最小值即为CE 的值．【详解】（1）作CE ，DF 分别垂直于AB 于点E ，F∵CE ⊥AB ，S △ABC =3，∠BAC=45°∴3223AE CE ⨯===，BE=1， ∵CE ，DF 分别垂直于AB 于点E ，F∴DF ∥CE又∵AD 是BC 边上的中线∴112DF CE ==，1122BF BE EF ===∴AF=15222AE EF +=+=在Rt △AFD 中，2222529()12AD AF DF =+=+=∴29AD =（2）在Rt △BEC 中，2222125BE EC +=+当AD ⊥CB 时，AN=AD 最小根据等面积法，325AD ⨯=得AN=6565故答案为：（3）将△APB绕点A逆时针旋转90°得到△AFE，易知△AFP是等腰直角三角形，∠EAC=135°，作EH⊥BA 交BA的延长线于H．在Rt△EAH中，∵∠H=90°，∠EAH=45°，22==AE AB∴EH=AH=2，在Rt△EHC中，2222=+（）22329EC EH HC++=++=++≥2PA PB PC FP EF PC CE++292PA PB PC【点睛】本题考查了用三角函数和勾股定理解直角三角形，点到线段的最短距离，图形旋转的性质，线段和的最值问题．八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．设，，则A 、B 的关系为（ ） A ．A>BB ．A<BC ．A=BD ．无法确定 【答案】A【解析】利用作差法进行解答即可. 【详解】∵= x 2-5x+6-（x 2-5x+4）= x 2-5x+6-x 2+5x-4=2＞0， ∴A>B.故选A.【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练运用作差法比较大小是解决问题的关键.2．下列选项所给条件能画出唯一ABC ∆的是（ ）A ．3AC =，4AB =，8BC =B ．50A ∠=︒，30B ∠=︒，2AB =C ．90C ∠=︒，90AB =D ．4AC =，5AB =，60B ∠=︒ 【答案】B【分析】利用全等三角形的判定方法以及三角形三边关系分别判断得出即可．【详解】解：A 、3+4<8，不能构成三角形，故A 错误；B 、50A ∠=︒，30B ∠=︒，2AB =，满足ASA 条件，能画出唯一的三角形，故B 正确；C 、90C ∠=︒，90AB =，不能画出唯一的三角形，故C 错误；D 、4AC =，5AB =，60B ∠=︒，不能画出唯一的三角形，故D 错误；故选：B.【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键． 3．下列运算正确的是（ ）A 235=B ．22＝3C 236=D 632=【答案】C【分析】根据二次根式得加减法法则及乘除法法则逐一计算即可得答案．【详解】23 B.322＝2，故该选项计算错误，，故该选项计算正确，，故该选项计算错误．故选：C ．【点睛】本题考查二次根式得运算，熟练掌握运算法则是解题关键．4．--种饮料有大、中、小3种包装，一个中瓶比2个小瓶便宜2角，一个大瓶比一个中瓶加上一个小瓶贵4角，若大、中、小各买1瓶，需要9元6角.设小瓶单价是x 角，大瓶的单价是y 角，可列方程组为（ ） A ．39832x y y x +=⎧⎨-=⎩ B ．39832x y y x +=⎧⎨+=⎩C ．29834x y y x +=⎧⎨-=⎩D ．39822x y x y -=⎧⎨+=⎩【答案】A【分析】设设小瓶单价为x 角，大瓶为y 角，根据题意列出二元一次方程组，求出方程组的解即可．【详解】解：设小瓶单价为x 角，大瓶为y 角，则中瓶单价为（2x-2）角，可列方程为：39832x y y x +=⎧⎨-=⎩，故选A.【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．5．若x ，y 的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）A ．3+-x x yB ．22y xC ．3223y x D ．()222y x y -【答案】D【分析】分别写出x 、y 都扩大3倍后的分式，再化简与原式比较，即可选择．【详解】当x 、y 都扩大3倍时，A 、()()313313333++++==≠----x x xxx y x y x y x y ，故A 错误．B 、()222223622933⨯==≠y y y y x x x x ，故B 错误．C 、()()33332222232272227333⨯==≠y y y y x x x x ，故C 错误．D 、()()()()22222223292339y y y x y x y x y ⨯==---，故D 正确．故选D ．【点睛】本题考查分式的基本性质，解题关键是熟练化简分式．6．某小区有一块边长为a 的正方形场地，规划修建两条宽为b 的绿化带. 方案一如图甲所示，绿化带面积为S 甲：方案二如图乙所示，绿化带面积为S 乙. 设()0S k a b S =>>甲乙，下列选项中正确的是（ ）A ．102k << B ．322k << C ．312k << D ．112k <<【答案】D【分析】由题意可求S 甲=2ab-b 2，S 乙=2ab ，代入可求k 的取值范围． 【详解】∵S 甲=2ab-b 2，S 乙=2ab ．∴22122S ab b b k S ab a-===-乙甲∵a ＞b ＞0∴12＜k ＜1故选D ．【点睛】本题考查了正方形的性质，能用代数式正确表示阴影部分面积是本题的关键．7．已知ABC ∆中，B 是A ∠的2倍，C ∠比A ∠大20，则A ∠等于( )A ．30B ．40C ．60D ．80【答案】B【分析】设A x ∠=，则,B C ∠∠可表示出来，然后利用三角形内角和定理即可求出A ∠的度数．【详解】设A x ∠=，则2,20B x C x ∠=∠=+︒根据三角形内角和定理得，220180x x x +++︒=︒解得40x=︒故选：B．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．8．△ABC的三边长分别a、b、c，且a+2ab＝c+2bc，△ABC是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】A【详解】∵a+2ab＝c+2bc，∴（a-c）（1+2b）=0，∴a=c，b=12-（舍去），∴△ABC是等腰三角形．故答案选A．9．如图，直线a、b被直线c、d所截，若∠1＝100°，∠2＝80°，∠3＝125°，则∠4的度数是（）A．55°B．75°C．100°D．125°【答案】D【解析】由题意得∠1＝∠5=100°，然后得出∠5+∠2＝180°，证出a∥b，由平行线的性质即可得出答案．【详解】解：如图∵∠1＝∠5=100°，∠2＝80°，∴∠5+∠2＝180°，∴a∥b，∴∠4＝∠3＝125°，故选：D．【点睛】本题主要考查平行线的判定及性质，掌握平行线的判定及性质是解题的关键．10．下列命题，是真命题的是（ ）A ．三角形的外角和为180︒B ．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．C ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等．D ．垂直于同一直线的两直线互相垂直．【答案】B【分析】根据三角形的性质,平行与垂直的性质逐一判断即可.【详解】解:A.三角形的外角和为360︒,故错误;B.三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,所以它大于任何一个和它不相邻的内角,故正确;C.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等,故错误;D.垂直于同一直线的两直线互相平行,故错误.故选:B.【点睛】本题通过判断命题的真假考查了几何基本图形的性质定理,理解掌握相关性质是解答关键.二、填空题11．用科学记数法表示：0.000002018＝_____．【答案】2.018×10﹣1．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10﹣n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：数字0.000002018用科学记数法表示为2.018×10﹣1，故答案是：2.018×10﹣1．【点睛】本题主要考查科学记数法，掌握科学记数法是解题的关键.12．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，D ，E 分别为边AB ，AC 上一点，AD AE =.将ABC ∆沿DF 折叠，使点B 与E 重合，折痕交边BC 于点F .若CEF ∆为等腰三角形，则A ∠的度数为_____度．【答案】1【分析】设A ∠的度数为x, B 的度数为y ，根据题意列出二元一次方程组即可求解. 【详解】设A ∠的度数为x, B 的度数为y ，∵90C ∠=︒，∴x+y=90︒①∵折叠，∴FED y ∠=∵CEF ∆为等腰三角形，∴45CEF ∠=︒∵AD AE = ∴1802x AED ︒-∠= ∵180CEF FED AED ∠+∠+∠=︒ ∴180451802x y ︒-︒++=︒② 根据①②求出x=1︒故答案为：1．【点睛】此题主要考查三角形的角度求解，解题的关键是熟知等腰三角形与折叠的性质．13．把多项式2²mx my -分解因式的结果是_________．【答案】()()m x y x y +-【分析】先提取公因式m ，再利用平方差公式分解即可．【详解】()()()2222mx my m x y m x y x y -=-=+-，故答案为：()()m x y x y +- ．【点睛】本题考查了因式分解－提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 14．若等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成为12cm 和21cm 两部分，则这个等腰三角形的底边长为_______．【答案】5cm【分析】根据题意作出图形，设AD=DC=x ，BC=y ，然后分两种情况列出方程组求解，再根据三角形的三边关系判断即可求解【详解】解：如图所示,设AD=DC=x ，BC=y ，由题意得21221x x y x +=⎧⎨+=⎩ 或22112x x y x +=⎧⎨+=⎩解之：417x y =⎧⎨=⎩或75x y =⎧⎨=⎩当417x y =⎧⎨=⎩时等腰三角形的三边为8，8，17，不符合三角形的三边关系； 当75x y =⎧⎨=⎩时，等腰三角形的三边为14，14，5， 所以，这个等腰三角形的底边长是5，故答案为5cm【点睛】本题考查三角形三边关系，等腰三角形的性质.15．计算：11()22--+-=_____．【答案】.【解析】分别根据负指数幂和绝对值进行化简每一项即可解答；【详解】解：11|2222-⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭；故答案为.【点睛】本题考查实数的运算，负整数指数幂的运算；掌握实数的运算性质，负整数指数幂的运算法则是解题的关键．16．已知直角三角形的两条直角边分别为5和12，则其斜边上的中线长为_____．【答案】6.1．【分析】利用勾股定理求出斜边，再利用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，便可得到答案．13=故斜边上的中线为斜边的一半，故为6.1故答案为：6.1【点睛】本题考查勾股定理应用，以及直角三角形斜边上的中线为斜边的一半，掌握这两个知识点是解题的关键． 17．为了增强学生体质，某学校将“抖空竹”引阳光体育一小时活动，图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知//,80,110AB CD EAB ECD ∠=︒∠=︒，则E ∠的度数是_____．【答案】30°【分析】过E 点作EF ∥AB ，由两直线平行，同旁内角互补即可求解.【详解】解：过E 点作EF ∥AB ，如下图所示：∵EF ∥AB ，∴∠EAB+∠AEF=180°，又∠EAB=80°∴∠AEF=100°∵EF ∥AB ，AB ∥CD∴EF ∥CD∴∠CEF+∠ECD=180°，又∠ECD=110°∴∠CEF=70°∴∠AEC=∠AEF-∠CEF=100°-70°=30°. 故答案为：30°. 【点睛】本题考查平行线的构造及平行线的性质，关键是能想到过E 点作EF ∥AB ，再利用两直线平行同旁内角互补即可解决.三、解答题18．如图：AE=DE ，BE=CE ，AC 和BD 相交于点E ，求证：AB=DC。

第五章二元一次方程组4. 应用二元一次方程组——增收节支教学目标1. 能运用列表分析法分析数量关系,熟练地列二元一次方程组解决简单的实际问题,掌握运用列二元一次方程组解决实际问题的技能。

2. 经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程是刻画现实世界的有效的数学模型，培养学习数学应用能力。

3. 通过问题的解决进一步认识数学与现实世界的密切联系,通过对问题的解决，培养学生的必要的经济意识，增强他们节约成本、有效合理利用资源的意识。

第一环节：创设情境，导入新课创设问题情景，引导学生思考，导入课题新年来临爸爸想送Ｍike一个书包和随身听作为新年礼物．爸爸对Ｍike说：“我在家乐福、人民商场都发现同款的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元，你能说出随身听和书包单价各是多少元，那么我就买给你做新年礼物”。

你能帮助他吗？内容：学生观看图片和实际问题，引发思考和提升解决问题的兴趣。

目的：通过同学们熟悉的生活中经济问题去激发学生学习本节课的兴趣，导入课题。

开商店、购物、最优化决策等生活实例，再配以精美的图片，进一步提高学生兴趣，激发他们的求知欲和学习热情。

第二环节：新课讲解知识回顾：填一填1.某工厂去年的总产值是x万元, 今年的总产值比去年增加了20%, 则今年的总产值是__________万元;2.若该厂去年的总支出为y万元, 今年的总支出比去年减少了10%, 则今年的总支出是__________万元;3.若该厂今年的利润为780万元,那么由1, 2可得方程____________________.(1+20%)x (1-10%)y (1+20%) x - (1-10%) y =780经验提升：解增降率问题常用的关系式为a(1±x )=b(其中:a 表示基数；x 表示增降率；b 表示目标数；增时为加，降时为减)内容：通过回答知识回顾问题，教师启发学生做经验提升；通过回答问题对学生能力进行及时评价，如果回答错误及时纠正。

北师大版数学八年级上册5.4 应用二元一次方程组——增收节支教学设计提出问题，学生探究热情高涨，为下一环节奠定了良好基础．总支出比去年减少了10%,则今年的总支出为.今年的总支出=去年的总支出×(1-10%)=(1-10%)y万元.【思考】这个工厂今年的利润为780万元,根据问题1,2,可得_________=780万元.根据“利润=总收入-总支出”,得出(1+20%)x-(1-10%)y=780万元.【分析】设去年的总产值为x万元,总支出为y万元,则有找出等量关系.去年的总产值-去年的总支出=200万元，今年的总产值-今年的总支出=780万元．你能列出方程组吗？解:设去年的总产值为x万元,总支出为y万元,则有因此,去年的总产值是2 000万元,总支出是1800万元.【例】医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品,每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质,每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质, 若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质, 那么每餐甲、乙原料各多少克恰好满足病人的需要?每餐甲、乙原料中含蛋白质如何表示呢?每餐甲原料中含蛋白质=0.5×每餐甲原料的质量;每餐乙原料中含蛋白质=0.7×每餐乙原料的质量;每餐甲、乙原料中含铁质如何表示呢?每餐甲原料中含铁质=1×每餐甲原料的质量;每餐乙原料中含铁质=0.4×每餐乙原料的质量.设每餐需甲原料x g,乙原料y g,那么你们能完成下面的图表吗?你能从上面图表中找出等量关系吗?营养品中的蛋白质=甲原料中所含蛋白质+乙原料中所含蛋白质;营养品中的铁质=甲原料中所含铁质+乙原料中所含铁质.根据等量关系,列出方程组,请完成问题的解答.解:设每餐需甲原料x g,需乙原料y g,根据题意,得方程组0.5x+0.7y=35x+0.4y=40化简,得5x+7y=350 ①5x+2y=200 ②①-②,得5y=150 y=30把y=30代入①,得x=28,即方程组的解为：x=28y=30所以每餐需甲原料28 g,乙原料30 g.通过上面两题的计算，你能发现什么？由此我们可知，图表分析有利于理清题中的未知量、已知量以及等量关系，很容易列出方程组解决1.某所中学现有学生4 200人，计划一年后初中在校生增加8%，高中在校生增加11%，这样全校在校生将增加10%，这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数依次是(A)A．1 400人和2 800人B．1 900人和2 300人C．2 800人和1 400人D．2 300人和1 900人2.在社会主义新农村建设中，某村积极响应党的号召，大力发动农户扩大烟叶和蔬菜的种植面积，取得了较好的经济效益．今年该村的烟叶和蔬菜的种植面积比去年增加了800亩，其中烟叶种植面积增加了20%，蔬菜种植面积增加了30%，从而使该村的烟叶和蔬菜种植面积共达到了4 200亩．问该村去年种植烟叶和蔬菜的面积分别是多少亩？解：设该村去年种植烟叶和蔬菜的面积分别为x 亩、y亩．依题意，得解这个方程组，得答：该村去年种植烟叶和蔬菜的面积分别是2 200实际问题数学问题[方程(组)]数学问题的解实际问题的答案。

北师大版八年级数学上册5.4应用二元一次方程组增收节支教案北师大版八年级数学上册5.4应用二元一次方程组-增收节支教案第五章二次方程组4应用二元一次方程组――增收节支● 教学目标(一)教学知识点1.能够以列表的形式分析问题中已知量和未知量之间的关系，并列出相应的二元基本方程2.继续熟练二元一次方程组的解法和基本思路.(二)能力训练要求1.让学生进一步体验通过公式化解决实际问题的过程，认识到公式（组）是描述现实世界的有效数学模型，培养学生的数学应用能力2.加强学生列方程组的技能训练，形成解决实际问题的一般性策略.（三）情感和价值要求1.通过列方程组解决实际问题培养应用数学意识，提高学习数学的趣味性、现实性、科学性.● 教学重点2.培养学生的创新、开拓、克服学习中困难的科学精神.以列表的形式分析题目中各个数量之间的关系，加强学生公式推导技能的训练●教学难点在列表的帮助下，分析了问题中包含的数量关系● 教学方法学生自主活动探究的方法.根据学生通过建立一元一阶方程解决实际问题的经验，根据基本的数量关系，学生可以独立探索并列出问题中包含的数量关系，从而列出二元一阶方程来解决实际问题●教具准备两张幻灯片：第一张：问题串(记作§7.4a)；第1页第二张：例1(记作§7.4b).●教学过程ⅰ. 创造情境，介绍新课程［师］我们来看一组填空题.(出示投影片§7.4a)填空：（1）去年一家工厂的总产值是一万元。

今年的总产值比去年增长了20%。

今年的总产值是____(2)某工厂去年的总支出为y万元，今年的总支出比去年减少了10%，则今年的总支出为_________.（3）一家工厂今年的利润为780万元，可根据（1）和（2）计算得出，利润=780万元（利润=总产值-总支出）下面我们就一起分析上面的三个填空.【师生分析】（1）今年总产值比去年增长20%，即：今年总产值=去年总产值×（1+20%）=（1+20%）x 1万元(2)今年的总支出比去年减少了10%，即今年的总支出=去年的总支出×(1－10%)=(1－10%)y万元.（3）今年的利润是780万元。

5.4应用二元一次方程组——增收节支教学目标【知识与能力】1.能运用列表分析法分析数量关系；2.能熟练地列二元一次方程组解决简单的实际问题.3．掌握运用列二元一次方程组解决实际问题的技能.【过程与方法】经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程是刻画现实世界的有效的数学模型，培养学习数学应用能力.【情感态度价值观】1.通过问题的解决进一步认识数学与现实世界的密切联系.2.通过对问题的解决，培养学生的必要的经济意识，增强他们节约成本、有效合理利用资源的意识.教学重难点【教学重点】1.初步体会列方程组解决实际问题的步骤．2.学会用图表分析较复杂的数量关系问题.【教学难点】将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型；会用图表分析数量关系.课前准备教具：教材，课件，电脑（视频播放器）学具：教材，练习本教学过程第一环节：创设情境，导入新课（5分钟，学生观看图片和实际问题，引发思考和提升解决问题的兴趣.创设问题情景，引导学生思考，导入课题）你想过吗？提出问题：同学们你知道你的生活有哪些必要开支吗？引发问题：经济生活在我们生活中多么重要！你想运用数学知识使你的生活更加合理优化，生活的更加幸福惬意吗？那么你能帮帮解决下面的实际经济问题吗？教学进程：教师演示幻灯片，学生回答问题1．开商店小明想开一家时尚Ｇ点专卖店，开店前他到其它专卖店调查价格．他看中了一套新款春装，成本共500元，专卖店店员告诉他在上市时通常将上衣按50﹪的利润定价，裤子按40﹪的利润定价.由于新年将至，节日优惠，在实际出售时，为吸引顾客，两件服装均按9折出售，这样专卖店共获利157元，小明觉得上衣款式好，销路会好些，想问问上衣的成本价，但店员有事走开了，你能帮助他？2．购物新年来临爸爸想送Ｍike一个书包和随身听作为新年礼物．爸爸对Ｍike说：“我在家乐福、人民商场都发现同款的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元，你能说出随身听和书包单价各是多少元，那么我就买给你做新年礼物”. 你能帮助他吗？ （最优化决策）最近商家促销有促销活动，人民商场所有商品打八折销售，家乐福全场购物满100元返物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），爸爸只给Ｍike 400元钱，如果他只在一家购买看中的这两样物品，你能帮助他选择在哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？第二环节：新课讲解（15分钟，通过回答知识回顾问题，教师启发学生做经验提升；通过回答问题对学生能力进行及时评价，如果回答错误及时纠正.） 知识回顾：填一填1. 某工厂去年的总产值是x 万元, 今年的总产值比去年增加了20%, 则今年的总产值是__________万元;2. 若该厂去年的总支出为y 万元, 今年的总支出比去年减少了10%, 则今年的总支出是__________万元;3. 若该厂今年的利润为780万元, 那么由1, 2可得方程___________________________.(1+20%)x (1-10%)y (1+20%) x - (1-10%) y =780经验提升：解增降率问题常用的关系式为a(1±x )=b(其中:a 表示基数；x 表示增降率；b 表示目标数；增时为加，降时为减)例题探索例1 ＣＮＩ公司去年的利润（总产值—总支出）为200万元.今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元.去年的总产值、总支出各是多少万元？分析：关键:找出等量关系.⎩⎨⎧=-=-万元今年的总支出今年的总产量万元去年的总支出去年的总产量780200 今年的总产值=去年总产值×(1+20%） 今年的总支出=去年的总支出×(1—10%） 相等关系中的数量关系真多，画个表格来表示它们吧！得到两个等式： x —y =200 ，(1+20%) x —(1—10%) y =780.解：设去年的总产值为x 万元，总支出为y 万元，则 今年的总产值=（1+20%）x 万元， 今年的总支出=（1—10%）y 万元. 由题意得: ⎩⎨⎧=--+=-)2(.780%)101(%)201()1(,200y x y x解得答：去年的总收入为2000万元，总支出为1800万元.教学进程：学生作相等关系、数量关系的分析，教师教学生画表格分析数量关系，并共同解答.例2 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品．每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质．若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？ 分析：找出等量关系.⎩⎨⎧=+=+.40,35每餐乙原料中含铁质量每餐甲原料中含铁质量量每餐乙原料中含蛋白质量每餐甲原料中含蛋白质每餐甲原料中含蛋白质量=0.5×每餐甲原料的质量， 每餐乙原料中含蛋白质量=0.7×每餐乙原料的质量， 每餐甲原料中含铁质量=1×每餐甲原料的质量， 每餐乙原料中含铁质量=0.4×每餐乙原料的质量， 由于相等关系中的数量关系复杂，所以可以选取用列表格的方法来表示各数量关系之间的关系，有利于根据相等关系列方程.（题目中可分析蛋白质含量，铁的含量；甲、乙两种原料和病人配置的营养品，所以画个２ × ３的表格来分析；学生通常对要分析那些数量关系不太明确，所以讲解时要说明为什么会这样画表格）由上表可以得到的等式：化简得：⎩⎨⎧==.1800,2000y x ⎩⎨⎧=+=+)2(.404.0)1(,357.05.0y x y x ⎩⎨⎧=+=+)4(.400410)3(,35075y x y x（1）×2得 10x +14y =700 (5)(5)－(4)得 10y =300y =30将y =30代入(3)得 x =28答：每餐需甲原料28克，乙原料30克.第三环节：练习提高、合作学习；（5分钟，小组探究） 1．育才学校去年有学生３１００名，今年比去年增加4.4％,其中寄宿学生增加了6％,走读学生减少了2％.问该校去年有寄宿学生与走读学生各多少名?设去年有寄宿学生x 名,走读学生y 名,则可列出方程组为 . 分析：找出等量关系.去年寄宿学生＋去年走读学生＝３１００名今年寄宿学生＋今年走读学生＝３１００ ×（１＋４.４％）⎩⎨⎧+⨯=-++=+%).4.41(3100%)21(%)61(,3100y x y x 2．编题有一个方程组：⎩⎨⎧+⨯=-++=+%).4.41(3100%)21(%)61(,3100y x y x 你能根据这个方程组编一个实际背景的应用题吗？ 活动规则：四个同学一组编题，互评；然后推选出有创意，符合实际生活的例子进行全班交流． 第四环节：问题解决；（10分钟，学生尝试独立解决问题，后全班交流） 解决问题一小明想开一家时尚Ｇ点专卖店，开店前他到其它专卖店调查价格．他看中了一套新款春装，成本共500元，专卖店店员告诉他在上市时通常将上衣按50﹪的利润定价，裤子按40﹪的利润定价.由于新年将至，节日优惠，在实际出售时，为吸引顾客，两件服装均按9折出售，这样专卖店共获利157元，小明觉得上衣款式好，销路会好些，想问问上衣的成本价，但店员有事走开了，你能帮助他吗？ 分析：找出等量关系.题目中可分析上衣，裤子；成本．实际售价和利润．画个２ × ３的表格来分析 上衣成本＋裤子成本＝５００元 上衣利润＋裤子利润＝１５７元解：设上衣的成本价为ｘ元，裙子的成本价为ｙ元：裤子利润为0.9(1+40%)y -y 元，依题意得x +y =500，0.9×(1+50%)x -x +0.9×(1+40%)y -y =１５７. 整理得:x +y =500 ， ……① 35x +26y =１５７00. …… ② ②－① ×26,得9x =２700, ∴x =３００.把其代入①，得y =500－３００=２００x =３００， y =２００.答：上衣成本３００元，裙子成本２００元. 解决问题二新年来临爸爸想送Mike 一个书包和随身听作为新年礼物．爸爸对Mike 说：“我在家乐福、人民商场都发现同款的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元，你能说出随身听和书包单价各是多少元，那么我就买给你做新年礼物”.你能帮助他吗？（1）解：设书包单价为x 元，则随身听单价为y 元,根据题意可列出方程：⎩⎨⎧=-=+.84,452y x y x 解之得：⎩⎨⎧==.360,92y x 答：书包单价92元，随身听单价360元. 最优化决策：聪明的Mike想了想回答正确后便同爸爸去买礼物，恰好赶上商家促销，人民商场所有商品打八折销售，家乐福全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家购买看中的这两样物品，你能帮助他选择在哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？ 提示：书包单价92元，随身听单价360元. 2）在人民商场购买随声听与书包各一样需花费现金452×108=361.6（元） ∵ 361.6<400 ∴可以选择在人民商场购买.在家乐福可先花现金360元购买随身听，再利用得到的90元返券，加上2元现金购买书包，共花现金360+2=362（元）.x x -+⨯%)501(9.0因为362＜400，所以也可以选择在家乐福购买.因为362＞361.6,所以在人民商场购买更省钱.第五环节：学习反思；（5分钟，学生思考回答，不足的地方教师补充和强调.）你的收获是什么？1．通过本节的学习活动，你会用列表分析数据吗？2．你能用列方程组的方法解决实际问题吗？3．你体会到方程思想在生活中的存在吗？小结：１．在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程或方程组的方法来处理这些问题．２．这种处理问题的过程可以进一步概括为：分析求解问题方程（组）解答抽象检验３．要注意的是，处理实际问题的方法是多种多样的，图表分析是一种直观简洁的方法，应根据具体问题灵活选用．良好的学习态度能够更好的提高学习能力。

4 应用二元一次方程组——增收节支【知识与技能】1.会用列表的方式分析问题中所蕴含的数量关系，列出二元一次方程组.2.培养学生分析问题、解决问题的能力,进一步体会二元一次方程组的应用价值.【过程与方法】进一步经历用方程组解决实际问题的过程,体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型.【情感态度】培养学生勤于思考,勇于探索的精神.【教学重点】用列表的方式分析题目中的各个量的关系.【教学难点】借助列表分析问题中所蕴含的数量关系.一、创设情境，导入新课在现实生活中,我们常常会听到这样一个词语,增收节支.当我们遇到实际问题的时候,该如何解决呢？例如:某工厂去年的利润（总收入-总支出）为200万元.今年总收入比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为780万元.去年的总收入、总支出各是多少万元?如果设去年的总产值为x万元,总支出为y万元.为了帮助同学们理清各个数量之间的关系,你能否采用表格的形式用x，y的代数式来表示题目中的各个量呢?【教学说明】以一道生活热点问题引入具有现实意义和教育意义,激发学生学习兴趣,同时培养学生勤俭节约的优良传统.理解题意是关键通过解题,旨在培养学生的解题能力和收集信息能力.二、思考探究，获取新知采用列表格的形式解决实际问题.同学们,根据上面的方法你能解决下面的问题吗?例如:医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品，每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质.若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要?【教学说明】本例所涉及的数据较多,数量关系较以前复杂,具有一定的挑战性.借助表格辅助分析题中较复杂的数量关系,不失为一种好方法,以提升他们解决问题的能力.为了给学生一个参考,教师展示完整的过程.【分析】设每餐需甲原料xg,需乙原料yg,则有:解:设每餐需甲原料xg,需乙原料yg,根据题意得:0507350440，.x .y x .y .+=+=⎧⎨⎩ 解这个方程组得2830，x y .==⎧⎨⎩ 所以每餐需甲原料28g,乙原料30g.三、运用新知，深化理解1.甲、乙两仓库共有粮450吨,甲仓库运出60%,乙仓库运出40%,结果乙仓库所余的粮食比甲仓库所余的粮食多30吨,若设甲仓库原有粮食x 吨,乙仓库原有粮食y 吨,则可列方程组为 .2.我区某学校原计划向内蒙察右旗地区的学生捐赠3500册图书,实际共捐赠了4125册,其中初中学生捐赠了原计划的120%,高中学生捐赠了原计划的115%,初中学生和高中学生各比原计划多捐赠的图书的册数为（ ）A.400,225B.300,335C.400,335D.225,4003.某天,一蔬菜经营户用60元钱从蔬菜批发市场批了西红柿和豆角共40kg 到菜市场去卖,西红柿和豆角这天的批发价与零售价如下表所示:问:他当天卖完西红柿和豆角能赚多少钱?【教学说明】让学生自主完成,加深如何利用表格的形式解决稍微复杂的数量关系的应用题,检测学生应用能力,对有困难的学生及时点拨纠正,得以强化提高.【答案】1.45016030140（）（）x y %x %y;+=-+=-⎧⎨⎩2.A.3.解:设批发了xkg 西红柿,ykg 豆角,则12166040，.x .y x y .+=+=⎧⎨⎩ 解得1030x y .==⎧⎨⎩ （1.8-1.2）×10+（2.5-1.6）×30=6+27=33（元）答:他当天卖完西红柿和豆角能赚33元.四、师生互动，课堂小结1.在用二元一次方程组解决实际问题时,你会怎样设定未知数？可借助哪些方式辅助分析问题中的相等关系?2.这节课你掌握了哪些知识?还有哪些疑问?请与同学们交流.【教学说明】引导学生思考、归纳、总结得出,便于及时纠正,达到共同提高.1.布置作业：习题5.5第2、3、4题.2.完成本课时练习部分.对于较复杂的应用题,我们可以采用多种形式辅助解答.学生考虑的角度和思考方法比较单一,不利于问题的解答,平时的教学要让学生逐步得到体验,不断提高他们解决实际问题的能力.。