第5讲：(八年级数学上)第一章勾股定理单元测试题(教师版)

第一章勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-北师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、若，，为的三边长，则下列条件中不能判定是直角三角形的是（）A. ，，B.C.D.2、如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠ACB=30°,AB=2，则矩形的面积为（）A. B.2 C.4 D.3、如图，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸（AE＞DE）剪去了一角，量得AB=3cm，CD=4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为（）A.5cmB.12cmC.16cmD.20cm4、如图，O是正内一点，，，，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列五个结论中，其中正确的结论是（）可以由绕点B逆时针旋转得到；点O与的距离为4；；；．A. B. C. D.5、如图：图形A的面积是（）A.225B.144C.81D.无法确定6、如图，一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动，经过5秒时，测得小球的平均速度为米秒.已知，则小球下降的高度是（）A.1米B.1.5米C.2米D.2.5米7、用圆心角为120°，半径为3 cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸冒（如图所示），则这个纸冒的高是（）A.3 cmB.2 cmC.3 cmD.4 cm8、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，AC：BC=3：4，则这个直角三角形的面积是（）A.24B.48C.54D.1089、如图，在△ABC中，AB=AC=5，P是BC边上除B、C点外的任意一点，则代数式AP2+PB•PC等于（）A.25B.15C.20D.3010、如图，AB是⊙O的弦，AB=5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，点M，N分别是AB，AC的中点，则线段MN长的最大值为（）A.5B.C.5D.11、在直角坐标系中，点P(-2，3)到原点的距离是( )A. B. C. D.212、如图所示，点B，D在数轴上，OB=3，OD=BC=1，∠OBC=90°，以D为圆心，DC长为半径画弧，与数轴正半轴交于点A，则点A表示的实数是（）A. B. 1 C. 1 D.不能确定13、如图，将一边长为a的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为b的正方形（其中b＞a）拼接在一起，则四边形ABCD的面积为（）A.b 2+（b﹣a）2B.b 2+a 2C.（b+a）2D.a 2+2ab14、如图，在矩形中，，，过对角线交点作交于点，交于点，则的长是( )A.1B.C.2D.15、如图，将等腰直角三角形（）沿折叠，使点落在边的中点处，，那么线段的长度为（）A.5B.4C.4. 25D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，等边的边与轴交于点，点是反比例函数图像上一点，若为边的三等分点时，则等边的边长为________．17、如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，AO＝BO，P是射线CO上在AB下方的一个动点，∠AOC ＝45°．则当△PAB为直角三角形时，AP的长为________．18、如图，巳知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使得AC=3BC，CD与⊙O相切，切点为D．若CD= ，则线段BC的长度等于________．19、《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，AB＋AC＝9尺，BC＝3尺，则AC=________尺.20、已知△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，P为边AB上一点，且△APC为等腰三角形，则CP 的长为________21、如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8 ，E为AB的中点，若P为对角线BD 上一动点，则EP+AP的最小值为________．22、如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要________cm．23、如图，线段AB=2，过点B作BD⊥AB，使BD= AB，连接AD，在AD上截取DE=DB．在AB上截取AC=AE．那么线段AC的长为________．24、在⊙O中，弦AB＝24cm，圆心O到弦AB的距离为5cm，则⊙O的半径为________cm．25、如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1＝90°，OA＝1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…则OA8的长度为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9.求AB的长.27、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B坐标分别为（4，2）、（0，2），线段CD 在于x轴上，CD＝，点C从原点出发沿x轴正方向以每秒1个单位长度向右平移，点D随着点C同时同速同方向运动，过点D作x轴的垂线交线段AB于点E、交OA于点G，连结CE交OA于点F．设运动时间为t，当E点到达A点时，停止所有运动．（1）求线段CE的长；（2）记S为RtΔCDE与ΔABO的重叠部分面积，试写出S关于t的函数关系式及t的取值范围；（3）连结DF，①当t取何值时，有DF=CD?②直接写出ΔCDF的外接圆与OA相切时t的值.28、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB边的中点，点P为BC边上一点，把△PBD沿PD翻折，点B落在点E处，设PE交AC于F，连接CD(1)求证：△PCF的周长=CD；(2)设DE交AC于G，若， CD=6，求FG的长29、将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（，0），点B （0，1），点0（0，0）．过边OA上的动点M（点M不与点O，A重合）作MN丄AB于点N，沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点A′，设OM=m，折叠后的△AM′N与四边形OMNB重叠部分的面积为S．（Ⅰ）如图①，当点A′与顶点B重合时，求点M的坐标；（Ⅱ）如图②，当点A′，落在第二象限时，A′M与OB相交于点C，试用含m的式子表示S；（Ⅲ）当S= 时，求点M的坐标（直接写出结果即可）．30、如图，AB是的直径，弦于点E，若，，求的长．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、A3、D4、C5、C6、B7、B8、C9、A10、D11、B12、C13、A14、B15、D二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)28、29、30、。

第一章勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-北师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）6,8,10,；（2）5,12,13；（3）8,15,17；（4）4，5，6，其中能构成直角三角形的有 ( )A.4组B.3组C.2组D.1组2、下列判断中正确的有（）个①直角三角形的两边为3和4，则第三边长为5②有一个内角等于其它两个内角和的三角形是直角三角形③若三角形的三边满足b2＝a2﹣c2，则△ABC是直角三角形④若△ABC中，∠A：∠B：∠C＝8：15：17，则△ABC是直角三角形A.1B.2C.3D.43、如图，等边三角形OAB的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，OA=2，将等边三角形OAB绕原点顺时针旋转105°至OA′B′的位置，则点B′的坐标为（）A.（，- ）B.（- ，）C.（- , ）D.（，- ）4、四边形中，，则的值为（）A.15B.C.D.205、如图，点C是线段AB上一点，分别以AC，BC为边在线段AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE，连结DE，点F为DE的中点，连结CF.若AB＝2a（a为常数，a＞0），当点C在线段AB上运动时，线段CF的长度l的取值范围是（）A. B. C. D.6、如图，平面直角坐标系中，与轴分别交于、两点，点的坐标为，．将沿着与轴平行的方向平移多少距离时与轴相切（）A.1B.2C.3D.1或37、一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）A.斜边长为25B.三角形周长为25C.斜边长为5D.三角形面积为208、如图，已知在4 4的网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则cos∠CAB的值为（）A. B. C. D.9、一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（）A.4B.8C.10D.1210、在中，若，，，则下列结论正确的是（）A. B. C. D. 不是直角三角形11、直角三角形三边的长分别为3、4、x，则x可能取的值为（）A.5B.C.5或D.不能确定12、如图，将半径为4cm的圆折叠后圆弧正好经过圆心，问折痕长（）A. cmB. cmC. cmD. cm13、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边分别为AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于( )A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm14、⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）A.4B.6C.7D.815、如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S9的值为（）A.（）6B.（）7C.（）6D.（）7二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=2，CE=6，H是AF的中点，那么CH的长是________．17、如图为某楼梯的侧面，测得楼梯的斜长AB为5米，高BC为3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要________米．18、如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C 恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H 处，有下列结论：①∠EBG=45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG= S△FGH；④AG+DF=FG．其中正确的是________．（把所有正确结论的序号都选上）19、如图，已知A为⊙O外一点，连结OA交⊙O于P，AB为⊙O的切线，B为切点，AP＝5㎝，AB＝㎝，则劣弧与AB，AP所围成的阴影的面积是________.20、已知的三边长分别是，则的面积是________．21、如图，已知菱形ABCD中，∠BAD=120°，AD=8，则这个菱形的面积为________。

第一章勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-北师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，数轴上的点A表示的数是-1，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC=2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（）A.2.8B. -C.D.2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆弧交边AB于点D．若 AC=3，BC=4．则BD的长是（）A.2B.3C.4D.53、如图，在四边形ABCD中，，，，.分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O.若点O是AC的中点，则CD的长为（）4、如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（）A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm5、如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，则的长为（）A.8B.4C.3D.56、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )A. B. C. D.7、如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD上一点，DE=1，以点A为中心，把△ADE 顺时针旋转90°得△ABE'，连接EE'，则EE'的长度为( )8、如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④S四边形AOBO′=6+3；⑤S△AOC+S△=6+．其中正确的结论是（）AOBA.①②③⑤B.①②③④C.①②③④⑤D.①②③9、下列四组数中，不能构成直角三角形边长的一组是( )A. B. C. D.10、如图，在ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=，则ΔCEF的周长等于A.8B.9.5C.10D.11.511、满足下列条件的，不是直角三角形的是（）A. B. C.D.12、图1为一个长方体，AD=AB=10，AE=6，M，N为所在棱的中点，图2为图1的表面展开图，则图2中MN的长度为（）A.11B.10C.10D.813、已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=2（AD2+AB2）﹣CD2，其中结论正确的个数是（）A.1B.2C.3D.414、将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC 的长为（）A. B.2 C.1.5 D.15、在直角三角形中，自锐角顶点引的两条中线为和，则这个直角三角形的斜边长是( )A.3B.2C.2D.6二、填空题(共10题，共计30分)16、《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，在“勾股”中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝3，求AC的长，如果设AC＝x，则可列方程求出AC的长为________.17、如图，正方形ABCD中，AB=2，对角线AC，BD相交于点O，将△OBC绕点B逆时针旋转得到△O′BC′，当射线O′C′经过点D时，线段DC′的长为________．18、在中，若，，，则________.19、如图，在矩形中，，，对角线相交于点O，点P为边上一动点，连接，以为折痕，将折叠，点A的对应点为点E，线段与相交于点F.若为直角三角形，则的长________.20、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为________.21、在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，则△ABC的面积是________．22、如图，平面直角坐标系内有一点A（3，4），O为坐标原点.点B在x轴上，若△AOB 为等腰三角形，则点B的坐标为________.23、如图，长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上任一点，连接AE，把∠B沿AE 折叠，使点B落在点B′处，当CE的长为________时，△CEB′恰好为直角三角形.24、在《九章算术》中有一个问题（如图)：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?它的意思是：一根竹子原高一丈（尺)，中部一处折断，竹梢触地面处离竹根尺，试问折断处离地面________尺．25、在直角三角形ABC中，∠C=90º，如果c=13，a=5，那么b=________．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，tanB= ，点D在BC上，且BD=AD，求AC 的长和cos∠ADC的值．27、如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，且∠ABC＝90°，试求∠A的度数．28、已知：如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，求∠DAB的度数．29、如图，学校有一块空地ABCD，准备种草皮绿化已知∠ADC＝90°，AD＝4米，CD＝3米，AB＝13米，BC＝12米，求这块地的面积．30、如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30°角时，两次测量的影长相差8米，求树高AB多少米．（结果保留根号）参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、A3、A4、C5、B6、B7、A8、A9、B10、A11、C12、A13、D14、D15、D二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、29、。

第一章勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-北师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转度（< ≤）得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为（）A. B.0.5 C.1 D.2、勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的，已知∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点D、E、F、G、H、I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的周长为（）A.40B.44C.84D.883、“用长分别为5cm、12cm、13cm的三条线段可以围成直角三角形”这一事件是( )A.必然事件B.不可能事件C.随机事件D.以上都不是4、菱形的两条对角线的分别为60cm和80cm，那么边长是（）A.100cmB.80cmC.60cmD.50cm5、三角形三边长分别是3，4，5，则它的最短边上的高为（）A.3B.2.4C.4D.4.86、一根竹子高9尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面高度是（）A.3尺B.4尺C.5尺D.6尺7、如图，正方形ABCD的对角线交于点O ，以AD为边向外作Rt△ADE ，∠AED＝90°，连接OE ， DE＝6，OE＝，则另一直角边AE的长为（）.A. B.2 C.8 D.108、如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m及5m以内时，灯就会自动发光．请问一个身高1.5m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？（）A.4米B.3米C.5米D.7米9、如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2=21，大正方形的面积为13.则小正方形的面积为（）A.3B.4C.5D.610、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的半径为（）A.8B.10C.16D.2011、下列命题不成立的是A.三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形B.三个角的度数比为1：：2的三角形是直角三角形C.三边长度比为1：：的三角形是直角三角形D.三边长度之比为：：2的三角形是直角三角形12、三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（）A.a:b:c =13∶5∶12B.a 2-b 2=c 2C.a 2=(b+c)(b-c) D.a:b:c=8∶16∶1713、如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3, AC=4，则sinA的值为（）．.A. B. C. D.14、如图，∠ACB=90°，CD是斜边上的高，AC=3，BC=4，则CD的长为（）A.1.6B.2.4C.2D.2.115、下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( )A.2，3，4B.4，6，8C.6，8，10D.5，11，12二、填空题(共10题，共计30分)16、将等腰直角△ABC按如图方法放置在数轴上，点A和C分别对应的数是﹣2和1．以点A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴的正半轴于点D，则点D对应的实数为________．17、一根高9m的旗杆在离地4m高处折断，折断处仍相连，此时在3.9m远处耍的身高为1m的小明________危险.（填有或无）18、如图，正方形ABCD的顶点C，A分别在x轴，y轴上，BC是菱形BDCE的对角线．若BC=6，BD=5，则点D的坐标是________．19、我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知，则的长度是________.20、菱形的面积为24，其中的一条对角线长为6，则此菱形的周长为________.21、已知菱形的周长为，两条对角线的和为6，则菱形的面积为________22、如图所示的一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，这块地的面积为________m223、已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式，则△ABC的形状为________24、如图，在高3米，坡面线段AB长为5米的楼梯表面铺地毯，已知楼梯宽1.5米，地毯售价为40元/平方米，若将楼梯表面铺满地毯，则至少需________元．25、如图，已知以点A(0，1)、C(1，0)为顶点的△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=90°，在坐标系内有一动点P（不与A重合），以P、B、C为顶点的三角形和△ABC全等，则P点坐标为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a、b、c．若a∶c＝15∶17，b＝24，求a.27、有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m和8m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.28、小锤和豆花要测量校园里的一块四边形场地ABCD(如图所示)的周长，其中边BC上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长度。

2022-2023学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》单元综合测试题（附答案）一．选择题（共10小题，满分40分）1．我国汉代的赵爽在注释《周髀算经》时给出了勾股定理的无字证明，人们称它为“赵爽弦图”，“赵爽弦图”指的是（）A．B．C．D．2．下列各组数中，属于勾股数的是（）A．1，1.7，2B．1.5，2，2.5C．6，8，10D．5，6，73．如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作半圆，若斜边AB＝3，则图中阴影部分的面积为（）A．9πB．C．D．3π4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，则AD等于（）A．6B．7C．8D．95．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是（）A．5B．6C．4D．4.86．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（）A．1.2米B．1.5米C．2.0米D．2.5米7．如图，一根长25m的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离底端7m．如果梯子的顶端下滑4m，那么梯足将滑动（）A．7m B．8m C．9m D．10m8．如图，一圆柱高8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm9．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）A．3，4，5B．4，5，6C．1，2，3D．32，42，52 10．现有四块正方形纸片，面积分别是4，6，8，10，从中选取三块按如图的方式组成图案，若要使所围成的三角形是直角三角形，则要选取的三块纸片的面积分别是（）A．4，6，8B．4，6，10C．4，8，10D．6，8，10二．填空题（共7小题，满分28分）11．直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边中线的长是．12．直角三角形中，两边长为3，4，则第三边长的平方为．13．一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm，则这个三角形最长边上的高是cm．14．如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为．15．观察右面几组勾股数，①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；并寻找规律，请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：，第n组勾股数是．16．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为．17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB﹣AC＝2，BC＝8，则AB的长是．三．解答题（共6小题，满分52分）18．如图是单位长度为1的正方形网格．（1）在图1中画出一条长度的平方为10的线段AB；（2）在图2中画出一个以格点为顶点，面积为5的正方形．。

第一章勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-北师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、在直角三角形中，两条直角边的长分别为12和5，则斜边上的中线长是（）A.6.5B.8.5C.13D.2、等腰三角形的腰长为，底长为，则其底边上的中线长为（）．A. B. C. D.3、如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为，则点E的坐标为（）A. B. C. D.4、如图，A、B、C分别是小正方形的三个顶点，且每个小正方形的边长均为1，则sin∠BAC的值为（）A. B. C.1 D.5、如图，在▱OABC中C（2，0），AC⊥OC，反比例函数y= （k＞0）在第一象限内的图象过点A，且与BC交于点D，点D的横坐标为3，连接AD，△ABD的面积为，则k的值为（）A.4B.5C.D.6、小明量得家中的彩电屏幕的长为58厘米，宽为46厘米，你能判断这是一台多少英寸的电视机。

（）A.9英寸（23厘米）B.21英寸（54厘米）C.29英寸（74厘米） D.34英寸（87厘米）7、下列各组数据中，不能构成直角三角形的一组数是（）A.9，12，15B.0.2，0.3，0.4C. ，1，D.40，41，98、直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，则斜边上的高线的长为（）A. cmB.13cmC. cmD. cm9、如图，是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A.5≤a≤12B.5≤a≤13C.12≤a≤13D.12≤a≤1510、如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB⊥AC，∠DAC=45°，AC=2，则BD的长为（）A.6B.2C.D.311、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，下列说法中正确的个数是（）①AC•BC=AB•CD ②AC2=AD•DB ③BC2=BD•BA ④CD2=AD•DB．A.1个B.2个C.3个D.4个12、下列各数为边不能组成直角三角形的一组是（）A.15，12，9B. ，2，C.8，15，17D. ，2，13、如图，已知一商场自动扶梯的长l为13米，高度h为5米，自动扶梯与地面所成的夹角为θ，则tanθ的值等于（）A. B. C. D.14、如图是由5个正方形和5个等腰直角三角形组成的图形，已知③号正方形的面积是1，那么①号正方形的面积是（）A.4B.8C.16D.3215、如图，⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则⊙O的半径长为（）A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，已知中，为直径，平分，弦，则半径的为________ .17、如图，已知点A（0，3），B（4，0），点C在第一象限，且AC=5 ，BC=10，则直线OC的函数表达式为________．18、如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地经过C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC=10千米，∠B=45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走________千米．19、如图，在长方形ABCD中，DC＝6cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在BC边上的点F处，若△ABF的面积为24cm2，那么折叠的△ADE的面积为________.20、Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，AC=4cm，BC=3cm，则CD=________．21、一直角三角形的两条直角边长分别为12、5,则斜边上的中线长是________22、如图，△ABC内接于⊙O，半径为5，BC=6，CD⊥AB于D点，则tan∠ACD的值为________．23、如图,在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为________．24、如图，在平面直角坐标系中，点A，A1， A2，……在工轴上，点P，P1 ， P2 ，在直线l：y=kx+ (k>0)上，∠OPA=90°，点P(1，1) ，A(2，0)，且AP1，A1P2，……均与OP平行，A1P1， A2P2，……均与AP平行，则有下列结论：①直线AP1的函数解析式为y=x-2；②点P2的纵坐标是；③点P2021的纵坐标为( )2021。

八（上）第一章 勾股定理单元检测班级_______ 姓名_______ 分数________一、填空题（每题3分，共24分）1．三角形的三边长分别为 a 2＋b 2、2ab 、a 2－b 2（a 、b 都是正整数），则这个三角形是（ ）A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定2．若△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 2＋b 2＋c 2十338＝10a ＋24b ＋26c ，则△ABC 的面积是（ ）A.338B.24C.26D.303．若等腰△ABC 的腰长AB ＝2，顶角∠BAC ＝120°，以 BC 为边的正方形面积为（ ） A.3 B.12 C.427 D.3164．△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ） A.42 B.32 C.42 或32 D.37 或 335．直角三角形三条边的比是3∶4∶5.则这个三角形三条边上的高的比是（ ）A.15∶12∶8B. 15∶20∶12C. 12∶15∶20D.20∶15∶126．在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4.以斜边AB 为直径作半圆，则这个半圆的面积等于（ ）A.258π B. 254π C. 2516πD.25π 7．如图1，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ）A.2cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm图1D 18cm图2B8．如图2，一个圆桶儿，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫底部点A爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）（）A.20cmB.30cmC.40cmD.50cm二、填空题（每小题3分，共24分）9．在△ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是＿＿＿．10．一个长方体同一顶点的三条棱长分别是3、4、12，则这个长方体内能容下的最长的木棒为＿＿＿.11．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝60cm，CA＝80cm，一只蜗牛从C点出发，以每分20cm的速度沿CA→AB→BC的路径再回到C点，需要＿＿＿分的时间．12．如图3，一艘船由岛A正南30海里的B处向东以每小时20海里的速度航行2小时后到达C处.则AC间的距离是＿＿＿．13．在△ABC中，∠B＝90°，两直角边AB＝7，BC＝24，三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离是＿＿＿．14．已知两条线段长分别为5cm、12cm，当第三条线段长为＿＿＿时，这三条线段可以组成一个直角三角形，其面积是＿＿＿．15．观察下列一组数：列举：3、4、5，猜想：32＝4+5；列举：5、12、13，猜想：52＝12+13；图3 列举：7、24、25，猜想：72＝24+25；…………列举：13、b、c，猜想：132＝b+c；请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b＝＿＿＿，c＝＿＿＿.16．已知：正方形的边长为1.（1）如图4（a ），可以计算出正方形的对角线长为2；如图（b），两个并排成的矩形的对角线的长为＿＿＿；n个并排成的矩形的对角线的长为＿＿＿.（2）若把（c）（d）两图拼成如图5“L”形，过C作直线交DE于A，交DF于B .若DB ＝53，则 DA 的长度为＿＿＿．三、解答题（共58分）17．如图6，折叠长方形一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，BC ＝10cm ，AB ＝8cm ，求：(1)FC 的长；(2)EF 的长．18．为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图7所示AB 所在的直线建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C 和点D 处，CA ⊥AB 于A ，DB ⊥AB 于B ，已知AB ＝25km ，CA ＝15km ，DB ＝10km ，试问：图书室E 应该建在距点A 多少km 处，才能使它到两所学校的距离相等?19．一艘渔船正以30海里／时的速度由西向东追赶渔群，在A 处看见小岛C 在船北偏东 60°.40分钟后，渔船行至 B 处，此时看见小岛 C 在船的北偏东30°，已知小岛C 为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续航行（追赶鱼群），是否有进入危险区的可能？图5EF BCAD图4（a ） （b ） （c ） （d ）图6图7E DCBA20．在Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，P、Q在AB上，且∠PCQ＝45°试猜想分别以线段AP、BQ、PQ为边能组成一个三角形吗？若能试判断这个三角形的形状．21．如图8，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合)，在AD上适当移动三角板顶点P：图8①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由．②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE＝2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由．参考答案一、1．A 2．D 3．B 4．C 5．D.提示：由三角形面积公式，可得12·AB ·CD ＝12·BC ·AC .设BC ＝3k ，AC ＝4k ，AB ＝5k ，则5k ·CD ＝2k ·4k .所以CD ＝135k .所以AC ∶BC ∶CD ＝4k ∶3k ∶125k ＝20∶15∶12；6．A.提示：在Rt △ABC 中，由勾股定理可以得到AB 2＝42+32＝25，所以AB ＝5.所以半圆的面积S ＝12π252⎛⎫ ⎪⎝⎭＝258π；7．B 8．B.二、9．108 10．13 11．12 12．由勾股定理，可以得到AB 2+BC 2＝AC 2，因为AB＝30，BC ＝20×2＝40，所以302+202＝AC 2，所以AC ＝50，即AC 间的距离为50海里；13．314．13cm ，30cm 2或522 15．84、85 16、52. 三、17．(1)在Rt △ABC 中，由勾股定理可以得到AF 2＝AB 2+BF 2，也就是 102＝82+BF 2.所以BF ＝6，FC ＝4(cm) (2)在Rt △ABC 中，由勾股定理，可以得到EF 2＝FC 2+(8－EF )2.也就是EF 2＝42+(8－EF )2.所以EF ＝5(cm)18．10米；19．设小岛C 与AB 的垂直距离为a ，则易求得a 2＝300＞102，所以这艘渔船继续航行不会进入危险区；20．能组成一个三角形，且是一个以PQ 为斜边的直角三角形.理由是：可将△CBQ 绕点C 顺时针旋转90°，则CB 与CA 重合，Q 点变换到Q ′点，此时，AQ ′＝BQ ，△APQ ′是直角三角形，即AP 2＋AQ ′2＝PQ ′2，另一方面，可证得△CPQ ′≌△CPQ （SAS ），于是，PQ ′＝PQ ，则AP 2＋BQ 2＝PQ 2.21．①能.设AP ＝x 米，由于BP 2＝16+x 2，CP 2＝16+(10－x )2，而在Rt △PBC 中，有BP 2+ CP 2＝BC 2，即16+x 2+16+(10－x )2＝100，所以x 2－10x +16＝0，即(x －5)2＝9，所以x －5＝±3，所以x ＝8，x ＝2，即AP ＝8或2，②能.仿照①可求得AP ＝4.第一章勾股定理单元检测题班级_____ 姓名_____ 分数_____一、选择题（每小题3分，共30分）1．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( ) A ．7，24，25 B ．321，421，521 C ．3，4，5 D ．4，721，821 2．如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( ) A ．1倍 B ．2倍 C ．3倍 D ．4倍 3．在下列说法中是错误的（ ）A ．在△ABC 中，∠C ＝∠A 一∠B ，则△ABC 为直角三角形B ．在△ABC 中，若∠A ∶∠B ∶∠C ＝5∶2∶3则△ABC 为直角三角形 C ．在△ABC 中，若a ＝53c ，b ＝54c ，则△ABC 为直角三角形 D ．在△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝2∶2∶4，则△ABC 为直角三角形4．四组数:①9，12，15；②7，24，25；③32，42，52；④3a ，4a ，5a (a ＞0)中，可以构成直角三角形的边长的有( )A ．4组B ．3组C ．2组D ．1组5．三个正方形的面积如图1，正方形A 的面积为（ ） A ． 6 B ． 36 C ． 64 D ． 86．一块木板如图2所示，已知AB ＝4，BC ＝3，DC ＝12，AD ＝13，∠B ＝90°，木板的面积为( )A ．60B ．30C ．24D ．127．直角三角形的两直角边分别为5cm ，12cm ，其中斜边上的高为（ ） A ．6cm B ．8．5cm C ．1330cm D ．1360cm8．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm ，另一只朝左挖，每分钟挖6cm ，10分钟之后两只小鼹鼠相距（ ）A ．50cmB ．100cmC ．140cmD ．80cm9．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m ，当它把绳子的下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （ ）A ．8cmB ．10cmC ．12cmD ．14cm10．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝40，CB ＝9，M 、N 在AB 上且AM ＝AC ，BN ＝BC ，则MN 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 二、填空题（每小题3分，共30分）A DBC图211．在△ABC中，∠C＝90°，若a＝5，b＝12，则c＝＿＿＿．12．在△ABC中，∠C＝90°，若c＝10，a∶b＝3∶4，则ab＝．13．等腰△ABC的面积为12cm2，底上的高AD＝3cm，则它的周长为＿＿＿．14．等边△ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为＿＿＿．15．直角三角形三边是连续整数，则这三角形的各边分别为＿＿＿．16．在Rt△ABC中，斜边AB＝2，则AB2+BC2+CA2＝＿＿＿．17．有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了＿＿＿米．18．一座桥横跨一江，桥长12m，一般小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸以后，发现已偏离桥南头5m，则小船实际行驶＿＿＿m．19．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是＿＿＿．20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，中线BE＝13，另一条中线AD2＝331，则AB＝＿＿＿．三、解答题（每小题8分，共40分）21．某车间的人字形屋架为等腰△ABC，跨度AB＝24m，上弦AC＝13m．求中柱CD （D为底AB的中点）．22．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺．求竹竿高与门高．23．如图3，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，已知旗杆原长16m，你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗？请你试一试．图3OB′图4BAA′24．如图4所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m．现将梯子的底端A向外移动到A′,使梯子的底端A′到墙根O的距离为3m，同时梯子的顶端B下降到B′，那么BB′也等于1m吗?25．在△ABC中，三条边的长分别为a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2+1(n＞1，且n 为整数)，这个三角形是直角三角形吗？若是，哪个角是直角？与同伴一起研究．参考答案：A卷：一、1．B2．B3．D4．B5．B6．C7．D8．B9．C10．C二、11．1312．4813．1814．1215．3、4、516．817．518．1319．2400 20．20三、21．5米22．设门高为x尺，则竹杆长为(x+1)尺，依题意由勾股定理，得x2+42＝(x+1)2，解得x＝7．5，所以门高为7．5尺，则竹杆长为8．5尺．23．设旗杆在离底部x m位置断裂，则根据题意，得(x+1)2－x2＝64，解得x＝6，即旗杆在离底部6m位置断裂．cb a cba ED CBACABcb a24．在Rt △ABO 中，梯子AB 2＝AO 2+BO 2＝22+72＝53．在Rt △A ′B ′O 中，梯子A ′B ′2＝53＝A ′O 2+B ′O 2＝32+B ′O 2，所以，B ′O＞2×3＝6．所以BB ′＝OB －OB ′＜1．25．因为a 2＝n 4－2n 2+1，b 2＝4n ，c 2＝n 4+2n 2+1，a 2+b 2＝c 2，所以△ABC 是直角三角形，∠C 为直角．北师大版八年级数学上册第一章 勾股定理 提高培优讲义：勾股定理、逆定理及应用 基础知识梳理模块一：勾股定理及证明 1．勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别是a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=． 即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 注：勾——较短的边、股——较长的直角边、弦——斜边． 2．勾股定理的证明： （1）弦图证明DC BAGF E H内弦图 外弦图221()42ABCD S a b c ab =-=+⨯正方形 221()42EFGH S c a b ab ==-+⨯正方形∴222a b c += ∴222a b c += （2）“总统”法（半弦图）如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形：2()()112222ABCD a b a b S ab c +-==⨯+梯形∴222a b c += 3．勾股数：满足222a b c +=的三个正整数，称为勾股数．（1）3、4、5；6、8、10；9、12、15；12、16、20；15、20、25等．（2）(,,)a b c 是组勾股数，则(,,)ka kb kc （k 为正整数）也是一组勾股数. （3）3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；11、60、61等 （4）21a n =+，222b n n =+，2221c n n =++（n 为大于1的自然数） （5）22a m n =-，2b mn =，22c m n =+（m n >，且m 和n 均为正整数） 模块二：勾股定理逆定理及应用 1．勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么前两边的夹角一定是直角．即在ABC △中，如果222AC BC AC +=，那么ABC △是直角三角形．2．勾股定理的常见题型． 模块三：例题精讲（1）勾股证明的方法成百上千种，其中《几何原本》中的证法非常经典，是在一个我们非常熟悉的几何图形中实现的（如图所示），如果直角三角形ABC 的三边长为a ，b ，c （c 为斜边），以这三边向外作三个正方形，试利用此图证明222a b c +=．cbaNMHFE DCBAABCEFHMNP（2）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为__________．【解析】（1）如上图可知：ACF ADB △△≌，2ACED ADB S S =正方形△，2AFGP ACF S S =矩形△，∴2AFGP b S =矩形，同理2GHBP a S =矩形，∴222a b c +=． （2）49cm 2．（1）若把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ）． A ．1倍 B ．2倍 C ．3倍 D ．4倍（2）若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为________．（3）下面几组数：①7，8，9；②12，9，15；③22m n +，22m n -,2mn （m ，n 均为正整数，m n >）；④2a ，21a +，22a +．其中能组成直角三角形的三边长的是（ ）．A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④【解析】（1）B ；（2）可知三边为3，4，5，所以周长为12； （3）B ；容易知道①错误②正确，对于③，由2224224()2m n m m n n -=-+，222(2)4mn m n =，2224224()2m n m m n n +=++所以2222422422222()(2)(2)4()m n mn m m n n m n m n -+=-++=+． 所以，以这三条线段的长为边的三角形是直角三角形．答案选B ．ABC △中，BC a =，AC b =，AB c =．若90C ∠=︒，如图3-1，根据勾股定理，则222a b c +=．若ABC △不是直角三角形，如图3-2，90C ∠<︒；如图3-3，90C ∠<︒．请你类比勾股定理，试猜想22a b +与2c 的关系，并证明你的结论．图1a b c a b c cb a A BCA B C C B Aa bca bcA ABC C Ba bcABC B图3-1 图3-2 图3-3【解析】图2猜想：222a b c +>．证明：过点A 作AD BC ⊥于D ，设CD x =，222AD b x =-， 22222222()()2c a x b x a ax x b x =-+-=-++-， 即22220a b c ax +-=>，故222a b c +>． 图3猜想：222a b c +<．证明：过B 作BD AC ⊥，交AC 的延长线于D ． 设CD 为x ，则有222BD a x =-．根据勾股定理，得2222()b x a x c ++-=． 即2222a b bx c ++=，∵0b >，0x >，∴20bx >，∴222a b c +<．（1）如果直角三角形的两边长为4、5，则第三边长为________．（2）如果直角三角形的三边长为10、6、x ，则最短边上的高为________．（3）若|1|0a b --=，则以a 、b 为边的直角三角形的第三边为________．在ABC △中，15AB =，13AC =，高12AD =，则三角形的周长是_________．【解析】32或42．DabcACBDa bcABC【提示】题型：已知三角形的两边及第三边高求第三边，B 卷填空必考题，一般题目无图，为易错题，切记要分类讨论,分形内高和形外高．（1）如图6-1，四边形ABCD 中，AB BC ⊥，1AB =，2BC =，2CD =，3AD =，求四边形ABCD 的面积．（2）如图6-2，在四边形ABDC 中，BD CD ⊥，6BD =，8CD =，24AB =，26AC =，求该四边形面积．ABC DDCB A图6-1 图6-2（2）96．四边形ABDC 的面积为96． 连接BC ，根据勾股定理可得10BC =，因为222BC AB AC +=，所以ABC △为直角三角形，故四边形ABDC 的面积1202496ABC BCD S S S =-=-=△△．（1）如图，梯子AB 长2.5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 位置，BD 长0.5米，则梯子顶端A 下落了________米．（2）梯子靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离2米，梯子的顶端B 到地面的距离为7米，现将梯子的底端向外移动到C ，使梯子底端C 到墙根O 的距离等于3米，同时梯子的顶端B 下降至D ，那么BD （ ）A ．等于1米B ．大于1米C ．小于1米D ．以上结果都不对（3）如图，梯子AB 斜靠在墙面上，AC BC ⊥，AC BC =，当梯子的顶端A 沿AC 方向下滑x 米时，梯子B 沿CB 方向滑动y 米，则x 与y 的大小关系是（ ） A ．x y = B ．x y >C ．x y <D ．不确定【解析】（1）0.5；（2）C ；（3）选B ，设AC BC a==米，化简得222()0a x y x y -=+>，x y >．EAB CD（1）若直角三角形斜边长为4，周长为432+，则三角形面积等于________．（2）如图，ABC △中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，若455AD =，25BC =，请求出ABC △的周长．【解析】（1）12； （2）222(25)45255AB AC AB AC ⎧+=⎪⎨⨯=⨯⎪⎩，解得6AB BC +=，625ABC C =+△．（1）已知9-1，如图所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，如果8cm AB =，10cm BC =，求EC 的长．（2）如图9-2，已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在'C 处，'BC 交AD 于E ，16AD =，8AB =，则DE 的长度为________．（3）如图9-3，矩形纸片ABCD 的长9cm AD =，宽3cm AB =，沿EF 将其折叠，使点D 与点B 重合，则折痕EF 的长为________cm ．EDC'C BA图9-1 图9-2 图9-3【解析】（1）由题意得，10cm AF AD ==．在ABF △中，应用勾股定理得，6cm BF =． 所以1064FC BC BF cm =-=-=．在CEF △中，应用勾股定理，设cm EC x =， 得222(8)4x x -=+．解得3x =，即3cm EC =． （2）设ED x =，因为CBD EBD EDB ∠=∠=∠， 则EB ED x ==，16AE AD ED x =-=-， 在Rt E AB △中，由勾股定理可得：222(16)8x x +=-，∴10x =，即10DE =．（3）设AE x =，因为BEF DEF BFE ∠=∠=∠， 则9BE DE B x F ===-，根据勾股定理得：222AB AE BE +=，即222239(9)x x x +=+=-，解得：4x =；∴4AE =，∴5DE BF ==，∴4CF DM ==，∴1EM =，根据勾股定理得：EF ==；若0x >，0y >且12x y +=【解析】如下图，不妨设12AB =，AC AB ⊥，BD AB ⊥，2AC =，3BD =，y 2+9x 2+432y xPDC B AD CA P为线段AB 上的动点，AP x =，于是PB y =，PC，PD 问题转化为求点C ，D 之间距离的最小值．当P ，C ，D 三点不共线时，有PC PDCD +>；当P ，C ，D 共线时，PC PD CD +=． 于是点C ，D 13．【教提示】数形结合，几何构造，将军饮马．模块四：课后作业设计1、如图1-1，分别以直角三角形A 、B、C 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用1S 、2S 、3S 表示，则不难证明123S S S =+．） （1）如图1-2，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用1S 、2S 、3S 表示，那么1S 、2S 、3S 之间有什么关系？（不必证明）（2）如图1-3，分别以直角三角形A 、B 、C 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用1S 、2S 、S 表示，请你确定S 、S 、S 之间的关系并加以证明．B C S 1S 2图图图1A B C S 1S 3S 2图图2A BCS 1S 3S 2图3图1-1图1-2图1-3【解析】（1）设BC 、CA 、AB 长分别为a 、b 、c ，则222c a b =+，123S S S =+；（2）123S S S =+．证明如下：显然，21S =，22S =，23S ，AB D C∴22223133()44S S a b c S +=+==． 【点评】分别以直角三角形ABC 三边为一边向外作“相似形”，其面积对应用1S 、2S 、3S 表示，则123S S S =+（设斜边所做图形面积为1S ）．2、已知a ，b ，c 是三角形的三边长，222a n n =+，21b n =+，2221c n n =++（n 为大于1的自然数），试说明ABC △为直角三角形．【解析】因为222212221n n n n n ++>+>+，222222(221)(22)441(21)n n n n n n n ++-+=++=+．所以22222(21)(22)(221)n n n n n +++=++，所以ABC △为直角三角形．3、如图，四边形ABCD 中，6cm AB =，8cm BC =，24cm CD =，26cm DA =，且90ABC ∠=︒，则四边形ABCD 的面积是（ ）cm 2．A ．336B ．144C ．102D ．无法确定【解析】答案：B ．连接AC ，运用勾股定理逆定理．4、如图，一根长5米的竹篙AB 斜靠在与地面垂直的墙上，顶端A 距离墙根4米，若竹篙顶端A 下滑1米，则底端B 向外滑行了多少米？【解析】设竹篙顶端下滑1米到1A 点，底端向外滑行到1B 点．由题意得AA 1=1m ，113m AC AC AA =-=， 在11Rt ACB △中：2211114m B C A B AC -， 在Rt ABC △中：223m BC AB AC =-=， 111BB B C BC m =-=，即竹篙顶端A 下滑1米，则底端B 向外滑行了1米．5、（1）（在ABC △中15AB =，13AC =，高12AD =，则ABC S =△_______．（2）如图，ABC △中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，若3AD =，23BC =ABC △的周长为________．【解析】（1）24或84（分类讨论：行外高和行内高，对应例5）ABC（2）423+．（对应例8考查直角三角形与知二推二综合）．6、（1）如图6-1，已知ABC △是直角边长为1的等腰直角三角形，以Rt ABC △的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt ACD △，再以Rt ACD △的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt ADE △，……，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是________．（2）如图6-2，矩形ABCD 中，5cm AB =，3cm BC =，如图所示折叠矩形纸片ABCD ，使D 点落在边AB 上一点E 处，折痕端点G 、F 分别在边AD 、DC 上，则当折痕端点F 恰好与C 点重合时，AE 的长为________cm ．GFED CB A图6-1 图6-2（3）若0x >，0y >且15x y +=2264144x y ++________．【解析】（1）由题意可得：第1个等腰直角三角形，ABC △中，斜边长1AB BC ==，22112AC+＝＝； 第2个等腰直角三角形，ACD △中，斜边长2222(2)AD AC CD =+==； 第3个等腰直角三角形，ADE △中，斜边长22322(2)AE AD DE =+=； 依此类推，……第n 个等腰直角三角形中，斜边长为(2)n ． （2）F 点与C 点重合时（如图），∵在矩形ABCD 中，5AB =，3BC =， ∴5CD AB ==，90B ∠=︒，由折叠的性质可得：5CE CD ==， ∴224CE BE BC -=， ∴1AE AB BE =-=．（3）答案：25（对应例题10，几何构造）．北师大版八年级数学上册 第一章 勾股定理 章末培优卷一、选择题：（共30分）1、一个圆柱形铁桶的底面半径为12cm ，高为32cm ，则桶内所能容下的木棒最长为（ ）A ．20cmB ．50cmC ．40cmD ．45cm2、已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长为A. 4B. 16C.D. 4或3、如图，正方形ABCD 的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH ，则线段GH 的平方为（ ）A 2524 B. 8 C. 25196 D.5 4、如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面8m ，树的顶端离树根6m ，则这棵树在折断之前的高度是（ ） A．18mB ．10mC ．14mD ．24m5、如图，在4×4方格中作以AB 为一边的Rt △ABC ，要求点C 也在格点上，这样的Rt △ABC 能作出（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．6个二、填空题（共24分）11、ABC ∆的三边长c b a ,,满足：03018)602(2=-+-+-+c b b a ，则ABC ∆是 三角形；12、如图，在平行四边形A BCD 中，C A ⊥A B ，若A B=3，BC=5，则平行四边形A BCD 的面积为 。

第一章勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-北师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、△ABC中，如果两条直角边分别为3，4，则斜边上的高线是（）A. B. C.5 D.不能确定2、如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点A、B，并使AB 与车轮内圆相切于点D，半径为OC⊥AB交外圆于点C．测得CD=10cm，AB=60cm，则这个车轮的外圆半径是（）A.10cmB.30cmC.60cmD.50cm3、已知直角三角形两边长x、y满足，则第三边长为（）A.5B.C.5或D. 或4、如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC 和△A′B′C′拼在一起，其中点 A′与点A 重合，点 C′落在边 AB 上，连接 B′C．若∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，则 B′C 的长为( )A. B.6 C. D.5、已知圆锥的底面的半径为3cm，高为4cm，则它的侧面积为（）A.15πcm 2B.16πcm 2C.19πcm 2D.24πcm 26、下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( )A.2，3，4B.4，6，8C.6，8，10D.5，11，127、如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（）A.48B.60C.76D.808、如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=3，BE=4，则阴影部分的面积是（）A.12B.15C.19D.209、下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（）．A.6，7，8B.5，6，7C.4，5，6D.3，4，510、如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B 恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为（）A. 米B. 米C.( 米D.3 米11、平面直角坐标系中，直线y=(2m-3)x-2m+5与以坐标原点为圆心的⊙O交于A、B两点，⊙O的半径为3，则AB最小值为（）A. B.3 C.4 D.12、在Rt中，∠B＝90°，AC＝5，AB＝3，则的值为（）.A. B. C. D.13、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（）A. B.2 C.6 D.814、如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF,再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH……,如此下去，则第2017个正方形的边长是（）A. B. C. D.15、下列四组数据表示三角形的三边长,其中不能构成直角三角形的一组数据是( )A.1 cm, cm, 4cmB.5cm, 12cm, 13cm:C.3cm, 4cm,5cm: D.7cm, 24cm, 25 cm二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，为正方形的对角线，延长到，使，以为一边作菱形，若菱形的面积为，则正方形边长________．17、⊙O的半径为1，弦AB= ,点C是圆上异于A、B的一动点，则∠ACB=________.18、如图为一个半径为5m的圆形广场，其中放有六个宽为m的长方形临时摊位，这些摊位均有两个顶点在广场边上，另两个顶点紧靠相邻摊位的顶点，则每个长方形摊位的长为________m.19、如图，等边△ABC的边长为8，D、E分别是BC、AC边的中点，过点D作DF⊥AB于F，连接EF，则EF的长为________.20、如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的边长是________。

八年级数学 勾股定理单元测试（时间：100分钟 总分：120分）班级 学号 姓名 得分一、相信你一定能选对！（每小题4分，共32分）1. 三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( )A . 6B . 4.5C . 2.4D . 82. 下面几组数:①7,8,9；②12,9,15；③m 2 + n 2, m 2–n 2, 2mn （m ，n 均为正整数,m >n ）；④2a ,12+a ,22+a .其中能组成直角三角形的三边长的是( ) A . ①② B . ②③ C . ①③ D . ③④3. 三角形的三边为a 、b 、c ，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）A ．a :b :c=8∶16∶17B ． a 2-b 2=c 2C ．a 2=(b+c)(b-c)D ． a :b :c =13∶5∶124. 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A . 等边三角形B . 钝角三角形C . 直角三角形D . 锐角三角形. 5．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（ ） A ．5 B ．25 C ．7 D ．5或76．已知Rt △ABC 中，∠C =90°，若a +b =14cm ，c =10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ）A. 24cm 2B. 36cm 2C. 48cm 2D. 60cm27．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）A ．121B ．120C ．90D ．不能确定8. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（ ）A ．600米B . 800米C . 1000米 D. 不能确定 二、你能填得又快又对吗？（每小题4分，共32分）9. 在△ABC 中，∠C=90°， AB ＝5，则2AB +2AC +2BC =_______． 10. 如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成.如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的和等于．11．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______． 12．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________．13． 如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有______第10题图第13题图第14题图第15题图米.14．如图所示，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为．15．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到A’，使梯子的底端A’到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至B’，那么BB’的值：①等于1米；②大于1米5；③小于1米.其中正确结论的序号是．16.小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐,河水的深度为 .三、认真解答，一定要细心哟！（共72分）17．（5分）右图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别画出一条长度是有理数的线段和一条长度是无理数的线段．18．（6分）已知a、b、c是三角形的三边长，a＝2n2＋2n，b＝2n＋1，c＝2n2＋2n＋1（n为大于1的自然数）,试说明△ABC为直角三角形.19．（6分）小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竿比城门高1米，当他把竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竿长多少米？20.（6分）如图所示,某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走4km，又往北走1.5km，遇到障碍后又往西走2km ，再折回向北走到4.5km 处往东一拐，仅走0.5km 就找到宝藏。

勾股定理单元检测试题邮编：518052 地址：某某市南山区常兴南路荔香中学数学组 作者：钟国雄（中国数学奥林匹克一级教练，中学高级教师）一、选择题（每题3分,共18分）1.下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ）（A ）1,2,3 （B ）2,3,4 （C ）3,4,5 （D ）4,5,6 解：因为222345+=，故选（C ）2．在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为12，那么这个 直角三角形的面积是（ ）（A ）30 （B ）40 （C ）50 （D ）60解：由勾股定理知，另一条直角边的长为2213125-=，所以这个直角三角形的面积为1125302⨯⨯=.3．如图1,一架长的梯子AB ,斜靠在一竖直的墙AC 上,这时梯足B 到墙底端C 的距离为,如果梯子的顶端下滑,则梯足将向外移( ) (A) (B) (C) (D)解:依题设11 2.5,0.7AB A B BC ===.在Rt ABC ∆中,由勾股定理,得22222.50.7 2.4AC AB BC =-=-= 由12.4,0.4AC AA ==,得11 2.40.42AC AC AA =-=-=. 在11Rt A B C ∆中,由勾股定理,得222211112.52 1.5B C A B AC =-=-= 所以11 1.50.70.8BB B C BC =-=-=故选(C)4．直角三角形有一条直角边的长是11，另外两边的长都是自然数，那么它的周长是（ ）（A ）132 （B ）121 （C ）120 （D ）以上答案都不对 解：设直角三角形的斜边长为x ,另外一条直角边长为y ,则x y >.由勾股定理,得22211x y =+.图1因为,x y 都是自然数，则有()()1211211x y x y +-==⨯. 所以121,1x y x y +=-=.因此直角三角形的周长为121+11=132. 故选（A ）5．直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（ ）（A ）22d S d ++ （B ）2d S d -- （C ）222d S d ++ （D ）22d S d ++ 解:设两直角边分别为,a b ,斜边为c ,则2c d =,12S ab =. 由勾股定理,得222a b c +=.所以()222222444a b a ab b c S d S +=++=+=+. 所以22a b d S +=+.所以a b c ++=222d S d ++. 故选（C ）6.直角三角形的三边是,,a b a a b -+,并且,a b 都是正整数,则三角形其中一边的长可能是( )（A ）61 （B ）71 （C ）81 （D ）91 解:因为a b a a b +>>-.根据题意,有()()222a b a b a +=-+. 整理,得24a ab =.所以4a b =. 所以3,5a b b a b b -=+=.即该直角三角形的三边长是3,4,5b b b .因为只有81是3的倍数. 故选（C ） 二、填空题（每题3分,共24分）7. 如图2，以三角形ABC ∆的三边为直径分别向三角形外侧作半圆，其中两个半圆的面积和等于另一个半圆的面积，则此三角形的形状为_____. 解:根据题意，有123S S S +=，即222111222222a b c πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 整理,得222a b c +=.图2故此三角形为直角三角形.8. 在Rt ABC ∆中,3,5a c ==,则边b 的长为______.解：本题在Rt ABC ∆中，没有指明哪一个角为直角，故分情况讨论：当C ∠为直角时,c 为斜边，由勾股定理,得222a b c +=， ∴2222534b c a =-=-=；当C ∠不为直角时,c 是直角边，b 为斜边，由勾股定理，得222a c b +=， ∴22223534.b a c =+=+= 因此,本题答案为4或34.9.如图3,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行_____米.解：由勾股定理，知最短距离为()()222288210BD AC AB CD =+-=+-=.10.如图4，已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以ABC ∆的各边为边在ABC ∆外作三个正方形，123,,S S S 分别表示这三个正方形的面积，1281,225S S ==，则3_____.S = 解：由勾股定理，知222AC BC AB +=，即123S S S +=，所以3114S =．11．如图5,已知，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，从直角三角形两个锐角顶点所引的中线的长5,210AD BE ==，则斜边AB 之长为______.解：AD 、BE 是中线，设,BC x AC y ==，由已知，5,25AD BE ==，所以222240,25.22y x x y ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两式相加，得()225654x y +=，所以2252213.AB x y =+== 12.如图6，在长方形ABCD 中，5DC cm =,在DC 上存在一点E ,沿直线AE 把AED ∆折叠，使点D 恰好落在BC 边上，设此图5图4图3点为F ，若ABF ∆的面积为230cm ,那么折叠AED ∆的面积为_____. 解:由折叠的对称性,得,AD AF DE DF ==. 由130,52ABF S BF AB AB ∆=⋅==,得12BF =. 在Rt ABF ∆中,由勾股定理,得2213AF AB BF =+=.所以13AD =. 设DE x =,则5,,1EC x EF x FC =-==.在Rt ECF ∆中,222EC FC EF +=,即()22251x x -+=.解得135x =. 故()211131316.9225ADE S AD DE cm ∆=⋅=⨯⨯=. 13.如图7，已知：ABC ∆中，2BC =， 这边上的中线长1AD =，13AB AC +=+，则AB AC ⋅为_____.解:因为AD 为中线，所以1BD DC AD ===,于是1,2C B ∠=∠∠=∠.但12180C B ∠+∠+∠+∠=︒,故()212180,1290∠+∠=︒∠+∠=︒,即90BAC ∠=︒.又13AB AC +=+,两边平方,得222423AB AC AB AC ++⋅=+.而由勾股定理,得224AB AC +=. 所以24AB AC ⋅=.故2AB AC ⋅=.即2AB AC ⋅=.14．在ABC ∆中,1AB AC ==,BC 边上有2006个不同的点122006,,P P P ,记()21,2,2006i i i i m AP BP PC i =+⋅=,则122006m m m ++=_____.解:如图8,作AD BC ⊥于D ,因为1AB AC ==,则BD CD =. 由勾股定理,得222222,AB AD BD AP AD PD =+=+.所以()()2222AB AP BD PD BD PD BD PD BP PC -=-=-+=⋅.所以2221AP BP PC AB +⋅==. 因此2122006120062006m m m ++=⨯=.三、解答题（每题10分,共40分）图8图715．如图9，一块长方体砖宽5AN cm =，长10ND cm ==，CD 上的点B 距地面的高8BD cm =，地面上A 处的一只蚂蚁到B 处吃食，需要爬行的最短路径是多少？【解】如图9，在砖的侧面展开图10上，连结AB ，则AB 的长即为A 处到B 处的最短路程．在Rt ABD ∆中，因为51015AD AN ND =+=+=，8BD =，所以22222215828917AB AD BD =+=+==． 所以()17AB cm =．因此蚂蚁爬行的最短路径为17cm ．16．如图11所示的一块地，90ADC ∠=︒，12AD m =，9CD m =，39AB m =，36BC m =，求这块地的面积S ．解：连结AC ，在Rt ACD ∆中，由勾股定理，得222AC AD DC =+，即222129AC =+，所以15AC =．在ABC ∆中，由22222153639AC BC +=+=，即222AC BC AB +=． 所以ABC ∆为直角三角形，90ACB ∠=︒．所以()211153612921622ABC ADC S S S m ∆∆=-=⨯⨯-⨯⨯=．所以这块地的面积为2216m ．17．如图12所示，在Rt ABC ∆中,90,,45BAC AC AB DAE ∠=︒=∠=︒图9 图10图11,且3BD =,4CE =,求DE 的长.图12答图13解:如图13,因为ABC ∆为等腰直角三角形,所以45ABD C ∠=∠=︒. 所以把AEC ∆绕点A 旋转到AFB ∆,则AFB AEC ∆≅∆. 所以4,,45BF EC AF AE ABF C ===∠=∠=︒.连结DF . 所以DBF ∆为直角三角形.由勾股定理,得222222435DF BF BD =+=+=.所以5DF =. 因为45,DAE ∠=︒所以45DAF DAB EAC ∠=∠+∠=︒. 所以()ADE ADF SAS ∆≅∆. 所以5DE DF ==.18．ABC ∆中，,,BC a AC b AB c ===，若90C ∠=︒，如图14，根据勾股定理，则222c b a =+，若ABC ∆不是直角三角形，如图15和图16，请你类比勾股定理，试猜想22b a +与2c 的关系，并证明你的结论。