高三数学上学期9月月考试题 理（含解析）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}{}|lg 1,2,1,0,1A x y x B ==+=--，则()R C A B ⋂=（ ） A. {}2,1-- B. []2-C. []1,0,1-D. []0,1【答案】A 【解析】1x +〉0，x >-1,则{}1A x x =-，{}|1R C A x x =≤-则()R C A B ⋂= {}2,1--2.已知集合{}2|210A x ax x =++=，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值是（ ） A. 1 B. -1 C. 0或1 D. -1，0或1【答案】C 【解析】集合A 有且仅有2个子集，则集合A 中有且仅有1个元素，即使得2210ax x ++=成立的x 值只有1个，当a =0时，12x =-，满足题意，当0a ≠时，44a 0=-=,a=1 综上，a=0或a=1 故选C3.已知命题()00:,lg 310xp x R ∃∈+≤，则命题p 的否定是（ ） A. (),lg 310xx R ∀∈+≤ B. (),lg 310xx R ∀∈+< C. (),lg 310x x R ∀∈+≥ D. (),lg 310xx R ∀∈+>【答案】D 【解析】 因为,x p∃否定为,x p ∀⌝ ,所以命题p ：0x R ∃∈，()0lg 310x+≤的否定是(),lg 310x x R ∀∈+>,选D.4.“1a <”是“函数()2f x x a =-+在区间[)1,+∞上为增函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】函数()2f x x a =-+的图象为“V”字型，其对称轴为x a =，在(],a -∞上单调递减，在[),a +∞上单调递增，故“1a <”时，函数()2f x x a =-+在区间[)1,+∞上为增函数；若函数()2f x x a =-+在区间[)1,+∞上为增函数，则1a ≤，故“1a <”是“函数()2f x x a =-+在区间[)1,+∞上为增函数”的充分不必要条件，故选A.5.已知函数2211⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭f x x x x ，则()3f =（ ）A. 8B. 9C. 11D. 10【答案】C 【解析】1f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭221()2(3)3211x f x -+∴=+= ，选C.6.函数f （x ）=log 2（x+1）与g （x ）=2﹣x +1在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）A .B. C. D.【答案】B 【解析】试题分析：()()2log +1f x x =定义域为()1,-+∞，函数为增函数；()2+1xg x -=定义域为R ，函数为减函数，所以结合指数函数对数函数的性质可知B 图像正确 考点：函数性质及函数图像7.若方程230x mx -+=的两根满足一根大于1，一根小于1，则m 的取值范围是（ ） A. ()2,+∞ B. ()0,2C. ()4,+∞D. ()0,4【答案】C 【解析】令()2f x 3x mx =-+,则()f x 的零点落在()1∞-，，()1∞+，中，结合二次函数的图像有 ()f 10<，即4-m<0,所以m>4故选C8.函数()2017f x x =+2016x --的最大值为（ ） A .1-B. 1C. 4033D. 4033-【答案】C 【解析】x 2017+ x 2016--(2017)(2016)4033x x ≤+--=,选C.9.函数32()log (f x x x =+，若对任意实数,a b ，0a b +≥，则（ ） A. ()()0f a f b +≤ B. ()()0f a f b +≥ C. ()()0f a f b -≤ D. ()()0f a f b -≥【答案】B 【解析】易知函数()f x 为奇函数，且在R 上单调递增，因为0a b +≥，所以a b ≥-，则()()()f a f b f b ≥-=-，即()()0f a f b +≥.故选B.【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的综合运用.解决本题的关键在于联想到要判定函数()f x 的单调性和奇偶性，进而利用性质进行比较大小，这是一种常见题型，要多总结，多积累.10.若存在正数x 使2x（x-a ）＜1成立，则a 的取值范围是（ ） A. （-∞，+∞） B. (-2, +∞)C. (0, +∞)D. （-1，+∞）【答案】D 【解析】由题意知，存在正数x ，使12x a x >-，所以，而函数12x y x =-在(0,)+∞上是增函数，所以(0)1y y >=-，所以1a >-，故选D.【考点定位】本小题主要考查不等式、分离参变量、函数的单调性等知识，考查转化与化归等数学思想，考查分析问题以及解决问题的能力.11.已知函数()f x 为定义在[]2,1b b -上的偶函数，且在[]0,1b -上单调递增，则不等式()()21f t f t +≤-的解集为（ ）A. []1,2B. []3,5C. []1,0-D.1,13⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】函数()f x 为定义在[]2,1b b -上的偶函数，则21b b +-=0，b=-1,所以函数在[]0,2上递增，()()21f t f t +≤-，可转化为()()21f t f t +≤-，所以21t t +≤-，平方解得1t ,13⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦, 故选D点睛：已知函数的奇偶性，定义域一定关于原点对称，所以本题中b 是定值.解抽象不等式要结合奇偶性和单调性.12.若方程ln x a =有两个不等的实根1x 和2x ，则12x x +的取值范围是（ ） A. ()1,+∞B.)+∞C. ()2,+∞D. ()0,1【答案】C 【解析】方程ln x a =有两个不等的实根1x 和2x ，所以-1ln x =a,2ln x =a,相减得12ln ?ln x x +=0，所以 12x x =1，所以122x x ，+≥当12x x =时取等号，而12x x ，不等，所以12x x +>2.故选C第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（共4个小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）21log lg 252lg 28++=__________． 【答案】14 【解析】21log lg252lg28++,()()3126322213log lg 52lg 22133log 2lg 52lg 2293214⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭=-++=++= 故答案为1414.函数()21log 1y x =+的定义域为__________．【答案】()()1,00,-⋃+∞ 【解析】()210log 10x x +>⎧⎨+≠⎩ 即111x x >-⎧⎨+≠⎩ 即x>-1且x ≠ 0 故答案为()()1,00,-⋃+∞15.已知()()2log 4f x ax =-在区间[]1,3-上是增函数，则a 的取值范围__________． 【答案】()4,0- 【解析】令u(x)= 4ax -,则()()2log u x f x =,且其在()u x ∈（0，+∞）上递增，所以要使()()2log 4f x ax =-在区间[]1,3-上是增函数，则使得u(x)在[]1,3-上递增，且在[]1,3-上u(x)>0恒成立，040a a <⎧⎨+>⎩所以-4<a<0故答案为()4,0-点睛：复合函数的单调性原则是同则增异则减，分出内层函数外层函数，注意遇见外层函数是对数函数时要注意定义域.16.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，给出下列命题： ①()00f =，②若()f x 在[)0,+∞上有最小值-1，则()f x 在(],0-∞上有最大值1， ③若()f x 在[)1,+∞上为增函数，则()f x 在(],1-∞-上为减函数， ④若0x >时，()22f x x x =-，则0x <时，()22f x x x =--.其中正确的序号是： ________________． 【答案】①②④ 【解析】定义在R 上的奇函数，有()00f =，①正确；()f x 在[)0,+∞上有最小值-1，由奇函数图象关于原点对称知，()f x 在(],0-∞上有最大值，②正确；若()f x 在[)1,+∞上为增函数，由奇函数图象关于原点对称知，()f x 在(],1-∞-上也为增函数；③错误；若0x <，则0x ->，()()()2222f x x x x x -=---=+，函数为奇函数，则()()22f x f x x x =-=--，④正确．故本题应填①②④．点睛：本题主要考查函数的奇偶性,单调性.奇,偶函数首先要满足定义域关于原点对称,否则为非奇非偶函数,其次,若满足()()f x f x -=-,()()0f x f x +-=,()()1f x f x -=-中的一条,则函数为奇函数,或满足()()f x f x -=,()()0f x f x --=,()()1f x f x -=中的一条,则函数为偶函数.求函数的单调性或单调区间一定要先确定定义域,然后根据所给函数的结构特征及要求选择合适的方法求解.最后结果一定要写成区间的形式,当同增(减)区间不连续时不能用并集符号连接.特别是对于奇函数，图象关于原点对称，对于偶函数，图象关于y 轴对称．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知集合{}21|2,,|1,2x A x x a x R B x x R x -⎧⎫=-<∈=<∈⎨⎬+⎩⎭. （1）化简集合A B 、；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}{}|22,|23A x a x a B x x =-<<+=-<<；（2）01a ≤≤； 【解析】试题分析：(1)解绝对值不等式直接去掉绝对值即可，解分式不等式要化分式为整式，注意分母不为0(2){|22}A x a x a =-<<+，{|23}B x x =-<<A ⊆B ，则由数轴限制左右端点即得解. 试题解析：(1)由2x a -<,得22a x a -<<+,∴{|22}A x a x a =-<<+， 由212x x -+ <1,得32x x -+ <0,即23,{|23}.x B x x -<<∴=-<< (2)若A ⊆B ,∴2223a a -≥-⎧⎨+≤⎩⇒0⩽a ⩽1，∴01a .18.设函数()42,1log ,1x x f x x x -⎧<=⎨≥⎩.（1）求()()()()0,2,3f f ff 的值；（2）求不等式()2f x ≤的解集. 【答案】（1）()()()101,2,32f f f ===2）[]1,16- 【解析】试题分析：（1）求函数值带入解析式即得.(2)分段函数解不等式问题分段来求，当1x <时，()222x f x -≤⇔≤，解得：11x -≤<；当1x ≥时，()42log 2f x x ≤⇔≤，解得：116x ≤≤，最后求并集.试题解析：（1）()()()101,2,323f f f ===； （2）当1x <时，()222xf x -≤⇔≤，11x x <⎧⎨-≤⎩，解得：11x -≤<；当1x ≥时，()42log 2f x x ≤⇔≤ ，1016x x ≥⎧⎨≤≤⎩，解得：116x ≤≤；综上，不等式的解集为[]1,16-.19.(本小题满分10分)命题:p 函数()()2lg 1f x x ax =++的定义域为R ；命题:q 函数()221f x x ax =--在(],1-∞-上单调递减，若命题“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，求实数a 的取值范围.【答案】()[)2,12,--⋃+∞. 【解析】试题分析：p q ∨为真，p q ∧为假，则p q 、一真一假，若p 为真命题240a ⇒∆=-<，若q 为真命题1a ⇒≥-，分p 真q 假，p 假q 真两种情况进行. 试题解析：若p 为真命题240a ⇒∆=-<，∴22a -<<， 若q 为真命题1a ⇒≥-，∵p q ∨为真，p q ∧为假， ∴p q 、一真一假， ①当p 真q 假，221a a -<<⎧⎨<-⎩，∴21a -<<-；②当p 假q 真，221a a a ≤-≥⎧⎨≥-⎩或，∴2a ≥，综合①②有实数a 的取值范围为()[)2,12,--⋃+∞.20.已知函数()()2251f x x ax a =-+>.(1)若()f x 的定义域和值域均是[]1,a ，求实数a 的值；(2)若对任意的[]12,1,1x x a ∈+，总有()()124f x f x -≤，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) 2a =;(2) 13a【解析】试题分析：（1）先将函数进行配方得到对称轴，判定出函数f （x ）在[1，a]上的单调性，然后根据定义域和值域均为[1，a]建立方程组，解之即可；（2）将a 与2进行比较，将条件“对任意的x 1，x 2∈[1，a+1]，总有|f （x 1）-f （x 2）|≤4”转化成对任意的x 1，x 2∈[1，a+1]，总有f （x ）max-f （x ）min≤4恒成立即可． 试题解析：(1)∵()()()2251f x x a a a =-+->，∴()f x 在[]1,a 上是减函数，又定义域和值域均为[]1,a ，∴()()11f af a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即22125251a aa a -+=⎧⎨-+=⎩，解得2a =. (2)若2a ≥，又[]1,1x a a =∈+，且()11a a a +-≤-， ∴()()max 162f x f a ==-，()()2min 5f x f a a ==-，∵对任意的[]12,1,1x x a ∈+，总有()()124f x f x -≤，∴()()max min 4f x f x -≤，即()()26254a a ---≤，解得13a -≤≤，又2a ≥，∴23a ≤≤，若12a <<，()()2max 16f x f a a =+=-，()()2min 5f x f a a ==-，()()max min 4f x f x -≤显然成立，综上，13a <≤.21.已知实数,,x y z 满足3461x y z ==>.（1）求证：212x y z +=；（2）试比较346x y z 、、的大小. 【答案】（1）见解析（2）346x y z << 【解析】试题分析：(1) 设346,1x y zk k ===>则346log ,log ,log k k k x y z ===，根据对数的运算性质很容易证出.(2) ∵346log ,log ,log k k kx y z ===，k >1，∴34633log ,44log ,66log k k kx y z ===,采用作商法证出34x y <1,4 6yz>1,即比较出三个大小. 试题解析：(1)证明：∵实数x 、y 、z 满足3461x y z ==>， 设346,1x y zk k ===>则346log ,log ,log k k kx y z ===∴343662122log log log 2log k k k k x y z +=+=== ∴212x y z+= (2)∵346log ,log ,log k k kx y z ===，k >1，∴34633log ,44log ,66log k k k x y z === ∵464338143log 3log log 3144log 4log log 34k k k k k k x y x y===<∴< ∵64464log log 12964log 4166log 6log log 409646k k k k k k y z y z===<∴<∴3x <4y <6z .点睛：指数幂与对数的转化，运用对数的运算性质即可进行求解，熟记公式是关键,比较大小可以采用作差或作商.22.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有()()2f x f x +=-，当[]0,2x ∈时，()22f x x x =-. （1）求证：()f x 是周期函数；（2）当[]2,4x ∈时，求()f x 的解析式；（3）计算()()()()0122016f f f f ++++.【答案】（1）见解析（2）()268f x x x =-+（3）0 【解析】【详解】试题分析：（1）对任意实数x ，恒有()()2f x f x +=-得出()()() 42f x f x f x +=-+=，周期为4，（2）任取[]2,4x ∈，则[][]42,0,40,2x x -∈--∈，有()()()()22424468f x x x x x f x -=---=-+-=-，解出()f x （3）由（1）可知()()()()0,1,2f 3f f f ，为一个周期的函数值，和为0，所以很容易得出做后结果0.试题解析：（1）由x ∈R ，()()()42f x f x f x +=-+=，∴()f x 是以4为周期为周期函数；（2）任取[]2,4x ∈，则[][]42,0,40,2x x -∈--∈，有 ()()()()22424468f x x x x x f x -=---=-+-=-，∴()268f x x x =-+； （3）()()()00,11,20f f f ===，()()()31,40,51f f f =-==，由（1）可知()()()()0,1,2f 3f f f ，为一个周期的函数值，和为0，所以 ()()()()()01201650402016000f f f f f +++=⨯+=+=.点睛：本题是奇偶性周期性的综合，利用给出的等式结合奇偶性得出周期，对于()()()()0122016f f f f ++++这类型的问题利用周期性，主要解决一共包含几个周期，一个周期的和是多少，剩余哪些项可以利用周期求解.。
