不等式的性质1导学案

9.1.2《不等式的性质》导学案【学习目标】 班级 小组 姓名1.知道不等式的三条基本性质.2.培养观察、分析、比较的能力，会运用不等式的基本性质进行不等式的变形，提高灵活地运用所学知识解题的能力．【学习重点】：不等式的三条基本性质的运用.【学习难点】：不等式的基本性质3的运用和不等式的变形以及范例要比较两个代数式的大小的几种方法.【课前预习、课中交流】一、知识回顾等式性质1：等式性质2：（1）. 若a=b, b=c, 则a, c 之间的关系是 ;（2）. 若a=b, 则a+c b+c , a-c b-c;（3）. 若a=b, 且若c ≠0, 则ac bc二、合作学习，探究新知：1、用“＜、＞、=“完成下列填空：（1）如果a ＜- 9，而- 9＜ 3 ，那么a_____3 。

（2）如果a ＞- 9，而- 9＞-13 ，那么a____-13 。

(3)已知a ＜b 和 b ＜c ，在数轴上表示如图：由数轴上a 和 c 的位置关系，你能得到什么结论？ a c不等式的基本性质１： ，这个性质也叫做不等式的传递性。

2、(1)用“＜、＞、=“完成下列填空：8＿＿5 8＋2＿＿5＋210＿＿ 7 10－2＿＿7－2(2)若a > b ，则 a+ c 和 b +c 哪个较大，a- c 和 b- c 呢？请用数轴上点的位置关系加以说明：你发现了什么？试一试！你能得到什么结论？不等式的基本性质2：3.通过计算，用“＜、＞、=“完成下列填空：（1）2 3 2×5 3×5 2×（-5） 3 × （-5）2×12 3×12 2×（-12） 3 ×（-12） （2）-2 -3 -2×5 -3×5 -2×（-5） -3 × （-5） -2×12 -3×12 ，-2×（-12） -3 ×（-12） 你又能得到什么样的结论呢？不等式的基本性质3：例题巩固 例 已知a<0 ，试比较3a 与a 的大小。

1.1不等式的基本性质导学案1.掌握两个实数比较大小的理论依据；2.理解并掌握不等式的性质；3.会利用不等式的基本性质证明不等式和比较大小；【重点、难点】教学重点：不等式的性质；教学难点：不等式性质的应用.二、学习过程【情景创设】1.在必修5中，我们学习了不等式的基本性质，这些性质是我们解不等式及证明不等式或者求一个变量的范围的理论依据；2.在必修5中学到的两个实数比较大小的原理及不等式的基本性质是怎样的？3.这些性质及原理是如何应用的？应用时应注意什么？【导入新课】1．不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。

2. 实数的运算性质与大小顺序的关系： 数轴上右边的点表示的数总 左边的点所表示的数，可知： 0ba b a -⇔> 0ba b a -⇔=0b a b a -⇔<结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

3. 不等式的基本性质：10. 对称性：b a >⇔ ；20. 传递性：⇒>>c b b a , ； 30. 同加性：⇒>b a ；推论：加法法则：⇒>>d c b a , ； 40. 同乘性：⇒>>0,c b a ，⇒<>0,c b a ； 推论1：乘法法则：⇒>>>>0,0d c b a ； 推论2：乘方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ； 推论3：开方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ；推论4：可倒性：⇒>>0b a .☆比较两数大小的一般方法： 与 ．三 、典例分析【例1】 判断下列各题的对错(1)c a ＜c b且c ＞0⇒a ＞b ( )． (2)a ＞b 且c ＞d ⇒ac ＞bd ( )．(3)a ＞b ＞0且c ＞d ＞0⇒a d ＞b c(4)a c 2＞b c2⇒a ＞b ( )． 【例2】 比较下列各组中两个代数式的大小：(1)x 2＋3与3x ；(2)已知a ，b 为正数，且a ≠b ，比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小．分析：我们知道，a －b ＞0a ＞b ，a －b ＜0a ＜b ，因此，若要比较两式的大小，只需作差并与0作比较即可．【例3】已知0,0,a b c >><求证: c c a b>。

不等式的性质导学案不等式的性质导学案学习目标1、理解不等式的性质，掌握不等式的解法。

2、渗透数形结合的思想学习重难点：1、不等式的性质和解法。

2、不等号方向的确定。

自学过程：阅读课本上123——127。

一、思考下列问题：1、给不平衡的天平两边同时加人相同质量的砝码，天平会有什么变化？2、不平衡的天平两边同时拿掉相同质量的砝码，天平会有什么变化？3、如果对不平衡的天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数，天平会平衡吗？缩小相同的倍数呢二、问题探知发现规律1、用“＞”或“＜”填空．（1）－1(2) 5 >3 5＋2 3+2 5－2 3－2(3) 6 > 2 6×5 2×5 6×（－5）2×（－5）(4) －2（5）－4 ＞－6 （－4）÷2 （－6）÷2 （－4）×（－2）（－6）×（－2）2、从以上练习中，你发现了什么规律？（1）当不等式的两边同时加上或减去同一个数（正数或负数）时，不等号的方向__________。

（2）当不等式的两边同时乘上或除以同一个正数时，不等号的方向______________。

（3）当不等式的两边同时乘上或除以同一个负数时，不等号的方向______________。

（3）当不等式的两边同时乘上0时，不等式__________________。

请你再用几个例子试一试，还有类似的结论吗？请把你的发现告诉同学们并与他们交流：你能总结出不等式的性质了吗？不等式性质1：．用数学式子表示为：。

不等式性质2：．用数学式子表示为：。

不等式性质3：．用数学式子表示为：。

3、你能说出不等式性质与等式性质的相同之处与不同之处吗？三、新知运用1、例用不等式的性质，填写“”（1）若a>b，则2a+1_____2b+1. (2)若-1.25y（3）若a0，则ac+c_____bc+c. (4)若a>0,b2、利用不等式的性质解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来。

2.1不等式的基本性质1（导学案）组卷人：苏卫国审卷人：刘金涛姓名：学号：一、学习目标：1、学会用两个实数差的符号来规定两个实数大小2、掌握不等式的基本性质，并能加以证明；二、复习旧知：1、a>b是a-b>0的条件；a=b是 a-b=0的条件；a<b是a-b<0的条件。

以上是证明不等式性质的基础。

2、在初中我们学习了以下等式的性质：a=b，b=c⇒a=c；a=b，c=d⇒a+c=b+d；a=b⇒ac=bc。

三、新课导学：1．通过类比等式的性质，得到关于以下不等式的三个结论；请你判断它们是否正确，正确的加以证明；错误的举反例。

结论1 如果a>b，b>c，那么a>c。

结论2 如果a>b，c>d，那么a+c>b+d。

结论3 如果a>b，那么ac>bc。

同学们；结论3是否正确如果不正确，你能改变条件，让它成为正确命题吗？试试看：通过以上结论的推敲请同学们根据课本自己归纳不等式的基本性质性质1性质2性质3性质4你能给它们分别起一个名字吗？试试看。

利用以上性质证明下面结论：性质（5）如果a >b >0，c >d >0，那么ac >bd 。

性质（6）如果a >b >0，那么0ba 11<<。

四、课堂探究例1．判断下列命题的真假。

（1）若a >b ，那么ac >2bc 2。

（2）若ac >2bc 2，那么a >b 。

（3）若a >b ，c >d ，那么a-c >b-d 。

（4）若cda b <，那么ad bc <。

例2．提问：判断以下两个命题的真假：如果是真命题，请加以证明；如果是假命题，请举出反例。

（1）如果a >b ，c >d ，那么ac >bd 。

变式：a >b 0>，c >d 0>，那么ac >bd 。

9.1.2 不等式的性质（第一课时）导学案学习目标：知识与技能：探索并理解不等式的性质；能利用不等式的性质判断变形后式子大小过程与方法：经历通过类比、猜测、验证发现不等式性质的探索过程，体会类比的数学方法，进一步发展学生的符号表达能力；情感态度与价值观：通过学生自我探索，发现不等式的基本性质，提高学生学习数学的兴趣和学好数学的自信心。

教学重难点：探索不等式的性质教学流程（一）温故知新1我们学过的表示不等关系的符号有哪些？2等式有哪些性质？你能用符号语言表示吗？（二）探究新知探究一用“＜”或“＞”填空，你能发现其中的规律吗?① 5＞35+2 3+2， 5+(-2) 3+(-2)， 5-（-2） 3-(-2) ；5-2 3-2② -1＜3-1+2 3+2，-1+(-3) 3+(-3)，-1-(-3) 3-(-3)．-1-3 3-3③ 2＞12+a 1+a 2-a 1-a归纳：应用：1、设a＞b，用“＜”或“＞”完成填空：（1）a-6 b-6 (2) a+3 b+3(3) a+2x b+2x (4) a-b 0探究二用“＜”或“＞”填空，你能发现其中的规律吗?①6＞2，6×2 __ 2×2， 6×12 __ _ 2×12， 6÷2 __ 2÷2②-2＜3 ，(-2)×6___ 3×6，(-2)×9___ 3×9， (-2)÷6___ 3÷6归纳：应用：1、设a ＞b ，用“＜”或“＞”完成填空： (1) 3a 3b (2)2a 2b 探究三用“＜”或“＞”填空，你能发现其中的规律吗?① 6＞2，6×(-5)___ 2 ×(-5)；6×(-11)_ 2 ×(-11)；6÷(-2)___ 2 ÷(-2) ② -2＜3 ，(-2)×(-6)___ 3×(-6)，(-2)×(-7)___ 3×(-7)，(-2)÷(-6)___ 3÷(-6) 归纳：应用：1、设a ＞b ，用“＜”或“＞”完成填空： (1) -2a -2b （2）2a - 2b -（三）拓展提升1、根据不等式的基本性质，若将“a6＞-2”变形为“6＜-2a ”,则a 的取值范围为 。

9.1.2不等式性质（第一课时）班级： 姓名： 学习目标：1.经历不等式性质的探究过程，知道不等式的三个性质.2.会利用不等式的性质解比较简单的不等式.学习重点和难点：1.重点：不等式的三个性质.2.难点：不等式性质3的探究及运用. 一、预习案与学习案问题导读单：阅读P123—125页回答下列问题：1．举例说明：等式的性质________________________________________________________________________________________________________________________________ 2.等式的性质是做什么用的?(与同学交流)3.仔细阅读123页中“思考”和124页部分按要求填空,并说明每个“”“”的意义（与同学交流）4.记住“不等式的性质”（文字和字母两个表示形式）并说明与等式的性质的相同和不同之处。

5.应用：仔细研读125页例1.填写相应的空白处。

说明：例题中(1)为什么“不等式两边都加7”?__________________ (2)题中为什么“不等式两边都减去___”?_____________________________(3)题中为什么“不等式两边都乘以32”?______________________________(4)题中为什么“不等式两边都除以___”?_____________________________二．尝试练习：1.完成下面的解题过程：用不等式的性质解不等式,并在数轴上表示解集:(1)x+5＞-1；(2)4x ＜3x-5； (3)16x 77； (4)-8x ＞10.解：(1)根据不等式的性质____，不等式两边都_________，不等号的方向________， 得______________________， ___________.这个不等式的解集在数轴上的表示：(2)根据不等式的性质____，不等式两边都_________，不等号的方向________， 得______________________， ___________.这个不等式的解集在数轴上的表示：(3)根据不等式的性质____，不等式两边都_________，不等号的方向________， 得______________________， ___________.这个不等式的解集在数轴上的表示：(4)根据不等式的性质____，不等式两边都_________，不等号的方向________， 得______________________， ___________.这个不等式的解集在数轴上的表示：三、小测：1.下列各题的横线上填入不等号，使不等式成立．并说明是根据哪一条不等式性质． (1)若a-3＜9，则 a ___12(根据不等式性质__) (2)若-a ＜10，则a___ -10(根据不等式性质：)；(3)若0.5a>-2则a__-4(根据不等式性质：___)；(4)若-a>0， 则 a____0(根据不等式性质： ___)。

《不等式的性质》（第一课时）导学案学习目标：掌握不等式的三个基本性质；经历探究不等式基本性质的过程，体会不等式与等式的异同。

单前活动课．什么是不等式？什么是不等式的解？什么是不等式的解集？什么是解不等式？1．如何在数轴上表示不等式的解集？2 a是正数；的和小于7；②．用不等式表示：3①a与5 ④a是负数；4倍大于8；③a的 3；；⑥、a的一半不小于的差大于⑤、a与2-14．下列式子中哪些是不等式？ l （3）x≠1 （）a＋b=b+a （2）－3＞－5 （0 6）2x-3 （4）x十3>6 （5） 4x-2y≤x2?1??2x）成立的有（5．下列的值能使12?1,,?3,?4,-1，2个 B.2个 C.3个 D.4个A.1．写出下列数轴所表示的不等式的解集（简易数轴） (4 （（--07．在数轴上表示下列不等式的解集（用简易数轴）(1)x>3 (2)x<2 (3)y≥-1 (4)y≤18．等式的基本性质：性质1：性质2：1单动课堂活小组交流课前单，并派代表汇报。

活动一：合作探究活动二：6的解集是对于某简单的不等式，我们可以直接得出它们的解集，例如不等式x＋3＞5??1x5x?2?，不等式2x＜8的解集是，但对于比较复杂的不等式，例如46直接得出解集就比较困难。

因此，还要讨论怎样解不等式，与解方程需要依据等式的性质的性质。

为此，我们先来研究不等式有什么性质：一样，解不等式需要依据3-2 5-2 5+2 3+2, （1) 5>3 ,3-3 -1-3 -1+2 3+2, （2) -1<3,(-5) 2×6×(-5) 2×5, （3) 6>2, 6×5(-6)3×(-6) (-2)×3×6, （4) -2<3, (-2)×6）－4＞－6，（－4）÷2 （－6）÷2，（－4）÷（－2）（－6）÷（－（52）你发现了什么规律吗？（1）当不等式的两边加或减同一个数（或式子）时，不等号的方向__________。

不等式的性质导学案学习目标1、理解不等式的性质，掌握不等式的解法。

2、渗透数形结合的思想学习重难点：1、不等式的性质和解法。

2、不等号方向的确定。

自学过程：阅读课本上123——127。

一、思考下列问题：1、给不平衡的天平两边同时加人相同质量的砝码，天平会有什么变化？2、不平衡的天平两边同时拿掉相同质量的砝码，天平会有什么变化？3、如果对不平衡的天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数，天平会平衡吗？缩小相同的倍数呢二、问题探知发现规律1、用“＞”或“＜”填空．（1）－1 < 3－1＋2 3＋2 －1－3 3－3(2) 5 >35＋2 3+2 5－2 3－2(3) 6 > 26×5 2×5 6×（－5）2×（－5）(4) －2 < 3（－2）×6 3×6 （－2）×（－6）3×（一6）（5）－4 ＞－6（－4）÷2 （－6）÷2 （－4）×（－2）（－6）×（－2）2、从以上练习中，你发现了什么规律？（1）当不等式的两边同时加上或减去同一个数（正数或负数）时，不等号的方向__________。

（2）当不等式的两边同时乘上或除以同一个正数时，不等号的方向______________。

（3）当不等式的两边同时乘上或除以同一个负数时，不等号的方向______________。

（3）当不等式的两边同时乘上0时，不等式__________________。

请你再用几个例子试一试，还有类似的结论吗？请把你的发现告诉同学们并与他们交流：你能总结出不等式的性质了吗？不等式性质1：．用数学式子表示为：。

不等式性质2：．用数学式子表示为：。

不等式性质3：．用数学式子表示为：。

3、你能说出不等式性质与等式性质的相同之处与不同之处吗？三、新知运用1、例用不等式的性质，填写“<”、“>”（1）若a>b，则2a+1_____2b+1. (2)若-1.25y<10,则y______-8。

1.1.1 不等式的基本性质（1）课堂导学三点剖析一、不等式性质的应用【例1】 已知a>b,c<d,求证:a-c>b-d.证法一：∵a>b,c<d,∴a -b>0,d-c>0.∴(a -c)-(b-d)=(a-b)+(d-c)>0.∴a -c>b-d.证法二：∵c<d,∴-c>-d.又∵a>b,∴a+(-c)>b+(-d),即a-c>b-d.温馨提示证法一利用了实数大小比较的符号法则,也称作差法,这是证明不等式的基本方法,不等式性质定理的证明也是用此法.证法二是直接利用了不等式性质定理,即同向不等式的可加性.不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论依据,应正确地熟练应用.各个击破类题演练1若a>b>0,求证:a 2>ab>b 2.证明:∵a>b,∴a -b>0.又∵a>0,∴a(a -b)>0.∴a 2-ab>0.∴a 2>ab.又∵a>b,∴a -b>0.又b>0,∴b(a -b)>0.∴ab -b 2>0.∴ab>b 2.据不等式的传递性,即a 2>ab>b 2.变式提升1若a,b,c,d∈R +,且,d c b a <求证:dc d b c a b a <++<. 证明:∵a,b,c,d∈R +,且dc b a <, ∴bd bc ad d c b a -=-<0. ∴ad -bc<0. 由)(d b b ad bc b a d b c a +-=-++>0,可得b a d b c a >++. 又∵)(d b d bc ad d c d b c a +-=-++<0,可得d c d b c a <++. ∴dc d b c a b a <++<成立.二、实数大小比较的方法——作差法【例2】 设a>0,b>0,求证:ba ab 22+≥a+b. 证明：ba ab 22+-(a+b) =abb ab a b a ))((22+-+. =abb a b a 2))((-+ ∵a>0,b>0,∴a+b>0,ab>0,(a -b)2≥0. ∴ba ab 22+≥a+b. 温馨提示作差法是比较两个实数大小的重要方法,利用作差法比较两个实数的大小,一般有如下步骤:第一步:作差;第二步:变形.常采用因式分解,配方等恒等变形手段,将“差”化成“积”;第三步:定号.就是确定是大于0,等于0,还是小于0.最后得出结论.概括为“三步一结论”,这里的“定号”是目的,“变形”是关键.类题演练2已知a≥1,比较M=a a -+1与N=1--a a 的大小.解析:M-N=(a a -+1)-(1--a a ) =)1)(1(111111-++++--=-+-++a a a a a a a a a a . ∵a≥1,∴11+<-a a , 即11+--a a <0. 又>++a a 10,1-+a a >0,∴M -N<0,即M<N.变式提升2比较x 6+1与x 4+x 2的大小,其中x∈R .解析:(x 6+1)-(x 4+x 2)=x 6-x 4-x 2+1=x 4(x 2-1)-(x 2-1)=(x 2-1)(x 4-1)=(x 2-1)(x 2-1)(x 2+1)=(x 2-1)2(x 2+1),当x=±1时,x 6+1=x 4+x 2,当x≠±1时,x 6+1>x 4+x 2.三、应用不等式性质解题常见错误剖析【例3】 已知0<a<1,比较a,a1,a 2的大小. 错解：∵a -a 1=aa a a a )1)(1(12-+=-<0, ∴a<a1. 又a 1-a 2=aa a a a a )1)(1(123++-=->0, ∴a 1>a 2.∴a<a 2<a1. 错因：a<a 1与a 2<a1之间不具备传递性,不能用性质2. 正解：∵a -a 1=aa a )1)(1(-+<0, ∴a<a 1. 又a-a 2=a(1-a)>0,∴a>a 2.∴a 2<a<a1. 温馨提示由于对不等式的性质缺乏全面掌握和透彻理解,尤其对一些性质的条件重视不够或机械地套用性质而扩大性质的范围,从而导致错误.因此,在使用不等式性质解题时,要搞清性质成立的条件,明确各步推理的依据,以防出现解题失误.类题演练3已知a>0,a≠1,m>n>0,比较A=a m +m a1和B=a n +n a 1的大小. 错解:∵A -B=(a m +m a 1)-(a n +n a 1)=(a m -a n )+(m a1-n a 1), 又∵m>n>0,∴a m >a n ,m a1>n a 1.∴A>B. 正解:A-B=(a m -a n )+（m a 1-n a 1) =n m n m n m aa a a ++--)1)((. 故当0<a<1时,a m <a n ,a m+n<1,∴A -B>0,即A>B;当a>1时,a m >a n ,a m+n >1,∴A -B>0,即A>B.综上所述A>B.变式提升3设a≠b,试比较(a4+b4)(a2+b2)与(a3+b3)2的大小. 错解:(a4+b4)(a2+b2)-(a3+b3)2=a6+a4b2+a2b4+b6-a6-2a3b3-b6=a2b2(a-b)2.∵a≠b,∴(a-b)2>0.∴a2b2(a-b)2>0.因此(a4+b4)(a2+b2)>(a3+b3)2.正解:(a4+b4)(a2+b2)-(a3+b3)2=a2b2(a-b)2.当ab=0时,(a4+b4)(a2+b2)=(a3+b3)2;当ab≠0时,(a4+b4)(a2+b2)>(a3+b3)2;故(a4+b4)(a2+b2)≥(a3+b3)2.。

课题：9.1.2不等式的性质（1）【学习目标】1、掌握不等式的三个基本性质。

2、经历探究不等式基本性质的过程，体会不等式与等式的异同点。

【重点难点】重点:理解不等式的三个基本性质。

难点：对不等式的基本性质3的认识。

【学习过程】一、愉悦导入：1、考考你：下列问题是否成立，并说明理由（1）、由a+2=b+2, 能得到a=b？（2）、由a-2=b-2, 能得到a=b？（3）、由0.5a=0.5b, 能得到a=b？（4）、由-2a= -2b, 能得到a=b？2、等式性质1:等式两边同时(或)同一个(或式子)，结果仍..用字母表示：.等式性质2::等式两边同时同一个或同一个不为0的数，结果仍.用字母表示：.二、互动探究：自主探究(一) 观察上表，把你发现的规律写在下面？你能仿照等式的性质用字母表示这个规律吗？不等式性质1:不等式两边加上或减去同一个数时,不等号的方向用字母表示为：如果，那么自主探究(二)不等式还有什么类似的性质呢观察上表，你能再总结一下规律吗？不等式性质2:当不等式的两边乘以（或除以）同一个时,不等号的方向______ .用字母表示为：如果，那么自主探究（三）当不等式两边同时乘除一个负数时不等式又有什么性质呢？1 / 1观察上表，你能再总结一下规律吗？不等式性质3:当不等式的两边乘以（或除以）同一个时,不等号的方向______ .用字母表示为：如果，那么自主探究（四）（1）不等式的性质2与性质3的区别（2）等式的性质和不等式的性质的异同．（五）巩固运用例1：设a＞b，用“＜”或“＞”填空并回答是根据哪一条不等式基本性质。

（1）a - 3____b - 3；依据：．（2）a÷3____b÷3依据：．（3）0.1a____0.1b;依据：．( 4 ) -4a____-4b 依据：．( 5) 2a+3____2b+3;依据：．(6) (m2+1) a ____ (m2+1)b (m为常数)依据：．例2：判断下列各题的推导是否正确？为什么(学生口答)(1)因为7.5＞5.7，所以-7.5＜-5.7；(2)因为a+8＞4，所以a＞-4；(3)因为4a＞4b，所以a＞b；(4)因为-1＞-2，所以-a-1＞-a-2；(5)因为3＞2，所以3a＞2a．三、当堂过关：1.设a＞b，用“<”，或“>”填空，并说出是根据不等式性质的哪条性质。