2017-2018版高中数学第三章三角恒等变形疑难规律方法学案北师大版必修4

§1 同角三角函数的基本关系内容要求 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x cos x ＝tan x (重点).2.会运用以上两个基本关系式进行求值、化简、证明(难点)．知识点 同角三角函数的基本关系【预习评价】1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( )A ．－1213B ．－513C ． 513D. 1213答案 A2．已知α是第四象限角，且tan α＝－34，则sin α＝( )A ．－35B.35C.45 D ．－45答案 A题型一 利用同角基本关系式求值 【例1】 已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值． 解 ∵cos α＝－817<0，且cos α≠－1，∴α是第二或第三象限角， (1)当α是第二象限角时，则sin α＝ 1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－8172＝1517， tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158.(2)当α是第三象限角时，则sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝158.规律方法 同角三角函数的基本关系揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求的是一解还是两解，同时应体会方程思想的应用．【训练1】 已知sin α＝m (|m |≤1)，求tan α的值． 解 当m ＝0时，cos α＝±1，tan α＝sin αcos α＝0；当m ＝±1时，α的终边在y 轴上，cos α＝0，tan α无意义； 当α在第一、四象限时，cos α＞0， ∴cos α＝1－sin 2α＝1－m 2∴tan α＝m1－m2＝m 1－m 21－m 2； 当α在第二、三象限时，cos α＜0， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－m 2. ∴tan α＝sin αcos α＝m －1－m 2＝m 1－m2m 2－1.题型二 已知正切求值 【例2】 已知tan α＝2.求： (1)2sin α－2cos α4sin α－9cos α； (2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α. 解 (1)原式＝2tan α－24tan α－9＝2×2－24×2－9＝－2.(2)原式＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝1. 规律方法 知切求弦常见的有两类：1．求关于sin α、cos α的齐次式值的问题，如果cos α≠0，则可将被求式化为关于tanα的表达式，然后整体代入tan α的值，从而完成被求式的求值问题．2．若不是sin α，cos α的齐次式，可利用方程组的消元思想求解．如果已知tan α的值，求形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的值，注意将分母的1化为sin 2α＋cos 2α，将其代入，再转化为关于tan α的表达式后求值． 【训练2】 已知2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2α＝1. 求：(1)tan α； (2)2sin α－3cos α4sin α－9cos α. 解 （1）由条件得2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1 ⇒2＋3tan α－3tan 2αtan 2α＋1＝1 ⇒4tan 2α－3tan α－1＝0 ⇒tan α＝－14或tan α＝1.(2)原式＝2tan α－34tan α－9，当tan α＝－14时，原式＝720；当tan α＝1时，原式＝15.方向1 三角函数式的化简 【例3－1】 化简tan α1sin 2α－1，其中α是第二象限角． 解 因为α是第二象限角， 所以sin α＞0，cos α＜0.故tan α1sin 2α－1 ＝tan α1－sin 2αsin 2α ＝tan αcos 2αsin 2α＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos αsin α ＝sin αcos α·－cos αsin α ＝－1.方向2 三角恒等式的证明【例3－2】 求证：tan αsin αtan α－sin α＝1＋cos αsin α.证明 左边＝sin 2αcos αsin αcos α－sin α＝sin 2αsin α－sin αcos α＝1－cos 2αsin α1－cos α＝1＋cos αsin α＝右边，所以等式成立． 方向3 利用sin α±cos α与sin αcos α的关系解题 【例3－3】 已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求sin A －cos A 的值． 解 (1)∵sin A ＋cos A ＝15，两边平方得1＋2sin A cos A ＝125，∴sin A cos A ＝－1225.(2)由(1)sin A cos A ＝－1225＜0，且0＜A ＜π，可知cos A ＜0，∴角A 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形． (3)(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝4925. 由(2)知sin A －cos A ＞0， ∴sin A －cos A ＝75.规律方法 1.三角函数式化简的三种常用技巧(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．2．证明三角恒等式的原则是由繁到简．常用的方法有： (1)从一边开始，证得它等于另一边； (2)证明左右两边都等于同一个式子；(3)变更论证，即通过化除为乘、左右相减等，转化成证明与其等价的等式.课堂达标1．已知sin α＝45，α∈(0，π)，则tan α等于( )A.43B.34 C ．±34D ．±43解析 ∵sin α＝45，α∈(0，π)，∴cos α＝±1－sin 2α＝±35，∴tan α＝sin αcos α＝±43.答案 D2．已知tan α＝－12，那么sin 2α＋2sin αcos α－3cos 2α的值是( )A ．－75B ．－59C ．3D ．－3解析 sin 2α＋2sin αcos α－3cos 2α ＝sin 2α＋2sin αcos α－3cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝tan 2α＋2tan α－3tan 2α＋1， 将tan α＝－12代入上式得－3.答案 D3．若tan α＝2，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝________. 解析 ∵tan α＝sin αcos α＝2，∴sin α＝2cos α，又∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos 2α＝15.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴cos α＝－55. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝－55. 答案 －554．已知sin αcos α＝15，则sin α－cos α＝________.解析 (sin α－cos α)2＝sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α ＝1－2sin αcos α＝35.则sin α－cos α＝±155. 答案 ±1555．已知sin α＋cos α＝m ，求sin 3α＋cos 3α的值． 解 ∵sin α＋cos α＝m ，∴sin αcos α＝m 2－12.∴sin 3α＋cos 3α＝(sin α＋cos α)(sin 2α－sin αcos α＋cos 2α)＝m (1－m 2－12)＝m2(3－m 2)． 课堂小结1．“同角”有两层含义：一是“角相同”；二是“任意性”，即关系式恒成立，与角的表达形式无关．如：sin 23α＋cos 23α＝1等．2．已知角α的一个三角函数值，求α的其他两个三角函数值时，要特别注意角所在的象限，以确定三角函数值的符号．3．计算、化简或证明三角函数式时常用的技巧：(1)“1”的代换．为了解题的需要，有时可以将1用“sin 2α＋cos 2α”代替． (2)切化弦．利用商数关系把切函数化为弦函数．(3)整体代换．将计算式适当变形使条件可以整体代入，或将条件适当变形找出与算式之间的关系.基础过关1．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是( ) A ．tan α＝－sin αcos αB ．cos α＝－1－sin 2α C ．sin α＝－1－cos 2α D ．tan α＝cos αsin α解析 由商数关系可知A 、D 均不正确，当α为第二象限角时，cos α<0，sin α>0，故B 正确． 答案 B2．已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( )A.34 B ．±310C.310D ．－310解析 由题意得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)， ∴(sin θ＋cos θ)2＝4(sin θ－cos θ)2，解得sin θcos θ＝310.答案 C3．已知α是第二象限的角，tan α＝－12，则cos α等于( )A ．－55B ．－15C ．－255D ．－45解析 ∵α是第二象限角，∴cos α<0.又sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α＝－12，∴cos α＝－255.答案 C4．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α＝________.解析 ∵α为第三象限角， ∴sin α<0，cos α<0， ∴原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3. 答案 －35．已知sin αcos α＝18且π4<α<π2，则cos α－sin α＝______.解析 (cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝34，∵π4<α<π2，∴cos α<sin α， ∴cos α－sin α＝－32. 答案 －326．已知sin θ＋cos θ＝－105. 求：(1)1sin θ＋1cos θ的值；(2)tan θ的值．解 (1)因为sin θ＋cos θ＝－105， 所以1＋2sin θcos θ＝25，sin θcos θ＝－310.所以1sin θ＋1cos θ＝sin θ＋cos θsin θcos θ＝2103.(2)由(1)得sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝－103，所以tan 2θ＋1tan θ＝－103，即3tan 2θ＋10tan θ＋3＝0， 所以tan θ＝－3或tan θ＝－13.7．若cos α＝－35且tan α＞0，求tan α·cos 3α1－sin α的值．解 tan α·cos 3α1－sin α＝sin αcos α·cos 3α1－sin α＝sin α·cos 2α1－sin α＝sin α1－sin 2α1－sin α＝sin α1－sin α1＋sin α1－sin α＝sin α(1＋sin α)．∵tan α＝sin αcos α＞0，cos α＝－35＜0，∴sin α＜0.又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－45，∴原式＝sin α(1＋sin α) ＝－45·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45＝－425.能力提升8．函数y ＝54－sin 2x －3cos x 的最小值是( )A ．－74B ．－2 C.14D ．－54解析 y ＝54－(1－cos 2x )－3cos x＝cos 2x －3cos x ＋14＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x －322－2 当cos x ＝1时，y min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－322－2＝－74.答案 A 9．使1－cos α1＋cos α＝cos α－1sin α成立的角α的范围是( )A ．2k π－π＜α＜2k π(k ∈Z )B ．2k π－π≤α≤2k π(k ∈Z )C ．2k π＋π＜α＜2k π＋3π2(k ∈Z )D ．只能是第三或第四象限角 解析 ∵1－cos α1＋cos α＝1－cos α2sin 2α＝1－cos α|sin α|＝cos α－1sin α， ∴sin α＜0.∴2k π－π＜α＜2k π，(k ∈Z )． 答案 A 10．已知sin x ＝m －3m ＋5，cos x ＝4－2m m ＋5，且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，则tan x ＝________.解析 由sin 2x ＋cos 2x ＝1，即⎝⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1.得m ＝0或m ＝8.又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴sin x ＜0，cos x ＞0，∴当m ＝0时，sin x ＝－35，cos x ＝45，此时tan x ＝－34；当m ＝8时，sin x ＝513，cos x ＝－1213(舍去)，综上知：tan x ＝－34.答案 －34 11．在△ABC 中，2sin A ＝ 3cos A ，则角A ＝________. 解析 由题意知cos A >0，即A 为锐角．将2sin A ＝ 3cos A 两边平方得2sin 2A ＝3cos A .∴2cos 2A ＋3cos A －2＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)， ∴A ＝π3. 答案 π3 12．求证：cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2cos α－sin α1＋sin α＋cos α. 证明 方法一左边＝cos α1＋cos α－sin α1＋sin α1＋sin α1＋cos α＝cos 2α－sin 2α＋cos α－sin α1＋sin α＋cos α＋sin αcos α＝cos α－sin αcos α＋sin α＋112cos α＋sin α2＋sin α＋cos α＋12＝2cos α－sin αcos α＋sin α＋1sin α＋cos α＋12 ＝2cos α－sin α1＋sin α＋cos α＝右边．∴原式成立． 方法二 ∵cos α1＋sin α＝1－sin αcos α＝cos α＋1－sin α1＋sin α＋cos α， sin α1＋cos α＝1－cos αsin α＝sin α＋1－cos α1＋cos α＋sin α， ∴cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2cos α－sin α1＋cos α＋sin α.∴原式成立． 13．(选做题)已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋2m ＝0的两根为sin θ和cos θ(θ∈(0，π))，求：(1)m 的值;(2)sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ的值⎝⎛⎭⎪⎫其中cot θ＝1tan θ; (3)方程的两根及此时θ的值．解 (1)由根与系数的关系可知，Sin θ＋cos θ＝3＋12，① sin θ·cos θ＝m ，②将①式平方得1＋2sin θ·cos θ＝2＋32， 所以sin θ·cos θ＝34，代入②得m ＝34. (2)sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12. (3)因为已求得m ＝34， 所以原方程化为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0， 解得x 1＝32，x 2＝12. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝12，cos θ＝32.又因为θ∈(0，π)，所以θ＝π3或π6.。

第1课时 求 值 问 题[核心必知]同角三角函数基本关系式[问题思考]1．如何理解同角三角函数关系中“同角”的含义？提示：“同角”有两层含义．一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，与角的表达式无关，如sin 22α＋cos 22α＝1，sin2α2＋cos 2α2＝1等． 2．平方关系对任意α∈R 均成立，对吗？商数关系呢？提示：正确．因为对任意α∈R ，sin α，cos α都有意义，所以sin 2α＋cos 2α＝1对任意角α∈R 都成立．而商数关系，sin αcos α＝tan α则不然，需保证cos α≠0，则tan α有意义，所以商数关系，只对α∈R ，且α≠k π＋π2(k ∈Z )成立．讲一讲1．(1)已知sin α＝45，α是第二象限角，求cos α，tan α；(2)若cos α＝－817，试求sin α，tan α的值．[尝试解答] (1)∵sin 2α＋cos 2α＝1， ∴cos 2α＝1－sin 2α＝1－(45)2＝925.又∵α是第二象限角， ∴cos α<0，cos α＝－35.∴tan α＝sin αcos α＝45×(－53)＝－43.(2)∵cos α＝－817<0，且cos α≠－1，∴α是第二或第三象限的角． 当α是第二象限角时，sin α>0. ∴sin α＝1－cos 2α＝1－（－817）2＝1517，tan α＝sin αcos α＝1517×(－178)＝－158.当α是第三象限角时，sin α<0， 则sin α＝－1517，tan α＝158.1．同角三角函数基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，其最基本的应用是“知一求二”．2．知弦求值时，一般需用到平方关系，这时涉及开方运算，应注意角的取值范围．当角所在的象限不确定时，要注意就角所在的象限分类讨论．练一练1．[多维思考] 若本讲(2)条件改为“cos α＝m (m ≠0)”，结果如何？ 解：当m ＝±1时，sin α＝0，tan α＝sin αcos α＝0；当m ≠±1时，由于m ≠0，所以角α为象限角．若α为第一或第二象限角，则sin α＝1－cos 2α＝1－m 2， ∴tan α＝sin αcos α＝m1－m2.若α为第三或第四象限角，则 sin α＝－1－cos 2α＝－1－m 2， ∴tan α＝sin αcos α＝－m1－m 2.讲一讲2．已知tan α＝2.试求： (1)sin α的值；(2)sin α－cos αsin α＋cos α和sin αcos α的值． [尝试解答] (1)∵tan 2α＝sin 2αcos 2α＝1－cos 2αcos 2α＝1cos 2α－1， ∴1cos 2α＝1＋tan 2α. ∴cos 2α＝11＋tan 2α＝11＋22＝15.∵tan α＝2>0，∴α是第一或第三象限角． 当α是第一象限角时，cos α>0， ∴cos α＝55， ∴sin α＝cos αtan α＝55×2＝255. 当α是第三象限角时，cos α<0， ∴cos α＝－55， ∴sin α＝cos αtan α＝－255.(2)sin α－cos αsin α＋cos α＝sin αcos α－cos αcos αsin αcos α＋cos αcos α＝tan α－1tan α＋1＝2－12＋1＝23. sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin αcos αcos 2αsin 2α＋cos 2αcos 2α＝tan αtan 2α＋1＝222＋1＝25.1．已知角α的正切值在求角α的正弦值时，应尽量少用平方关系，一般按以下思路求解： cos 2α＝11＋tan 2α――→开方cos α――→用sin α＝tan αcos αsin α. 2．本讲(2)是已知角α的正切值，求关于sin α，cos α的齐次式值的问题．解决该类问题通常是利用商数关系和平方关系，将原式化为关于tan α的表达式，然后整体代入tan α的值求解，体现了“整体化”的思想，可减少运算量并避免讨论．练一练2．已知tan(π－α)＝12，求：(1)sin α＋cos α的值； (2)2sin 2α－12cos 2α的值．解：(1)由已知得tan α＝－12<0，∴α是第二或第四象限的角，则cos 2α＝cos 2αsin 2α＋cos 2α＝1tan 2α＋1＝1（－12）2＋1＝45.当α是第二象限角时，cos α＝－255，∴sin α＝tan αcos α＝－12×(－255)＝55，sin α＋cos α＝－55； 当α是第四象限角时，cos α＝255，∴sin α＝tan αcos α＝－55，sin α＋cos α＝55. (2)2sin 2α－12cos 2α＝2sin 2α－12cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝2tan 2α－12tan 2α＋1＝2×（－12）2－12（12）2＋1＝0.讲一讲3．(1)已知sin α＝12cos α，则sin 4α－cos 4α＝________．(2)若sin α＋cos α＝15，且0<α<π，则tan α＝________.[尝试解答] (1)由sin α＝12cos α，得tan α＝12.∴cos 2α＝cos 2αsin 2α＋cos 2α＝11＋tan 2α＝45. ∴sin 2α＝1－cos 2α＝15.∴sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α) ＝sin 2α－cos 2α＝15－45＝－35.(2)由sin α＋cos α＝15，得1＋2sin αcos α＝125.∴sin αcos α＝－1225<0.又0<α<π，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α>0，∴sin α－cos α＝（sin α－cos α）2＝1－2sin αcos α ＝1－2×（－1225）＝75. ②可得sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝sin αcos α＝－43.[答案] (1)－35 (2)－431．已知角α的某一个三角函数值，求其他三角函数式的值时，一般先利用公式将其化简，再利用同角三角函数的基本关系求解．2．sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，利用此关系求sin α＋cos α或sin α－cos α的值时，要注意判断它们的符号．练一练3．已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0的两个根(a ∈R )． (1)求sin 3θ＋cos 3θ的值； (2)求tan θ＋1tan θ的值． 解：∵sin θ，cos θ是方程x 2－ax ＋a ＝0的两个根， ∴sin θ＋cos θ＝a ，且sin θcos θ＝a ， (sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ.即a 2＝1＋2a ，解得a ＝1±2，而当a ＝1＋2时， Δ＝(1＋2)2－4(1＋2)＝－1－22<0， ∴a ＝1－2，则(1)sin 3θ＋cos 3θ＝(sin θ＋cos θ)(1－sin θcos θ) ＝a (1－a )＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2. (2)tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝1sin θcos θ＝1a ＝11－2＝－1－ 2.若sin A ＝45，且A 是三角形的一个内角，求5sin A ＋815cos A －7的值．[错解] ∵sin A ＝45，∴cos A ＝ 1－sin 2A ＝35，∴5sin A ＋815cos A －7＝5×45＋815×35－7＝6. [错因] 由sin A ＝45不能确定A 是锐角或钝角，那么cos A 就有正、负两个值，此解法中忽视开方运算的符号而出现错误．[正解] ∵sin A ＝45，且A 是三角形的一个内角，∴A 是锐角或钝角． 当A 为锐角时，cos A ＝1－sin 2A ＝35.∴5sin A ＋815cos A －7＝5×45＋815×35－7＝6； 当A 为钝角时，cos A ＝－1－sin 2A ＝－35.∴5sin A ＋815cos A －7＝5×45＋815×（－35）－7＝－34.1．下列各项中可能成立的是( ) A ．sin α＝12且cos α＝12B ．sin α＝0且cos α＝－1C ．tan α＝1且cos α＝－1D ．α在第二象限时，tan α＝－sin αcos α解析：选B 由平方关系知A 不成立；由商数关系知D 不成立．对于B ，当sin α＝0时，cos α＝±1，所以B 可能成立．而对于C ，当tan α＝1时，cos 2α＝11＋tan 2α＝12，所以C 不成立．应选B.2．已知sin α＝－45，α是第三象限角，则tan α等于( )A.34 B ．－34 C.43 D ．－43解析：选C ∵sin α＝－45，且α是第三象限角．∴cos α＝－1－sin 2α＝－35，∴tan α＝sin αcos α＝43.3．已知tan φ＝－3，且φ为三角形的内角，那么cos φ的值为( ) A ．－ 3 B.233C ．－12D ．－2解析：选C cos 2φ＝11＋tan 2φ＝11＋（－3）2＝14. ∵φ为三角形的内角，tan φ<0， ∴φ∈(π2，π)，∴cos φ＝－12.4．已知sin α＝55，则sin 2α－cos 2α的值为________． 解析：sin 2α－cos 2α ＝2sin 2α－1＝2×(55)2－1＝－35. 答案：－355．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是________． 解析：原式＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α ＝（sin α＋cos α）2（sin α＋cos α）（sin α－cos α） ＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝（－12）＋1（－12）－1＝－13.答案： －136．已知sin α＝4－2m m ＋5，cos α＝m －3m ＋5，α是第四象限角，试求tan α的值．解：∵sin 2α＋cos 2α＝1， ∴(4－2m m ＋5)2＋(m －3m ＋5)2＝1.化简，整理得，m (m －8)＝0，∴m 1＝0，m 2＝8.当m ＝0时，sin α＝45，cos α＝－35，不符合α是第四象限角，舍去．当m ＝8时，sin α＝－1213，cos α＝513，∴tan α＝－125.一、选择题1．已知sin(α＋π2)＝13，α∈(－π2，0)，则tan α的值为( )A ．－2 2B ．2 2C ．－24 D.24解析：选A 由已知得cos α＝13.∵α∈(－π2，0)，∴sin α＝－1－cos 2α＝－232，∴tan α＝sin αcos α＝－232×3＝－2 2.2．已知向量a ＝(3，4)，b ＝(sin α，cos α)，且a ∥b ，则tan α＝( ) A.34 B ．－34 C.43 D ．－43解析：选A 由a ∥b 得，sin α3＝cos α4.∴sin αcos α＝34＝tan α. 3．若sin α，cos α是方程3x 2＋6mx ＋2m ＋1＝0的两根．则实数m 的值为( ) A ．－12 B.56C ．－12或56 D.12解析：选A 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝－2m ，sin αcos α＝2m ＋13，∵(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α， ∴(－2m )2＝1＋23(2m ＋1)，即12m 2－4m －5＝0. 解m ＝－12或56.m ＝56时，Δ＝36m 2－12(2m ＋1)<0，∴m ＝－12.4．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是( )A.25 B ．－25 C ．－2 D ．2解析：选A 由条件可得tan α＋33－tan α＝5.解得tan α＝2.∴sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25. 二、填空题5．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________．解析：∵sin θ<0，tan θ>0，∴θ是第三象限角， ∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.答案：－356．已知α∈(π，3π2)，tan α＝2，则cos α＝________．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝sin αcos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，由此解得cos 2α＝15.又α∈(π，3π2)，因此cos α＝－55.答案：－557．已知A 为三角形内角，且sin A cos A ＝－18，则cos A －sin A ＝________．解析：(cos A －sin A )2＝1－2sin A cos A ＝1－2×(－18)＝54.∵0<A <π，sin A cos A <0，∴sin A >0，cos A <0. ∴cos A －sin A <0，∴cos A －sin A ＝－52. 答案：－528．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin θcos θ＝________．解析：sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－2(sin θcos θ)2＝59，∴(sin θcos θ)2＝29.∵θ是第三象限角，∴sin θ<0，cos θ<0.∴sin θ cos θ＝23. 答案：23三、解答题9．已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1，2)．(1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a |＝|b |，0<θ<π，求θ的值．解：(1)∵a ∥b ，∴2sin θ－(cos θ－2sin θ)＝0， 即4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)∵|a |＝|b |，∴sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5. 展开得sin 2θ＋cos 2θ－4sin θcos θ＋4sin 2θ＝5. 把sin 2θ＝1－cos 2θ代入并整理，得cos θ(sin θ＋cos θ)＝0.∴cos θ＝0或tan θ＝－1.又θ∈(0，π)，∴θ＝π2或θ＝3π4.10．已知3sin α＋cos α＝0，求下列各式的值：(1)3cos α＋5sin αsin α－cos α； (2)sin 2α＋2sin αcos α－3cos 2α.解：法一：由已知得，cos α＝－3sin α.(1)3cos α＋5sin αsin α－cos α＝－9sin α＋5sin αsin α＋3sin α＝－4sin α4sin α＝－1. (2)sin 2α＋2sin αcos α－3cos 2α＝sin 2α＋2sin α(－3sin α)－3(－3sin α)2＝－32sin 2α.由⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝－3sin α，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 2α＝110. ∴sin 2α＋2sin αcos α－3cos 2α＝－32×110＝－165. 法二：由已知，得sin αcos α＝－13，∴tan α＝－13. (1)3cos α＋5sin αsin α－cos α＝3＋5×sin αcos αsin αcos α－1＝3＋5tan αtan α－1＝3－53－13－1＝－1. (2)sin 2α＋2sin αcos α－3cos 2α＝sin 2α＋2sin αcos α－3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan α－3tan 2α＋1＝（－13）2＋2×（－13）－3（－13）2＋1 ＝－165.。

第三章三角恒等变形【学习目标】1.进一步掌握三角恒等变换的方法2会运用正弦、余弦、正切的两角和与差公式与二倍角公式.对三角函数式进行化简、求值和证明.n知识梳理 ---------------------------i .两角和与差的正弦、余弦、正切公式2 •二倍角公式sin 2 a = ________________________ cos 2 a = _____________________ = ____ tan 2 a = ________________________ . 3 •升幕公式1 + cos2 a = _______________________ , 1 — cos 2 a = ______________________ . 4 •降幕公式. 2sin x cos x = __________________ , cos x = ______________ . 2sin x = _______________________ . 5. 和差角正切公式变形tan a + tan 3 = ___________________________ , tan a — tan 3 = __________________________ . 6. 辅助角公式y = a sin w x + b cos w x = ______________________________题型探究 ---------------------------类型一 灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用cos(cos(sin( sin( tan( a —a +a + a —a + a —4 1例 1 已知a , 3 为锐角，cos a = , tan( a —3 )=—二，求cos 3 的值.5 3反思与感悟给值求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，女口 a = 2 \ g , a = ( a + B ) —3 , a =1 13 —( 3 — a ) , a = 2【(a + 3) +( a — 3)] , 3 = ~[( a + 3) —( a —3 )]等.跟踪训练1如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角a , 3 ,它们的终边分别与单位圆相交于A, B两点，已知A B的横坐标分别为310,竿.10 5(1)求tan( a —3 )的值；⑵求a + 3的值.类型二整体换元思想在三角恒等变换中的应用例2 求函数f (x) = sin x+ cos x+ sin x • cos x, x € R的最值及取到最值时x的值.反思与感悟在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来.跟踪训练2 求函数y = sin x + sin 2 x —cos x(x € R»的值域.类型三转化与化归思想在三角恒等变换中的应用 例 3 已知函数 f （x ） = 2 3sin （ x — 3n ）sin \x —亍 + 2sin 2 x + 号-1, x C R（i ）求函数f （x ）的最小正周期及在区间o , n 上的最大值和最小值；反思与感悟 （1）为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型 （余弦型）函数，这是解决问题的前提.（2）解答此类题目要充分运用两角和 （差）、二倍角公式、辅助角公式消除差异， 减少角的种类 和函数式的项数，将三角函数表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图像和 性质.23 17 n 7n 十 sin 2 x + 2sin .十, <x < ，求的值.5 12 41 — tan x类型四 构建方程（组）的思想在三角恒等变换中的应用跟踪训练3已知cos 亍+ X =三⑵若 f ( X ) =求cos 2 x o 的值.例4 已知sin x + 2cos y = 2，求2sin x + cos y 的取值范围.反思与感悟 在三角恒等变换中，有时可以把某个三角函数式看作未知数，联系已知条件或三角公式，设法建立关于未知数的方程组，从而使问题得以解决.跟踪训练4 已知关于0的方程 3cos 0 + sin 0 + a = 0在区间(0,2 n )上有两个不相等的 实数解a , 求COs( a + 3 )的值.5a若 a 是第三象限角，且 sin( a + 3 )cos 3 — sin 3 cos( a+3 ) = — 13，贝U tan —等于132当堂训练A .5 12 B .-右C.也2 .已知 0是第三象限角， sin5+ cos 4 0 = 9 贝y sin 2 0 等于( )2 C.2已知 sin a + cos 313,sin 1 小3 — cos a = 2，贝U sin( a — 3 )=为锐角，若cosn 4 n ,亠+ 6 = 5，贝U sin i 2 a +12 的值为 7t12已知函数f (x) = cos x •sin( x + 专)—3COS2X十严，x€ R(1) 求f (x)的最小正周期;n求f (x)在闭区间［-才, -4］上的最大值和最小值.1r-1规律与方法本章所学的内容是三角恒等变换重要的工具，在三角函数式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确, 快速化到最简，再进一步研究函数的性质.知识梳理222 22tan a2.2sin a cos a cos a — sin a 2cos a — 1 1 — 2sin aora2 23. 2cos a 2sin a5. tan( a + 3 )(1 — tan a tan a — 3 )(1 + tan a tan 3 )4.sin 2 x 2 1 + cos 2 x 2 1 — cos 2 x 6.冷a 2 + b 2sin( 3 x + 0 ) 题型探究 4 例1 解 Ta 是锐角，cos a = 5 sin a ^二,tan a~. 5 4 tan 3 =tan[ a — ( a — 3 )] tan a一⑶i a — 3 3 3 13 1 + tan a 9 ,；10 50跟踪训练1 解 (1)由题可知，cos a = , cos 3 =二-. 10 5 由于a , 3 为锐角，贝U sin a = ^10, sin 3 =¥，故 tan a = 1, tan 3 = 1，10 5 3 2 ■/ 3 是锐角，••• cos 1 1 则 tan( a 3 ) =tan a — tan 31 + tan a tan 3 (2)因为 tan( a + 3 )= 1 1 3+2 =11 —6sin a合案精析1. cos a cos 3 + sin a sin 3 cos a cos 3 — sin a sin 3 sin a cos 3 + cos a sinsin a cos 3 — cos a sin 3tan a + tan 3 1 — tan a tan 3tan a — tan 3 1 + tan a tan 33) tan(即 o< a+3 <nn ，故 a+B =4.例 2 解设 sin x + cos x = t ,•-1 € [ — 2, 2],2 2sin x + cos x — 1 t — 1 ••• sin x • cos x = = -2• f(x ) = sin x + cos x + sin x • cos x ,• g (t ) = t + 与1= *t + 1)2— 1,当 t =— 1，即卩 sin x + cos x =— 1 时，f (x ) min = — 1,cos x — sin xsin 2 x 1 + tan x1 — tan xt € [ — 2, 2].X +于, 此时，由sin2，n解得x= 2k n —n 或x= 2k n — _, k € Z.当t =、2，即sin x+ cos x= 2 时，f (x) max= 2 + 2, 此时，由，2sin i x + ~ = x;2,.( n即sin i x+ — = 1,n解得x=2k n +n，k€z.n n综上，当x= 2k n —n 或x= 2k n —㊁,k€ Z 时，f (x)取得最小值一1;当x = 2k n + —, k€ Z1时，f (x)取得最大值.2 + 2.跟踪训练2 解令sin x—cos x= t ,2 2又sin 2 x = 1 —(sin x —cos x) = 1 —t ,1 2 51 + 5.卩，t € [ —、2, 2].•••函数的值域为 -2-1, 5. 例3解 (1)因为 f (x ) = 3(2sin x cos x ) + (2cos 2x — 1) =3s in 2 x + cos 2 x = 2sin 2x +右, 所以f (x )的最小正周期为 n . 又因为x € [0 , y],所以f (x )的最大值为2，最小值为一1. (2)由(1)可知,又因为f (x o ) = 6, 53 — 4.3 10 2 2 sin 2 x + 2sin x 2sin x cos x + 2sin x1 — tan x sin x1 —cos x2sin x cos x x + sin x当 t = — \；2 时，y min = — ]2— 1.4 5， cos 2x o + 6 cos k 6Z 6 + sin 6 sin 跟踪训练3解7 n f (x o ) = 2sin17 n 7 n <x < 一， 12 4 ' 又；cos• sin + x k 4 Jcos 于 + x =7sin 2 x = , tan x = 7. 252sin 2 x + 2sin x 28 —1 —tan x — =— 7|. sin x + 2cos y = 2, 由|2sin x + cos y = a ,cos2a — 2—1<厂三2, 从而 4 — a—1W 〒 w 1,.3 2 3=sin 2 x • tan••• tan n + x = x…cos x = cos 43.I n=cos i — + x t +sin 7 + xsin71 4 x/• sin x = sin =sin n + x n . —sin4 sin 解得 2a — 2x=〒，5 n nT<x +N<2 n ，例 4 解设 2sin x + cosy = a .解得1W a < |.4, 2,13- 51故2sin x + cos y 的取值范围是 卩，——2 2 ,x + y = 1, 跟踪训练4 解 设x = cos 0 , y = sin B,则有』 ,^/3x + y + a = 0, 消去y ,并整理得4x * 3 + 2 3ax + a 2— 1 = 0.①由已知得cos a , cos 3是①的两个实数解， cos x —寸cos x + -4- 由根与系数的关系，得coscos1f ( ― 12)=-••• sin a sin 3 = ( 3cos a + a )( 3cos 3 + a ) =3cos a cos 3 + 3(cos a + cos 3 )a + a 2a 2— 3=4 .2 2a — 1 a — 3 12. 当堂训练593. —72=如 n(2所以f (x )的最小正周期为 T = 2n= n .⑵因为f (x )在区间［—亍,—n 上是减少的，在区间［f G )=4，n n 11所以函数f (x )在闭区间［—-，壬］上的最大值为4，最小值为一2.• y = (sin x — cos x ) + sin 2 x = t + 1 — t 1 =^sin 1 =4sin 2 x —*1 + cos 2 x ) +¥ 1 sin 2 4 3x —〒os 2x• cos( a + 3 ) = cos a cos 3 — sin a sin5•解 (1) 1由已知，有 f (x ) = cos x in x +穆cos 2x ) — 3cos 2x^43。

第三章三角恒等变形§1同角三角函数的基本关系知识点同角三角函数的基本关系式[填一填]常用的同角三角函数基本关系式的变形：(1)sin2α＋cos2α＝1的变形：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sinα＝±1－cos2α，cosα＝±1－sin2α.(2)tanα＝sinαcosα的变形：sin α＝cos αtan α，cos α＝sin αtan α.[答一答]已知某角的一个三角函数值，求它的其他三角函数值时，应注意些什么？提示：(1)已知某角的一个三角函数值，求它的其他三角函数值时，要注意这个角的终边所在的象限．①由sin 2α＋cos 2α＝1变形可知，cos α＝±1－sin 2α或sin α＝±1－cos 2α，因此，在使用这两个变形公式计算时，要根据角α的终边所在的象限，确定根号前面的正负号．②在使用tan α＝sin αcos α时，没有选择正负号的问题，只是在sin α，cos α的计算中会出现上述①中的情形．(2)如果已知的三角函数值中含有字母，且没有指定角的终边在哪个象限，那么就需要结合数学中分类讨论的思想来确定其他三角函数值．对同角三角函数的基本关系式的四点说明(1)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相同”如π3与π3，2α与2α都是同角，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin 234α＋cos 234α＝1.(2)sin 2α是(sin α)2的简写，不能写成sin α2.因为sin α2与sin 2α含义不同． (3)在使用同角三角函数基本关系时要注意使式子有意义，如式子tan90°＝sin90°cos90°不成立． (4)在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定的，不可凭空想象．类型一 利用同角三角函数的关系求值 【例1】 (1)已知sin α＝513，求cos α和tan α；(2)在△ABC 中，若tan A ＝63，求sin A 和cos A . 【思路探究】 (1)已知角α的正弦值，先用平方关系求cos α，再求tan α，注意角α是第几象限角不确定，故需要分类讨论；(2)已知角A 的正切值，可利用角A 终边上一点的坐标，根据三角函数的定义求解；也可利用同角三角函数的商数关系和平方关系求解，注意角A 是△ABC 的内角这一隐含条件．【解】 (1)∵sin α＝513>0，∴α是第一或第二象限角．当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝1－(513)2＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝5131213＝512.当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－1－(513)2＝－1213，∴tan α＝sin αcos α＝513－1213＝－512.(2)法1：因为tan A ＝63，角A 为三角形的内角，可知角A 终边上一点的坐标为(3，6)，则该点到原点的距离r ＝15，故sin A ＝615＝105，cos A ＝315＝155.法2：因为tan A ＝63，所以sin A cos A ＝63，则sin A ＝63cos A ， 又sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以23cos 2A ＋cos 2A ＝1，即cos 2A ＝35.因为角A 是△ABC 的内角，且tan A >0，所以角A 为锐角，所以cos A ＝155，sin A ＝63cos A＝105. 规律方法 已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时，要注意角的终边所在的象限，这主要是因为在使用cos α＝±1－sin 2α或sin α＝±1－cos 2α时，要根据角α的终边所在的象限，恰当地选择正、负号．tan α＝sin αcos α的正、负号是由sin α和cos α共同决定的．这类问题通常有下列几种情况：(1)如果已知三角函数值，且角的终边所在的象限已被指定，那么只有一组解． (2)如果已知三角函数值，但没有指定角的终边所在的象限，那么先由已知三角函数值确定角的终边可能在的象限，再求解，这种情况一般有两组解．(3)如果所给的三角函数值是用字母表示的，且没有指定角的终边所在的象限，那么就需要对表示该值的字母的正、负进行讨论．另外，还要注意其角的终边有可能落在坐标轴上．已知cos α＝－1517，求sin α，tan α的值．解：∵cos α<0，且cos α≠－1，∴α是第二或第三象限角．当α是第二象限角时， sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－15172＝817， tan α＝sin αcos α＝817×⎝⎛⎭⎫－1715＝－815.当α是第三象限角时， sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－15172＝－817， tan α＝sin αcos α＝⎝⎛⎭⎫－817×⎝⎛⎭⎫－1715＝815.类型二 关于sin α，cos α齐次式的求值 【例2】 已知tan α＝13，求值：(1)5sin α＋7cos αsin α－3cos α； (2)1cos 2α－2sin αcos α＋5sin 2α. 【思路探究】 可以将分子、分母中的“1”化成“sin 2α＋cos 2α”，进而将原来的代数式化成关于sin α，cos α的齐次分式，求解．【解】 ∵sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α＝13，∴cos α≠0.(1)原式＝5tan α＋7tan α－3＝5×13＋713－3＝－134.(2)解法一：∵1＋tan 2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1cos 2α， ∴原式＝1cos 2α(1－2tan α＋5tan 2α)＝1＋tan 2α1－2tan α＋5tan 2α.将tan α＝13代入上式得：原式＝1＋191－23＋5×19＝9＋19－6＋5＝54.解法二：∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴原式＝cos 2α＋sin 2αcos 2α－2sin αcos α＋5sin 2α＝1＋tan 2α1－2tan α＋5tan 2α. 将tan α＝13代入上式得，原式＝ 1＋191－23＋5×19＝9＋19－6＋5＝54.解法三：∵tan α＝13，∴sin αcos α＝13，令sin α＝k ，cos α＝3k ，则1＝cos 2α＋sin 2α＝10k 2.∴原式＝10k 29k 2－6k 2＋5k 2＝54.规律方法 关于sin α，cos α的齐次式的求值问题关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子，且它们的次数相同，其求解策略为：可用cos n α(n ∈N ＋)去除原式分子、分母的各项，这样可以将原式化为关于tan α的表达式，再整体代入tan α＝m 的值，从而完成求值任务．具体如下：(1)形如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α，a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2αd sin 2α＋e sin αcos α＋f cos 2α的分式，分子、分母分别同时除以cos α，cos 2α，将正、余弦转化为正切或常数，从而求值．(2)形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin 2α＋cos 2α，转化为形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2αsin 2α＋cos 2α的式子．已知tan α＝2，求下列各式的值： (1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α； (2)sin 2α－3sin αcos α＋1.解：(1)解法一：因为tan α＝2，所以cos α≠0，2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2sin αcos α－3cos αcos α4sin αcos α－9cos αcos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1.解法二：因为tan α＝2，所以sin α＝2cos α， 故原式＝2×2cos α－3cos α4×2cos α－9cos α＝－1.(2)sin 2α－3sin αcos α＋1＝sin 2α－3sin αcos α＋(sin 2α＋cos 2α)＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2α＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan α＋1tan 2α＋1＝2×22－3×2＋122＋1＝35.类型三 含sin α±cos α，sin αcos α的式子的求值【例3】 已知0<α<π，sin α＋cos α＝15，求sin α－cos α的值．【思路探究】 欲求sin α－cos α的值，可先求(sin α－cos α)2，为此需由已知条件求出sin α·cos α的值，解题时需注意sin α－cos α的符号．【解】 将已知等式两边平方，得1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425.又∵0<α<π，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α>0， ∴sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝75. 规律方法 1.sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α三个式子中，已知其中一个，可以求出其他两个，即“知一求二”．它们的关系是：(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α.2．求sin α＋cos α或sin α－cos α的值时，要注意判断它们的符号．已知0<α<π，sin αcos α＝－60169，求sin α－cos α的值．解：∵0<α<π，sin αcos α＝－60169<0，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0.由(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×(－60169)＝289169，∴sin α－cos α＝1713.类型四 化简三角函数式【例4】 化简：(1)1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α；(2)1cos α1＋tan 2α＋1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.【思路探究】 所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少、次数尽可能的低、函数的种类尽可能的少、分母中尽量不含三角函数符号、能求值的一定要求值．【解】 (1)解法一：原式＝(cos 2α＋sin 2α)2－cos 4α－sin 4α(cos 2α＋sin 2α)3－cos 6α－sin 6α＝2cos 2α·sin 2α3cos 2αsin 2α(cos 2α＋sin 2α)＝23. 解法二：原式＝1－(cos 4α＋sin 4α)1－(cos 6α＋sin 6α)＝1－[(cos 2α＋sin 2α)2－2cos 2α·sin 2α]1－(cos 2α＋sin 2α)(cos 4α－cos 2α·sin 2α＋sin 4α)＝1－1＋2cos 2α·sin 2α1－[(cos 2α＋sin 2α)2－3cos 2α·sin 2α] ＝2cos 2α·sin 2α3cos 2α·sin 2α＝23. 解法三：原式＝(1－cos 2α)(1＋cos 2α)－sin 4α(1－cos 2α)(1＋cos 2α＋cos 4α)－sin 6α＝sin 2α(1＋cos 2α－sin 2α)sin 2α(1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α)＝2cos 2α1＋cos 2α＋(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝23. (2)原式＝1cos α1＋sin 2αcos 2α＋(1＋sin α)21－sin 2α－(1－sin α)21－sin 2α＝|cos α|cos α＋1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2tan α(α是第一、四象限角)，－1－2tan α(α是第二、三象限角).规律方法 化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下的式子化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．若α为第二象限角，则sin 2α－sin 4αcos α＝( B )A ．sin αB ．－sin αC ．cos αD ．－cos α 解析：sin 2α－sin 4α＝sin 2α(1－sin 2α)＝sin 2α·cos 2α＝|sin αcos α|.因为α为第二象限角，则cos α<0，sin α>0，则|sin αcos α|＝－sin αcos α，所以原式＝－sin α.类型五 证明三角函数式【例5】 求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.【思路探究】思路1：等号右边分子、分母同乘tan α－sin α→利用平方关系和商数关系由右向左进行化简即可思路2：商数关系，平方关系→分别对等号两边的式子进行化简即可【证明】 法1：右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边， 故原等式成立．法2：因为左边＝tan αsin αtan α－tan αcos α＝sin α1－cos α，右边＝tan α＋tan αcos αtan αsin α＝1＋cos αsin α＝1－cos 2αsin α(1－cos α)＝sin 2αsin α(1－cos α)＝sin α1－cos α. 所以左边＝右边，故原等式成立． 规律方法 证明三角恒等式的方法证明恒等式的过程就是通过转化消去等式两边的差异来促成统一的过程，证明方法常有以下几种：(1)从等式的一边证得另一边，一般从比较复杂的一边化简到另一边，其依据是等式的传递性．(2)综合法：由一个已知等式或公式恒等变形得到要证明的等式，其依据是等价转化的思想．(3)证明左、右两边都等于同一个式子(或值)，其依据是等式的传递性． (4)比较法：证明“左边－右边＝0”或“左边右边＝1”．(5)化异为同法：即化异名为同名，化异角为同角等．求证：tan 2α－sin 2α＝tan 2α·sin 2α.证明：法1：右边＝tan 2α(1－cos 2α)＝tan 2α－tan 2α·cos 2α＝tan 2α－sin 2αcos 2α·cos 2α＝tan 2α－sin 2α＝左边，所以等式成立．法2：左边＝sin 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α－sin 2αcos 2αcos 2α＝sin 2α(1－cos 2α)cos 2α＝tan 2α·sin 2α＝右边． 等式成立．——规范解答—— 利用同角三角函数关系式求值【例6】 在△ABC 中，sin A －cos A ＝1713，求tan A 的值． 【审题】审条件→一个三角形：△ABC一个关系：sin A －cos A ＝1713 ↓ 建联系→求解tan A 的值，根据已有的关系把tan A 与sin A ，cos A 联系起来↓找思路→由在△ABC 中，确定A ∈(0，π)，再结合已知的关系与sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立解方程，先求解sin A ，cos A ，再求解tan A【解题】 由sin A －cos A ＝1713知，cos A ＝sin A －1713，又因cos 2A ＋sin 2A ＝1，有(sin A －1713)2＋sin 2 A ＝1， 化简得sin 2A －1713sin A ＋60169＝0， 解得sin A ＝1213或sin A ＝513. 又因为A 为△ABC 的内角，所以sin A >0，当sin A ＝1213时，cos A ＝－513，tan A ＝－125， 当sin A ＝513时，cos A ＝－1213，tan A ＝－512. 【小结】 1.隐含条件的挖掘对题目的条件要认真分析，找出隐含条件，并要学会辨析使用，如本例中在三角形中，内角都是有范围的，均为(0，π)，从而有sin A >0这一条件．2．常用知识应用一些常见常用的知识要记牢，并会应用，如三角函数求值中，只要涉及sin α与cos α，就有sin 2α＋cos 2α＝1，这一条件往往是解题的关键．已知sin α＋cos α＝－13，其中0<α<π，求sin α－cos α的值． 解：因为sin α＋cos α＝－13， 所以(sin α＋cos α)2＝19， 所以1＋2sin αcos α＝19， 所以sin αcos α＝－49. 因为0<α<π且sin αcos α<0，所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α>0.又因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝179，所以sin α－cos α＝173.一、选择题1．化简 1－sin 2π5的结果是( A )A ．cos π5 B ．－cos π5C ．sin π5D ．－sin π5解析：原式＝cos 2π5＝cos π5.2．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α 的值为( B )A ．0 B.34C ．1 D.54解析：本小题主要考查同角三角函数基本关系式． 原式＝2tan α－1tan α＋2＝34，故选B.3．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α等于( D) A.15 B ．－15C.513 D ．－513解析：∵tan α＝－512，∴sin αcos α＝－512，即cos α＝－125sin α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴16925sin 2α＝1，解得sin α＝±513. 而α是第四象限角，∴sin α＝－513. 二、填空题4．化简1＋2sin4cos4＝－(sin4＋cos4)． 解析：原式＝sin 24＋2sin4cos4＋cos 24 ＝(sin4＋cos4)2＝|sin4＋cos4|.∵π<4<3π2，∴sin4<0，cos4<0. ∴原式＝－(sin4＋cos4)．5．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝－35. 解析：考查同角三角函数值间的关系．∵sin θ＝－45<0，tan θ>0， ∴θ在第三象限．∴cos θ＝－35. 三、解答题6．已知tan α＝3，求下列各式的值． (1)4cos α－sin α4cos α＋sin α； (2)2sin 2α－3sin α·cos α.解：(1)原式＝4－tan α4＋tan α＝4－34＋3＝17. (2)原式＝2sin 2α－3sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan αtan 2α＋1＝2×32－3×332＋1＝910.。

3.1 同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：____________；(2)商数关系：tan α＝______⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 预习交流1同角三角函数的基本关系对任意角都成立吗？ 预习交流2上述两个基本关系式有哪些变形？ 预习交流3如何正确理解同角三角函数的基本关系？ 预习交流4(1)下列四个命题中可能成立的是( )． A ．sin α＝12且cos α＝12B ．sin α＝0且cos α＝－1C ．tan α＝1且cos α＝－1D ．tan α＝－sin αcos α(α在第二象限)(2)若sin θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos θ＝____，tan θ＝____. (3)化简：cos θ·tan θ＝__________，(1－sin θ)(1＋sin θ)＝__________.答案：(1)sin 2α＋cos 2α＝1 (2)sin αcos α预习交流1：提示：平方关系对任意角都成立；商数关系只有当α≠k π＋π2(k ∈Z )时才成立．预习交流2：提示：应用同角三角函数基本关系式，根据问题的需要，应注意它们的如下变形形式：如sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α，1＝sin 2α＋cos 2α；sin α＝tan α·cosα，cos α＝sin αtan α.预习交流3：提示：(1)“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(函数有意义的前提下)，关系式都成立，与角的表达形式无关，如：sin 23α＋cos 23α＝1等．(2)注意公式成立的条件．(3)注意公式的变形，特别是公式的逆用． (4)在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限来决定，不可凭空猜想．预习交流4：(1)B (2)－45 －34(3)sin θ cos 2θ一、求值问题1．求同一个角的三角函数值(1)已知sin α＝45，且α是第二象限的角，求cos α，tan α.(2)(2011·上海春季高考题改编)在△ABC 中，tan A ＝23，求sin A 和cos A 的值． 思路分析：(1)已知sin α的值，且知道了角α所在的象限，由sin 2α＋cos 2α＝1直接求出cos α，再利用tan α＝sin αcos α求tan α.(2)题中的前提条件“在△ABC 中”实际上暗示了角A ∈(0，π)，又给出tan A ＝23，进一步明确了角A 是锐角，因此，在利用关系求解待求的三角函数值时应取正值．已知tan α＝－5，且α是第二象限角，求sin α，cos α.利用同角三角函数关系求值可以按以下步骤、方法进行：(1)一看：由题设的条件能否确定角的范围，角的范围直接决定三角函数值解的个数． (2)二变：在求值时，往往要在原有关系的基础上先变形，再列方程(组)，具体如下： ①若已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下变形：②若已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下变形：(3)三算：利用步骤(2)建立方程(组)，并结合步骤(1)确定角的范围，写出该角的三角函数值．2．关于sin α，cos α齐次式的求值(1)若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为( )．A ．0B.34C ．1D.54 (2)已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( )． A ．－43B.54C ．－34D.45思路分析：将待求式(或已知式)中的弦化切，充分利用sin αcos α＝tan α和sin 2α＋cos 2α＝1的代换．(3)已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，求sin θcos θ的值．(2012·山东潍坊高三期末，5)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是( )．A.25B ．－25C ．－2D ．2关于sin α，cos α的齐次式的求值问题关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子，且它们的次数之和相同，其求解策略为：可用cos nα(n ∈N ＋)去除原式分子、分母的各项，这样可以将原式化为关于tan α的表达式，再整体代入tan α＝m 的值，从而完成求值任务．具体如下：(1)形如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α，a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2αd sin 2α＋e sin αcos α＋f cos 2α的分式，分子、分母分别同时除以cos α，cos 2α，将正、余弦转化为正切或常数，从而求值．(2)形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin 2α＋cos 2α，转化为形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2αsin 2α＋cos 2α的式子． 3．含sin α±cos α，sin αcos α的式子的求值已知0＜α＜π，sin α＋cos α＝15，求sin α－cos α的值．思路分析：欲求sin α－cos α的值，可先求(sin α－cos α)2，为此需由已知条件求出sin α·cos α的值，解题时需注意sin α－cos α的符号．已知0＜α＜π，sin αcos α＝－60169，求sin α－cos α的值．1.sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α 三个式子中，已知其中一个，可以求出其他两个，即“知一求二”．它们的关系是：(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α.2．求sin α＋cos α或sin α－cos α的值时，要注意判断它们的符号． 二、化简三角函数式化简sin α1－cos α·tan α－sin αtan α＋sin α.思路分析：本题中需化简的式子既有正弦、余弦，也有正切且含有根号，故解答时，可先开方，后化简．为此先“切化弦”，再构造“完全平方”后利用“平方关系”开方化简．化简：1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<α<π.化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下的式子化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．三、证明三角恒等式求证：(sin α＋cos α)2＝1＋2sin 2αtan α.思路分析：所要求证的等式左右两边均比较繁琐时，由一边推导出另一边比较困难，此时可将两边分别化简再比较．求证：(1)sin 4α－cos 4α＝2sin 2α－1；(2)tan 2α－sin 2α＝tan 2αsin 2α.证明三角恒等式的策略证明三角恒等式，实际上就是将等式左右两端表面看似存在较大差异的式子，通过巧妙变形后消除差异，使其左右两端相等．为了达到这个目的，我们经常采用以下的策略和方法：(1)从一边开始，证明它等于另一边． (2)证明左右两边都等于同一个式子．(3)变更论证，采用左右相减、化除为乘等方法，转化成与原结论等价的命题形式． 答案：活动与探究1：解：(1)由sin 2α＋cos 2α＝1，得cos α＝±1－sin 2α，因为α是第二象限角，cos α＜0，所以cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35，tan α＝sin αcos α＝－43.(2)由题意知A ∈(0，π)且tan A ＝23， ∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，从而sin A ＞0，cos A ＞0.由⎩⎪⎨⎪⎧sin A cos A ＝23，sin 2A ＋cos 2A ＝1，解得sin A ＝2211，cos A ＝31111. 迁移与应用：解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝－5，①②由②得sin α＝－5cos α，代入①得cos 2α＝16.∵α是第二象限的角，∴cos α＝－66，sin α＝－5cos α＝－5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－66＝306. 活动与探究2：(1)B (2)D 解析：(1)分子、分母同时除以cos α(cos α≠0)得，2sin α－cos αsin α＋2cos α＝2sin α－cos αcos αsin α＋2cos αcos α＝2tan α－1tan α＋2＝34.(2)将分母看作1＝sin 2θ＋cos 2θ，原式＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝4＋2－24＋1＝45. (3)解：∵sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋1tan θ－1＝2，∴tan θ＝3.∴sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝310. 迁移与应用：A 解析：原式化为tan α＋33－tan α＝5，解得tan α＝2.∴sin 2α－sin αcosα＝sin 2α－sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan α1＋tan 2α＝25.活动与探究3：解：将已知等式两边平方，得1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425.又∵0＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴sin α－cos α＞0，∴sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝75.迁移与应用：解：∵0＜α＜π，sin αcos α＝－60169＜0，∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0.由(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－60169＝289169，∴sin α－cos α＝1713. 活动与探究4：解：原式＝sin α1－cos α·sin αcos α－sin αsin αcos α＋sin α＝sin α1－cos α·1cos α－11cos α＋1＝sin α1－cos α·1－cos α1＋cos α＝sin α1－cos α·(1－cos α)2(1＋cos α)(1－cos α)＝sin α1－cos α·1－cos α|sin α|＝±1. 迁移与应用：解：原式＝(1＋sin α)2(1－sin α)(1＋sin α)－(1－sin α)2(1＋sin α)(1－sin α)＝(1＋sin α)2cos 2α－(1－sin α)2cos 2α＝－1＋sin αcos α＋1－sin αcos α＝－2sin αcos α＝－2tan α.活动与探究5：证明：左边＝1＋2sin α·cos α，右边＝1＋2sin 2αsin αcos α＝1＋2sin α·cos α＝左边．∴等式成立．迁移与应用：证明：(1)左边＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－cos 2α＝sin 2α－(1－sin 2α)＝2sin 2α－1＝右边． ∴等式成立．(2)右边＝tan 2α(1－cos 2α)＝tan 2α－tan 2αcos 2α＝tan 2α－sin 2αcos 2αcos 2α ＝tan 2α－sin 2α＝左边． ∴等式成立．1．化简1－sin2π5的结果是( )． A ．cos π5B ．－cos π5C ．sin π5D ．－sin π52．已知cos θ＝35，且3π2＜θ＜2π，那么tan θ的值为( )．A.43B ．－43C.35D ．－343．已知α是第四象限的角，tan α＝－512，则sin α等于( )．A.15B ．－15C.513D ．－5134．化简1＋2sin 4cos 4＝______. 5．已知tan α＝3，求下列各式的值： (1)4cos α－sin α4cos α＋sin α； (2)2sin 2α－3sin α·cos α.答案：1．A 解析：原式＝cos2π5＝cos π5. 2．B 解析：∵3π2＜θ＜2π，且cos θ＝35，∴sin θ＝－45，∴tan θ＝sin θcos θ＝－43.3．D 解析：∵tan α＝－512，∴sin αcos α＝－512，即cos α＝－125sin α. 又sin 2α＋cos 2α＝1，∴16925sin 2α＝1，解得sin α＝±513.而α是第四象限的角，∴sin α＝－513.4．－(sin 4＋cos 4)解析：原式＝sin 24＋2sin 4cos 4＋cos 24＝(sin 4＋cos 4)2＝|sin 4＋cos 4|＝－(sin 4＋cos 4)(∵sin 4＜0，cos 4＜0)．5．解：(1)原式＝4－tan α4＋tan α＝4－34＋3＝17.(2)原式＝2sin 2α－3sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan αtan 2α＋1＝2×32－3×332＋1＝910.。

第三章三角恒等变形§1同角三角函数的基本关系（一）课时目标1．理解并掌握同角三角函数的基本关系式及常见变形．2．能运用平方关系和商的关系进行求值．1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：________________________．(2)商数关系：________________________(α≠k π＋π2，k ∈Z )2．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式： sin 2α＝____________；cos 2α＝____________； (sin α＋cos α)2＝_________________________________________________________；(sin α－cos α)2＝_________________________________________________________；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝________；sin α·cos α＝__________________________＝______________________________．(2)tan α＝sin αcos α的变形公式：sin α＝__________________；cos α＝_______________________________________．一、选择题1．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α等于( )A ．15B ．－15C ．513D ．－513 2．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－15 B ．－35 C ．15 D ．353．记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( )A ．1－k 2kB ．－1－k 2k C ．k1－k2D ．－k1－k24．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( ) A ．13 B ．3 C ．－13D ．－3 5．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为( ) A ．－4 B ．4 C ．－8 D ．86．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α等于( ) A ．12 B ．2 C ．－12 D ．－2 二、填空题7．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α＝________．8．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝_____________________________．9．已知sin αcos α＝18且π4<α<π2，则cos α－sin α＝____________________________．10．若sin θ＝k ＋1k －3，cos θ＝k －1k －3，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为________．三、解答题11．已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611，求下列各式的值．(1)5cos 2θsin 2θ＋2sin θcos θ－3cos 2θ； (2)1－4sin θcos θ＋2cos 2θ．12．已知α是第三象限角，f (α)＝sin(α－π2)cos(32π＋α)tan(π－α)(1)化简f (α)；(2)若cos(α－32π)＝15，求f (α)的值．能力提升13．设定义在区间(0，π2)上的函数y ＝6cos x 的图像与y ＝5tan x 的图像交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为P 1，直线PP 1与函数y ＝sin x 的图像交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________．14．已知sin θ＋cos θ＝15，θ∈(0，π)．求：(1)sin θ－cos θ；(2)sin 3θ＋cos 3θ．1．对基本关系的理解 注意“同角”，这里“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，与角的表达形式无关．如：sin 23α＋cos 23α＝1；sinα2cosα2＝tan α2；而sin 2α＋cos 2β＝1就不一定成立．2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式．3．熟悉sin θ＋cos θ，sin θ·cos θ，sin θ－cos θ这三个式子之间的关系，已知其中一个式子的值，可求出另外两式子的值，但应注意符号选取．第三章 三角恒等变形§1 同角三角函数的基本关系(一)答案知识梳理1．(1)sin 2α＋cos 2α＝1 (2)tan α＝sin αcos α2．(1)1－cos 2α 1－sin 2α 1＋2sin αcos α 1－2sin αcos α 2(sin α＋cos α)2－121－(sin α－cos α)22(2)cos αtan α sin αtan α作业设计1．D [∵α是第四象限角，且tan α＝－512，∴sin α＝－5122＋52＝－513．] 2．B [sin 4α－cos 4α＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝2×15－1＝－35．]3．B [∵cos (－80°)＝k ，∴cos 80°＝k ，∴sin 80°＝1－k 2．∴tan 80°＝1－k2k．∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k2k．]4．C [1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)(sin α－cos α)＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝－13．] 5．C [tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α．∵sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22＝－18，∴tan α＋1tan α＝－8．]6．B [方法一 由⎩⎨⎧cos α＋2sin α＝－5cos 2α＋sin 2α＝1联立消去cos α后得(－5－2sin α)2＋sin 2α＝1．化简得5sin 2α＋45sin α＋4＝0∴(5sin α＋2)2＝0，∴sin α＝－255．∴cos α＝－5－2sin α＝－55． ∴tan α＝sin αcos α＝2． 方法二 ∵cos α＋2sin α＝－5，∴cos 2α＋4sin αcos α＋4sin 2α＝5， ∴cos 2α＋4sin αcos α＋4sin 2αcos 2α＋sin 2α＝5，∴1＋4tan α＋4tan 2α1＋tan 2α＝5， ∴tan 2α－4tan α＋4＝0，∴(tan α－2)2＝0，∴tan α＝2．]7．－438．45解析 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1，又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45．9．－32解析 (cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝34，∵π4<α<π2，∴cos α<sin α．∴cos α－sin α＝－32． 10．34解析 ∵sin 2θ＋cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k －32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k －32＝1， ∴k 2＋6k －7＝0， ∴k 1＝1或k 2＝－7．当k ＝1时，cos θ不符合，舍去．当k ＝－7时，sin θ＝35，cos θ＝45，tan θ＝34．11．解 由已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611，∴4tan θ－23tan θ＋5＝611． 解得：tan θ＝2．(1)原式＝5tan 2θ＋2tan θ－3＝55＝1．(2)原式＝sin 2θ－4sin θcos θ＋3cos 2θ ＝sin 2θ－4sin θcos θ＋3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ－4tan θ＋31＋tan 2θ ＝－15．12．解 (1)f(α)＝sin (α－π2)cos (32π＋α)tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－π－α)＝－sin (π2－α)·sin α(－tan α)(－tan α)·sin α＝cos α·sin α·tan α－tan α·sin α＝sin 2α－tan α·sin α＝－sin αtan α＝－cos α． (2)∵cos (α－32π)＝cos (32π－α)＝－sin α＝15∴sin α＝－15，∵α是第三象限角，∴cos α＝－265∴f(α)＝－cos α＝256．13．23解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝6cos x ，y ＝5tan x 消去y 得6cos x ＝5tan x ．整理得6cos 2x ＝5sin x,6sin 2x ＋5sin x －6＝0，(3sin x －2)·(2sin x ＋3)＝0，所以sin x ＝23或sin x ＝－32(舍去)．点P 2的纵坐标y 2＝23，所以|P 1P 2|＝23．14．解 (1)由sin θ＋cos θ＝15两边平方得，sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝125，∴2sin θcos θ＝－2425，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝4925．又∵sin θcos θ<0，θ∈(0，π)，∴cos θ<0，θ∈(π2，π)，∴sin θ－cos θ＝75．(2)sin 3θ＋cos 3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ) ＝15×(1＋1225)＝37125．。

第三章 三角恒等变形1 同角三角函数关系巧运用同角三角函数的用途主要体现在三角函数的求值和恒等变形中各函数间的相互转化，下面结合常见的应用类型举例分析，体会其转化作用，展现同角三角函数关系的巧运用． 一、知一求二例1 已知sin α＝255，π2≤α≤π，则tan α＝_______________________.解析 由sin α＝255，且sin 2α＋cos 2α＝1得cos α＝±55， 因为π2≤α≤π，可得cos α＝－55，所以tan α＝sin αcos α＝－2.答案 －2点评 已知某角的弦函数值求其他三角函数值时，先利用平方关系求另一弦函数值，再求切函数值，需要注意的是利用平方关系时，若没有角度的限制，要注意分类讨论． 二、“1”的妙用例2 证明：1－sin 6x －cos 6x 1－sin 4x －cos 4x ＝32.证明 因为sin 2x ＋cos 2x ＝1，所以1＝(sin 2x ＋cos 2x )3,1＝(sin 2x ＋cos 2x )2， 所以1－sin 6x －cos 6x 1－sin 4x －cos 4x＝2x ＋cos 2x 3－sin 6x －cos 6x 2x ＋cos 2x2－sin 4x －cos 4x＝3sin 4x ·cos 2x ＋3cos 4x ·sin 2x 2sin 2x cos 2x＝2x ＋cos 2x2＝32. 即原命题得证．点评 本题在证明过程中，充分利用了三角函数的平方关系，对“1”进行了巧妙的代换，使问题迎刃而解． 三、齐次式型求值例3 已知tan α＝2，求值：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝________； (2)2sin 2α－3cos 2α＝________.解析 (1)因为cos α≠0，分子分母同除以cos α， 得2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1.(2)2sin 2α－3cos 2α＝2sin 2α－3cos 2αsin 2α＋cos 2α， 因为cos 2α≠0，分子分母同除以cos 2α， 得2sin 2α－3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan 2α＋1＝2×22－322＋1＝1. 答案 (1)－1 (2)1点评 这是一组在已知tan α＝m 的条件下，求关于sin α、cos α的齐次式值的问题．解这类问题需注意以下几点：(1)一定是关于sin α、cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式．(2)因为cos α≠0，所以分子、分母可同时除以cos nα(n ∈N ＋)．这样可以将所求式化为关于tan α的表达式，整体代入tan α＝m 的值求解.2 三角恒等变形中角的变换的技巧三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变形离不开角之间的变换．观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变形的一种常用技巧． 一、利用条件中的角表示目标中的角例1 设α、β为锐角，且满足cos α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．分析 利用变换β＝α－(α－β)沟通条件与欲求之间的关系． 解 ∵α、β为锐角，且tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－ tan 2α－β1＋tan 2α－β＝－1010， cos(α－β)＝1－sin2α－β＝31010，sin α＝1－cos 2α＝35.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×(－1010)＝91050. 二、利用目标中的角表示条件中的角例2 设α为第四象限的角，若sin 3αsin α＝135，则tan 2α＝_______________________.分析 要求tan 2α的值，注意到sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α，代入到sin 3αsin α＝135，首先求出cos 2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan 2α.解析 由sin 3αsin α＝α＋αsin α＝sin 2αcos α＋cos 2αsin αsin α＝2cos 2α＋cos 2α＝135，∵2cos 2α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝135，∴cos 2α＝45.∵α为第四象限的角，∴2k π＋3π2<α<2k π＋2π(k ∈Z )，∴4k π＋3π<2α<4k π＋4π(k ∈Z )， ∴2α可能在第三、四象限， 又∵cos 2α＝45，∴2α在第四象限，∴sin 2α＝－35，tan 2α＝－34.答案 －34三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角 例3 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值．分析 转化为已知一个角⎝⎛⎭⎪⎫π4－x 的三角函数值，求这个角的其余三角函数值的问题．这样可以将所求式子化简，使其出现⎝⎛⎭⎪⎫π4－x 这个角的三角函数．解 原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ，∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，且0<x <π4，∴π4－x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213，∴原式＝2×1213＝2413.四、观察式子结构特征，灵活凑出特殊角例4 求函数f (x )＝1－32sin(x －20°)－cos(x ＋40°)的最大值．分析 观察角(x ＋40°)－(x －20°)＝60°，可以把x ＋40°看成(x －20°)＋60°后运用公式展开，再合并化简函数f (x )．解 f (x )＝1－32sin(x －20°)－cos[(x －20°)＋60°]＝12sin(x －20°)－32sin(x －20°)－cos(x －20°)cos 60°＋sin(x －20°)sin 60° ＝12[sin(x －20°)－cos(x －20°)]＝22sin(x －65°)， 当x －65°＝k ·360°＋90°，即x ＝k ·360°＋155°(k ∈Z )时，f (x )有最大值22.3 三角函数化简求值的“主角”——“变角”三角函数化简求值是学习三角的一个重要内容，而“变角”是化简的重要形式，是化简求值这场大戏中的主角，它的表演套路主要有以下几招： 第一招 单角化复角例1 已知sin α＝12，α是第二象限的角，且tan(α＋β)＝－3，则tan β的值为________．解析 因为sin α＝12，α为第二象限的角，所以cos α＝－32，所以tan α＝－33. 所以tan β＝tan[(α＋β)－α]＝－3－－331＋－3－33＝－2332＝－33.答案 －33点评 将单角用已知复角表示时，需要将复角进行适当的组合、拆分，常见的拆分组合形式如：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等．第二招 复角化单角 例2 化简：α＋βsin α－2cos(α＋β)． 解 原式＝α＋β－α＋βαsin α＝sin[α＋α＋β－α＋βαsin α ＝sα＋βα－α＋βαsin α＝α＋β－αsin α＝sin βsin α. 点评 由于该式含有2α＋β和α＋β，这两个角都是复角，而化简的要求为最终结果皆为单角，所以化简的思路就是利用两角和与差的正弦或余弦公式展开即可． 第三招 复角化复角例3 已知π4<α<34π，0<β<π4，cos(π4＋α)＝－35，sin(3π4＋β)＝513，求sin(α＋β)的值．解 因为π4<α<34π，π2<π4＋α<π，所以sin(π4＋α)＝1－cos2π4＋α＝45. 又因为0<β<π4，34π<34π＋β<π，所以cos(34π＋β)＝ －1－sin23π4＋β＝－1213，所以sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)＝－sin[(π4＋α)＋(3π4＋β)]＝－[sin(π4＋α)cos(3π4＋β)＋cos(π4＋α)sin(3π4＋β)]＝－[45×(－1213)＋(－35)×513]＝6365.点评 由已知条件求出sin α或cos α过程较繁琐，故需要找到α＋β与π4＋α和3π4＋β的关系，即是将所求复角化为已知复角，再结合题目中等式关系和角的范围限制具体求解.4 三角恒等变形的几个技巧三角函数是高考的热点，素以“小而活”著称．除了掌握基础知识之外，还要注意灵活运用几个常用的技巧．下面通过例题进行解析，希望对同学们有所帮助． 一、灵活降幂例1 3－sin 70°2－cos 210°＝________. 解析3－sin 70°2－cos 210°＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝3－cos 20°3－cos 20°2＝2. 答案 2点评 常用的降幂技巧还有：因式分解降幂、用平方关系sin 2θ＋cos 2θ＝1进行降幂：如cos 4θ＋sin 4θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)2－2cos 2θsin 2θ＝1－12sin 22θ，等等．二、化平方式 例2 化简求值：12－1212＋12cos 2α(α∈(3π2，2π))． 解 因为α∈(3π2，2π)，所以α2∈(3π4，π)，所以cos α>0，sin α2>0，故原式＝12－12 1＋cos 2α2＝ 12－12cos α ＝sin2α2＝sin α2. 点评 一般地，在化简求值时，遇到1＋cos 2α、1－cos 2α、1＋sin 2α、1－sin 2α常常化为平方式：2cos 2α、2sin 2α、(sin α＋cos α)2、(sin α－cos α)2. 三、灵活变角例3 已知sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)＝________.解析 cos(2π3＋2α)＝2cos 2(π3＋α)－1＝2sin 2(π6－α)－1＝2×(13)2－1＝－79.答案 －79点评 正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角“π6－α”表示待求角“2π3＋2α”，善于发现前者和后者的一半互余． 四、构造齐次弦式比，由切求弦例4 已知tan θ＝－12，则cos 2θ1＋sin 2θ的值是________．解析 cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＋2sin θcos θ ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＋2tan θ＝1－141＋14＋－12＝3414＝3. 答案 3点评 解本题的关键是先由二倍角公式和平方关系把“cos 2θ1＋sin 2θ”化为关于sin θ和cosθ的二次齐次弦式比．五、分子、分母同乘以2nsin α求cos αcos 2αcos 4α·cos 8α…cos 2n －1α的值例5 求值：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°. 解 原式＝12cos 20°cos 40°cos 80°＝4sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°8sin 20°＝2sin 40°cos 40°cos 80°8sin 20°＝sin 80°cos 80°8sin 20°＝116·sin 160°sin 20°＝116.点评 这类问题的解决方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍数即可.5 聚焦三角函数最值的求解策略一、化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式求解例1 求函数f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ＋sin 2x cos 2x2－sin 2x的最值．解 原函数变形得：f (x )＝2x ＋cos 2x2－sin 2x cos 2x2－sin 2x＝1－14sin 22x 2－sin 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12sin 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12sin 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12sin 2x ＝14sin 2x ＋12.∴f (x )max ＝34，f (x )min ＝14. 例2 求函数y ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x 的最小值，并写出y 取最小值时x 的集合． 解 原函数化简得：y ＝sin 2x ＋cos 2x ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2.当2x ＋π4＝2k π＋32π，k ∈Z ，即x ＝k π＋58π，k ∈Z 时，y min ＝2－ 2.此时x 的集合为{x |x＝k π＋58π，k ∈Z }．点评 形如y ＝a sin 2ωx ＋b sin ωx cos ωx ＋c cos 2ωx ＋d (a ，b ，c ，d 为常数)的式子，都能转化成y ＝A sin(2ωx ＋φ)＋B 的形式求最值． 二、利用正弦、余弦函数的有界性求解 例3 求函数y ＝2sin x ＋12sin x －1的值域．解 原函数整理得sin x ＝y ＋1y －.∵|sin x |≤1，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋1y －≤1，解出y ≤13或y ≥3. 即函数的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13∪[3，＋∞)． 例4 求函数y ＝sin x ＋3cos x －4的值域．解 原函数整理得sin x －y cos x ＝－4y －3， ∴y 2＋1sin(x ＋φ)＝－4y －3， ∴sin(x ＋φ)＝－4y －31＋y 2. ∵|sin(x ＋φ)|≤1，解不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4y －31＋y 2≤1得：－12－2615≤y ≤－12＋2615. 即值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2615，－12＋2615. 点评 对于形如y ＝a sin x ＋b c sin x ＋d 或y ＝a sin x ＋bc cos x ＋d的这类函数，均可利用三角函数中弦函数的有界性去求最值．三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值例5 设关于x 的函数y ＝cos 2x －2a cos x －2a 的最小值为f (a )，写出f (a )的表达式．解 y ＝cos 2x －2a cos x －2a ＝2cos 2x －2a cos x －(2a ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －a 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋2a ＋1.当a2<－1，即a <－2时，f (a )＝y min ＝1，此时cos x ＝－1.当－1≤a2≤1，即－2≤a ≤2时，f (a )＝y min ＝－a 22－2a －1，此时cos x ＝a2.当a2>1，即a >2时，f (a )＝y min ＝1－4a ，此时cos x ＝1. 综上所述，f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a <－，－a22－2a －－2≤a，1－4a a点评 形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数可转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 在区间[－1,1]上的最值问题解决．例6 试求函数y ＝sin x ＋cos x ＋2sin x cos x ＋2的最值．解 设sin x ＋cos x ＝t ，t ∈[－2， 2 ]，则2sin x cos x ＝t 2－1，原函数变为y ＝t 2＋t ＋1，t ∈[－2， 2 ]，当t ＝－12时，y min ＝34；当t ＝2时，y max ＝3＋ 2.点评 一般地，既含sin x ＋cos x (或sin x －cos x )又含sin x cos x 的三角函数采用换元法可以转化为t 的二次函数解最值．注意以下结论的运用，设sin x ＋cos x ＝t ，则sin x cosx ＝12(t 2－1)；sin x －cos x ＝t ，则sin x cos x ＝12(1－t 2)．四、利用函数的单调性求解 例7 求函数y ＝＋sin x ＋sin x2＋sin x的最值．解 y ＝sin 2x ＋4sin x ＋3sin x ＋2＝x ＋2－1sin x ＋2＝(sin x ＋2)－1x ＋，令t ＝sin x ＋2，则t ∈[1,3]，y ＝t －1t.利用函数单调性的定义易证函数y ＝t －1t在[1,3]上为增函数．故当t ＝1即sin x ＝－1时，y min ＝0； 当t ＝3即sin x ＝1时，y max ＝83.例8 在Rt△ABC 内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC 上，设AB ＝a ，∠ABC ＝θ，△ABC 的面积为P ，正方形面积为Q .求PQ的最小值．解 AC ＝a tan θ，P ＝12AB ·AC ＝12a 2tan θ.设正方形边长为x ，AG ＝x cos θ，BC ＝acos θ.BC 边上的高h ＝a sin θ，∵AG AB ＝h －xh，即x cos θa ＝a sin θ－x a sin θ，∴x ＝a sin θ1＋sin θcos θ， ∴Q ＝x 2＝a 2sin 2θ＋sin θcos θ2.从而P Q ＝sin θ2cos θ·＋sin θcos θ2sin 2θ＝＋sin 2θ24sin 2θ＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 2θ4＋1sin 2θ.易知函数y ＝1t ＋t4在区间(0,1]上是减少的，所以当sin 2θ＝1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫P Q min ＝94. 点评 一些复杂的三角函数最值问题，可以通过适当换元转化为简单的代数函数后，利用函数单调性巧妙解决．6 《三角恒等变形》一章易错问题盘点一、求角时选择三角函数类型不当而致错例1 已知sin α＝55，sin β＝1010，α和β都是锐角，求α＋β的值． [错解] 因为α和β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝255，cos β＝31010， sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝55×31010＋255×1010＝22. 因为α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则α＋β∈(0，π)．所以α＋β＝π4或3π4.[剖析] 由sin α＝55，sin β＝1010，α和β都是锐角，可以知道α和β都是定值，因此α＋β也是定值，因此上述解法出现两个答案，其中就有一个是错误的．这是因为sin(α＋β)在第一、第二象限没有区分度，应选择计算cos(α＋β)的值． [正解] 因为α和β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝255，cos β＝31010， cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22.因为α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π4.温馨点评 根据条件求角，主要有两步：求角的某种三角函数值；确定角的二、忽视条件中隐含的角的范围而致错例2 已知tan 2α＋6tan α＋7＝0，tan 2β＋6tan β＋7＝0，α、β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值．[错解] 由题意知tan α、tan β是方程x 2＋6x ＋7＝0的两根，由根与系数的关系得：⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6 ①tan αtan β＝7 ②∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－61－7＝1.∵0<α<π，0<β<π，∴0<α＋β<2π， ∴α＋β＝π4或α＋β＝54π.[剖析] 由①②知tan α<0，tan β<0，角α、β都是钝角．上述解法忽视了这一隐含条件．[正解] 由⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6，tan αtan β＝7易知tan α<0，tan β<0.∵α、β∈(0，π)， ∴π2<α<π，π2<β<π.∴π<α＋β<2π. 又∵tan(α＋β)＝1，∴α＋β＝54π.三、忽略三角形内角间的关系而致错例3 在△ABC 中，已知sin A ＝35，cos B ＝513，求cos C .[错解] 由sin A ＝35，得cos A ＝±45，由cos B ＝513，得sin B ＝1213，当cos A ＝45时，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665.当cos A ＝－45时，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝5665.[剖析] 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的和为π，解题时要充分利用这一定理．本题得到cos A ＝±45后，没有对cos A ＝－45这一结果是否合理进行检验，从而导致结论不正确．[正解] 由cos B ＝513>0，∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin B ＝1213.由sin A ＝35，得cos A ＝±45，当cos A ＝－45时，cos A <－12.∴A >2π3.∵sin B ＝1213>32，B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴B >π3.故当cos A ＝－45时，A ＋B >π，与A 、B 是△ABC 的内角矛盾．∴cos A ＝45，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665.四、忽略三角函数的定义域而致错例4 判断函数f (x )＝1＋sin x －cos x1＋sin x ＋cos x 的奇偶性．[错解] f (x )＝1＋sin x －cos x1＋sin x ＋cos x＝1＋2sin x2cos x 2－⎝⎛⎭⎪⎫1－2sin 2x 21＋2sin x2cos x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2－1＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x2＋sin x 22cos x 2⎝⎛⎭⎪⎫sin x 2＋cos x 2＝tan x 2，由此得f (－x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＝－tan x2＝－f (x )，因此函数f (x )为奇函数．[剖析] 运用公式后所得函数f (x )＝tan x2的定义域为{}x |x ∈R ，x ≠2k π＋π，k ∈Z .两函数的定义域不同，变形后的函数定义域扩大致错． [正解] 事实上，由1＋sin x ＋cos x ≠0可得 sin x ＋cos x ≠－1，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≠－1，从而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≠－22，所以x ＋π4≠2k π＋5π4且x ＋π4≠2k π＋7π4(k ∈Z )，故函数f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠2k π＋π，且x ≠2k π＋3π2，k ∈Z ，显然该定义域不关于原点对称． 所以函数f (x )为非奇非偶函数．五、误用公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)而致错例5 若函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)，x ∈R 是偶函数，求θ的值． [错解] ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)， ∴f (0)＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)是偶函数， ∴|f (0)|＝f (x )max ＝ 2.∴f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝±2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝±1，∴θ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z .即θ＝k π＋π4，k ∈Z .[剖析] 因为x ＋θ与x －θ是不同的角，所以函数f (x )的最大值不是2，上述解答把f (x )的最大值误当作2来处理．[正解] 因为f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)是偶函数，所以f (x )＝f (－x )对一切x ∈R 恒成立．即sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)＝sin(－x ＋θ)＋cos(－x －θ)恒成立． ∴[sin(x ＋θ)＋sin(x －θ)]＋[cos(x －θ)－cos(x ＋θ)]＝0. ∴2sin x cos θ＋2sin x sin θ＝0恒成立． 即2sin x (cos θ＋sin θ)＝0恒成立． ∴cos θ＋sin θ＝0.∵cos θ＋sin θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝0，∴θ＋π4＝k π，即θ＝k π－π4，k ∈Z .温馨点评 注意公式a sin x ＋b cos x ＝\r(a 2＋b2x ＋φ的左端是同角x .当三角函数式不符合这一特征时，不能使用该公式.,例如：函数f x ＝x ＋θ＋\x －θx ∈R 的最大值不是2.7 平面向量与三角函数的交汇题型大全平面向量与三角函数的交汇是当今高考命题的一个热点，这是因为此类试题既新颖而精巧，又符合在知识的“交汇处”构题的命题思想．这类试题解答的关键是利用向量的平行、垂直、夹角、模、数量积公式将问题转化为三角问题，然后联想相关的三角函数知识求解． 一、平面向量平行与三角函数交汇例1 已知a ＝(2cos x ＋23sin x,1)，b ＝(y ，cos x )，且a ∥b .若f (x )是y 关于x 的函数，则f (x )的最小正周期为________．解析 由a ∥b 得2cos 2x ＋23sin x cos x －y ＝0， 即y ＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1 ＝2sin(2x ＋π6)＋1，所以f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋1，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.答案 π点评 解答平面向量平行与三角函数的交汇试题一般先用平面向量平行的条件求涉及到三角函数的解析式或某角的函数值，然后再利用三角知识求解． 二、平面向量垂直与三角函数交汇例2 已知向量a ＝(4,5cos α)，b ＝(3，－4tan α)，α∈(0，π2)，若a ⊥b ，则cos(2α＋π4)＝________. 解析 因为a ⊥b ，所以4×3＋5cos α×(－4tan α)＝0， 解得sin α＝35.又因为α∈(0，π2)，所以cos α＝45.cos 2α＝1－2sin 2α＝725，sin 2α＝2sin αcos α＝2425，于是cos(2α＋π4)＝cos 2αcos π4－sin 2αsin π4＝－17250.答案 －17250点评 解答平面向量垂直与三角函数的交汇试题通常先利用平面向量垂直的条件将向量问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的知识进行处理． 三、平面向量夹角与三角函数交汇例 3 已知向量m ＝(sin θ，1－cos θ)(0<θ<π)与向量n ＝(2,0)的夹角为π3，则θ＝________.解析 由条件得|m |＝sin 2θ＋－cos θ2＝2－2cos θ，|n |＝2，m ·n ＝2sin θ，于是由平面向量的夹角公式得cos π3＝m ·n |m ||n |＝2sin θ22－2cos θ＝12，整理得2cos 2θ－cos θ－1＝0，解得cos θ＝－12或cos θ＝1(舍去)．因为0<θ<π，所以θ＝2π3.答案2π3点评 解答平面向量的夹角与三角函数的交汇试题主要利用平面向量的夹角公式建立某角的三角函数的方程或不等式，然后由三角函数的知识求解． 四、平面向量的模与三角函数交汇例4 若向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值为________． 解析 由条件可得|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝3cos θ－sin θ， 则|2a －b |＝ |2a －b |2＝ 4a 2＋b 2－4a ·b ＝8－3cos θ－sin θ＝8－θ＋π6≤4，所以|2a －b |的最大值为4. 答案 4点评 解答平面向量的模与三角函数交汇的题目一般要用到向量的模的性质|a |2＝a 2.如果是求模的大小，则一般可直接求解；如果是求模的最值，则常常先建立模关于某角的三角函数，然后利用三角函数的有界性求解． 五、平面向量数量积与三角函数交汇例5 若函数f (x )＝2sin(π6x ＋π3)(－2<x <10)的图像与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图像交于B 、C 两点，则(OB →＋OC →)·OA →等于( ) A ．－32 B ．－16 C ．16D ．32解析 由f (x )＝0，解得x ＝4，即A (4,0)，过点A 的直线l 与函数的图像交于B 、C 两点，根据对称性可知，A 是BC 的中点，所以OB →＋OC →＝2OA →，所以(OB →＋OC →)·OA →＝2OA →·OA →＝2|OA →|2＝2×42＝32，答案 D点评 平面向量数量积与三角函数的综合主要体现为两类：(1)利用三角函数给出向量的坐标形式，然后求数量积，解答时利用数量积公式可直接解决．(2)给出三角函数图像，求图像上相关点构成的向量之间的数量积，解答时关键是求涉及到的向量的模、以及它们的夹角．。

一、三角恒等变形公式 1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；商数关系：tan α＝sin αcos α.(2)应用：①已知角α的一个三角函数值可以知一求二，注意依据三角函数值确定角α的终边所在的象限．②在三角函数式的化简、求值及恒等式证明中有三个技巧：“1”的代换，sin 2α＋cos 2α＝1；切化弦；sin α±cos α平方整体代换．2．和(差)角公式(1)公式C α－β，C α＋β的公式特点：同名相乘，符号相反；公式S α－β，S α＋β的公式特点：异名相乘，符号相同；T α±β的符号规律为“分子同，分母反”．(2)和(差)角公式揭示了同名不同角的三角函数的运算规律，公式成立的条件是相关三角函数有意义，尤其是正切函数．3．二倍角公式(1)分别令公式C α＋β，S α＋β，T α＋β中的α＝β，即得公式C 2α，S 2α，T 2α.(2)“二倍”关系是相对的，只要两个角满足比值为2即可．倍角公式揭示了具有倍角关系的两个角的三角函数的运算规律．(3)公式变形升幂公式：cos 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α.降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.4．半角公式半角公式实际上是二倍角公式的变形，应用公式求值时要由α2所在的象限确定相应三角函数值的符号．二、公式的应用途径(1)正用公式：从题设条件出发，顺着问题的线索，正用三角公式，通过对信息的感知、加工、转换，运用已知条件进行推算逐步达到目的．(2)逆用公式：逆向转换、逆用公式，换个角度思考问题，逆向思维的运用往往会使解题思路茅塞顿开．(3)变形应用公式：思考问题时因势利导、融会贯通、灵活应用变形结论．如 ①1－sin 2α＝cos 2α，1－cos 2α＝sin 2α；②tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)， 1－tan αtan β＝tan α＋tan βtan （α＋β）；③sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α；④sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2；⑤2tan α＝tan 2α(1－tan 2α)等． 三、常见的三角恒等变形(1)应用公式进行三角函数式的求值，包括给角求值和给值求值和给值求角三种类型． (2)应用公式进行三角函数式的化简． (3)应用公式进行三角函数式的证明． 注意的问题 (1)“1”的代换在使用公式进行三角恒等变换的过程中，“1”的代换技巧往往使得变换过程“柳暗花明”．例如，1＝sin 2α＋cos 2α，1＝tan π4，1＝cos 2α＋2sin 2α，1＝2cos 2α－cos 2α等．(2)辅助角公式辅助角公式几乎高考必考，即a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(tan φ＝ba)．常见的有以下几个：sin α±cos α＝2sin(α±π4)，3sin α±cos α＝2sin(α±π6)，sin α±3cos α＝2sin(α±π3)．四、三角恒等变形技巧常用的技巧有：从“角”入手，即角的变化；从“名”入手，即函数名称的变化；从“幂”入手，即升降幂的变化；从“形”入手，即函数式结构的变化．[典例1] (江苏高考)设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为________．[解析] 因为α为锐角，cos(α＋π6)＝45，所以sin(α＋π6)＝35，sin2(α＋π6)＝2425，cos2(α＋π6)＝725，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝22×1725＝17250. [答案]17250[借题发挥] 1.当已知条件中的角与所求角不同时，需要通过“拆”“配”等方法实现角的转化，一般是寻求它们的和、差、倍、半关系，再通过三角变换得出所要求的结果．2．常见的角的变换有：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α－β＝α＋(α－β)，β＝α＋β2－α－β2，(3π4＋β)－(π4－α)＝π2＋(α＋β)，(α＋π4)＋(β－π4)＝α＋β，只要对题设条件与结论中所涉及的角进行仔细地观察，往往会发现角与角之间的关系，从而简化解题过程．[对点训练]1．已知sin(π4－α)sin(π4＋α)＝26(0<α<π2)，求sin 2α的值．解：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛⎦⎥⎤π4＋α，∴26＝sin(π4－α)sin(π4＋α)＝sin(π4＋α)cos(π4＋α) ＝12sin(π2＋2α) ＝12cos 2α， ∴cos 2α＝23.∵0<α<π2，∴0<2α<π，∴sin 2α＝73.[典例2] 已知tan α＝43，cos(α＋β)＝－1114，0°<α<90°，0°<β<90°，求β.[解] ∵0°<α<90°，且tan α＝sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1， ∴cos α＝17，sin α＝437.∵cos(α＋β)＝－1114，0°<α＋β<180°，∴sin(α＋β)＝1－（－1114）2＝5314.∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝(－1114)×17＋5314×437＝12.又∵0°<β<90°，∴β＝60°.[借题发挥] 1.“给值求角”的一般规律是先求出所求角的一种三角函数值，然后确定所求角的范围，最后根据三角函数值和角的范围求出角．2．确定的所求角的范围最好是所求三角函数的一个单调区间．例如，若所求角的范围是(0，π2)，选择求所求角的正弦或余弦函数值均可；若所求角的范围为(0，π)，选择求所求角的余弦函数值；若所求角的范围是(－π2，π2)，选择求所求角的正弦函数值．[对点训练]2．在△ABC 中，如果4sin A ＋2cos B ＝1，2sin B ＋4cos A ＝33，则角C 的大小为________． 解析：由4sin A ＋2cos B ＝1， 2sin B ＋4cos A ＝33， 两边平方相加得sin(A ＋B )＝12.如果A ＋B ＝π6，则B <π6，∴cos B >12与条件4sin A ＋2cos B ＝1矛盾．∴A ＋B ＝5π6，C ＝π6.答案：π6[典例3] 化简：2cos 2α－12tan （π4－α）sin 2（π4＋α）.[解] 法一：原式＝2cos 2α－12sin （π4－α）cos （π4－α）·sin 2（π4＋α）＝2cos 2α－12sin （π4－α）cos （π4－α）·cos 2（π4－α）＝2cos 2α－1sin （π2－2α）＝cos 2αcos 2α＝1.法二：原式＝cos 2α2×1－tan α1＋tan α（22sin α＋22cos α）2＝cos 2αcos α－sin αcos α＋sin α（sin α＋cos α）2＝cos 2α（cos α－sin α）（cos α＋sin α）＝cos 2αcos 2α－sin 2α＝cos 2αcos 2α＝1. [借题发挥]1．三角函数式的化简是高考命题的热点，常常与三角函数的图像和性质综合出题，题型灵活多变．化简三角函数式的常用方法有：①直接应用公式；②切化弦；③异角化同角；④特殊值与特殊角的三角函数互化；⑤通分、约分；⑥配方、去根号．2．由于三角函数式中包含着各种不同的角和不同的函数种类以及不同的式子结构，所以在三角函数式的化简与证明中， 应充分利用所学的三角函数的基本关系式和和、差、倍、半角等公式，首先从角入手，找出待化简(证明)的式子中的差异，然后选择适当的公式“化异为同”，实现三角函数式的化简与证明．[对点训练]3．求证：tan （α＋β）－tan α1＋tan βtan （α＋β）＝sin 2β2cos 2α.证明：tan(α＋β)－tan α＝sin （α＋β）cos （α＋β）－sin αcos α＝sin （α＋β）cos α－sin αcos （α＋β）cos （α＋β）cos α＝sin βcos （α＋β）cos α.1＋tan βtan(α＋β)＝1＋sin βcos β·sin （α＋β）cos （α＋β）＝cos βcos （α＋β）＋sin βsin （α＋β）cos βcos （α＋β）＝cos （α＋β－β）cos βcos （α＋β）＝cos αcos βcos （α＋β）.∴左边＝sin βcos βcos （α＋β）cos 2αcos （α＋β）＝sin 2β2cos 2α＝右边．[典例4] (山东高考)已知向量m ＝(sin x ，1)，n ＝(3A cos x ，A2cos 2x )(A >0)，函数f (x )＝m·n的最大值为6.(1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域．[解] (1)f (x )＝m·n ＝3A sin x cos x ＋A2cos 2x＝A (32sin 2x ＋12cos 2x ) ＝A sin(2x ＋π6)．因为A >0，由题意知A ＝6. (2)由(1)f (x )＝6sin(2x ＋π6)．将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位后得到y ＝6sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像；再将得到图像上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin(4x ＋π3)的图像．因此g (x )＝6sin(4x ＋π3)．因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24，所以4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6，故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域为[－3，6]． [借题发挥]1．以向量为背景，综合考查向量、三角恒等变形、三角函数的性质是近几年高考的热点问题．解决此类问题要注意三角恒等变形中由于消项、约分、合并等原因，可能使函数定义域发生变化，所以要在变换前注意三角函数的定义域，并在这个定义域内分析问题．2．三角函数的图像和性质是三角函数的重要内容．如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变形，将三角函数的表达式变形化简转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的形式，然后根据化简后的三角函数，讨论其图像和性质．[对点训练]4．(广东高考)已知函数f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝ 2.(1)求A 的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋43π＝－3017，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－23π＝85，求cos(α＋β)的值．解：(1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2，所以A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫14×π3＋π6＝A cos π4＝22A ＝2，所以A ＝2.(2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6，f ⎝⎛⎭⎪⎫4α＋4π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π6＝－2sin α＝－3017，所以sin α＝1517，因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos α＝817；又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－2π3＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π6＋π6＝2cos β＝85，所以cos β＝45，因为β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以sin β＝35.所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝817×45－1517×35＝－1385.(时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．计算sin 21°cos 9°＋sin 69°sin 9°的结果是( )A.32 B.12C ．－12D ．－32解析：选B 原式＝sin 21°cos 9°＋sin(90°－21°)sin 9° ＝sin 21°cos 9°＋cos 21°sin 9° ＝sin 30°＝12.2．(辽宁高考)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则sin 2α＝( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．1 解析：选A ∵sin α－cos α＝2，∴(sin α－cos α)2＝2， ∴sin 2α＝－1.3．(重庆高考)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两个根，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3解析：选A 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2.则tan(α＋β)＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31－2＝－3.4．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为( )A ．0 B.54C ．1 D.34解析：选D 原式＝2tan α－1tan α＋2＝2×2－12＋2＝34. 5．(山东高考)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )A.35B.45 C.74 D.34解析：选D 因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以cos 2θ<0，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，所以sin θ＝34.6．已知sin(π4－x )＝35，则sin 2x 的值为( )A.725B.1625 C.1425 D.1925解析：选A sin 2x ＝cos(π2－2x ) ＝cos 2(π4－x )＝1－2sin 2(π4－x )＝1－1825＝725.7．若α，β均为锐角，sin α＝255，sin(α＋β)＝35，则cos β的值为( )A.255B.2525C.255或2525 D ．－2525解析：选B 由sin α＝255，α为锐角知cos α＝55.∵sin α＝255>sin(α＋β)＝35，∴α＋β∈(π2，π)，∴cos(α＋β)＝－45.∴cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin αsin (α＋β)＝2525.8．函数y ＝sin x cos x ＋3cos 2x 的图像的一个对称中心是( ) A ．(π3，－32) B ．(2π3，－32)C ．(2π3，32)D ．(π3，32)解析：选D y ＝12sin 2x ＋3（1＋cos 2x ）2＝12sin 2x ＋32cos 2x ＋32 ＝sin(2x ＋π3)＋32，当x ＝π3时，sin (2×π3＋π3)＝0.∴(π3，32)是函数图像的一个对称中心．9．(江西高考)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( )A.15B.14C.13D.12解析：选D 法一：∵tan θ＋1tan θ＝1＋tan 2θtan θ＝4，∴4tan θ＝1＋tan 2θ， ∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin 2 θ＋cos 2θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝2tan θ4tan θ＝12. 法二：∵tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2sin 2θ∴4＝2sin 2θ，故sin 2θ＝12.10．函数y ＝cos 2x cos π5－2sin x cos x sin 65π的递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π10，k π＋35π(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π20，k π＋720π(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π10，2k π＋35π(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－25π，k π＋π10(k ∈Z ) 解析：选D y ＝cos 2x cos π5＋sin 2x sin π5＝cos(2x －π5)．∴2k π－π≤2x －π5≤2k π，k ∈Z .∴k π－25π≤x ≤k π＋π10，k ∈Z .二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．已知cos α＝－45，α∈(π2，π)，则tan(π4＋α)等于________．解析：由已知得tan α＝－34，所以tan(π4＋α)＝1－341＋34＝17.答案：1712．已知sin θ2＋cos θ2＝233，那么cos 2θ的值为________．解析：(sin θ2＋cos θ2)2＝1＋sin θ＝43，sin θ＝13，cos 2θ＝1－2sin 2θ＝79.答案：7913．△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，当A 为________时，cos A ＋2cos B ＋C2取得最大值，且这个最大值为________．解析：cos A ＋2cosB ＋C2＝cos A ＋2sin A2＝1－2sin 2A 2＋2sin A2＝－2sin 2A 2＋2sin A2－1 ＝－2(sin A 2－12)2＋32，当sin A 2＝12，即A ＝60°时，得(cos A ＋2cos B ＋C2)max ＝32. 答案：60° 3214．已知α是第二象限角，且sin α＝154，则sin （α＋π4）sin 2α＋cos 2α＋1＝________．解析：∵α为第二象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－14.sin （α＋π4）sin 2α＋cos 2α＋1＝22（sin α＋cos α）2cos α（sin α＋cos α）＝222cos α＝－ 2.答案：－ 2三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)化简sin （2α＋β）sin α－2cos(α＋β)．解：法一：原式＝sin[（α＋β）＋α]sin α－2cos(α＋β)＝sin （α＋β）cos α＋cos （α＋β）sin αsin α－2cos(α＋β)＝sin （α＋β）cos αsin α－cos(α＋β)＝sin （α＋β）cos α－cos （α＋β）sin αsin α＝sin[（α＋β）－α]sin α＝sin βsin α.法二：原式＝sin 2αcos β＋cos 2αsin β－2（cos αcos β－sin αsin β）sin αsin α＝sin 2αcos β＋cos 2αsin β－sin 2αcos β＋2sin 2αsin βsin α.＝（1－2sin 2α）sin β＋2sin 2αsin βsin α＝sin βsin α. 16．(本小题满分12分)已知sin(5π＋α)＝－35，且α∈(π2，π)，tan β＝12.(1)求tan(α－β)的值； (2)求sin(2α＋π3)的值．解：(1)由条件得sin α＝35.又α∈(π2，π)，所以tan α＝－34.故tan (α－β)＝－34－121＋（－34）×12＝－2.(2)由条件得sin α＝35.又α∈(π2，π)，得cos α＝－45.所以sin 2α＝2×35×(－45)＝－2425，cos 2α＝(－45)2－(35)2＝725.故sin(2α＋π3)＝－2425×12＋725×32＝73－2450.17．(本小题满分12分)(北京高考)已知函数f (x )＝（sin x －cos x ）sin 2xsin x.(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间．解：(1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )， 故f (x )的定义域为{}x ∈R |x ≠k π，k ∈Z . 因为f (x )＝(sin x －cos x )sin 2xsin x＝2cos x (sin x －cos x ) ＝sin 2x －cos 2x －1 ＝2sin(2x －π4)－1，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )． 由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，x ≠k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )．所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z )．18．(安徽高考)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．解：本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角公式、三角函数周期公式以及三角函数的单调性等知识，意在考查转化与化归思想的应用．(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋2.因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0，从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋ 2.若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4. 当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增； 当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上单调递减．模块综合检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求)1．已知角α的终边经过点P (－3，4)，则sin α的值等于( )A ．－35 B.35C.45 D ．－45 解析：选C sin α＝4（－3）2＋42＝45. 2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－32且|φ|＜π2，则tan φ＝( ) A ．－33 B.33C ．－ 3 D. 3解析：选D 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－32得sin φ＝32，又|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以tan φ＝ 3.3．已知cos α＝35，0＜α＜π，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A.15B.17C ．－1D ．－7解析：选D 因为cos α＝35＞0，0＜α＜π，所以0＜α＜π2，sin α＞0，所以sin α＝45，故tan α＝43，所以tan(α＋π4)＝tan α＋tanπ41－tan α·tan π4＝43＋11－43＝－7. 4．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图像，只要将函数y ＝cos 2x 的图像( ) A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位解析：选C y ＝cos 2x 的图像向左平移12个单位后即变成y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝cos(2x ＋1)的图像．5．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，k )，且a 与b 的夹角为锐角，则k 的取值范围是( ) A ．(－2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C ．(－∞，－2)D ．(－2，2)解析：选B 当a ，b 共线时，2k －1＝0，k ＝12，此时a ，b 方向相同夹角为0°，所以要使a与b 的夹角为锐角，则有a ·b ＞0且a ，b 不共线．由a ·b ＝2＋k ＞0得k ＞－2，且k ≠12，即实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，选B.7．函数y ＝sin (ωx ＋φ)(x∈R ，且ω＞0，0≤φ＜2π)的部分图像如图所示，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π4解析：选C ∵T ＝4×2＝8，∴ω＝π4.又∵π4×1＋φ＝π2，∴φ＝π4.8．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos(π－α)等于( )A.225 B ．－25 C.25 D ．－225解析：选B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos(π－α)＝22sin α＋22cos α＋22cos α＝22sin α＋2cos α.∵sin α＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos α＝－35.∴22sin α＋2cos α＝22×45－2×35＝－25.10．如图，边长为1的正方形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴、y 轴正半轴上移动，则的最大值是( )A ．2B ．1＋ 2C ．πD ．411．设函数f(x)＝sin (ωx ＋φ)＋cos (ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则( )A ．f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减B ．f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递减 C ．f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增 D ．f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递增 解析：选A y ＝sin (ωx ＋φ)＋cos (ωx ＋φ)＝2sin (ωx ＋φ＋π4)，由最小正周期为π得ω＝2，又由f(－x)＝f(x)可知f(x)为偶函数，|φ|<π2可得φ＝π4，所以y ＝2cos 2x ，在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减．.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上) 13．已知cos x ＝2a －34－a ，x 是第二、三象限的角，则a 的取值范围为________．解析：－1＜cos x ＜0，－1＜2a －34－a ＜0，⎩⎪⎨⎪⎧2a －34－a ＜0，2a －34－a ＞－1.∴－1＜a ＜32.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，32 14．已知e 1、e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2.若a·b ＝0，则实数k 的值为________．解析：由题意知：a·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0，即k e 21＋e 1e 2－2k e 1e 2－2e 22＝0，即k ＋cos 2π3－2k cos 2π3－2＝0，化简可求得k ＝54. 答案：5415．y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6的定义域为________． 解析：∵2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6≥0，∴2k π－π2≤3x ＋π6≤2k π＋π2，∴23k π－2π9≤x ≤23k π＋π9(k ∈Z )，函数的定义域为{x |23k π－29π≤x ≤23k π＋π9，k ∈Z }．答案：{x |23k π－29π≤x ≤23k π＋π9，k ∈Z }16．有下列四个命题：①若α，β均为第一象限角，且α＞β，则sin α＞sin β； ②若函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －π3的最小正周期是4π，则a ＝12；③函数y ＝sin 2x －sin xsin x －1是奇函数；④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2在[0，π]上是增函数．其中正确命题的序号为________．解析：α＝390°＞30°＝β，但sin α＝sin β，所以①不正确；函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －π3的最小正周期为T ＝2π|a |＝4π，所以|a |＝12，a ＝±12，因此②不正确；③中函数定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠2k π＋π2，k ∈Z ，显然不关于原点对称，所以③不正确；由于函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin(π2－x )＝－cos x ，它在(0，π)上单调递增，因此④正确．答案：④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)化简：sin （540°－x ）tan （900°－x ）·1tan （450°－x ）tan （810°－x ）·cos （360°－x ）sin （－x ）.解：原式＝sin （180°－x ）tan （－x ）·1tan （90°－x ）tan （90°－x ）·cos x sin （－x ）＝sin x －tan x·tanx ·tan x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1tan x ＝sin x .18．(本小题满分12分)已知角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.(1)求sin α的值；(2)求式子sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ()α＋π·tan （α－π）cos （3π－α）的值．解：(1)∵|OP |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1，∴点P 在单位圆上，由正弦函数定义得sin α＝－35. (2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1cos α. 由(1)得sin α＝－35，P 在单位圆上， ∴由已知得cos α＝45，∴原式＝54. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin(2x －π6)＋2cos 2x . (1)求f (x )的最小值及最小正周期；(2)求使f (x )＝3的x 的取值集合．解：(1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2cos 2x ＝sin 2x ·cos π6＋cos 2x sin π6＋sin 2x ·cos π6－cos 2x ·sin π6＋cos 2x ＋1＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1， ∴f (x )min ＝2×(－1)＋1＝－1，最小正周期T ＝2π|ω|＝2π2＝π. (2)∵f (x )＝3，∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＝3， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1， ∴2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴x ＝k π＋π6，k ∈Z ， ∴使f (x )＝3的x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋π6，k ∈Z∴x (2－y )－(－x －4)y ＝0，整理得x ＋2y ＝0.∴y ＝－12x .即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0，由(1)知x ＝－2y ，将其代入上式，整理得y 2－2y －3＝0.解得y 1＝3，y 2＝－1.当y ＝3时，x ＝－6，21．(本小题满分12分)如图，函数y ＝2sin(πx ＋φ)，x ∈R (其中0≤φ≤π2)的图像与y 轴交于点(0，1)．(1)求φ的值；(2)求函数y ＝2sin(πx ＋φ)的单调递增区间；(3)求使y ≥1的x 的集合．解：(1)因为函数图像过点(0，1)，所以2sin φ＝1，即sin φ＝12.因为0≤φ≤π2，所以φ＝π6. (2)由(1)得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6， ∴当－π2＋2k π≤πx ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 即－23＋2k ≤x ≤13＋2k ，k ∈Z 时，y ＝2sin(πx ＋π6)是增函数，故y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋2k ，13＋2k ，k ∈Z . (3)由y ≥1，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6≥12， ∴π6＋2k π≤πx ＋π6≤5π6＋2k π，k ∈Z ， 即2k ≤x ≤23＋2k ，k ∈Z ， ∴y ≥1时，x 的集合为{x |2k ≤x ≤23＋2k ，k ∈Z }． 22．(本小题满分12分)已知M (1＋cos 2x ，1)，N (1，3sin 2x ＋a )(x ∈R ，a ∈R ，a 是常数)，且y ＝ (O 为坐标原点)．(1)求y 关于x 的函数关系式y ＝f (x )；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值，并说明此时f (x )的图像可由y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图像经过怎样的变换而得到； (3)函数y ＝g (x )的图像和函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称，求y ＝g (x )的表达式，并比较g (1)和g (2)的大小．解：(1)y ＝f (x )＝＝(1＋cos 2x ，1)·(1，3sin 2x ＋a )＝3sin 2x ＋cos 2x＋1＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＋a . (2)x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， 所以f (x )的最大值为3＋a ＝4，解得a ＝1，此时f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2，其图像可由y ＝2sin(x ＋π6)的图像经纵坐标不变横坐标缩小为原来的12倍，再将所得图像向上平移2个单位得到． (3)设M (x ，y )为y ＝g (x )的图像上任一点，由函数y ＝g (x )的图像和函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称，得M (x ，y )关于x ＝1的对称点M ′(2－x ，y )在y ＝f (x )的图像上，所以y ＝g (x )＝f (2－x )＝2sin[2(2－x )＋π6]＋1＋a ＝2sin(－2x ＋4＋π6)＋1＋a ，g (1)＝2sin(2＋π6)＋1＋a ，g (2)＝2sin π6＋1＋a ＝2sin 5π6＋1＋a . ∵π2＜2＋π6＜5π6＜π， ∴g (1)＞g (2)．。