浙江省宁波市效实中学2015届高考模拟测试数学(理)试卷(附答案) (1)

2015届鄞州区高考数学模拟试题（理）2015．5本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分2至4页。

满分150分， 考试时间120分钟。

参考公式：球的表面积公式：24R S π=， 其中R 表示球的半径． 球的体积公式： 334R V π=，其中R 表示球的半径． 柱体的体积公式：Sh V =， 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高． 锥体的体积公式：Sh V 31=， 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高． 台体的体积公式：)(312211S S S S h V ++=，其中21,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高．选择题部分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）2．已知,m n 为不同的直线，,αβ为不同的平面，则下列说法正确的是 A .,////m n m n αα⊂⇒B.,m n m n αα⊂⊥⇒⊥C.βαβα////,,⇒⊂⊂n m n mD.,n n βααβ⊂⊥⇒⊥ 3．设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，设)1()1()(-+-=x g x f x h ，则下列结论中正确的是A ．)(x h 关于)0,1(对称B ．)(x h 关于)0,1-(对称C ．)(x h 关于1=x 对称D ．)(x h 关于1-=x 对称 4．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是A. 2B. 4C. 6D. 125．已知0AB BC ⋅=，1AB =，2BC =，0AD DC ⋅=，则BD 的最大值为 A.B. 2C.D. 俯视图2（第4题）侧视图正视图6．若00x y x y y a -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，若2z x y =+的最大值为3，则a 的值是A ．1B ．2C ．3D ．47．已知双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 作圆222x y a +=的切线分别交双曲线的左、右两支于点B 、C ，且2||||BC CF =，则双曲线的离心率为 A.352+ B ．352- C ．325+ D ．325-8．已知定义在R 上的函数()f x 满足:①()(2)0f x f x +-=;②(2)()f x f x -=-；③当]1,1[-∈x时，[1,0]()cos()(0,1]2x f x x x π∈-=⎨ ∈⎪⎩； 则函数xx f y )21()(-=在区间[3,3]-上的零点个数为 A.5B.6C.7D.8非选择题部分二、填空题（本大题共7小题，第9,10，11，12题每空3分，第13，14，15题每空4分，共36分．） 9．设全集}101|{≤≤∈=n N n U ,}8,5,4,3,1{=A ,}9,6,4,3,1{=B ,则=B A ▲ ，=B A C U )( ▲ .10．已知数列{}n a 满足0n a ≠,113a =，()1122,n n n n a a a a n n N *---=⋅≥∈， 则=n a ▲ ,=+++100993221a a a a a a ▲ .11．已知函数()22,1,22,1,x x f x x x -⎧≤-=⎨+>-⎩则[]=-)2(f f ▲ ,不等式()2f x ≥的解集为 ▲ .12．如图，在平面四边形ABCD 中,7,2,1===AC CD AD , 则=∠CAD cos ▲ ； 又若621sin ,147cos =∠-=∠CBA BAD ,则=BC ▲ . 13. 如图，在棱长为1的正四面体BCD A -中，平面α与棱 BC CD AD AB ,,,分别交于点H G F E ,,,，则四边形EFGH 周长的最小值为 ▲ .14．已知ABC ∆满足4,3==AC AB ，O 是ABC ∆的外心，且()R ∈-+=λλλ21，则ABC ∆的面积是 ▲ ．15．如图，某商业中心O 有通往正东方向和北偏东︒30方向的两条街道，某公园P 位于商业中心北偏东θ角⎪⎭⎫⎝⎛=<<33tan ,20θπθ，且与商业中心O 的距离为21公里处，现要经过公园P 修一条直路分别与两条街道交汇于B ，A 两处,当商业中心O 到B ，A 两处的距离之和最小时，B A ,的距离为 ▲ 公里．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16.（本小题满分15分）已知点)0,125(π是函数()()21-+=x cos x cos x sin a x f 图象的一个对称中心．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求()f x 在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,6ππ上的最大值和最小值及取到最值时的对应x 值． 17.（本小题满分15分）已知四边形ABCD 中,,//CD AB 221====CD BC AB AD , E 为DC 中点，连接AE ，将AED ∆沿AE 翻折到1AED ∆,使得二面角D AE D --1的平面角的大小为θ.（Ⅰ）证明:AE BD ⊥1；（Ⅱ）已知二面角C AB D --1的平面角的余弦值为55，求θ的大小及1CD 的长.(第12题)（第15题）（第13题）D。

浙江省宁波市五校联考2015届高考数学适应性试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知命题“p：∃x＞0，lnx＜x”，则￢p为（）A．∃x≤0，lnx≥x B．∀x＞0，lnx≥x C．∃x≤0，lnx＜x D．∀x＞0，lnx＜x2．（5分）已知互不相等的正数a，b，c，d，p，q满足a，c，b，d成等差数列，a，p，b，q 成等比数列，则（）A．c＜p，d＞q B．c＞p，d＞q C．c＞p，d＜q D．c＜p，d＜q3．（5分）已知直线a，b，平面α，β，且a⊥α，b⊂β，则“a⊥b”是“α∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）函数f1（x）=，f2（x）=，…，f n+1（x）=，…，则函数f2015（x）是（）A．奇函数但不是偶函数B．偶函数但不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数5．（5分）已知不存在整数x使不等式（ax﹣a2﹣4）（x﹣4）＜0成立，则实数a的取值范围为（）A．（0，+∞）B．（0，2] C．[1，2] D．[1，4]6．（5分）已知某几何体的三视图（单位：cm），如图所示，则此几何体的外接球的体积为（）A．πcm3B．36πcm3C．πcm3D．9πcm37．（5分）已知过双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的中心的直线交双曲线于点A， B，在双曲线C上任取与点A，B不重合的点P，记直线PA，PB，AB的斜率分别为k1，k2，k，若k1k2＞k恒成立，则离心率e的取值范围为（）A．1＜e＜B．1＜e≤C．e＞D．e≥8．（5分）设x，y满足约束条件，则取值范围是（）A．[1，5] B．[2，6] C．[3，10] D．[3，11]二、填空题（本大题共7小题，9～12小题每题6分，其它小题每题4分，共36分）9．（6分）已知直线l1：ax+2y﹣1=0，直线l2：x+by﹣3=0，且l1的倾斜角为，则a=；若l1⊥l2，则b=；若l1∥l2，则两直线间的距离为．10．（6分）太阳光的入射角（光线与地面所成的角）为，要使长为m的木棒在地面上的影子最长，则木棒与地面所成的角应为，其最大影长为．11．（6分）已知α为第二象限角，且=，则tan（+）=，sin（α+）=．12．（6分）设函数f（x）=，则f（f（2））=，函数y=f（f（x））的零点个数为．13．（4分）已知实数x，y满足log a x+2log x a+log x y=4，其中常数a＞1，当y取最大值2时，对应的x的值为．14．（4分）已知抛物线y2=4x过焦点F的弦AB，过弦AB的中点作准线l的垂线，垂足为M，则•的值为．15．（4分）已知函数f（x）=sin x，任取t∈R，记函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值为M t，最小值为m t，h（t）=M t﹣m t，则函数h（t）的值域为．三、解答题（共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．（15分）△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2A=3cos（B+C）+1．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若cosBcosC=﹣，且△ABC的面积为2，求a．17．（15分）如图，四边形ABCD为平行四边形，AB=5，AD=4，BD=3，将△BCD沿着BD翻折到平面BC1D处（不与平面ABCD重合），E，F分别为对边AB，C1D的中点，（Ⅰ）求证：EF⊥BD；（Ⅱ）若异面直线EF，BC1所成的角为30°，求二面角C1﹣AB﹣D的平面角的正切值．18．（15分）如图，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，右焦点为F，右顶点为A，P为直线x=a上的任意一点，且（+）•=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点P所作椭圆C的切线l与坐标轴不平行，切点为Q，且交y轴于点T，试确定x 轴上是否存在定点M，使得sin∠OTQ=2|cos∠TQM|．若存在，请求出点M的坐标；若不存在，说明理由．19．（15分）已知数列{a n}满足a13+a23+…+a n3=，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：对任意的n∈N*，都有+++…+＜4．20．（14分）已知二次函数f（x）=x2+bx+c，其中常数b，c∈R．（Ⅰ）若任意的x∈[﹣1，1]，f（x）≥0，f（2+x）≤0，试求实数c的取值范围；（Ⅱ）若对任意的x1，x2∈[﹣1，1]，有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，试求实数b的取值范围．浙江省宁波市五校联考2015届高考数学适应性试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知命题“p：∃x＞0，lnx＜x”，则￢p为（）A．∃x≤0，lnx≥x B．∀x＞0，lnx≥x C．∃x≤0，lnx＜x D．∀x＞0，lnx＜x考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．解答：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“p：∃x＞0，lnx＜x”，则￢p 为∀x＞0，lnx≥x．故选：B．点评：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．2．（5分）已知互不相等的正数a，b，c，d，p，q满足a，c，b，d成等差数列，a，p，b，q 成等比数列，则（）A．c＜p，d＞q B．c＞p，d＞q C．c＞p，d＜q D．c＜p，d＜q考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：设公差为n，公比为m，且n≠0、m＞0、m≠1，由等差、等比数列的通项公式分别求出c、b、d、p、q，建立n、m的关系式，利用作差法比较出c和p的大小，化简d﹣q后构造函数f（m），求出此函数的导数，判断出函数的单调性、求出最大值，即可判断出d和q大小关系．解答：解：设公差为n，公比为m，且n≠0、m＞0、m≠1，则c=a+n、b=a+2n、d=a+3n，p=am、b=am2、q=am3，所以a+2n=am2，得n=，所以c﹣p=a+n﹣am=a+﹣am==＞0，则c﹣p＞0，即c＞p，d﹣q=a+3n﹣am3=a+﹣am2=，设f（m）=﹣2m3+3m2﹣1，则f′（m）=﹣6m2+6m，因为m＞0、m≠1，所以当0＜m＜1时，f′（m）＞0，当m＞1时，f′（m）＜0，所以函数f（m）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，则f（m）的最大值是f（1）=0，即f（m）＜f（1）=0，综上可得，d﹣q＜0，则d＜q，故选：C．点评：本题考查了等差、等比数列的通项公式，导数与函数的单调性、最值的关系，以及作差法、构造函数法的综合应用，考查化简、变形能力．3．（5分）已知直线a，b，平面α，β，且a⊥α，b⊂β，则“a⊥b”是“α∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据题意，分两步来判断：①分析当α∥β时，a⊥b是否成立，有线面垂直的性质，可得其是真命题，②分析当a⊥b时，α∥β是否成立，举出反例可得其是假命题，综合①②可得答案．解答：解：根据题意，分两步来判断：①当α∥β时，∵a⊥α，且α∥β，∴a⊥β，又∵b⊂β，∴a⊥b，则a⊥b是α∥β的必要条件，②若a⊥b，不一定α∥β，当α∩β=a时，又由a⊥α，则a⊥b，但此时α∥β不成立，即a⊥b不是α∥β的充分条件，则a⊥b是α∥β的必要不充分条件，故选B．点评：本题考查充分必要条件的判断，涉及线面垂直的性质的运用，解题的关键要掌握线面垂直的性质．4．（5分）函数f1（x）=，f2（x）=，…，f n+1（x）=，…，则函数f2015（x）是（）A．奇函数但不是偶函数B．偶函数但不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性的定义和性质进行判断即可．解答：解：f1（x）=，则f（x）是奇函数不是偶函数，f2（﹣x）==﹣=﹣f2（x），则f2（x）为奇函数不是偶函数，f3（﹣x）==﹣=﹣f3（x），则f3（x）为奇函数不是偶函数，…则由归纳推理可得函数f2015（x）为奇函数不是偶函数，故选：A点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键．5．（5分）已知不存在整数x使不等式（ax﹣a2﹣4）（x﹣4）＜0成立，则实数a的取值范围为（）A．（0，+∞）B．（0，2] C．[1，2] D．[1，4]考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：设原不等式的解集为A，然后分a大于0且不等于2，a等于2，小于0和等于0四种情况考虑，分别求得a的范围，再把a的范围取并集，即得所求．解答：解：设原不等式的解集为A，当a=0时，则x＞4，不合题意．当a＞0且a≠2时，原不等式化为[x﹣（ a+）]（x﹣4）＜0，∵a+＞4，∴A=（4，a+），要使不存在整数x使不等式（kx﹣k2﹣4）（x﹣4）＜0成立，须a+≤5，解得：1≤k≤4；当a=2时，A=∅，合题意，当a＜0时，原不等式化为[x﹣（ a+）]（x﹣4）＞0，∴A=（﹣∞，a+）∪（4，+∞），不合题意，故选：D．点评：此题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，同时考查了运算能力，是一道中档题．6．（5分）已知某几何体的三视图（单位：cm），如图所示，则此几何体的外接球的体积为（）A．πcm3B．36πcm3C．πcm3D．9πcm3考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图可知，该几何体是四棱锥，底面是边长为2的正方形，高为1，求出外接球的半径，可得几何体的外接球的体积．解答：解：该几何体是四棱锥，底面是边长为2的正方形，高为1．则其外接球的半径为R=÷2=所以外接球的体积是S=πR3=π×=π（cm3）．故选：A．点评：本题考查几何体的外接球的体积，考查学生的计算能力，确定外接球的半径是关键．7．（5分）已知过双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的中心的直线交双曲线于点A，B，在双曲线C上任取与点A，B不重合的点P，记直线PA，PB，AB的斜率分别为k1，k2，k，若k1k2＞k恒成立，则离心率e的取值范围为（）A．1＜e＜B．1＜e≤C．e＞D．e≥考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设A（x1，y1），P（x2，y2），由双曲线的对称性得B（﹣x1，﹣y1），从而得到k1k2=•=，将A，P坐标代入双曲线方程，相减，可得k1k2=，又k=，由双曲线的渐近线方程为y=±x，则k趋近于，可得a，b的不等式，结合离心率公式，计算即可得到．解答：解：设A（x1，y1），P（x2，y2），由题意知点A，B为过原点的直线与双曲线﹣=1的交点，∴由双曲线的对称性得A，B关于原点对称，∴B（﹣x1，﹣y1），∴k1k2=•=，∵点A，C都在双曲线上，∴﹣=1，﹣=1，两式相减，可得：=，即有k1k2=，又k=，由双曲线的渐近线方程为y=±x，则k趋近于，k1k2＞k恒成立，则≥，即有b≥a，即b2≥a2，即有c2≥2a2，则e=≥．故选D．点评：本题考查双曲线的离心率的求法，涉及到导数、最值、双曲线、离心率等知识点，综合性强，难度大，解题时要注意构造法的合理运用．8．（5分）设x，y满足约束条件，则取值范围是（）A．[1，5] B．[2，6] C．[3，10] D．[3，11]考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；数形结合．分析：再根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，只需求出直线l0过A（0，4）时l0最大，k也最大为11，当直线l0过B（0，0））时l0最小，k也最小为3即可．解答：解：根据约束条件画出可行域，∵设k==1+，整理得（k﹣1）x﹣2y+k﹣3=0，由图得，k＞1．设直线l0=（k﹣1）x﹣2y+k﹣3，当直线l0过A（0，4）时l0最大，k也最大为11，当直线l0过B（0，0））时l0最小，k也最小为3．故选 D．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．二、填空题（本大题共7小题，9～12小题每题6分，其它小题每题4分，共36分）9．（6分）已知直线l1：ax+2y﹣1=0，直线l2：x+by﹣3=0，且l1的倾斜角为，则a=﹣2；若l1⊥l2，则b=1；若l1∥l2，则两直线间的距离为．考点：两条平行直线间的距离；直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由条件根据两条直线平行的条件求出a的值，利用两条直线垂直的条件求出b的值，再利用两条平行直线间的距离公式求得两直线间的距离．解答：解：由题意可得l1的斜率为tan=1=﹣，∴a=﹣2，直线l1：﹣2x+2y﹣1=0．若l1⊥l2，则1•（﹣）=﹣1，∴b=1．若l1∥l2，则它们的斜率相等，即﹣=1，∴b=﹣1，故 l1：﹣2x+2y﹣1=0，直线l2：x﹣y﹣3=0，即 l1：﹣2x+2y﹣1=0，直线l2：﹣2x+2y+6=0，两直线间的距离为=，故答案为：﹣2；1；．点评：本题主要考查两条直线平行、垂直的条件，两条平行直线间的距离公式，属于基础题．10．（6分）太阳光的入射角（光线与地面所成的角）为，要使长为m的木棒在地面上的影子最长，则木棒与地面所成的角应为60°，其最大影长为．考点：解三角形．专题：计算题；解三角形．分析：由最小角定理，即可得解．解答：解：因为太阳光线与地面成角为一定值，要使一根长m的竹竿影子也及为面外一定长的斜线段的影子最长，由最小角定理，刚好是使该斜线与光线所成角互余时才会使影子最长，则木棒与地面所成的角应为60°，最大影长为．故答案为：60°，．点评：本题考查最小角定理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．11．（6分）已知α为第二象限角，且=，则tan（+）=﹣3，sin（α+）=．考点：半角的三角函数；两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用同角三角函数的基本关系，求得sinα和cosα的值，再利用两角和差的三角公式求得sin（α+）和cos（α+）的值，利用半径公式求得 tan（+）的值．再求的sin和cos的值，可得sin（α+）的值．解答：解：∵a为第二象限角，且=，∴tanα=﹣=，又 sin2α+cos2α=1，∴sinα=，cosα=﹣，∴sin（α+）=sinαcos+cosαsin=﹣，cos（α+）=cosαcos﹣sinαsin=﹣．∴tan（+）===﹣3．∵sin===，cos===，sin（α+）=sinαcos+cosαsin=•﹣•=．故答案为：﹣3；．点评：本题主要考查两角和差的三角公式，同角三角函数的基本关系，半角公式的应用，属于基础题．12．（6分）设函数f（x）=，则f（f（2））=0，函数y=f（f（x））的零点个数为5．考点：函数零点的判定定理；函数的值．专题：计算题；分类讨论；函数的性质及应用．分析：由题意先求f（2）=﹣22+2=﹣2，再求f（f（2））=f（﹣2）即可；解f（x）=0得x=﹣2，x=0或x=1；故f（f（x））=0可化为f（x）=﹣2，f（x）=0或f（x）=1；从而确定函数零点的个数．解答：解：∵f（2）=﹣22+2=﹣2，∴f（f（2））=f（﹣2）=|﹣2+1|﹣1=0；当x＜0时，由f（x）=|x+1|﹣1=0解得，x=﹣2；当x≥0时，由f（x）=﹣x2+x=0解得，x=0或x=1；则f（f（x））=0可化为f（x）=﹣2，f（x）=0或f（x）=1；由f（x）=﹣2得，|x+1|﹣1=﹣2或﹣x2+x=﹣2，解得，x=2；由f（x）=0解得，x=﹣2，x=0或x=1；由f（x）=1得，|x+1|﹣1=1或﹣x2+x=1；解得，x=﹣3；综上所述，函数y=f（f（x））的零点个数为5；故答案为：0，5．点评：本题考查了分段函数的应用，属于中档题．13．（ 4分）已知实数x，y满足log a x+2log x a+log x y=4，其中常数a＞1，当y取最大值2时，对应的x的值为2．考点：基本不等式；对数的运算性质．专题：不等式的解法及应用．分析：设log a x=t，由已知化为log a y=﹣（t﹣2）2+2≤2，可得2=a2，解得a，因此，解得x即可．解答：解：设log a x=t，∵log a x+2log x a+log x y=4，其中常数a＞1，∴log a y=﹣（t﹣2）2+2≤2，当且仅当t=2时取等号．∴y≤a2，∴2=a2，解得a=，∴，解得x=2．点评：本题考查了“换元法”、对数的换底公式、二次函数的单调性、考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（4分）已知抛物线y2=4x过焦点F的弦AB，过弦AB的中点作准线l的垂线，垂足为M，则•的值为0．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分A、B所在直线与x轴垂直与不垂直两种情况讨论，利用向量数量积运算及韦达定理计算即得结论．解答：解：由题可知：F（1，0），准线l：x=﹣1．①当A、B所在直线与x轴垂直时，易知A（1，2），B（1，﹣2），M（﹣1，0），∴•=（2，2）•（2，﹣2）=0；②当A、B所在直线不与x轴垂直时，设其方程为：y=k（x﹣1），联立，消去y可得：k2x2﹣（4+2k2）x+k2=0，记A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=1，∴弦AB中点坐标为D（，），∴M（﹣1，），∴•=（x1+1，）•（x2+1，y2﹣）=x1x2+（x1+x2）+1+y1y2﹣（y1+y2）+=x1x2+（x1+x2）+1+k2（x1﹣1）（x2﹣1）﹣•k（x1+x2﹣2）+=（1+k2）x1x2+（﹣1﹣k2）（x1+x2）+5+k2+=（1+k2）+（﹣1﹣k2）+5+k2+=（1+k2）+（﹣1﹣k2）（+2）+5+k2+=0；综上所述，•=0，点评：本题考查抛物线的简单性质，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．15．（4分）已知函数f（x）=sin x，任取t∈R，记函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值为M t，最小值为m t，h（t）=M t﹣m t，则函数h（t）的值域为[1﹣，]．考点：正弦函数的单调性；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用正弦函数的周期公式可得其周期T=4，区间[t，t+1]的长度为T，利用正弦函数的图象与性质，可求得函数h（t）=M t﹣m t，的值域．解答：解：∵f（x）=sin x，∴其周期T==4，区间[t，t+1]的长度为T，又f（x）在区间[t，t+1]上的最大值为M t，最小值为m t，由正弦函数的图象与性质可知，当x∈[4k+，4k+]时，h（t）=M t﹣m t，取得最小值1﹣；当x∈[4k+，4k+]时，h（t）=M t﹣m t取得最大值﹣（﹣）=；∴函数h（t）的值域为[1﹣，]．故答案为：[1﹣，]．点评：本题考查正弦函数的周期性、单调性与最值，考查分析问题，解决问题的能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．（15分）△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2A=3cos（B+C）+1．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若cosBcosC=﹣，且△ABC的面积为2，求a．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）根据余弦函数的倍角公式，进行化简即可求角A的大小；（Ⅱ）根据余弦定理以及三角形的面积公式进行化简求解即可．解答：解：（Ⅰ）由cos2A=3cos（B+C）+1得，2cos2A+3cosA﹣2=0，即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，所以，cosA=或cosA=﹣2（舍去），因为A为三角形内角，所以A=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知cosA=﹣cos（B+C）=，则cosBcosC﹣sinBsinC=；由cosBcosC=﹣，得cosBcosC=，由正弦定理，有，即b=，c=，由三角形的面积公式，得S===，即=2，解得a=4．点评：本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理和余弦定理是解决本题的关键．17．（15分）如图，四边形ABCD为平行四边形，AB=5，AD=4，BD=3，将△BCD沿着BD翻折到平面BC1D处（不与平面ABCD重合），E，F分别为对边AB，C1D的中点，（Ⅰ）求证：EF⊥BD；（Ⅱ）若异面直线EF，BC1所成的角为30°，求二面角C1﹣AB﹣D的平面角的正切值．考点：二面角的平面角及求法；棱锥的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）连结CC1，并取CC1的中点M，连结FM，BM，证明BD⊥平面BCC1，即可证明：EF⊥BD；（Ⅱ）取BC的中点N，过N作线段AB的垂线交AB的延长线于点H．由（Ⅰ）知，异面直线EF，BC1所成的角为∠C1BM，故∠C1BM=30°，证明∠C1HN为二面角C1﹣AB﹣D的平面角，即可求二面角C1﹣AB﹣D的平面角的正切值．解答：（Ⅰ）证明：连结CC1，并取CC1的中点M，连结FM，BM．因为F分别为C1D的中点，所以，FM∥DC且FM=DC；因为四边形ABCD为平行四边形，所以，DC∥AB，DC=AB；又E分别为AB的中点，所以，FM∥EB，FM=EB，即四边形FMDE为平行四边形；…（3分）所以，EF∥MB．因为AB=5，AD=4，BD=3，；所以，BD⊥AD，BD⊥BC，BD⊥BC1；所以，BD⊥平面BCC1．又因为BM⊂平面BCC1，所以BD⊥BM，BD⊥EF．…（6分）（Ⅱ）解：取BC的中点N，过N作线段AB的垂线交AB的延长线于点H．由（Ⅰ）知，异面直线EF，BC1所成的角为∠C1BM，故∠C1BM=30°；因为BC=BC1，M为CC1的中点，所以，∠C1BC=60°，即△C1BC为正三角形．所以C1N⊥BC．…（9分）又BD⊥平面BCC1，所以，平面ABCD⊥平面BCC1；因为平面ABCD∩平面BCC1=BC，所以C1N⊥平面ABCD，所以C1N⊥AB；所以，∠C1HN为二面角C1﹣AB﹣D的平面角．…（12分）在Rt△C1NH中，C1N=BC=2，NH=NB•sin∠NBH=BC•=，所以，tan∠C1HN==，即二面角C1﹣AB﹣D的平面角的正切值为．…（15分）点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面角，二面角的平面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（15分）如图，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，右焦点为F，右顶点为A，P为直线x=a上的任意一点，且（+）•=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点P所作椭圆C的切线l与坐标轴不平行，切点为Q，且交y轴于点T，试确定x 轴上是否存在定点M，使得sin∠OTQ=2|cos∠TQM|．若存在，请求出点M的坐标；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）设P（a，m），根据（+）•=2，得（2c﹣3a）（c﹣a）=4，从而求出a，c，再求出b，进而求出椭圆的方程；（Ⅱ）设切点Q，得到切线方程，与椭圆方程联立，由判别式△=0，求出k的表达式，表示出sin∠OTQ=2|cos∠TQM|，从而求出m的值，得出答案．解答：解：（Ⅰ）由题意，知右顶点A（a，0），设P（a，m），右焦点F（c，0），则a=2c，由（+）•=2，得（2c﹣3a）（c﹣a）=4，解得a=2，c=1，所以b2=a2﹣c2=3，所以椭圆C的方程为：+=1．（Ⅱ）设切点Q（x0，y0），x0 y0≠0，切线方程为y﹣y0=k（x﹣x0），与椭圆方程联立，得：（3+4k2）x2+8k（y0﹣kx0）x+4（y0﹣kx0）2﹣12=0有相等实根，∴△=﹣4（3+4k2）[4﹣12=0，解得：k=﹣，又3+4=12，所以，切线方程为3x0x+4y0y﹣12=0，则切线与y轴的交点T（0，），且原点O到切线的距离d=，所以sin∠OTQ==，若x轴上存在定点M（m，0），使sin∠OTQ=2|cos∠TQM|，由=（﹣x0，）=（﹣x0，），=（m﹣x0，﹣y0），得：|cos∠TQM|==，∴=，对任意的|x0|∈（0，2）恒成立，化简，得m2=1，m=±1．所以，x轴上存在定点M（±1，0）即椭圆C的两焦点使sin∠OTQ=2|cos∠TQM|．点评：本题考察了椭圆的方程及性质，考察直线和椭圆的综合应用，（Ⅱ）问中求出k的表达式，表示出sin∠OTQ=2|cos∠TQM|是解答本题的关键．19．（15分）已知数列{a n}满足a13+a23+…+a n3=，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：对任意的n∈N*，都有+++…+＜4．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）利用递推式即可得出；（II）利用“放缩法”、“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．解答：（Ⅰ）解：∵数列{a n}满足a13+a23+…+a n3=，n∈N*．∴当n=1时，=1，解得a1=1．当n≥2时，满足a13+a23+…+=，n∈N*．∴=﹣=n3，n∈N*．解得a n=n，当n=1时也满足，∴a n=n．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得=．∵2n+1﹣（n+1）2n﹣n+（2n﹣1）＞2n﹣n≥2﹣1＞0，∴＞0．又﹣=≤0．∴≤．∴+++…+＜++…+．设S=++…+，=+…+，由错位相减法，得=1++…+=﹣=2﹣＜2，∴S＜4．∴+++…+＜4．点评：题考查了“错位相减法”、等比数列的前n项和公式、递推式的应用、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（14分）已知二次函数f（x）=x2+bx+c，其中常数b，c∈R．（Ⅰ）若任意的x∈[﹣1，1]，f（x）≥0，f（2+x）≤0，试求实数c的取值范围；（Ⅱ）若对任意的x1，x2∈[﹣1，1]，有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，试求实数b的取值范围．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）若任意的x∈[﹣1，1]，f（x）≥0，f（2+x）≤0，可得是f（1）=0，即1为函数函数f（x）的一个零点．由韦达定理，可得函数f（x）的另一个零点，进而可得实数c的取值范围；（Ⅱ）若对任意的x1，x2∈[﹣1，1]，有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，f（x）max﹣f（x）min≤4，结合二次函数的图象和性质分类讨论，可得实数b的取值范围．解答：解：（Ⅰ）因为x∈[﹣1，1]，则2+x∈[1，3]，由已知，有对任意的x∈[﹣1，1]，f（x）≥0恒成立，任意的x∈[1，3]，f（x）≤0恒成立，故f（1）=0，即1为函数函数f（x）的一个零点．由韦达定理，可得函数f（x）的另一个零点，又由任意的x∈[1，3]，f（x）≤0恒成立，∴[1，3]⊆[1，c]，即c≥3（Ⅱ）函数f（x）=x2+bx+c对任意的x1，x2∈[﹣1，1]，有|f（x1）﹣f（x2）|≤4恒成立，即f（x）max﹣f（x）min≤4，记f（x）max﹣f（x）min=M，则M≤4．当||＞1，即|b|＞2时，M=|f（1）﹣f（﹣1）|=|2b|＞4，与M≤4矛盾；当||≤1，即|b|≤2时，M=max{f（1），f（﹣1）}﹣f（）=﹣f（）=（1+）2≤4，解得：|b|≤2，即﹣2≤b≤2，综上，c的取值范围为﹣2≤b≤2．点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．。

【2015浙江省高考模拟理科数学 10份】浙江省各地2015届高三高考一模二模及联考试题汇总Word版含答案目录2015嘉兴一模理科数学 (1)2015嘉兴二模理科数学 (11)2015杭州一模数学（理） (20)2015六校联考数学（理） (28)2015宁波十校联考数学（理科） (35)2015衢州模拟数学理 (44)2015温州二模数学（理科） (52)2015温州十校联考理科数学 (64)2015温州一模数学（理科） (73)2015浙江五校联考数学（理科） (84)2015年高三教学测试（一）2015嘉兴一模理科数学注意事项：1．本科考试分试题卷和答题纸，考生须在答题纸上作答．答题前，请在答题纸的密封线内填写学校、班级、学号、姓名;2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：①棱柱的体积公式：Sh V =；②棱锥的体积公式：Sh V 31=；③棱台的体积公式：)(312211S S S S h V ++=；④球的体积公式：334R V π=；⑤球的表面积公式：24R S π=；其中S ,21,S S 表示几何体的底面积，h 表示几何体的高，R 表示球的半径．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集}4,3,2,1,0{=U ，集合}2,1,0{=A ，集合}3,2{=B ，则(=B A U)A ．∅B ．}4,3,2,1{C ．}4,3,2{D ．}4,3,2,1,0{2．已知直线01=-+y ax 与直线01=-+ay x 互相垂直，则=aA ． 1或1-B ．1C ．1-D ．03．已知向量)2,cos 3(α=a 与向量)sin 4,3(α=b 平行，则锐角α等于A ．4πB ．6πC ．3πD ．125π4．三条不重合的直线c b a ,,及三个不重合的平面γβα,,，下列命题正确的是A ．若βα//,//a a ，则βα//B ．若γβγαβα⊥⊥=,,a ，则γ⊥aC ．若b c a c c b a ⊥⊥⊂⊂⊂,,,,βαα，则βα⊥D ．若βαγβα//,//,,c c c a ⊂= ，则γ//a5．已知条件043:2≤--x x p ，条件096:22≤-+-m x x q ．若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是A ．]1,1[-B ．]4,4[-C ．),4[]4,(+∞--∞D ．),4[]1,(+∞--∞ 6．已知直线)(2sin cos :R y x l ∈=⋅+⋅ααα，圆0sin 2cos 2:22=⋅+⋅++y x y x C θθ)(R ∈θ，则直线l 与圆C 的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．与θα,相关7．如图，已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为双曲线的右焦点，且满足BF AF ⊥，设α=∠ABF ，且]6,12[ππα∈，则该双曲线离心率e 的取值范围为A ．]32,3[+B ．]13,2[+C ．]32,2[+D ．]13,3[+ 8．已知函数⎩⎨⎧>≤-=)0(ln )0(2)(x x x e x f x ，则下列关于函数)0(1]1)([≠++=k kx f f y 的零点个数的判断正确的是 A ．当0>k 时，有3个零点；当0<k 时，有4个零点 B ．当0>k 时，有4个零点；当0<k 时，有3个零点 C ．无论k 为何值，均有3个零点 D ．无论k 为何值，均有4个零点第Ⅱ卷二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每题6分，第13-15题每题4分，共36分） 9．若实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥-1422y y ax y x ，目标函数y x z 2+=.若1=a ，则z 的最大值为 ▲ ；若z 存在最大值， 则a 的取值范围为 ▲ ．10．一个几何体的三视图如图，其中正视图和侧视图是相同的等腰三角形，俯视图 由半圆和一等腰三角形组成．则这个几 何体可以看成是由 ▲ 和 ▲ 组成 的，若它的体积是62+π，则=a ▲ ．11．在ABC ∆中，若︒=∠120A ，DC BD BC AB 21,13,1===， 则=AC ▲ ；=AD ▲ ．OxyA BF（第7题）11正视图 a（第10题）111俯视图11侧视图12．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若24942=++a a a ，则=9S ▲ ；108108S S ⋅的最大值为 ▲ ．13．M 是抛物线x y 42=上一点，F 是焦点，且4=MF ．过点M 作准线l 的垂线，垂足为K ，则三角形MFK 的面积为 ▲ ．14．设0,,>z y x ，满足822=++z y xyz ，则z y x 224log log log ++的最大值是 ▲ ． 15．正四面体OABC ，其棱长为1．若O C z O B y O A x O P ++=（1,,0≤≤z y x ），且满足1≥++z y x ，则动点P 的轨迹所形成的空间区域的体积为 ▲ ．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题满分14分）已知函数)]8cos()8)[sin(8sin(21)(πππ+-++-=x x x x f ．（I ）求函数)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）当]12,2[ππ-∈x ，求函数)8(π+x f 的值域．17．（本题满分15分）在四棱锥ABCD P -中， ⊥PA 平面ABCD ， ABC ∆是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又4==AB PA ，︒=∠120CDA ，点N 在线段PB 上，且2=PN ．（I ）求证：//MN 平面PDC ； （Ⅱ）求二面角B PC A --的余弦值．18．（本题满分15分）已知直线)0(1:≠+=k kx y l 与椭圆a y x =+223相交于B A 、两个不同的点，记l 与y 轴的交点为C ．（Ⅰ）若1=k ，且210||=AB ，求实数a 的值； （Ⅱ）若CB AC 2=，求AOB ∆面积的最大值，及此时椭圆的方程． 19．（本题满分15分）AN MBDCP（第17题）设二次函数),()(2R b a c bx ax x f ∈++=满足条件：①当R x ∈时，)(x f 的最大值为0，且)3()1(x f x f -=-成立；②二次函数)(x f 的图象与直线2-=y 交于A 、B 两点，且4||=AB ．（Ⅰ）求)(x f 的解析式；（Ⅱ）求最小的实数)1(-<n n ，使得存在实数t ，只要当]1,[-∈n x 时，就有x t x f 2)(≥+成立．20．（本题满分15分）在数列}{n a 中，2,2,311+=+==-n n n n a b a a a ，.,3,2 =n （Ⅰ）求32,a a ，判断数列}{n a 的单调性并证明； （Ⅱ）求证：),3,2(|2|41|2|1 =-<--n a a n n ； （III ）是否存在常数M ，对任意2≥n ，有M b b b n ≤ 32？若存在，求出M 的值；若不存在，请说明理由．2015年高三教学测试（一）理科数学 参考答案一.选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分） 1.C ； 2.D ； 3.A ； 4.B ； 5.C ； 6.D ； 7.B ； 8.C ．7．【解析】ABF Rt ∆中，c AB c OF 2,=∴=，ααcos 2,sin 2c BF c AF ==∴ a c AF BF 2|sin cos |2||=-=-∴αα，|)4cos(|21|sin cos |1πααα+=-==∴a c e,12543,612ππαππαπ≤+≤∴≤≤]22,213[|)4cos(|2],21,426[)4cos(-∈+-∈+∴παπα]13,2[+∈∴e . 8．【解析】令1)(-=x f ，则得0=x 或ex 1=.则有1)(-=kx f 或11-e .（1）当0>k 时，①若0≤x ，则0≤kx ，12-=-kx e 或112-=-e e kx ，0=kx 或)11ln(e+，解得0=x 或ke x )11ln(+=（舍）； ②若0>x ，则0>kx ，1)ln(-=kx 或11-e ，解得ekx 1=或)11(-e e ，kex 1=或ke e)11(-，均满足.所以，当0>k 时，零点有3个；同理讨论可得，0<k 时，零点有3个. 所以，无论k 为何值，均有3个零点.二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每空3分，第13-15题每空4分，共36分） 9．6，)10,0( 10．一个三棱锥，半个圆锥，1 11．3，3712．72，6413．3414．2315．122514.【解析】),4(2)28()](8[,log log log log 2222224224yz yz yz yz z y yz z xy z xy z y x -⨯=-≤+-==++又4)24()4(2=-+≤-yz yz yz yz ，所以822≤z xy ，23log log log 224≤++z y x ．当且仅当2==z y ，2=x 时，等号成立．15.【解析】点P 的轨迹所形成的空间区域为平行六面体除去正四面体OABC 的部分．易得其体积为1225．三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题满分14分）已知函数)]8cos()8)[sin(8sin(21)(πππ+-++-=x x x x f ．（I ）求函数)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）当]12,2[ππ-∈x ，求函数)8(π+x f 的值域．16.【解析】（I ）)]8cos()8)[sin(8sin(21)(πππ+-++-=x x x x f)8cos()8sin(2)8(sin 212πππ+⋅+++-=x x xOABC题）（第15)42sin()42cos(ππ+++=x xx x x 2cos 2)22sin(2)442sin(2=+=++=πππ……5分所以，)(x f 的最小正周期ππ==22T .……7分 （Ⅱ）由（I ）可知)42cos(2)8(2cos 2)8(πππ+=+=+x x x f .……9分]12,2[ππ-∈x ，]125,43[42πππ-∈+∴x ，……11分 ]1,22[)42cos(-∈+∴πx ， ∴]2,1[)8(-∈+πx f .所以，)8(π+x f 的值域为]2,1[-.……14分17．（本题满分15分）在四棱锥ABCD P -中， ⊥PA 平面ABCD ，ABC ∆是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又4==AB PA ，︒=∠120CDA ，点N 在线段PB 上，且2=PN ．（I ）求证：//MN 平面PDC ； （Ⅱ）求二面角B PC A --的余弦值．17．【解析】（Ⅰ）在正三角形ABC 中，32=BM在ACD ∆中，因为M 为AC 中点，AC DM ⊥， 所以CD AD =，︒=∠120CDA ，所以332=DM ， 所以1:3:=MD BM ……4分在等腰直角三角形PAB 中，24,4===PB AB PA ， 所以1:3:=NP BN ，MD BM NP BN ::=，所以PD MN //.又⊄MN 平面PDC ，⊂PD 平面PDC ，所以//MN 平面PDC .……7分 （Ⅱ）因为︒=∠+∠=∠90CAD BAC BAD ， 所以AD AB ⊥，分别以AP AD AB ,,为x 轴, y 轴, z 轴 建立如图的空间直角坐标系，所以)4,0,0(),0,334,0(),0,32,2(),0,0,4(P D C B ． 由（Ⅰ）可知，)0,334,4(-=DB 为平面PAC 的法向量……10分)4,0,4(),4,32,2(-=-=P B P C ，ANMB DCP（第17题）yxMAD B CPN设平面PBC 的一个法向量为),,(z y x n =,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00PB n PC n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+04404322z x z y x ，令3=z ,则平面PBC 的一个法向量为)3,3,3(=n ……13分 设二面角B PC A --的大小为θ， 则77||||cos =⋅⋅=DB n DB n θ, 所以二面角B PC A --余弦值为77.……15分 18．（本题满分15分）已知直线)0(1:≠+=k kx y l 与椭圆a y x =+223相交于B A 、两个不同的点，记l 与y 轴的交点为C ．（Ⅰ）若1=k ，且210||=AB ，求实数a 的值； （Ⅱ）若CB AC 2=，求AOB ∆面积的最大值，及此时椭圆的方程． 18．【解析】设),(),,(2211y x B y x A ．（Ⅰ）41,210124312121222a x x x x a x x a y x x y -=-=+⇒=-++⇒⎩⎨⎧=++=， 2210432||2||21=⇒=-⋅=-=a a x x AB ．……5分 （Ⅱ）012)3(312222=-+++⇒⎩⎨⎧=++=a kx x k a y x kx y ， 22122131,32k ax x k k x x +-=+-=+⇒，……7分 由2122112)1,(2)1,(2x x y x y x CB AC -=⇒-=--⇒=，代入上式得： 2222213232k k x k k x x x +=⇒+-=-=+，……9分23323||||333||3||23||||212221=≤+=+==-=∆k k k k x x x OC S AOB ，……12分 当且仅当32=k 时取等号，此时32)3(422,32222222122-=+-=-=+=k k x x x k k x ．又6131221a k a x x -=+-=，因此53261=⇒-=-a a ． 所以，AOB ∆面积的最大值为23，此时椭圆的方程为5322=+y x ．……15分 19．（本题满分15分）设二次函数),()(2R b a c bx ax x f ∈++=满足条件：①当R x ∈时，)(x f 的最大值为0，且)3()1(x f x f -=-成立；②二次函数)(x f 的图象与直线2-=y 交于A 、B 两点，且4||=AB ．（Ⅰ）求)(x f 的解析式；（Ⅱ）求最小的实数)1(-<n n ，使得存在实数t ，只要当]1,[-∈n x 时，就有x t x f 2)(≥+成立．19.【解析】（Ⅰ）由)3()1(x f x f -=-可知函数)(x f 的对称轴为1=x ，……2分 由)(x f 的最大值为0，可假设)0()1()(2<-=a x a x f . 令2)1(2-=-x a ，a x 21-±=，则易知422=-a ，21-=a . 所以，2)1(21)(--=x x f .……6分（Ⅱ）由x t x f 2)(≥+可得，x t x 2)1(212≥+--，即0)1()1(222≤-+++t x t x ， 解得t t x t t 2121+--≤≤---.……8分 又x t x f 2)(≥+在]1,[-∈n x 时恒成立，可得⎪⎩⎪⎨⎧-≥+--≤---)2(121)1(21t t n t t ，由（2）得40≤≤t .……10分令t t t g 21)(---=，易知t t t g 21)(---=单调递减，所以，9)4()(-=≥g t g ， 由于只需存在实数t ，故9-≥n ，则n 能取到的最小实数为9-.此时，存在实数4=t ，只要当]1,[-∈n x 时，就有x t x f 2)(≥+成立．……15分20．（本题满分15分）在数列}{n a 中，2,2,311+=+==-n n n n a b a a a ，.,3,2 =n（Ⅰ）求32,a a ，判断数列}{n a 的单调性并证明； （Ⅱ）求证：),3,2(|2|41|2|1 =-<--n a a n n ； （III ）是否存在常数M ，对任意2≥n ，有M b b b n ≤ 32？若存在，求出M 的值；若不存在，请说明理由．20.【解析】（Ⅰ）由2,311+==-n n a a a 易知，25,532+==a a .……2分由2,311+==-n n a a a 易知0>n a .由21+=-n n a a 得，212+=-n n a a （1），则有221+=+n n a a （2），由（2）-（1）得1221-+-=-n n n n a a a a ，111))((-++-=-+n n n n n n a a a a a a ，0>n a ，所以n n a a -+1与1--n n a a 同号.由03512<-=-a a 易知，01<--n n a a ，即1-<n n a a ，可知数列}{n a 单调递减. ……5分（Ⅱ）由212+=-n n a a 可得，2412-=--n n a a ，2)2)(2(1-=+--n n n a a a ，所以，2|2||2|1+-=--n n n a a a .……7分由2)2)(2(1-=+--n n n a a a 易知，2-n a 与21--n a 同号，由于02321>-=-a 可知，02>-n a ，即2>n a ，42>+∴n a ，4121<+∴n a ，所以|2|41|2|1-<--n n a a ，得证. ……10分（III ） 2)2)(2(1-=+--n n n a a a ，2221--=+-n n n a a a ，即221--=-n n n a a b ，则212222222211322132-=--=--⋅⋅--⋅--=-n n n n n a a a a a a a a a b b b .……13分 由|2|41|2|1-<--n n a a 可知， 1113322141|2|41|2|41|2|41|2|41|2|-----=-<<-<-<-<-n n n n n n a a a a a ，所以，14|2|1->-n n a ，因为2>n a ，所以1421->-n n a .当∞→n 时，∞→-14n ，故不存在常数M ，对任意2≥n ，有M b b b n ≤ 32成立. ……15分2015年高三教学测试（二）2015嘉兴二模 理科数学注意事项：1．本科考试分试题卷和答题纸，考生须在答题纸上作答．答题前，请在答题纸的密封线内填写学校、班级、学号、姓名．2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：①棱柱的体积公式：Sh V =；②棱锥的体积公式：Sh V 31=；③棱台的体积公式：)(312211S S S S h V ++=；④球的体积公式：334R V π=；⑤球的表面积公式：24R S π=；其中S ,21,S S 表示几何体的底面积，h 表示几何体的高，R 表示球的半径．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在△ABC 中，“B A sin sin >”是“B A >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为A ．πB ．2πC ．3πD ．6π3．计算：=++)2log 2)(log 3log 3(log 9384A ．45 B ．25 C ．5D ．154．已知0>a ，实数y x ,满足：⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥)3(31x a y y x x ，若y x z +=2的最小值为1，则=aA ．2B ．1C ．21 D ．41 （第2题）侧视图正视图俯视图11221=R5．若55cos sin =+θθ，]π,0[∈θ，则=θtan A ．21-B ．21C ．2-D ．26．已知圆05422=--+x y x 的弦AB 的中点为)1,3(Q ，直线AB 交x 轴于点P ，则=⋅||||PB PAA ．4B ．5C ．6D ．87．设1F 、2F 分别为双曲线C ：12222=-by a x 0(>a ，)0>b 的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以21F F 为直径的圆交双曲线一条渐近线于M 、N 两点，且满足︒=∠120MAN ，则该双曲线的离心率为 A ．321B ．319C ．35D ．38．设⎩⎨⎧<-+++≥-+=)0()3()4()0()(22222x a x a a x x k a x k x f ，其中R ∈a ．若对任意的非零实数1x ，存在唯一的非零实数)(212x x x ≠，使得)()(21x f x f =成立，则k 的取值范围为 A ．RB ．]0,4[-C ．]33,9[D ．]9,33[--第Ⅱ卷二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每题6分，第13-15题每题4分，共36分） 9．已知全集R =U ，集合}11{≤≤-=x x A ，}02{2≥-=x x x B ，则=B A ▲ ；( A ∨=)B U ▲ ．10．在等差数列}{n a 中，32=a ，1473=+a a ，则公差=d ▲ ，=n a ▲ ． 11．若向量a 与b 满足2||=a ，2||=b ，a b a ⊥-)(．则向量a 与b 的夹角等于 ▲ ；（第7题）O y xAMN 1F 2F=+||b a ▲ ．12．已知函数⎩⎨⎧<+-≥-=)0(2)0(12)(2x x x x x f x ，则=)2(f ▲ ；若1)(=a f ，则=a ▲ ．13．已知实数0,>y x 且2=xy ，则8482233+++y x y x 的最小值是 ▲ ．14．抛物线x y 42=的焦点为F ，过点)3,0(的直线与抛物线交于B A ,两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点D ，若6||||=+BF AF ，则点D 的横坐标为 ▲ ．15．正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，底面ABCD 的对角线BD 在平面α内，则正方体在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是 ▲ ．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题满分14分）三角形ABC 中，已知C B A B A 222sin sin sin sin sin =++，其中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、．（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求+a bc的取值范围．（第15题）ABCD1A 1B 1C 1D α（第14题）O D FAy xB17．（本题满分15分）如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC ，22==PC AC ，BC AC ⊥，D 、E 、F 分别为AC 、AB 、AP 的中点，M 、N 分别为线段PC 、PB 上的动点，且有BC MN //． （Ⅰ）求证：⊥MN 面PAC ；（Ⅱ）探究：是否存在这样的动点M ，使得二面角F MN E --为直二面角？若存在，求CM 的长度；若不存在，说明理由．18．（本题满分15分）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21，过点）（1,0P 的动直线l 与椭圆交于B A ,两点，当l //x 轴时，364||=AB ． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当PB AP 2=时，求直线l 的方程．19．（本题满分15分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，设21=a ，有一组圆心在x 轴正半轴上的圆nA （ ,2,1=n ）与x 轴的交点分别为)0,1(0A 和)0,(11++n n a A ．过圆心n A 作垂直于x 轴的直线n l ，在第一象限与圆n A 交于点),(n n n b aB ．（第18题）OBAxyPl（第17题）AD PBC FEM N（Ⅰ）试求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设曲边形11++n n n B B A （阴影所示）的面积为n S ，若对任意*N ∈n ，m S S S n≤+++11121 恒成立，试求实数m 的取值范围．20．（本题满分15分）已知函数4)(-+=xax x f ，3)(+=kx x g ． （Ⅰ）当]4,3[∈a 时，函数)(x f 在区间],1[m 上的最大值为)(m f ，试求实数m 的取值范围；（Ⅱ）当]2,1[∈a 时，若不等式)()(|)(||)(|2121x g x g x f x f -<-对任意]4,2[,21∈x x （21x x <）恒成立，求实数k 的取值范围．2015年高三教学测试（二）理科数学 参考答案一．选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1．C ； 2．D ； 3．A ； 4．C ； 5．C ； 6．B ； 7．A ； 8．D ． 8．【解析】设k a x k x g -+=22)(，222)3()4()(a x a a x x h -+++=，由条件知二次函数的对称轴不能在y 轴的左侧即042≤+a a ，且两个函数的图象在y 轴上交于同一点，即)0()0(h g =，xy（第19题）O0A 1A 2A 3A 1B 2B 3B 2S 1S所以，96-=a k 在]0,4[-上有解，从而]9,33[--∈k .二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每空3分，第13-15题每空4分，共36分） 9．]0,1[-，)2,1[- 10．34，3134+n 11．4π，10 12．3，1 13．1 14．4 15．]3,1[15．【解析】设矩形11B BDD 与α所成锐二面角为θ， 面积记为1S ，则正方形1111D C B A 与α 所成锐二面角为θπ-2，面积记为2S ．所求阴影面积θθθπθsin cos )2cos(cos 2121S S S S S +=-+=)sin(3sin cos 2ϕθθθ+=+=，其中33cos ,36sin ==ϕϕ．故]3,1[∈S ．三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题满分14分）三角形ABC 中，已知C B A B A 222sin sin sin sin sin =++，其中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、．（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求+a bc的取值范围． 16．【解析】（Ⅰ）由正弦定理得：ab c b a -=-+222，∴由余弦定理得：212c o s 222-=-+=ab c b a C ，∴32π=C ． …6分 （Ⅱ）由正弦定理得：)s i n (s i n 332s i n s i n s i n B A C B A c b a +=+=+又 3π=+B A ，∴A B -=3π，∴)3sin()3sin(sin sin sin ππ+=-+=+A A A B A ，而30π<<A ，∴3233πππ<+<A ， （第15题）ABCD1A 1B 1C 1D α∴]1,23(sin sin ∈+B A ，∴]332,1(∈+c b a . …14分17．（本题满分15分）如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC ，22==PC AC ，BC AC ⊥，D 、E 、F 分别为AC 、AB 、AP 的中点，M 、N 分别为线段PC 、PB 上的动点，且有BC MN //． （Ⅰ）求证：⊥MN 面PAC ；（Ⅱ）探究：是否存在这样的动点M ，使得二面角F MN E --为直二面角？若存在，求CM 的长度；若不存在，说明理由．17．【解析】（Ⅰ）∵⊥PA 平面ABC ，∴BC PA ⊥，又BC AC ⊥，∴⊥BC 面PAC ； 又∵BC MN //， ∴⊥MN 面PAC . …6分（Ⅱ） 由条件可得，FMD ∠即为二面角F MN E --的平面角；若二面角F MN E --为直二面角，则︒=∠90FMD .在直角三角形PCA 中，设)20(,≤≤=t t CM ，则t PM -=2， 在MDC ∆中，由余弦定理可得，t t CD CM CD CM DM 214160cos 22222-+=︒⋅-+=； 同理可得，)2(2343)2(30cos 22222t t PF PM PF PM FM --+-=︒⋅-+=； 又由222MD FM FD +=，得01322=+-t t ，解得1=t 或21=t .∴存在直二面角F MN E --，且CM 的长度为1或21. …15分18．（本题满分15分）设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21，过点）（1,0P 的动直线l 与椭圆交于BA ,两点，已知当l //x 轴时，364||=AB ． （Ⅰ）求椭圆的方程；（第17题）ADPBCFEM N（Ⅱ）当PB AP 2=时，求直线l 的方程．18．【解析】（Ⅰ）由条件：21==a c e ，∴2243b a =， 过点）（1,0P 且平行于x 轴的直线截椭圆 所得弦长为：364122=-b b a ， ∴3,422==b a ，∴椭圆的方程为：13422=+y x ．…6分（Ⅱ）设),(),,(2211y x B y x A ， PB AP 2=，∴0221=+x x ①（1）若直线l 存在斜率，可设l ：1+=kx y ，则由⎪⎩⎪⎨⎧+==+113422kx y y x 可得，088)43(22=-++kx x k ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+221221438438k x x k k x x ，与①联立解得，21±=k ；（2）若直线l 不存在斜率，则l ：0=x ， ∴13||,13||+=-=BP AP ，易知PB AP 2≠∴直线l 的方程为：121+±=x y ．…15分19．（本题满分15分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，设21=a ，有一组圆心在x 轴正半轴上的圆nA （ ,2,1=n ）与x 轴的交点分别为)0,1(0A 和)0,(11++n n a A ．过圆心n A 作垂直于x 轴的直线n l ，在第一象限与圆n A 交于点),(n n n b aB ．（Ⅰ）试求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设曲边形11++n n n B B A （阴影所示）的面积为n S ，若对任意*N ∈n ，（第18题）OBAxyPlm S S S n≤+++11121 恒成立，试求实数m 的取值范围．19.【解析】（Ⅰ）由条件可得，)1(211-=-+n n a a ，又因为111=-a ，可得数列}1{-n a 是等比数列．故，121-=-n n a ，从而121+=-n n a ．…6分（Ⅱ）因为121-=-=n n n a b ，所以)2,12(11--+n n n B ， 所以)2,12(1n n n B ++，且)0,12(1+-n n A ，)0,12(1++n n A111+++-=n n n n n n n A B A A B B A n S S S 扇形梯形2111)2(41)22(221---⨯-+⨯⨯=n n n n π1446-⨯-=n π 所以1)41(641-⋅-=n n S π，所以 411)41(164))41(411(64111121--⋅-=+++-=+++-nn n S S S ππππ31816))41(1(31816-<--=n ． 故可得实数π31816-≥m ．…15分20．（本题满分15分）已知函数4)(-+=xax x f ，3)(+=kx x g ． （Ⅰ）当]4,3[∈a 时，函数)(x f 在区间],1[m 上的最大值为)(m f ，试求实数m 的取值范围；（Ⅱ）当]2,1[∈a 时，若不等式)()(|)(||)(|2121x g x g x f x f -<-对任意]4,2[,21∈x x （21x x <）恒成立，求实数k 的取值范围．20.【解析】（Ⅰ）∵43≤≤a ，∴)(x f y =在),1(a 上递减，在)(∞+，a 上递增， 又∵)(x f 在区间],1[m 上的最大值为)(m f ，∴)1()(f m f ≥，得0))(1(≥--a m m ，∴max a m ≥，即 4≥m ； …6分（Ⅱ）∵)()(|)(||)(|2121x g x g x f x f -<- ∴)(|)(|)(|)(|2211x g x f x g x f -<-恒成立xy（第19题）OA 1A 2A 3A 1B 2B 3B 2S 1S令)(|)(|)(x g x f x F -=，∴)(x F 在]4,2[上递增。

浙江省2015年普通高考（考前全真模拟考试）数学（理） 试题卷考试须知：1．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

全卷共4页，三个大题， 20 个小题，总分150分，考试时间为120分钟。

2．请考生用规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上，答在试题卷上无效。

3．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。

4．选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试题卷上。

参考公式：柱体的体积公式V sh =其中S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高．锥体的体积公式13V sh =其中S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高． 台体的体积公式()112213V h s s s s =+，其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高．球的表面积公式24S R π=． 球的体积公式343V R π=,其中R 表示球的半径． 第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,1,2,4,2,3,6U M N ===，则()U C M N =U （ ） A ．{}1,2,3 B ．{}5 C ．{}1,3,4 D ．{}22．已知2:560,:||1p x x q x a -+≤-<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,3]-∞B ．[2,3]C ．()2,+∞D ．(2,3)3．设,x y 满足条件22x y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A ．6B ．4C ．3D ．24．设α、β、γ是三个互不重合的平面，m 、n 是两条不重合的直线，下列命题中正确的是（ ） A ．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ B ．若m ∥α，n ∥β，α⊥β，则m ⊥nxyOABS MNC 第8题C ．若α⊥β，m ⊥α，则m ∥βD ．若α∥β，m ⊄β，m ∥α，则m ∥β5．设,a b r r 为两个互相垂直的单位向量，已知,,OA a OB b OC ma nb ===+u u u r r u u u r r u u u r r r．若ABC ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则m n += （ ） A ．1或－3B ．－1或3C ．2或－4D ．－2或4 6．已知 ，且 ，则 的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ．4 7．如图，正ABC ∆的中心位于点()()0,1,0,2G A ，动点P 从A 点出发 沿ABC ∆的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度()02AGP x x π∠=≤≤，向量OP uuu r 在()1,0a =r方向的射影为y （O 为坐标原点），则y 关于x 的函数()y f x =的图象是（ ）A ．B ．．D ．8．如图，已知点(0,3)S ，,SA SB 与圆22:0(0)C x y my m +-=> 和抛物线22(0)x py p =->都相切，切点分别为,M N 和,A B ，//SA ON ，AB MN λ=u u u r u u u u r，则实数λ的值为（ ）A ．4B ．23C ．3D ．33第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题有7小题，共36分（其中1道三空题，每空2分，3道两空题，每空3分，3道一空题，每空4分）。

2015年宁波市高三五校适应性考试数学（理科）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

注意：本卷考试时间120分钟，请考生将所有题目都做在答题卷上。

参考公式：球的表面积公式 柱体的体积公式S =4πR 2V =Sh 球的体积公式 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 V =34πR 3 台体的体积公式 其中R 表示球的半径 V =31h (S 1+21S S +S 2)锥体的体积公式 其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积， V =31Sh h 表示台体的高 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高选择题部分(40分)一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1. 已知命题“:p 0>∃x ，x x <ln ”，则p ⌝为( )A.0≤∃x ，ln x x ≥B.0>∀x ，ln x x ≥C.0≤∃x ，x x <lnD.0>∀x ，x x <ln2.已知互不相等的正数q p d c b a ,,,,,满足d b c a ,,,成等差数列，q b p a ,,,成等比数列，则()A.q d p c ><,B.q d p c >>,C.q d p c <>,D.q d p c <<,3. 已知直线b a ,，平面βα,，且α⊥a ，β⊂b ，则“b a ⊥”是“βα//”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.函数1211111(),(),,(),,()()n n f x f x f x x x f x x f x +===++ 则函数2015()f x 是（ ） A.奇函数但不是偶函数B.偶函数但不是奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数5.已知不存在整数x 使不等式2(4)(4)0ax a x ---<成立，则实数a 的取值范围为( )A.(0,)+∞B. (0,2]C.[1,2]D.[1,4]6.已知某几何体的三视图(单位：cm )，如图所示，则此几何体的外接球的体积为( )侧视图正视图A.392cm π B.336cm π C.3643cm πD.39cm π7.已知过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的中心的直线交双曲线于点,A B ，在双曲线C 上任取与点,A B 不重合的点P ，记直线,,PA PB AB 的斜率分别为12,,k k k ，若12k k k >恒成立，则离心率e 的取值范围为()A.1e <<B.1e <≤C. e >D.e ≥8. 设,x y 满足约束条件04312x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则231x y x +++取值范围是（）A ．[1,5]B ．[2,6]C ．[3,11]D ．[3,10]非选择题部分(110分)二、填空题（本大题共7小题，9～12小题每题6分，其它小题每题4分，共36分） 9. 已知直线012:1=-+y ax l ，直线03:2=-+by x l ，且1l 的倾斜角为4π，则a = ；若21l l ⊥，则b = ；若21//l l ，则两直线间的距离为 ．10.太阳光的入射角(光线与地面所成的角)为6π，要使长为m 的木棒在地面上的影子最长，则木棒与地面所成的角应为 ，其最大影长为 . 11. 已知α为第二象限角，且1tan 41tan 3αα+=-，则tan()28απ+= ，sin()12πα+= .12.设函数2|1|1,0(),0x x f x x x x +-<⎧=⎨-+≥⎩，则((2))f f = ，函数(())y f f x =的零点个数为 .13.已知实数,x y 满足log 2log log 4a x x x a y ++=，其中常数1a >，当y 取最大值2时，对应的x 的值为 .14.已知抛物线24y x =过焦点F 的弦AB ，过弦AB 的中点作准线l 的垂线，垂足为M ，则MA MB ⋅的值为 .15.已知函数()sin,2f x x π=任意的,t R ∈记函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值为(),M t 最小值为()m t ，则函数()()()h t M t m t =-的值域为 .三、解答题(共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分15分)ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且1)cos(32cos ++=C B A ．(Ⅰ）求角A 的大小；(Ⅱ)若81cos cos -=C B ，且ABC ∆的面积为32，求a ．17. (本小题满分15分)如图，四边形ABCD 为平行四边形，5AB =，4,3AD BD ==，将BCD ∆沿着BD 翻折到平面1BC D 处(不与平面ABCD 重合)，,E F 分别为对边1,AB C D 的中点，(Ⅰ)求证：EF BD ⊥；(Ⅱ)若异面直线1,EF BC 所成的角为30 ，求二面角1C AB D --的平面角的正切值.18.(本小题满分15分)如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率12e =，右焦点为F ，右顶点为A ，P 为直线54x a =上的任意一点，且()2PF PA AF +⋅= . (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若过点P 所作椭圆C 的切线l 与坐标轴不平行，切点为Q ，且交y 轴于点T ，试确定x 轴上是否存在定点M ，使得sin 2|cos |OTQ TQM ∠=∠.若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.第17题图CA19. (本小题满分15分)已知数列{}n a 满足2233312(1)4n n n a a a ++++= ，n *∈N .(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)证明：对任意的n N *∈，都有12331212342222n n a a a a na a a a a a a a ++++<---- .20. (本小题满分14分)已知二次函数()2f x x bx c =++，其中常数,b c R ∈.(Ⅰ)若任意的[1,1]x ∈-，()0,(2)0f x f x ≥+≤，试求实数c 的取值范围； (Ⅱ)若对任意的[]12,1,1x x ∈-，有()()124f x f x -≤，试求实数b 的取值范围．2015年五校高三适应性考试数学（理科）试题参考答案16. (Ⅰ）由1)cos(32cos ++=C B A 得，02cos 3cos 22=-+A A ，……………2分 即0)2)(cos 1cos 2(=+-A A ，所以，21cos =A 或2cos -=A (舍去) ……………4分 因为A 为三角形内角，所以3π=A .…………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ）知21)cos(cos =+-=C B A ， 则21sin sin cos cos -=-B A C B ； 由81cos cos -=C B ，得83sin sin =B A ，………………………9分 由正弦定理，有C cB b A a sin sin sin ==，即3sin 2B a b =，3sin 2C a c =，……………12分 由三角形的面积公式，得22833sin sin sin 21a C B a A bc S ===，即32832=a ，解得4=a .………………………15分17. 解法一：(Ⅰ)连结1CC ，并取1CC 的中点M ，连结,FM BM . 因为F 分别为1C D 的中点，所以，//FM DC 且12FM DC =； 因为四边形ABCD 为平行四边形，所以，//DC AB =；又E 分别为AB 的中点，所以，//FM EB =，即四边形FMBE 为平行四边形；………………………3分 所以，//EF MB .因为5AB =，4,3AD BD ==，即222AD BD AB +=； 所以，BD AD ⊥，BD BC ⊥，1BD BC ⊥； 所以，BD ⊥平面1BCC .又因为BM ⊂平面1BCC ，所以BD BM ⊥，BD EF ⊥.………………………6分 (Ⅱ)取BC 的中点N ，过N 作线段AB 的垂线交AB 的延长线于点H . 由(1)知，异面直线1,EF BC 所成的角为1C BM ∠ ，故130C BM ∠= ；因为1BC BC =，M 为1CC 的中点，所以， 160C BC ∠= ，即1C BC ∆为正三角形. 所以1C N BC ⊥.………………………9分由(Ⅰ)知，异面直线1,EF BC 所成的角为1C BM ∠ ，故130C BM ∠= ；因为1BC BC =，M 为1CC 的中点，所以， 160C BC ∠= ，即1C BC ∆为正三角形. 所以1C N BC ⊥.又BD ⊥平面1BCC ，所以，平面ABCD ⊥平面1BCC ；因为平面ABCD 平面1BCC BC =，所以1C N ⊥平面ABCD ，1C N AB ⊥； 所以， 1C HN ∠为二面角1C AB D --的平面角. ………………………12分在1Rt C NH ∆中，1C N BC ==，16sin 25BD NH NB NBH BC AB =⋅∠=⋅=，所以，11tan C N C HN NH ∠==，即二面角1C AB D --.………………………15分解法二：(Ⅰ)因为5AB =，4,3AD BD ==，即222AD BD AB +=； 所以，BD AD ⊥，BD BC ⊥，1BD BC ⊥； 所以，BD ⊥平面1BCC .………………………2分 以B 为原点，直线,BC BD 分别为x 轴、y 轴建立如图所示的空间直角坐标系. ………………………3分 则(4,0,0),(0,3,0),(4,3,0)C D A - ，设1(0,)CBC θπ∠=∈ ，则1(4cos ,0,4sin )C θθ，所以，中点33(2,,0),(2cos ,,2sin )22E F θθ-，所以，(2cos 2,0,2sin )EF θθ=+ ，(0,3,0)BD =，所以，0EF BD ⋅=，即BD EF ⊥.………………………6分(Ⅱ) 因为异面直线1,EF BC 所成的角为30，所以，11||||||cos 6EF BC EF BC π⋅=⋅⋅ ，即88cos θ+=1cos 2θ=，3πθ=.即1(2,0,C .…………8分设平面1C AB 的一个法向量(,,)m x y z =，则100m AB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即43020x y x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取4y =，则3,x z ==，即(3,4,m = . ………………………11分又平面ABD 的一个法向量(0,0,1)n =，………………………12分所以cos ,||||m n m n m n ⋅===，tan ,m n = ， 因为二面角1C AB D --为锐二面角，所以二面角1C AB D --的平面角的正切值为|tan ,|m n = ………………………15分18. (Ⅰ) 由题意，知右顶点(,0)A a ，设5(,)4P a m ，右焦点(,0)F c ，则2a c =，由()2PF PA AF +⋅=，得(23)()4c a c a --=，………………………2分 解得2,1a c ==，所以2223b a c =-=………………………4分EA所以椭圆C 的方程为22143x y +=.………………………5分(注：取P 为特殊点求值，只能得4分)(Ⅱ)设切点0000(,),0Q x y x y ≠，切线方程为00()y y k x x -=-，与椭圆方程联立，得2220000(34)8()4()120k x k y kx x y kx ++-+--=有相等实根，所以，2220000[8()]4(34)[4()12]0k y kx k y kx ∆=--+--=， 解得，034x k y =-， 又22003412x y +=，所以，切线方程为0034120x x y y +-=.………………………8分(注：用隐函数求导得切线方程同样得分)则切线与y 轴的交点03(0,)T y ，且原点O到切线的距离d =，所以sin ||dOTQ OT ∠==.………………………11分若x 轴上存在定点(,0)M m 使sin 2|cos |OTQ TQM ∠=∠，由220000000033(,)(,),(,)4y x QT x x QM m x y y y -=-=-=--得，|||cos |||||QT QM TQM QT QM ⋅∠==⋅13分=对任意的0||(0,2)x ∈恒成立，化简，得21m =，1m =±.所以，x 轴上存在定点(1,0)M ±即椭圆C 的两焦点使sin 2|cos |OTQ TQM ∠=∠.………………………15分19. (Ⅰ)因为2233312(1)4n n n a a a ++++= ，当1n =时，311a =，即11a =.………………………2分当2n ≥时，22333121(1)4n n n a a a --+++= ，作差，得222233(1)(1)44n n n n n a n +-=-=， n a n =，………………………4分且11a =也满足此式；………………………5分(不检验，此步不得分) 所以，{}n a 的通项公式为n a n =.………………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)得22n n a nn a nna =--，因为12(1)2(21)2210n n n n n n n +-+=-+->-≥->， 所以，02n na na a >-，………………………8分又122(2)02(2)2n n n a n n n a n n n n n a ---=≤--，即122n n a n n a n a -≤-.………………………11分所以，123312112131112312322222222n n a a a a n n a a a a n a a a a ----++++≤++++---- ，记11213111232222n nS ----=++++， 由错位相减法，得211111122222n n n n S --=++++- ，即22242n n S +⎛⎫=-< ⎪⎝⎭.………………………14分所以12331212342222n n a a a a na a a a a a a a ++++<---- .………………………15分20.(Ⅰ)因为11x -≤≤，则123x ≤+≤，由已知，有对任意的11x -≤≤，()0f x ≥恒成立，任意的13x ≤≤，()0f x ≤恒成立，故()10f ≥且(1)0f ≤，所以，(1)0f =，即1为函数()y f x =的一个零点.………………………2分因此可设()(1)()f x x x c =--.所以，任意的13x ≤≤，()0f x ≤恒成立，则[1,3][1,]c ⊆，………………………5分 即c 的取值范围为3c ≥………………………7分(Ⅱ)函数2()f x x bx c =++对12,[1,1]x x ∀∈-，有4|)()(|21≤-x f x f 恒成立， 即max min ()()4f x f x -≤，………………………8分记max min ()()f x f x M -=，则4M ≤. 当||12b->即||2b >时， |(1)(1)||2|4M f f b =--=>，与4M ≤矛盾； ………………………10分当||12b -≤即22b -≤≤时,max{(1),(1)}()2bM f f f =--- 2(1)(1)|(1)(1)|()(1)4222b f f f f bf +-+--=--=+≤，即22b -≤≤.………………………13分综上，c 的取值范围为22b -≤≤.………………………14分。

【2015浙江省高考模拟理科数学 10份】浙江省各地2015届高三高考一模二模及联考试题汇总Word版含答案2015杭州一模数学（理） (1)2015嘉兴一模理科数学 (8)2015嘉兴二模理科数学 (18)2015六校联考数学（理） (27)2015宁波十校联考数学（理科） (35)2015衢州模拟数学理 (44)2015温州二模数学（理科） (52)2015温州十校联考理科数学 (64)2015温州一模数学（理科） (73)2015浙江五校联考数学（理科） (84)2015年杭州市第一次高考科目教学质量检测2015杭州一模数学（理）考生须知：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.4.考试结束，只需上交答题卷.选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1.若31sin =α，则=+)2cos(απA.31 B.31- C.322 D.322- 2.设实数y x ,满足不等式组⎩⎨⎧≤-+≥+-0401y x y x ，若y x z 2+=，则z 的最大值为A.-1B.4C.213 D.215 3.若某几何体的三视图（单位:cm)如图所示，则此几何体的体积是A.24cm ³B.40cm ³C.36cm ³D.48㎝³ 4.设R b a ∈,，则“ba ba+=+222”是“2≥+b a ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5.设函数xe xf ln )(=（e 为自然对数的底数）.若21x x ≠且)()(21x f x f =，则下列结论一．定不．．成立的是 A.1)(12＞x f x B.1)(12=x f x C.1)(12＜x f x D.)()(2112x f x x f x ＜ 6.设P 为锐角△ABC 的外心．．（三角形外接圆圆心），）AC AB k AP +=( )(R k ∈.若52cos =∠BAC ，则k = A.145 B.142 C.75 D.73 7.设F 为双曲线）＞，＞00(1:2222b a by a x C =-的右焦点，过点F 且斜率为-1的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于B A ,两点，若AF AB 3-=，则双曲线C 的离心率=eA.310 B.25 C.5 D.3348.已知函数))((R x x f ∈是以4为周期的奇函数，当)2,0(∈x 时，)ln()(2b x x x f +-=.若函数)(x f 在区间]2,2[-上有5个零点，则实数b 的取值范围是A.11≤-b ＜B.4541≤≤b C.4511=-b b 或＜＜ D.45141=≤b b 或＜非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，第9至12题每小题6分，第13至15题每题4分，共36分.9.已知函数))(32sin(2R x x y ∈+=π，则该函数的最小正周期为 ，最小值为 ，单调递减区间为10.设函数)(2)1()(2R k x k x x f ∈++-=，则=+)21(k f ；若当0)(0≥x f x 时，＞恒成立，则k 的取值范围为11.设圆1)12()(:22=+-+-k y k x C ，则圆C 的圆心轨迹方程是 ，若直线013:=-+ty x l 截圆C 所得的弦长与k 无关，则=t12.设函数2)(-=x x x f ，则当)2,0(∈x 时，函数)(x f 的最大值等于 ，若0x 是函数1))(()(-=x f f x g 的所有零点中的最大值，且0x ),)(1,(Z k k k ∈+∈则=k 13.设实数d a ,1为等差数列{}n a 的首项和公差.若563a a -=，则d 的取值范围是 14.已知抛物线）＞0(2:2p px y C =，过点)0,3(p G 的直线l 与抛物线C 交于B A ,两点（点B 在第四象限），O 为坐标原点，且︒=∠90OBA ，则直线l 的斜率=k15.在长方体1111D C B A ABCD -中，其中ABCD 是正方形，.1AB AA ＞设点A 到直线D B 1的距离和到平面11A DCB 的距离分别为,,21d d 则21d d 的取值范围是三．解答题：本大题共5个题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本题满分15分）在△ABC 中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,.已知.cos 2232cos A A =+（I ）求角A 的大小（II ）若,1=a 求△ABC 的周长l 的取值范围.17.（本题满分15分）已知四边形ABCD 是矩形，)(R k kAB BC ∈=，将A B C ∆沿着对角线AC 翻折，得到,1C AB ∆设顶点1B 在平面ABCD 上的投影为O . （I ）若点O 恰好落在边AD 上， （i ）求证：CD B AB 11平面⊥；（ii ）若.1,11＞AB O B =当BC 取到最小值时，求k 的值（II ）当3=k 时，若点O 恰好落在△ACD 的内部（不包括边界），求二面角D AC B --1的余弦值的取值范围.18.（本题满分15分）在直角坐标系xOy 中，设点)0,1(),0,1(B A -，Q 为△ABC 的外心.已知AB QG OG CG ∥,02=+. （I)求点C 的轨迹Γ的方程（II ）设经过)2,0(F 的直线交轨迹Γ与,,H E 直线EH 与直线223:=y l 交于点M ，点P 是直线2=y 上异于点F 的任意一点.若直线PM PH PE ,,的斜率分别为321,,k k k ，问是否存在实数t ，使得,11321k tk k =+若存在，求t 的值；若不存在，说明理由.19.（本题满分15分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n S +n a =n （*N n ∈）.（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）求证：221...21212133221＜nn a a a a ++++. 20.（本题满分14分）已知实数0＞a ，函数⎪⎩⎪⎨⎧--≥-=）＜），（0(),(4090)()(x a x x x a x x x f（I ）若函数)(x f 在区间）＞0(),,(b b b -上存在最小值，求b 的取值范围；（II ）对于函数)(x f ，若存在区间],[n m （m n ＞），使{}],[],[),(n m n m x x f y y =∈=，求a 的取值范围，并写出满足条件的所有区间].,[n m2015年高三教学测试（一）2015嘉兴一模理科数学注意事项：1．本科考试分试题卷和答题纸，考生须在答题纸上作答．答题前，请在答题纸的密封线内填写学校、班级、学号、姓名;2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：①棱柱的体积公式：Sh V =；②棱锥的体积公式：Sh V 31=；③棱台的体积公式：)(312211S S S S h V ++=；④球的体积公式：334R V π=；⑤球的表面积公式：24R S π=；其中S ,21,S S 表示几何体的底面积，h 表示几何体的高，R 表示球的半径．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集}4,3,2,1,0{=U ，集合}2,1,0{=A ，集合}3,2{=B ，则(=B A U)A ．∅B ．}4,3,2,1{C ．}4,3,2{D ．}4,3,2,1,0{2．已知直线01=-+y ax 与直线01=-+ay x 互相垂直，则=aA ． 1或1-B ．1C ．1-D ．03．已知向量)2,cos 3(α=a 与向量)sin 4,3(α=b 平行，则锐角α等于A ．4πB ．6πC ．3πD ．125π4．三条不重合的直线c b a ,,及三个不重合的平面γβα,,，下列命题正确的是A ．若βα//,//a a ，则βα//B ．若γβγαβα⊥⊥=,,a ，则γ⊥aC ．若b c a c c b a ⊥⊥⊂⊂⊂,,,,βαα，则βα⊥D ．若βαγβα//,//,,c c c a ⊂= ，则γ//a5．已知条件043:2≤--x x p ，条件096:22≤-+-m x x q ．若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是A ．]1,1[-B ．]4,4[-C ．),4[]4,(+∞--∞D ．),4[]1,(+∞--∞ 6．已知直线)(2sin cos :R y x l ∈=⋅+⋅ααα，圆0sin 2cos 2:22=⋅+⋅++y x y x C θθ)(R ∈θ，则直线l 与圆C 的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．与θα,相关7．如图，已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为双曲线的右焦点，且满足BF AF ⊥，设α=∠ABF ，且]6,12[ππα∈，则该双曲线离心率e 的取值范围为A ．]32,3[+B ．]13,2[+C ．]32,2[+D ．]13,3[+ 8．已知函数⎩⎨⎧>≤-=)0(ln )0(2)(x x x e x f x ，则下列关于函数)0(1]1)([≠++=k kx f f y 的零点个数的判断正确的是 A ．当0>k 时，有3个零点；当0<k 时，有4个零点 B ．当0>k 时，有4个零点；当0<k 时，有3个零点 C ．无论k 为何值，均有3个零点 D ．无论k 为何值，均有4个零点第Ⅱ卷二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每题6分，第13-15题每题4分，共36分） 9．若实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥-1422y y ax y x ，目标函数y x z 2+=.若1=a ，则z 的最大值为 ▲ ；若z 存在最大值， 则a 的取值范围为 ▲ ．10．一个几何体的三视图如图，其中正视图和侧视图是相同的等腰三角形，俯视图 由半圆和一等腰三角形组成．则这个几 何体可以看成是由 ▲ 和 ▲ 组成 的，若它的体积是62+π，则=a ▲ ．11．在ABC ∆中，若︒=∠120A ，DC BD BC AB 21,13,1===， 则=AC ▲ ；=AD ▲ ．OxyA BF（第7题）11正视图 a（第10题）111俯视图11侧视图12．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若24942=++a a a ，则=9S ▲ ；108108S S ⋅的最大值为 ▲ ．13．M 是抛物线x y 42=上一点，F 是焦点，且4=MF ．过点M 作准线l 的垂线，垂足为K ，则三角形MFK 的面积为 ▲ ．14．设0,,>z y x ，满足822=++z y xyz ，则z y x 224log log log ++的最大值是 ▲ ． 15．正四面体OABC ，其棱长为1．若O C z O B y O A x O P ++=（1,,0≤≤z y x ），且满足1≥++z y x ，则动点P 的轨迹所形成的空间区域的体积为 ▲ ．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题满分14分）已知函数)]8cos()8)[sin(8sin(21)(πππ+-++-=x x x x f ．（I ）求函数)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）当]12,2[ππ-∈x ，求函数)8(π+x f 的值域．17．（本题满分15分）在四棱锥ABCD P -中， ⊥PA 平面ABCD ， ABC ∆是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又4==AB PA ，︒=∠120CDA ，点N 在线段PB 上，且2=PN ．（I ）求证：//MN 平面PDC ； （Ⅱ）求二面角B PC A --的余弦值．18．（本题满分15分）已知直线)0(1:≠+=k kx y l 与椭圆a y x =+223相交于B A 、两个不同的点，记l 与y 轴的交点为C ．（Ⅰ）若1=k ，且210||=AB ，求实数a 的值； （Ⅱ）若CB AC 2=，求AOB ∆面积的最大值，及此时椭圆的方程． 19．（本题满分15分）AN MBDCP（第17题）设二次函数),()(2R b a c bx ax x f ∈++=满足条件：①当R x ∈时，)(x f 的最大值为0，且)3()1(x f x f -=-成立；②二次函数)(x f 的图象与直线2-=y 交于A 、B 两点，且4||=AB ．（Ⅰ）求)(x f 的解析式；（Ⅱ）求最小的实数)1(-<n n ，使得存在实数t ，只要当]1,[-∈n x 时，就有x t x f 2)(≥+成立．20．（本题满分15分）在数列}{n a 中，2,2,311+=+==-n n n n a b a a a ，.,3,2 =n （Ⅰ）求32,a a ，判断数列}{n a 的单调性并证明； （Ⅱ）求证：),3,2(|2|41|2|1 =-<--n a a n n ； （III ）是否存在常数M ，对任意2≥n ，有M b b b n ≤ 32？若存在，求出M 的值；若不存在，请说明理由．2015年高三教学测试（一）理科数学 参考答案一.选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分） 1.C ； 2.D ； 3.A ； 4.B ； 5.C ； 6.D ； 7.B ； 8.C ．7．【解析】ABF Rt ∆中，c AB c OF 2,=∴=，ααcos 2,sin 2c BF c AF ==∴ a c AF BF 2|sin cos |2||=-=-∴αα，|)4cos(|21|sin cos |1πααα+=-==∴a c e,12543,612ππαππαπ≤+≤∴≤≤]22,213[|)4cos(|2],21,426[)4cos(-∈+-∈+∴παπα]13,2[+∈∴e . 8．【解析】令1)(-=x f ，则得0=x 或ex 1=.则有1)(-=kx f 或11-e .（1）当0>k 时，①若0≤x ，则0≤kx ，12-=-kx e 或112-=-e e kx ，0=kx 或)11ln(e+，解得0=x 或ke x )11ln(+=（舍）； ②若0>x ，则0>kx ，1)ln(-=kx 或11-e ，解得ekx 1=或)11(-e e ，kex 1=或ke e)11(-，均满足.所以，当0>k 时，零点有3个；同理讨论可得，0<k 时，零点有3个. 所以，无论k 为何值，均有3个零点.二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每空3分，第13-15题每空4分，共36分） 9．6，)10,0( 10．一个三棱锥，半个圆锥，1 11．3，3712．72，6413．3414．2315．122514.【解析】),4(2)28()](8[,log log log log 2222224224yz yz yz yz z y yz z xy z xy z y x -⨯=-≤+-==++又4)24()4(2=-+≤-yz yz yz yz ，所以822≤z xy ，23log log log 224≤++z y x ．当且仅当2==z y ，2=x 时，等号成立．15.【解析】点P 的轨迹所形成的空间区域为平行六面体除去正四面体OABC 的部分．易得其体积为1225．三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题满分14分）已知函数)]8cos()8)[sin(8sin(21)(πππ+-++-=x x x x f ．（I ）求函数)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）当]12,2[ππ-∈x ，求函数)8(π+x f 的值域．16.【解析】（I ）)]8cos()8)[sin(8sin(21)(πππ+-++-=x x x x f)8cos()8sin(2)8(sin 212πππ+⋅+++-=x x xOABC题）（第15)42sin()42cos(ππ+++=x xx x x 2cos 2)22sin(2)442sin(2=+=++=πππ……5分所以，)(x f 的最小正周期ππ==22T .……7分 （Ⅱ）由（I ）可知)42cos(2)8(2cos 2)8(πππ+=+=+x x x f .……9分]12,2[ππ-∈x ，]125,43[42πππ-∈+∴x ，……11分 ]1,22[)42cos(-∈+∴πx ， ∴]2,1[)8(-∈+πx f .所以，)8(π+x f 的值域为]2,1[-.……14分17．（本题满分15分）在四棱锥ABCD P -中， ⊥PA 平面ABCD ，ABC ∆是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又4==AB PA ，︒=∠120CDA ，点N 在线段PB 上，且2=PN ．（I ）求证：//MN 平面PDC ； （Ⅱ）求二面角B PC A --的余弦值．17．【解析】（Ⅰ）在正三角形ABC 中，32=BM在ACD ∆中，因为M 为AC 中点，AC DM ⊥， 所以CD AD =，︒=∠120CDA ，所以332=DM ， 所以1:3:=MD BM ……4分在等腰直角三角形PAB 中，24,4===PB AB PA ， 所以1:3:=NP BN ，MD BM NP BN ::=，所以PD MN //.又⊄MN 平面PDC ，⊂PD 平面PDC ，所以//MN 平面PDC .……7分 （Ⅱ）因为︒=∠+∠=∠90CAD BAC BAD ， 所以AD AB ⊥，分别以AP AD AB ,,为x 轴, y 轴, z 轴 建立如图的空间直角坐标系，所以)4,0,0(),0,334,0(),0,32,2(),0,0,4(P D C B ． 由（Ⅰ）可知，)0,334,4(-=DB 为平面PAC 的法向量……10分)4,0,4(),4,32,2(-=-=P B P C ，ANMB DCP（第17题）yxMAD B CPN设平面PBC 的一个法向量为),,(z y x n =,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00PB n PC n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+04404322z x z y x ，令3=z ,则平面PBC 的一个法向量为)3,3,3(=n ……13分 设二面角B PC A --的大小为θ， 则77||||cos =⋅⋅=DB n DB n θ, 所以二面角B PC A --余弦值为77.……15分 18．（本题满分15分）已知直线)0(1:≠+=k kx y l 与椭圆a y x =+223相交于B A 、两个不同的点，记l 与y 轴的交点为C ．（Ⅰ）若1=k ，且210||=AB ，求实数a 的值； （Ⅱ）若CB AC 2=，求AOB ∆面积的最大值，及此时椭圆的方程． 18．【解析】设),(),,(2211y x B y x A ．（Ⅰ）41,210124312121222a x x x x a x x a y x x y -=-=+⇒=-++⇒⎩⎨⎧=++=， 2210432||2||21=⇒=-⋅=-=a a x x AB ．……5分 （Ⅱ）012)3(312222=-+++⇒⎩⎨⎧=++=a kx x k a y x kx y ， 22122131,32k ax x k k x x +-=+-=+⇒，……7分 由2122112)1,(2)1,(2x x y x y x CB AC -=⇒-=--⇒=，代入上式得： 2222213232k k x k k x x x +=⇒+-=-=+，……9分23323||||333||3||23||||212221=≤+=+==-=∆k k k k x x x OC S AOB ，……12分 当且仅当32=k 时取等号，此时32)3(422,32222222122-=+-=-=+=k k x x x k k x ．又6131221a k a x x -=+-=，因此53261=⇒-=-a a ． 所以，AOB ∆面积的最大值为23，此时椭圆的方程为5322=+y x ．……15分 19．（本题满分15分）设二次函数),()(2R b a c bx ax x f ∈++=满足条件：①当R x ∈时，)(x f 的最大值为0，且)3()1(x f x f -=-成立；②二次函数)(x f 的图象与直线2-=y 交于A 、B 两点，且4||=AB ．（Ⅰ）求)(x f 的解析式；（Ⅱ）求最小的实数)1(-<n n ，使得存在实数t ，只要当]1,[-∈n x 时，就有x t x f 2)(≥+成立．19.【解析】（Ⅰ）由)3()1(x f x f -=-可知函数)(x f 的对称轴为1=x ，……2分 由)(x f 的最大值为0，可假设)0()1()(2<-=a x a x f . 令2)1(2-=-x a ，a x 21-±=，则易知422=-a ，21-=a . 所以，2)1(21)(--=x x f .……6分（Ⅱ）由x t x f 2)(≥+可得，x t x 2)1(212≥+--，即0)1()1(222≤-+++t x t x ， 解得t t x t t 2121+--≤≤---.……8分 又x t x f 2)(≥+在]1,[-∈n x 时恒成立，可得⎪⎩⎪⎨⎧-≥+--≤---)2(121)1(21t t n t t ，由（2）得40≤≤t .……10分令t t t g 21)(---=，易知t t t g 21)(---=单调递减，所以，9)4()(-=≥g t g ， 由于只需存在实数t ，故9-≥n ，则n 能取到的最小实数为9-.此时，存在实数4=t ，只要当]1,[-∈n x 时，就有x t x f 2)(≥+成立．……15分20．（本题满分15分）在数列}{n a 中，2,2,311+=+==-n n n n a b a a a ，.,3,2 =n（Ⅰ）求32,a a ，判断数列}{n a 的单调性并证明； （Ⅱ）求证：),3,2(|2|41|2|1 =-<--n a a n n ； （III ）是否存在常数M ，对任意2≥n ，有M b b b n ≤ 32？若存在，求出M 的值；若不存在，请说明理由．20.【解析】（Ⅰ）由2,311+==-n n a a a 易知，25,532+==a a .……2分由2,311+==-n n a a a 易知0>n a .由21+=-n n a a 得，212+=-n n a a （1），则有221+=+n n a a （2），由（2）-（1）得1221-+-=-n n n n a a a a ，111))((-++-=-+n n n n n n a a a a a a ，0>n a ，所以n n a a -+1与1--n n a a 同号.由03512<-=-a a 易知，01<--n n a a ，即1-<n n a a ，可知数列}{n a 单调递减. ……5分（Ⅱ）由212+=-n n a a 可得，2412-=--n n a a ，2)2)(2(1-=+--n n n a a a ，所以，2|2||2|1+-=--n n n a a a .……7分由2)2)(2(1-=+--n n n a a a 易知，2-n a 与21--n a 同号，由于02321>-=-a 可知，02>-n a ，即2>n a ，42>+∴n a ，4121<+∴n a ，所以|2|41|2|1-<--n n a a ，得证. ……10分（III ） 2)2)(2(1-=+--n n n a a a ，2221--=+-n n n a a a ，即221--=-n n n a a b ，则212222222211322132-=--=--⋅⋅--⋅--=-n n n n n a a a a a a a a a b b b .……13分 由|2|41|2|1-<--n n a a 可知， 1113322141|2|41|2|41|2|41|2|41|2|-----=-<<-<-<-<-n n n n n n a a a a a ，所以，14|2|1->-n n a ，因为2>n a ，所以1421->-n n a .当∞→n 时，∞→-14n ，故不存在常数M ，对任意2≥n ，有M b b b n ≤ 32成立. ……15分2015年高三教学测试（二）2015嘉兴二模 理科数学注意事项：1．本科考试分试题卷和答题纸，考生须在答题纸上作答．答题前，请在答题纸的密封线内填写学校、班级、学号、姓名．2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：①棱柱的体积公式：Sh V =；②棱锥的体积公式：Sh V 31=；③棱台的体积公式：)(312211S S S S h V ++=；④球的体积公式：334R V π=；⑤球的表面积公式：24R S π=；其中S ,21,S S 表示几何体的底面积，h 表示几何体的高，R 表示球的半径．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在△ABC 中，“B A sin sin >”是“B A >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为A ．πB ．2πC ．3πD ．6π3．计算：=++)2log 2)(log 3log 3(log 9384A ．45 B ．25 C ．5D ．154．已知0>a ，实数y x ,满足：⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥)3(31x a y y x x ，若y x z +=2的最小值为1，则=aA ．2B ．1C ．21 D ．41 （第2题）侧视图正视图俯视图11221=R5．若55cos sin =+θθ，]π,0[∈θ，则=θtan A ．21-B ．21C ．2-D ．26．已知圆05422=--+x y x 的弦AB 的中点为)1,3(Q ，直线AB 交x 轴于点P ，则=⋅||||PB PAA ．4B ．5C ．6D ．87．设1F 、2F 分别为双曲线C ：12222=-by a x 0(>a ，)0>b 的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以21F F 为直径的圆交双曲线一条渐近线于M 、N 两点，且满足︒=∠120MAN ，则该双曲线的离心率为 A ．321B ．319C ．35D ．38．设⎩⎨⎧<-+++≥-+=)0()3()4()0()(22222x a x a a x x k a x k x f ，其中R ∈a ．若对任意的非零实数1x ，存在唯一的非零实数)(212x x x ≠，使得)()(21x f x f =成立，则k 的取值范围为 A ．RB ．]0,4[-C ．]33,9[D ．]9,33[--第Ⅱ卷二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每题6分，第13-15题每题4分，共36分） 9．已知全集R =U ，集合}11{≤≤-=x x A ，}02{2≥-=x x x B ，则=B A ▲ ；( A ∨=)B U ▲ ．10．在等差数列}{n a 中，32=a ，1473=+a a ，则公差=d ▲ ，=n a ▲ ． 11．若向量a 与b 满足2||=a ，2||=b ，a b a ⊥-)(．则向量a 与b 的夹角等于 ▲ ；（第7题）O y xAMN 1F 2F=+||b a ▲ ．12．已知函数⎩⎨⎧<+-≥-=)0(2)0(12)(2x x x x x f x ，则=)2(f ▲ ；若1)(=a f ，则=a ▲ ．13．已知实数0,>y x 且2=xy ，则8482233+++y x y x 的最小值是 ▲ ．14．抛物线x y 42=的焦点为F ，过点)3,0(的直线与抛物线交于B A ,两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点D ，若6||||=+BF AF ，则点D 的横坐标为 ▲ ．15．正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，底面ABCD 的对角线BD 在平面α内，则正方体在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是 ▲ ．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题满分14分）三角形ABC 中，已知C B A B A 222sin sin sin sin sin =++，其中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、．（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求+a bc的取值范围．（第15题）ABCD1A 1B 1C 1D α（第14题）O D FAy xB17．（本题满分15分）如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC ，22==PC AC ，BC AC ⊥，D 、E 、F 分别为AC 、AB 、AP 的中点，M 、N 分别为线段PC 、PB 上的动点，且有BC MN //． （Ⅰ）求证：⊥MN 面PAC ；（Ⅱ）探究：是否存在这样的动点M ，使得二面角F MN E --为直二面角？若存在，求CM 的长度；若不存在，说明理由．18．（本题满分15分）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21，过点）（1,0P 的动直线l 与椭圆交于B A ,两点，当l //x 轴时，364||=AB ． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当PB AP 2=时，求直线l 的方程．19．（本题满分15分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，设21=a ，有一组圆心在x 轴正半轴上的圆nA （ ,2,1=n ）与x 轴的交点分别为)0,1(0A 和)0,(11++n n a A ．过圆心n A 作垂直于x 轴的直线n l ，在第一象限与圆n A 交于点),(n n n b aB ．（第18题）OBAxyPl（第17题）AD PBC FEM N（Ⅰ）试求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设曲边形11++n n n B B A （阴影所示）的面积为n S ，若对任意*N ∈n ，m S S S n≤+++11121 恒成立，试求实数m 的取值范围．20．（本题满分15分）已知函数4)(-+=xax x f ，3)(+=kx x g ． （Ⅰ）当]4,3[∈a 时，函数)(x f 在区间],1[m 上的最大值为)(m f ，试求实数m 的取值范围；（Ⅱ）当]2,1[∈a 时，若不等式)()(|)(||)(|2121x g x g x f x f -<-对任意]4,2[,21∈x x （21x x <）恒成立，求实数k 的取值范围．2015年高三教学测试（二）理科数学 参考答案一．选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1．C ； 2．D ； 3．A ； 4．C ； 5．C ； 6．B ； 7．A ； 8．D ． 8．【解析】设k a x k x g -+=22)(，222)3()4()(a x a a x x h -+++=，由条件知二次函数的对称轴不能在y 轴的左侧即042≤+a a ，且两个函数的图象在y 轴上交于同一点，即)0()0(h g =，xy（第19题）O0A 1A 2A 3A 1B 2B 3B 2S 1S所以，96-=a k 在]0,4[-上有解，从而]9,33[--∈k .二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每空3分，第13-15题每空4分，共36分） 9．]0,1[-，)2,1[- 10．34，3134+n 11．4π，10 12．3，1 13．1 14．4 15．]3,1[15．【解析】设矩形11B BDD 与α所成锐二面角为θ， 面积记为1S ，则正方形1111D C B A 与α 所成锐二面角为θπ-2，面积记为2S ．所求阴影面积θθθπθsin cos )2cos(cos 2121S S S S S +=-+=)sin(3sin cos 2ϕθθθ+=+=，其中33cos ,36sin ==ϕϕ．故]3,1[∈S ．三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题满分14分）三角形ABC 中，已知C B A B A 222sin sin sin sin sin =++，其中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、．（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求+a bc的取值范围． 16．【解析】（Ⅰ）由正弦定理得：ab c b a -=-+222，∴由余弦定理得：212c o s 222-=-+=ab c b a C ，∴32π=C ． …6分 （Ⅱ）由正弦定理得：)s i n (s i n 332s i n s i n s i n B A C B A c b a +=+=+又 3π=+B A ，∴A B -=3π，∴)3sin()3sin(sin sin sin ππ+=-+=+A A A B A ，而30π<<A ，∴3233πππ<+<A ， （第15题）ABCD1A 1B 1C 1D α∴]1,23(sin sin ∈+B A ，∴]332,1(∈+c b a . …14分17．（本题满分15分）如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC ，22==PC AC ，BC AC ⊥，D 、E 、F 分别为AC 、AB 、AP 的中点，M 、N 分别为线段PC 、PB 上的动点，且有BC MN //． （Ⅰ）求证：⊥MN 面PAC ；（Ⅱ）探究：是否存在这样的动点M ，使得二面角F MN E --为直二面角？若存在，求CM 的长度；若不存在，说明理由．17．【解析】（Ⅰ）∵⊥PA 平面ABC ，∴BC PA ⊥，又BC AC ⊥，∴⊥BC 面PAC ； 又∵BC MN //， ∴⊥MN 面PAC . …6分（Ⅱ） 由条件可得，FMD ∠即为二面角F MN E --的平面角；若二面角F MN E --为直二面角，则︒=∠90FMD .在直角三角形PCA 中，设)20(,≤≤=t t CM ，则t PM -=2， 在MDC ∆中，由余弦定理可得，t t CD CM CD CM DM 214160cos 22222-+=︒⋅-+=； 同理可得，)2(2343)2(30cos 22222t t PF PM PF PM FM --+-=︒⋅-+=； 又由222MD FM FD +=，得01322=+-t t ，解得1=t 或21=t .∴存在直二面角F MN E --，且CM 的长度为1或21. …15分18．（本题满分15分）设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21，过点）（1,0P 的动直线l 与椭圆交于BA ,两点，已知当l //x 轴时，364||=AB ． （Ⅰ）求椭圆的方程；（第17题）ADPBCFEM N（Ⅱ）当PB AP 2=时，求直线l 的方程．18．【解析】（Ⅰ）由条件：21==a c e ，∴2243b a =， 过点）（1,0P 且平行于x 轴的直线截椭圆 所得弦长为：364122=-b b a ， ∴3,422==b a ，∴椭圆的方程为：13422=+y x ．…6分（Ⅱ）设),(),,(2211y x B y x A ， PB AP 2=，∴0221=+x x ①（1）若直线l 存在斜率，可设l ：1+=kx y ，则由⎪⎩⎪⎨⎧+==+113422kx y y x 可得，088)43(22=-++kx x k ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+221221438438k x x k k x x ，与①联立解得，21±=k ；（2）若直线l 不存在斜率，则l ：0=x ， ∴13||,13||+=-=BP AP ，易知PB AP 2≠∴直线l 的方程为：121+±=x y ．…15分19．（本题满分15分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，设21=a ，有一组圆心在x 轴正半轴上的圆nA （ ,2,1=n ）与x 轴的交点分别为)0,1(0A 和)0,(11++n n a A ．过圆心n A 作垂直于x 轴的直线n l ，在第一象限与圆n A 交于点),(n n n b aB ．（Ⅰ）试求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设曲边形11++n n n B B A （阴影所示）的面积为n S ，若对任意*N ∈n ，（第18题）OBAxyPlm S S S n≤+++11121 恒成立，试求实数m 的取值范围．19.【解析】（Ⅰ）由条件可得，)1(211-=-+n n a a ，又因为111=-a ，可得数列}1{-n a 是等比数列．故，121-=-n n a ，从而121+=-n n a ．…6分（Ⅱ）因为121-=-=n n n a b ，所以)2,12(11--+n n n B ， 所以)2,12(1n n n B ++，且)0,12(1+-n n A ，)0,12(1++n n A111+++-=n n n n n n n A B A A B B A n S S S 扇形梯形2111)2(41)22(221---⨯-+⨯⨯=n n n n π1446-⨯-=n π 所以1)41(641-⋅-=n n S π，所以 411)41(164))41(411(64111121--⋅-=+++-=+++-nn n S S S ππππ31816))41(1(31816-<--=n ． 故可得实数π31816-≥m ．…15分20．（本题满分15分）已知函数4)(-+=xax x f ，3)(+=kx x g ． （Ⅰ）当]4,3[∈a 时，函数)(x f 在区间],1[m 上的最大值为)(m f ，试求实数m 的取值范围；（Ⅱ）当]2,1[∈a 时，若不等式)()(|)(||)(|2121x g x g x f x f -<-对任意]4,2[,21∈x x （21x x <）恒成立，求实数k 的取值范围．20.【解析】（Ⅰ）∵43≤≤a ，∴)(x f y =在),1(a 上递减，在)(∞+，a 上递增， 又∵)(x f 在区间],1[m 上的最大值为)(m f ，∴)1()(f m f ≥，得0))(1(≥--a m m ，∴max a m ≥，即 4≥m ； …6分（Ⅱ）∵)()(|)(||)(|2121x g x g x f x f -<- ∴)(|)(|)(|)(|2211x g x f x g x f -<-恒成立xy（第19题）OA 1A 2A 3A 1B 2B 3B 2S 1S令)(|)(|)(x g x f x F -=，∴)(x F 在]4,2[上递增。

理科数学试卷（第1页，共12页）宁波市2015年高考模拟考试数学（理科）试题说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 参考公式：柱体的体积公式：V Sh = 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式：13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式：)(312211S S S S h V ++=其中S 1、S 2分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高球的表面积公式：24S R π=球的体积公式：334R V π= 其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1、下列函数中，在区间(0，+∞)上为增函数的是（ ）A.y=x－1B. y=(12)xC. y=x+1xD. y=ln(x+1)2、设a ∈R ，则“a=－32”是“直线l 1: ax+2y －1=0与直线l 2: x+a(a+1)y+4=0垂直”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3、将一个长方体截掉一个小长方体，所得几何体的俯视图与侧视图如右图所示，则该几何体的正视图为 （ ）A. B. C. D.4、设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）A.m ⊥α，n ⊥β，且α⊥β，则m ⊥nB. m ∥α，n ∥β，且α∥β，则m ∥nC. m ⊥α， n ⊂β， m ⊥n ，则α⊥βD.m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β理科数学试卷（第2页，共12页）5、已知F 是抛物线y 2=4x 的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，|AF|+|BF|=12，则线段AB 的中点到y轴的距离为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 11 6、将函数f(x)=2sin(2x+4π)的图象向右平移φ(φ>0)个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），所得图象关于直线x=4π对称，则φ的最小值为（ ）A.18πB. 12πC. 34πD. 38π7、在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 是半圆)42(0422≤≤=+-x y x x 上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上，当OA OC ⋅ ＝20时，点C 的轨迹为 （ ）A. 椭圆一部分B.抛物线一段C. 线段D. 圆弧8、已知点(x ，y)的坐标满足条件302602290x y a x y x y --<⎧⎪+->⎨-+>⎪⎩，且x ，y 均为正整数。

2015年浙江名校高考模拟试卷 数学卷（六）（理科）本试卷分第（Ⅰ）卷（选择题）和第（Ⅱ）卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

参考公式：球的表面积公式：24πS R =，其中R 表示球的半径；球的体积公式：34π3V R =，其中R 表示球的半径；棱柱体积公式：V Sh =，其中S 为棱柱的底面面积，h 为棱柱的高； 棱锥体积公式：13V Sh =，其中S 为棱柱的底面面积，h 为棱柱的高；台体的体积公式：()1213V h S S = 其中12,S S 分别表示台体的上底、下底面积，h 表示台体的高．第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.(改编)集合{3,2}aA =，{,}B a b =，若{2}A B =，则A B =（ ）A ．{1,2,3}B ．{0,1,3}C ．{0,1,2,3}D ．{1,2,3,4}2.(改编)已知,sin 3cos R ααα∈+=tan 2α的值是( ) A ．3-4 B ．2 C ．4-3D ．433.(摘录)已知q 是等比数列}{n a 的公比，则“1>q ”是“数列}{n a 是递增数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.（摘录）已知n m ,为异面直线，βα,为两个不同平面，α⊥m ，β⊥n ，且直线l 满足m l ⊥，n l ⊥，α⊄l ，β⊄l ，则（ ）A ．βα//且α//lB ．βα⊥且β⊥lC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l5．(改编)函数)sin()(ϕω+=x x f )2,0(πϕω<>的最小正周期为π，若其图象向右平移3π个单位后关于y 轴对称，则)(x f y =对应的解析式可为（ ） A ．)62sin(π-=x y B ．)62cos(π+=x yC ．)32cos(π-=x yD ．)672sin(π+=x y6. （改编）若等差数列{}n a 满足2211010a a +=，则101119...S a a a =+++的最大值为（ ）A ．60B ．50C ． 45D ．407．（摘录）将正方形ABCD 沿对角线BD 折叠成一个四面体ABCD ，当该四面体的体积最大时，直线AB 与CD 所成的角为（ ）A ．090B ．060C ．045D ．0308.（摘录）如图所示，已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A 、B 两点，且直线l 的倾斜角是 渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D第Ⅱ卷（非选择题 共110分）注意事项：1．黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上，不能答在试题卷上。

宁波效实中学 2015届高考模拟测试卷数学（理）试题说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上． 参考公式：柱体的体积公式：V =Sh ，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高.锥体的体积公式：V =31Sh ，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.球的表面积公式：S =4πR 2，其中R 表示球的半径. 球的体积公式：V =34πR 3，其中R 表示球的半径.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数()2xf x =，则 2(log 0.5)f =（ ▲ ）A ．1-B ．12-C ．12D ．1 2．已知函数2()(1)g x f x x =-+是定义在R 上的奇函数，则（ ▲ ）A ．(1)0f =B ．(1)4f =-C ．(3)(1)8f f +-=D ．(3)(1)8f f -+=-3．设不等式组518026030x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域为M ，若直线:1l y kx =+上存在区域M内的点，则k 的取值范围是（ ▲ ） A ．32[,]23-B ．23[,]32- C ．32(,][,)23-?+ D ．23(,][,)32-?+ 4．已知q 是等比数列}{n a 的公比，则“1(1)0->a q ”是“数列}{n a 是递增数列”的 （ ▲ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要5．已知点B 为双曲线2222:1x y C a b-=0(>a ，)0>b 的左顶点，(0,)A b ，线段AB 交双曲线一条渐近线于C且满足3cos 5OCB ∠=，则该双曲线的离心率为（ ▲ ） A．3 C ．35D6．已知在ABC ∆中，()230BA BC CB -⋅=,则角A 的最大值为（ ▲ ）A ．6π B. 4π C. 3π D. 2π 7．已知函数2()log ()f x ax =在1[,2]4x ∈上的最大值为()M a ，则()M a 的最小值是（ ▲ ）A ．2B ．32C ．1D ．128．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AA =M 为11AD 的中点，P 为底面四边形ABCD 内的动点，且满足PM PC =，则点P 的轨迹的长度为（ ▲ ） A．23πD ．3第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、 填空题: 本大题共7小题,前4题每空3分，后3题每空4分, 共36分． 9．已知集合2{|{|230}A x y B x x x ==--≤，则AB = ▲ ；()R A B =ð ▲ ．10．数列{}n a 的前n 项和n S 满足2=+n S n An ，且24=a ，则=A ▲ ，数列11+禳镲镲睚镲镲铪n n a a 的前n 项和=n T ▲ ． 11.与圆22:2+=O x y 外切于点(1,1)--A，且半径为C 方程为 ▲ ，M D1D 1C ⋅1A ABC1B P⋅若圆C 上恰有两个点到直线0++=x y mÎm ▲ ．12．已知函数()2sin(5)22f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的一个对称中心是,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ϕ=▲ ，现将函数()f x 的图象上每一点的横坐标伸长到原来的5倍（纵坐标不变），得到函数()g x ，再将函数()g x 的图象向左平移6π个单位，得到函数()h x ,若 2()322h ππαα⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭，则sin α的值是 ▲ ．13．边长为1的正四面体的三视图中，俯视图为边长为1的正三角形，则正视图的面积的取值范围是 ▲ ． 14．若实数,x y 满足221x y +=，则35x y x y --+-的取值范围是 ▲ ．15．ABC ∆的三边,,a b c 成等差，且22221++=a b c ，则b 的取值范围是 ▲ ． 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分15分） 已知向量=sin ,cos 6m x x π⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()cos ,cos n x x =.若函数()14f x m n =⋅-． （Ⅰ）求,42x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的值域； （Ⅱ） 在ABC ∆中，a bc 、、分别是角A B C 、、的对边，若()14f A =,且=2AC AB -,求BC 边上中线长的最大值．17．（本题满分15分）如图，三棱锥P ABC -中，BC ⊥平面PAB ．6PA PB AB BC ====，点M ，N 分别为PB ，BC 的中点． （Ⅰ）求证：AM PBC ⊥平面；（Ⅱ）E 在线段AC 上的点，且//平面AM PNE ；求直线PE 与平面PAB 所成角的正切值．PAMCE18．（本题满分15分）已知二次函数2()f x ax bx c =++．（Ⅰ）若(3):(1):(1)3:1:3f f f -=，且函数()f x 的最大值为2-，求()f x 的解析式； （Ⅱ）若()f x 在1(,)2-+∞上单调递增，且()f x 的顶点在x 轴上，求满足(2)(2)(1)f mf mf +-=的实数m 的最小值．19．（本题满分15分）已知O 为坐标原点，椭圆2212x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 为直线 :2l x y +=上且不在x 轴上的任意一点．（Ⅰ）求12F PF ∆周长的最小值；（Ⅱ）设直线1PF 和2PF 的斜率分别为12,k k ，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为,A B和,C D ．ⅰ）证明：12132k k -=； ⅱ）当直线,,,OA OB OC OD 的斜率之和为0时，求直线l 上点P 的坐标．20．（本题满分14分）正项数列{}n a 满足221132n n n n a a a a +++=+，11a =． （Ⅰ）求2a 的值；（Ⅱ）证明：对任意的n N *∈，12n n a a +≤；（Ⅲ）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：对任意的n N *∈，11232n n S --≤<．参考答案说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的题答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分． （1） C （2） D （3） C （4） B （5） D （6） A （7） B （8） B二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算．前4题每空3分，后3题每空4分, 共36分． （9）{3}x x ≤，{23}x x <≤ （10）1=A ，4(1)=+n nT n（11）22(3)(3)8x y +++=, (0,4)(8,12)m ∈ （12）6πϕ=（13） （14）7[,1]23 （15）三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．答案：（1）()1sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，值域12⎡⎤⎢⎥⎣⎦；…………………7分 （2）3A π=…………………15分17．答案：(1) PA AB AM PB PM MB BC PAB AM BC AM PBC AM PAB PB BC B =⎫⎫⇒⊥⎬⎪=⎭⎪⎪⊥⎫⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪⎪=⎪⎪⎭平面平面平面 …………5分(2)连MC 交PN 于F ，则F 是PBC ∆的重心，且13MF MC =，////AM PEN AMC PEN EF AM EF AM AMC ⎫⎪=⇒⎬⎪⊂⎭平面平面平面平面所以123AE AC ==， …………9分 作EH AB ⊥于H ，则//EH BC ，所以EH PAB ⊥平面，所以，EPH ∠是直线PE 与平面PAB 所成角. 12分且123EH BC ==,123AH AB ==, PH ∴=,tan 7EH EPH PH ∴∠==. 所以，直线PE 与平面PAB. …………15分方法二：以B 为坐标原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，建立空间直角坐标系.3(0,6,0),(0,(3,0,0),2A P M N 设(,6,0),-E m m(3,6,0),(3,3,=--=--NE m m PN令面PEN 的法向量为1(,,)=n x y z ，则1100⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩NE n PN n，(3)(6)00-+-=⎧⎪⎨-=⎪⎩m x m y x y ，得1(6,3,=--n m m9(0,2=-AM 因为//AM 平面,PNE 所以1,⊥AM n 10,⋅=AM n 得2,=m则(2,4,0),E …………10分(2,1,=-PE 面PAB 的法向量2(1,0,0),=n 222,1,42,⋅===n PE n PE设直线PE 与平面PAB 所成角为θ，则22sin cos ,θ=<>=n PE ， tan θ= 直线PE 与平面PAB…………15分 18．解：（Ⅰ）由条件(3):(1):(1)3:1:3f f f -=，可得3,2c a b a ==-于是22()(23)(1)2f x a x x a x a =-+=-+， …………3分 因为函数()f x 的最大值为2-，则0a <且22a =-即1a =-，故2()(1)2f x x =--- …………6分（Ⅱ）由条件可设2()()f x a x t =-，其中12t ≤-…………8分 由(2)(2)(1)f mf mf +-=，得222(2)(2)(1)a t ma t ma t -++=-于是2(2)(63)t m t -=--， …………10分易知12t ≠-则2(2)63t m t -=--， …………11分令(21)0t s -+=>于是2(5)1255(10)12123+==++≥s m s s s …………14分取等号的条件为：3t =-…………15分 19．（Ⅰ）令2(1,0)F 关于2+=x y 的对称点为2(,),'F x y 则2(2,1),'F121212''+=+≥=PF PF PF PF F F12min ()2F PF C ∆=…………5分（Ⅱ）ⅰ）令000(,2),()-≠P x x x x00120022,11--==+-x x k k x x ， 00012000133********+---=-==---x x x k k x x x …………9分 ⅱ）设1122(,),(,),A x y B x y 令11:(1)=+PF l y k x 由122(1),22=+⎧⎨+=⎩y k x x y 得2222111(12)4220+++-=k x k x k ， 2112212112214122(1)12⎧-+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩k x x k k x x k ， 121112121112121212121(1)(1)211(2)(2)1++++=+=+=++=+=-OA OB y y k x k x x x k k k k k x x x x x x x x k 同样可算得22221+=-OC OD k k k k ， 由0+++=OA OB OC OD k k k k ，得12221222011+=--k kk k ，整理得1212()(1)0+-=k k k k ，120+=k k 或121=k k ，又因为12132-=k k1212122,,(0,2),1322+=⎧=⎧⎪⎨⎨-==-⎩⎪⎩k k k P k k k 12121211,1321=⎧=-⎧⎪⎨⎨-==-⎩⎪⎩k k k k k k （舍）或12153,(,),3443⎧=⎪⎨⎪=⎩k P k (0,2)P 或53(,)44P …………15分20．（Ⅰ）由221122322a a a a +=+=及20a >，所以213a =…………3分 （Ⅱ）由22221111113242(2)2n n n n n n n n a a a a a a a a +++++++=+<+=+又因为2y x x =+在(0,)x ∈+∞上递增，故12n n a a +≤ …………7分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，112n n a a -≥，1212n n a a --≥，…，2112a a ≥，相乘得1111122n n n a a --≥=，即112nn a -≥ 故121111112222n n n n S a a a --=+++≥+++=- …………10分另一方面，222211111132222()n n n n n n n n a a a a a a a a +++++++=+>+=+， 令2n n n a a b +=，则12n n b b +>于是112n n b b -<，1212n n b b --<，…，2112b b <，相乘得1121122n n n b b --≤=，即2212n n n n a a b -+=≤ 故1222111()1(1)33222n n n n S a a a --=+++<++++=-<综上，11232n n S --≤< …………14分。