河北省高考数学一轮复习：36数学归纳法(理科专用)C卷

课时规范练(A)课时规范练1集合的概念与运算课时规范练3命题及其关系、充要条件课时规范练5函数及其表示课时规范练7函数的奇偶性与周期性课时规范练9指数与指数函数课时规范练11函数的图象课时规范练13函数模型及其应用课时规范练15利用导数研究函数的单调性课时规范练17定积分与微积分基本定理课时规范练19同角三角函数基本关系式及诱导公式课时规范练21简单的三角恒等变换课时规范练23函数y=A sin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用课时规范练25平面向量的概念及线性运算课时规范练27平面向量的数量积及其应用课时规范练29数列的概念课时规范练31等比数列课时规范练33二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时规范练35合情推理与演绎推理课时规范练37数学归纳法课时规范练39空间几何体的表面积与体积课时规范练41空间直线、平面的平行关系课时规范练43空间向量及其运算课时规范练45直线的倾斜角、斜率与直线的方程课时规范练47圆的方程课时规范练49椭圆课时规范练51抛物线课时规范练53算法初步课时规范练55用样本估计总体课时规范练57分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时规范练59二项式定理课时规范练61古典概型与几何概型课时规范练63二项分布与正态分布课时规范练65极坐标方程与参数方程课时规范练67绝对值不等式课时规范练(B)课时规范练2简单不等式的解法课时规范练4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课时规范练6函数的单调性与最大(小)值课时规范练8幂函数与二次函数课时规范练10对数与对数函数课时规范练12函数与方程课时规范练14导数的概念及运算课时规范练16利用导数研究函数的极值、最大(小)值课时规范练18任意角、弧度制及任意角的三角函数课时规范练20两角和与差的正弦、余弦与正切公式及二倍角公式课时规范练22三角函数的图象与性质课时规范练24余弦定理、正弦定理及应用举例课时规范练26平面向量基本定理及向量坐标运算课时规范练28复数课时规范练30等差数列课时规范练32数列求和课时规范练34基本不等式及其应用课时规范练36直接证明与间接证明课时规范练38空间几何体的结构及其三视图、直观图课时规范练40空间点、直线、平面之间的位置关系课时规范练42空间直线、平面的垂直关系课时规范练44空间几何中的向量方法课时规范练46点与直线、两条直线的位置关系课时规范练48直线与圆、圆与圆的位置关系课时规范练50双曲线课时规范练52直线与圆锥曲线的位置关系课时规范练54随机抽样课时规范练56变量间的相关关系、统计案例课时规范练58排列与组合课时规范练60随机事件的概率课时规范练62离散型随机变量及其分布列课时规范练64离散型随机变量的均值与方差课时规范练66极坐标方程与参数方程的应用课时规范练68不等式的证明解答题专项解答题专项一函数与导数的综合问题第1课时利用导数证明不等式第2课时利用导数研究不等式恒(能)成立问题第3课时利用导数研究函数的零点解答题专项二三角函数与解三角形解答题专项三数列解答题专项四立体几何中的综合问题解答题专项五直线与圆锥曲线第1课时圆锥曲线中的最值(或范围)问题第2课时圆锥曲线中的定点(或定值)问题第3课时圆锥曲线中的存在性(或证明)问题解答题专项六概率与统计单元质检卷单元质检卷一集合与常用逻辑用语单元质检卷二函数单元质检卷三导数及其应用单元质检卷四三角函数、解三角形单元质检卷五平面向量、数系的扩充与复数的引入单元质检卷六数列单元质检卷七不等式、推理与证明单元质检卷八立体几何单元质检卷九解析几何单元质检卷十算法初步、统计与统计案例单元质检卷十一计数原理单元质检卷十二概率。

高中数学一轮复习方法之数学归纳法2021高考数学的复习一定要有好的方法，以下是高中数学一轮复习方法，请考生学习。

数学归纳是一种有专门事例导出一样原理的思维方法。

归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。

不完全归纳推理只依照一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不承诺的。

完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。

数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。

它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n=1(或n)时成立，这是递推的基础，第二步是假设在n=k时命题成立，再证明n=k+1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判定命题的正确性能否由专门推广到一样，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。

这两个步骤紧密相关，缺一不可，完成了这两步，就能够确信对任何自然数(或nn且nN)结论都正确。

由这两步能够看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。

运用数学归纳法证明问题时，关键是n=k+1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。

运用数学归纳法，能够证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。

常见数学归纳法及其证明方法(一)第一数学归纳法一样地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤(1)证明当n取第一个值时命题成立，关于一样数列取值为1，但也有专门情形，(2)假设当n=k(k[n的第一个值]，k为自然数)时命题成立，证明当n=k +1时命题也成立。

(二)第二数学归纳法关于某个与自然数有关的命题，(1)验证n=n0时P(n)成立，(2)假设no综合(1)(2)对一切自然数n(n0)，命题P(n)都成立，(三)螺旋式数学归纳法P(n)，Q(n)为两个与自然数有关的命题，假如(1)P(n0)成立，(2)假设P(k)(kn0)成立，能推出Q(k)成立，假设Q(k)成立，能推出P(k +1)成立，综合(1)(2)，关于一切自然数n(n0)，P(n)，Q(n)都成立，(四)倒推数学归纳法(又名反向数学归纳法)(1)关于无穷多个自然数命题P(n)成立，(2)假设P(k+1)成立，并在此基础上推出P(k)成立，综合(1)(2)，对一切自然数n(n0)，命题P(n)都成立，总而言之：归纳法是由一系列有限的专门事例得出一样结论的推理方法。

河北省高考数学一轮复习：36 数学归纳法（理科专用）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共11题；共22分)1. （2分）(2020·杭州模拟) 数列满足 .若存在实数c.使不等式对任意恒成立，当时，c=（）A .B .C .D .【考点】2. （2分）用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)时，从n＝k到n＝k＋1，左端需要增加的代数式为（）【考点】3. （2分） (2015高二下·郑州期中) 用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•2…（2n﹣1）（n∈N+）时，从“n=k到n=k+1”时，左边应增添的式子是（）A . 2k+1B . 2k+3C . 2（2k+1）D . 2（2k+3）【考点】4. （2分）用数学归纳法证明时，由到，不等式左端应增加的式子为（）A .B .C .D .【考点】5. （2分） (2015高二下·福州期中) 用数学归纳法证明“ ”时，由n=k的假设证明n=k+1时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（）A .B .C .D .【考点】6. （2分） (2020高一下·绍兴期末) 用数学归纳法证明“ ”，由到时，不等式左边应添加的项是（）A .B .C .D .【考点】7. （2分） (2020高一下·上海期末) 用数学归纳法证明等式，时，由到时，等式左边应添加的项是（）A .B .C .D .【考点】8. （2分） (2019高二下·吉林期末) 用数学归纳法证：（时）第二步证明中从“ 到”左边增加的项数是（）A . 项B . 项C . 项D . 项【考点】9. （2分） (2017高二下·兰州期中) 用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n+2=2n+3﹣1”，验证n=1时，左边计算所得的式子为（）A . 1B . 1+2C . 1+2+22D . 1+2+22+23【考点】10. （2分） (2016高二下·东莞期中) 某个命题与自然数n有关，若n=k（k∈N*）时命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立．现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（）A . 当n=6时，该命题不成立B . 当n=6时，该命题成立C . 当n=4时，该命题不成立D . 当n=4时，该命题成立【考点】11. （2分） (2019高二下·长春期末) 用数学归纳法证明“ 能被13整除”的第二步中，当时为了使用归纳假设，对变形正确的是（）A .B .C .D .【考点】二、填空题 (共4题；共4分)12. （1分） (2015高二下·咸阳期中) 用数学归纳法证明：1+ + +…+ = 时，由n=k到n=k+1左边需要添加的项是________．【考点】13. （1分）用数学归纳法证明：1+ + +… = （n∈N*），由“k递推到k+1”时左端需增加的代数式是________．【考点】14. （1分）用数学归纳法证明（是非负实数，）时，假设命题成立之后，证明命题也成立的关键是________．【考点】15. （1分）已知数列{an}的通项公式(n∈N＋)，f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)的值是________【考点】三、解答题 (共5题；共35分)16. （5分） (2019高二下·亳州月考)（1）用数学归纳法证明：；（2）已知，，且，求证：和中至少有一个小于．【考点】17. （5分） (2017高三上·宿迁期中) 设n≥3，n∈N* ，在集合{1，2，…，n}的所有元素个数为2的子集中，把每个子集的较大元素相加，和记为a，较小元素之和记为b．（1）当n=3时，求a，b的值；（2）求证：对任意的n≥3，n∈N* ，为定值．【考点】18. （10分） (2017高二下·太和期中) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且a1=2，3Sn=an（n+2），n∈N* ．（Ⅰ）求a2 ， a3并猜想an的表达式；（Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想．【考点】19. （10分）设数列{an}满足：a1=1且an+1=2an+1（n∈N+）．（1）求数列{an}的前n项和Sn；（2）用数学归纳法证明不等式： + +…+ ＜n（n≥2，n∈N+）．【考点】20. （5分） (2018高二上·沭阳月考) 设数列满足， . （1）求；（2）先猜想出的一个通项公式，再用数学归纳法证明你的猜想.【考点】参考答案一、单选题 (共11题；共22分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、略考点：解析：三、解答题 (共5题；共35分)答案：16-1、答案：16-2、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：。

1．应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线条数f (n )＝12n (n －3)(n ≥3)．证明：①当n ＝3时，三角形没有对角线，f (3)＝0，又f (3)＝12×3×(3－3)＝0，命题成立．②假设当n ＝k (k ≥3)时命题成立，即凸k 边形A 1A 2…A k 有f (k )＝12k (k －3)条对角线，再加一个顶点A k ＋1，构成凸k ＋1边形，则增加了k －2条对角线，又原来的边A 1A k 变成了对角线，故对角线增加了k －1条，即凸k ＋1边形有f (k ＋1)＝12k (k－3)＋k －1＝12(k 2－3k ＋2k －2)＝12(k 2－k －2)＝12(k ＋1)[(k ＋1)－3]条对角线，可知当n ＝k ＋1时，命题成立，综合①②可知命题对于n ≥3的自然数n 都成立．2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何正整数n ，等式a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n (n ＋1)(n ＋2)都成立，并证明你的结论．解析：将n ＝1,2,3分别代入等式得方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝6，a 1＋2a 2＝24，a 1＋2a 2＋3a 3＝60，解得a 1＝6，a 2＝9，a 3＝12，设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＝3，从而a n ＝3n ＋3.故存在一个等差数列a n ＝3n ＋3，使得当n ＝1,2,3时，等式成立．下面用数学归纳法证明结论成立．①当n ＝1时，结论显然成立．②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时，等式成立，即a1＋2a2＋3a3＋…＋ka k＝k(k＋1)(k＋2)．那么当n＝k＋1时，a1＋2a2＋3a3＋…＋ka k＋(k＋1)a k＋1＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)[3(k＋1)＋3]＝(k＋1)(k2＋2k＋3k＋6)＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)＝(k＋1)[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]．∴当n＝k＋1时，结论也成立．由①②知存在一个等差数列a n＝3n＋3，使得对任何正整数n，等式a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝n(n＋1)(n＋2)都成立．3．已知数列{a n}，a n≥0，a1＝0，a2n＋1＋a n＋1－1＝a2n.求证：当n∈N*时，a n<a n＋1.证明：(1)当n＝1时，因为a2是方程x2＋x－1＝0的正根，所以a1<a2.(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，0≤a k<a k＋1，因为a2k＋1－a2k＝(a2k＋2＋a k＋2－1)－(a2k＋1＋a k＋1－1)＝(a k＋2－a k＋1)(a k＋2＋a k＋1＋1)>0，所以a k＋1<a k＋2，即当n＝k＋1时，a n<a n＋1也成立．根据(1)和(2)，可知a n<a n＋1对任意n∈N*都成立．4．已知a>0，b>0，n>1，n∈N*.用数学归纳法证明：a n＋b n2≥(a＋b2)n.证明：(1)当n＝2时，左边－右边＝a2＋b22－(a＋b2)2＝(a－b2)2≥0，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k >1)时，不等式成立，即a k ＋b k 2≥(a ＋b 2)k .因为a >0，b >0，k >1，k ∈N *，所以(a k ＋1＋b k ＋1)－(a k b ＋ab k )＝(a －b )·(a k －b k )≥0， 于是a k ＋1＋b k ＋1≥a k b ＋ab k .当n ＝k ＋1时，(a ＋b 2)k ＋1＝(a ＋b 2)k ·a ＋b 2≤a k ＋b k 2·a ＋b 2＝a k ＋1＋b k ＋1＋a k b ＋ab k 4≤a k ＋1＋b k ＋1＋a k ＋1＋b k ＋14＝a k ＋1＋b k ＋12， 即当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综合(1)，(2)知，对于a >0，b >0，n >1， n ∈N *，不等式a n ＋b n 2≥(a ＋b 2)n 总成立．。

山东省高考数学一轮复习：36 数学归纳法（理科专用）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共11题；共22分)1. （2分）用数学归纳法证明等式时，第一步验证n=1时，左边应取的项是A . 1B . 1+2C . 1+2+3D . 1+2+3+42. （2分）用数学归纳法证明时，由到，不等式左端应增加的式子为（）A .B .C .D .3. （2分）用数学归纳法证明1﹣ + ﹣+…+ ﹣ = + +…+ ，则当n=k+1时，左端应在n=k的基础上加上（）A .B . ﹣C . ﹣D . +4. （2分）用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A . 6n-2B . 8n-2C . 6n+2D . 8n+25. （2分）用数学归纳法证明1＋a＋a2＋＋an＋1＝(n∈N* ，a≠1)，在验证n＝1时，左边所得的项为（）A . 1B . 1＋a＋a2C . 1＋aD . 1＋a＋a2＋a36. （2分）用数学归纳法证明(n∈N* ， n>1)时，第一步应验证不等式（）A .B .C .D .7. （2分） (2020高二下·北京期中) 用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是（）A . 1B . 1+2C . 1+2+3D . 1+2+3+48. （2分）已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证（）A . n=k+1 时等式成立B . n=k+2 时等式成立C . n=2k+2 时等式成立D . n=2(k+2) 时等式成立9. （2分） (2018高二下·保山期末) 用数学归纳法证明“ … ”时，由到时，不等试左边应添加的项是（）A .B .C .D .10. （2分）用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证 n＝k＋1时的情况，只需展开（）A . (k＋3)3B . (k＋2)3C . (k＋1)3D . (k＋1)3＋(k＋2)11. （2分）在用数学归纳法证明时，在验证当n=1时，等式左边为（）A . 1B . 1+aC . 1+a+a2D . 1+a+a2+a3二、填空题 (共4题；共4分)12. （1分）用数学归纳法证明“ 对于的自然数都成立”时，第一步证明中的起始值应取________．13. （1分） (2019高二上·上海月考) 平面上有n条直线，它们任何两条不平行，任何三条不共点，设条这样的直线把平面分成个区域，则条直线把平面分成的区域数 ________.14. （1分） (2020高一下·湖州期末) 若数列满足，，则________．15. （1分）用数学归纳法证明命题：，从“第 k 步到 k+1 步”时，两边应同时加上________．三、解答题 (共5题；共35分)16. （5分）计算题。

课时规范练36数学归纳法基础巩固组1.(2019福建三明三模)用数学归纳法证明不等式2n>(n+1)2(n∈N*)时,初始值n应等于()A.1B.4C.5D.62.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时,x n+y n能被x+y整除”,在第二步时,正确的证法是()A.假设n=k(k∈N*),证明n=k+1时命题成立B.假设n=k(k是正奇数),证明n=k+1时命题成立C.假设n=2k+1(k∈N*),证明n=k+1时命题成立D.假设n=k(k是正奇数),证明n=k+2时命题成立3.(2019浙江丽水一模)已知n∈N*,用数学归纳法证明f(n)=1+4+7+…+(3n-2)=3n 2-n2时.假设当n=k(k ∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立,需要用到的f(k+1)与f(k)之间的关系式是()A.f(k+1)=f(k)+3k-5B.f(k+1)=f(k)+3k-2C.f(k+1)=f(k)+3k+1D.f(k+1)=f(k)+3k+44.(2019江西吉安期末)下面是利用数学归纳法证明不等式2(√1×2+√2×3+…+√(n-1)·n)<n2(n≥2,且n∈N*)的部分过程:“……假设当n=k(k≥2)时,2(√1×2+√2×3+…+√(k-1)·k)<k2,故当n=k+1时,有,因为2√k·(k+1)=2√k2+k<,故2(√1×2+√2×3+…+√(k-1)·k+√k·(k+1))<(k+1)2,……”则横线处应该填()A.2(√1×2+√2×3+…+√(k-1)·k+√k·(k+1))<k2+2√k·(k+1),2k+1B.2(√1×2+√2×3+…+√(k-1)·k)<k2+2√k·(k+1),2k+1C.2(√1×2+√2×3+…+√(k-1)·k+√k·(k+1))<k2+2√k·(k+1),2k+2D.2(√1×2+√2×3+…+√(k-1)·k)<k2+2√k·(k+1),2k+25.用数学归纳法证明:“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f(n)部分,则f(n)=1+n(n+1).”证明第2二步归纳递推时,用到f(k+1)=f(k)+.6.(2019河南南阳期末)是否存在正整数m,使得对任意正整数n,f(n)=(2n+7)·3n+m都能被36整除?若存在,求出m的最小值,并用数学归纳法证明你的结论;若不存在,请说明理由.7.证明:对任意的n∈N*,不等式32·54·76·…·2n+12n>√n+1成立.8.(2019江苏盐城期末)已知数列{a n}各项均为正数,满足13+23+…+n3=[(n+1)a n2] 2 .(1)求a1,a2,a3的值;(2)猜想数列{a n}的通项公式,并用数学归纳法证明你的结论.综合提升组9.(2019浙江湖州一模)某个命题与正整数n有关,如果当n=k+1(k∈N*)时命题成立,那么可推得当n=k时命题也成立.现已知当n=2 019时该命题不成立,那么可推得()A.当n=2 020时该命题不成立B.当n=2 020时该命题成立C.当n=2 018时该命题不成立D.当n=2 018时该命题成立10.设平面内有n条直线(n≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)=;当n>4时,f(n)=(用n表示).11.(2019江苏南京三模)对由0和1这两个数字组成的字符串,作如下规定:按从左向右的顺序,当第一个子串“010”的最后一个0所在数位是第k(k∈N*,且k≥3)位,则称子串“010”在第k位出现;再继续从第k+1位按从左往右的顺序找子串“010”,若第二个子串“010”的最后一个0所在数位是第k+m位(其中m≥3且m∈N*),则称子串“010”在第k+m位出现;……;如此不断地重复下去.如:在字符串11010101010中,子串“010”在第5位和第9位出现,而不是在第7位和第11位出现.记在n位由0,1组成的所有字符串中,子串“010”在第n位出现的字符串的个数为f(n).(1)求f(3),f(4)的值;(2)求证:对任意的正整数n,f(4n+1)是3的倍数.创新应用组12.将正整数作如下分组:(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13,14,15),(16,17,18,19,20,21),….分别计算各组包含的正整数的和如下,S1=1,S2=2+3=5,S3=4+5+6=15,S4=7+8+9+10=34,S5=11+12+13+14+15=65,S6=16+17+18+19+20+21=111,(1)求S7的值;(2)由S1,S1+S3,S1+S3+S5,S1+S3+S5+S7的值,试猜测S1+S3+…+S2n-1的结果,并用数学归纳法证明.13.(2019江苏无锡新吴区模拟)记[x ]r =x (x+1)…(x+r-1),x ∈R ,r ∈N *,并规定[x ]0=1, (1)分别求[3]2,[-3]2的值;(2)证明:[a+b ]r=∑k=0rC r k [a ]r-k [b ]k ,a ,b ∈R ,r ∈N *.参考答案课时规范练36数学归纳法1.D n=1时,左边=2,右边=4;n=2时,左边=4,右边=9;n=3时,左边=8,右边=16;n=4时,左边=16,右边=25;n=5时,左边=32,右边=36;n=6时,左边=64,右边=49,∴初始值n0至少应取6.故选D.2.D相邻两个正奇数相差2,故D选项正确.3.C因为用数学归纳法证明等式f(n)=1+4+7+…+(3n-2)=3n 2-n2时,假设n=k时,命题成立,f(k)=1+4+7+…+(3k-2)=3k2-k 2,则当n=k+1时,左端为f(k+1)=1+4+7+…+(3k+2)+[3(k+1)-2], 需要用到的f(k+1)与f(k)之间的关系式是f(k+1)=f(k)+3k+1.故选C.4.A假设当n=k(k≥2)时,2(√1×2+√2×3+…+√)<k2,故当n=k+1时,有2(√1×2+√2×3+…+√+√<k2+2√.因为2√2√k2+k<2k+1,故2(√1×2+√2×3+…+√(k-1)·k+√k·(k+1))<(k+1)2.故选A.5.k+1当n=k(k≥2)时,有f(k)=1+k(k+1)2,当n=k+1时,f(k+1)=1+(k+1)(k+2)2,∴从k到k+1左端需增加的代数式1+(k+1)(k+2)2-1-k(k+1)2=k+12(k+2-k)=k+1,∴在证明第二步归纳推理的过程中,用到f(k+1)=f(k)+(k+1).6.解由f(n)=(2n+7)·3n+m,得f(1)=27+m,f(2)=99+m,∴27+m=36,99+m=3×36,由此猜想m=9.下面用数学归纳法证明,(1)当n=1时,显然成立.(2)假设n=k时,f(k)能被36整除,即f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除.当n=k+1时,[2(k+1)+7]·3k+1+9=3[(2k+7)·3k+9]+18(3k-1-1),由于3k-1-1是2的倍数,故18(3k-1-1)能被36整除.这就是说,当n=k+1时,f(n)也能被36整除.由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)=(2n+7)·3n+9能被36整除,m的最小值为9.7.证明①当n=1时,左边=32,右边=√2,因为32>√2,所以不等式成立.②假设当n=k时不等式成立,即3·5·7·…·2k+1>√k+1成立.则当n=k+1时,左边=32·54·76·…·2k+12k·2k+32k+2>√k+1·2k+32k+2=√(2k+3)24(k+1)=√4(k+1)2+4(k+1)+14(k+1)=√(k+1)+1+1>√所以当n=k+1时,不等式也成立.由①②可得不等式恒成立.8.解(1)当n=1时,13=(a1·22) 2 ,又a n>0,所以a1=1,当n=2时,13+23=(a2·32)2,解得a2=2,当n=3时,13+23+33=(a3·42)2,解得a3=3.(2)猜想数列{a n}的通项公式为a n=n,①当n=1时,由(1)可知结论成立;②假设当n=k时,结论成立,即a k=k成立, 则n=k+1时,由13+23+…+k3=[a k(k+1)2]2与13+23+…+(k+1)3=[a k+1(k+2)2]2,所以(k+1)3=[a k+1(k+2)2]2−[a k(k+1)2]2=[a k+1(k+2)2]2−[k(k+1)2]2,所以a k+12(k+2)2=4(k+1)3+k2(k+1)2=(k+1)2(4k+4+k2)=(k+1)2(k+2)2.又a n>0,a k+1=k+1成立,根据①②猜想成立.9.A由题意可知,原命题成立则逆否命题成立,P(n)对n=2019不成立,P(n)对n=2020也不成立,否则,n=2020成立,由已知推得n=2019也成立.与当n=2019时该命题不成立矛盾.故选A.10.512(n+1)(n-2)f(3)=2,f(4)=f(3)+3=2+3=5,f(n)=f(3)+3+4+…+(n-1)=2+3+4+…+(n-1)=12(n+1)(n-2).11.(1)解在3位数字符串中,子串“010”在第三位出现有且只有1个,即010,∴f(3)=1.在4位数字符串中,子串“010”在第四位出现有2个,即0010与1010,∴f(4)=2.(2)证明当n≥5且n∈N*时,当最后3位是010时,前n-3个数位上,每个数位上的数字都有两种可能,即0和1,共有2n-3种可能.由于当最后3位是010时,若最后5位是01010,且前n-2位形成的字符串中子串“010”,是在第n-2位出现,此时不满足条件.∴f(n)=2n-3-f(n-2),n≥5且n∈N*.∵f(3)=1,∴f(5)=3.下面用数学归纳法证明f(4n+1)是3的倍数.①当n=1时,f(5)=3是3的倍数;②假设当n=k(k∈N*)时,f(4k+1)是3的倍数,那么,当n=k+1时,f[4(k+1)+1]=f(4k+5)=24k+2-f(4k+3)=24k+2-[24k-f(4k+1)]=3×24k+f(4k+1).∵f(4k+1)是3的倍数,且3×24k也是3的倍数,∴f(4k+5)是3的倍数.即n=k+1时,f[4(k+1)+1]是3的倍数.综上,对于任意的正整数n,f(4n+1)是3的倍数.12.解(1)S7=22+23+24+25+26+27+28=175.(2)S1=1;S1+S3=16;S1+S3+S5=81;S1+S3+S5+S7=256;猜测S1+S3+S5+…+S2n-1=n4.证明如下:记M n=S1+S3+S5+…+S2n-1,①当n=1时,猜想成立.②假设当n=k时,命题成立,即M k=S1+S3+S5+…+S2k-1=k4.下面证明当n=k+1时,猜想也成立.事实上,由题设可知S n是由1+2+3+…+(n-1)+1=n(n-1)2+1开始的n个连续自然数的和.所以S n=n(n-1)2+1+n(n-1)2+2+…+n(n-1)2+n=n(n2+1)2,所以S2k+1=(2k+1)[(2k+1)2+1]2=(2k+1)(2k2+2k+1)=4k3+6k2+4k+1, 从而M k+1=M k+S2k+1=k4+4k3+6k2+4k+1=(k+1)4,所以猜想在n=k+1时也成立.综合①②可知猜想对任何n∈N*都成立.13.(1)解[3]2=3×4=12.[-3]2=-3×(-3+2-1)=6.(2)证明利用数学归纳法证明.①r=1时,[a+b ]1=C 10[a ]1[b ]0+C 11[a ]0[b ]1=a+b 成立.②假设r=n 时成立,则[a+b ]n =∑k=0nC n k [a ]n-k [b ]k 成立,则r=n+1时,[a+b ]n+1=[a+b ]n [a+b ]1=(C n 0[a ]n +C n 1[a ]n-1[b ]1+…+C n n [b ]n )[a+b ]=(C n 0[a ]n+1+C n 1[a ]n [b ]1+…+C n n [a ][b ]n )+(C n 0[a ]n [b ]+C n 1[a ]n-1[b ]2+…+C n n [b ]n+1).根据C n k +C n k+1=C n+1k+1.∴[a+b ]n+1=C n 0[a ]n+1+C n+11[a ]n [b ]1+…+C n+1n+1[b ]n+1=∑k=0n+1C n+1k [a ]n+1-k [b ]k . 假设成立,即r=n+1时命题成立.综上可得,[a+b ]r =∑k=0rC r k [a ]r-k [b ]k ,a ,b ∈R ,r ∈N *.快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

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选修系列 13。

3 数学归纳法理数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行：（1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0（n0∈N*）时命题成立;（2）(归纳递推）假设n＝k（k≥n0，k∈N*）时命题成立,证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”)（1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．（×)(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．（×）(3）用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用．( ×)(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时,由n＝k到n＝k＋1时,项数都增加了一项．（×）（5）用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1"，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.（√）（6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n0＝3.( √）1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋a n＋1＝错误!（a≠1,n∈N＊)，在验证n＝1时，等式左边的项是（）A．1 B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3答案C解析当n＝1时，n＋1＝2，∴左边＝1＋a1＋a2＝1＋a＋a2.2．（2016·黄山模拟)已知n为正偶数,用数学归纳法证明1－错误!＋错误!－错误!＋…－错误!＝2（错误!＋错误!＋…＋错误!）时，若已假设n＝k（k≥2且k为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证( ）A．n＝k＋1时等式成立B．n＝k＋2时等式成立C．n＝2k＋2时等式成立D．n＝2(k＋2)时等式成立答案B解析因为n为正偶数，n＝k时等式成立,即n为第k个偶数时命题成立，所以需假设n为下一个偶数,即n＝k＋2时等式成立．3．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n（n－3)条时,第一步检验n等于（) A．1 B．2C．3 D．0答案C解析凸n边形边数最小时是三角形,故第一步检验n＝3.4．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝错误!，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上( ）A．k2＋1B．（k＋1)2C。

课时规范练36 数学归纳法基础巩固组1.假如命题p(n)对n=k(k∈N+)成立,则它对n=k+2也成立.若p(n)对n=2也成立,则下列结论正确的是()A.p(n)对全部正整数n都成立B.p(n)对全部正偶数n都成立C.p(n)对全部正奇数n都成立D.p(n)对全部自然数n都成立2.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时,x n+y n能被x+y整除”,在其次步时,正确的证法是()A.假设n=k(k∈N+),证明n=k+1时命题成立B.假设n=k(k是正奇数),证明n=k+1时命题成立C.假设n=2k+1(k∈N+),证明n=k+1时命题成立D.假设n=k(k是正奇数),证明n=k+2时命题成立3.(2024安徽蚌埠期末,5)用数学归纳法证明不等式“+…+(n>2)”的过程中,归纳递推由n=k到n=k+1时,不等式的左边()A.增加了一项B.增加了两项C.增加了两项,又削减了一项D.增加了一项,又削减了一项4.(2024辽宁辽阳期末,6)证明等式12+22+32+…+n2=(n∈N+)时,某学生的证明过程如下:(1)当n=1时,12=,等式成立;(2)假设n=k(k∈N+)时,等式成立,即12+22+32+…+k2=,则当n=k+1时,12+22+32+…+k2+(k+1)2=+(k+1)2===,所以当n=k+1时,等式也成立,故原等式成立.那么上述证明()A.全过程都正确B.当n=1时验证不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确5.(2024辽宁抚顺期中,14)用数学归纳法证明:“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f(n)部分,则f(n)=1+.”证明其次步归纳递推时,用到f(k+1)=f(k)+.6.试证:当n∈N+时,f(n)=32n+2-8n-9能被64整除.7.(2024山东师范高校附属中学期中,18)证明:对随意的n∈N+,不等式·…·成立.8.(2024广东中山一中三模,21)设数列{a n}满意a1=3,a n+1=-2na n+2(n∈N+).(1)求a2,a3,a4的值,并猜想数列{a n}的通项公式(不需证明);(2)记S n为数列{a n}的前n项和,用数学归纳法证明:当n≥6时,有S n<2n成立.综合提升组9.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满意:“当f(k)≥k2成立时,总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”.则下列命题总成立的是()A.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立B.若f(5)≥25成立,则当k≤5时,均有f(k)≤k2成立C.若f(7)<49成立,则当k≥8时,均有f(k)<k2成立D.若f(4)=25成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立10.设平面内有n条直线(n≥3),其中有且仅有两条直线相互平行,随意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)=;当n>4时,f(n)=(用n表示).11.(2024辽宁六校协作体期中,17)是否存在常数a,b使得等式12+22+…+n2=n(2n+1)(an+b)对一切正整数n都成立?若存在,求出a,b值,并用数学归纳法证明你的结论;若不存在,请说明理由.创新应用组12.(2024河南洛阳模拟,18)将正整数作如下分组:(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13,14,15),(16,17,18,19,20,21),….分别计算各组包含的正整数的和如下,S1=1,S2=2+3=5,S3=4+5+6=15,S4=7+8+9+10=34,S5=11+12+13+14+15=65,S6=16+17+18+19+20+21=111,(1)求S7的值;(2)由S1,S1+S3,S1+S3+S5,S1+S3+S5+S7的值,试揣测S1+S3+…+S2n-1的结果,并用数学归纳法证明.13.已知函数f0(x)=(x>0),设f n(x)为f n-1(x)的导数,n∈N+.(1)求2f1+f2的值;(2)证明:对随意的n∈N+,等式nf n-1+f n=都成立.参考答案课时规范练36 数学归纳法1.B n=k时成立,当n=2时,n=k+2成立,n为2,4,6,…,故n为全部正偶数.2.D相邻两个正奇数相差2,故D选项正确.3.C当n=k时,左边=++…+, ①当n=k+1时,左边=++…++,②所以增加了两项+,又削减了一项,故答案为C.4.A考查所给的证明过程:当n=1时验证是正确的,归纳假设是正确的,从n=k到n=k+1的推理也是正确的,即证明过程中不存在任何的问题.故选A.5.k+1当n=k(k≥2)时,有f(k)=1+,当n=k+1时,f(k+1)=1+,∴从k到k+1左端需增加的代数式1+-1-=(k+2-k)=k+1,∴在证明其次步归纳推理的过程中,用到f(k+1)=f(k)+(k+1).6.证明 (1)当n=1时,f(1)=64,命题明显成立.(2)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时,f(k)=32k+2-8k-9能被64整除,则当n=k+1时,f(k+1)=32(k+1)+2-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+9·8k+9·9-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+64(k+1),即f(k+1)=9f(k)+64(k+1),因此当n=k+1时命题也成立.依据(1)(2)可知,对于随意n∈N+,命题都成立.7.证明①当n=1时,左边=,右边=,因为>,所以不等式成立.②假设当n=k时不等式成立,即···…·>成立.则当n=k+1时,左边···…··>·===>,所以当n=k+1时,不等式也成立.由①②可得不等式恒成立.8.解 (1)a2=5,a3=7,a4=9,猜想a n=2n+1.(2)S n==n2+2n,下证:n≥6(n∈N+)时都有2n>n2+2n.当n=6时,26>62+2×6,即64>48成立;假设n=k(k≥6,k∈N+)时,2k>k2+2k成立,那么当n=k+1时,2k+1=2·2k>2(k2+2k)=k2+2k+k2+2k>k2+2k+3+2k=(k+1)2+2(k+1),即n=k+1时,不等式成立.故对于全部的n≥6(n∈N+),都有2n>n2+2n成立.9.D对A,当k=1或2时,不肯定有f(k)≥k2成立;对B,只能得出:对于随意的k≥5,均有f(k)≥k2成立,不能得出:对随意的k≤5,均有f(k)≤k2成立;对C,若f(7)<49成立不能推出任何结论;对D,∵f(4)=25≥16,∴对于随意的k≥4,均有f(k)≥k2成立.故选D.10.5 (n+1)(n-2)f(3)=2,f(4)=f(3)+3=2+3=5,f(n)=f(3)+3+4+…+(n-1)=2+3+4+…+(n-1)=(n+1)(n-2).11.解分别令n=1,2,可得解得故猜想等式12+22+…+n2=对一切正整数n都成立.下面用数学归纳法证明:①当n=1时,由上面的探求可知等式成立.②假设n=k(k∈N+,k≥1)时猜想成立,即12+22+…+k2=.当n=k+1时,12+22+…+k2+(k+1)2=+(k+1)2===.所以当n=k+1时,等式也成立.由①②知猜想成立,即存在a=,b=使命题成立.12.解 (1)S7=22+23+24+25+26+27+28=175.(2)S1=1;S1+S3=16;S1+S3+S5=81;S1+S3+S5+S7=256;揣测S1+S3+S5+…+S2n-1=n4.证明如下:记M n=S1+S3+S5+…+S2n-1,①当n=1时,猜想成立.②设当n=k时,命题成立,即M k=S1+S3+S5+…+S2k-1=k4.下面证明当n=k+1时,猜想也成立.事实上,由题设可知S n是由1+2+3+…+(n-1)+1=+1起先的n个连续自然数的和.所以S n=+1++2+…++n=,所以S2k+1==(2k+1)(2k2+2k+1)=4k3+6k2+4k+1,从而M k+1=M k+S2k+1=k4+4k3+6k2+4k+1=(k+1)4,所以猜想在n=k+1时也成立.综合(1)(2)可知猜想对任何n∈N+都成立.13.(1)解由已知,得f1(x)=f'0(x)='=-,于是f2(x)=f'1(x)='-'=--+,所以f1=-,f2=-+,故2f1+f2=-1.(2)证明由已知,得xf0(x)=sin x,等式两边分别对x求导,得f0(x)+xf'0(x)=cos x,即f0(x)+xf1(x)=cos x=sin x+,类似可得,2f1(x)+xf2(x)=-sin x=sin(x+π),3f2(x)+xf3(x)=-cos x=sin x+,4f3(x)+xf4(x)=sin x=sin(x+2π).下面用数学归纳法证明等式nf n-1(x)+xf n(x)=sin x+对全部的x∈N+都成立.①当n=1时,由上可知等式成立.②假设当n=k时,等式成立,即kf k-1(x)+xf k(x)=sin x+.因为[kf k-1(x)+xf k(x)]'=kf'k-(x)+f k(x)+xf'k(x)=(k+1)f k(x)+xf k+1(x),1sin x+'=cos x+·x+'=sin x+,所以(k+1)f k(x)+xf k+1(x)=sin x+.因此当n=k+1时,等式也成立.综合①②可知等式nf n-1(x)+xf n(x)=sin x+对全部的n∈N+都成立.令x=,可得nf n-1+f n=sin +(n∈N+),所以nf n-1+f n=(n∈N+).。

高考第一轮复习指导方法之数学归纳法数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个(或者局部)自然数范畴内成立。

(一)第一数学归纳法一样地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤(1)证明当n取第一个值时命题成立，关于一样数列取值为1，但也有专门情形，(2)假设当n=k(k[n的第一个值]，k为自然数)时命题成立，证明当n=k +1时命题也成立。

(二)第二数学归纳法关于某个与自然数有关的命题，(1)验证n=n0时P(n)成立，(2)假设no综合(1)(2)对一切自然数n(n0)，命题P(n)都成立，(三)螺旋式数学归纳法P(n)，Q(n)为两个与自然数有关的命题，假如(1)P(n0)成立，(2)假设P(k)(kn0)成立，能推出Q(k)成立，假设Q(k)成立，能推出P(k +1)成立，综合(1)(2)，关于一切自然数n(n0)，P(n)，Q(n)都成立，(四)倒推数学归纳法(又名反向数学归纳法)(1)关于无穷多个自然数命题P(n)成立，(2)假设P(k+1)成立，并在此基础上推出P(k)成立，综合(1)(2)，对一切自然数n(n0)，命题P(n)都成立要练说，得练看。

看与说是统一的，看不准就难以说得好。

练看，确实是训练幼儿的观看能力，扩大幼儿的认知范畴，让幼儿在观看事物、观看生活、观看自然的活动中，积存词汇、明白得词义、进展语言。

在运用观看法组织活动时，我着眼观看于观看对象的选择，着力于观看过程的指导，着重于幼儿观看能力和语言表达能力的提高。

数学归纳法的内容确实是这些，查字典数学网期望考生都能够考生理想的大学。

观看内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有打算的先安排与幼儿生活接近的，能明白得的观看内容。

随机观看也是不可少的，是相当有味的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，小孩一边观看，一边提问，爱好专门浓。

我提供的观看对象，注意形象逼真，色彩鲜亮，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观看，保证每个幼儿看得到，看得清。

高考数学（理科一轮复习数学归纳法学案带答案）一、数学归纳法的基本思想数学归纳法是数学中常用的一种证明方法，它的基本思想是将要证明的命题划分为若干个步骤，通过先证明第一个步骤成立，然后假设第k步成立，再证明第k+1步成立，最后利用归纳法原理得出整个命题成立。

二、数学归纳法的三个步骤数学归纳法一般包括以下三个步骤：1.基础步骤：证明命题在某个特定情况下成立，通常是当n=1时。

2.归纳假设：假设命题在第k步成立，即假设n=k时命题成立。

3.归纳步骤：通过归纳假设推导出命题在第k+1步成立，即证明n=k+1时命题成立。

三、数学归纳法的应用数学归纳法在高等数学、离散数学等领域具有广泛的应用。

在高考数学中，数学归纳法常常用于证明数列、数论等方面的命题。

下面我们通过一道例题来深入理解数学归纳法的应用。

例题：证明Fibonacci数列的通项公式Fibonacci数列是指这样的一个数列：除了前两项是1和1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。

即F(1)=F(2)=1，对于n>2，有F(n)=F(n-1)+F(n-2)。

我们要使用数学归纳法来证明Fibonacci数列的通项公式：F(n) = （（1+√5）/2）^n - （（1-√5）/2）^n证明过程：1.基础步骤：当n=1时，左边是F(1)，右边是（（1+√5）/2）^1 - （（1-√5）/2）^1，容易验证相等，因此基础步骤成立。

2.归纳假设：假设当n=k时，F(k) = （（1+√5）/2）^k - （（1-√5）/2）^k 成立。

3.归纳步骤：我们要证明当n=k+1时，F(k+1) =（（1+√5）/2）^(k+1) - （（1-√5）/2）^(k+1) 成立。

根据Fibonacci数列的定义，F(k+1) = F(k) + F(k-1)。

带入归纳假设的表达式，可以得到：F(k+1) = （（1+√5）/2）^k - （（1-√5）/2）^k + （（1+√5）/2）^(k-1) -（（1-√5）/2）^(k-1)。