精选-高考数学二轮复习专题四概率与统计规范答题示范练习

专题四概率与统计规范答题示范【典例】 (12分)(2017·全国Ⅲ卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y 的数学期望达到最大值？[信息提取]❶看到求X的分布列，想到依据题目中的信息确定X的取值及相应概率；❷看到求Y的数学期望达到最大值，想到利用数学期望公式，列出关于进货量n的函数关系式，由函数的单调性求解.[规范解答](1)由题意知，X所有的可能取值为200，300，500，1分由表格数据知，(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n≤500.当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n，若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1 200－2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n；因此E(Y)＝2n×0.4＋(1 200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.……………………………………………………8分当200≤n<300时，若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n；因此E(Y)＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n.……………………………………………………10分所以n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.……………………………………………………12分[高考状元满分心得]❶写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写全.如第(1)问中，写出X所有可能取值得分，第(2)问中分当300≤n≤500时和200≤n<300时进行分析才能得满分.❷写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问应写出求分布列的过程，第(2)问应写出不同范围内Y的数学期望.[解题程序]第一步：确定随机变量的取值；第二步：求每一个可能值的概率，列出随机变量的分布列；第三步：根据题目所要解决的问题，确定自变量及其取值范围；第四步：确定利润Y与进货量的函数关系；第五步：求出利润的数学期望E(Y)与进货量n的关系；第六步：利用函数的性质，求E(Y)的最大值；第七步：反思回顾、查看关键点、易错点和答题规范.【巩固提升】某大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干A水果，然后以15元/千克的价格出售，若有剩余，则将剩余的水果以8元/千克的价格退回水果基地，为了确定进货数量，该超市记录了A水果最近50天的日需求量(单位：千克)，整理得下表：以50天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率.(1)若该超市一天购进A水果150千克，记超市当天A水果获得的利润为X(单位：元)，求X的分布列及其数学期望；(2)若该超市计划一天购进A水果150千克或160千克，请以当天A水果获得的利润的期望值为决策依据，在150千克与160千克之中选其一，应选哪一个？若受市场影响，剩余的水果以7元/千克的价格退回水果基地，又该选哪一个？解(1)若A水果日需求量为140千克，则X＝140×(15－10)－(150－140)×(10－8)＝680(元)，且P(X＝680)＝550＝0.1. 若A水果日需求量不小于150千克，则X＝150×(15－10)＝750(元)，且P(X＝750)＝1－0.1＝0.9.故X的分布列为E(X)＝680×0.1＋750×0.9＝743(元).(2)设该超市一天购进A水果160千克，当天的利润为Y(单位：元)，则Y的可能取值为140×5－20×2，150×5－10×2，160×5，即660，730，800，Y的分布列为E(Y)＝660×0.1＋730×0.2＋800×0.7＝772(元).因为772>743，所以该超市应购进160千克.若剩余的水果以7元/千克的价格退回水果基地，同理可得X，Y的分布列分别为因为670×0.1＋750×0.9<640×0.1＋720×0.2＋800×0.7，所以该超市还是应购进160千克.。

高考解答题的审题与答题示范(四)
概率与统计类解答题
［解题助思·快速切入］
[思维流程]——概率与统计问题重在“辨”——辨析、辨型
[审题方法]——审图表、审数据
题目中的图表、数据包含着问题的基本信息，也往往暗示着解决问题的目标和方向．在
审题时，认真观察分析图表、数据的特征的规律，常常可以找到解决问题的思路和方法．［满分示例·规范答题］
典例
(本题满分12分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4
元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根
据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低
于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果
最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六
月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40) 天数21636257 4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进
货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？
审题
路线
确定X的取值→计算与X值对应的概率→列出X的分布列→求出数学期望
标准答案阅卷现场
(1)由题意知，X所有可能取值为200，300，
500.①
由表格数据知辨表
第(1)问第(2)问
得①②③④⑤⑥⑦⑧。

高三数学（理）二轮专题复习习题：专题四概率与统计规范答题示范含解析【典例】 (12分)(2017·全国Ⅲ卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？[信息提取]❶看到求X的分布列，想到依据题目中的信息确定X的取值及相应概率；❷看到求Y的数学期望达到最大值，想到利用数学期望公式，列出关于进货量n的函数关系式，由函数的单调性求解.[规范解答](1)由题意知，X所有的可能取值为200，300，500，1分由表格数据知，(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n≤500.当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n，若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1 200－2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n；因此E(Y)＝2n×0.4＋(1 200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.……………………………………………………8分当200≤n<300时，若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n；因此E(Y)＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n.……………………………………………………10分所以n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.。

第三讲 概率与统计1．(2019·福州四校联考)某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵．某汽车经销商推出A ，B ，C 三种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期100位采用上述分期付款方式付款的客户进行统计分析，得到柱状图如图所示．已知从A ，B ，C 三种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车1辆所获得的利润分别是1万元、2万元、3万元．现甲、乙两人从该汽车经销商处，采用上述分期付款方式各购买此品牌汽车一辆．以这100位客户所采用的分期付款方式的频率估计1位客户采用相应分期付款方式的概率．(1)求甲、乙两人采用不同分期付款方式的概率；(2)记X (单位：万元)为该汽车经销商从甲、乙两人购车中所获得的利润，求X 的分布列与期望．解析：(1)设“采用A 种分期付款方式购车”为事件A ，“采用B 种分期付款方式购车”为事件B ，“采用C 种分期付款方式购车”为事件C ，由柱状图得，P (A )＝35100＝0.35，P (B )＝45100＝0.45，P (C )＝20100＝0.2， ∴甲、乙两人采用不同分期付款方式的概率P ＝1－[P (A )·P (A )＋P (B )·P (B )＋P (C )·P (C )]＝0.635.(2)由题意知，X 的所有可能取值为2,3,4,5,6，P (X ＝2)＝P (A )P (A )＝0.35×0.35＝0.122 5，P (X ＝3)＝P (A )P (B )＋P (B )P (A )＝0.35×0.45＋0.45×0.35＝0.315，P (X ＝4)＝P (A )P (C )＋P (B )P (B )＋P (C )P (A )＝0.35×0.2＋0.45×0.45＋0.2×0.35＝0.342 5，P (X ＝5)＝P (B )P (C )＋P (C )P (B )＝0.45×0.2＋0.2×0.45＝0.18， P (X ＝6)＝P (C )P (C )＝0.2×0.2＝0.04.∴X 的分布列为E (X )＝0.122 5×2＋0.315×3＋0.342 5×4＋0.18×5＋0.04×6＝3.7.2．(2019·山西八校联考)某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出．广告费支出x (万元)和销售量y (万元)的数据如下：(2)若用y ＝c ＋d x 模型拟合y 与x 的关系，可得回归方程y ^＝1.63＋0.99 x ，经计算线性回归模型和该模型的R 2分别约为0.75和0.88，请用R 2说明选择哪个回归模型更好；(3)已知利润z 与x ，y 的关系为z ＝200y －x .根据(2)的结果回答下列问题： ①广告费x ＝20时，销售量及利润的预报值是多少？ ②广告费x 为何值时，利润的预报值最大？(精确到0.01) 参考公式：回归直线y ^＝a ^＋b ^x 的斜率和截距的最小二乘估计分别为b ^＝∑i ＝1nx i y i －n xy∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x .参考数据：5≈2.24.解析：(1)∵x ＝8，y ＝4.2，∑i ＝17x i y i ＝279.4，∑i ＝17x 2i ＝708，∴b ^＝∑i ＝17x i y i －7xy∑i ＝17x 2i －7x 2＝279.4－7×8×4.2708－7×82＝0.17，a ^＝y －b ^x ＝4.2－0.17×8＝2.84，∴y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0.17x ＋2.84.(2)∵0.75<0.88且R 2越大，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好， ∴选用y ^＝1.63＋0.99x 更好． (3)由(2)知，①当x ＝20时，销售量的预报值y ^＝1.63＋0.9920≈6.07(万台)， 利润的预报值z ＝200×6.07－20≈1 193.04(万元)．②z ＝200(1.63＋0.99 x )－x ＝－x ＋198x ＋326＝－(x )2＋198x ＋326＝－(x －99)2＋10 127，∴当x ＝99，即x ＝9 801时，利润的预报值最大， 故广告费为9 801万元时，利润的预报值最大．3．(2019·湖南郴州模拟)某公司想了解对某产品投入的宣传费用对该产品的营业额的影响．下面是以往公司对该产品的宣传费用x (单位：万元)和产品营业额y (单位：万元)的统计折线图．(1)根据折线图可以判断，可用线性回归模型拟合宣传费用x 与产品营业额y 的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立产品营业额y 关于宣传费用x 的回归方程；(3)若某段时间内产品利润z 与宣传费用x 和营业额y 的关系为z ＝x (y －1.01x －0.09)＋50，应投入宣传费用多少万元才能使利润最大？并求最大利润．参考数据：∑i ＝17y i ＝37.28，∑i ＝17x i y i ＝160.68，∑i ＝17(y i －y)2＝2.2，7≈2.65.参考公式：相关系数r ＝∑i ＝1n (x i －x )(y i －y)∑i ＝1n(x i －x )2∑i ＝1n(y i －y)2＝∑i ＝1nx i y i －n xy∑i ＝1n(x i －x )2∑i ＝1n(y i －y)2，回归方程y ^＝a ^＋b ^x 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y)∑i ＝1n(x i －x)2＝∑i ＝1nx i y i －n xy∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x .解析：(1)由折线图中数据和参考数据得x ＝4，∑i ＝17(x i －x )2＝28，r ＝160.68－4×37.2828×2.2≈0.99，因为y 与x 的相关系数近似为0.99，说明y 与x 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．(2)因为y ＝i ＝17y i7≈5.33，b ^＝160.68－4×37.2828≈0.41，a ^≈5.33－0.41×4＝3.69，所以y 关于x 的回归方程为y ^＝0.41x ＋3.69.(3)由z ＝x (y －1.01x －0.09)＋50＝－0.6x 2＋3.6x ＋50，可得x ＝3时，z max ＝55.4.所以投入宣传费用3万元时，可获得最大利润55.4万元．4．(2019·辽宁五校联考)某校高三年级有500名学生，一次考试的英语成绩服从正态分布N (100,17.52)，数学成绩的频率分布直方图如下：(1)如果成绩高于135分的为特别优秀，则本次考试英语、数学成绩特别优秀的学生大约各多少人？(2)试问本次考试英语和数学的平均成绩哪个较高，并说明理由．(3)如果英语和数学两科成绩都特别优秀的共有6人，从(1)中的这些学生中随机抽取3人，设3人中两科成绩都特别优秀的有ξ人，求ξ的分布列和数学期望．参考公式及数据：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.68，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.96，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.99.解析：(1)因为英语成绩服从正态分布N (100，17.52)，所以英语成绩特别优秀的概率P 1＝P (X ≥135)＝(1－0.96)×12＝0.02，由频率估计概率，得数学成绩特别优秀的概率P 2＝0.001 6×20×34＝0.024，所以英语成绩特别优秀的学生大约有500×0.02＝10(人)， 数学成绩特别优秀的学生大约有500×0.024＝12(人)． (2)本次考试英语的平均成绩为100分，数学的平均成绩为60×0.16＋80×0.168＋100×0.48＋120×0.16＋140×0.032＝94.72(分)，因为94.72<100，所以本次考试英语的平均成绩较高．(3)英语和数学成绩都特别优秀的有6人，则单科成绩特别优秀的有10人，ξ可取的值有0,1,2,3，所以P (ξ＝0)＝C 310C 316＝314，P (ξ＝1)＝C 210C 16C 316＝2756，P (ξ＝2)＝C 110C 26C 316＝1556，P (ξ＝3)＝C 36C 316＝128，故ξ的分布列为E (ξ)＝0×314＋1×2756＋2×56＋3×28＝8.。

四统计概率(B)1.(2018·张家口质检)2018年2月9～25日,第23届冬奥会在韩国平昌举行,4年后,第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行,为了宣传冬奥会,某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天,从全校学生中随机抽取了120名学生,对是(2)现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中,采用按性别分层抽样的方法选取12人参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.①问男、女学生各选取了多少人?②若从这12人中随机选取3人到校广播站作冬奥会及冰雪项目的宣传介绍,设选取的3人中女生人数为X,写出X 的分布列,并求E(X).2.(2018·宁夏吴忠一模)观察研究某种植物的生长速度与温度的关系,经过统计,得到生长速度(单位:毫米/月)与(2)利用(1)中的线性回归方程,分析气温从-5 ℃至 20 ℃时生长速度的变化情况,如果某月的平均气温是2 ℃时,预测这月大约能生长多少.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为==,=-.3.(2018·宿州一模)为了了解市民对开设传统文化课的态度,教育机构随机抽取了200位市民进行了解,发现支持开展的占75%,在抽取的男性市民120人中持支持态度的为80人.5位市民,并从抽取的5人中再随机选取2人进行座谈,求选取的2人恰好为1男1女的概率.24.(2018·贵阳模拟)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如图频率分布直方图,(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布,求P(187.8<Z<212.2);②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用①的结果,求E(X).附:≈12.2.若Z～N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.682 7,则P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.954 5.1.解:(1)因为K2==7.5>6.635,所以有99%的把握认为收看开幕式与性别有关.(2)①根据分层抽样方法抽得男生×12=9人,女生×12=3人,所以选取的12人中,男生有9人,女生有3人.②由题意可知,X的可能取值有0,1,2,3.P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,所以E(X)=0×+1×+2×+3×=.2.解:(1)由题可知==8,==6,t i y i=-10+0+30+48+84+120+200=472,=25+0+36+64+144+225+400=894,则==≈0.305,=-≈6-0.305×8=3.56,于是生长速度y关于温度t的线性回归方程为y=0.305t+3.56.(2)利用(1)的线性回归方程可以发现,月平均气温从-5 ℃至20 ℃时该植物生长速度逐渐增加,如果某月的平均气温是2 ℃时,预测这月大约能生长3.56+0.305×2=4.17毫米.3.解:(1)抽取的男性市民为120人,持支持态度的为200×75%=150人,所以K2==≈11.11>10.828,所以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,可以认为性别与支持与否有关.(2)抽取的5人中抽到的男性的人数为5×=4,女性的人数为5×=1.则从5人中随机选取2人,其中恰好为1男1女的概率为P==.4.解:(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230× 0.02=200,s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.(2)①由(1)知,Z～N(200,150),从而P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<200+ 12.2)=0.682 7.②由①知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 7,依题意知X～B(100,0.682 7),所以E(X)=100×0.682 7=68.27.。