利用牛顿迭代法求解非线性代数方程组

非线性方程组的求解方法及其应用非线性方程组是数学中一类非常重要的问题，其中每个方程都不是线性的。

与线性方程组不同，非线性方程组的求解通常需要借助于数值方法。

本文将讨论一些常见的非线性方程组求解方法，并介绍它们在实际应用中的一些应用。

1. 牛顿法牛顿法是一种非常常见的非线性方程组求解方法。

该方法基于牛顿迭代法原理，将非线性方程组转化为一系列的线性问题。

牛顿法的基本思想是：通过不断地使用一阶导数和二阶导数的信息来逼近方程组的解。

具体地说，在每一轮迭代中，求解一个方程组：$$F(x^{k})+J(x^{k})\Delta x^{k} =0$$其中$F(x)$表示非线性方程组，$x^k$表示第$k$轮迭代的解，$J(x^k)$表示$F(x)$在$x^k$处的雅可比矩阵，$\Delta x^k$表示下降方向，满足$\|\Delta x^k\|\rightarrow 0$。

值得注意的是，牛顿法在每轮迭代中都需要求解一次雅可比矩阵，这需要大量的计算资源。

因此，在实际应用中，牛顿法通常只适用于相对较小的方程组。

2. 信赖域方法相比于牛顿法，信赖域方法更具有通用性。

信赖域方法的基本思想是：在每轮迭代中，通过构造二次模型来逼近目标函数，并在一个信赖域内搜索下降方向。

具体地说，我们在每轮迭代中将非线性方程组$F(x)$在$x^k$处转化为二次模型：$$m_k(\Delta x)=F(x^k)+\nabla F(x^k)^\top \Deltax+\frac{1}{2}\Delta x^\top B_k\Delta x$$其中，$\nabla F(x^k)$是$F(x)$在$x^k$处的梯度，$B_k$是二阶导数信息。

在这里我们假设$B_k$为正定矩阵。

显然，我们希望在$m_k(\Delta x)$的取值范围内找到一个适当的$\Delta x$，使得$m_k(\Delta x)$最小。

因此，我们需要设定一个信赖域半径$\Delta_k$，并在$B_k$所定义的椭圆范围内查找最优的$\Delta x$。

二元非线性方程组求根的牛顿迭代法摘要:本文根据一元函数的Taybr 公式和求解一元非线性方程的牛顿迭代法之间的关系,利用多元函数的Taybr 公式推导出了二元非线性方程组的牛顿迭代法;在此基础上,通过MA TLAB 仿真计算一个方程组的根来说明该方法是可行的。

关键词:牛顿迭代法;一元函数;二元函数; Taybr 公式; Matlab 0 引言非线性方程()0f x =的数值解法有逐步搜索法、区间二分法、迭代法、牛顿迭代法等, 那么, 对于对于非线性方程组(,)0(,)0f x y g x y =⎧⎨=⎩,其牛顿迭代法的迭代方程是什么? 本文根据一元函数的Taybr 公式和一元非线性方程牛顿迭代法之间的关系,利用多元函数的Taybr 公式推导出了二元非线性方程组的牛顿迭代法,在此基础上利用推导出的二元非线性方程组求根的牛顿迭代法通过matlab 仿真计算出一个方程组的根,检验了所得方法的有效性。

1 基本定理、结论定理1 (一元函数的Taybr 公式)如果函数()f x 在含有0x 的某个开区间(,)a b 内具有直(1)n +阶的导数,则对任一(,)x a b ∈ ,有()20000000()()()()()()()...()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+其中()n R x = ()(1)10()()1!n n f x x n ξ++-+,这里ξ是0x 与x 之间的某个值。

定理2 (二元函数的Taybr 公式)设(,)z f x y =在点00(,)x y 的某一邻域内连续且有直到(1)n +阶的连续偏导数,00(,)x k y k ++为此邻域内任一点,则有2000000001(,)(,)(,)(,)...2!f x k y k f x y h k f x y h k f x y x y x y αααααααα⎛⎫⎛⎫++=++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1000011(,)(,)!(1)!n n h k f x y h k f x k y k n x y n x y ααααθθαααα+⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,(01)θ<<. 其中00(,)mh k f x y x y αααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭表示00(,)0m mp p m pm x y p m p p f C h k x y --=∂∂∂∑定理3:一元非线性方程求根的牛顿牛顿法设已知方程f ( x) = 0有近似根k x (假定f ′(k x ) ≠0,将函数f ( x)在点kx 处展开,有f ( x)≈ f (k x ) + f ′(k x ) ( x -k x ) ,于是方程f ( x) = 0可近似的表示为f (k x ) + f ′(k x ) ( x -k x ) = 0这是个线性方程,记其根为k x + 1 ,则k x + 1的计算 公式为1()()k k k k f x x x f x +=-'( k = 0, 1, …) 2 二元函数的牛顿迭代法设z = f ( x, y)在点00(,)x y 的某一邻域内连续且有直到2阶的连续偏导数,00(,)x h y k ++为此邻域内任一点,则有000000(,)(,)(,)(,)x x y y f x h y k f x y h f x y kf x y xy==⎛⎫∂∂++≈++ ⎪∂∂⎝⎭于是方程f ( x, y) = 0可近似的表示为(,)(,)(,)0k kk k x x y y f x y h f x y kf x y x y==⎛⎫∂∂++= ⎪∂∂⎝⎭即(,)()(,)()(,)0k k k k k k k k k k f x y x x f x y y y f x y +-+-=同理设z = g ( x, y )在点00(,)x y 的某一邻域内连续且有直到2阶的连续偏导数, 00(,)x h y k ++为此邻域内任一点,则同样有000000(,)(,)(,)(,)x x y y g x h y k g x y h g x y kg x y xy==⎛⎫∂∂++≈++ ⎪∂∂⎝⎭其中00,h x x k y y =-=-于是方程g ( x, y) = 0可近似的表示为,()(,)(,)0k kk k x x y y g x y h g x y kg x y xx==⎛∂∂⎫++= ⎪∂∂⎝⎭即()(,)(),()(,)0k k k x k k k y k k g x y x x g x y y y g x y +-+-=于是得到方程组,,,,,,()()()()()0()()()()()0k k k y k k k y k k k kk y k k k y k k f x y x x f x y y y f x y g x y x x g x y y y g x y +-+-=⎧⎪⎨+-+-=⎪⎩ 求解这个方程组:当,,,,()()()()0x k k y k k x k k x k k g x y f x y f x y g x y +-≠时 x =,,,,,,,,()()()()+()()()()k k y k k k k y k k k x k k y k k x k k y k k f x y g x y g x y f x y x g x y f x y f x y g x y +-+-y =,,,,,,,,()()()()+()()()()k k x k k k k x k k k x k k y k k x k k y k k g x y f x y f x y g x y y g x y f x y f x y g x y +-+-从而:,,,,,,,,,,,,,,,,()()()()+()()()()()()()()+()()()()k k y k k k k y k k k x k k y k k x k k y k k k k x k k k k x k k kx k k y k k x k k y k k f x y g x y g x y f x y x x g x y f x y f x y g x y g x y f x y f x y g x y y y g x y f x y f x y g x y +-⎧=⎪+-⎪⎨+-⎪=⎪+-⎩记符号,(),,,,()()()()k k x x x y k k x k k k k x k k gf fg g x y f x y f x y g x y -=- ,(),,,,()()()()k k y y x y k k y k k k k y k k fg gf f x y g x y g x y f x y -=- ,(),,,,()()()()k k x y x yx y x k k y k k x k k y k k g f f g g x y f x y f x y g x y -=-又可改写为,,,,()()()()k k k k k k k k y y x y k x y x y x y x x x y k x y x y x y fg gf x x g f f g fg gf y y g f f g ⎧-⎪=+⎪-⎪⎨-⎪=+⎪-⎪⎩迭代公式为:,,,,()1()()1()k k k k k k k k y y x y k k x y x y x y x x x y k k x y x y x y fg gf x x g f f g fg gf y y g f f g ++⎧-⎪=+⎪-⎪⎨-⎪=+⎪-⎪⎩通过迭代公式可迭代出当k = 1, 2, …时,,()k k x y 的值,当1,1()(0k k x y δδ++≤>为给定的误差控制项)时, 原方程组的根即为,()k k x y 。

《MATLAB 程序设计实践》课程考核1、编程实现以下科学计算算法，并举一例应用之。

（参考书籍《精通ＭＡＬＡＢ科学计算》，王正林等著，电子工业出版社，２００９年）“牛顿下山法求非线性方程组解”解：算法说明：牛顿下山法的迭代公式：())()(11n n n n x F x F w x x -+-=w 的取值范围为10≤w ，为了保证收敛，还要求w 的取值使得：())(1n n x F x F +可以用作次减半法来确定w 。

为了减少计算量，还可以用差商来代替偏导数。

在MA TLAB 中编程实现的非线形方程组的牛顿下山法的函数：mulDNewton 。

功能：用牛顿下山法求非线形方程组的一个解。

调用格式：[]),0(,eps x mulDNewton n r = 其中， x0为初始迭代向量Eps 为迭代精度；r 为求出的解向量n 为迭代步数。

牛顿下山法的MATLAB 代码如下：function [r,n]=mulDNewton(x0,eps) %牛顿下山法求非线形方程组的一个解 %初始迭代向量：x0 %迭代精度：eps %解向量： r %迭代步数：n if nargin==1 eps=1.0e-4;%输入的自变量的数目为1个时，精度定为eps=1.0e-4 endr=x0-myf(x0)/dmyf(x0); %当n=1时，取w=1 n=1; tol=1;%初始n 和tol 的值 while tol>eps x0=r; ttol=1; %初始ttol 的值 w=1;%初始w 的值，w 就是下山因子alpha F1=norm(myf(x0)); while ttol>=0r=x0-w*myf(x0)/dmyf(x0); ttol=norm(myf(r))-F1; w=w/2; endtol=norm(r-x0); n=n+1; if (n>100000)disp('迭代步数太多，可能不收敛！'); return ; end end举例说明：牛顿下山法求下面方程组⎩⎨⎧=--=-+0sin 1.0cos 5.00)cos(1.0sin 5.02211211x x x x x x x 的根，其初始迭代值取（0,0）。

高斯牛顿迭代法解方程组高斯牛顿迭代法是一种常用的数值计算方法，用于解决非线性方程组。

本文将介绍高斯牛顿迭代法的基本原理、步骤和应用场景。

一、高斯牛顿迭代法的原理高斯牛顿迭代法是利用泰勒展开式对非线性方程组进行近似线性化处理，然后通过迭代逼近的方法求解方程组的解。

其基本思想是通过线性化的近似，将非线性方程组转化为一个线性方程组，然后利用线性方程组的解逐步逼近非线性方程组的解。

二、高斯牛顿迭代法的步骤1. 初始化：给定初值向量x0和迭代误差精度ε。

2. 迭代计算：根据当前的估计解xk，计算出近似的雅可比矩阵Jk 和残差向量rk。

3. 判断终止条件：若rk的范数小于等于设定的误差精度ε，则停止迭代，输出近似解xk；否则，进行下一步迭代。

4. 更新迭代：根据当前的估计解xk和雅可比矩阵Jk，计算更新量Δxk。

5. 更新解向量：更新当前的估计解xk+1 = xk + Δxk。

6. 回到步骤2，继续迭代计算，直到满足终止条件。

三、高斯牛顿迭代法的应用场景高斯牛顿迭代法广泛应用于科学和工程领域的各种问题求解，特别适用于非线性最小二乘问题的求解。

以下是一些常见的应用场景：1. 数据拟合：在实际问题中，常常需要根据一组观测数据拟合出一个数学模型。

高斯牛顿迭代法可以通过最小化观测数据与模型之间的误差，来确定最优的模型参数。

2. 图像处理：高斯牛顿迭代法可以用于图像处理中的图像恢复、图像去噪、图像分割等问题的求解。

例如，在图像恢复中，可以利用高斯牛顿迭代法求解出最佳的恢复图像。

3. 机器学习：高斯牛顿迭代法可以用于机器学习中的参数估计和模型训练。

例如，在逻辑回归中，可以使用高斯牛顿迭代法来求解最优的模型参数。

4. 无线通信：高斯牛顿迭代法在无线通信系统中的信道估计、自适应调制等问题的求解中得到广泛应用。

通过迭代计算信道的状态信息，可以提高通信系统的性能。

高斯牛顿迭代法是一种强大的数值计算方法，可以有效地求解非线性方程组。

Newton迭代法求解非线性方程Newton迭代法求解非线性方程一、 Newton 迭代法概述构造迭代函数的一条重要途径是用近似方程来代替原方程去求根。

因此，如果能将非线性方程f (x )=0用线性方程去代替，那么，求近似根问题就很容易解决，而且十分方便。

牛顿(Newton)法就是一种将非线性方程线化的一种方法。

设k x 是方程f (x )=0的一个近似根，把如果)(x f 在k x 处作一阶Taylor 展开，即：)x x )(x ('f )x (f )x (f k k k -+≈ (1-1)于是我们得到如下近似方程：0)x x )(x ('f )x (f k k k =-+ (1-2)设0)('≠k x f ，则方程的解为：x ?=x k +f (x k )f (x k )?(1-3)取x ~作为原方程的新近似根1+k x ，即令： )x ('f )x (f x x k k k 1k -=+, k=0,1,2,…(1-4)上式称为牛顿迭代格式。

用牛顿迭代格式求方程的根的方法就称为牛顿迭代法，简称牛顿法。

牛顿法具有明显的几何意义。

方程：)x x )(x ('f )x (f y k k k -+= (1-5)是曲线)x (f y =上点))x (f ,x (k k 处的切线方程。

迭代格式(1-4)就是用切线式(1-5)的零点来代替曲线的零点。

正因为如此，牛顿法也称为切线法。

牛顿迭代法对单根至少是二阶局部收敛的，而对于重根是一阶局部收敛的。

一般来说，牛顿法对初值0x 的要求较高，初值足够靠近*x时才能保证收敛。

若要保证初值在较大范围内收敛，则需对)x (f 加一些条件。

如果所加的条件不满足，而导致牛顿法不收敛时，则需对牛顿法作一些改时，即可以采用下面的迭代格式：)x ('f )x (f x x k k k 1k λ-=+,=,2,1,0k (1-6)上式中，10<λ<，称为下山因子。

非线性方程的求解方法非线性方程是数学中的基本概念，对于许多科学领域而言，非线性方程的求解具有重要的意义。

然而，与线性方程相比，非线性方程的求解方法较为复杂，因此需要掌握一些有效的解法。

本文将介绍几种非线性方程的求解方法。

一、牛顿迭代法牛顿迭代法也叫牛顿-拉夫逊迭代法，是一种求解非线性方程的有效方法。

该方法的基本思路是，选择一个初始值，通过迭代计算不断逼近非线性方程的根。

牛顿迭代法的公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$其中，$f(x)$表示非线性方程，$f'(x)$表示$ f(x) $的一阶导数。

牛顿迭代法的优点在于速度快，迭代次数少，但其局限性在于收敛性受初始点选取的影响较大。

二、割线法割线法（Secant method）也是一种求解非线性方程的有效方法。

与牛顿迭代法不同，割线法使用的是两个初始值，并根据两点间的连线与$ x $轴的交点来作为新的近似根。

割线法的公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$$割线法的优势是不需要求解导数，但其缺点在于需要两次迭代才能得到下一个近似根，因此计算量较大。

三、二分法二分法（Bisection method）是求解非线性方程的另一种有效方法。

该方法的基本思路是找到非线性方程的一个区间，使函数值在该区间内的符号相反，然后通过逐步缩小区间，在区间内不断逼近非线性方程的根。

二分法的公式为：$$x_{n+1}=\frac{x_n+x_{n-1}}{2}$$其中，$x_n$和$x_{n-1}$是区间的端点。

二分法的优点在于收敛性稳定，但其缺点在于迭代次数较多，因此计算量也较大。

四、弦截法弦截法（Regula Falsi method）也是一种求解非线性方程的有效方法。

它和二分法类似，都是通过缩小根所在的区间来逼近根。

不同之处在于，弦截法不是以区间中点为迭代点，而是以区间两个端点之间的连线与$ x $轴的交点为迭代点。

改进的牛顿迭代法求解非线性方程史思总 西南科技大学摘要：将非线性方程线性化，以线性方程的解逐步逼近非线性方程的解，是牛顿迭代法的基本思想。

牛顿法具有收敛快、稳定性好、精度高等优点，是目前求解非线性方程的有效方法之一。

牛顿法每次迭代时都需要计算函数值和导数值，计算量较大，当导数值提供有困难时，牛顿法将不再适用于求解非线性方程组。

针对这种情况，提出了一种改进牛顿法——弦截法。

为避免求导，弦截法采用差商近似导数，以差商方式解决求导问题。

实践证明，弦切法优于大部分迭代法，仅次于牛顿法。

关键词：牛顿法、弦截法、非线性方程、差商一、牛顿法的迭代公式设)(x f 在其零点*x 附近一阶连续可微，且0)(≠'x f ，当0x 充分接近*x 时，由Taylor 公式有：))(()()(000x x x f x f x f -'+≈ （1）以方程0))(()(000=-'+x x x f x f （2）近似方程0)(=x f ，其解)()(0001x f x f x x '-= （3） 可作为方程的近似解，重复上述过程，得迭代公式),1,0(,)()(1 ='-=+n x f x f x x n n n n （4） 该方法称为牛顿迭代法。

牛顿法是一种不动点迭代法，其迭代函数为()()()f x x x f x ϕ=-' （5） 从几何上看，牛顿法是以曲线的切线与x 轴的交点作为曲线与x 轴的交点的近似。

故牛顿法也是一种切线法。

二、牛顿法的改进——弦截法为了避免牛顿法中计算导数，弦截法中采用差商代替导数。

避免了某些情况下由于不能求取导数值而迭代失效。

2.1差商的定义设有函数012(),,,,...f x x x x 为一系列互不相等的点，称()()()i j i j f x f x i j x x -≠-为()f x 关于,i j x x 的一阶差商（也称均差），记为[,]i j f x x ，即()()[,]i j i j i j f x f x f x x x x -=- （6）2.2弦截法在牛顿迭代公式（3）中，用差商()()i j i j f x f x x x --代替导数'()n f x 得到迭代公式111()()()(1,2,...)n n n n n n n f x f x x x x x n x x -+--=--=- （7） 按式（7）计算方程的近似解称为弦截法。