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第1课时绝对值不等式1．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集：不等式a>0a＝0a<0|x|<a (－a，a)∅∅|x|>a (－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c；(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．2．含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．1．(2015·某某改编)解不等式|x－1|－|x－5|<2的解集．解①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1.②当1<x<5时，原不等式可化为x－1－(5－x)<2，∴x<4，∴1<x<4，③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2，该不等式不成立．综上，原不等式的解集为(－∞，4)．2．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，某某数a的取值X围．解∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3，∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4.3．若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，某某数a 的取值X 围．解 设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1，x <－2，－x ＋3，－2≤x <12，3x ＋1，x ≥12.当x <－2时，y ＝－3x －1>5； 当－2≤x <12时，5≥y ＝－x ＋3>52；当x ≥12时，y ＝3x ＋1≥52，故函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值为52.因为不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，所以52≥a 2＋12a ＋2.解不等式52≥a 2＋12a ＋2，得－1≤a ≤12，故a 的取值X 围为[－1，12].题型一 绝对值不等式的解法例1 (2015·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值X 围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23<x <2.(2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值X 围为(2，＋∞)． 思维升华 解绝对值不等式的基本方法有(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．(1)(2016·全国乙卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.(1)在图中画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤ 32，－x ＋4，x >32，y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的表达式及图象，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5，故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx <13或x >5.所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx <13或1<x <3或x >5.题型二 利用绝对值不等式求最值例2 (1)对任意x ，y ∈R ，求|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值． (2)对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，求|x －2y ＋1|的最大值． 解 (1)∵x ，y ∈R ，∴|x －1|＋|x |≥|(x －1)－x |＝1， |y －1|＋|y ＋1|≥|(y －1)－(y ＋1)|＝2， ∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥1＋2＝3. ∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3.(2)|x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －1)|≤|x －1|＋|2(y －2)＋2|≤1＋2|y －2|＋2≤5，即|x －2y ＋1|的最大值为5.思维升华 求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种 (1)利用绝对值的几何意义．(2)利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥|a |－|b |. (3)利用零点分区间法．(1)若关于x 的不等式|2 014－x |＋|2 015－x |≤d 有解，求d 的取值X 围．(2)(2016·某某二模)不等式|x ＋1x|≥|a －2|＋sin y 对一切非零实数x ，y 均成立，某某数a 的取值X 围．解 (1)∵|2 014－x |＋|2 015－x |≥|2 014－x －2 015＋x |＝1， ∴关于x 的不等式|2 014－x |＋|2 015－x |≤d 有解时，d ≥1. (2)∵x ＋1x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，∴|x ＋1x|∈[2，＋∞)，其最小值为2.又∵sin y 的最大值为1，故不等式|x ＋1x|≥|a －2|＋sin y 恒成立时，有|a －2|≤1，解得a ∈[1,3]． 题型三 绝对值不等式的综合应用例3 (2016·全国甲卷)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12， M 为不等式f (x )<2的解集．(1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.(1)解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1，所以－1<x ≤－12；当－12<x <12时，f (x )<2；当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1，所以－12<x <1.所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}．(2)证明 由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)<0，即(a ＋b )2<(1＋ab )2，因此|a ＋b |<|1＋ab |.思维升华 (1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决． (2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法．(2016·全国丙卷)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值X 围． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ， 当x ＝12时等号成立，所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.① 当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解． 当a ＞1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以a 的取值X 围是[2，＋∞).1．在实数X 围内，求不等式||x －2|－1|≤1的解集． 解 由||x －2|－1|≤1得－1≤|x －2|－1≤1，解⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|≥0，|x －2|≤2得0≤x ≤4.∴不等式的解集为[0,4]．2．不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，某某数a 的取值X 围． 解 由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2，所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2.3．(2016·某某模拟)对于任意实数a ，b ，已知|a －b |≤1，|2a －1|≤1，且恒有|4a －3b ＋2|≤m ，某某数m 的取值X 围． 解 因为|a －b |≤1，|2a －1|≤1， 所以|3a －3b |≤3，|a －12|≤12，所以|4a －3b ＋2|＝|(3a －3b )＋(a －12)＋52|≤|3a －3b |＋|a －12|＋52≤3＋12＋52＝6，即|4a －3b ＋2|的最大值为6， 所以m ≥|4a －3b ＋2|max ＝6.4．已知f (x )＝|x －3|，g (x )＝－|x －7|＋m ，若函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，求m 的取值X 围．解 由题意，可得不等式|x －3|＋|x －7|－m >0恒成立，即(|x －3|＋|x －7|)min >m ，由于x 轴上的点到点(3,0)和点(7,0)的距离之和的最小值为4，所以要使不等式恒成立，则m <4. 5．(2016·某某模拟)求不等式|x ＋3|－|2x －1|<x2＋1的解集．解 ①当x <－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )<x2＋1，解得x <10，∴x <－3.②当－3≤x <12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )<x 2＋1，解得x <－25，∴－3≤x <－25.③当x ≥12时，原不等式化为(x ＋3)－(2x －1)<x2＋1，解得x >2，∴x >2.综上可知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－25或x >2.6．(2016·某某模拟)已知关于x 的不等式|2x －m |≤1的整数解有且仅有一个值为2，求关于x 的不等式|x －1|＋|x －3|≥m 的解集． 解 由不等式|2x －m |≤1，可得m －12≤x ≤m ＋12，∵不等式的整数解为2， ∴m －12≤2≤m ＋12，解得3≤m ≤5.再由不等式仅有一个整数解2，∴m ＝4. 本题即解不等式|x －1|＋|x －3|≥4， 当x <1时，不等式等价于1－x ＋3－x ≥4， 解得x ≤0，不等式解集为{x |x ≤0}．当1≤x ≤3时，不等式等价于x －1＋3－x ≥4， 解得x ∈∅，不等式解集为∅.当x >3时，不等式等价于x －1＋x －3≥4， 解得x ≥4，不等式解集为{x |x ≥4}．综上，原不等式解集为(－∞，0]∪[4，＋∞)． 7．设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|. (1)解不等式f (x )＞2； (2)求函数y ＝f (x )的最小值．解 (1)方法一 令2x ＋1＝0，x －4＝0分别得x ＝－12，x ＝4.原不等式可化为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－12－x －5＞2或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ＜43x －3＞2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥4，x ＋5＞2.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－7，或x ＞53. 方法二 f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5，x ＜－12，3x －3， －12≤x ＜4，x ＋5， x ≥4.画出f (x )的图象，如图所示．求得y ＝2与f (x )图象的交点为(－7,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2. 由图象知f (x )＞2的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－7，或x ＞53. (2)由(1)的方法二知：f (x )min ＝－92.8．(2016·某某模拟)已知函数f (x )＝|x ＋3|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≥|a －4|有解，求a 的取值X 围． 解 (1)f (x )＝|x ＋3|－|x －2|≥3，当x ≥2时，有x ＋3－(x －2)≥3，解得x ≥2； 当x ≤－3时，－x －3＋(x －2)≥3，解得x ∈∅； 当－3<x <2时，有2x ＋1≥3，解得1≤x <2. 综上，f (x )≥3的解集为{x |x ≥1}． (2)由绝对值不等式的性质可得，||x ＋3|－|x －2||≤|(x ＋3)－(x －2)|＝5， 则有－5≤|x ＋3|－|x －2|≤5. 若f (x )≥|a －4|有解，则|a －4|≤5， 解得－1≤a ≤9.所以a 的取值X 围是[－1,9]． 9．(2016·某某模拟)已知a 和b 是任意非零实数． (1)求|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值；(2)若不等式|2a ＋b |＋|2a －b |≥|a |(|2＋x |＋|2－x |)恒成立，某某数x 的取值X 围． 解 (1)∵|2a ＋b |＋|2a －b ||a |≥|2a ＋b ＋2a －b ||a |＝|4a ||a |＝4， ∴|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值为4.(2)若不等式|2a ＋b |＋|2a －b |≥|a |(|2＋x |＋|2－x |)恒成立，即|2＋x |＋|2－x |≤|2a ＋b |＋|2a －b ||a |恒成立，故|2＋x |＋|2－x |≤⎝⎛⎭⎪⎫|2a ＋b |＋|2a －b ||a |min.由(1)可知，|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值为4，∴x 的取值X 围即为不等式|2＋x |＋|2－x |≤4的解集． 解不等式得－2≤x ≤2， 故实数x 的取值X 围为[－2,2]．10．已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )<g (x )的解集；(2)设a >－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值X 围． 解 (1)当a ＝－2时，不等式f (x )<g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3<0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x <12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x >1，其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0，∴原不等式的解集是{x |0<x <2}．(2)∵a >－1，则－a 2<12，∴f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋1－a ， x <－a2，a ＋1， －a 2≤x <12，4x ＋a －1， x ≥12.当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )＝a ＋1， 即a ＋1≤x ＋3在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12上恒成立． ∴a ＋1≤－a 2＋3，即a ≤43，∴a 的取值X 围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，43.。
