八年级数学精华一元一次不等式_公式总结

北师大版八年级下册数学各章知识要点总结北师大版八年级下册数学各章学问要点总结北师大版八年级数学下册各章学问要点总结第一章一元一次不等式和一元一次不等式组一、一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。

1、能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2、不等式的解不唯一，把全部满意不等式的解集合在一起，构成不等式的解集.3、求不等式解集的过程叫解不等式.4、由几个一元一次不等式组所组成的不等式组叫做一元一次不等式组5、不等式组的解集:一元一次不等式组各个不等式的解集的公共局部。

6、等式根本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式.根本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0)，所得的结果仍是等式.二、不等式的根本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.（注：移项要变号，但不等号不变。

）性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向转变.不等式的根本性质、若a>b,则ac>bc；、若a>b,c>0则ac>bc，若cc,则a>c四、一元一次不等式与一次函数五、一元一次不等式组※1.定义：由含有一个一样未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组.※2.一元一次不等式组中各个不等式解集的公共局部叫做不等式组的解集.假如这些不等式的解集无公共局部，就说这个不等式组无解.几个不等式解集的公共局部，通常是利用数轴来确定.※3.解一元一次不等式组的步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；（2）利用数轴求出这些解集的公共局部，（3）写出这个不等式组的解集.两个一元一次不等式组的解集的四种状况（a、b为实数，且a找公因式的一般步骤：（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；（2）取一样的字母，字母的指数取较低的；（3）取一样的多项式，多项式的指数取较低的.（4）全部这些因式的乘积即为公因式.四、分解因式的一般步骤为:（1）若有“-”先提取“-”，若多项式各项有公因式,则再提取公因式.（2）若多项式各项没有公因式,则依据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止.五、形如a+2ab+b或a-2ab+b的式子称为完全平方式.六、分解因式的方法：1、提公因式法。

不等式的应用知识点总结在数学中，不等式是表示数之间大小关系的一种常用形式。

不等式的应用范围广泛，涉及到各个领域中的问题求解。

本文将对不等式的应用知识点进行总结和归纳，以帮助读者更好地理解和运用不等式。

一、一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知数且次数为一的不等式。

解一元一次不等式的基本方法是通过移项和分式，将不等式转化成形如x≥a 或x≤a的解集。

1. 不等式的解集表示形式一元一次不等式的解集可以用集合符号{}或用区间表示。

对于x≥a 而言，解集可以表示为{x∈R,x≥a}或[a,∞)；对于x≤a而言，解集可以表示为{x∈R,x≤a}或(-∞,a]。

2. 不等式的运算性质一元一次不等式的运算性质与方程的运算性质相似，即两边同时加上一个相同的数、两边同时减去一个相同的数、两边同时乘以一个正数或两边同时除以一个正数，不等式的不等关系不变。

3. 不等式的解集合并与交集当两个或多个不等式同时成立时，可以将它们的解集进行合并和交叉来求取新的解集。

合并时，可以通过求并集的方法，将多个不等式的解集合并在一起；交集时，可以通过求交集的方法，得到多个不等式的公共解集。

二、一元二次不等式一元二次不等式是指含有一个未知数且次数为二次的不等式。

解一元二次不等式的基本方法是通过变形和分解，将不等式转化为一元一次不等式，并对一元一次不等式进行求解。

1. 不等式的求解方法对于一元二次不等式ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0，可以将其转化为一元一次不等式的解集表示形式。

具体而言，分以下几种情况讨论：- 当a>0时，将不等式转化为一元一次不等式，即(x+p)(x+q)>0或(x+p)(x+q)<0，其中p和q是一元二次不等式的两个实数解。

根据一元一次不等式的解集合并和交集性质，求解出新的解集。

- 当a<0时，将不等式转化为一元一次不等式，即(x+p)(x+q)<0或(x+p)(x+q)>0，其中p和q是一元二次不等式的两个实数解。

一元一次不等式的总结归纳一元一次不等式是数学中的重要概念，它在方程不等式解集的求解中起着重要的作用。

在本文中，我将对一元一次不等式的基本概念、性质和解法进行总结归纳。

一、基本概念一元一次不等式是指只含有一个未知数，并且该未知数的最高次数为1的不等式。

一元一次不等式的一般形式为ax + b < 0（或>，≤，≥），其中a和b为实数，且a≠0。

二、性质1. 无论如何调换不等号的方向，不等式仍然成立。

例如，若a < b，则b > a。

2. 两边同时加（减）一个相同的数，不等式仍然成立。

例如，若a > b，则a + c > b + c。

3. 两边同时乘（除）一个正数，不等式方向不变；两边同时乘（除）一个负数，不等式方向反向。

例如，若a > b，则ac > bc；若a > b且c < 0，则ac < bc。

4. 若一个一元一次不等式的解集是(-∞，x)（或(x，+∞)，[x，+∞)），那么这个不等式的解集可以表示为x < k（或k < x，k ≤ x）的形式。

5. 若一个一元一次不等式的解集是[x1，x2]，那么这个不等式的解集可以表示为x1 ≤ x ≤ x2的形式。

三、解法对于一元一次不等式，我们可以依据性质2和性质3来进行解法，即通过对不等式进行相加、相减、相乘、相除的操作，将未知数的系数化为1，最终求解出未知数的范围。

以一个具体的例子来说明解法：将不等式3x - 5 > 2x + 4进行求解。

首先，我们可以将未知数的系数化为1，通过减去2x以及加上5，将不等式转化为x > 9。

因此，这个不等式的解集为(x，+∞)，即x的取值范围大于9。

四、示例问题1. 求解不等式2x - 7 ≤ 5x + 3。

解：将未知数的系数化为1，通过减去2x以及加上7，将不等式转化为-5x ≤ 10。

接着，将不等式两边同时除以-5，并注意不等号的反向，得到x ≥ -2。

八年级数学上册知识点归纳：一元一次不等式的解法知识点总结一．一元一次不等式的解法：一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，其步骤为：1．去分母；2．去括号；3．移项；4．合并同类项；5．系数化为1。

二．不等式的基本性质：1．不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；2．不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；3．不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

三．不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

四．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

五．解不等式的依据不等式的基本性质：性质1：不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，性质2：不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，性质3：不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，常见考法（1）考查一元一次不等式的解法；（2）考查不等式的性质。

误区提醒忽略不等号变向问题。

【典型例题】（XX年铁岭加速度辅导学校）在四川抗震救灾中，某抢险地段需实行爆破。

操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到400米以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度是1.2厘米/秒，操作人员跑步的速度是5米/秒。

为了保证操作人员的安全，导火线的长度要超过（）A．66厘米B．76厘米c．86厘米D．96厘米【解析】设导火线的长度要超过x厘米，故本题选择D。

一元一次不等式的解集：一个有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

例如﹕不等式x-5≤-1的解集为x≤4；不等式x﹥0的解集是所有正实数。

求不等式解集的过程叫做解不等式。

将不等式化为ax&gt;b的形式若a&gt;0，则解集为x&gt;b/a若a&lt;0，则解集为x&lt;b/a一元一次不等式的特殊解：不等式的解集一般是一个取值范围，但有时需要求未知数的某些特殊解，如求正数解、整数解、最大整数解等，解答这类问题关键是明确解的特征。

八年级代数知识点精华总结代数是数学的一个分支，它主要研究数与数量关系之间的代换关系。

在初中教育中，代数是一个重要的学科，涵盖了许多知识点，其中一些对学生来说可能比较难以理解。

本文将为您总结八年级代数的核心知识点，帮助学生们更好地掌握这门学科。

一、方程式和不等式方程式和不等式是代数中最基本的概念。

方程式是一个数学语句，其中包含一个等号，它表达了两个数量之间的相等关系。

不等式也是一个数学语句，它表示两个数量之间的大小关系，但它使用了不等于号、大于号或小于号。

在解方程式或不等式时，我们需要找到未知量的值。

为了找到未知量的值，我们可以对方程式或不等式进行变形（加减乘除）操作，直到我们能够确定未知量的值。

需要注意的是，我们进行变形操作时，必须在等式两边同时进行相同的操作，这样等式才能保持平衡。

二、一元一次方程式一元一次方程式是最简单的方程式之一，它的标准形式为ax+b=c，其中a、b和c是已知的常数，x是未知量。

我们可以通过移项和合并项的方式来解一元一次方程式。

具体来说，我们首先将常数项移动到等式的另一侧，然后将同类项相加，最后将系数和常数相除，求出未知量的值。

三、一元一次不等式在一元一次不等式中，未知量只出现一次，并且只涉及小于号、大于号或小于等于号、大于等于号。

我们可以使用同样的方法来解决一元一次不等式。

需要注意的是，当我们在等式两侧乘以（或除以）小于零的数时，不等式的不等关系会反向。

四、直线方程式直线方程式可以用于描述平面上的一条直线。

常见的直线方程式有斜截式、截距式和一般式。

斜截式是y=mx+b的形式，其中m是斜率，b是y轴截距。

截距式是y=b1x+b2的形式，其中b1是斜率，b2是y轴截距。

一般式是Ax+By=C的形式，其中A、B和C都是常数。

使用这些方程式，我们可以确定平面上一条直线的位置和方向。

五、函数函数是数学中的重要概念，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的一个元素。

在代数中，我们通常将一个函数表示为f(x)，其中x是输入，f(x)是输出。

初二数学精华一元一次不等式编者按：查字典数学网小编为大家收集了初二数学精华一元一次不等式，供大家参考，希望对大家有所帮助!1、不等式与等式的性质类比。

对于初中数学中等式(例如a=b)的性质，我们比较熟悉。

不等式(例如ab或a 等式有两个基本性质：1、等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，等号不变。

(即两边仍然相等)。

2、等式两边都乘以(或除以)同一个不等于0的数，符号不变(即两边仍然相等)。

按类比思想考虑问题，自然会问：不等式是否也具有这样相类似的性质，通过实例的反复检验得到的回答是对的，即有。

不等式的性质;1、不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变(即原来大的一边仍然大，原来较小的一边仍然较小)。

2、不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号方向不变。

3、不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变(即原来较大的一边反而较小，原来较小的一边反而较大)。

例如：-x20, 两边都乘以-5，得，x-100，(变形根据是不等式基本性质3)。

等式的基本性质是等式变形的根据，与此类似，不等式的基本性质是不等式变形的根据。

2、不等式的解与方程的解的类比从形式上看，含有未知数的不等式与方程是类似的。

按类比思想来考虑问题，同样可以仿效方程解的意义来理解不等式的解的意义。

例如：当x=3时，方程x+4=7两边的值相等。

x=3是方程x+4=7的解。

而当x=2时，方程x+4=7两边值不相等，x=2不是方程x+4=7的解。

类似地当x=5不等式x+47成立，那么x=5是不等式x+47的一个解。

若x=2不等式x+47不成立，那么x=2不是不等式x+47的解。

注意：1、不等式与方程的解的意义虽然非常类似，但它们的解的情况却有重大的区别。

一般地说，一元方程只有一个或几个解;而含有未知数的不等式，一般都有无数多个解。

例如：x+6=5只有一个解x=-1，在数轴上表示出来只是一个点，如图，而不等式x+65则有无数多个解-----大于-1的任何一个数都是它的解。

基本不等式公式大全基本不等式是数学中非常重要的概念，它在数学推导和解题过程中起着至关重要的作用。

本文将对基本不等式的相关公式进行全面的介绍和总结，希望能够对读者有所帮助。

1. 一元一次不等式。

一元一次不等式是最简单的不等式形式，一般表示为ax+b>0或ax+b<0，其中a和b为实数，且a≠0。

解一元一次不等式的关键在于求出不等式的解集，常用的方法有图解法和代入法。

2. 一元二次不等式。

一元二次不等式是一元二次方程不等式，一般表示为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0，其中a、b和c为实数，且a≠0。

解一元二次不等式的关键在于求出不等式的解集，常用的方法有配方法、图解法和代入法。

3. 绝对值不等式。

绝对值不等式是含有绝对值符号的不等式，一般表示为|ax+b|>c或|ax+b|<c，其中a、b和c为实数，且a≠0。

解绝对值不等式的关键在于将绝对值不等式转化为对应的复合不等式，并求出不等式的解集。

4. 分式不等式。

分式不等式是含有分式的不等式，一般表示为f(x)>0或f(x)<0，其中f(x)为有理函数。

解分式不等式的关键在于求出不等式的定义域和分子分母的符号，然后根据符号表确定不等式的解集。

5. 复合不等式。

复合不等式是由多个不等式组合而成的不等式，一般表示为f(g(x))>0或f(g(x))<0，其中f(x)和g(x)为函数。

解复合不等式的关键在于将复合不等式转化为对应的简单不等式，并求出不等式的解集。

以上是关于基本不等式的相关公式和解题方法的介绍，希望能够对读者有所帮助。

在实际应用中，不等式是数学建模和优化问题中的重要工具，掌握不等式的相关知识对于解决实际问题具有重要意义。

希望读者能够通过学习和实践，更加熟练地运用不等式解决实际问题，提高数学解题能力。

八年级不等式知识点总结不等式是数学中一种非常重要的概念，它们在很多领域都有广泛应用。

在初中数学中，学生在八年级的时候就开始接触不等式。

本文将对八年级不等式知识点进行总结，为学生们提供详细的学习参考。

一、不等式的基本概念不等式是数学中用不等于号（≠，>, ≥，<，≤）表示的数学语句。

例如，a > b，表示a比b大。

在不等式中，我们可以把不等式的两边同时加上或者减去同一个数，两边同时乘以或者除以同一个正数，不等式的符号不会改变；但是如果两边同时乘以或者除以同一个负数，不等式的符号需要交换。

例如，对于不等式 a > b，我们可以同时加上一个数c，变成a+c > b+c；也可以同时乘以一个正数k，变成 ak > bk；但是不能同时乘以一个负数，否则不等式符号需要交换。

二、解不等式的方法解不等式是初中数学中不可或缺的一部分，学生们需要掌握一些常见的不等式解法。

1. 加减法原则如果不等式的两边都加上一个数，不等式的符号方向不会变化。

例如，对于不等式 2x-5 > 7，我们可以把等式两边都加上5，变成 2x > 12。

因为2是正数，所以不等式的方向没有改变。

最终解为x > 6。

2. 乘除法原则如果不等式的两边同时乘以或者除以一个正数，不等式的符号方向不会变化；但是如果同时乘以或者除以一个负数，不等式的符号需要交换。

例如，对于不等式 -3x < 9，我们可以把等式两边同时除以-3，同时不等式符号需要交换，变成 x > -3。

最终解为x > -3。

3. 求绝对值法当不等式中出现绝对值符号时，我们需要讨论绝对值中的数字的正负性，然后转化为两个不等式。

例如，对于不等式 |x-3| < 4，我们需要分别考虑x-3的正负，得到 x-3 < 4 和 x-3 > -4。

解得-1 < x < 7。

最终解为-1 < x < 7。

初中八年级数学公式整理考试如此多焦，无数考生尽通宵，唐宗宋祖，不得不抄。

一代天骄，成吉思汗，只把白卷交。

批完乎，数风流人物，全部重考!下面是小编给大家带来的初中八年级数学公式，欢迎大家阅读参考，我们一起来看看吧!初中八年级数学公式：方程不等式公式1、方程与方程组一元一次方程：在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。

等式两边同时加上或减去或乘以或除以(不为0)一个代数式，所得结果仍是等式。

解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。

二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。

二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。

适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。

解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。

一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程1)一元二次方程的二次函数的关系大家已经学过二次函数(即抛物线)了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了。

那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X轴的交点。

也就是该方程的解了2)一元二次方程的解法大家知道，二次函数有顶点式(-b/2a,4ac-b2/4a)，这大家要记住，很重要，因为在上面已经说过了，一元二次方程也是二次函数的一部分，所以他也有自己的一个解法，利用他可以求出所有的一元一次方程的解(1)配方法利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解(2)分解因式法提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。

在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解(3)公式法这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a，X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a3)解一元二次方程的步骤：(1)配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式(2)分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法(这里指的是分解因式中的公式法)或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式(3)公式法就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c4)韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。

八年级下册数学总结第一章一元一次不等式和一元一次不等式组一．不等关系1. 用符号“<”（或“≤”），“>”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。

2. 非负数=大于等于0=0和正数=不小于0非正数=小于等于0=0和负数=不大于0二．不等式基本性质1．不等式的两边加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变，即，如果a>b，那么a+c>b+c, a-c>b-c.2．不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即，如果a>b，并且c>0，那么ac>bc， .3．不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即，如果a>b，并且c<0，那么ac<bc， .三．不等式的解集1．能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解；一个不等式的所有解，组成这个不等式的解集；求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

2．不等式的解可以有无数多个，一般是在某个范围内的所有数，与方程的解不同。

3．不等式的解集在数轴上的表示：用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向。

边界：有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈；方向：大向右，小向左。

四．一元一次不等式1．只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数为1，像这样的不等式叫做一元一次不等式。

2．解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似，特别注意，当不等式两边都乘以或除以一个负数时，不等式方向改变。

3．解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1（不等式的改变问题）4．一元一次不等式基本情形为ax>b（或ax<b）①当a>0时，解为x> ;②当a=0时，且b<0，则x取一切实数；当a=0，且b≥时，则无解；③当a<0时，解为x< 。

5．不等式应用①审：认真审题，找出题中的不等式关系，要抓住题中的关键字眼，如“大于”，“小于”，“不大于”，“不小于”；②设：设出适当的未知数；③列：根据题中的不等式关系。

初中数学知识点归纳总结一元一次方程1.概念：含有一个未知数，未知数的最高次数为1，这样的方程叫一元一次方程。

2.形式：ax + b = 0（a、b是常数，且a≠0）3.解法：移项、合并同类项、化简系数二元一次方程1.概念：含有两个未知数，未知数的最高次数为1，这样的方程叫二元一次方程。

2.形式：ax + by = c（a、b、c是常数，且a、b≠0）3.解法：消元法、代入法、行列式法一元一次不等式1.概念：含有一个未知数，未知数的最高次数为1，这样的不等式叫一元一次不等式。

2.形式：ax > b（a、b是常数，且a≠0）3.解法：同解一元一次方程，注意不等号的方向4.概念：分式是指形如a/b的表达式，其中a、b是整式，且b≠0。

5.性质：分式的分子、分母同时乘以（或除以）同一个非零整式，分式的值不变。

6.运算：加减乘除、分式的乘方点、线、面1.点：没有长度、宽度、高度的物体。

2.线：只有长度，没有宽度、高度的物体。

3.面：只有长度和宽度，没有高度的物体。

直线方程1.点斜式：y - y1 = k(x - x1)（k是直线的斜率，(x1, y1)是直线上的一点）2.截距式：y = kx + b（k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距）三角形1.概念：由三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫三角形。

2.性质：三角形的内角和为180°，三角形的对边相等。

3.分类：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形四边形1.概念：由四条线段首尾顺次连接所组成的图形叫四边形。

2.性质：四边形的内角和为360°，四边形的对边相等。

3.分类：矩形、平行四边形、梯形、菱形4.概念：平面上到一个固定点距离相等的所有点的集合叫圆。

5.性质：圆的半径相等，圆心到圆上任意一点的距离相等。

6.公式：圆的周长C = 2πr，圆的面积S = πr²概率与统计1.概念：事件发生的可能性叫概率。

2.求法：列举法、树状图法、列表法3.概念：统计学是研究数据收集、处理、分析、解释的科学。

北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习一元一次不等式组（基础）知识讲解【学习目标】1.理解不等式组的概念；2.会解一元一次不等式组，并会利用数轴正确表示出解集；3.会利用不等式组解决较为复杂的实际问题，感受不等式组在实际生活中的作用．【要点梳理】要点一、不等式组的概念定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如2562010xx->⎧⎨-<⎩，7021163159xxx->⎧⎪+>⎨⎪+<⎩等都是一元一次不等式组．要点诠释：(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．要点二、解一元一次不等式组1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．要点诠释：(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．2.一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组的方法步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．要点三、一元一次不等式组的应用列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．要点诠释：(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数．【典型例题】类型一、不等式组的概念1．某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边为x ，请你根据题意写出x 必须满足的不等式．【思路点拨】由题意知，x 必须满足两个条件①面积大于48平方米．②周长小于34米．故必须构建不等式组来体现其不等关系．【答案与解析】解：依题意得：8482(8)34.x x >⎧⎨+<⎩【总结升华】建立不等式组的条件是：当感知所求的量同时满足几个不等关系时，要建立不等式组，建立不等式组的意义与建立方程组的意义类似．举一反三：【变式】直接写出解集：(1)2,3x x >⎧⎨>-⎩的解集是______； (2)2,3x x <⎧⎨<-⎩的解集是______； (3)2,3x x <⎧⎨>-⎩的解集是_______；(4)2,3x x >⎧⎨<-⎩的解集是_______． 【答案】（1）2x >；（2）3x <-；（3）32x -<<；（4）空集．类型二、解一元一次不等式组2.（2016•莆田）解不等式组：． 【思路点拨】解不等式组时，要先分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后画数轴，找它们解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集．【答案与解析】 解：解：．由①得x ≤1；由②得x ＜4；所以原不等式组的解集为：x ≤1．【总结升华】确定一元一次不等式组解集的常用方法有两种：(1)数轴法：运用数轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每一个不等式的解集在数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集；如果没有公共部分，则这个不等式组无解，这种方法体现了数形结合的思想，既直观又明了，易于掌握．(2)口诀法：为了便于快速找出不等式组的解集，结合数轴将其总结为朗朗上口的四句口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找，大大小小无解了．举一反三： 【变式】解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】 解：，∵解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x ＞﹣2，∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤1．在数轴上表示不等式组的解集为：类型三、一元一次不等式组的应用3. “六·一”儿童节，学校组织部分少先队员去植树．学校领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有多少棵．【思路点拨】设有x 名学生，则由第一种植树法，知道一共有(4x +37)棵树； 第二种植树法中，前（x-1）名学生中共植6（x-1）棵树；最后一名学生植树的数量是：[(4x +37)- 6（x-1）]棵，这样，我们就探求到第一个不等量关系：最后一人有树植，说明第二种植树法中前（x-1）名学生植树的数量要比树木总数少，即(4x +37)＞6（x-1）；第二种植树法中，最后一名学生植树的数量不到3棵，也就是说[(4x +37)- 6（x-1）]＜3，或者理解为：[(3x +8)- 5（x-1）]≤2，这样，我们就又找到了第二个不等量关系式. 到此，不等式组即建立起来了，接下来就是解不等式组．【答案与解析】解：设有x 名学生，根据题意，得：4376114376132x x x x +>-⎧⎨+--<⎩（）（）（）（）（）， 不等式(1)的解集是：x ＜2121；不等式（2）的解集是：x ＞20，所以，不等式组的解集是：20＜x ＜2121，因为x 是整数，所以，x=21，4×21+37=121（棵）答：这批树苗共有121棵.【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系． 举一反三：【变式】一件商品的成本价是30元，若按原价的八八折销售，至少可获得10%的利润；若按原价的九折销售，可获得不足20%的利润，此商品原价在什么范围内？【答案】解：设这件商品原价为x 元，根据题意可得：88%303010%90%303020%x x ≥+⨯⎧⎨<+⨯⎩解得：37.540x ≤< 答：此商品的原价在37.5元（包括37.5元）至40元范围内．4. “全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案．【思路点拨】（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元，根据题意列出方程组解答即可；（2）根据学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，列出不等式组，解答即可．【答案与解析】解：（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元，可得：，解得：，答：每本文学名著和动漫书各为40元和18元； （2）设学校要求购买文学名著x 本，动漫书为（x+20）本，根据题意可得：，解得：，因为取整数，所以x 取26，27，28；方案一：文学名著26本，动漫书46本；方案二：文学名著27本，动漫书47本；方案三：文学名著28本，动漫书48本．【总结升华】此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组．举一反三：【变式】A 地果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆，将这批水果全部运往B 地. 已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝香蕉各2吨．（1）若要安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．（2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，那么选择哪种方案使运费最少？运费最少是多少？【答案】解：（1）设租甲种货车x 辆，则租乙种货车（10x -）辆，依题意得：42(10)302(10)13x x x x +-≥⎧⎨+-≥⎩，解得57x ≤≤， 又x 为整数，所以5x =或6或7，∴有三种方案：方案1：租甲种货车5辆，乙种货车5辆；方案2：租甲种货车6辆，乙种货车4辆；方案3：租甲种货车7辆，乙种货车3辆．（2）运输费用：方案1：2000×5＋1300×5＝16500（元）；方案2：2000×6＋1300×4＝17200（元）；方案3：2000×7＋1300×3＝17900（元）．∴方案1运费最少，应选方案1．。

一元一次不等式(组)一、不等式的概念（3分）1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。

3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。

4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

5、用数轴表示不等式的方法二、不等式基本性质（3~5分）1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。

②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立；三、一元一次不等式（6--8分）1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

2、解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1四、一元一次不等式组（8分）1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。

3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

5、一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

6、不等式与不等式组不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。

一元一次不等式知识点一：不等式的概念1. 不等式：用“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.要点诠释：(1)不等号的类型:①“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小；②“＞”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大；③“＜”读作“小于”，它表示左边的数比右边的数小；④“≥”读作“大于或等于”，它表示左边的数不小于右边的数；⑤“≤”读作“小于或等于”，它表示左边的数不大于右边的数；(2) 等式与不等式的关系：等式与不等式都用来表示现实世界中的数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系，但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。

(3) 要正确用不等式表示两个量的不等关系，就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。

2．不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

要点诠释：由不等式的解的定义可以知道，当对不等式中的未知数取一个数，若该数使不等式成立，则这个数就是不等式的一个解，我们可以和方程的解进行对比理解，要判断一个数是否为不等式的解，可将此数代入不等式的左边和右边利用不等式的概念进行判断。

3．不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

求不等式的解集的过程叫做解不等式。

如：不等式x－4＜1的解集是x＜5. 不等式的解集与不等式的解的区别:解集是能使不等式成立的未知数的取值范围,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知数的值.二者的关系是:解集包括解,所有的解组成了解集。

要点诠释：不等式的解集必须符合两个条件：(1)解集中的每一个数值都能使不等式成立；(2)能够使不等式成立的所有的数值都在解集中。

知识点二：不等式的基本性质基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。

一元一次不等式与一元一次不等式组是初中数学中的一个重要知识点，以下是该知识点的主要内容以及学习方法和应用：
一、定义：
1. 一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，可以用不等号连接的整式方程。

2. 一元一次不等式组：由几个一元一次不等式组成的方程组。

二、解题步骤：
1. 分别解每个不等式；
2. 找出解集的规律；
3. 画出数轴；
4. 根据数轴写出不等式组的解集。

三、注意事项：
1. 解不等式时要根据不等式的性质，不能丢三落四；
2. 解不等式组时要根据同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到的原则。

四、应用：
不等式与不等式组可以应用于日常生活、工程问题、经济问题等领域，帮助我们解决实际问题。

例如，在购物时我们可以用不等式比较不同商品的价格，或者在工程问题中用不等式表示某些量的范围等。

五、练习方法：
1. 课本例题练习：通过解决课本例题来加深对一元一次不等式与一元一次不等式组的理解；
2. 课后习题练习：通过解决课后习题来巩固知识点；
3. 自测练习：自己出题并解答，以加深对知识点的掌握；
4. 专题练习：针对某一知识点进行专题练习，以加深对该知识点的理解和掌握。

六、总结：
一元一次不等式与一元一次不等式组是初中数学中的重要知识点，需要我们通过多练习来加深对知识点的理解和掌握。

同时，我们也要学会在实际问题中应
用这些知识点，以增强我们的数学应用能力。

八年级数学下册各章知识要点总结第一章一元一次不等式和一元一次不等式组一、一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。

1、能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.2、不等式的解不唯一，把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集.3、求不等式解集的过程叫解不等式.4、由几个一元一次不等式组所组成的不等式组叫做一元一次不等式组5、不等式组的解集 :一元一次不等式组各个不等式的解集的公共部分。

6、等式基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式.基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0)，所得的结果仍是等式.二、不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.（注：移项要变号，但不等号不变。

）性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.不等式的基本性质<1>、若a>b, 则a±c>b±c；<2>、若a>b, c>0 则ac>bc，若c<0, 则ac<bc不等式的其他性质：反射性：若a>b,则b<a; 传递性:若a>b,且b>c,则a>c三、解不等式的步骤: 1、去分母; 2、去括号; 3、移项、合并同类项; 4、系数化为1。

四、解不等式组的步骤:1、解出不等式的解集。

2、在同一数轴表示不等式的解集。

3、写出不等式组的解集。

五、列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤：（1）审题；（2）设未知数，找（不等量）关系式；（3）设元，(根据不等量)关系式列不等式(组) （4）解不等式组；检验并作答。

六、常考题型：1、求4x-6<7x-12的非负数解.2、已知3(x-a)=x-a+1的解适合2(x-5) < 8a,求a的范围.3、当m取何值时，3x+m-2(m+2)=3m+x的解在-5和5之间。