2020届广东省广州市高三12月调研测试数学理试题

2020届高中毕业班调研测试题理科数学一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1、21ii ++＝ A ．3122i - B ．1322i - C ．32i - D 、112i -2．已知集合A ＝｛x ｜x 2＋2x 一3＞0｝，B ＝｛x ｜0＜x ≤4｝，则A ∩B ＝ A ．｛x ｜一3＜x ≤4｝ B ．｛x ｜1＜x ≤4｝ C ．｛x ｜一3＜x ＜0或1＜x ≤4｝ D ．｛x ｜一3＜x ＜一1或1＜x ≤4｝ 3．已知抛物线C ：y ＝3 x 2，则焦点到准线的距离是 A ．16 B ．32 C ．3 D ．134．设3log 5a =，4log 5b =，132c -=，则A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．a ＞c ＞b5．某学校组织高一和高二两个年级的同学，开展“学雷锋敬老爱老”志愿服务活动，利用暑期到敬老院进行打扫卫生、表演文艺节目、倾听老人的嘱咐和教诲等一系列活动．现有来自高一年级的4名同学，其中男生2名、女生2名；高二年级的5名同学，其中男生3名、女生2名．现从这9名同学中随机选择4名打扫卫生，则选出的4名同学中恰有2名男生，且这2名男生来自同一个 年级的概率是6．函数的部分图象大致是7．《九章算术》是我国最重要的数学典籍，曾被列为对数学发展形响最大的七部世界名著之一。

其中的“竹九节”问题，题意是：有一根竹子，共九节，各节的容积依次成等差数列·已知较粗的下3节共容4升，较瘦的上4节共容3升．根据上述条件，请问各节容积的总和是A 、20122 B 、21122 C 、60166 D 、611668．已知62(1)(1)a x x++的展开式中各项系数的和为128，则该展开式中2x 的系数为A ．15B ．20C ．30D ．359．在以BC 为斜边的直角△ABC 中，AB ＝2，2BE EC =u u u r u u u r ，则AB AE u u u r u u u rg ＝A 、3B 、73 C 、83D 、2 10·在长方体ABCD 一A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，点E 为棱BB 1上的点，且BE ＝2EB 1，则异面直线DE 与A 1B 1所成角的正弦值为 A 、52 B 、63 C 、64 D 、7311．将函数g （x ）＝cos2x 一sin 2x 图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再把所得各 点向右平移6π个单位长度，最后把所得各点纵坐标扩大到原来的2倍，就得到函数()f x 的图象，则下列说法中正确的个数是 ①函数()f x 的最小正周期为2π ②函数()f x 的最大值为2， ③函数()f x 图象的对称轴方程为．④设12,x x 为方程()f x 的两个不相等的根，则12||x x -的最小值为4πA ．1·B ．2C ．3D ．412．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：22126x y -=的左、右焦点，过F 2的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点（其中点A 在第一象限）．设点H ，G 分别为△AF 1F 2，△BF 1F 2的内心，则｜HG ｜的取值范围是二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线32()21f x x x =-++在点（1，f （l ））处的切线方程为14．在产品质量检测中，已知某产品的一项质量指标X N （100，100），且110＜X ＜120的产品数量为5 436件．请估计该批次检测的产品数量是 件。

绝密★启用前2020届广州市高三年级调研测试文科数学2019.12本试卷共5页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号、并将试卷类型（A ）填图在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须卸载答题卡各题目制定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔盒涂改液，不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.已知复数z=i 435 ，则复数z 的虚部为（）A.4iB.C.54iD.542.设集合A={x|x 2−2x−3}≤0，B={x|y=ln(2−x)}，则A ∩B=（）A.[−3,2)B.(2,3]C.[−1,2)D.(−1,2)3.如图所示的风车图案中，黑色部分和白色部分分别由全等的等腰直角三角形构成，在图案内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A.41 B.3 C.32 D.434.命题“∀x>0,lnx ≥1−x 1”的否定是（）A.∃x ≤0，lnx ≥1−x 1 B.∃x ≤0，lnx<1−x 1C.∃x>0，lnx ≥1−x 1 D.∃x>0，lnx<1−x15.设a ，b 是单位向量，a 与b 的夹角是60°，则c =a +3b 的模为（）A.13B.13C.16D.46.已知实数x ，y 满足，则z=x−3y 的最小值为（）A.−7B.−6C.1D.67.已知点(m,8)在幂函数f(x)=(m−1)x n 的图像上，设a=f(33)，b=f(lnπ)，c=f(22)，则a,b,c 的大小关系为（）A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.a<c<b8.已知F 为双曲线C:12222=-by a x 的右焦点，过点F 作C 的渐近线的垂线FD ，垂足为D ，且满足|FD|=|OF|（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（）A.332 B.2 C.3 D.3109函数f(x ）=x x e e x x -+-|2|ln 的图象大致为（）10.已知函数f(x)=sin(2x+ϕ)0<ϕ<2π，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到的函数的图象关于y 轴对称，则下列说法错误的是（）A.f(x)在（-32π，2π）上单调递减B.f(x)在（0,3π）上单调递增C.f(x)的图象关于（125π,0）对称 D.f(x)的图象关于x=−3π对称11.已知三棱锥P−ABC 中，PA=1，PB=7，AB=22，CA=CB=5，面PAB ⊥面ABC ，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A.920π B.1225π C.325π D.35π12.已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足122log ,02)12(+==---n a n n n n n b S S ，若[x]表示不超过x 的最大正数，则2021202032212020....20202020b b b b b b +++=（）A.2018B.2019C.2020D.2021二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知抛物线x 2=2py(p>0)的焦点与椭圆=1的一个焦点重合，则p=__________.14.设数列{a}为等比数列，若2a ，4a ，8a 成等差数列，则等比数列{a}的公比为__________.15.奇函数f(x)=x (x xe a e +)（其中e 为的底数）在x=0处的切线方程为__________.16.已知正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 为CC 1的中点，若AM ⊥平面α，且B ∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为__________.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）在∆ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知csin(A+3π)−asinC=0.（1）求角A 的值；（2）若∆ABC 的面积为3，周长为6，求a 的值.18．（本小题满分12分）随着手机的发展，“微信”逐渐成为人们交流的一中形式，某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频率分布及“使用微信交流”赞成人数如下表.年龄（岁）[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)频数510151055赞成人数51012721（1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关：年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计赞成不赞成合计（2）若从年龄在[55,65)的被调查人中随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率.附：19．（本小题满分12分）如图，已知四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC=60，平面AEFC ⊥平面ABCD ，EF AC ，且AE=1，AC=2EF.（1）求证：平面BED ⊥平面AEFC ；（2）若四边形AEFC 为直角梯形，且EA ⊥AC ，求点A 到平面FCD 的距离.20.（本小题满分12分）已知椭圆C:13222=+y ax (a>0)的右焦点F 到左顶点的距离为3（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，过F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A,B 不在x 轴上），若OB OA OE +=延长AO 交椭圆于点G ，求四边形AGBE 的面积S 的最大值.21.（本小题满分12分）已知a ≥1，函数f(x)=xlnx−ax+1+a(x−1)2.（1）若a=1，求f(x)的单调区间；（2）讨论f(x)的零点个数.（二）选考题：共10分。

2020届广东省高三调研（12月）考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|4}A x x =<，{}2|50B x x x =-≤，则A B =（ ）A ．{|04}x x ≤<B ．{|5}x x ≤C ．{|04}x x <<D ．{|0}x x ≤【答案】A【解析】先分别求出集合A 和B ，由此能求出A ∩B ． 【详解】因为{|4}A x x =<，{|05}B x x =≤≤，所以{|04}A B x x ⋂=≤<. 故选：A 【点睛】本题考查两个集合的交集的求法，考查二次不等式解法及交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．函数()38x f x =-的零点为（ ） A ．83B ．33log 2C ．38D ．8log 3【答案】B【解析】由函数零点与方程的根的关系，解方程3x﹣8＝0，即可得解． 【详解】由()0f x =，得38x =，即33log 83log 2x ==. 故选：B 【点睛】本题考查了函数零点与方程的根的关系，考查指对互化及对数运算，属简单题． 3．若复数12zi+的虚部为-1，则z 可能为（ ） A ．16i -- B ．16i -+C ．13i -D ．13i +【答案】C 【解析】设()12za i a i=-∈+R ，利用复数代数形式的乘除运算化简得a 值可得答案 【详解】 依题意可设()12za i a i=-∈+R ，则2(21)z a a i =++-.当21a +=-时，a-=-，217a+=时，213a-=-；当21故选：C.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4．为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况，如三维饼图（2）所示.对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论不正确的是（）A．他们健身后，体重在区间(90kg,100kg)内的人增加了2个B．他们健身后，体重在区间[100kg,110kg)内的人数没有改变C．他们健身后，20人的平均体重大约减少了8 kgD．他们健身后，原来体重在区间[110kg,120kg)内的肥胖者体重都有减少【答案】C【解析】利用饼状图逐项分析即可求解【详解】体重在区间[90kg,100kg)内的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人.故人增加了2个，故A正确；他们健身后，体重在区间[100kg,110kg)内的百分比没有变，所以人数没有变，故B 正确；他们健身后，20人的平均体重大约减少了⨯+⨯+⨯-⨯+⨯+⨯=；因为图（2）(0.3950.51050.2115)(0.1850.4950.5105)5kg中没有体重在区间[110kg,120kg)内的比例，所以原来体重在区间[110kg,120kg)内的肥胖者体重都有减少，故D正确故选：C【点睛】本题考查识图能力，考查统计知识，准确理解图形是关键，是基础题 5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．115πB ．140πC ．165πD ．215π【答案】A【解析】由三视图可知，直观图是由半个球与一个圆锥拼接，即可求出表面积． 【详解】由三视图可知，该几何体由半个球与一个圆锥拼接而成，所以该几何体的表面积251325115S πππ=⨯⨯+⨯=.故选：A 【点睛】本题考查三视图，考查表面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 6．最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，我国的（九章算术也有记载，所以，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理.现有ABC ∆满足“勾3股4弦5”.其中4AB =.D 为弦BC 上一点（不含端点），且ABD ∆满足勾股定理.则AB AD ⋅=（ ）A ．25144B ．25169C ．16925D ．14425【答案】D【解析】先由等面积得AD ，利用向量几何意义求解即可 【详解】由等面积法可得341255AD ⨯==，依题意可得，AD BC ⊥，则AB 在AD 上的投影为||AD ，所以2144||25AB AD AD ⋅==. 故选：D【点睛】本题考查向量的数量积，重点考查向量数量积的几何意义，是基础题 7．已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ）A ．,5()4k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z B ．,5()48k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z C ．,4()5k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z 【答案】B【解析】由值域为[5,3]-确定,a b 的值，得()5cos4g x x =--，利用对称中心列方程求解即可 【详解】因为()[,2]f x b a b ∈+，又依题意知()f x 的值域为[5,3]-，所以23a b += 得4a =，5b =-，所以()5cos4g x x =--，令4()2x k k ππ=+∈Z ，得()48k x k ππ=+∈Z ，则()g x 的图象的对称中心为,5()48k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭Z . 故选：B 【点睛】本题考查三角函数 的图像及性质，考查函数的对称中心，重点考查值域的求解，易错点是对称中心纵坐标错写为08．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且54S =，1010S =，则15S =（ ） A ．16 B ．19C ．20D ．25【答案】B【解析】利用5S ，105S S -，1510S S -成等比数列求解 【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，所以5S ，105S S -，1510S S -成等比数列，因为54S =，1010S =，所以1056S S -=，15109S S -=，故1510919S =+=.故选：B 【点睛】本题考查等比数列前n 项性质，熟记性质是关键，是基础题9．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是（ ） A ．[1,)-+∞ B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-【答案】A【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a 的范围即可． 【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为z ax y =+的最大值为26a +，所以z ax y =+在点(2,6)A 处取得最大值，则1a -≤，即1a ≥-.故选：A【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．10．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且0FA FB +=，若以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ） ABC ．2D【答案】C【解析】由0FA FB +=得F 是弦AB 的中点.进而得AB 垂直于x 轴，得2b ac a=+，再结合,,a b c 关系求解即可【详解】因为0FA FB +=，所以F 是弦AB 的中点.且AB 垂直于x 轴.因为以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，所以2b a c a =+，即22c a a c a-=+，则c a a -=，故2c e a ==. 故选：C 【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题． 11．已知函数()32cos f x x x =+，()()2()15xxg x e e=--，若1(,0]x ∀∈-∞，2x ∀∈R ，()()12f x a g x +≤，则a 的取值范围是（ ）A ．(,2]-∞-B ．40,27⎛⎤-∞-⎥⎝⎦C ．(,3]-∞-D ．,2794⎛⎤-∞-⎥⎝⎦【答案】D【解析】求导，确定max ()(0)2f x f ==，换元，构造函数求出()()2()15x xg x e e =--的最小值，列不等式求解a 即可 【详解】因为()32sin 0f x x '=->，所以()f x 在(,0]-∞上为增函数，所以max ()(0)2f x f ==.令(0)x t e t =>，()2()(1)5h t t t =--，()(1)(35)h t t t '=+-.当503t <<时，()0h t '<；当53t >时，()0h t '>.所以min 552540()1533927h t h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而max 40()27g x =-.依题意可得40227a +≤-，即9427a ≤-. 故选：D 【点睛】本题考查函数最值的求解，考查换元法的应用，着重考查导数的应用，是中档题，注意最值的转化.12．在三棱锥P ABC -中，5AB BC ==，6AC =，P 在底面ABC 内的射影D 位于直线AC 上，且2AD CD =，4PD =.设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球Q 的球面上，则球Q 的半径为（ ）A ．8B ．6C ．8D ．6【答案】A【解析】设AC 的中点为O 先求出ABC ∆外接圆的半径，设QM a =，利用QM ⊥平面ABC ，得QM PD ∥ ，在MBQ ∆ 及DMQ ∆中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可 【详解】设AC 的中点为O,因为AB BC =，所以ABC ∆外接圆的圆心M 在BO 上.设此圆的半径为r .因为4BO =，所以222(4)3r r -+=，解得258r =.因为321OD OC CD =-=-=，所以8DM ==. 设QM a =，易知QM ⊥平面ABC ，则QM PD ∥.因为QP QB ==即22113625(4)6464a a -+=+，解得1a =.所以球Q 的半径R QB ===. 故选：A【点睛】本题考查球的组合体，考查空间想象能力，考查计算求解能力，是中档题二、填空题13．若抛物线28x y =上的点P 到焦点的距离为8，则P 到x 轴的距离是________. 【答案】6【解析】由抛物线的焦半径公式得则()00,P x y 的坐标，则到x 轴的距离可求．【详解】设点()00,P x y ，则028y +=，即06y =，即P 到x 轴的距离是6. 故答案为：6 【点睛】本题考查抛物线的标准方程，着重考查抛物线定义的应用，是基础题．14．某中学音乐社共有9人，其中高一的同学有4人，高二的同学有3人，高三的同学有2人.他们排成一排合影，则同年级的同学都排在一起的概率为________. 【答案】1210【解析】用捆绑法分析，视三个班为三个元素，再分析高一、高二、高三三个元素的之间的排法数目，进而由分步计数原理计算可得答案． 【详解】由捆绑法可得所求概率23432339941210A A A A P A ==. 故答案为：1210【点睛】本题考查排列、组合的运用及古典概型，涉及分步计数原理的应用，本题实际是相邻问题，可用捆绑法分析求解．15．已知函数2()log )f x x =，则不等式(1)(2)0f x f x ++>的解集为________.【答案】1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】证明()f x 为奇函数，并确定为增函数，去掉函数符号f 列不等式求解 【详解】由题2()log )f x x =定义域为R,2()log )()f x x f x -==-故()f x 为奇函数，则(1)(2)0f x f x ++>等价于(1)(2)f x f x +>-，又()f x 为增函数，所以12x x +>-，解得1,3x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键． 16．在数列{}n a 中，13a =，且()()12(1)22n n n a n a n +-=++- （1）{}n a 的通项公式为________； （2）在1a ，2a ，3a ，，2019a 这2019项中，被10除余2的项数为________.【答案】222n a n n =-+ 403【解析】（1）等式两边同除()1n n +构造数列为等差数列即可求出通项公式； （2）利用通项公式及被10除余2 的数的特点即可求解 【详解】（1）因为()()12(1)22n n n a n a n +-=++-，所以122221n n n a a n a n n n+-+--==+ 2+，即12221n n a a n n +---=+，则2n a n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列且首项为1，差为2，所以212(1)n a n n-=+- 21n =-，故222n a n n =-+（2）因为(21)2n n n a =-+，所以当n 能被10整除或n 为偶数且21n -能被5整除时，n a 被10除余2，所以8,10,18,20,,2010,2018n =，故被10除余2的项数为201014035+=. 故答案为：222n a n n =-+；403【点睛】本题考查数列的通项，考查构造法，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题17．如图.四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是直角梯形，BC AD ∥，AB AD ⊥，22AD BC ==，四边形11ABB A 和11ADD A 均为正方形.（1）证明；平面11ABB A ⊥平面ABCD ；（2）求二面角1B CD A --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）证明1AA ⊥平面ABCD ，再利用面面垂直判定定理证明（2）由（1）知1AA ，AB ，AD 两两互相垂直，故以A 为坐标原点，AB ，A D ，1AA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建系，求出两个半平面的法向量，再利用二面角的向量公式求解即可 【详解】（1）证明：因为四边形11ABB A 和11ADD A 均为正方形，所以1AA AD ⊥，1AA AB ⊥. 又AD AB A ⋂=，所以1AA ⊥平面ABCD .因为1AA ⊂平面11ABB A ，所以平面11ABB A ⊥平面ABCD .（2）（法—）由（1）知1AA ，AB ，AD 两两互相垂直，故以A 为坐标原点，AB ，A D ，1AA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，1(2,0,2)B ，(2,1,0)C ，(0,2,0)D ，则(2,1,0)CD =-，1(0,1,2)CB =-.设(,,)m a b c =为平面1B CD 的法向量，则120,20,m CD a b m CB b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令1a =，则2b =，1c =，所以(1,2,1)m =.又因为1AA ⊥平面ABCD ，所以1(0,0,2)AA =为平面ABCD 的一个法向量.所以1cos ,6m AA 〈〉==因为二面角1B CD A --是锐角.所以二面角1B CD A --的余弦值为6（法二）过B 作BH CD ⊥于H ，连接1B H .由（1）知1BB ⊥平面ABCD ，则1BB CD ⊥， 而1BHBB B =，所以CD ⊥平面1BB H所以1B H CD ⊥从而1BHB ∠为二面角1B CD A --的平面角.12=⨯，即BH =.所以1B H ==故11cos 6BH BHB B H ∠==. 【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．18．设函数23()cos sin 2f x x x x =+-，a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边.已知()0f A =，2b =. （1）若a =B ； （2）若2a c =，求ABC ∆的面积. 【答案】(1) 6B π=. (2)【解析】（1）运用二倍角正余弦公式和辅助角公式，化简f （x ），并求得3A π=，再利用正弦定理求得1sin 2B =，可得结论；（2）由三角形的余弦定理得c =结合面积公式，求得b ，c 的关系，即可得到所求三角形的周长． 【详解】 （1）1cos23()2sin 212226x f x x x π-⎛⎫=+-=-- ⎪⎝⎭， 因为()0f A =，所以262A ππ-=，即3A π=.因为sin sin a b A B=，所以sin 1sin 2b A B a ==， 因为(0,)B π∈，所以6B π=或56π， 又b a <，所以6B π=.（2）由余弦定理，可得222(2)222cos3c c c π=+-⨯⨯，即23240c c +-=，解得c =（负根舍去），故ABC ∆的面积为11sin 2sin 223bc A π=⨯=【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，正弦函数的图形和性质，考查解三角形的余弦定理和面积公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19．某省新课改后某校为预测2020届高三毕业班的本科上线情况，从该校上一届高三（1）班到高三（5）班随机抽取50人，得到各班抽取的人数和其中本科上线人数，并将抽取数据制成下面的条形统计图.（1）根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率.（2）已知该省甲市2020届高考考生人数为4万，假设以（1）中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率.（i ）若从甲市随机抽取10名高三学生，求恰有8名学生达到本科线的概率（结果精确到0.01）；（ii ）已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万，假设该市每个考生本科上线率均为(01)p p <<，若2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，求p 的取值范围.可能用到的参考数据：取40.360.0168=，40.160.0007=. 【答案】(1)60%；(2) （i ）0.12 （ii ） 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】（1）利用上线人数除以总人数求解；（2）（i ）利用二项分布求解；（ii ）甲、乙两市上线人数分别记为X ，Y ，得~(40000,0.6)X B ，~(36000,)Y B p .，利用期望公式列不等式求解【详解】（1）估计本科上线率为4678560%50++++=.（2）（i ）记“恰有8名学生达到本科线”为事件A ，由图可知，甲市每个考生本科上线的概率为0.6，则882241010()0.6(10.6)0.360.16450.01680.160.12P A C C =⨯⨯-=⨯⨯=⨯⨯≈.（ii ）甲、乙两市2020届高考本科上线人数分别记为X ，Y ， 依题意，可得~(40000,0.6)X B ，~(36000,)Y B p . 因为2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市， 所以EY EX ≥，即36000400000.6p ≥⨯， 解得23p ≥， 又01p <<，故p 的取值范围为2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查二项分布的综合应用，考查计算求解能力，注意二项分布与超几何分布是易混淆的知识点.20．已知圆22260x y ++-=的圆心为1F ，直线l 过点2F 且与x 轴不重合，l 交圆1F 于C ，D 两点，过2F 作1F C 的平行线，交1F D 于点E .设点E 的轨迹为Ω. （1）求Ω的方程；（2）直线1l 与Ω相切于点M ，1l 与两坐标轴的交点为A 与B ，直线2l 经过点M 且与1l 垂直，2l 与Ω的另一个交点为N ，当||AB 取得最小值时，求ABN ∆的面积.【答案】(1) 221(0)82x y y +=≠ (2) 【解析】（1）根据三角形相似得到DE BEAD AC=，得到AE +DE ＝4，再利用椭圆定义求解即可（2）设1l 的方程为(0)y kx m k =+≠，与椭圆联立，由直线1l 与Ω相切得2282m k =+，由1l 在x 轴、y 轴上的截距分别为mk-，m ，得||AB 表达式，结合基本不等式求得M 坐标及2l ，进而得||MN ，则面积可求 【详解】（1）因为12FC EF ∥，所以12FCD EF D ∠=∠. 又11=F C F D ，所以11FCD F DC ∠=∠，则22EDF EF D ∠=∠， 所以2||ED EF =，从而2111||EF EF ED EF DF +=+=.22260x y ++-=化为22(32y x y ++=，所以21EF EF +==>从而E的轨迹为以1(F，2F为焦点，长轴长为右顶点）.所以Ω的方程为221(0)82x y y +=≠.（2）易知1l 的斜率存在，所以可设1l 的方程为(0)y kx m k =+≠，联立22,1,82y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()222148480k x kmx m +++-=.因为直线l 与Ω相切,所以()()222(8)414480km k m∆=-+-=，即2282m k =+.1l 在x 轴、y 轴上的截距分别为mk-，m ，则||AB ====≥= 当且仅当2228k k =，即2k =±时取等号. 所以当212k =时，||AB 取得最小值，此时26m =，根据对称性.不妨取2k =，m=282143M km x k =-=-+，即3M x =-323M y =-⨯+=.联立22,1,82y x x y ⎧=+⎪⎪⎭⎨⎪+=⎪⎩消去y，得29160x ++=，则39M N N x x x +=-+=-，解得9N x =-，所以8||3M N MN x =-=，故ABN ∆的面积为1823⨯⨯=【点睛】本题考查了椭圆定义求轨迹方程，考查直线和椭圆的关系，考查基本不等式求最值，确定取得最值时直线方程是关键，属于压轴题．21．已知函数2()ln f x bx a x =+的图象在点(1,(1))f 处的切线的斜率为2a +. （1）讨论()f x 的单调性； （2）当02e a <≤时，证明：222()x f x x e x-<+. 【答案】(1) 见解析 (2)证明见解析【解析】（1）先求导，求出1b =，再分类讨论当0a ≥和0a <时导数的符号变化，即可得出单调性；（2）原不等式即证明22max minln 2x a x e x x -⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，构造函数ln ()02a x e g x a x ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭和222()(0)x e h x x x-=>，分别求导确定最大值和最小值即可证明【详解】（1）()2a f x bx x'=+，则(1)22f b a a '=+=+， 解得1b =，22()2(0)a x af x x x x x'+=+=>.当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增. 当0a <时，令()0f x '>，得x >()0f x '<，得0x <<. 所以()f x在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，在⎛ ⎝上单调递减.（2）证明：要证222()x f x x e x -<+，只要证22ln 2x a x e x x-<.令ln ()02a x e g x a x ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭，则2(1ln )()a x g x x'-=， 当()0g x '>时，得0x e <<；当()0g x '<时，得x e >. 所以max ()()ag x g e e==， 令222()(0)x e h x x x -=>，则232(2)()x e x h x x-'-=. 当()0h x '>时，得2x >，当()0h x '<时，得02x << 所以min 1()(2)2h x h == 因为e02a <≤，所以max 1()2a g x e =≤， 又2e ≠，所以22ln 2x a x e x x-<，222()x f x x e x -<+得证.【点睛】本题考查了导数和函数的单调性和最值的关系，需要分类讨论，考查不等式证明，通常拆分为两个基本函数求最值是常用方法，属于难题．22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1222x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），曲线C 的参数方程为3cos 33sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）已知点P 的极坐标为(2,)π，l 与曲线C 交于,A B两点，求2.【答案】（1）6sin ρθ=；（2）6+.【解析】（1）利用消参数将参数方程化成普通方程，再利用公式cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩化成极坐标方程；（2）将点P 的极坐标化为直角坐标，得点P 为直线参数方程所过的定点，再利用参数的几何意义进行求解. 【详解】解：（1）曲线C 的直角坐标方程为22(3)9x y +-=，即226x y y +=，因为cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩所以26sin ρρθ=，即6sin ρθ=，故曲线C 的极坐标方程为6sin ρθ=.（2）将12,22x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(3)9x y +-=，得2(240t t -++=.设A 、B 两点对应的参数分别为1t ，2t，则122t t +=+124t t =.因为点P 的极坐标为(2,)π，所以点P 的直角坐标为(2,0)-，所以212||||6PA PB t t +=++=++=+.【点睛】本题考查曲线的参数方程、普通方程、极坐标方程的互化、直线参数方程参数的几何意义，考查转化与化归思想的应用，求解是要注意利用直线的参数的几何意义解题时，要保证参数方程为标准形式.23．已知函数()7 1.f x x x =-++ （1）求不等式2()10x f x <<的解集；（2）设[]x 表示不大于x 的最大整数，若[()]9f x ≤对[,9]x a a ∈+恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）(2,4)-；（2）(2,1)--.【解析】（1）将函数()f x 的绝对值去掉等价于62,1,()8,17,26,7,x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩再分别解不等式并取交集；（2）利用取整函数的定义，将不等式[()]9f x ≤转化为()10f x <，再利用（1）的结论进行求解. 【详解】（1）62,1,()8,17,26,7,x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩由()2f x x >得：1,622,x x x <-⎧⎨->⎩或17,82,x x -≤≤⎧⎨>⎩或7,262,x x x >⎧⎨->⎩解得：4x <；由()10f x <，1,6210,x x <-⎧⎨-<⎩或17,810,x -≤≤⎧⎨<⎩或7,2610,x x >⎧⎨-<⎩解得：28x -<<.故不等式2()10 x f x <<的解集为：(2,4)-. （2）依题意可得[()]9f x ≤等价于()10f x <， 由（1）知[()]9f x ≤的解集为(2,8)-. 因为[()]9f x ≤对[,9]x a a ∈+恒成立，所以[,9](2,8)a a +⊆-，所以2,98,a a >-⎧⎨+<⎩解得21a -<<-，所以a 的取值范围为(2,1)--. 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、取整函数的应用，考查分类讨论思想和数形结合思想的应用，第（2）问取整函数不等式的等价转化是求解问题的关键.。

广州市2020届高三年级调研测试数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二．填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．11．3 13．8π 14．1 15．⎡⎢⎣⎦ 三．解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分） 解：（1）在△ABC 中，A B C ++=π．………………………………………………………………1分所以coscos 22A C Bπ+-= …………………………………………………………………………2分sin2B ==．………………………………………………………………………3分所以2cos 12sin 2BB =- …………………………………………………………………5分13=．………………………………………………………………………………………7分（2）因为3a =，b =，1cos 3B =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，………………………………………………………………9分 得2210c c -+=．……………………………………………………………………………………11分 解得1c =．……………………………………………………………………………………………12分17．（本小题满分12分）解：（1）由频率分布直方图可知，[25,30)与[30,35)两组的人数相同，所以25a =人．………………………………………………………………………………………1分且0.08251000.02b =⨯=人．……………………………………………………………………………2分总人数252500.025N ==⨯人．………………………………………………………………………3分（2）因为第1，2，3组共有25+25+100=150人，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为2561150⨯=，…………………………………………………………………………4分 第2组的人数为2561150⨯=，…………………………………………………………………………5分 第3组的人数为10064150⨯=，………………………………………………………………………6分所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人．……………………………………………………7分 （3）由（2）可设第1组的1人为A ，第2组的1人为B ，第3组的4人分别为1234,,,C C C C ，则从6人中抽取2人的所有可能结果为： (,)A B ，1(,)A C ，2(,)A C ，3(,)A C ，4(,)A C ，1(,)B C ，2(,)B C ，3(,)B C ，4(,)B C ，12(,)C C ，13(,)C C ，14(,)C C ，23(,)C C ，24(,)C C ，34(,)C C ，共有15种．……………………………9分其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：1(,)A C ，2(,)A C ，3(,)A C ，4(,)A C ，1(,)B C ，2(,)B C ，3(,)B C ，4(,)B C ，共有8种．…………………………………………………11分所以恰有1人年龄在第3组的概率为815．…………………………………………………………12分18．（本小题满分14分）（1）证明：在正AMB ∆中，D 是AB 的中点，所以MD AB ⊥．……………………………………1分 因为M 是PB 的中点，D 是AB 的中点，所以//MD PA ，故PA AB ⊥．……………………2分又PA AC ⊥，AB AC A =I ，,AB AC ⊂平面ABC ， 所以PA ⊥平面ABC ．…………………………………4分因为⊂BC 平面ABC ，所以PA BC ⊥．……………5分又,,,PC BC PA PC P PA PC ⊥=⊂I 平面PAC ， 所以⊥BC 平面PAC ．………………………………7分 （2）解法1：设点B 到平面DCM 的距离为h ，………8分 因为10PB =，M 是PB 的中点，所以5MB =．因为AMB ∆为正三角形，所以5AB MB ==．……………………………………………………9分 因为4,BC BC AC =⊥，所以3AC =．所以1111143322222BCD ABC S S BC AC ∆∆==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=．…………………………………10分因为23525522=⎪⎭⎫⎝⎛-=MD ， 由（1）知//MD PA ，所以DC MD ⊥．在ABC ∆中，1522CD AB ==，所以8325252352121=⨯⨯=⨯⨯=∆CD MD S MCD ．…………………………………………11分因为MCDB BCD M V V --=，……………………………………………………………………………12分所以hS MD S MCD BCD ⋅=⋅∆∆3131，即11333h ⨯=．……………………………………………………………………13分所以512=h ．故点B 到平面DCM 的距离为512．………………………………………………………………14分解法2：过点B 作直线CD 的垂线，交CD 的延长线于点H ，…………………………………………8分 由（1）知，PA ⊥平面ABC ，//MD PA ， 所以MD ⊥平面ABC ．因为BH ⊂平面ABC ，所以MD BH ⊥． 因为CD MD D =I ，所以BH ⊥平面DCM ． 所以BH 为点B 到平面DCM 的距离．………………9分 因为10PB =，M 是PB 的中点，所以5MB =． 因为AMB ∆为正三角形，所以5AB MB ==．……10分因为D 为AB 的中点，所以52CD BD ==．以下给出两种求BH 的方法：方法1：在△BCD 中，过点D 作BC 的垂线，垂足为点E ，则1322DE AC ==．…………………………………………………………………………………11分因为1122CD BH BC DE⨯⨯=⨯⨯，………………………………………………………………12分所以34122552BC DE BH CD⨯⨯===方法2：在Rt △BHD 中，222254BH DH BD +==． ①…………………………11分在Rt △BHC 中，因为4BC =，所以222BH CH BC +=，即225162BH DH ⎛⎫++= ⎪⎝⎭． ②…………………………………12分由①，②解得125BH =．故点B 到平面DCM 的距离为512．………………………………………………………………14分19．（本小题满分14分）解：（1）因为321212222n n a a a a n -++++=L ，*n ∈N ， ①所以当1=n 时，12a =．……………………………………………………………………………1分当2≥n 时，()31212221222n n a a a a n --++++=-L ， ② …………………………………2分①－②得，122nn a -=．…………………………………………………………………………………4分所以2nn a =．…………………………………………………………………………………………5分因为12a =，适合上式，所以2n n a =()*n ∈N．………………………………………………………………………………6分（2）由（1）得2nn a =．…………………………………………………………………………………7分所以()()111nn n n a b a a +=--()()122121n n n +=--…………………………………………………8分1112121n n +=---．…………………………………………………………………………10分 所以12n nS b b b =+++L1111111113377152121n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ………………………………12分11121n +=--．………………………………………………………………………………14分20．（本小题满分14分）（1）解法1：由MD PD 2=知点M 为线段PD 的中点．……………………………………1分设点M 的坐标是(,)x y ，则点P 的坐标是(),2x y ．……………………………………………2分因为点P 在圆422=+y x 上， 所以()2224x y +=．…………………………………………………………………………………3分所以曲线C 的方程为1422=+y x ．…………………………………………………………………4分解法2：设点M 的坐标是(,)x y ，点P 的坐标是()00,y x ，由MD PD 2=得，x x =0，y y 20=．……………………………………………………………1分因为点P ()00,y x 在圆422=+y x 上， 所以42020=+y x ． ①………………………………………………………………………2分把xx =0，yy 20=代入方程①，得4422=+y x ．……………………………………………3分 所以曲线C 的方程为1422=+y x ．…………………………………………………………………4分（2）解：因为EB EA ⊥，所以0=⋅．…………………………………………………………5分 所以()2=-⋅=⋅．……………………………………………………………7分设点()11,A x y ，则221114x y +=，即221114x y =-．………………………………………………8分 所以()222221111112114x EA BA EA x y x x ⋅==-+=-++-u u u r u u u r u u u r 221113342224433x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-+=-+．……………………………………………………………10分因为点()11,A x y 在曲线C 上，所以122x -≤≤．………………………………………………11分所以21234293433x ⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭．……………………………………………………………………13分所以BA EA ⋅的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡932，．………………………………………………………………14分21．（本小题满分14分）解：（1）因为2()ln (2)f x x ax a x =-+-， 所以函数()f x 的定义域为(0,)+∞．………………………………………………………………1分且1()2(2)f x ax a x '=-+-．………………………………………………………………………2分因为()f x 在1x =处取得极值， 所以()()11220f a a '=-+-=．解得1a =-．…………………………………………………………………………………………3分当1a =-时，1(21)(1)()23x x f x x x x --'=+-=，当102x <<时，()0f x '>；当112x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．所以1x =是函数()y f x =的极小值点．故1a =-．……………………………………………………………………………………………4分 （2）因为2a a <，所以01a <<．…………………………………………………………………………………………5分由（1）知(21)(1)()x ax f x x -+'=-．因为(0,)x ∈+∞，所以10ax +>．当102x <<时，()0f x '>；当12x >时，()0f x '<．所以函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．………………………………7分 ①当102a <≤时，()f x 在2[,]a a 上单调递增，所以[]32max ()()ln 2f x f a a a a a ==-+-．………………………………………………………9分②当21,21.2aa⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩即122a<<时，()f x在21,2a⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以[]max12()ln21ln22424a a af x f-⎛⎫==--+=--⎪⎝⎭．……………………………………11分③当212a≤，即12a≤<时，()f x在2[,]a a上单调递减，所以[]2532max()()2ln2f x f a a a a a==-+-．…………………………………………………13分综上所述：当12a<≤时，函数()f x在2[,]a a上的最大值是32ln2a a a a-+-；当12a<<时，函数()f x在2[,]a a上的最大值是1ln24a--；当12a≤<时，函数()f x在2[,]a a上的最大值是5322ln2a a a a-+-．…………14分。

广 州 市 教究 院 广 州 市 教 育 研 广 州 市 教 育 研 究 院 广 州 市 教 育 研 究院 州 市 教 育 研 究 院2020届广州市高三年级调研测试参考答案理科数学一． 选择题二．填空题 13.524 14. 135 15.6 16. 610三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（1）解法1：设{}n a 的公差为d ，因为{}n a 为单调递增的等差数列，所以，0>d .由253418,80,a a a a +=⎧⎨⋅=⎩得343418,80.a a a a +=⎧⎨⋅=⎩解得348,10.a a =⎧⎨=⎩所以234=-=a a d .所以()2233+=-+=n d n a a n . 解法2：设{}n a 的公差为d ，因为{}n a 为单调递增的等差数列，所以0>d .由253418,80,a a a a +=⎧⎨⋅=⎩得()()1112518,2380,a d a d a d +=⎧⎪⎨+⋅+=⎪⎩解得14,2.a d =⎧⎨=⎩所以()2211+=-+=n d n a a n .（2）由（1）得122422++==n n a n，当2≥n 时由42222233221-=++++n a n n b b b b ，………………………① 得42222211133221-=++++---n a n n b b b b ，……………………② ①-②得2,434421≥⨯=-=+n b n n n n n ， 所以 2,23≥⨯=n b n n .当1=n 时，6221622211=-=-=a b 符合上式.所以n n b 23⨯=.所以()21216--=nn S 6231-⨯=+n . 广州调研广 州教 育 研 究 院 广州市 教育 研 究 院 广 州 市 教 育 研 究 院州 市 教 育 研 究院 州 市 教 育 研 究 院18．（1）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以⊥BD AC .又因为⊂BD 平面ABCD ，平面⊥AEFC 平面ABCD .平面AEFC 平面=ABCD AC ，所以⊥BD 平面AEFC . 因为⊂BD 平面BDE ，所以平面⊥BED 平面AEFC .（2）设 AC BD = O ，连接OF ，可知平面四边形 AEFC 为直角梯形，EA ⊥AC ，又因为AE ⊂平面 AEFC ，平面AEFC 平面 ABCD = AC ， 平面AEFC ⊥平面ABCD ，所以AE ⊥平面 ABCD ． 因为EF //AC ，1=2AC AO EF =，所以AE //OF ，所以OF ⊥平面 ABCD ． 解法1：以OB ，OC ，OF 分别为 x ，y ，z 轴建立如图所示空间坐标系． 则)B，()010C ，，， ()D ，()0,1,0A -，()0,1,2E -，()0,0,2F ，设平面 BCF 的法向量()1111,,z y x n =，因为()0,1,3-=，()2,0,3-=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n n ，即1111020y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 令12x =，解得()3,32,21=n .设平面的CDF 法向量()2222,,z y x n =，因为()2,1,0-=，()0,1,3--=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022n n ，即2222200y z y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩， 令22x =，解得()3,32,21--=n . 因为1911-==， 结合图像可知二面角B FC D --的余弦值为1119-.广州调研广 州 市 教 育 研 究 院 广 州 市 教 育 研 究 院 广 州 市 教 育 研 究 院 广 州 教 育 研 究院州 教 研 究 院解法2：因为ABCD FO 面⊥且ABCD BD 面⊂，所以BD FO ⊥.因为O 为BD 中点，所以FD BF =. 又CD BC =，FC FC =， 所以DFC BFC ∆≅∆.过B 作FC BG ⊥交FC 于G 点，连结GD ，则FC DG ⊥， 所以BGD ∠为二面角D FC B --的平面角. 在Rt FBO ∆中，3232=⨯=BO ，2=FO ， 所以()73222=+=BF ，322==BO BD ，同理5=CF ，在Rt FBC ∆中，7=BF ，2=BO ，5=CF .由三角形面积公式得519=BG ，则519=DG .在BGD ∆中，1911519212519519cos -=⨯-+=∠BGD . 所以二面角B FC D --的余弦值为1119-. 19. 解：（1）因为Y X =且](600,300,∈Y X ，所以()()Y g X g =，当](400300,X ∈时，()()()()03003210041800>-=+-+=-X X X X g X f . 当](600400,X ∈时，()()()()03004210041800<-=+-+=-X X X g X f .故当](400300,X ∈时，()()X g X f >， 当](600400,X ∈时，()()X g X f <．（2）（ⅰ）送餐量x 的分布列为：则()16151201511851175216511415113=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x E .送餐量y 的分布列为：广州调研广 州 市 教 育 研 究 院 广 州 市 教 育 研 究 院 广 州市 育研 究 院 广 州 市 育 研 究院 州 市 教 育 研 究院则()14301186116101155214611315211=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=y E .（ⅱ）()()](60030048030,x E X E ∈==，()()()+∞∈==,y E Y E 40042030.A 公司外卖配送员，估计月薪平均为()372041800=+X E 元.B 公司外卖配送员，估计月薪平均为()378042100=+Y E 元.因为3780元3720>元，所以小王应选择做B 公司外卖配送员．20．解：（1）由已知得23b =，3a c +=，222a b c =+，所以所求椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）解法1：因为过()1,0F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不在x 轴上），所以设:1l x ty =+，由()2222134690143x ty t y ty x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩， 设()11,A x y 、()22,B x y ，则122122634934t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，因为OE OA OB =+，∴AOBE 为平行四边形，所以3AGBE AOBE OGB AOB S S S S ∆∆=+=1232y y =-==1=m ，得218181313==++m S m m m， 由函数的单调性易得当1m =，即0t =时，max 92=S ． 解法2：因为OE OA OB =+，所以AOBE 为平行四边形，所以3AGBE AOBE OGB AOB S S S S ∆∆=+=．当直线AB 的斜率不存在时，93=2AGBE AOB S S ∆=. 当直线AB 的斜率存在时，设为()1y k x =-，广州调研广 州 市育 研 究 院 广 州 市 教 院 广 州 市 教 育 研 究 院 广 州 市 教 育 研 究院 州 市 教 育 研 究 院由()()22222143690143y k x k y ky k x y =-⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩. 设()11,A x y 、()22,B x y ，则1222122643943k y y k k y y k -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩， 所以3AGBE AOBS S ∆=1232y y =-==， 令2433k m +=>，得92S =<， 综上可知，max 92=S ．21．（1）解：由x k x x )x (f ln +-=2知函数的定义域为)(+∞,0.则xkx x x k x )x (f +-=+-='2212.令0=')x (f 得022=+-k x x . 其k 81-=∆.①当081≤-=∆k 即81≥k 时，0≥')x (f 在)(+∞,0上恒成立， 所以)(x f 在)(+∞,0上为单调递增函数. ②当081>-=∆k 即81<k 时，(1)式的两根为48111k x --=，48112k x -+= 若810<<k ，则210x x <<，当)(10x ,x ∈，),(+∞2x 时有0>')x (f ，当)(21x ,x x ∈时有0<')x (f ，从而知函数)x (f 在)(10x ,和),(+∞2x 单调递增，在)(21x ,x 单调递减.若0≤k ，则210x x <≤，当)(20x ,x ∈时有0<')x (f ，)(x x 2+∞∈,时0>')x (f ，从而知函数)x (f 的在)(20x ,单调递减，在),(+∞2x 单调递增.综上，当81≥k 时，)(x f 在)(+∞,0上为单调递增函数；当810<<k 时， )x (f 在)(10x ,和),(+∞2x 单调递增，在)(21x ,x 单调递减; 当0≤k 时，)x (f 的在)(20x ,单调递减，在),(+∞2x 单调递增.广州调研广 州 市 教 育 研 究 院 广 州 市 教 育 研 究 院 广 州 市 教 育 研 究 院 广 州 市 教 育 研 究院 州 市 教 育 研 究 院（2）证明：设()22g x x x k =-+，由题意和（1）得810<<k . 则极值点12,x x 为方程()0g x =的两根，且12104x x <<<， 所以1212x x +=，1212x x k =. 且()y f x =在1(0,)x 上单增，在12(,)x x 上单减，在2(,)x +∞上单增， 所以1212()()()()f x f x f x f x -=-22111222(ln )(ln )x x k x x x k x =-+--+ 11221()ln 2x x x k x =--+……………………………① 11211(2)ln 22x x k x =--+1112212ln 4x x x x x =-+. 要证11121221112ln 24444x x x x k x x x -+<-=-， 即证1122221ln222x x x x x x +<-=-， 即证1122ln1x x x x <- . 构造()ln (1)h x x x =-- （(01)x <<2'11()1x h x x x-=-=，(0,1)x ∈时， '()0h x >， 所以()y h x =在(0,1)上单增，()(1)0h x h ∴<=. 即1ln -<x x 成立. 综上可知，原不等式成立.广州调研广 州 市 教 育研 院 广 州 市 教 育 研 究 院 广 州 市 教 育 研 究 院广市 教 育 研 究院州 市 育 研 究 院【说明】化简到①后的其他变形思路：思路1：由()0g x =，解得1x =，2x =. 则212x x -=，12144x k x k -=. 先证明1ln -<x x .则由①得12()()f x f x -<11221()12x x x k x ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭124k =-. 思路2：令12x t x =，结合1212x x +=，1212x x k =，其中01t <<. 可得()121t x t =+，()2121x t =+，()221t k t =+.则由①得，需证明12()()f x f x -<112211()ln 224x x x k k x --+<-. 整理得，需证明ln 1t t <-（01t <<）.22．（1）解：因为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=m m y m m x 11，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-=++=+=21)1(21)1(22222222m m m m y m m m m x ，所以422=-y x .所以曲线C 的直角坐标方程为422=-y x .把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入直线的极坐标方程03cos sin 3=--θρθρ， 得直线的直角坐标方程为033=--x y ．所以直线的直角坐标方程为033=+-y x .（2）解法1：由220,4,x x y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩解得13,22A ⎛⎪⎝⎭，13,22B ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭. 因为点(0,1)P ，所以1PA =，1PB =. 所以115PA PB +==. 广州调研广州 市 教 育研 院 广 州 市 教 研 究 院 广 州 市 教 育 研 究 广 州 市 教 育 研 究院 州 市 教 育 研 究 院解法2：因为点(0,1)P 在直线l 上，则直线l 的参数方程为11+2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，将211+2⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y t 代入422=-y x ， 得22100--=t t ，044)10(14)2(2>=-⨯⨯--=∆， 所以122+=t t ，12100⋅=-<t t ．因为1=PA t ，2=PB t ，所以1212121111-+=+====t t PA PB t t t t 所以11+=PA PB ．23．解：（1） 当2a =时，()22(2)f x x x =--，由22(2)0x x --<，解得2x <；所以不等式()0f x <的解集为(),2-∞．（2）因为(2)0=f ，所以由(),x a ∈-∞时，()0f x <，得2a ≤．当2a ≤，(,)x a ∈-∞时，()(2)2()=--+--f x x a x x x a()(2)(2)()=--+--a x x x x a2()(2)0=---<a x x ，所以a 的取值范围是(],2-∞．广州调研。

秘密 ★ 启用前 试卷类型： A2020届广州市高三年级调研测试理科数学2019．12本试卷共5页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型（A ）填图在答题卡的相应位置上．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图1，已知全集U =Z ，集合{}2,1,0,1,2--=A ，{}4,3,2,1=B ，则图中 阴影部分所表示的集合是A ．{}3,4B ．{}012,,--C ．{}1,2D ． {}2,3,42．已知()i1i 12+-=z （i 为虚数单位），在复平面内，复数z 对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知3121⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ，3log 2=b ，6log 4=c ，则c ,b ,a 的大小关系为A ．b c a >>B ．c b a =<C ．c b a >>D ．b c a <<4．已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+042033022y x y x y x ，则3=-z x y 的最小值为A ．7-B ． 6-C ． 1D ． 65．某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团．据资料统计,新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2019年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团的概率依次为n m ,31,．已知这三个社团他都能进入的概率为241，至少进入一个社团的概率为43，则=+n m A ．21 B ． 32 C ． 43 D ． 1256．如图2，利用该算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆2522=+y x 内的个数为A ．3B ．4C ．5D ．67．已知F 为双曲线1:2222=-by a x C 的右焦点，过F 作C 的渐近线的垂线FD ，垂足为D ，且满足12=FD OF （O 为坐标原点），则双曲线的离心率为 A ．332 B ． 2 C ．3 D ． 3108．函数()x x x f sin ln +=（ππ≤≤-x 且0≠x ）的图象大致是A ．B ．C ．D ．9．如图3，在△ABC 中，AB AD ⊥，BD BC 3=，1=AD ，则=⋅AD AC A ．3 B ． 3C ． 3-D ． 3-10．1772年德国的天文学家J ．E ．波得发现了求太阳和行星间距离的法则．记地球距离太阳的平均距离为10，可以算得当时已知的六大行星距离太阳的平均距离如下表：除水星外，其余各星与太阳的距离都满足波得定则（某一数列规律）．当时德国数学家高斯根据此定则推算，火星和木星之间距离太阳28应该还有一颗大行星．1801年，意大利天文学家皮亚齐通过观测，果然找到了火星和木星之间距离太阳28的谷神星以及它所在的小行星带．请你根据这个定则，估算出从水星开始由近到远算，第10个行星与太阳的平均距离大约是A ．388B ．772C ．1540D ．307611．已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，1=AB ，以M 为圆心的圆过A ，B 两点，且与直线210y -=相切．若存在定点P ，使得当A 运动时，MP MA -为定值．则点P 的坐标为A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-41,0 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,012．已知偶函数()x f 满足()()x f x f -=+44，且当[]4,0∈x 时，()2exx x f -=，若关于x 的不等式()()02>+x af x f 在[]200,200-上有且只有300个整数解，则实数a 的取值范围是A ．⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛----223e 4,e 3B ．⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛----2123e ,e 3C ．⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛----231e 3,e 2 D ．⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛----221e 4,e二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知()π,0∈θ，344πtan =⎪⎭⎫ ⎝⎛+θ，则 =+θθcos sin ______________．14．若3⎛⎝n展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项的值是 ．15．已知某正三棱锥的侧棱长大于底边长，其外接球体积为1256π，三视 图如图4所示，则其侧视图的面积为 ．16．在ABC ∆中，设角C B A ,,对应的边分别为c b a ,,，记ABC ∆的面积为S ，且22224c b a +=，则2aS的最大值为___________．三．解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22，23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分．17．（12分）已知{}n a 为单调递增的等差数列，1852=+a a ， 8043=⋅a a ，设数列{}n b 满足23123222224n a n n b b b b ++++=- ，*n ∈N ．（1）求数列{}n a 的通项； （2）求数列{}n b 的前n 项和n S ．如图5，已知四边形ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ︒∠=， 平面AEFC ⊥平面ABCD ，AC //EF ．AE AB =，2AC EF =．（1）求证：平面BED ⊥平面AEFC ；（2）若四边形AEFC 为直角梯形，且EA AC ⊥， 求二面角B FC D --的余弦值．19．（12分）某城市A 公司外卖配送员底薪是每月1800元/人，设每月每人配送的单数为X ，若[]300,1∈X ，配送员每单提成3元；若(]600,300∈X ，配送员每单提成4元；若()∞+∈,600X ，配送员每单提成54.元．B 公司外卖配送员底薪是每月2100元/人，设每月每人配送的单数为Y ，若[]400,1∈Y ，配送员每单提成3元；若()∞+∈,400Y ，配送员每单提成4元．小王计划在A 公司和B 公司之间选择一份外卖配送员工作，他随机调查了A 公司外卖配送员甲和B 公司外卖配送员乙在9月份（30天）的送餐量数据，如下表： 表1：A 公司外卖配送员甲送餐量统计表2：B 公司外卖配送员乙送餐量统计（1）设A 公司外卖配送员月工资为()X f （单位：元/人），B 公司外卖配送员月工资为()Y g （单位：元/人），当Y X =且](600,300,∈Y X 时，比较()X f 与()Y g 的大小； （2）若将甲乙9月份的日送餐量的频率视为对应公司日送餐量的概率， （ⅰ）分别计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的数学期望； （ⅱ）请利用你所学的知识为小王作出选择，并说明理由．已知椭圆()222103+=>：x y C a a 的右焦点F 到左顶点的距离为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不在x 轴上），若=+OE OA OB ，延长AO 交椭圆于点G ，求四边形AGBE 的面积S 的最大值．21．（12分）已知函数x k x x x f ln )(2+-=． （1）讨论函数)x (f 的单调性；（2）若)(x f 有两个极值点21,x x ，证明：()()12124f x f x k -<-．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=m m y mm x 11（m 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线lsin cos 0θρθ-=．（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）已知点()0,1P ，直线l 与曲线C 交于B A ,两点，求11+PA PB的值．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）已知()(2)2()f x x a x x x a =--+--． （1）当2a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若(),x a ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围．。