深圳市高三年级第一次调研考试数学(理)试题带答案

2009年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．二、填空题：本大题每小题5分(第12题前空2分，后空3分)，满分30分．9．20=n ． 10．25-． 11． 10<<a ． 12． 1；1．13．21<≤b ． 14．15 ． 15．24-≤≥a a 或．三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数x x x x x f cos sin 2)cos (sin 3)(22--=．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）设[,]33x ππ∈-，求()f x 的值域和单调递增区间．【解】（Ⅰ）∵xx x x x f cos sin 2)sin (cos 3)(22---=…………………… 3分)(x f ∴的最小正周期为π． ………………… 5分（Ⅱ）∵[,]33x ππ∈-， 233x πππ∴-≤+≤， ． )(x f ∴的值域为]3,2[-． ……………… 10分当)32sin(π+=x y 递减时，()f x 递增． πππ≤+≤∴322x ，即312ππ≤≤x ． 故()f x 的递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,12ππ． ……………………12分 17．（本小题满分12分）如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，EF AB //，矩形ABCD 和圆O 所在的平面互相垂直．已知2=AB ,1=EF ．（Ⅰ）求证：平面⊥DAF 平面CBF ；（Ⅱ）求直线AB 与平面CBF 所成角的大小；(Ⅲ)当AD 的长为何值时，二面角B FE D --的大小为 60【解】（Ⅰ）证明： 平面⊥ABCD 平面ABEF ,AB CB ⊥,平面 ABCD 平面ABEF =AB ， ⊥∴CB 平面ABEF ．⊂AF 平面ABEF ，CB AF ⊥∴，又AB 为圆O 的直径，BF AF ⊥∴，⊥∴AF 平面CBF ．⊂AF 平面A D ，∴平面⊥D A F 平面C B ．………………………4分 （Ⅱ）根据（Ⅰ）的证明，有⊥AF 平面CBF ，∴FB 为AB 在平面CBF 上的射影，因此，ABF ∠为直线AB 与平面C B 所成的角． ………………………5分EF AB // ，∴四边形ABEF 为等腰梯形，过点F 作AB FH ⊥，交AB 于H ． 2=AB ,1=EF ，则212=-=EF AB AH ． 在AFB Rt ∆中，根据射影定理AB AH AF ⋅=2，得1=AF ． ………………………7分21sin ==∠AB AF ABF ， 30=∠∴ABF ． ∴直线AB 与平面CBF 所成角的大小为30． ………………………8分(Ⅲ)（解法一）过点A 作EF AM ⊥，交EF 的延长线于点M ，连DM ．根据（Ⅰ）的证明，⊥DA 平面ABEF ，则EF DM ⊥，DMA ∠∴为二面角B FE D --的平面角， 60=∠DMA ． …………………9分在AFH Rt ∆中，21=AH ，1=AF ,23=∴FH ． ………………… 10分 又 四边形AMFH 为矩形， 23==∴FH MA ． 23323tan =⋅=∠⋅=∴DMA MA AD ． 因此，当AD 的长为23时，二面角B FE D --的大小为 60． …………………12分 （解法二）设EF 中点为G ，以O 为坐标原点，OA 、OG 、分别为x 轴、y 轴、z 轴方向建立空间直角坐标系（如图）设t AD =)0(>t ，则点D 的坐标为),0,1(t 在AFH Rt ∆中，21=AH ，1=AF ,23=∴FH ． ∴点F 的坐标为)0,23,21(，点E 的坐标为)0,23,21(-, ),23,21(t --=∴，),23,23(t -= 设平面DEF 的法向量为),,(1z y x n =，则01=⋅DF n ,01=⋅DE n ．即⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-.023,0232321tz y x tz y x 令3=z ，解得t y x 2,0== )3,2,0(1t n =∴ …………………10分取平面BEF 的一个法向量为)1,0,0(2=n ，依题意1n 与2n 的夹角为60 60cos =∴ ，即134300212⋅+++=t ， 解得23±=t （负值舍去） 因此，当AD 的长为23时，二面角B FE D --的大小为 60． …………………12分 18．（本小题满分14分）甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p )21(>p ， 且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛 停止的概率为95． 若右图为统计这次比赛的局数n 和甲、乙的总得分数S 、T 的程序框图．其中如果甲获胜，输入1=a ，0=b ；如果乙获胜，则输入1,0==b a ．（Ⅰ）在右图中，第一、第二两个判断框应分别填写什么条件？（Ⅱ）求p 的值；（Ⅲ）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．注：“0=n ”，即为“0←n ”或为“0:=n ”．【解】（Ⅰ）程序框图中的第一个条件框应填2=M ，第二个应填6=n ． ………………… 4分注意：答案不唯一．如：第一个条件框填1>M ，第二个条件框填5>n ，或者第一、第二条件互换．都可以．（Ⅱ）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束．∴有95)1(22=-+p p ． 解得32=p 或31=p ． …………………………………6分 21>p ， 32=∴p ． ………………………… 7分 （Ⅲ）（解法一）依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6． ………………………… 8分 设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为95．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有5(2)9P ξ==， 8120)95)(951()4(=-==ξP ， 81161)951)(951()6(=⋅--==ξP ． ∴随机变量ξ的分布列为： …………………………… 12分故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=． …………………………… 14分（解法二）依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6． ………………… 8分令k A 表示甲在第k 局比赛中获胜，则k A 表示乙在第k 局比赛中获胜． 由独立性与互不相容性得12125(2)()()9P P A A P A A ξ==+=， 1234123412341234(4)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++332112202[()()()()]333381=+=，1234123412341234(6)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++2221164()()3381==． ………………… 12分∴随机变量ξ的分布列为：故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=． …………………14分19．（本题满分14分）已知函数2)1ln()(x ax x f -+=（0>a ，]1,0(∈x ）． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若不等式)21ln(12n n+≥+λ对一切正整数n 恒成立，求实数λ的取值范围． 【解】（Ⅰ）x axax f 21)(-+=' ………………… 2分axa x ax ++--=1222，由0222=+--a x ax ，得aa x 21212+±-=．0>a ，021212<+--∴a a ，021212>++-aa ．又1112212122<++=++-a a aa．∴函数()f x 的单调递增区间为)2112,0(2a a -+,递减区间为)1,2112(2aa -+． ………… 6分（Ⅱ）【法一】不等式)21ln(12n n +≥+λ，即为21)21ln(n n -+≥λ．……………（※）令x n=1，当*∈N n 时，]1,0(∈x ． 则不等式（※）即为2)21l n (x x -+≥λ． …………………9分 令2)21ln()(x x x g -+=，(0,1]x ∈，在)(x f 的表达式中，当2=a 时，)(x f )(x g =， 又 2=a 时，2121212=++-a a ，∴)(x g 在)21,0(单调递增，在)1,21(单调递减．)(x g 在21=x 时，取得最大，最大值为412ln )21(-=g ． …………………12分 因此，对一切正整数n ，当2=n 时，21)21ln(n n -+取得最大值412ln -．∴实数λ的取值范围是412ln -≥λ． ………………………… 14分【法二】不等式)21ln(12n n+≥+λ，即为21)21ln(n n -+≥λ．………………（※）设21)21ln()(xx x g -+=)1(≥x ，)2(422212)(32322+++-=++-='x x x x x x x g x， 令)(='x g ，得1-=x 或2=x ． ………………………… 10分当)2,1(∈x 时，0)(>'x g ，当),2(∞+∈x 时，0)(<'x g ． ∴当2=x 时，)(x g 取得最大值412ln -． 因此，实数λ的取值范围是412ln -≥λ． ………………………… 14分20．（本题满分14分）在四边形ABCD 中，已知(0,0),(0,4)A D ，点B 在x 轴上， //BC AD ，且对角线AC BD ⊥．（Ⅰ) 求点C 的轨迹T 的方程；(Ⅱ)若点P 是直线52-=x y 上任意一点，过点P 作点C 的轨迹T 的两切线PA 、PB ，A 、B 为切点，M 为AB 的中点．求证：PM //y 轴或PM 与y 轴重合；(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下，直线AB 是否恒过一定点？若是，请求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．【解】（Ⅰ)如图，设点C 的坐标为),(y x )0,0(≠≠y x ，则(,0),(,),(,4)B x AC x y BD x ==-，AC BD ⊥ ，()40x x y ∴⋅-+⋅=，即214y x x =≠ (0)∴所求的轨迹T 是除去顶点的抛物线 ……………… 3分O（解法一）(Ⅱ)对函数214y x = 求导得，12y x '=． 设切点坐标为2001(,)4x x ，则过该切点的切线的斜率是012x ，该切线方程是200011()42y x x x x -=-． 又设点P 的坐标为)52,(-t t ，切线过点P ，∴有)(2141520020x t x x t -=--，化简，得02082020=-+-t tx x ． …………………………6分设A 、B 两点的坐标分别为2111(,)4x x 、2221(,)4x x ，则1x 、2x 为方程020822=-+-t tx x 的两根，208,22121-==+t x x t x x ．122M x xx t +∴==因此，当0=t 时，直线PM 与y 轴重合，当0≠t 时，直线PM 与y 轴平行 …………9分 (Ⅲ)2212111()244M y x x =+5221)]208(24[81]2)[(812221221+-=--=-+=t t t t x x x x ．∴点M 的坐标为)5221,(2+-t t t ．又221112441212111()2442AB x x k x x t t x x -==+=⋅=- ．∴直线AB 的方程为：)(21)5221(2t x t t t y -=+--，即0210)4(=-+-y x t ．………（*）当5,4==y x 时，方程（*）恒成立，∴对任意实数t ，直线AB 恒过定点，定点坐标为)5,4(． …………………………14分（解法二）(Ⅱ)设点P 的坐标为)52,(-t t ，利用切点弦直线方程的结论可得出直线AB 的方程为tx t y 412)52(=-+，即5221+-=t tx y …………………………7分 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=.41,52221x y t tx y 得020822=-+-t tx x . 208,22121-==+∴t x x t x x ．122M x x x t +∴==. 因此，当0=t 时，直线PM 与y 轴重合，当0≠t 时，直线PM 与y 轴平行. ……………9分(Ⅲ) 由(Ⅱ)得知直线AB 的方程为5221+-=t tx y ，即0210)4(=-+-y x t ． 后面解法同解法一. 21．（本题满分14分）已知函数211()24f x x x =-+，()f x '为函数()f x 的导函数． （Ⅰ）若数列{}n a 满足：11a =，1()()n n a f a f n +''=+（n N *∈），求数列{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：1b b =，12()n n b f b +=（n N *∈）． （ⅰ）当12b =时，数列{}n b 是否为等差数列？若是，请求出数列{}n b 的通项n b ；若不是，请说明理由；（ⅱ）当112b <<时， 求证：11221ni ib b =<-∑．【解】（Ⅰ）1()22f x x '=-， …………………………1分 111(2)(2)22122n n n a a n a n +∴=-+-=+-，即12(1)12(21)n n a n a n ++++=++． (3)分11a = ， ∴数列{21}n a n ++是首项为4，公比为2的等比数列．12142n n a n -∴++=⋅，即1221n n a n +=--． …………………………5分（Ⅱ）（ⅰ） 12()n n b f b +=2122n n b b =-+， 2112()2n n n b b b +∴-=-．∴当112b =时，212b =．假设12k b =，则k k b b =+1． 由数学归纳法，得出数列{}n b 为常数数列，是等差数列，其通项为12n b =． …………8分 （ⅱ）21122n n n b b b +=-+， 2112()2n n n b b b +∴-=-． ∴当1112b <<时，2112b b >>．假设12k b >，则 112k k b b +>>．由数学归纳法，得出数列12n b >(1,n = ． …………………………10分 又1112()22n n n b b b +-=- ， 11122111n n nb b b +∴=---， 即11122111n n n b b b +=---． …………………………12分∴11ni ib =∑111111()ni i i b b =+=---∑11112211n b b +=---． 112n b +>， 11111221ni i b b b =∴<=--∑． …………………………14分审题：石永生 命题：喻秋生 姚亮黄元华。

试卷类型：A2024年深圳市高三年级第一次调研考试数学2024.2本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟注意事项：1．答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若角α的终边过点()4,3，则πsin 2α⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A.45B.45-C.35D.35-2.已知i 为虚数单位，若2i1iz =+，则z z ⋅=（）A.B.2C.2i- D.2i3.已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，在区间()0,∞+上单调递增，且对任意12,x x ，均有()()()1212f x x f x f x =成立，则下列函数中符合条件的是（）A.ln y x= B.3y x = C.2xy = D.y x=4.已知,a b 是夹角为120︒的两个单位向量，若向量a b λ+ 在向量a 上的投影向量为2a，则λ=（）A.2- B.2C.3-D.35.由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为{}n a ，即1230,2,4,a a a === ，若2024n a =，则n =（）A.34B.33C.32D.306.已知某圆台的上、下底面半径分别为12,r r ，且212r r =，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（）A.28π3 B.40π3C.56π3D.112π37.已知数列{}n a 满足121a a ==，22,21(N ),2n n n a n k a k a n k*++=-⎧=∈⎨-=⎩，若n S 为数列{}n a 的前n 项和，则50S =（）A.624B.625C.626D.6508.已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线与双曲线E 的右支交于,A B 两点，若1AB AF =，且双曲线E，则1cos BAF ∠=（）A.378-B.34-C.18D.18-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战2024年巴黎奥运会，已知运动员甲特训的成绩分别为：9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，则这组数据的（）A.众数为12B.平均数为14C.中位数为14.5D.第85百分位数为1610.设1,0a b >>，且ln 2a b =-，则下列关系式可能成立的是（）A.a b= B.eb a -= C.2024a b= D.eab >11.如图，八面体Ω的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点,,,B C D E 在同一个平面内．若点M 在四边形BCDE 内（包含边界）运动，N 为AE 的中点，则（）A.当M 为DE 的中点时，异面直线MN 与CF 所成角为3πB.当MN ∥平面ACD 时，点M 的轨迹长度为22C.当MA ME ⊥时，点M 到BC 3D.存在一个体积为103的圆柱体可整体放入Ω内三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则ϕ=______．13.设点()()12,0,,0,0,12A B C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，若动点P 满足2PA PB =，且AP AB AC λμ=+ ，则2λμ+的最大值为______．14.已知函数()()()()123(0)f x a x x x x x x a =--->，设曲线()y f x =在点()(),i i x f x 处切线的斜率为()1,2,3i k i =，若123,,x x x 均不相等，且22k =-，则134k k +的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知244,20a S ==，且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列．（1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）若数列{}n b 满足16b =，且12n n n n b ab a ++=，设n T 为数列{}n b 的前n 项和，集合{}*n n M T T =∈N ，求M （用列举法表示）．16.如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，平面ABCD ⊥平面PAD ，点M 在DP 上，且2,,120DM MP AD AP PAD ==∠=︒．（1）求证：BD ⊥平面ACM ；（2）若60ADC ∠=︒，求平面ACM 与平面ABP 夹角的余弦值．17.在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为()01αα<<，1α-；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为(01),1βββ<<-．假设每次信号的传输相互独立．（1）当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为()f α，求()f α的最小值；（2）当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为1234,,,x x x x ，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量X （1234,,,x x x x 中任意相邻的数字均不相同时，令1X =），若23β=，求X 的分布列和数学期望．18.已知函数()()()121e2ln x f x a x x x x a +=---∈R ．（1）当0a =时，求函数()f x 在区间2e ,1-⎡⎤⎣⎦上的最小值；（2）讨论函数()f x 的极值点个数；（3）当函数()f x 无极值点时，求证：12sin2πa a >．19.已知动点P 与定点(),0A m 的距离和P 到定直线2n x m =的距离的比为常数m n ．其中0,0m n >>，且m n ≠，记点P 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程，并说明轨迹的形状；（2）设点(),0B m -，若曲线C 上两动点,M N 均在x 轴上方，AM BN ，且AN 与BM 相交于点Q ．①当2,4m n ==时，求证：11AM BN+的值及ABQ 的周长均为定值；②当m n >时，记ABQ 的面积为S ，其内切圆半径为r ，试探究是否存在常数λ，使得S r λ=恒成立？若存在，求λ（用,m n 表示）；若不存在，请说明理由．试卷类型：A2024年深圳市高三年级第一次调研考试数学2024.2本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟注意事项：1．答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若角α的终边过点()4,3，则πsin 2α⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A.45B.45-C.35D.35-【答案】A 【解析】【分析】根据余弦函数定义结合诱导公式计算求解即可.【详解】因为角α的终边过点()4,3，所以4cos 5α==，所以π4sin cos 25αα⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故选：A2.已知i 为虚数单位，若2i1iz =+，则z z ⋅=（）A.B.2C.2i- D.2i【答案】B 【解析】【分析】由复数的运算及共轭复数的定义即可求出结果.【详解】因为()()()()2i 1i 2i 1i 2i 1i 1i 1i 1i 2z --====+++⋅-，所以1i z =-，()()1i 1i 2z z ⋅=+⋅-=.故选：B.3.已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，在区间()0,∞+上单调递增，且对任意12,x x ，均有()()()1212f x x f x f x =成立，则下列函数中符合条件的是（）A.ln y x =B.3y x = C.2xy = D.y x=【答案】D 【解析】【分析】由指数、对数运算性质结合函数单调性、奇偶性定义逐一判断每个选项即可求解.【详解】对于A ，()()()12121212ln ln ln f x x x x x x f x f x ==+=+，故A 错误；对于B ，()()111f f -=-=-，故3y x =不是偶函数，故B 错误；对于C ，()()()12121212222xx x x f x f x f x x +===+，故C 错误；对于D ，()()()12121212f x x x x x x f x f x ===，又()y f x x ==定义域为全体实数，它关于原点对称，且()()f x x x f x -=-==，即函数()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x >时，()f x x =单调递增，满足题意.故选：D.4.已知,a b 是夹角为120︒的两个单位向量，若向量a b λ+ 在向量a 上的投影向量为2a，则λ=（）A.2-B.2C.233-D.233【答案】A 【解析】【分析】由投影向量计算公式可得答案.【详解】a b λ+ 在向量a上的投影向量为()2a λb a a a a +⋅=⇒ ()2a λb a a+⋅= .⇒()211201222o cos a λb a a λa b λλ+⋅=+⋅=-=⇒=- .故选：A5.由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为{}n a ，即1230,2,4,a a a === ，若2024n a =，则n =（）A .34B.33C.32D.30【答案】B 【解析】【分析】由题意可知一位自然数有2个，两位自然数有6个，三位自然数有18个，利用列举法列出符合题意得自然数，即可求解.【详解】由0,2,4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成数列{}n a ，则一位自然数有2个，两位自然数有2336-=个，三位自然数有33918-=个，四位自然数有432754-=个，又四位自然数为2000,2002,2004,2020,2022,2024,2024为四位自然数中的第6个，所以12618633n =++++=.故选：B6.已知某圆台的上、下底面半径分别为12,r r ，且212r r =，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（）A.28π3 B.40π3C.56π3D.112π3【答案】C 【解析】【分析】根据圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征求解12,r r ，然后代入圆台体积公式求解即可.【详解】如图，设圆台上、下底面圆心分别为12,O O ，则圆台内切球的球心O 一定在12O O 的中点处，设球O 与母线AB 切于M 点，所以OM AB ⊥，所以122OM OO OO ===，所以1AOO 与AOM 全等，所以1AM r =，同理2BM r =，所以1213AB r r r =+=，过A 作2AG BO ⊥，垂足为G ，则211BG r r r =-=，124AG O O ==，所以222AG AB BG =-，所以()2221111638r r r =-=，所以12r =22r =所以该圆台的体积为()156π2π8π4π433++⨯=.故选：C7.已知数列{}n a 满足121a a ==，22,21(N ),2n n n a n k a k a n k*++=-⎧=∈⎨-=⎩，若n S 为数列{}n a 的前n 项和，则50S =（）A.624B.625C.626D.650【答案】C 【解析】【分析】根据给定的递推公式，按奇偶分类求和即得.【详解】数列{}n a 中，121a a ==，22,21(N ),2n n n a n k a k a n k*++=-⎧=∈⎨-=⎩，当21,N n k k *=-∈时，22n n a a +-=，即数列{}n a 的奇数项构成等差数列，其首项为1，公差为2，则13549252425126252a a a a ⨯++++=⨯+= ，当2,N n k k *=∈时，21n n a a +=-，即数列{}n a 的偶数项构成等比数列，其首项为1，公比为1-，则25246501[1(1)]11(1)a a a a ⨯--++++==-- ，所以501354924650()()626S a a a a a a a a =+++++++++= .故选：C8.已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线与双曲线E 的右支交于,A B 两点，若1AB AF =，且双曲线E，则1cos BAF ∠=（）A. B.34-C.18D.18-【答案】D 【解析】【分析】由双曲线的定义结合已知条件求得22BF a =，从而再得14BF a =，由余弦定理求得21cos BF F ∠，由诱导公式得21cos AF F ∠，设2AF m =，则12AF m a =+，再由余弦定理求得23m a =，从而利用余弦定理求解即可.【详解】因为双曲线E，所以c =，因为1AB AF =，所以22122BF AB AF AF AF a =-=-=，由双曲线的定义可得12122BF BF BF a a -=-=，所以1242BF a BF ==，在12BF F △中，由余弦定理得2222222121212122cos 24BF F F BF BF F BF F F +-∠===-⋅，在12AF F △中，12122cos cos 4F F A F F B ∠=-∠=，设2AF m =，则12AF m a =+，由2221122122122cos AF F F AF F F AF F F A =+-∠得222(2))24a m m m +=+-⋅⋅⋅，解得23m a =，所以183a AF =，所以2222221111646416199cos 8828233a a a AF AB BF BAF a a AF AB+-+-∠===-⋅⨯⨯.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用1212cos cos ∠=-∠F F A F F B ，结合余弦定理与双曲线的定义，从而得解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战2024年巴黎奥运会，已知运动员甲特训的成绩分别为：9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，则这组数据的（）A.众数为12B.平均数为14C.中位数为14.5D.第85百分位数为16【答案】BC 【解析】【分析】由众数，中位数，平均数，第百分位数的定义求出即可.【详解】成绩从小到大排列为：8,9,12,12,13,16,16,16,18,20.A ：出现次数最多的数为16，故A 错误；B ：平均数()18912121316161618201410=+++++++++=，故B 正确；C ：中位数为：131614.52+=，故C 正确；D ：第85百分位数为第100.858.5⨯=，即第9位，为18，故D 错误；故选：BC.10.设1,0a b >>，且ln 2a b =-，则下列关系式可能成立的是（）A.a b =B.eb a -= C.2024a b= D.eab >【答案】AC 【解析】【分析】首先求出21e a <<，再分别构造函数，结合导数，利用函数单调性一一分析即可.【详解】由于ln 2a b =-，知2ln b a =-，及其1,0a b >>，则2ln 0b a =->，解得21e a <<，对AB ，2ln b a a a -=--，设函数2()2ln ,1e f a a a a =--<<，1()10f a a'=--<，故()f a 在()21,e 上单调递减，则()22e e ()(1)f f a f -=<<=1，即2e 1b a -<-<，故A 对B 错；对C ，由于22ln 1e ,b a a a a -<<=，设22ln (),1e a g a a a -=<<，2ln 3()0a g a a -'=<，故()g a 在()21,e 上单调递减，()20e ()(1)2g g a g =<<=，故(0,2)b a∈，若12024,(0,2)2024b a b a ==∈，故C 对；对D ，(2ln )ab a a =-，设()2()(2ln ),1,eh a a a a =-∈，()2(ln 1)1ln h a a a '=-+=-，令()0h a '=，则e a =，则(1,e)a ∈，()0'>h a ，则()2e,e a ∈，()0h a '<，则()h a 在(1,e)上单调递增，在()2e,e上单调递减，()2max()e,(1)2,e 0ha h h ===，故()(0,e]h a ∈，即0e ab <≤，故D 错误.故选：AC.11.如图，八面体Ω的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点,,,B C D E 在同一个平面内．若点M 在四边形BCDE 内（包含边界）运动，N 为AE 的中点，则（）A.当M 为DE 的中点时，异面直线MN 与CF 所成角为3πB.当MN ∥平面ACD 时，点M 的轨迹长度为C.当MA ME ⊥时，点M 到BCD.存在一个体积为103的圆柱体可整体放入Ω内【答案】ACD 【解析】【分析】根据几何体的特征，化空间为平面，逐个推理，计算分析.【详解】因为BCDE 为正方形，连接BD 与CE ，相交于点O ，连接OA ，则OD ，OE ，OA 两两垂直，故以{},,OD OE OA为正交基地，建立如图所示的空间直角坐标系，D，(B -，E，(0,C -，A，(0,0,F -，N 为AE的中点，则N .当M 为DE的中点时，M，(MN =，(0,CF =-，设异面直线MN 与CF 所成角为θ，0041cos cos ,242MN CF MN CF MN CFθ+-⋅====⨯，π(0,]2θ∈，故π3θ=，A 正确；设P 为DE 的中点，N 为AE 的中点，则PN ∥AD ，AD ⊂平面ACD ，PN ⊄平面ACD ，则PN ∥平面ACD ，又MN ∥平面ACD ，又MN PN N ⋂=，设Q BC ∈，故平面MNP ∥平面ACD ，平面ACD 平面BCDE CD =，平面MNP I 平面BCDE PQ =，则PQ ∥CD ，则Q 为BC 的中点，点M 在四边形BCDE 内（包含边界）运动，则M PQ ∈，点M 的轨迹是过点O 与CD 平行的线段PQ ，长度为4，B不正确；当MA ME ⊥时，设(,,0)M x y，(,,MA x y =--，(,,0)ME x y =-，2(0MA ME x y y ⋅=+-=，得220x y +-=，即22(2x y +=，即点M 的轨迹以OE 中点K的圆在四边BCDE 内（包含边界）的一段弧（如下图），K 到BC 的距离为3，弧上的点到BC的距离最小值为3，因为3-<，所以存在点M 到BC的距离为C 正确；由于图形的对称性，我们可以先分析正四棱锥A BCDE -内接最大圆柱的体积，设圆柱底面半径为r ，高为h ，P 为DE 的中点，Q 为BC 的中点,4PQ =，22AO =根据AGH 相似AOP ，得GH AG OP AO =，即22222r =2(2)h r =-，则圆柱体积222(2)V r h r r ππ==-，设23()2(2)(02)V r r r r π=-<<，求导得2()2(43)V r r r π'=-，令()0V r '=得，43r =或0r =，因为02r <<，所以0r =舍去，即43r =，当403r <<时，()0V r '>，当423r <<时，()0V r '<，即43r =时V 有极大值也是最大值，V 有最大值32227，222521359621351843218225027*******⨯-===>，故3225273>所以存在一个体积为103π的圆柱体可整体放入Ω内，D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：异面直线所成的角；线面平行性质；空间点的轨迹，圆柱的体积计算，利用导数求体积的最值.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则ϕ=______．【答案】π3-【解析】【分析】由三角函数的周期公式求出2ω=，再由正弦型函数的对称中心即可求出ϕ.【详解】由()2ππ0T ωω==>得，2ω=，所以()()sin 2f x x ϕ=+，又()()sin 2f x x ϕ=+的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，所以4ππ,Z 3k k ϕ+=∈,解得4ππ,Z 3k k ϕ=-+∈，又2πϕ<，所以，π1,3k ϕ==-.故答案为：π3-13.设点()()12,0,,0,0,12A B C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，若动点P 满足2PA PB =，且AP AB AC λμ=+ ，则2λμ+的最大值为______．【答案】2243+【解析】【分析】设(,)P x y ，根据向量的坐标表示和模的概念可得221x y +=，由题意和相等向量可得3222x y λμμ⎧-=+⎪⎨⎪=⎩，进而22(2)3x y λμ+=+-，结合基本不等式计算即可求解.【详解】设(,)P x y ，则1(2,),(,)2PA x y PB x y =---=--- ，由2PA PB =整理，得221x y +=，又3(2,),(,0),(2,1)2AP x y AB AC =+== ，代入3222x AP AB AC y λμλμμ⎧+=+⎪=+⇒⎨⎪=⎩ ，有3323(2)22x y λμλμ++=+=+，所以22(2)3x y λμ+=++，由2212x y xy =+≥，得12xy ≤，当且仅当2x y ==时等号成立，所以222()2112x y x xy y +=++≤+=，得x y +≤所以222(2)2)33x y λμ+=++≤=.即2λμ+的最大值为2243+.故答案为：4314.已知函数()()()()123(0)f x a x x x x x x a =--->，设曲线()y f x =在点()(),i i x f x 处切线的斜率为()1,2,3i k i =，若123,,x x x 均不相等，且22k =-，则134k k +的最小值为______．【答案】18【解析】【分析】求出函数的导数，可得()1,2,3i k i =的表达式，由此化简推出131112k k +=，结合22k =-说明3100,k k >>，继而利用基本不等式，即可求得答案.【详解】由于()()()()123(0)f x a x x x x x x a =--->，故()()()()()()()122331f x a x x x x x x x x x x x x '⎡⎤=--+--+--⎣⎦，故()()()()1121322321,k a x x x x k a x x x x =--=--，()()33132k a x x x x =--，则()()()()()()123121323213132111 111k k k a x x x x a x x x x a x x x x ++=++------()()()()()()3213211223310x x x x x x a x x x x x x -+-+-==---，由22k =-，得131112k k +=，由22k =-，即()()223210k a x x x x =--<，知2x 位于13,x x 之间，不妨设123x x x <<，则3100,k k >>，故()3113131331411424252518k k k k k k k k k k ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当31311341112k k k k k k ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即136,3k k ==时等号成立，故则134k k +的最小值为18，故答案为：18【点睛】关键点睛：本题考查了导数的几何意义以及不等式求最值的应用，解答的关键是利用导数的表达式推出131112k k +=，并说明3100,k k >>，然后利用基本不等式求最值即可.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知244,20a S ==，且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列．（1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）若数列{}n b 满足16b =，且12n n n n b ab a ++=，设n T 为数列{}n b 的前n 项和，集合{}*n n M T T =∈N ，求M （用列举法表示）．【答案】（1）证明见解析（2）{}6,8,9,10,11M =【解析】【分析】（1）设等差数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差为d ，由题意可得135S d +=、124S d +=，解得12,1S d ==，结合1nn n a S S -=-求得()*2n a n n =∈N ，即可证明；（2）由（1）可得12n n b nb n +=+，根据累乘法可得()()*121112()11n b n n n n n ==-∈++N ，结合裂项相消求和法计算即可求解.【小问1详解】设等差数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差为d ，则41341S S d =+，即135S d +=，①因为21214S a a S =+=+，所以由2121S S d =+，得124S d +=．②由①、②解得12,1S d ==，所以1nS n n=+，即()1n S n n =+，当2n ≥时，()()1112n n n a S S n n n n n -=-=+--=，当1n =时，112a S ==，上式也成立，所以()*2n a n n =∈N ，所以数列{}n a 是等差数列．【小问2详解】由（1）可知122242n n n n b a n nb a n n ++===++，当2n ≥时，()121121121126131n n n n n b b b n n b b b b b n n n n -----=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=++ ，因为16b =满足上式，所以()()*121112(11n b n n n n n ==-∈++N ．1111111212112112223111n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为当*121n ∈+N 时，1,2,3,5,11n =，所以{}6,8,9,10,11M =．16.如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，平面ABCD ⊥平面PAD ，点M 在DP 上，且2,,120DM MP AD AP PAD ==∠=︒．（1）求证：BD ⊥平面ACM ；（2）若60ADC ∠=︒，求平面ACM 与平面ABP 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）由余弦定理结合勾股定理逆定理可得MA AD ⊥，后结合平面ABCD ⊥平面PAD ，可得MA BD ^，后结合AC BD ⊥可得结论；（2）由（1）结合题意建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面ACM 与平面ABP 的法向量，即可得答案.【小问1详解】不妨设3,120,2AD AP PAD DM MP ==∠=︒=，DP DM PM ∴===，由余弦定理得AM ==在ADM △中，222,AD AM DM MA AD +=∴⊥，平面ABCD ⊥平面PAD ，平面ABCD ⋂平面,PAD AD MA =⊂平面PAD ，MA ∴⊥平面ABCD ．BD ⊂Q 平面,ABCD MA BD ∴⊥，四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，又AC MA A = ，且AC ⊂平面,ACM MA ⊂平面,ACM BD ∴⊥平面ACM ．【小问2详解】在平面ABCD 内，过点B 作AD 的垂线，垂足为N ，平面ABCD ⊥平面PAD ，平面ABCD ⋂平面PAD AD =，BN ∴⊥平面ADP ，又 四边形ABCD 是菱形，60,30ADC BDA ∠=︒∴∠=︒，,ACD ABC ∴△△均为等边三角形，以点A 为坐标原点，,AD AM 及过点A 平行于NB 的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系（如图），则()()330,0,0,,0,,3,0,0,,,02222A B D P ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由（1）BD ⊥平面ACM ，933,0,22BD ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭为平面ACM 的一个法向量，设平面ABP 的法向量为(),,m x y z =，则0,0,AB mAP m⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即333022333022x zx y⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩．令x=，可得)m=，cos,5BD m==，∴平面ACM与平面ABP的夹角的余弦值为．17.在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为()01αα<<，1α-；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为(01),1βββ<<-．假设每次信号的传输相互独立．（1）当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为()fα，求()fα的最小值；（2）当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为1234,,,x x x x，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量X（1234,,,x x x x中任意相邻的数字均不相同时，令1X=），若23β=，求X的分布列和数学期望．【答案】（1）14（2）分布列见解析；期望为20881【解析】【分析】（1）由独立乘法、互斥加法得函数()fα表达式，进一步即可求解最小值；（2）X的可能取值为1，2，3，4．有独立乘法、互斥加法公式求出对应的概率，进而得分布列以及数学期望.【小问1详解】由题可知()233211(1)331324f αααααα⎛⎫=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为01α<<，所以当12α=时，()f α的最小值为14．【小问2详解】由题设知，X 的可能取值为1，2，3，4．①当1X =时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010．因此，()21211212813333333381P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，②当2X =时，相应四次接收到的信号数字依次为0010，或0100，或1101，或1011，或1001，或0110，或1100，或0011．因此，()222221212112364222433333333819P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，③当3X =时，相应四次接收到的信号数字依次为1110，或0111，或0001，或1000．因此，()33121220322333381P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，④当4X =时，相应四次接收到的信号数字依次为0000，或1111．因此，()44121743381P X ⎛⎫⎛⎫==+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以X 的分布列为X1234P8814920811781因此，X 的数学期望()8320172081234818818181E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．18.已知函数()()()121e2ln x f x a x x x x a +=---∈R ．（1）当0a =时，求函数()f x 在区间2e ,1-⎡⎤⎣⎦上的最小值；（2）讨论函数()f x 的极值点个数；（3）当函数()f x 无极值点时，求证：12sin 2πa a >．【答案】（1）1-（2）答案见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）对()22ln f x x x x =--求导，构造函数后再求导，由二次导数得到()g x 在2e ,1-⎡⎤⎣⎦上单调递减，再由零点存在定理确定()f x 的最小值.（2）求导后令()0f x '=得()ln 12ln 1e x x x x a ++++=，再利用换元法设ln 1x x t ++=，得到2e tta =，构造函数()2et th t =，利用导数分析其单调性和极值，画出图像，再由方程()h t a =根的个数讨论函数零点的个数.（3）先证明当π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin πx x >，构造函数()sin π0,4x n x x x ⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求导后分析单调性得到最小值()π224πn x n ⎛⎫>=⎪⎝⎭可证明之；再由（2）知，当函数()f x 无极值点时，2e a ≥，则1e π0244a <≤<，取最小值取12x a =，则有1222sin 2πa a >，即可证明.【小问1详解】当0a =时，()22ln f x x x x =--，则()()121ln 22ln 1f x x x x x x x ⎛⎫=-⋅+⋅-=-++ ⎪⎝⎭'，令()()g x f x ='，则()121g x x ⎛⎫=-+ ⎝'⎪⎭，因为2e ,1x -⎡⎤∈⎣⎦，所以()0g x '<．则()g x 在2e ,1-⎡⎤⎣⎦上单调递减，又因为()()()22e21e 0,140f f --=->=-'<'，所以()20e ,1x -∃∈使得()()00,f x f x ='在()20e ,x -上单调递增，在()0,1x 上单调递减．因此，()f x 在2e ,1-⎡⎤⎣⎦上的最小值是()2ef -与()1f 两者中的最小者．因为()()()22422e4ee e 4e 0,11f f -----=-=->=-，所以函数()f x 在2e ,1-⎡⎤⎣⎦上的最小值为1-．【小问2详解】()()()11111e 1e 21ln 2e 2ln 1x x x f x a x x x x ax x x x +++⎛⎫⎡⎤=⋅+--⋅+⋅-=-++ ⎪⎣⎦⎝'⎭，由()0f x '=，解得()()1ln 12ln 12ln 1eex x x x x x x a x +++++++==，易知函数ln 1y x x =++在()0,∞+上单调递增，且值域为R ，令ln 1x x t ++=，由()0f x '=，解得2e tta =，设()2e t th t =，则()()21et t h t ='-，因为当1t <时，()0h t '>，当1t >时，()0h t '<，所以函数()h t 在(),1∞-上单调递增，在()1,∞+上单调递减．根据()21,eh t ∞=→-时，()()12,lim lim 0e t x h x h t ∞∞∞→→→-==，得()h t 的大致图像如图所示．因此有：（ⅰ）当2e a >时，方程()h t a =无解，即()f x '无零点，()f x 没有极值点；（ⅱ）当2ea =时，()()ln 2e2ln 1x xf x x x +='-++，设()()e 10xm x x x =--≥，则()e 1xm x '=-，令e 100x x -≥⇒≥，则()m x 在[)0,∞+上时单调递增函数，即e 1x x ≥+，得()()()2ln 12ln 10f x x x x x ≥++-++='，此时()f x 没有极值点；（ⅲ）当20ea <<时，方程()h t a =有两个解，即()f x '有两个零点，()f x 有两个极值点；（ⅳ）当0a <时，方程()h t a =有一个解，即()f x '有一个零点，()f x 有一个极值点．综上，当0a <时，()f x 有一个极值点；当20e a <<时，()f x 有两个极值点；当2ea ≥时，()f x 没有极值点．【小问3详解】先证明当π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 22πx x >．设()sin π0,4x n x x x ⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()2cos sin x x x n x x ⋅-'=，记()πcos sin 0,4p x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()()1cos sin cos sin 0,p x x x x x x x p x =⋅+⋅--=-<'在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()()00,0p x p n x '<=<，则()n x 在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()π4πn x n ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即当π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，不等式sin 22πx x >成立．由（2）知，当函数()f x 无极值点时，2e a ≥，则1e π0244a <≤<，在不等式sin 22πx x >中，取12x a =，则有1222sin 2πa a >，即不等式12sin2πa a >成立．【点睛】关键点点睛：（1）求函数在给定区间上的最值时，通常求导，利用导数的单调性分析最值，若在给定区间上不是单调的，常用零点存在定理分析其单调性，再比较区间的端点值找到最值.（2）讨论函数的极值点个数值，通常转化为分离参数，转化为两函数图像交点的个数或两函数相等时方程根的个数问题.用导数分析其单调性，求最值，再数形结合分析交点个数或方程根个数.（3）证明不等式成立问题时可采用构造函数，找到不等式一边的最小值大于另一边，或最大值小于另一边，即函数不等式恒成立问题.19.已知动点P 与定点(),0A m 的距离和P 到定直线2n x m =的距离的比为常数m n ．其中0,0m n >>，且m n ≠，记点P 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程，并说明轨迹的形状；（2）设点(),0B m -，若曲线C 上两动点,M N 均在x 轴上方，AM BN ，且AN 与BM 相交于点Q ．①当4m n ==时，求证：11AM BN+的值及ABQ 的周长均为定值；②当m n >时，记ABQ 的面积为S ，其内切圆半径为r ，试探究是否存在常数λ，使得S r λ=恒成立？若存在，求λ（用,m n 表示）；若不存在，请说明理由．【答案】（1）答案见解析（2）①证明见解析；②存在；2()2m n nλ+=【解析】【分析】（1）设(),P x y ，由题意可得222221x y n n m +=-，结合椭圆、双曲线的标准方程即可求解；（2）设点()()()112233,,,,,M x y N x y M x y '，其中120,0y y >>且3232,x x y y =-=-.（ⅰ）由//AM BN 可知,,M A M '三点共且BN AM ='，设MM '：x ty =+，联立C 的方程，利用韦达定理表示1313,y y y y +，进而表示出11AM BN+，结合（1）化简计算即可；由椭圆的定义，由//AM BN 得()8AM BN BQ AM BN-⋅=+，()8BN AM AQ AM BN-⋅=+，进而表示出AQ BQ +，化简计算即可；（ii ）由（ⅰ）可知,,M A M '三点共线，且BN AM ='，设MM '：x sy m =+，联立C 的方程，利用韦达定理表示1313,y y y y +，计算化简可得22112n AM BN m n +=-，结合由内切圆性质计算即可求解.【小问1详解】设点(),P x ym n =，即222()m x m y x n n ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，经化简，得C 的方程为222221x y n n m+=-，当m n <时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆；当m n >时，曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线．【小问2详解】设点()()()112233,,,,,M x y N x y M x y '，其中120,0y y >>且3232,x x y y =-=-，（ⅰ）由（1）可知C的方程为()()221,,168x y A B +=-，因为//AM BN===因此，,,M A M '三点共线，且BN AM ='=，（法一）设直线MM '的方程为x ty =+C 的方程，得()22280t y ++-=，则1313228,22t y y y y t t +=-=-++，由（1）可知113224,422AM x BN AM x ==-==-'，所以13132222442222221122222222x x ty AM BN AM BN AM BN ty ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--+- ⎪⎪ ⎪⎪++==⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()213213132422442221142t t y y t y y t y y ⎛⎫-⋅- ⎪-++==-++，所以11AM BN+为定值1；（法二）设MAx θ∠=224=，解得AM =，224=，解得AM='所以111122cos22cos144AM BN AM AMθθ+=+'+=+=，所以11AM BN+为定值1；由椭圆定义8BQ QM MA++=，得8QM BQ AM=--，8//,AM QM BQ AMAM BNBN BQ BQ--∴==，解得()8AM BNBQAM BN-⋅=+，同理可得()8BN AMAQAM BN-⋅=+，所以()()()8882BN AM AM BN AM BN AM BN AQ BQAM BN AM BN AM BN-⋅-⋅+-⋅+=+=+++2882611AM BN=-=-=+．因为AB=ABQ的周长为定值6+．（ⅱ）当m n>时，曲线C的方程为222221x yn m n-=-，轨迹为双曲线，根据（ⅰ）的证明，同理可得,,M A M'三点共线，且BN AM='，（法一）设直线MM'的方程为x sy m=+，联立C的方程，得()()()222222222220m n s n y sm m n y m n⎡⎤--+-+-=⎣⎦，()()()()222221313222222222,sm m n m n y y y y mn s nmn s n--∴+=-=----，（*）因为2113,m n m mAM x x n BN AM x n n m n n ⎛⎫=-=-==- ⎝'⎪⎭，所以1111AM AM AM BN AM AM AM AM ''+=+=⋅'+2222131322221313sm m n sm m n m m y y x n x n n n n n n n m m sm m n sm m nx n x n y y n n nn n n ⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫+++-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()()2213222222213132222m n smy y n n m n ms m n m s y y y y n n n -++=--+++，将（*）代入上式，化简得22112nAM BN m n +=-，（法二）设MAx θ∠=，依条件有2cos AMmn n m AM m θ=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，解得22cos m n AM n m θ-=-，同理由cos AM mn n m AM m θ=⎛⎫-- ⎪⎝⎭''，解得22cos m n AM n m θ-+'=，所以2222221111cos cos 2n m n m nAM BN AM AM m n m n m n θθ'-++=+=+=---．由双曲线的定义2BQ QM MA n +-=，得2QM n AM BQ =+-，根据AM QM BNBQ =，解得()2n AM BNBQ AM BN+⋅=+，同理根据AM AQ BNQN=，解得()2n BN AM AQ AM BN+⋅=+，所以()()2222n BN AM n AM BN AM BN AQ BQ n AM BNAM BNAM BN+⋅+⋅⋅+=+=++++222222211m n m n n n n n AM BN-+=+=+=+，由内切圆性质可知，()12S AB AQ BQ r =++⋅，当S r λ=时，()2221()222m n m n AB AQ BQ m n n λ++=++=+=（常数）．因此，存在常数λ使得S r λ=恒成立，且2()2m n nλ+=．【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．。

深圳市高三年级第一次调研考试（理）数 学 （理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第6页．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用2B 铅笔涂写在小答题卡上．同时，用黑色钢笔将姓名、考号、座位号填写在模拟答题卡上．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把模拟答题卡上对应题目的答案标号涂黑；最后，用2B 铅笔将模拟答题卡上的答案转涂到小答题卡上，不能答在试题卷上． 3．考试结束后，将模拟答题卡和小答题卡一并交回．参考公式：1S 3V h 锥体＝S -锥体的底面积 h -锥体的高24R V π球面＝R -球的半径一．选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1．已知()i i bi a ⋅-=+1(,,a R b R i ∈∈为虚数单位), 则a 、b 的值分别是A ．i i -,B ．1,1C ．1,1-D ．1,-i 2．函数21cos cos sin 32-+=x x x y 的最小正周期是A ．4πB ．2πC ．πD ． π2 3. 已知:14p x +≤,2:56q x x <-,则p 是q 的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．已知直线l 、m ,平面βα、，则下列命题中是假命题的是 A ．若βα//，α⊂l ,则β//l ； B ．若βα//，α⊥l ,则β⊥l ； C ．若α//l ，α⊂m ,则m l //；D ．若βα⊥，l =⋂βα,α⊂m ,l m ⊥,则β⊥m .5．已知函数()x f 是定义域为R 的偶函数,且()()x f x f =+2,若()x f 在[]0,1-上是减函数,那么()x f 在[]3,2上是 A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数6. 以椭圆192522=+y x 的长轴的两个端点为焦点，准线过椭圆焦点的双曲线的渐近线的斜率为 A ．21±B ．34± C ．2± D ．43±7.已知{(,)|6,0,0}x y x y x y Ω=+≤≥≥，{(,)|4,0,20}A x y x y x y =≤≥-≥，若向区域Ω上随机投一点P ， 则点P 落入区域A 的概率为 A ．31 B ．32C ．91D ．928．已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形,俯视图是直径为2的圆,则此几何体的外接球的表面积为 A ．π34B ．π38C ．π316D ．π332第Ⅱ卷 (非选择题共110分)注意事项:第Ⅱ卷全部是非选择题，必须在答题卡非选择题答题区域内，用黑色钢笔或签字笔作答，不能答在试卷上，否则答案无效．二． 填空题：本大题共9个小题,分必做题和选做题，每小题5分，共30分．必做题：考生必须作答第9至第12题． 9．(ax －x1)8的展开式中2x 的系数为70，则a 的值为；10.下面是一个算法的程序框图，当输入的值x 为5时，则其输出的结果是 ；11．在直角坐标平面内，由直线1,0,0x x y ===和抛物线22y x =-+所围成的平面区域的面积是 ；12．如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正四边形“扩展”而来，……如此类推.设由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数为n a ， 则6a = ； 345991111a a a a +++⋅⋅⋅+＝ .选做题：从第13、14、15三道题中选做两题，三题都答的只计算前两题的得分。

2020届广东省深圳市高三下学期第一次调研数学（理）试题一、单选题1．集合1{|1}2A x x=-＜＜，集合B＝{x|x2＜x}，则A∩B＝（）A．112⎛⎫-⎪⎝⎭，B．（﹣1，0）C．12⎛⎫⎪⎝⎭，D．（0，1）【答案】C【解析】先化简集合B，再利用交集的定义求解．【详解】∵集合1{|1}2A x x=-＜＜，集合B＝{x|x2＜x}＝{x|0＜x＜1}，∴A∩B＝{x|0＜x12＜}＝（0，12）．故选：C．【点睛】本题考查主要集合的基本运算，还考查运算求解能力，属于基础题．2．下列函数中为奇函数的是（）A．y＝x2﹣2x B．y＝x2cos x C．y＝2x+2﹣x D．11x y lnx-=+【答案】D【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．【详解】对于A，y＝x2﹣2x，其定义域为R，有f（﹣x）＝x2+2x，f（﹣x）≠f（x）且f（﹣x）≠﹣f（x），即函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意；对于B，y＝x2cos x，其定义域为R，有f（﹣x）＝x2cos x＝f（x），f（x）为偶函数，不符合题意；对于C，y＝2x+2﹣x，其定义域为R，有f（﹣x）＝2x+2﹣x＝f（x），f（x）为偶函数，不合题意；对于D，y＝ln 11xx-+，有11xx-+＞0，解可得﹣1＜x＜1，即其定义域为（﹣1，1），有f（﹣x）＝ln 11xx+=--ln11xx-=-+f（x），为奇函数，符合题意；故选：D．本题考查函数奇偶性的判断，关键是函数奇偶性的定义，属于基础题．3．已知复数z＝i2019+i2020，则z的共轨复数z=（）A．﹣1+i B．1﹣i C．1+i D．﹣1﹣i【答案】C【解析】直接利用复数i4n＝1运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【详解】∵i4n＝1，∴复数z＝i2019+i2020＝i3+1＝1﹣i，∴z的共轨复数z=1+i．故选：C．【点睛】本题考查了复数的高次乘方运算和共轭复数的概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题．4．已知π是圆周率，e为自然对数的底数，则下列结论正确的是（）A．lnπ＞ln3＞log3e B．lnπ＞log3e＞ln3C．ln3＞log3e＞lnπD．ln3＞lnπ＞log3e【答案】A【解析】利用对数函数的性质求解．【详解】∵函数对数y＝lnx和y＝log3x在（0，+∞）上单调递增，且π＞3＞e，∴lnπ＞ln3＞lne＝1，又∵log3e＜log33＝1，∴lnπ＞ln3＞log3e，故选：A．【点睛】本题考查利用对数函数的性质比较大小，属于基础题，5．将直线l：y＝2x+1绕点4（1，3）按逆时针方向旋转45°得到直线l′，则直线l′的方程为（）A．2x﹣y+1＝0 B．x﹣y+2＝0 C．3x﹣2y+3＝0 D．3x+y﹣6＝0【答案】D【解析】直接利用到角公式和点斜式方程求出结果．直线l ：y ＝2x +1绕点4（1，3）按逆时针方向旋转45°得到直线l ′， 设直线l ′的斜率为k ，则根据到角公式的应用，245112k tan k-︒==+，解得k ＝﹣3，所以直线l ′的方程为y ﹣3＝﹣3（x ﹣1），整理得3x +y ﹣6＝0． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查到角公式，直线方程，还考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题． 6．已知数列{a n }为等比数列，若a 1+a 4＝2，a 12+a 42＝20，则a 2a 3＝（ ） A ．﹣8 B ．8 C ．﹣16 D ．16【答案】A【解析】直接利用关系式的转化和等比性质的应用求出结果． 【详解】数列{a n }为等比数列，若a 1+a 4＝2，所以：22114424a a a a ++=，因为a 12+a 42＝20， 所以2a 1a 4＝﹣16， 整理得a 2a 3＝a 1a 4＝﹣8． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质的应用，还考查运算求解能力，属于基础题． 7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．9πB ．223πC ．283πD ．343π【答案】D【解析】根据几何体的三视图可得直观图为：该几何体为上面为一个半径为2的半球，下面为底面半径为2，高为3的半圆柱体． 【详解】由三视图可知：该几何体为上面为一个半径为2的半球，下面为底面半径为2，高为3的半圆柱体． 如图所示：故V 231234232233πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯=． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，还考查空间想象和运算的能力，属于基础题．8．已知过原点O 的直线l 与曲线():4xC y x e =-相切，则l 的斜率为（ ）A ．e -B ．2e -C ．3-D ．e【答案】B【解析】设切点为()(),4mm m e -，然后利用导数求出切线方程，将()0,0代入即可．【详解】由题意设切点为()(),4mm m e-，()4x y x e =-Q ，()3x y x e '∴=-，()3m k m e ∴=-∵y′＝e x （x ﹣3）．所以，切线l 的方程为()()()43mmy m e em x m --=--，因为切线l 过原点，可得2440m m -+=，2m ∴=，2k e =-. 故选：B ． 【点睛】本题考查导数的几何意义与切线的求法，属于基础题．9．珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的《数术记遗》•2013年联合国教科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产．如图，我国传统算盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称为“七珠算盘”．未记数（或表示零）时，每档的各珠位置均与图中最左档一样；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“5”，一个下珠表示“1”，例如：当千位档一个上珠、百位档一个上珠、十位档一个下珠、个位档一个上珠分别靠梁时，所表示的数是5515．现选定“个位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”，若规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，这个数能被3整除的概率为（）A．12B．25C．38D．13【答案】C【解析】这是一个古典概型，基本事件总数n＝24＝16，然后利用列举法得到这个数能被3整除包含的基本事件数，代入公式求解。

圳市育科究院市教育2020年深圳市高三第一次调研考试又绝密★启封并使用完毕前试题类型：A圳市育科究院市教E是AC的中点，∴到点A，C的距离相等的点位于平面B ED'内，同理可知，到点B'，D的距离相等的点位于平面ACF内，cos4EF<<，故应选B.二、填空题：圳市究院市13. 1−14. 32 15. 3 16.4516.解析:如图，不难发现直线1F M与圆O相切于点M，且1||MF b=，2)(sin cos)3cos(2π)x x x.）求函数()f x的最小正周期；已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b1,sin2sinC B，2，求△ABC的面积.解：（1）2)(sin cos)3cos(π2)x x x22sin cos2sin cos3cos2x x x x xsin23cos21x xπ2sin(2)13x，…………………………………4分()f x的最小正周期为2ππ2T. …………………………………………(2)π()2sin()113f A A，πsin()03A，ππ5π2333A，π3A,即π3A. …………………………………………………………由正弦定理及sin2sinC B，可得2c b. …………………………………由余弦定理得2222cosa b c bc A，可得b=. ……………………10分圳市育科学究院市教育科3b=，123sin23ABCS b c A. ……………………………………12分【命题意图】综合考查三角函数的基本运算、三角函数性质，考查利用正弦、余弦定理分）111A B C的所有棱长都相等，平面平面11C C.平面AB111AC B的余弦值）证明：设直线1AB与直线BA1A为菱形，11A B AB，分111C C C A，G为1A B的中点，故1G A B,1C G G，且1AB，1C G平面AB，1A B平面（法一）取BC中点O为坐标原点，如图，分别以,OA OC建立空间直角坐标系O xyz. ……6分不妨设棱柱的棱长为2，1(0,1,0),(0,0,3),(3,0,0),(0,1,0)C A B，1(3,0,3)AC，…………分11(3,1,0)AC AC，11(0,2,0)B C BC……………………8分设平面11A AC的一个法向量为1n，且111(,,n x y z111n AC，11n AC，则11111n ACn AC，得30330x yx z，取1z，则1x，3y，1(1,3,1)n，……………………………………………………………………9分设平面11AB C的一个法向量为2n，且2222(,,)n x y z，那么21n AC，211n B C，21211n ACn B C，得33020x zy，取1z，则1x，0y，2(1,0,1)n，……………………………………………………………………11分121212210cos552||||n nn nn n，,圳市育科学研院市教育科学即二面角111A AC B. …………………………………12分（法二）同（法一）建立空间直角坐标系，得1(3,0,3)AC，…………7分0003,,)(0,1,3)y z，点3,1,3)，1(3,0,BA1(0,1,3)AA,由于1A B平面1,所以1BA是平面11B一个法向量. ………………9分设平面11A AC的一个法向量为n，且(,,)n x y z1n AA，1n AC，11n AAn AC，得30330y zx z，取1z，则1x，3y，(1,3,1)n， (11)1112310cos5||||65BA nBA nBA n，,二面角111A AC B的余弦值为105. ……………………………………（法三）如图，连接1AC，交1AC于点M，11AAC C是菱形，11A M AC.1A G平面11AB C，故1AG AC，11A M A，1AC平面1A MG，GM平面1A MG,1GM AC，……7分1A MG为二面角111A AC B的平面角，不妨设棱柱的棱长为2，G，M是△1A BC边1A B，1AC上的中点，112BC,……………11B C中点为N，连接1A N，BN，易得平面11BB C C，1A N BN，16A B，162AG，102， (10)11210cos510GMA MGA M，圳市院市教育二面角111A AC B. …………………………………12分【命题意图】考查线面垂直判断定理、线面垂直性质定理等基本知识，考查空间想象能OM ON⋅为定值1b=，设椭圆的半焦距为24a=，……………………………………，使得OM ON⋅为定值，2,0)，设直线l：2216(16x k x++y4(2OM ON⋅=OM ON⋅为定值，则43OM ON⋅=，存在实数23t=，使得OM ON⋅为定值43. …………………………12分（法二）设存在实数=t t，使得OM ON⋅为定值，(2,0)A−，一般情况设:2(0)l x my m=−≠，00(,)M x y，圳市科学研究院市教联立2x my=−与2214xy+=，易知202284mxm−=+，0244mym=+，……6分222284(,)44m mMm m−++，………………………………………………7分m2t mOM ON⋅=OM ON⋅为定值，0012(84)4t t=−，此时43OM ON⋅=，……………………当直线l与x轴重合，且时，点(2,0)M，点也有43OM ON⋅=，………………………………………………………综上，存在实数t=OM ON⋅为定值4【命题意图】本题以直线与椭圆为载体，其几何关系向量表达为背景，决几何问题，主要考查椭圆的基本量，直线与椭圆的位置关系、向量的数量积运算，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力（2）由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布()2,Nμσ，其中μ可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作代表），且2362σ=. 利用该正态分布，估计全市参加预赛的全体学生中预赛圳市究院市教成绩不低于91分的人数；（3）预赛成绩不低于91分的学生将参加复赛，复赛规则如下：①每人的复赛初始分均为100分；②参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量n，每一题都需要“花”掉(即减去)2(,Nμσ0.9545，P易知样本中成绩不低于60分的学生共有0.007520100⨯⨯分的学生中随机地抽取(,0.7)B n1.5Xξ=，，…………………………………………………………题的资格，甲需要“花”掉的分数为：………………………………………………设甲答完题的最终分数为，则()M n21000.05() 1.05n n n=−++20.05(10)105n=−−+，…………………………10分由于*n∈N，所以当10n=时，()M n取最大值105，即复赛成绩的最大值为105，圳市究院市教所以若学生甲期望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量n应为10. ……………12分【命题意图】考查频率分布直方图，建模能力；考查超几何分布模型，正态分布，二项分布；考查分析问题、解决问题的能力；处理数据能力，决策问题.（2）不等式222cos(2sin)()x a x af x+≤恒成立，即不等式2cos(2sin)cosx a x≤恒成立，令sin[1,1]x t=∈−，则等价于不等式2cos2(1)t a t≤−…①恒成立，………………6分圳市究院市教（法一）①若21t=，即1t=±时，不等式①显然成立，此时Ra∈；……………7分②若11t−<<时，不等式①等价于2cos21tat≥−…②，令2()cos21t t tΦ=+−(01)t≤≤，则()2(sin2)t t t'Φ=−，(1)2(1sin2)0'Φ=−>，∴由（1）不难知道存在唯一的实数(0,1t）∈，使得()0t'Φ=，圳市教育科学研究院市教育科学∴()t Φ在0[0,)t 上单调递减，在0(,1]t 上单调递增，又(0)0Φ=，且(1)cos20Φ=<，∴max ()0t Φ=，即()0H t ≤，………………11分 综上所述，满足题意的实数a 的取值范围为[1,)+∞. ………………………12分（法三）当0t =时，由2cos 2(1)t a t ≤−得1a ≥， ……………………7分下证当且仅当1a ≥时，不等式①在[1,1]t ∈−时恒成立，只需证不等式①在[0,1]t ∈时恒成立即可， ……………………8分 ①若cos20t ≤时，即π[,1]4t ∈时，不等式①显然成立； …………………9分 ②若cos20t >时，即π[0)4t ，∈时，2cos 2(1)t a t ≤−等价于2221cos2t att t≤−…③， 令tan t θ=π(0)4θ≤<，则不等式③等价于2tan 2cos 2attθ≤， …………………10分 又不等式tan sin x x x ≥≥在π[0,)2x ∈时显然成立（证明略）， …………………11分π[0)4t ，∈，∴π2[0,)2t ∈，∴2sin 2t t ≥，∴2sin 2tan 2tan 2cos2cos2at a t a t t t t≥=≥，tan t θθ=>，∴tan 2tan 2t θ≥， ∴2tan 2cos 2attθ≤，即不等式③成立，亦即不等式①成立， 综上所述，满足题意的实数a 的取值范围为[1,)+∞. ………………………12分 【命题意图】 本题以基本初等函数及不等式为载体，考查学生利用导数分析、解决问的能力，分类讨论思想及逻辑推理、数学运算等数学核心素养，具有较强的综合性.22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程如图，有一种赛车跑道类似“梨形”曲线，由圆弧BC ，AD 和线段AB ，CD 四部分组成，在极坐标系Ox 中，π(2,)3A ，2π(1,)3B ，4π(1,)3C ，π(2,)3D −，弧BC ，AD 所在圆的圆心分别是(0,0)，(2,0)，曲线1M 是弧BC ，曲线2M 是弧AD ．（1）分别写出1M ，2M 的极坐标方程；（2）点E ，F 位于曲线2M 上，且π3EOF ∠=， 求△EOF 面积的取值范围．ABCDOx（第22题图）圳市究院市教解：（1）由题意，1M的极坐标方程是2π4π1()33ρθ=≤≤，……………………2分记圆弧AD所在圆的圆心为1(2,0)O，易得极点O在圆弧AD所在圆上，解得13t≤≤，即实数t的取值范围为[1,3]. ……………………………………5分（说明：分类讨论求解亦可，可相应给分.）圳市究院市教(2) 易知222222()23231f x x t t x t t xx x x=+−++−≥+−++−=+−，……6分。

一、单选题1.与曲线和都相切的直线与直线垂直，则=（ ）A ．-8B ．-3C ．4D ．62. 函数的部分图象大致为（ ）A．B．C．D．3.已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，且平面，若该棱锥的体积为，，，，则此球的表面积等于（ ）A．B．C．D．4.已知双曲线的顶点为椭圆的两个焦点，双曲线的右焦点与椭圆短轴的两个顶点构成正三角形，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D ．25.已知椭圆的焦距为2，离心率，则椭圆的标准方程为（ ）A．B．C．D．6.已知在菱形中，，把沿折起到位置，若二面角大小为，则四面体的外接球体积是（ ）A．B．C．D．7. 为了解大学生对体育锻炼的兴趣，某高校从4万多名在校大学生中抽取了男､女生各200名进行了调查，得到如下统计图：对比两图中信息并进行分析，下列说法正确的是（ ）A ．大量出汗并感到很疲乏的男生人数是女生人数的2倍B ．男生中运动时间超过1小时的超过广东省深圳市2024届高三第一次调研考试数学试卷二、多选题三、填空题C ．女生的平均运动强度高于男生的平均运动强度D ．运动时间在小时内的男生人数与运动时间在小时内的女生人数相同8.在中，点在边上，且，设，，则A．B．C．D．9. 已知正三棱锥，点P ，A ，B ，C 都在半径为的球面上，若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为A．B．C．D．10. 已知集合，则（ ）A．B．C．D．11. 已知，且，则下列结论正确的是（ ）A．的最大值为B ．的最大值为C．的最小值为D．的最大值为12.已知函数的定义域为R，为奇函数，且对，恒成立，则（ ）A ．为奇函数B．C．D．13. 2020年上半年受疫情影响，我国居民人均消费支出情况也受到了影响，现统计出2015-2020年上半年我国居民人均消费支出情况如图所示，则下列说法正确的是（）A ．从2015年到2019年我国居民人均消费支出逐年减少B ．若2020年下半年居民消费水平与上半年相当，则全年消费与2018年基本一致C ．若2020年下半年居民消费水平比上半年提高20％，则全年消费支出将超过2019年D ．随着疫情的有效控制，2020年下半年居民消费水平比上半年有所提高，居民人均消费支出较2019年减少不会超过10％14. 质点A 和B 在以坐标原点O 为圆心，半径为1的圆O 上逆时针做匀速圆周运动，同时出发，A 的起点在射线和圆O 的交点处，A 的角速度为，B 的起点为圆O 与x 轴正半轴的交点，B 的角速度为，则下列说法正确的是（ ）A ．在1s 末时，点A的坐标为B ．在2s 末时，点B的坐标为C ．在2s 末时，劣弧的长为D ．当A 与B 重合时，点A的坐标可以为四、填空题五、解答题六、解答题15.已知等差数列的前5项和，则____________．16. 等腰△ABC 中，AB =AC ，BD 为AC 边上的中线，且BD =3，则△ABC 的面积最大值为_____．17. 如图，在三棱锥中，平面ABC ，，，若三棱锥的外接球体积为，则的面积为__________．18.知数列，，，，，则该数列的第3项是______，是它的第______项．19. 已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，若恰好为的中点，则_____；直线的斜率为______.20.在数列中，，且.(1)求的通项公式；(2)若，数列的前项和为，求21. （1）求曲线和曲线围成图形的面积；（2）化简求值：．22. 已知函数.（1）求函数的单调区间和极值；（2）画出函数的大致图象，并说明理由；（3）求函数的零点的个数.23. 党的十八大以来，习近平总书记多次对职业病防治工作作出重要指示，并在全国卫生与健康大会上强调，推进职业病危害源头治理．东部沿海某蚕桑种植场现共有工作人员110人，其中有22人从事采桑工作，另外88人没有从事采桑工作．(1)为了解职工患皮炎是否与采桑有关，现采用分层随机抽样的办法从全体工作人员中抽取25人进行调查，得到以下数据：采桑不采桑合计患皮炎4未患皮炎18合计25①请完成上表；②依据小概率值的独立性检验，分析患皮炎是否与采桑有关？(2)为了进一步了解职工职业病的情况，需要在上表患皮炎的工作人员中抽取4人做进一步调查，将其中采桑的人数记作，求的分布列和七、解答题八、解答题九、解答题期望．附：，其中，0.150.100.050.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.87924. 已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：方程在上有且只有一个解；(3)设点，，，若对任意，，都有经过，的直线斜率大于，求实数的取值范围．25. 某市为创建全国文明城市，市文明办举办了一次文明知识网络竞赛，全市市民均有且只有一次参赛机会，满分为100分，得分大于等于80分的为优秀.竞赛结束后，随机抽取了参赛中100人的得分为样本，统计得到样本平均数为71，方差为81.假设该市有10万人参加了该竞赛活动，得分Z服从正态分布.（1）估计该市这次竞赛活动得分优秀者的人数是多少万人?（2）该市文明办为调动市民参加竞赛的积极性，制定了如下奖励方案：所有参加竞赛活动者，均可参加“抽奖赢电话费”活动，竞赛得分优秀者可抽奖两次，其余参加者抽奖一次.抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数（10，11，，99），若产生的两位数的数字相同，则可奖励40元电话费，否则奖励10元电话费.假设参加竞赛活动的所有人均参加了抽奖活动，估计这次活动奖励的电话费总额为多少万元?参考数据：若，则.26.已知两定点，动点满足，由点向轴作垂线段，垂足为，点满足，点的轨迹为.（1）求曲线的方程；（2）过点作直线与曲线交于两点，点满足（为原点），求四边形面积的最大值，并求此时直线的方程.。

（本试卷共3页，19小题，满分150分。

考试用时120分钟。

） 2024.深圳市高级中学2025届高三第一次诊断考试数学10一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1．已知集合{}2,1,0,1,2,3U =−−，{}1,2A =，{}1,0,1B −，则()U A B = （ ）A ．{}2,3−B ．{}2,2,3−C ．{}2,1,0,3−−D ．{}2,1,0,2,3−−2．1e ，2e是平面内不共线两向量，已知12AB e ke =− ，122CB e e =+ ，123CDe e =− ，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值是（ ） A ．2−B ．2C ．3−D ．33．若α是第三象限角，且()()5sin cos cos sin 13αββαββ+−+=−，则tan 2α的值为（ ）A ．5−B ．5C ．513−D ．5134．已知函数()f x 的定义域为[]2,2−，则函数()()1f x F x x+=的定义域为（ ）A ．[]1,3−B ．[]3,1−C ．[)(]1,00,3−D ．[)(]3,00,1−5．已知函数()()22ln 3f x x ax a =−−在[)1,+∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(],1−∞−B ．(),1−∞−C ．(],2−∞D ．()2,+∞6．已知平面向量1e 和2e 满足2122e e == ，2e 在1e 上的投影向量为1e − ，则1e 在2e 上的投影向量为（ ）A ．212e −B ．12−C ．214e −D ．2e −7．已知关于x 不等式()()20x ax b x c−+≥−的解集为(](],21,2−∞− ，则（ ）A ．2c =B ．点(),a b 在第二象限C ．22y ax bx a =+−的最大值为3aD ．关于x 的不等式20ax ax b +−≥的解集为[]2,1−8．已知0a >，1x ，2x 分别是函数()e xf x x a =−与()ln xg x a x=−−的零点，则1212e a x x x −的最大值为（ ）A ．2B ．22e C ．24e D ．28e二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

高考数学精品复习资料2019.5深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合}5,1,0,2{=U ，集合}2,0{=A ，则A C U ＝（ ） A.φ B 。

}2,0{ C 。

}5,1{ D 。

}5,1,0,2{ 2、已知复数z 满足1)1(=+i z （其中i 为虚数单位），则=z （ ） A.21i +- B 。

21i -- C 。

21i + D 。

21i- 3、若函数b a y x+=的部分图象如图1所示，则A.01,10<<-<<b a B 。

10,10<<<<b a C.01,1<<->b a D 。

4、已知实数y x ,满足不等式组300≤⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+y x y x ，则y x +2的最大值为（ ）A.3 B 。

4 C 。

6 D 。

95、已知直线b a ,，平面βα,，且α⊥a ，β⊂b ，则“b a ⊥”是“βα//”的（ ） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6、执行如图2所示的程序框图，则输出S 的值为（ ） A. 16 B 。

25 C 。

36 D 。

497、在ABC ∆中，c b a ,,分别为C B A ∠∠∠,,所对的边，若函数1)(31)(2223+-+++=x ac c a bx x x f 有极值点，则B ∠的范围是（ ） A.)3,0(πB 。

]3,0(πC 。

],3[ππD 。

),3(ππ图 1图28、如果自然数a 的各位数字之和等于8，我们称a 为“吉祥数”。

将所有“吉祥数”从小到大排成一列321,,a a a …，若2015=n a ，则=n （ ）A. 83 B 。

82 C 。

39 D 。

37二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。