2021届高考数学一轮总复习第12章复数算法推理与证明第2节算法与程序框图跟踪检测文含解析20210

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第十二章推理证明、算法、复数 12。

2 古典概型理1．基本事件的特点（1）任何两个基本事件是互斥的；（2）任何事件(除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型．（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2)每个基本事件出现的可能性相等．3．如果一次试验中可能出现的结果有n个,而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是错误!;如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝错误!。

4．古典概型的概率公式P（A）＝错误!.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”）（1)“在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．( ×)（2）掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”,这三个结果是等可能事件．( ×)（3)从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型．( ×）（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为13.( √)（5)从1，2,3,4,5中任取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2。

第三节算法初步［最新考纲］［考情分析]［核心素养］1.了解算法的含义，了解算法的思想。

2.理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构.3。

理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义。

依据程序框图直接得出结论，填写部分内容以及程序框图与其他知识交汇是2021年高考考查的热点，题型为选择题或填空题，分值为5分.1.逻辑推理2。

数学运算‖知识梳理‖1．算法(1）算法通常是指按照错误!一定规则解决某一类问题的错误!明确和错误!有限的步骤．（2）应用：算法通常可以编成计算机错误!程序，让计算机执行并解决问题．2．程序框图定义：程序框图又称流程图，是一种用5程序框、流程线及6文字说明来表示算法的图形．3．三种基本逻辑结构名称内容顺序结构条件结构循环结构定义由若干个错误!依次执行的步骤组成,这是任何一个算法都离不开的错误!基本结构算法的流程根据9条件是否成立有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构从某处开始，按照一定的条件错误!反复执行某些步骤的情况，反复执行的步骤称为错误!循环体程序框图‖基础自测‖一、疑误辨析1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√"或“×”)．(1)算法的每一步都有确定的意义,且可以无限地运算．()（2）一个程序框图一定包含顺序结构，也包含条件结构和循环结构．(）（3）一个循环结构一定包含条件结构．（)(4)当型循环是给定条件不成立时，执行循环体，反复进行，直到条件成立为止．（)答案:（1）×(2)×（3)√(4)×二、走进教材2．（必修3P25例5改编）给出如图程序框图,其功能是(）A．求a－b的值B．求b－a的值C．求|a－b｜的值D．以上都不对答案:C3．(必修3P33B3改编)执行如图所示的程序框图，若输出的S 为4,则输入的x应为（)A．－2 B．16C．－2或8 D．－2或16答案：D三、易错自纠4．如图给出的是计算错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是(）A．i<50? B．i>50？C．i〈25？D．i>25?解析：选B因为该循环体需要运行50次，i的初始值是1,间隔是1，所以i＝50时不满足判断框内的条件，而i＝51时满足判断框内条件,所以判断框内的条件可以填入i>50？故选B．5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s的值等于（)A．－3 B．－10C．0 D．－2解析：选A第一次循环：k＝0＋1＝1,满足k<4，s＝2×1－1＝1；第二次循环：k＝1＋1＝2，满足k<4,s＝2×1－2＝0;第三次循环：k＝2＋1＝3,满足k<4，s＝2×0－3＝－3;第四次循环：k ＝3＋1＝4,不满足k<4,故输出的s＝－3.故选A．错误!｜题组突破|1．(2019年全国卷Ⅲ）执行如图所示的程序框图，如果输入的ε为0。

第十二章 算法初步、推理与证明、复数12.1 算法与程序框图考纲要求1．了解算法的含义，了解算法的思想．2．理解算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构．1．算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的____和____的步骤．2．程序框图又称________，是一种用______、________及文字说明来表示算法的图形．3．顺序结构是由______________________组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构． 其结构形式为：4．条件结构是指算法的流程根据给定的条件是否成立而选择执行不同的流向的结构形式．其结构形式为：5．循环结构是指从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况．反复执行的步骤称为________．循环结构又分为______________和________________．其结构形式为：当型循环结构直到型循环结构1．下列关于算法的说法正确的个数是( )．①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法必须在有限步操作之后停止；③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊； ④算法执行后产生确定的结果．A ．1B ．2C ．3D ．42. 如果执行下边的程序框图，输入x ＝－12，那么其输出的结果是( )．A ．9B ．3C ． 3D ．193．(2012广东高考)执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为( )．A ．105B ．16C ．15D ．14．给出如下程序框图，其功能是( )．A ．求a －b 的值B ．求b －a 的值C ．求|a －b |的值D ．以上都不对5．某程序框图如图所示，若输入的x 的值为12，则执行该程序后，输出的y 值为__________．一、算法的基本结构【例1】执行如图所示的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是( )．A ．120B ．720C ．1 440D ．5 040 方法提炼1．解决程序框图问题要注意几个常用变量．(1)计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i ＝i ＋1；(2)累加变量：用来计算数据之和，如s ＝s ＋i ；(3)累乘变量：用来计算数据之积，如p ＝p ×i .2．处理循环结构的框图问题，关键是理解并认清终止循环结构的条件及循环次数．请做演练巩固提升1二、循环结构设计【例2－1】 执行下图所示的程序框图，输入l ＝2，m ＝3，n ＝5，则输出的y 的值是__________．【例2－2】 如图是一个程序框图，运行这个程序，则输出的结果为( )．A.1321B.2113C.813D.138方法提炼1．循环结构主要用在一些有规律的重复计算的算法中，如累加求和、累乘求积等问题．用循环结构表达算法，在画出算法的程序框图之前就应该分析清楚循环结构的三要素：①确定循环变量和初始值；②确定算法中反复执行的部分，即循环体；③确定循环的终止条件．2．运行程序框图和完善程序框图是高考的热点．解答这一类问题，首先，要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要运行程序框图，理解程序框图所解决的实际问题；第三，按照题目的要求完成解答，对程序框图的考查常与数列和函数等知识相结合，进一步强化程序框图问题的实际背景．请做演练巩固提升2,3加强框图中对逻辑顺序的理解【典例】 (2012天津高考)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为( )．A ．8B ．18C ．26D ．80解析：n ＝1，S ＝0＋31－30＝2，n ＝2；n ＝2＜4，S ＝2＋32－31＝8，n ＝3；n ＝3＜4，S ＝8＋33－32＝26，n ＝4；4≥4，输出S ＝26.答案：C答题指导：1.本题条件较多，读不懂程序框图的逻辑顺序，盲目作答而导致错误．因此，在解决循环结构问题时，一定要弄明白计数变量和累加变量．2．读程序框图时，要注意循环结构的终止条件．1．对于如图所示的程序框图，输入a ＝ln 0.8，b ＝12e ，c ＝2－e ，经过程序运算后，输出a ，b 的值分别是( )．A ．2－e ，ln 0.8B ．ln 0.8,2－eC ．12e ，2－eD ．12e ，ln 0.82．(2012合肥模拟)执行下面的程序框图，则输出的n ＝( )．A ．6B ．5C ．8D ．73．(2012福建高考)阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s 值等于( )．A ．－3B ．－10C ．0D ．－24．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是__________．5．(2012山东潍坊模拟)运行如图所示的程序框图，当输入m ＝－4时，输出的结果为n .若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤3，x －y ≥－1，y ≥n .则目标函数：z ＝2x ＋y 的最大值为__________．参考答案基础梳理自测知识梳理1．明确 有限2．流程图 程序框 流程线3．若干个依次执行的步骤5．循环体 当型循环结构 直到型循环结构基础自测1．C 解析：①是不正确的，②③④正确．2．C 解析：依题意得，执行完第1次循环后，x ＝－12＋3＝－9≤0；执行完第2次循环后，x ＝－9＋3＝－6≤0；执行完第3次循环后，x ＝－6＋3＝－3≤0；执行完第4次循环后，x ＝－3＋3＝0≤0；执行完第5次循环后，x ＝0＋3＝3＞0.结合题中的程序框图可知，最后输出的结果是 3.3．C 解析：i ＝1，s ＝1；i ＝3，s ＝3；i ＝5，s ＝15；i ＝7时，输出s ＝15.4．C 解析：求|a －b |的值．5．2 解析：∵12＜1， ∴当x ＝12时，y ＝124＝2. 考点探究突破【例1】 B 解析：当输入的N 是6时，由于k ＝1，p ＝1， 因此p ＝p ·k ＝1，此时k ＝1＜6；第一次循环，k ＝1＋1＝2，p ＝1×2＝2，k ＝2＜6；第二次循环，k ＝2＋1＝3，p ＝2×3＝6，k ＝3＜6；第三次循环，k ＝3＋1＝4，p ＝6×4＝24，k ＝4＜6；第四次循环，k ＝4＋1＝5，p ＝24×5＝120，k ＝5＜6；第五次循环，k ＝5＋1＝6，p ＝120×6＝720，k ＝6＜6不成立． 因此输出p ＝720.【例2－1】 68 解析：由程序框图可知，y 的变化情况为y ＝70×2＋21×3＋15×5＝278，进入循环，显然278＞105，因此y ＝278－105＝173；此时173＞105，故y ＝173－105＝68.经判断68＞105不成立，输出此时y 的值68.【例2－2】 D 解析：由程序框图可得，第一次循环：x ＝1，y ＝2；第二次循环：x ＝2，y ＝3；第三次循环：x ＝3，y ＝5；第四次循环：x ＝5，y ＝8；第五次循环：x ＝8，y ＝13；z ＝21＞20，此时退出循环，输出y x ＝138. 演练巩固提升1．C 解析：该程序框图的设计目的是将a ，b ，c 按照由大到小的顺序排列，即输出的a ，b ，c 满足a ≥b ≥c ，而ln 0.8＜0，12e＞1，0＜2－e ＜1，即12e ＞2－e ＞ln 0.8，故输出的a ＝12e ，b ＝2－e.2．D 解析：此程序框图的功能是计算a 1＝12，q ＝12的等比数列的前n －1项和S ＞3132时，n 的最小值． ∵S ＝a 1(1－q n －1)1－q ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＞3132， ∴n ＞6，∴n ＝7.3．A 解析：(1)k ＝1,1＜4，s ＝2×1－1＝1；(2)k ＝2,2＜4，s ＝2×1－2＝0；(3)k ＝3,3＜4，s ＝2×0－3＝－3；(4)k ＝4，直接输出s ＝－3.4．15 解析：由题意可得T 为求1＋2＋3＋…＋k 的值． 由于1＋2＋3＋…＋14＝105,1＋2＋3＋…＋15＝120， 所以输出k 的值为15.5．5 解析：由程序框图可知，当输入m ＝－4时，输出的结果为n ＝1， ∴变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤3，x －y ≥－1，y ≥1.此不等式组表示的可行域如图中的阴影部分所示．由图可知目标函数z ＝2x ＋y 在点A (2,1)处取得最大值2×2＋1＝5.。

12.5 数学归纳法考纲要求1．了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．归纳法归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于__________．2．数学归纳法证明一个与自然数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0时命题成立；(2)(归纳递推)假设当n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立的前提下，推出当n ＝k ＋1时命题也成立．那么可以断定，这个命题对n 取第一个值后面的所有正整数成立． 上述证明方法叫做__________．用框图表示就是：1．用数学归纳法证明3n≥n 3(n ∈N ，n ≥3)，第一步应验证( )． A ．n ＝1 B ．n ＝2 C ．n ＝3 D ．n ＝42．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n ＋1＝2n ＋2－1(n ∈N *)的过程中，在验证n ＝1时，左端计算所得的项为( )．A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋22D ．1＋2＋22＋233．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n2，则( )．A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋144．用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ＞1)”，由n ＝k (k ＞1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项的项数是__________．5．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝a na n ＋1，则数列的前5项为__________，猜想它的通项公式是__________．一、用数学归纳法证明恒等式【例1】 n ∈N *，求证：1－12＋13－14＋...＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12).方法提炼用数学归纳法证题的关键是第二步由n ＝k 到n ＝k ＋1的过渡，要设法将待证式与归纳假设建立联系，即借助于已经学过的公式、定理或运算法则进行恒等变形，把n ＝k ＋1时的表达式拼凑出归纳假设的形式，再把运用归纳假设后的式子进行变形、证明．请做演练巩固提升2二、用数学归纳法证明不等式【例2】 设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1a n(n ＝1,2，…)．(1)证明：a n ＞2n ＋1对一切正整数n 都成立； (2)令b n ＝a nn(n ＝1,2，…)，判断b n 与b n ＋1的大小，并说明理由． 方法提炼用数学归纳法证明不等式时常常要用到放缩法，即在归纳假设的基础上，通过放大或缩小技巧变换出要证明的目标不等式．事实上，在合理运用归纳假设后，可以使用证明不等式的任何方法证明目标式成立．请做演练巩固提升3三、用数学归纳法证明几何问题【例3】用数学归纳法证明：凸n 边形的对角线的条数为f (n )＝12n (n －3)(n ≥3)．方法提炼用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k 个变成k ＋1个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析；事实上，将n ＝k ＋1和n ＝k 分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，这也是用数学归纳法证明几何问题的一大技巧．请做演练巩固提升1 四、归纳—猜想—证明【例4】 设数列{a n }满足a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n ＝1,2，3，….(1)当a 1＝2时，求a 2，a 3，a 4，并由此猜想出a n 的一个通项公式； (2)当a 1≥3时，证明对所有的n ≥1，有a n ≥n ＋2. 方法提炼“归纳—猜想—证明的模式”，是不完全归纳法与数学归纳法综合运用的解题模式，这种方法在解决探索性、存在性问题时起着重要作用，它的证题模式是先由归纳推理发现结论，然后用数学归纳法证明结论的正确性，这种思维方式是推动数学研究与发展的重要方式．请做演练巩固提升5数学归纳法解题步骤要求【典例】 (14分)(2012湖北高考)(1)已知函数f (x )＝rx －x r＋(1－r )(x ＞0)，其中r 为有理数，且0＜r ＜1，求f (x )的最小值；(2)试用(1)的结果证明如下命题：设a 1≥0，a 2≥0，b 1，b 2为正有理数．若b 1＋b 2＝1，则ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2； (3)请将(2)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求导公式(x α)′＝αx α－1.规范解答：(1)f ′(x )＝r －rx r －1＝r (1－x r －1)， 令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0,1)内是减函数； 当x ＞1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(1，＋∞)内是增函数．故函数f (x )在x ＝1处取得最小值f (1)＝0.(4分)(2)由(1)知，当x ∈(0，＋∞)时，有f (x )≥f (1)＝0，即x r≤rx ＋(1－r )．① 若a 1，a 2中有一个为0，则11ba 22ba ≤a 1b 1＋a 2b 2成立；若a 1，a 2均不为0，又b 1＋b 2＝1，可得b 2＝1－b 1, 于是在①中令x ＝a 1a 2，r ＝b 1，可得112b a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤b 1·a 1a 2＋(1－b 1)， 即11b a 112b a -≤a 1b 1＋a 2(1－b 1)，亦即1212b ba a ≤a 1b 1＋a 2b 2.综上，对a 1≥0，a 2≥0，b 1，b 2为正有理数且b 1＋b 2＝1，总有1212b ba a ≤a 1b 1＋a 2b 2.②(8分)(3)(2)中命题的推广形式为：设a 1，a 2，…，a n 为非负实数，b 1，b 2，…，b n 为正有理数． 若b 1＋b 2＋…＋b n ＝1，则1212bba a …n bn a ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n .③用数学归纳法证明如下：(ⅰ)当n ＝1时，b 1＝1，有a 1≤a 1，③成立．(10分)(ⅱ)假设当n ＝k 时，③成立，即若a 1，a 2，…，a k 为非负实数，b 1，b 2，…，b k 为正有理数，且b 1＋b 2＋…＋b k ＝1，则1212bb a a …k bk a ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k .当n ＝k ＋1时，已知a 1，a 2，…，a k ，a k ＋1为非负实数，b 1，b 2，…，b k ，b k ＋1为正有理数，且b 1＋b 2＋…＋b k ＋b k ＋1＝1，此时0＜b k ＋1＜1，即1－b k ＋1＞0，于是1212b b a a …11k k a b k k a a ++＝(1212b b a a …k a k a )11k b k a ++＝11211111111121k k k k k k b b b b b b b b k k a a a a +++++----+⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭….(12分)因b 11－b k ＋1＋b 21－b k ＋1＋…＋b k1－b k ＋1＝1，由归纳假设可得12111112k k b b b b aa++--…11k k b b ka+-≤a 1·b 11－b k ＋1＋a 2·b 21－b k ＋1＋…＋a k ·b k1－b k ＋1＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k1－b k ＋1，从而1212b b a a (1)1k k b bk k a a ++≤⎝⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋11－b k ＋1·ab k ＋1k ＋1.又因(1－b k ＋1)＋b k ＋1＝1，由②得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋11111k k b b k a ++-+≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋1·(1－b k ＋1)＋a k ＋1b k ＋1 ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1，从而1212b b a a (1)1k k b bk k a a ++≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1.故当n ＝k ＋1时，③成立．由(ⅰ)(ⅱ)可知，对一切正整数n ，所推广的命题成立．(14分) 答题指导：解决数学归纳法中“归纳—猜想—证明”问题及不等式证明时，有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：1．归纳整理不到位得不出正确结果，从而给猜想造成困难．2．证明n ＝k 到n ＝k ＋1这一步时，忽略了假设条件去证明，造成不是纯正的数学归纳法．3．不等式证明过程中，不能正确合理地运用分析法、综合法来求证． 另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧，只有这样，才能快速正确地解决问题．1．平面内有n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，则这n 个圆将平面分成不同的区域有( )．A ．2n 个B ．2n个C ．n 2－n ＋2个D ．n 2＋n ＋1个2．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )．A ．n ＝k ＋1时等式成立B ．n ＝k ＋2时等式成立C ．n ＝2k ＋2时等式成立D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立3．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( )．A ．f (1)＜1成立，则f (10)＜100成立B ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立 C ．若f (2)＜4成立，则f (1)≥1成立D ．若f (4)≥16成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立4．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验的第一个值为n 0＝__________.5．设数列a 1，a 2，…，a n ，…中的每一项都不为0.证明：{a n }为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N *，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1.参考答案基础梳理自测知识梳理1．完全归纳法 2．数学归纳法 基础自测 1．C 2．C 3．D4．2n－1 解析：当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12n －1＋12n ＋12n ＋1＋…＋12n ＋1－1＜n ＋1，∴左边增加的项的项数为2n ＋1－1－2n ＝2n ＋1－1－2n ＝2n－1项． 5.12，13，14，15，16 a n ＝1n ＋1 考点探究突破【例1】 证明：(1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝11＋1＝12.左边＝右边．(2)假设n ＝k 时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k，则当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2 ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2. 即当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合(1)，(2)可知，对一切n ∈N *，等式成立．【例2】 (1)证明：当n ＝1时，a 1＝2＞2×1＋1，不等式成立．假设当n ＝k (k ∈N *)时，a k ＞2k ＋1成立． 那么当n ＝k ＋1时，21k a +＝2k a ＋21k a 2＞2k ＋3＋21ka ＞2(k ＋1)＋1. ∴当n ＝k ＋1时，a k ＋1＞2(k ＋1)＋1成立．综上，a n ＞2n ＋1对一切正整数n 都成立．(2)解：∵b n ＋1b n ＝a n ＋1n ＋1a nn＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a n 2·nn ＋1＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋1·n n ＋1 ＝2(n ＋1)n (2n ＋1)n ＋1＝2n (n ＋1)2n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122－14n ＋12＜1.故b n ＋1＜b n .【例3】 证明：(1)∵三角形没有对角线， ∴n ＝3时，f (3)＝0，命题成立．(2)假设n ＝k (k ≥3)时，命题成立，即f (k )＝12k (k －3)，则当n ＝k ＋1时，凸k 边形由原来的k 个顶点变为k ＋1个顶点，对角线条数增加k －1条．∴f (k ＋1)＝f (k )＋k －1＝12k (k －3)＋k －1＝12(k ＋1)[(k ＋1)－3]．∴当n ＝k ＋1时命题成立，由(1)，(2)可知对任何n ∈N 且n ≥3，命题恒成立． 【例4】 解：(1)由a 1＝2，得a 2＝a 12－a 1＋1＝3，由a 2＝3，得a 3＝a 22－2a 2＋1＝4，由a 3＝4，得a 4＝a 32－3a 3＋1＝5，由此猜想a n 的一个通项公式：a n ＝n ＋1(n ≥1)． (2)证明：用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1≥3＝1＋2，不等式成立． ②假设当n ＝k 时不等式成立， 即a k ≥k ＋2，那么，a k ＋1＝a k (a k －k )＋1≥(k ＋2)(k ＋2－k )＋1≥k ＋3， 也就是说，当n ＝k ＋1时，a k ＋1≥(k ＋1)＋2. 根据①和②，对于所有n ≥1，都有a n ≥n ＋2. 演练巩固提升1．C 解析：n ＝2时，分成4部分，可排除D ；n ＝3时，分成8部分，可排除A ；n ＝4时，分成14部分，可排除B ，故选C.2．B 解析：n 为正偶数，若n ＝k ，则下一个正偶数为n ＝k ＋2，故选B. 3．D 解析：f (4)≥16，说明当k ＝4时，f (k )≥k 2成立．f (k )≥k 2成立时，f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立，说明n ＝k 时f (n )≥n 2成立能推出n ＝k ＋1时，f (n )≥n 2成立，根据数学归纳法可得当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立．4．4 解析：∵凸多边形要有对角线，至少也是四边形，∴n 0＝4. 5．证明：先证必要性． 设数列{a n }的公差为d .若d ＝0，则所述等式显然成立．若d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1 ＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1＝1d ·a n ＋1－a 1a 1a n ＋1＝na 1a n ＋1. 再证充分性．(数学归纳法)设所述的等式对一切n ∈N *都成立．首先，在等式1a 1a 2＋1a 2a 3＝2a 1a 3①两端同乘a 1a 2a 3，即得a 1＋a 3＝2a 2，所以a 1，a 2，a 3成等差数列，记公差为d ， 则a 2＝a 1＋d .假设a k ＝a 1＋(k －1)d ，当n ＝k ＋1时， 观察如下两个等式 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k＝k －1a 1a k，②1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＋1a k a k ＋1＝ka 1a k ＋1，③将②代入③，得k －1a 1a k ＋1a k a k ＋1＝ka 1a k ＋1，在该式两端同乘a 1a k a k ＋1， 得(k －1)a k ＋1＋a 1＝ka k .将a k ＝a 1＋(k －1)d 代入其中，整理后， 得a k ＋1＝a 1＋kd .由数学归纳法原理知，对一切n ∈N *，都有a n ＝a 1＋(n －1)d . 所以{a n }是公差为d 的等差数列．。

第十二章⎪⎪⎪推理与证明、算法、复数第一节 合情推理与演绎推理本节主要包括2个知识点： 1.合情推理； 2.演绎推理.突破点(一) 合情推理[基本知识] 类型 定义特点 归纳 推理根据某类事物的部分对象具有某种特征，推出这类事物的全部对象都具有这种特征的推理由部分到整体、 由个别到一般类比 推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理由特殊到特殊[基本能力]1．判断题(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× 2．填空题(1)已知数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是a n ＝________.解析：a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2. 答案：n 2(2)由“半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R 的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是合情推理中的________推理．答案：类比(3)观察下列不等式： ①12<1；②12＋16<2；③12＋16＋112< 3.则第5个不等式为____________________________________________________．答案：12＋16＋112＋120＋130< 5[全析考法]归纳推理运用归纳推理时的一般步骤(1)通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；(2)把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题(猜想)；(3)对所得出的一般性命题进行检验．类型(一)与数字有关的推理[例1](1)给出以下数对序列：(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)……记第i行的第j个数对为a ij，如a43＝(3,2)，则a nm＝()A．(m，n－m＋1) B．(m－1，n－m)C．(m－1，n－m＋1) D．(m，n－m)(2)(·兰州模拟)观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n∈N*，则1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝________.[解析](1)由前4行的特点，归纳可得：若a nm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，∴a nm＝(m，n－m＋1)．(2)由1＝12,1＋2＋1＝4＝22,1＋2＋3＋2＋1＝9＝32，1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，…，归纳猜想可得1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2.[答案](1)A(2)n2解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等． [易错提醒]类型(二) 与式子有关的推理 [例2] (1)(·山东高考)观察下列等式：⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …… 照此规律，⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________.(2)已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x3＋x 3＋27x3≥4，…，类比得x ＋ax n ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝________. [解析] (1)观察前4个等式，由归纳推理可知⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝43×n ×(n ＋1)＝4n (n ＋1)3.(2)第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝11＝1；第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝22＝4；第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33＝27，归纳可知a ＝n n .[答案] (1)4n (n ＋1)3 (2)n n[方法技巧]与式子有关的推理类型及解法(1)与等式有关的推理．观察每个等式的特点，找出等式左右两侧的规律及符号后可解． (2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解． 类型(三) 与图形有关的推理[例3] 某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( )A．21 B．34C．52 D．55[解析]因为2＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.[答案] D[方法技巧]与图形有关的推理的解法与图形变化相关的归纳推理，解决的关键是抓住相邻图形之间的关系，合理利用特殊图形，找到其中的变化规律，得出结论，可用赋值检验法验证其真伪性．类比推理1.类比推理的应用一般分为类比定义、类比性质和类比方法，常用技巧如下：类比定义在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解类比性质从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键类比方法有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移2．平面中常见的元素与空间中元素的类比：平面点线圆三角形角面积周长…空间线面球三棱锥二面角体积表面积…[例4]如图，在△ABC中，O为其内切圆圆心，过O的直线将三角形面积分为相等的两部分，且该直线与AC，BC分别相交于点F，E，则四边形ABEF与△CEF的周长相等．试将此结论类比到空间，写出一个与其相关的命题，并证明该命题的正确性．[解]如图，截面AEF经过四面体ABCD的内切球(与四个面都相切的球)的球心O，且与BC，DC分别交于点E，F，若截面将四面体分为体积相等的两部分，则四棱锥A -BEFD 与三棱锥A -EFC 的表面积相等．下面证明该结论的正确性， 设内切球半径为R ，则V A -BEFD ＝13(S △ABD ＋S △ABE ＋S △ADF ＋S 四边形BEFD )×R ＝V A -EFC ＝13(S △AEC＋S △ACF ＋S △ECF )×R ，即S △ABD ＋S △ABE ＋S △ADF ＋S 四边形BEFD ＝S △AEC ＋S △ACF ＋S △ECF ，两边同加S △AEF 可得结论．[方法技巧]类比推理的步骤和方法(1)类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为： ①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)． (2)类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论．[全练题点]1.[考点二]由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a·b ＝b·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a·b )·c ＝a·(b·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a·c b·c ＝ab”．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ①②正确，③④⑤⑥错误．2.[考点二]在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P -ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( ) A.18B.19C.164D.127解析：选D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2＝127.3.[考点一·类型(一)]将正奇数排成如图所示的三角形数阵(第k 行有k 个奇数)，其中第i 行第j 个数表示为a ij ，例如a 42＝15，若a ij ＝2 017，则i －j ＝( )1 3 5 7 9 11 13 15 17 19…A ．26B ．27C ．28D ．29解析：选A 前k 行共有奇数为1＋2＋3＋…＋k ＝k (1＋k )2个，所以第k 行的最后一个数为2·k (1＋k )2－1＝k 2＋k －1，第k ＋1行的第一个数为k (k ＋1)＋1，当k ＋1＝45时，k (k＋1)＋1＝44×45＋1＝1 981，即第45行的第一个数为1 981，因为2 017－1 9812＝18，所以2 017是第45行的第19个数，即i ＝45，j ＝19，所以i －j ＝45－19＝26.故选A.4．[考点一·类型(二)]观察下列各等式：55－4＋33－4＝2，22－4＋66－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( ) A.nn －4＋8－n (8－n )－4＝2 B.n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2 C.nn －4＋n ＋4(n ＋4)－4＝2 D.n ＋1(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4＝2 解析：选A 各等式可化为55－4＋8－5(8－5)－4＝2，22－4＋8－2(8－2)－4＝2；77－4＋8－7(8－7)－4＝2，1010－4＋8－10(8－10)－4＝2，可归纳得一般等式：n n －4＋8－n (8－n )－4＝2，故选A.5.[考点一·类型(三)]蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数．则f(4)＝________，f(n)＝________.解析：因为f(1)＝1，f(2)＝7＝1＋6，f(3)＝19＝1＋6＋12，所以f(4)＝1＋6＋12＋18＝37，所以f(n)＝1＋6＋12＋18＋…＋6(n－1)＝3n2－3n＋1.答案：373n2－3n＋1突破点(二)演绎推理[基本知识](1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．(2)模式：“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．(3)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．[基本能力]1．判断题(1)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．()(2)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．()答案：(1)√(2)×2．填空题(1)下列说法：①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”的形式；④演绎推理得到结论的正确与否与大前提、小前提和推理形式有关；⑤运用三段论推理时，大前提和小前提都不可以省略．其中正确的有________个．解析：易知①③④正确．答案：3(2)推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形”中的小前提是________(填序号)．答案：②[全析考法]演绎推理[典例] 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N *)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .[证明] (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )， 即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义)(2)由(1)可知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列，(大前提)所以S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，即S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) 所以对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)[方法技巧]演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略，本例中，等比数列的定义在解题中是大前提，由于它是显然的，因此省略不写．(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．[全练题点]1．已知a ，b ，m 均为正实数，b ＜a ，用三段论形式证明b a ＜b ＋ma ＋m .证明：因为不等式(两边)同乘以一个正数，不等号不改变方向，(大前提) b ＜a ，m ＞0，(小前提) 所以mb ＜ma .(结论)因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向，(大前提) mb ＜ma ，(小前提)所以mb ＋ab ＜ma ＋ab ，即b (a ＋m )＜a (b ＋m )．(结论)因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向，(大前提) b (a ＋m )＜a (b ＋m )，a (a ＋m )＞0，(小前提) 所以b (a ＋m )a (a ＋m )＜a (b ＋m )a (a ＋m )，即b a ＜b ＋m a ＋m .(结论)2．已知函数y ＝f (x )满足：对任意a ，b ∈R ，a ≠b ，都有af (a )＋bf (b )>af (b )＋bf (a )，试证明：f (x )为R 上的单调递增函数．证明：设任意x 1，x 2∈R ，取x 1<x 2， 则由题意得x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，所以x 1[f (x 1)－f (x 2)]＋x 2[f (x 2)－f (x 1)]>0，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0， 因为x 1<x 2，即x 2－x 1>0，所以f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)．(小前提) 所以y ＝f (x )为R 上的单调递增函数．(结论)[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩解析：选D 依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选D.2．(·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．解析：由丙所言可能有两种情况．一种是丙持有“1和2”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和3”，符合甲所言情况；另一种是丙持有“1和3”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和2”，不符合甲所言情况．故甲持有“1和3”．答案：1和33．(·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三个去过同一城市． 由此判断乙去过的城市为________．解析：由于甲、乙、丙三人去过同一城市，而甲没有去过B 城市，乙没有去过C 城市，因此三人去过的同一城市应为A ，而甲去过的城市比乙多，但没去过B 城市，所以甲去过A ，C 城市，乙去过的城市应为A.答案：A[课时达标检测][小题对点练——点点落实]对点练(一) 合情推理1．(1)已知a 是三角形一边的长，h 是该边上的高，则三角形的面积是12ah ，如果把扇形的弧长l ，半径r 分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为12lr ；(2)由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2，则(1)(2)两个推理过程分别属于( )A ．类比推理、归纳推理B ．类比推理、演绎推理C ．归纳推理、类比推理D ．归纳推理、演绎推理解析：选A (1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；(2)由特殊到一般，此种推理为归纳推理，故选A.2．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．121B ．123C ．231D ．211解析：选B 令a n ＝a n ＋b n ，则a 1＝1，a 2＝3，a 3＝4，a 4＝7，…，得a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，从而a 6＝18，a 7＝29，a 8＝47，a 9＝76，a 10＝123.3．下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是( )A ．n (n ＋1) B.n (n －1)2C.n (n ＋1)2D ．n (n －1)解析：选C 由题图知第1个图形的小正方形个数为1，第2个图形的小正方形个数为1＋2，第3个图形的小正方形个数为1＋2＋3，第4个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋4，…，则第n 个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2. 4．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，…，则52 018的末四位数字为( )A ．3 125B ．5 625C ．0 625D ．8 125解析：选B 55＝3 125 ,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，…，可得59与55的后四位数字相同，由此可归纳出5m＋4k与5m (k ∈N *，m ＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 018＝4×503＋6，所以52 018与56的后四位数字相同，为5 625，故选B.5．(·山西孝义期末)我们知道：在平面内，点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x ＋2y ＋2z ＋3＝0的距离为( )A ．3B ．5 C.5217D ．3 5解析：选B 类比平面内点到直线的距离公式，可得空间中点(x 0，y 0，z 0)到直线Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0的距离公式为d ＝|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C 2，则所求距离d ＝|2＋2×4＋2×1＋3|12＋22＋22＝5，故选B.6.如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作……根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是________．解析：由题意可知，第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4＋3＝7个；第三次操作后，三角形共有4＋3＋3＝10个……由此可得第n次操作后，三角形共有4＋3(n－1)＝3n＋1个．当3n＋1＝100时，解得n＝33.答案：337．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”.12345…3579…81216…2028…2 013 2 014 2 015 2 0164 027 4 029 4 0318 0568 06016 116……该表由若干数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为____________．解析：观察数列，可以发现规律：每一行都是一个等差数列，且第一行的公差为1，第二行的公差为2，第三行的公差为4，第四行的公差为8，…，第2 015行的公差为22 014，故第一行的第一个数为2×2－1，第二行的第一个数为3×20，第三行的第一个数为4×21，第四行的第一个数为5×22，…，第n行的第一个数为(n＋1)·2n－2，故第2 016行(最后一行)仅有一个数为(1＋2 016)×22 014＝2 017×22 014.答案：2 017×22 0148.如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1,0)处标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，依此类推，则标签为2 0172的格点的坐标为____________．解析：因为点(1,0)处标1＝12，点(2,1)处标9＝32，点(3,2)处标25＝52，点(4,3)处标49＝72，依此类推得点(1 009，1 008)处标2 0172.答案：(1 009,1 008)对点练(二)演绎推理1．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是()A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数解析：选B对于A，小前提与结论互换，错误；对于B，符合演绎推理过程且结论正确；对于C和D，大前提均错误．故选B.2．某人进行了如下的“三段论”：如果f′(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点，因为函数f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是函数f(x)＝x3的极值点．你认为以上推理的()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确解析：选A若f′(x0)＝0，则x＝x0不一定是函数f(x)的极值点，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点，故大前提错误．3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确解析：选C因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确.4．(·湖北八校联考)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是()A．甲B．乙C．丙D．丁解析：选D若甲猜测正确，则4号或5号得第一名，那么乙猜测也正确，与题意不符，故甲猜测错误，即4号和5号均不是第一名；若乙猜测正确，则3号不可能得第一名，即1,2,4,5,6号选手中有一位获得第一名，那么甲和丙中有一人也猜对比赛结果，与题意不符，故乙猜测错误；若丙猜测正确，那么乙猜测也正确，与题意不符，故仅有丁猜测正确，所以选D.5．在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和．那么这四名同学按阅读量从大到小排序依次为____________．解析：因为甲、丙阅读量之和等于乙、丁阅读量之和，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，所以乙的阅读量大于丙的阅读量，甲的阅读量大于丁的阅读量，因为丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和，所以这四名同学按阅读量从大到小排序依次为甲、丁、乙、丙．答案：甲、丁、乙、丙[大题综合练——迁移贯通]1．给出下面的数表序列：其中表n(n＝1,2,3，…)有n行，第1行的n个数是1,3,5，…，2n－1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明)．解：表4为13574 81212 2032它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．2．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于点D，求证：1AD2＝1AB2＋1AC2.在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．解：如图所示，由射影定理AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴1AD2＝1BD·DC＝BC2 BD·BC·DC·BC＝BC2AB2·AC2.又BC2＝AB2＋AC2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. 猜想，在四面体ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2. 证明：如图，连接BE 并延长交CD 于点F ，连接AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面ACD .∵AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF2. ∵AB ⊥平面ACD ，∴AB ⊥CD .∵AE ⊥平面BCD ，∴AE ⊥CD .又AB ∩AE ＝A ， ∴CD ⊥平面ABF ，∴CD ⊥AF . ∴在Rt △ACD 中1AF 2＝1AC 2＋1AD2， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2. 3．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin2α＋34cos2α＋32sin αcos α＋14sin2α－32sin αcos α－12sin2α＝34sin2α＋34cos2α＝34.第二节直接证明与间接证明、数学归纳法本节主要包括3个知识点： 1.直接证明； 2.间接证明； 3.数学归纳法.突破点(一)直接证明[基本知识]内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止思维过程由因导果执果索因框图表示P(已知)⇒Q1→Q1⇒Q2→…→Q n⇒Q(结论)Q(结论)⇐P1→P1⇐P2→…→得到一个明显成立的条件书写格式“因为…，所以…”或“由…，得…”“要证…，只需证…，即证…”[基本能力]1．判断题(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．()(3)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．()(4)证明不等式2＋7<3＋6最合适的方法是分析法．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．填空题(1)6－22与5－7的大小关系是________．解析：假设6－22>5－7，由分析法可得，要证6－22>5－7，只需证6＋7>5＋22，即证13＋242>13＋410，即42>210.因为42>40，所以6－22>5－7成立．答案：6－22>5－7(2)已知a，b是不相等的正数，x＝a＋b2，y＝a＋b，则x、y的大小关系是________．解析：x2＝12(a＋b＋2ab)，y2＝a＋b＝12(a＋b＋a＋b)>12(a＋b＋2ab)＝x2，又∵x>0，y>0，∴y>x.答案：y>x(3)设a>b>0，m＝a－b，n＝a－b，则m，n的大小关系是________．解析：∵a>b>0，∴a>b，a－b>0，∴n2－m2＝a－b－(a＋b－2ab)＝2ab－2b>2b2－2b＝0，∴n2>m2，又∵m>0，n>0，∴n>m.答案：n>m[全析考法]综合法(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式；(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型．[例1](·武汉模拟)已知函数f(x)＝(λx＋1)ln x－x＋1.(1)若λ＝0，求f(x)的最大值；(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，证明：f(x)x－1>0. [解](1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．当λ＝0时，f(x)＝ln x－x＋1.则f ′(x )＝1x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0， 故f (x )在(0,1)上是增函数； 当x >1时，f ′(x )<0，故f (x )在(1，＋∞)上是减函数． 故f (x )在x ＝1处取得最大值f (1)＝0.(2)证明：由题可得，f ′(x )＝λln x ＋λx ＋1x －1.由题设条件，得f ′(1)＝1，即λ＝1. ∴f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1.由(1)知，ln x －x ＋1<0(x >0，且x ≠1)．当0<x <1时，x －1<0，f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1＝x ln x ＋(ln x －x ＋1)<0，∴f (x )x －1>0.当x >1时，x －1>0，f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1＝ln x ＋(x ln x －x ＋1)＝ln x －x ⎝⎛⎭⎫ln 1x －1x ＋1>0， ∴f (x )x －1>0.综上可知，f (x )x －1>0. [方法技巧] 综合法证题的思路分析法[例2] 已知a >0，1b －1a >1，求证：1＋a >11－b.[证明] 由已知1b －1a >1及a >0，可知0<b <1，要证1＋a >11－b ，只需证1＋a ·1－b >1，只需证1＋a －b －ab >1，只需证a －b －ab >0，即a －b ab >1，即1b －1a >1.这是已知条件，所以原不等式得证．[方法技巧]分析法证题的思路(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．[全练题点]1.[考点一]命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”过程应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．间接证明法解析：选B 因为证明过程是“由因导果”，即由条件逐步推向结论，故选B. 2.[考点一](·广州调研)若a ，b ，c 为实数，且a ＜b ＜0，则下列不等式成立的是( ) A ．ac 2＜bc 2 B ．a 2＞ab ＞b 2 C.1a ＜1bD.b a ＞a b解析：选B a 2－ab ＝a (a －b )，∵a ＜b ＜0，∴a －b ＜0，∴a (a －b )>0，即a 2－ab ＞0，∴a 2＞ab .①又∵ab －b 2＝b (a －b )＞0，∴ab ＞b 2，② 由①②得a 2＞ab ＞b 2.3.[考点一]已知a ，b ，c 为正实数，a ＋b ＋c ＝1，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13.证明：因为a ＋b ＋c ＝1，所以(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ≤a 2＋b 2＋c 2＋a 2＋b 2＋a 2＋c 2＋b 2＋c 2＝3(a 2＋b 2＋c 2)，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．所以a 2＋b 2＋c 2≥13.4.[考点二]已知m >0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m . 证明：因为m >0，所以1＋m >0.所以要证原不等式成立，只需证(a ＋mb )2≤(1＋m )·(a 2＋mb 2)，即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证m (a －b )2≥0，即证(a －b )2≥0，而(a －b )2≥0显然成立，故原不等式得证．突破点(二)间接证明[基本知识]1．反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．2．用反证法证明问题的一般步骤第一步分清命题“p⇒q”的条件和结论第二步作出命题结论q相反的假设綈q第三步由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果第四步断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈q不真，于是结论q成立，从而间接地证明了命题p⇒q为真3．常见的结论和反设词原结论词反设词原结论词反设词至少有一个一个都没有对任意x成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立至少有n个至多有(n－1)个p或q 綈p且綈q至多有n个至少有(n＋1)个p且q 綈p或綈q 都是不都是不都是都是[基本能力]1．判断题(1)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b”．()(2)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．()(3)用反证法证题时必须先否定结论，否定结论就是找出结论的反面的情况．()(4)反证法的步骤是：①准确反设；②从否定的结论正确推理；③得出矛盾．() 答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．填空题(1)用反证法证明“如果a>b，那么3a>3b”，假设的内容应是________．答案：3a≤3b(2)应用反证法推出矛盾的推导过程中，可把下列哪些作为条件使用________(填序号)．①结论相反的判断即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义；④原结论．答案：①②③(3)写出下列命题的否定．①若a，b，c满足a2＋b2＝c2，则a，b，c不都是奇数；否定为____________________________________________________________；②若p>0，q>0，p3＋q3＝2，则p＋q≤2；否定为________________________________________________________；③所有的正方形都是矩形；否定为________________________________________________________________；④至少有一个实数x，使x2＋1＝0；否定为_______________________________________________________________．答案：①若a，b，c满足a2＋b2＝c2，则a，b，c都是奇数②若p>0，q>0，p3＋q3＝2，则p＋q>2③至少存在一个正方形不是矩形④不存在实数x，使x2＋1＝0[全析考法]证明否定性命题[例1]设{a n}(1)推导{a n}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{a n＋1}不是等比数列．[解](1)设{a n}的前n项和为S n，当q＝1时，S n＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；当q≠1时，S n＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1q n－1，①。

一、知识梳理数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（１）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0（n0∈N+）时命题成立．（２）（归纳递推）假设当n＝k（k≥n0，k∈N+）时命题成立，证明当n＝k＋１时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．二、教材衍化１．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为错误!n（n—３）条时，第一步检验n等于（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４解析：选C.凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n＝３．２．已知{a n}满足a n＋１＝a错误!—na n＋１，n∈N*，且a１＝２，则a２＝________，a３＝________，a４＝________，猜想a n＝________．答案：３４５n＋１一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝１时结论成立．（）（２）所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．（）（３）不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋１时，项数都增加了一项．（）（４）用数学归纳法证明问题时，必须要用归纳假设．（）答案：（１）×（２）×（３）×（４）√二、易错纠偏错误!错误!（１）误认为利用数学归纳法证明时第一步验证的初始值均为n＝１；（２）利用数学归纳法证明时，添加的项出错，或不利用归纳假设．１．用数学归纳法证明“２n>n２＋１对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取（）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．５Ｄ．6解析：选Ｃ．当n＝１时，２１＝２＝１２＋１，当n＝２时，２２＝４<２２＋１＝５，当n＝３时，２３＝8<３２＋１＝１0，当n＝４时，２４＝１6<４２＋１＝１7，当n＝５时，２５＝３２>５２＋１＝２6，当n＝6时，２6＝6４>6２＋１＝３7，故起始值n0应取５．２．用数学归纳法证明１＋２＋３＋…＋（２n＋１）＝（n＋１）（２n＋１）时，从n＝k到n＝k ＋１，左边需增添的代数式是______________．解析：当n＝k时，待证等式左边＝１＋２＋３＋…＋（２k＋１），当n＝k＋１时，待证等式左边＝１＋２＋３＋…＋（２k＋１）＋（２k＋２）＋（２k＋３），所以从n＝k到n＝k＋１，左边需增添的代数式是（２k＋２）＋（２k＋３）．答案：（２k＋２）＋（２k＋３）用数学归纳法证明等式（师生共研）用数学归纳法证明：错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!（n∈N+）．【证明】（１）当n＝１时，左边＝错误!＝错误!，右边＝错误!＝错误!.左边＝右边，所以等式成立．（２）假设n＝k（k∈N+且k≥１）时等式成立，即有错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!，则当n＝k＋１时，错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.所以当n＝k＋１时，等式也成立，由（１）（２）可知，对于一切n∈N*等式都成立．错误!用数学归纳法证明等式的注意点（１）用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．（２）由n＝k时等式成立，推出n＝k＋１时等式成立，一要找出等式两边的变化（差异），明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程．（３）不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法．求证：（n＋１）（n＋２）·…·（n＋n）＝２n·１·３·５·…·（２n—１）（n∈N+）．证明：（１）当n＝１时，等式左边＝２，右边＝２，故等式成立；（２）假设当n＝k（k∈N+，k≥１）时等式成立，即（k＋１）（k＋２）·…·（k＋k）＝２k·１·３·５·…·（２k—１）．当n＝k＋１时，左边＝（k＋１＋１）（k＋１＋２）·…·（k＋１＋k＋１）＝（k＋２）（k＋３）·…·（k＋k）（２k＋１）（２k＋２）＝２k·１·３·５·…·（２k—１）（２k＋１）·２＝２k＋１·１·３·５·…·（２k—１）（２k＋１）．这就是说当n＝k＋１时等式也成立．由（１）（２）可知，对所有n∈N+等式成立．用数学归纳法证明不等式（典例迁移）（２0１9·高考浙江卷）设等差数列{a n}的前n项和为S n，a３＝４，a４＝S３.数列{b n}满足：对每个n∈N+，S n＋b n，S n＋１＋b n，S n＋２＋b n成等比数列．（１）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（２）记c n＝错误!，n∈N+，证明：c１＋c２＋…＋c n<２错误!，n∈N+.【解】（１）设数列{a n}的公差为d，由题意得a１＋２d＝４，a１＋３d＝３a１＋３d，解得a１＝0，d＝２．从而a n＝２n—２，n∈N+.所以S n＝n２—n，n∈N+.由S n＋b n，S n＋１＋b n，S n＋２＋b n成等比数列，得（S n＋１＋b n）２＝（S n＋b n）（S n＋２＋b n）．解得b n＝错误!（S错误!—S n S n＋２）．所以b n＝n２＋n，n∈N+.（２）证明：c n＝错误!＝错误!＝错误!，n∈N+.我们用数学归纳法证明．１当n＝１时，c１＝0<２，不等式成立；２假设当n＝k（k∈N+）时不等式成立，即c１＋c２＋…＋c k<２错误!，那么，当n＝k＋１时，c１＋c２＋…＋c k＋c k＋１<２错误!＋错误!<２错误!＋错误!<２错误!＋错误!＝２错误!＋２（错误!—错误!）＝２错误!，即当n＝k＋１时不等式也成立．根据１和２，不等式c１＋c２＋…＋c n<２错误!对任意n∈N+成立．错误!用数学归纳法证明不等式的注意点（１）当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．（２）用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋１时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差（求商）比较法、放缩法、构造函数法等证明方法．已知数列{a n}，a n≥0，a１＝0，a错误!＋a n＋１—１＝a错误!，求证：当n∈N+时，a n<a n＋１.证明：（１）当n＝１时，因为a２是方程a错误!＋a２—１＝0的正根，所以a２＝错误!，即a１<a２成立．（２）假设当n＝k（k∈N+，k≥１）时，0≤a k<a k＋１，所以a错误!—a错误!＝（a错误!＋a k＋２—１）—（a错误!＋a k＋１—１）＝（a k＋２—a k＋１）（a k＋２＋a k＋１＋１）>0，又a k＋１>a k≥0，所以a k＋２＋a k＋１＋１>0，所以a k＋１<a k＋２，即当n＝k＋１时，a n<a n＋１也成立．综上，可知a n<a n＋１对任何n∈N+都成立．归纳—猜想—证明（师生共研）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝错误!＋错误!—１，且a n>0，n∈N+.（１）求a１，a２，a３，并猜想{a n}的通项公式；（２）证明通项公式的正确性．【解】（１）当n＝１时，由已知得a１＝错误!＋错误!—１，即a错误!＋２a１—２＝0，解得a１＝错误!—１（a１>0）．当n＝２时，由已知得a１＋a２＝错误!＋错误!—１，将a１＝错误!—１代入并整理得a错误!＋２错误!a２—２＝0，解得a２＝错误!—错误!（a２>0）．同理可得a３＝错误!—错误!.猜想a n＝错误!—错误!.（２）证明：１由（１）知，当n＝１，２，３时，通项公式成立．２假设当n＝k（k≥３，k∈N+）时，通项公式成立，即a k＝错误!—错误!.由于a k＋１＝S k＋１—S k＝错误!＋错误!—错误!—错误!，将a k＝错误!—错误!代入上式，整理得a错误!＋２错误!·a k＋１—２＝0，解得a k＋１＝错误!—错误!，即n＝k＋１时通项公式仍成立．由１２可知对所有n∈N+，a n＝错误!—错误!都成立．错误!“归纳—猜想—证明”的一般步骤（１）计算：根据条件，计算若干项．（２）归纳猜想：通过观察、分析、综合、联想、猜想出一般结论．（３）证明：用数学归纳法证明．已知数列{a n}满足S n＋a n＝２n＋１．（１）写出a１，a２，a３，并推测a n的表达式；（２）用数学归纳法证明所得的结论．解：（１）将n＝１，２，３分别代入可得a１＝错误!，a２＝错误!，a３＝错误!，猜想a n＝２—错误!.（２）证明：１由（１）得n＝１，２，３时，结论成立．２假设n＝k（k≥３，k∈N*）时，结论成立，即a k＝２—错误!，那么当n＝k＋１时，a１＋a２＋…＋a k＋a k＋１＋a k＋１＝２（k＋１）＋１，且a１＋a２＋…＋a k＝２k＋１—a k，所以２k＋１—a k＋２a k＋１＝２（k＋１）＋１＝２k＋３，所以２a k＋１＝２＋２—错误!，a k＋１＝２—错误!，即当n＝k＋１时，结论也成立．根据１２得，对一切n∈N+，a n＝２—错误!都成立．[基础题组练]１．用数学归纳法证明：首项是a１，公差是d的等差数列的前n项和公式是S n＝na１＋错误!d时，假设当n＝k时，公式成立，则S k＝（）Ａ．a１＋（k—１）dＢ．错误!Ｃ．ka１＋错误!dＤ．（k＋１）a１＋错误!d解析：选Ｃ．假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即S k＝ka１＋错误!d.２．设f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足：当f（k）≥k＋１成立时，总能推出f（k ＋１）≥k＋２成立，那么下列命题总成立的是（）A．若f（１）<２成立，则f（１0）<１１成立Ｂ．若f（３）≥４成立，则当k≥１时，均有f（k）≥k＋１成立Ｃ．若f（２）<３成立，则f（１）≥２成立Ｄ．若f（４）≥５成立，则当k≥４时，均有f（k）≥k＋１成立解析：选Ｄ．当f（k）≥k＋１成立时，总能推出f（k＋１）≥k＋２成立，说明如果当k＝n时，f（n）≥n＋１成立，那么当k＝n＋１时，f（n＋１）≥n＋２也成立，所以如果当k＝４时，f（４）≥５成立，那么当k≥４时，f（k）≥k＋１也成立．３．用数学归纳法证明１—错误!＋错误!—错误!＋…＋错误!—错误!＝错误!＋错误!＋…＋错误!，则当n＝k＋１时，左端应在n＝k的基础上加上（）Ａ．错误!Ｂ．—错误!Ｃ．错误!—错误!Ｄ．错误!＋错误!解析：选Ｃ．因为当n＝k时，左端＝１—错误!＋错误!—错误!＋…＋错误!—错误!，当n＝k＋１时，左端＝１—错误!＋错误!—错误!＋…＋错误!—错误!＋错误!—错误!.所以，左端应在n＝k的基础上加上错误!—错误!.４．已知f（n）＝１２＋２２＋３２＋…＋（２n）２，则f（k＋１）与f（k）的关系是（）Ａ．f（k＋１）＝f（k）＋（２k＋１）２＋（２k＋２）２Ｂ．f（k＋１）＝f（k）＋（k＋１）２Ｃ．f（k＋１）＝f（k）＋（２k＋２）２Ｄ．f（k＋１）＝f（k）＋（２k＋１）２解析：选Ａ．f（k＋１）＝１２＋２２＋３２＋…＋（２k）２＋（２k＋１）２＋[２（k＋１）]２＝f（k）＋（２k＋１）２＋（２k＋２）２.５．利用数学归纳法证明不等式１＋错误!＋错误!＋…＋错误!<f（n）（n≥２，n∈N+）的过程中，由n＝k到n＝k＋１时，左边增加了（）Ａ．１项Ｂ．k项Ｃ．２k—１项Ｄ．２k项解析：选Ｄ．令不等式的左边为g（n），则g（k＋１）—g（k）＝１＋错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!—错误!＝错误!＋错误!＋…＋错误!，其项数为２k＋１—１—２k＋１＝２k＋１—２k＝２k.故左边增加了２k项．6．用数学归纳法证明１＋错误!＋错误!＋…＋错误!<n（n∈N+，n>１）时，第一步应验证的不等式是________．解析：由n∈N+，n>１知，n取第一个值n0＝２，当n＝２时，不等式为１＋错误!＋错误!<２．答案：１＋错误!＋错误!<２7．用数学归纳法证明错误!＋错误!＋…＋错误!>错误!—错误!，假设n＝k时，不等式成立，则当n ＝k＋１时，应推证的目标不等式是________________．答案：错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!>错误!—错误!8．用数学归纳法证明不等式错误!＋错误!＋…＋错误!>错误!（n≥２）的过程中，由n＝k推导n＝k＋１时，不等式的左边增加的式子是________．解析：不等式的左边增加的式子是错误!＋错误!—错误!＝错误!，故填错误!.答案：错误!9．用数学归纳法证明等式１２—２２＋３２—４２＋…＋（—１）n—１·n２＝（—１）n—１·错误!.证明：（１）当n＝１时，左边＝１２＝１，右边＝（—１）0×错误!＝１，左边＝右边，原等式成立．（２）假设n＝k（k≥１，k∈N+）时等式成立，即有１２—２２＋３２—４２＋…＋（—１）k—１·k２＝（—１）k—１·错误!.那么，当n＝k＋１时，１２—２２＋３２—４２＋…＋（—１）k—１·k２＋（—１）k·（k＋１）２＝（—１）k—１·错误!＋（—１）k·（k＋１）２＝（—１）k·错误![—k＋２（k＋１）]＝（—１）k·错误!.所以当n＝k＋１时，等式也成立，由（１）（２）知，对任意n∈N+，都有１２—２２＋３２—４２＋…＋（—１）n—１·n２＝（—１）n—１·错误!.１0．已知f（n）＝１＋错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!，g（n）＝错误!—错误!，n∈N+.（１）当n＝１，２，３时，试比较f（n）与g（n）的大小；（２）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并给出证明．解：（１）当n＝１时，f（１）＝１，g（１）＝１，所以f（１）＝g（１）；当n＝２时，f（２）＝错误!，g（２）＝错误!，所以f（２）＜g（２）；当n＝３时，f（３）＝错误!，g（３）＝错误!，所以f（３）＜g（３）．（２）由（１）猜想f（n）≤g（n），下面用数学归纳法给出证明．１当n＝１，２，３时，不等式显然成立．２假设当n＝k（k≥３，k∈N+）时不等式成立，即１＋错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＜错误!—错误!.那么，当n＝k＋１时，f（k＋１）＝f（k）＋错误!＜错误!—错误!＋错误!.因为错误!—错误!＝错误!—错误!＝错误!＜0，所以f（k＋１）＜错误!—错误!＝g（k＋１）．由１２可知，对一切n∈N+，都有f（n）≤g（n）成立．[综合题组练]１．已知整数p>１，证明：当x>—１且x≠0时，（１＋x）p>１＋px.证明：用数学归纳法证明．１当p＝２时，（１＋x）２＝１＋２x＋x２>１＋２x，原不等式成立．２假设当p＝k（k≥２，k∈N+）时，不等式（１＋x）k>１＋kx成立．则当p＝k＋１时，（１＋x）k＋１＝（１＋x）（１＋x）k>（１＋x）·（１＋kx）＝１＋（k＋１）x＋kx２>１＋（k＋１）x.所以当p＝k＋１时，原不等式也成立．综合１２可得，当x>—１且x≠0时，对一切整数p>１，不等式（１＋x）p>１＋px均成立．２．已知数列{x n}满足x１＝错误!，且x n＋１＝错误!（n∈N+）．（１）用数学归纳法证明：0<x n<１；（２）设a n＝错误!，求数列{a n}的通项公式．解：（１）证明：１当n＝１时，x１＝错误!∈（0，１），不等式成立．２假设当n＝k（k∈N+，k≥１）时，不等式成立，即x k∈（0，１），则当n＝k＋１时，x k＋１＝错误!，因为x k∈（0，１），所以２—x k>0，即x k＋１>0．又因为x k＋１—１＝错误!<0，所以0<x k＋１<１．综合１２可知0<x n<１．（２）由x n＋１＝错误!可得错误!＝错误!＝错误!—１，即a n＋１＝２a n—１，所以a n＋１—１＝２（a n—１）．令b n＝a n—１，则b n＋１＝２b n，又b１＝a１—１＝错误!—１＝１，所以{b n}是以１为首项，２为公比的等比数列，即b n＝２n—１，所以a n＝２n—１＋１．３．将正整数作如下分组：（１），（２，３），（４，５，6），（7，8，9，１0），（１１，１２，１３，１４，１５），（１6，１7，１8，１9，２0，２１），…，分别计算各组包含的正整数的和如下：S１＝１，S２＝２＋３＝５，S３＝４＋５＋6＝１５，S４＝7＋8＋9＋１0＝３４，S５＝１１＋１２＋１３＋１４＋１５＝6５，S6＝１6＋１7＋１8＋１9＋２0＋２１＝１１１，…试猜测S１＋S３＋S５＋…＋S２n—１的结果，并用数学归纳法证明．解：由题意知，当n＝１时，S１＝１＝１４；当n＝２时，S１＋S３＝１6＝２４；当n＝３时，S１＋S３＋S５＝8１＝３４；当n＝４时，S１＋S３＋S５＋S7＝２５6＝４４.猜想：S１＋S３＋S５＋…＋S２n—１＝n４.下面用数学归纳法证明：（１）当n＝１时，S１＝１＝１４，等式成立．（２）假设当n＝k（k∈N+，k≥１）时等式成立，即S１＋S３＋S５＋…＋S２k—１＝k４，那么，当n＝k＋１时，S１＋S３＋S５＋…＋S２k—１＋S２k＋１＝k４＋[（２k２＋k＋１）＋（２k２＋k＋２）＋…＋（２k２＋k＋２k＋１）]＝k４＋（２k＋１）（２k２＋２k＋１）＝k４＋４k３＋6k２＋４k＋１＝（k＋１）４，所以当n＝k＋１时，等式也成立．根据（１）和（２）可知，对于任意的n∈N+，S１＋S３＋S５＋…＋S２n—１＝n４都成立．。

12.2 基本算法语句、算法案例考纲要求了解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．1．输入语句不同的程序语言都有自己的输入指令和方法，在Scilab中的输入语句之一是“input”，不仅可输入数值，也可输入单个或多个字符．2．输出语句(1)“print”语句程序中的print的参数______表示在屏幕上输出．(2)“disp”语句disp也是Scilab的输出语句，运行后在界面窗口上显示______中间的文字．3．赋值语句(1)赋值语句的一般格式：____________.(2)在研究问题的过程中可以取不同数值的量称为______，把一个值a赋给变量b的过程称为______，“____”为赋值符号．注意事项：赋值号“＝”左边只能是变量名，右边是表达式，左右边不能交换；每一个赋值语句只能出现一次“＝”，只能给一个变量赋值．赋值号“＝”的理解：把右边的数值赋给左边的变量或计算右边表达式的值并把计算结果赋给左边的变量．4．条件语句5.(1)for循环格式为for循环变量＝初值：步长：终值循环体；end(2)while语句格式为while表达式循环体；end6．更相减损术第一步：任意给定两个正整数，判断它们是否都是______．若是，用2约简；若不是，执行第二步．第二步：以__________减去__________，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到______________为止，则相等的数就是所求的__________．7．秦九韶算法把一个n 次多项式函数f (x )＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0改写成如下形式：f (x )＝____________________________________.求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即________，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v 2＝v 1x ＋a n －2， v 3＝v 2x ＋a n －3， ……v n ＝v n －1x ＋a 0.1．已知变量a ，b 已被赋值，要交换a ，b 的值，采用的算法是( )． A ．a ＝b ，b ＝a B ．a ＝c ，b ＝a ，c ＝b C ．a ＝c ，b ＝a ，c ＝a D ．c ＝a ，a ＝b ，b ＝c 2．运行下面的程序时，while 循环语句的执行次数是( )． n ＝0；while n<20 n ＝n ＋1； n ＝；end，；A ． 3B ．4C ．15D ．193．运行下面的程序，若输入5，则输出的值是( )． a ＝＝；a ＝－a ＋15；，；A ．－10B ．10C ．20D ．－204．下列关于利用更相减损之术求156和72的最大公约数的说法中正确的是( )． A ．第一步必须是约简B ．第一步可以约简，也可以不约简C ．第一步作差为156－72＝84；第二步作差为72－84＝－12 D ．以上都不对5．2012年某地森林面积为1 000 km 2，且每年增长5%，到哪一年该地森林面积超过2 000 km 2？请设计一个程序，并画出程序框图．一、输入、输出和赋值语句【例1】 设计一个可以输入圆柱的底面半径r 和高h ，再计算出圆柱的体积和表面积的算法，画出程序框图，并写出程序．(π取3.14)方法提炼1．输入、 输出、赋值语句是任何一个算法中必不可少的语句．一个输出语句可以输出多个表达式的值．在赋值语句中，变量的值始终等于最近一次赋给它的值，先前的值将被替换．2．一个赋值语句只给一个变量赋值，但一个语句行可以写多个赋值语句． 3．不能利用赋值语句进行代数式的演算(如化简、分解因式、解方程等)．4．编写程序的关键在于搞清问题的算法，特别是算法的结构，然后确定采取哪一种算法语句．5．编写程序时，要注意常见运算符号的书写方式如a ^b (a b)；a*b (a ×b )；a /b (a b)；sqrt(x )(x )；a \b (a 除以b 的整数商，如5\2)；a mod b (a 除以b 的余数，如5mod2=1)等，还要明确它们的运算规则：先乘除、后加减；乘幂优于乘除；函数优于乘幂；同级运算从左向右按顺序进行；括号内最优先，多层括号则从内到外依次进行运算[注意表达式中的括号一律用小括号“()”]．请做演练巩固提升2 二、条件语句【例2】 已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－1，x >0，2x ＋1，x ＝0，－2x 2＋4x ，x <0，试输入x 的值计算y 的值，画出程序框图，并写出程序．方法提炼1．条件语句一般用在需要对条件进行判断的算法设计中，如求分段函数的函数值往往用条件语句编写程序．2．条件语句可以嵌套，即条件语句的then 或else 后面还可以跟条件语句． 请做演练巩固提升1,4 三、循环语句【例3】已知如下图所示程序框图．(1)指出该框图的算法功能； (2)试写出该框图对应的程序． 方法提炼在解决一些需要反复执行的运算任务，如累加求和、累乘求积等问题时，应考虑利用循环语句来实现．请做演练巩固提升3 四、秦九韶算法【例4】用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x 5＋3x 3－2x 2＋1当x ＝2时的函数值． 方法提炼用秦九韶算法计算多项式的值时，先将所给的多项式进行改写，再由内到外逐次计算．若多项式中有系数为0的项，则应把它补上．请做演练巩固提升5不理解算法语句的功能及格式易致误【典例】 (2012湖南衡阳模拟)下面程序运行后输出的结果为( )．a ＝0；j ＝1；while j<＝5 a ＝＋； j ＝j ＋1；end aA ．0B ．1C ．2D ．4 解析：当j ＝1时，余数a ＝1；当j ＝2时，余数a ＝3；当j ＝3时，余数a ＝1； 当j ＝4时，余数a ＝0；当j ＝5时，余数a ＝0； 当j ＝6时，不满足条件，此时退出循环． 答案：A答题指导：1.在解答本题时，易错选D 而导致错误，错误原因是：对循环过程不理解，误认为j ＝1时，余数a ＝0，即j ＝1时，没有执行第一次循环．其错误过程如下：当j ＝1时，余数a ＝0；当j ＝2时，余数a ＝2；当j ＝3时，余数a ＝0；当j ＝4时，余数a ＝4；当j ＝5时，余数a ＝4.2．解决算法语句的有关问题时，还有以下几点易造成失误，备考时要高度关注： (1)对基本算法语句的功能及格式要求不熟悉．(2)条件语句中的嵌套结构混乱，不能用分段函数的形式直观描述． (3)对循环结构的循环过程把握不准．1．给出以下四个问题：①输入一个数x ，输出它的绝对值；②求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1 x ，x 2＋2x x 的函数值；③求面积为6的正方形的周长；④求三个数a ，b ，c 中的最大数．其中不需要用条件语句来描述其算法的有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．计算机执行下面的程序段后，输出的结果是( )．a ＝1；b ＝3；a ＝a ＋b ；b ＝a －b ；，a ，；A ．1,3B ．4,1C ．0,0D ．6,03．读下面的甲、乙两个程序：i ＝1；S ＝0；while i<＝1 000S ＝S ＋i ；i ＝i ＋1；endi ＝1 000；S ＝0；for i ＝1 000：－1：1 S ＝S ＋i ；end甲 乙对甲、乙两个程序和输出的结果判断正确的是( )． A ．程序不同，结果不同 B ．程序不同，结果相同 C ．程序相同，结果不同D．程序相同，结果相同4．执行下列程序，变量y的值为( )．x＝20；if x>＝30y＝；elsey＝；endA．100 B．80 C．90 D．405．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝2x7＋x6－3x3＋2x当x＝2时的函数值，需要做加法和乘法的次数分别为( )．A．7,4 B．4,7 C．6,7 D．4,4参考答案基础梳理自测知识梳理2．(1)%io(2) (2)双引号3．(1)变量名＝表达式(2)变量赋值＝6．偶数较大的数较小的数所得的数相等最大公约数7．(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0v1＝a n x＋a n－1基础自测1．D2．A 解析：解读程序时，可采用一一列举的形式：(1)n＝0＋1＝1；n＝1×1＝1；(2)n＝1＋1＝2；n＝2×2＝4；(3)n＝4＋1＝5；n＝5×5＝25.共执行了3次．3．B 解析：该程序采用列举的方式：a＝－5＋15＝10，可知输出的值是10.4．B 解析：约简是为了使运算更加简捷，并不一定要约简，故A错；C中第二步应为84－72＝12.5．解：需要一个累加变量和一个计数变量，将累加变量的初值设为1 000，计数变量从0开始取值．程序框图：程序如下：考点探究突破【例1】解：算法如下：第一步，输入半径r和高h.第二步，计算底面积S＝πr2.第三步，计算体积V＝hS.第四步，计算侧面积C＝2πrh.第五步，计算表面积B＝2S＋C.第六步，输出V和B.程序框图如下图．程序如下：【例2】解：程序框图如图所示．程序如下：【例3】解：(1)算法功能为求满足1×3×5×…×n ＞10 000的最小正奇数n . (2)与该框图对应的程序为【例4】解：∵f (x )＝x 5＋3x 3－2x 2＋1＝((((x ＋0)x ＋3)x －2)x ＋0)x ＋1， 按照由内到外的顺序，依次计算一次多项式当x ＝2时的函数值如下： v 0＝1，v 1＝1×2＋0＝2， v 2＝2×2＋3＝7， v 3＝7×2－2＝12， v 4＝12×2＋0＝24， v 5＝24×2＋1＝49， 故f (2)＝49. 演练巩固提升1．A 解析：③不需要用条件语句来描述． 2．B3．B 解析：程序甲实现的功能是1＋2＋3＋…＋1 000； 程序乙实现的功能是1 000＋999＋…＋3＋2＋1. 4．B 解析：本程序实际是对应函数模型 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5x ，x ≥30，4x ，x <30，故x ＝20时，y ＝80. 5．C。

第2讲算法与程序框图1．算法与程序框图(1)算法①算法通常是指按照一定规那么解决某一类问题的明确和有限的步骤．②应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．(2)程序框图定义：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．2．三种根本逻辑构造及相应语句名称示意图相应语句顺序构造①输入语句：INPUT “提示内容〞；变量②输出语句：PRINT “提示内容〞；表达式③赋值语句：变量＝表达式条件构造IF__条件__THEN语句体END__IFIF__条件__THEN 语句体1ELSE语句体2END IF循环构造当型循环构造WHILE 条件循环体WEND直到型循环结构DO循环体LOOP__UNTIL条件判断正误(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)一个程序框图一定包含顺序构造，但不一定包含条件构造和循环构造．( )(2)条件构造的出口有两个，但在执行时，只有一个出口是有效的．( )(3)输入框只能紧接开场框，输出框只能紧接完毕框．( )(4)输入语句可以同时给多个变量赋值．( )(5)在算法语句中，x＝x＋1是错误的．( )答案：(1)√(2)√(3)×(4)√(5)×(2021·高考北京卷)执行如下图的程序框图，输出的s值为( )A．2 B.32C.53D.85解析：选C.运行该程序，k＝0，s＝1，k<3；k＝0＋1＝1，s＝1＋11＝2，k<3；k＝1＋1＝2，s＝2＋12＝32，k<3；k＝1＋2＝3，s＝32＋132＝53，ks值为53.应选C.要计算1＋12＋13＋…＋12 017的结果，下面程序框图中的判断框内可以填( )A ．n <2 017?B ．n ≤2 017?C ．n >2 017?D ．n ≥2 017?解析：选B.题中所给的程序框图中的循环构造为当型循环，累加变量初始值为0，计数变量初始值为1，要求S ＝0＋1＋12＋13＋…＋12 017的值，共需要计算2 017次，应选B.(2021·高考江苏卷改编)如图是一个算法流程图，假设输入x 的值为116，那么输出y 的值是________________．解析：由流程图可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥1，2＋log 2x ，0<x <1，所以当输入的x 的值为116时，y ＝2＋log 2116＝2－4＝－2. 答案：－2如下图的框图，集合A ＝{x |框图中输出的x 值}，集合B ＝{y |框图中输出的y 值}，全集U ＝Z ，Z 为整数集，那么当x ＝－1时，(∁U A )∩B ＝________．解析：依题意得，当x ＝－1时，A ＝{0，1，2，3，4，5，6}，B ＝{－3，－1，1，3，5，7，9}，(∁U A )∩B ＝{－3，－1，7，9}． 答案：{－3，－1，7，9}顺序构造与条件构造[典例引领]执行如下图的程序框图，如果输入的t ∈[－1，3]，那么输出的s 属于( )A ．[－3，4]B ．[－5，2]C ．[－4，3]D ．[－2，5]【解析】 由程序框图得分段函数s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，t <1，4t －t 2，t ≥1.所以当－1≤t <1时，s ＝3t ∈[－3，3)；当1≤t ≤3时，s ＝4t －t 2＝－(t －2)2＋4，所以此时3≤s ≤4.综上函数的值域为[－3，4]，即输出的s 属于[－3，4]． 【答案】 A1．假设本例的判断框中的条件改为“t ≥1？〞，那么输出的s 的范围是________．解析：由程序框图得分段函数s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，t ≥1，4t －t 2，t <1.所以当1≤t ≤3时，s ＝3t ∈[3，9]，当－1≤t <1时，s ＝4t －t 2＝－(t －2)2＋4，所以此时－5≤s <3.综上函数的值域为[－5，9]，即输出的s 属于[－5，9]． 答案：[－5，9]2．本例框图不变，假设输出s 的值为3，求输入的t 的值．解：由本例解析知s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，t <14t －t 2，t ≥1， 那么3t ＝3，所以t ＝1(舍)， 4t －t 2＝3，所以t ＝1或3.应用顺序构造和条件构造的注意点(1)顺序构造顺序构造是最简单的算法构造，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进展的． (2)条件构造利用条件构造解决算法问题时，重点是判断框，判断框内的条件不同，对应的下一图框中的内容和操作要相应地进展变化，故要重点分析判断框内的条件是否满足．[提醒] 条件构造的运用与数学的分类讨论有关．设计算法时，哪一步要分类讨论，哪一步就需要用条件构造．[通关练习]1．阅读如下图的程序框图，假设输入x 为3，那么输出的y 的值为( )A ．24B ．25C ．30D ．40解析：选D.a ＝32－1＝8，b ＝8－3＝5，y ＝8×5＝40.2．给出一个如下图的程序框图，假设要使输入的x 值与输出的y 值相等，那么这样的x 值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.由程序框图知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤2，2x －3，2＜x ≤5，1x ，x ＞5，由得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，x 2＝x 或⎩⎪⎨⎪⎧2＜x ≤5，2x －3＝x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞5，1x＝x .解得x ＝0或x ＝1或x ＝3， 这样的x 值的个数是3.循环构造(高频考点)循环构造是高考命题的一个热点问题，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．高考对循环构造的考察主要有以下三个命题角度： (1)由程序框图求输出的结果或输入的值； (2)完善程序框图； (3)辨析程序框图的功能．[典例引领]角度一 由程序框图求输出的结果或输入的值(1)(2021·高考全国卷Ⅱ)执行如图的程序框图，如果输入的a ＝－1，那么输出的S ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5(2)(2021·高考全国卷Ⅲ)执行如图的程序框图，为使输出S 的值小于91，那么输入的正整数N 的最小值为( )A．5 B．4C．3 D．2【解析】(1)运行程序框图，a＝－1，S＝0，K＝1，K≤6成立；S＝0＋(－1)×1＝－1，a ＝1，K＝2，K≤6成立；S＝－1＋1×2＝1，a＝－1，K＝3，K≤6成立；S＝1＋(－1)×3＝－2，a＝1，K＝4，K≤6成立；S＝－2＋1×4＝2，a＝－1，K＝5，K≤6成立；S＝2＋(－1)×5＝－3，a＝1，K＝6，K≤6成立；S＝－3＋1×6＝3，a＝－1，K＝7，K≤6不成立，输出S.(2)S＝0＋100＝100，M＝－10，t＝2，100>91；S＝100－10＝90，M＝1，t＝3，90<91，输出S，此时，t＝3不满足t≤N，所以输入的正整数N的最小值为2，应选D.【答案】(1)B (2)D角度二完善程序框图(2021·高考全国卷Ⅰ)如图程序框图是为了求出满足3n－2n>1 000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )A．A>1 000和n＝n＋1B．A>1 000和n＝n＋2C．A≤1 000和n＝n＋1D．A≤1 000和n＝n＋2【解析】程序框图中A＝3n－2n，故判断框中应填入A≤1 000，由于初始值n＝0，要求满足A＝3n－2n>1 000的最小偶数，故执行框中应填入n＝n＋2，选D.【答案】 D角度三辨析程序框图的功能如下图的程序框图，该算法的功能是( )A．计算(1＋20)＋(2＋21)＋(3＋22)＋…＋(n＋1＋2n)的值B．计算(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋…＋(n＋2n)的值C．计算(1＋2＋3＋…＋n)＋(20＋21＋22＋…＋2n－1)的值D．计算[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋(20＋21＋22＋…＋2n)的值【解析】初始值k＝1，S＝0，第1次进入循环体时，S＝1＋20，k＝2；当第2次进入循环体时，S＝1＋20＋2＋21，k＝3，…；给定正整数n，当k＝n时，最后一次进入循环体，那么有S＝1＋20＋2＋21＋…＋n＋2n－1，k＝n＋1，终止循环体，输出S＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(20＋21＋22＋…＋2n－1)，应选C.【答案】 C与循环构造有关问题的常见类型及解题策略(1)程序框图，求输出的结果，可按程序框图的流程依次执行，最后得出结果．(2)完善程序框图问题，结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．(3)对于辨析程序框图功能问题，可将程序执行几次，即可根据结果作出判断．[提醒] (1)注意区分当型循环和直到型循环．(2)循环构造中要正确控制循环次数．(3)要注意各个框的顺序．[通关练习]1．(2021·高考天津卷)阅读如下图的程序框图，运行相应的程序，假设输入N的值为24，那么输出N的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.第一次循环，24能被3整除，N ＝243＝8＞3；第二次循环，8不能被3整除，N＝8－1＝7＞3；第三次循环，7不能被3整除，N ＝7－1＝6＞3；第四次循环，6能被3整除，N ＝63＝2＜3，完毕循环，故输出N C.2．(2021·宝鸡市质量检测(一)) 阅读如下图的程序框图，运行相应的程序．假设输入x 的值为1，那么输出S 的值为( ) A ．64 B ．73 C ．512D ．585解析：选B.程序框图执行过程如下：x ＝1，S ＝0，S ＝1，S <50⇒x ＝2，S ＝9，S <50⇒x ＝4，S ＝73>50，跳出循环，输出S ＝73.3．(2021·广东省五校协作体联考)函数f (x )＝ax 3＋12x 2在x ＝－1处取得极大值，记g (x )＝1f ′〔x 〕.执行如下图的程序框图，假设输出的结果S >2 0162 017，那么判断框中可以填入的关于n 的判断条件是( )A ．n ≤2 016?B ．n ≤2 017?C ．n >2 016?D ．n >2 017?解析：选B.f ′(x )＝3ax 2＋x ，那么f ′(－1)＝3a －1＝0，解得a ＝13，g (x )＝1f ′〔x 〕＝1x 2＋x ＝1x 〔x ＋1〕＝1x －1x ＋1，g (n )＝1n －1n ＋1，那么S ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1，因为输出的结果S >2 0162 017，分析可知判断框中可以填入的判断条件是“n ≤2 017？〞，选B.根本算法语句[典例引领](1)设计一个计算1×3×5×7×9×11×13的算法，下面给出了程序的一局部，那么在①处不能填入的数是( )S ＝1 i ＝3 WHILE i<① S ＝S*i i ＝i ＋2 WEND PRINT S ENDA ．13B ．(2)表示函数y ＝f (x )的程序如下图INPUT x IF x ＞0 THEN y ＝1 ELSEIF x ＝0 THEN y ＝0 ELSE y ＝－1 END IF END IFPRINT y END那么关于函数y ＝f (x )①y ＝f (x )的图象关于原点对称． ②y ＝f (x )的值域为[－1，1]． ③y ＝f (x )是周期T ＝1的周期函数． ④y ＝f (x )在R 上是增函数．⑤函数y ＝f (x )－kx (k ＞0)有三个零点．那么正确结论的序号为________．(填上所有正确结论的序号)【解析】 (1)假设填13，当i ＝11＋2＝13时，不满足条件，终止循环，因此得到的是1×3×5×7×9×11的计算结果，故不能填13，但填的数字只要超过13且不超过15时均可保证终止循环，得到的是1×3×5×7×9×11×13的计算结果． (2)由程序知y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞00，x ＝0－1，x ＜0，其图象如图图象关于原点对称，①正确；值域为{1，0，－1}，②错误；不是周期函数，在R 上也不是增函数，③④错误；当k ＞0时，y ＝f (x )与y ＝kx 有三个交点，故⑤正确． 【答案】 (1)A (2)①⑤以下程序执行后输出的结果是________．i ＝11 S ＝1 DO S ＝S*ii＝i－1LOOP UNTIL i<9PRINT SENDi＝11⇒S＝11×1，i＝10；i＝10⇒S＝11×10，i＝9；i＝9⇒S＝11×10×9，i＝8；i＝8<9退出循环，执行“PRINT S〞．故S＝990.答案：990算法与其他知识的交汇[典例引领](1)(2021·湖北荆州七校联考)宋元时期数学名著?算学启蒙?中有关于“松竹并生〞的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．以下图是源于其思想的一个程序框图，假设输入的a，b分别为5，2，那么输出的n＝( )A．2 B．3C．4 D．5(2)执行如下图的程序框图，如果输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 (1)程序运行如下：n ＝1，a ＝5＋52＝152，b ＝4，a >b ，继续循环；n ＝2，a ＝152＋12×152＝454，b ＝8，a >b ，继续循环； n ＝3，a ＝454＋12×454＝1358，b ＝16，a >b ，继续循环；n ＝4，a ＝1358＋12×1358＝40516，b ＝32，此时，a <b . 输出n ＝4，应选C.(2)当条件x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1不成立时输出S 的值为1， 当条件x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1成立时S ＝2x ＋y ， 下面用线性规划的方法求此时S 的最大值．作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1表示的平面区域如图中阴影局部所示，由图可知当直线S ＝2x ＋y 经过点M (1，0)时S 最大，其最大值为2×1＋0＝2，故输出S 的最大值为2.【答案】 (1)C (2)C算法经常与函数、统计、概率、数列等知识交汇，这类问题，常常背景新颖，交汇自然，能很好地考察学生的信息处理能力及综合运用知识解决问题的能力．[通关练习]1．执行如下图的程序框图，假设输出y ＝－3，那么输入的θ＝( )A.π6B ．－π6C.π3D ．－π3解析：选D.对于A ，当θ＝π6时，y ＝sin θ＝sin π6＝12，那么输出y ＝12，不合题意；对于B ，当θ＝－π6时，y ＝sin θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，那么输出y ＝－12，不合题意；对于C ，当θ＝π3时，y ＝tan θ＝tan π3＝3，那么输出y ＝3，不合题意；对于D ，当θ＝－π3时，y ＝tan θ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－3，那么输出y ＝－3，符合题意．应选D.2．(2021·长春质量检测)下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A 1，A 2，…，A 16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是( )A ．6B ．10C ．91D ．92解析：选B.由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图可知：数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出的结果为10.解决程序框图问题要注意几个常用变量(1)计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i ＝i ＋1. (2)累加变量：用来计算数据之和，如S ＝S ＋i . (3)累乘变量：用来计算数据之积，如p ＝p ×i . 循环构造中的条件判断循环构造中的条件是高考的热点，主要是控制循环的变量应该满足的条件是什么．满足条件那么进入循环或退出循环，此时要特别注意当型循环与直到型循环的区别． 条件构造中的条件判断条件构造中条件的判断关键是明确条件构造的功能，然后根据“是〞的分支成立的条件进展判断．解决算法问题应关注三点(1)赋值号左边只能是变量(不能是表达式)，在一个赋值语句中只能给一个变量赋值． (2)注意条件构造与循环构造的联系：循环构造有重复性，条件构造具有选择性没有重复性．(3)直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环〞，当型循环那么是“先判断，后循环，条件满足时执行循环〞；两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反．1．(2021·成都市第一次诊断性检测)执行如下图的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x 为( )A.19 B ．－1或1 C ．1D ．－1解析：选B.当x ≤0时，由－x 2＋1＝0，得x ＝－1；当x >0时，第一次对y 赋值为3x＋2，第二次对y 又赋值为－x 2＋1，最后y ＝－x 2＋1，于是由－x 2＋1＝0，得x ＝1，综上知输入的x 值为－1或1，应选B.2．(2021·兰州双基过关考试)执行如下图的程序框图，假设输出i 的值为2，那么输入x 的最大值是( )A ．5B ．6C ．11D ．22解析：选D.执行该程序可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1>3，12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1－2≤3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >8，x ≤22，即8<x ≤22，所以输入x 的最大值是22.3．(2021·江西赣州十四县联考)执行如下图的程序框图，假设输入x ，k ，b ，p 的值分别为1，－2，9，3，那么输出的x 值为( )A ．－29B ．－5C ．7D ．19解析：选 D.程序执行过程如下：n ＝1，x ＝－2×1＋9＝7；n ＝2，x ＝－2×7＋9＝－5；n ＝3，x ＝－2×(－5)＋9＝19；n ＝4>3，终止循环，输出x ＝19.4．(2021·高考全国卷Ⅱ)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，假设输入的x ＝2，n ＝2，依次输入的a 为2，2，5，那么输出的s ＝( )A ．7B ．12C ．17D ．34解析：选 C.由程序框图知，第一次循环：x ＝2，n ＝2，a ＝2，s ＝0×2＋2＝2，k ＝1；第二次循环：a ＝2，s ＝2×2＋2＝6，k ＝2；第三次循环：a ＝5，s ＝6×2＋5＝17，k ，输出s 的值为17，应选C.5．执行如下图的程序框图，假设输出k 的值为6，那么判断框内可填入的条件是( )A ．s >12？B ．s >35？C ．s >710？D ．s >45？解析：选 C.第一次执行循环：s ＝1×910＝910，k ＝8，s ＝910应满足条件；第二次执行循环：s ＝910×89＝810，k ＝7，s ＝810应满足条件，排除选项D ；第三次执行循环：s ＝810×78＝710，k ＝6，正是输出的结果，故这时程序不再满足条件，完毕循环，而选项A 和B 都满足条件，故排除A 和B ，应选C.6．(2021·湖南省湘中名校高三联考)执行如下图的程序框图，如果运行结果为 5 040，那么判断框中应填入( )A ．k <6?B ．k <7?C ．k >6?D ．k >7?解析：选D.第一次循环，得S ＝2，k ＝3；第二次循环，得S ＝6，k ＝4；第三次循环，得S ＝24，k ＝5；第四次循环，得S ＝120，k ＝6；第五次循环，得S ＝720，k ＝7；第六次循环，得S ＝5 040，k ＝8，此时满足题意，退出循环，输出的S ＝5 040，故判断框中应填入“k >7？〞，应选D.7．(2021·河南百校联盟模拟)?九章算术?是中国古代数学名著，表达了古代劳动人民的数学智慧，其中有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如下图的程序框图，假设输出的m 的值为35，那么输入的a 的值为( )A．4 B．5C．7 D．11解析：选A.起始阶段有m＝2a－3，i＝1，第一次循环，m＝2(2a－3)－3＝4a－9，i＝2；第二次循环，m＝2(4a－9)－3＝8a－21，i＝3；第三次循环，m＝2(8a－21)－3＝16a－45，i＝4；接着计算m＝2(16a－45)－3＝32a－93，跳出循环，输出m＝32a－93，令32a－93＝35，得a＝4.8．(2021·高考山东卷)执行两次如下图的程序框图，假设第一次输入的x的值为7，第二次输入的x的值为9，那么第一次、第二次输出的a的值分别为( )A．0，0 B．1，1C．0，1 D．1，0解析：选D.当输入x＝7时，b＝2，因为b2＞x不成立且x不能被b整除，故b＝3，这时b2＞x成立，故a＝1，输出ax＝9时，b＝2，因为b2＞x不成立且x不能被b整除，故b＝3，这时b2＞x不成立且x能被b整除，故a＝0，输出a的值为0.9．输入x＝5，运行如下图的程序后得到的y等于________．INPUT x IF x<0 THEN y ＝(x ＋1)*(x ＋1)ELSE y ＝(x －1)*(x －1)END IF PRINT y END解析：由题意，得y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2〔x －1〕2，x ≥0， 所以f (5)＝(5－1)2＝16. 答案：1610．(2021·石家庄市第一次模拟)程序框图如图，假设输入的S ＝1，k ＝1，那么输出的S 为____________．解析：第一次循环，k ＝2，S ＝4；第二次循环，k ＝3，S ＝11；第三次循环，k ＝4，S ＝26；第四次循环，k ＝5，S ，终止循环，输出的S ＝57. 答案：5711．(2021·广州市高考模拟)执行如下图的程序框图，输出的结果为____________．解析：第一步：s ＝1－1＝0，t ＝1＋1＝2，x ＝0，y ＝2，k ＝1＜3； 第二步：s ＝－2，t ＝2，x ＝－2，y ＝2，k ＝2＜3；第三步：s ＝－4，t ＝0，x ＝－4，y ＝0，k ＝3，完毕循环．故输出的结果为(－4，0)． 答案：(－4，0)12．执行如下图的程序框图，输出的T 的值为________．解析：执行第1次，n ＝1＜3，T ＝1＋∫10x d x ＝1＋12x 2|10＝1＋12＝32；n ＝2＜3，执行第2次，T ＝32＋∫10x 2d x ＝32＋13x 3|10＝32＋13＝116；n ＝3，不满足n ＜3，输出T ＝116. 故输出的T 的值为116.答案：1161．(2021·新疆乌鲁木齐一诊)执行如下图的程序框图(n∈N *)，那么输出的S ＝( )A ．a ＋aq ＋…＋aqn －1B.a 〔1－q n 〕1－qC ．a ＋aq ＋…＋aq nD.a 〔1－q n ＋1〕1－q解析：选C.执行第1次循环体运算，得i ＝1，S ＝a ；执行第2次循环体运算，得i＝2，S＝a＋aq；…执行第n＋1次循环体运算，得i＝n＋1，S＝a＋aq＋…＋aq n.应选C.2．(2021·福州市综合质量检测)执行如下图的程序框图，假设输入的m＝168，n＝112，那么输出的k，m的值分别为( )A．4，7 B．4，56C．3，7 D．3，56解析：选C.对第一个当型循环构造，第一次循环：k＝1，m＝84，n＝56，m，n均为偶数；第二次循环：k＝2，m＝42，n＝28，m，n均为偶数；第三次循环：k＝3，m＝21，n＝14，因为m不是偶数，所以完毕第一个循环．又m≠n，所以执行第二个当型循环构造，第一次循环：d＝|21－14|＝7，m＝14，n＝7，m≠n；第二次循环：d＝|14－7|＝7，m＝7，n＝7，因为m＝n，所以完毕循环，输出k＝3，m＝7，应选C.3．一个算法的程序框图如下图，假设输入的值为2 017，那么输出的i值为________．解析：运行程序框图．x ＝2 017，a ＝2 017，i ＝1，b ＝11－2 017＝－12 016，b ≠x ； i ＝2，a ＝－12 016，b ＝11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 016＝2 0162 017，b ≠x ； i ＝3，a ＝2 0162 017， b ＝11－2 0162 017＝2 017，b ＝x .终止循环，故输出i ＝3. 答案：34．某程序框图如下图，那么该程序运行后输出的S 的值为________．解析：依题意得，运行程序后输出的是数列{a n }的第2 017项，其中数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，a n <1，18a n ，a n ≥1.注意到a 2＝18，a 3＝14，a 4＝12，a 5＝1，a 6＝18，…，该数列中的项以4为周期重复性地出现， 且2 017＝4×504＋1，因此a 2 017＝a 1＝1，运行程序后输出的S 的值为1. 答案：15．根据如下图的程序框图，将输出的x ，y 值依次分别记为x 1，x 2，…，x n ，…，x 2 008；y 1，y 2，…，y n ，…，y 2 008.(1)求数列{x n }的通项公式x n ；(2)写出y 1，y 2，y 3，y 4，由此猜测出数列{y n }的一个通项公式y n ，并证明你的结论． (3)求z n ＝x 1y 1＋x 2y 2＋…＋x n y n (n ∈N *，n ≤2 008)．解：(1)由框图，知数列{x n }中，x 1＝1，x n ＋1＝x n ＋2，所以x n ＝1＋2(n －1)＝2n －1(n ∈N *，n ≤2 008)．(2)y 1＝2，y 2＝8，y 3＝26，y 4＝80. 由此，猜测y n ＝3n－1(n ∈N *，n ≤2 008)． 证明如下：由框图，知数列{y n }中，y n ＋1＝3y n ＋2， 所以y n ＋1＋1＝3(y n ＋1)， 所以y n ＋1＋1y n ＋1＝3，y 1＋1＝3. 所以数列{y n ＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列．所以y n ＋1＝3·3n －1＝3n，所以y n ＝3n －1(n ∈N *，n ≤2 008)． (3)z n ＝x 1y 1＋x 2y 2＋…＋x n y n＝1×(3－1)＋3×(32－1)＋…＋(2n －1)(3n－1)＝1×3＋3×32＋…＋(2n －1)·3n－[1＋3＋…＋(2n －1)]，记S n ＝1×3＋3×32＋…＋(2n －1)·3n，① 那么3S n ＝1×32＋3×33＋…＋(2n －1)×3n ＋1，②①－②，得－2S n ＝3＋2·32＋2·33＋…＋2·3n－(2n －1)·3n ＋1＝2(3＋32＋…＋3n )－3－(2n －1)·3n ＋1＝2×3〔1－3n〕1－3－3－(2n －1)·3n ＋1＝3n ＋1－6－(2n －1)·3n ＋1＝2(1－n )·3n ＋1－6，所以S n ＝(n －1)·3n ＋1＋3.又1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2， 所以z n ＝(n －1)·3n ＋1＋3－n 2(n ∈N *，n ≤2 008)．。