2017中科院数学所夏令营试题

2.
设直线
l:
1−x 3
=y+1=
3−z 2
在平面
x−y+z
=2
上的投影为
l1,
则
l1
的方程为
,l
绕 l1 旋转所得的曲面方程是 .
101
3. 矩阵 1 1 = −1 1
3 + a1b1 a1b2
,
行列式
det
a2b1
3 + a2b2
a1b3
a2b3
=
.
a3b1
a3b2 3 + a3b3
3 −2 1
2. (15分) 考虑二阶复方阵 M (C) 组成的复线性空间, 方阵 A = 7 2 以及线性变换 B : 37
M2(C) → M2(C) 满足 B(X) = AX − XA, 其中 X 为任意 2 阶方阵, 试证明: B 是可对角 化的线性变换.
3. (20分) 设 V 是由次数不超过 3 的实系数多项式组成的线性空间. 对于任意的 f (x), g(x) ∈
解得
a
=
3 5
.
2. 设 l 与平面的交点为 (1 − 3t, t − 1, 3 − 2t), 由交点在平面上得 1 − 3t − t + 1 + 3 − 2t = 2, 解得
t
=
1 2
,
于是交点为
−
1 2
,
−
1 2
,
2
. l1 的一个方向向量为 (−3, 1, −2) × (1, −1, 1) × (1, −1, 1) =
就马上得到结论. 至于上面例题的证明可以翻书查阅, 书上给了两种证明, 第二种证明与证 明惯性定理类似.

我爱数学初中生夏令营数学竞赛说明:第一试每题50分,共150分;第二试每题15分,共150分.第一试1、已知当x 的值分别为2、m 1、m 2时,多项式ax 2+bx+c 的值分别为0、p 1、p 2.如果a>b>c,并且p 1p 2－cp 1+ap 2－ac=0,那么,能否保证:当x 的值分别为m 1+5、m 2+5时,该多项式的值中至少有一个是正数?证明你的结论.2、在△ABC 中,∠A=75°,∠B=35°,D 是边BC 上一点,BD=2CD. 求证:AD 2=(AC+BD)(AC －CD).3、(1)写出四个连续的正整数,使得它们中的每一个都是某个不为1的完全平方数的倍数,并指出它们分别是哪一个完全平方数的倍数(2)写出六个连续的正整数,使得它们中的每一个都是某个不为1的完全平方数的倍数,并指出它们分别是哪一个完全平方数的倍数,说明你的计算方法.第二试1、若2 008=a n (－3)n +a n －1(－3)n －1+…+a 1(－3)+a 0(a i =0,±1,±2,i=0,1,…,n),则a n +a n －1+…+a 1+a 0= .2、能使关于x 的方程x 2－6x －2n =0(n ∈N+)有整数解的n 的值的个数等于 .3、如果函数y=b 的图像与函数y=x 2－3|x －1|－4x －3的图像恰有三个交点,则b 的可能值是 .4、已知a 为整数,关于x 的方程1||41224+-+x x x x +2－a=0有实数根.则a 的可能值是 . 5、如果某数可以表示成91的某个倍数的数字和,就把这个数叫做“和谐数”.那么,在1,2,…,2 008中,和谐数的个数是 .6、已知某种型号的汽车每台的售价是23万元.某工厂在一年中生产这种汽车的总成本由固定成本和生产成本两部分组成.一年的固定成本为7000万元.在这一年中生产这种汽车x 辆时,生产每一辆车的生产成本为x3x-70万元(0<x<1 000).要使该厂一年中生产的这种汽车的销售收入不低于总成本,则至少需要生产这种汽车 辆. 7、若2008个数a 1,a 2,…,a 2008满足a 1=2,20081)12008(112++---n n n n a a a a =0,其中,n=2,3,…,2 008,那么,a 2008可能达到的最大值是.8、已知⊙O 与直线l 切于点M,⊙O 外一定点A 和⊙O 都在直线l 的同一侧.点A 到直线l 的距离大于⊙O 的直径,点B 在⊙O 上.过点A 作直线l 的垂线AN,过点B 作直线l 的平行线BC,直线AN 与BC 交于点C.则当点B 的位置在 时,ACAB 2的值达到最小.9、在底角等于80°的等腰△ABC 的两腰AB 、AC 上,分别取点D 、E,使得∠BDC=50°,∠BEC=40°.则∠ADE=10、从1, 2,…, 2 008中选出总和为1009000的1004个数,并且这1 004个数中的任意两数之和都不等于2 009.则这1 004个数的平方和等于 . 参考公式:12+22+…+n 2=61n(n+1)(2n+1).参考答案第一试1、由已知得ax 2+bx+c=a(x －2)(x －c/2a), 且 4a+2b+c=0.又由a>b>c 得a>0,c<0,c/2a<0.因此,仅当c/2a≤x≤2时,该多项式的值不是正数. 由已知得(p 1+a)(p 2－c)=0. 则p 1+a=0或p 2－c=0. 解得p 1=－a<0或p 2=c<0.因此,存在i(i=1或2)使得p i <0,m i >c/2a.由已知得c=－4a －2b>－6a,则c/a>－6,c/2a>－3,m i +5>2.当x=mi+5时,该多项式的值是正数.因此,可以保证:当x 的值分别为m 1+5、m 2+5时,该多项式的值中至少有一个是正数. 2、由已知得∠C=70°.延长BC 至E,使AC=CE.联结AE.则∠CEA=∠CAE=21∠ACB=35°=∠ABC.故△CAE ∽△AEB.从而,AE 2=AC·BE,即AB 2=AC(AC+BC).①设F 是BD 的中点,联结AF.则CD=DF=FB.在△ACF 、△ADB 中,由中线的性质分别得 AC 2+AF 2=2CD 2+2AD 2,② AD 2+AB 2=2DF 2+2AF 2.③由式②、③得2AC2+AB 2=6CD 2+3AD 2.④ 将式①代入式④得3AC 2+AC·BC=6CD 2+3AD 2. 将BC=3CD 代入上式得AC 2+AC·CD=2CD 2+AD 2.故AD 2=AC 2+AC·CD －2CD 2=(AC+2CD)(AC －CD)=(AC+BD)(AC －CD).3、(1)242、243、244、245是四个连续的正整数,242是112的倍数、243是32的倍数、 244是22的倍数、245是72的倍数.(2)2 348 124、2 348 125、2 348 126、2 348 127、2 348 128、2 348 129是六个连续的正整数,其中,2 348 124是22的倍数、2 348 125是52的倍数,2 348 126是112的倍数、2 348 127是32的倍数、2 348 128是22的倍数、2 348 129是72的倍数. 计算方法如下:记A=4×9×121×49k(k ∈N+). 由(1)可知,A+240是22的倍数, A+242是112的倍数, A+243是32的倍数, A+244是22的倍数, A+245是72的倍数. 设A+241是52的倍数. 则当k=11时,上式成立. 此时,A=2 347 884.A+240=2 348 124是22的倍数, A+241=2 348 125是52的倍数, A+242=2 348 126是112的倍数, A+243=2 348 127是32的倍数, A+244=2 348 128是22的倍数, A+245=2 348 129是72的倍数.第二试1、0或±4或±8.2 008=2(－3)6－2(－3)5－2 (－3)3+(－3)2+1, 此时, a n +a n －1+…+a 0=0;2 008=2(－3)6－2(－3)5－2 (－3)3+(－3)2－(－3)－2, 此时, a n +a n －1+…+a 0=－4;2 008=－(－3)7－(－3)6－2(－3)5－2(－3)3+(－3)2－(－3)－2, 此时, a n +a n －1+…+a 0=－8;2 008=2(－3)6－2(－3)5+(－3)4+(－3)3+(－3)2+1, 此时, a n +a n －1+…+a 0=4;2 008=(－3)8+2(－3)7+(－3)5+(－3)4+(－3)3+(－3)2+1, 此时,a n +a n －1+…+a 0=8. 注意到将(－3)n 变为(－1)(－3)n+1－2(－3)n , 将2(－3)n 变为(－1)(－3)n+1－(－3)n , 将3(－3)n 变为(－1)(－3)n+1的时候, a n +a n －1+…+a 0的值都增加或减少4,并且当n>8时, a n +a n －1+…+a 0的绝对值不大于8.因此,a n +a n －1+…+a 0=0或±4或±8. 2、1.x=3±n 223+,其中, n223+是完全平方数.显然,n≥2.当n≥2时,可设2n +32=(2k+1)2(k ∈N+,k≥2), 即 2n －2=(k+2)(k －1).显见k －1=1,k=2,n=4.能使原方程有整数解的n 的值的个数等于1. 3、－6、－25/4.令y=x 2－3|x －1|－4x －3.则y=x 2－x －6=425)21(2--x ,x≤1; y=x 2－7x=449)27(2--x ,x>1.当x=1时,y=－6; 当x=12时,y=－25/4.由图像知,所求b 的可能值是－6、－25/4.4、0、1、2. 令y=1x |x |2+.则0≤y<1.由y 2－4y+2－a=0 (y －2)2=2+a 1<2+a≤4 －1<a≤2. 因此,a 的可能值是0、1、2. 5、2 007.注意到91=7×13.数字和为1的数不是91的倍数. 1 001,10 101,10 011 001,101 011 001, 100 110 011 001,1 010 110 011 001,… 都是91的倍数,而它们的数字和依次是2,3,4,5,6,7,….因此,在1,2,…,2 008中,能够表示成91的某个倍数的数字和的数的个数是2 007. 6、318.若该厂一年中生产的这种汽车的销售收入不低于总成本,则 23x －[7000+x xx370-]≥0x －x －300≥0 x ≥22011 1+ x≥234.6601+ x≥318. 因此,在一年中至少需要生产这种汽车318辆.7、2008 20062 .由已知得2008a a 1-n n =①或1-n n a 1a =②,1只能经过第①类变换或第②类变换变为an(n=2,3,…,2 008),从a1开始连续经过2 007次这样的变换变为a2 008. 连续两次第②类变换相互抵消,保持原数不变.连续三次变换依次是“第①类变换、第②类变换、第①类变换”时,其中两次第①类变换相互抵消,相当于只对原数进行了一次第②类变换.因此,对2的连续2 007次变换相当于对2连续进行m 次第①类变换或第②类变换,而且只有在第一次和最后一次变换中才可能是第②类变换.而对2连续2 007次变换:“前2 006次为第①类变换、最后一次为第②类变换”时,a 2008达到最大值2008 20062 .8、线段AM 内.设直线AB 与⊙O 的另一交点为D,不妨设点B 在点A 和D 之间.过点D 作直线AC 的垂线DE,垂足为E.则AB·AD=k(k 是一个不变的常数), △ABC ∽△ADE,AB/AC=AD/AE,AB 2/AC=AB·AD/AE=k/AE.当AE 达到最大值,即点B 的位置在线段AM 内时,AB 2/AC 的值达到最小. 9、50°.由已知∠BAC=20°,∠BCD=50°,故BC=BD,① ∠CBE=60°,∠ABE=20°.在CE 上取一点F 使∠CBF=20°,则∠EBF=40°,BF=FE,② ∠DBF=60°,∠BFC=80°,BC=BF.③由式①、③得BD=BF,知△BDF 是正三角形.于是,BF=DF.④ 由式②、④得DF=FE,知△DFE 是等腰三角形.又∠BFD=60°,知∠DFE=40°.从而,∠FED=70°,∠ADE=50°. 10、1 351 373 940.将1,2,…,2 008分成1 004组: {1,2 008},{2,2 007},…,{1 004,1 005}.由题设,各组中恰取出一个数.将2,4,…,2 008中的1 004,1 006,1 008,1 010分别换成同一组的1 005,1003,1001,999,其余各数不变,就是所选出的符合题目要求的1 004个数.2+4+…+2 008－(1 004+1 006+1 008+1 010)+(1 005+1 003+1 001+999) =1 009 020－(－1+3+7+11)=1 009 000,22+42+…+2 0082－(1 0042+1 0062+1 0082+1 0102)+(1 0052+1 0032+1 0012+9992) =4(12+22+…+1 0042)－2 009(－1+3+7+11) =2/3×1 004×1 005×2 009－2 009×20 =2 008×335×2 009－40 180=1 351 373 940. 答案与选法无关.。

初中数学夏令营赛前专题训练(十)
数论(C)
1. 求出满足| 12m －5n | =7的全部正整数m , n .
2. 如果f(x)=x .2x +.证明议程4f(a)=f(b)没有正整数a 和b 的解.
3. 一个整数称为可被其数字和整除.如果:(1) 它的数字都不为0; (2)它可以被它的数字和整除(例如322可被其数字和整除).证明:有无限多个可被数字和整除的整数.
4. 设n 是五位数(第一位数码不是零), m 是由n 取消它的中间一位数码后所形成的四位数.试确定一切n 使得
m n 是整数.
5. 设x 是一个n 位数,问是否总存在非负整数y ≤9和z, 使得101+n z+10x+y 是一个完全平方数?
6. 证明: 一个正整数是至少两个连续正整数的和, 必须而且只须它不是2的乘幂.。

1爱因斯坦创立广义相对论时用到了下列什么重要的数学工具？黎曼几何2下面这个方程有没有整数解？方程有没有整数解？有3下列哪个是孪生素数对？(17,19)4圆与椭圆在下列哪个数学分支中可看作一样？拓扑5具有同样周长的下列图形哪个面积更大？圆6以下汉字哪一个可以一笔不重复地写出？日7偶数与正整数哪个多？一样多8数列极限趋于0的直观定义的弱点是下面哪一点？缺乏可操作性9课程中费曼的故事告诉我们懂得一件事情最重要的是下面列出的哪一条？找到感觉10超弦理论中蜷缩的空间可以用下面那个空间来描述？Calabi-Yau空间11下面哪一位人物用穷竭法证明了圆的面积与其直径平方成正比？欧多克索斯12以下什么成果是阿基米德首先得到的?抛物线弓形的面积13阿基米德求几何级数的和用的是什么方法？几何的方法14欧多克索斯、阿基米德和刘徽等人对微积分的贡献主要体现在什么方面？定积分15《一种发展连续不可分量的新几何学的方法》是下列哪位数学家的著作？卡瓦列里16现在我们一直在用的“函数（function）”这个词是谁引进的？莱布尼兹17本课程提到的最美的风景点是指？牛顿-莱布尼兹公式18一直沿用至今的ε-δ语言是哪位数学家引入的？魏尔斯特拉斯19康托尔所创立的什么理论是实数以至整个微积分理论体系的基础？集合论20下面关于黎曼可积和勒贝格可积的论述那一项是正确的？黎曼可积函数类是不完备的，勒贝格可积函数类是完备的21试用阿基米德的方法求下面几何级数的和。

22计算加百列号的表面积与体积，并解释为何在这个号角里面灌满油漆，油漆的体积是有限的，但它却能够涂满无限的表面积？23举例说明黎曼积分中积分号和极限号有时不可交换，并给出可交换时需要的条件。

24下列四个定义中，哪个不能作为Rn中的度量(距离)？25度量的三个基本属性中不包括下列哪一个？连续性（三角不等式，正定型，对称性）26下列关于度量和范数的说法中正确的是？由范数可以定义距离，但由距离不可以定义范数27下列说法中不正确的是？对，若为的范数，则下列说法中不正确的是？若为实数，则有28以下现象可以用什么原理来解释？在三维空间中，波的传播有清晰的前后阵面，但是在二维空间中却没有？惠更斯原理29下列选项中正确的是？以下向量组中哪个不能构成的基向量？（0，1，1），（2，1，1），（1，0，0）30下列哪个选项是正确的？若向量a=（1，0，5，2），b=（3，-2，3，-4），c=（-1，1，t，3）线性相关，那么t的值为？1 31下列选项正确的是？向量和的夹角为？32下列说法哪一个是正确的？向量组线性无关的充分必要条件是？齐次线性方程组只有零解33下列哪个属性不是内积所具有的？三角不等式（对称性，对第一个变元的线性性，正定性）34给定一个集合，试验证下面两个集族是否构成集合M上的拓扑？1).2).35随着网络的迅速发展，人们越来越多的使用e-mail联系和交流。