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正多边形和圆1

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第12课时 正多边形和圆(1)

第12课时 正多边形和圆(1)

.
B P
O . rR
D
BC 4 2 2 2
由勾股定理得边心距r= ∴亭子地基的面积S=
42 22 2 3
1 1 lr 24 2 3 41.6 m 2 2 2

中山市精品课程建设
第11课时
正多边形和圆（1） 石岐北区中学数学科组
引导归纳，提炼新知
一般地，正n边形的一个内角的度数是
中山市精品课程建设
第11课时

正多边形和圆（1） 石岐北区中学数学科组
中心角 360 n
中心角
E
D
边心距把△AOB分成 2个全等的直角三角形
180 AOG BOG n
设正多边形的边长为a, 半径为R,它的周长为L=na. 2 a 2 边心距r R （ ） ， 2
创设问题，激发兴趣
问题2 什么是正多边形？
各边相等,各角也相等的多边形是正多边形.
正n边形：如果一个正多边形有n条边，那
么这个正多边形叫做正n边形。
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第11课时
正多边形和圆（1） 石岐北区中学数学科组
创设问题，激发兴趣 想一想：
矩形是正多边形吗？菱形和正方形 呢?为什么？
矩形各角相等，但各边不相等，不是正多边形； 菱形各边相等，但各角不相等，不是正多边形； 正方形四边、四角都相等，是正多边形。
n 2 180
n
360 中心角的度数是 n
正多边形的中心角与外角的大小关系是相等. 在解决正多边形的有关计算时，通过作正n 边形的半径和边心距，把正n边形划分成2n 个 直角三角形，再利用勾股定理，即可完成一些
特殊的正多边形的计算问题.
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初中数学《正多边形和圆》第一课时 教案

初中数学《正多边形和圆》第一课时 教案
（3）正n边形的一个外角为30°，则它的边数为
____，它的内角和为______；
（4）如果一个正多边形的一个外角等于一个内角
的三分之二，则这个正多边形的边数n=____；
（5）正六边形的边长为1，则它的半径为_____，面积为________；
（6）同圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为________________；
二、探究新知
什么叫正多边形？ 各边相等，各角相等的多边形.
什么是正多形的边心距、半径？
正多边形的边有什么性质、角有什么性质？
什么叫正多边形的中心角？
正n边形的中心角度数如何计算？
正n边形的一个外角度数如何计算？
【例】有一个亭子，它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）．
（7）正三角形的高∶半径∶边心距为_________；
（8）边长为1的正六边形的内切圆的面积是____．
四、课堂小结（抽小组小结：小组内1人小结，其余同学补充）
1.本节课你有哪些收获？正多边形与圆有什么关系？
2.还有没解决的问题吗？本节课学习了哪些与正多边形有关的概念？在解决有关的计算问题时，关键是什么？
正n边形的n条半径、n条边心距将正n边形分割成全等直角三角形的个数是多少？
每个直角三角形都由正多边形的哪些元素组成？
三、小组学生探究练习
（1）正n边形的半径和边心距把正n边形分成___个全等的直角三角形；
（2）正三角形的半径为R，则边长为_____，边心距为______，面积为________．若正三角形边长为a，则半径为______；
4.素养：通过探究正多边形在生活中的实际应用，增强对生活的热爱
重点难点
重点：正多边形的有关概念，特殊正多边形的有关计算；

几何中的正多边形与圆的内切外切

几何中的正多边形与圆的内切外切

几何中的正多边形与圆的内切外切正多边形和圆是几何中常见的概念，它们之间存在着内切和外切的关系。

正多边形是一个有着相等边长和相等内角的多边形，而圆是一个由无数点组成的闭合曲线。

本文将探讨正多边形与圆的内切和外切关系，以及相关的性质和定理。

一、正多边形与圆的内切当一个正多边形的每条边都与一个圆相切，且这个圆同时与多边形的所有顶点都相切时，称这个圆为该正多边形的内切圆，多边形为内切圆的多边形。

内切圆的半径等于多边形各边边长的一半，而内切圆的圆心和多边形的重心重合。

以正五边形为例，假设其边长为a，内切圆的半径r，则有以下几何关系：- 五边形的中心到一条边的距离为r- 五边形的中心到两条相邻边的夹角为72度- 五边形的中心到五个顶点的距离等于r- 五边形的中心到相邻两个顶点和圆心连线的夹角为36度对于任意正多边形，以上的几何关系都成立。

内切圆是正多边形与圆相互联系的几何特征，它展现了正多边形的对称性和一致性。

二、正多边形与圆的外切当一个正多边形的每条边都与一个圆相切，且这个圆的圆心位于多边形各边的延长线上时，称这个圆为该正多边形的外切圆，多边形为外切圆的多边形。

外切圆的半径与内切圆的半径之间存在着特殊的关系。

以正六边形为例，假设其边长为a，外切圆的半径R，则有以下几何关系：- 六边形的中心到一条边的距离为R- 六边形的中心到两条相邻边的夹角为120度- 六边形的中心到六个顶点的距离等于R- 六边形的中心到相邻两个顶点和圆心连线的夹角为60度同样地，对于任意正多边形，以上的几何关系都成立。

外切圆也是正多边形的一个重要特征，它定义了多边形的圆心和对称性。

三、正多边形与圆内切外切的性质和定理正多边形与内切外切的圆之间有许多有趣的性质和定理，其中一些被广泛用于解决几何问题和证明定理。

1. 内切圆半径与正多边形边长的关系：对于正n边形（n>2），内切圆的半径r与多边形的边长a存在以下关系：r = (a/2) * cot(π/n)该关系可以用来计算内切圆的半径以及与多边形的边长的关系。

人教版初中九年级上册数学课件 《正多边形和圆》圆

人教版初中九年级上册数学课件 《正多边形和圆》圆
18
解：要使△PCD 的周长最小，即 PC＋PD 的值最小．根
据正多边形的性质，得点 C 关于 BE 的对称点为点 A，连接 AD
交 BE 于点 P，那么有 PC＋PD＝AD 最小．易知四边形 ABCD
为等腰梯形，∠BAD＝∠CDA＝60°.作 BM⊥AD 于点 M，CN
⊥AD 于点 N.∵AB＝2，∴AM＝12AB＝1，∴DN＝AM＝1，∴
能超过( A )
A．12 mm
B．12 3 mm
C．6 mm
D．6 3 mm
3．已知圆内接正三角形的面积为 3，则该圆的内接正六边形的边心距是( B )
A．2
B．1
C． 3
D．
3 2
7
4．【贵州贵阳中考】如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，连接 BD．则∠CBD 的度数是( A )
A．30° C．60°
10
8．【教材P106练习T3变式】如图，正八边 形ABCDEFGH的半径为2，求它的面积．
11
解：连接 AO、BO、CO、AC． ∵正八边形 ABCDEFGH 的半径为 2，∴AO＝ BO＝CO＝2，∠AOB＝∠BOC＝360°×18＝45°，∴∠AOC＝90°，∴AC＝2 2，此时 AC⊥BO，∴S 四边形 ABCO＝12BO·AC＝12×2×2 2＝2 2，∴正八边形 ABCDEFGH 的面 积为 2 2×4＝8 2.
B．45° D．90°
8
5．如图，正六边形 ABCDEF 内接于半径为 4 的圆，则 B、E 两点间的距离为___8___.
9
6．将一个边长为 1 的正六边形补成如图所示的矩形，则矩形的周长等于 ___4_＋__2__3____.(结果保留根号)
43 7．【山东滨州中考】若正六边形的内切圆半径为 2，则其外接圆半径为___3___.

正多边形和圆PPT课件

正多边形和圆PPT课件

一共吃了多少只虫子？
易错辨析（选题源于《典中点》）
4．填表。
加数 加数
和
23 36 40 50
63 86
59 30 20 27
79 57
辨析：求和用加法，求加数用和减另一个加数。
小试牛刀（源于《典中点》） 1．想一想，填一填。
32＋40＝ 72 先算：30 ＋40 ＝ 70 再算：2 ＋ ＝70 72
感悟新知
知2－练
1 (西宁)一元钱硬币的直径约为24 mm，则用它能
完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过( A )
A．12 mm
B．12 3 mm
C．6 mm
D．6 3 mm
感悟新知
知识点 3 正多边形的作图
正多边形和圆有什么关系？ 你能借助圆画一个正多边形吗？
知3－讲
感悟新知
已知⊙O 的半径为 2 cm，画圆的内接正三角形． 知3－讲
作OP⊥BC,垂足为P.
在Rt△OPC中，OC=4 m，
PC=
BC 2
4 2
=2（m）,利用勾股定理，
可得边心距r= 42 22 2 3(m).
亭子地基的面积S= 1 lr 1 24 2 3 41.6(m2 ). 22
感悟新知
知2－讲
正n边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？ 正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？
第二十四章 圆
24.3 正多边形和圆
24.3 正多边形和圆
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
正多边形的有关概念 正多边形的有关计算 正多边形的作图
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
观察下列图形他们有什么特点？
感悟新知

2正多边形与圆(第1课时)课件

2正多边形与圆(第1课时)课件
如果是,那么对称轴有几条?这些对 称轴的散布有什么特点?
当n为奇数时,
操作并视察:
n=3时, 有三条对称轴
n=5时, 有五条对称轴
n=7时, 有七条对称轴
一个正n边形,当n为奇数时,它有n条对称轴, 各边的垂直平分线都是它们的对称轴.
当n为偶数时,
操作并视察:
n=4时, 有四条对称轴
n=6时, 有六条对称轴
基本概念
E
D
中心角 360
n AOG BOG 180
n
边心距r R2（ a）2 ， 2
中心角
F
.O
.
C
R
a
r
a
2
AGB
面积S
1 2
L
•
边sin心18距0 （r） n
1 2
ncao•s边18心0 距 （r） n
tan 180 n
cot 180 n
如果正n边形的边数给定，已知它的边长、半径、边心距 中的任意一项，都可以求出其它各项.最终，转化成解直 角三角形的问题.
P
HB
O
H
O
G
C
E
Hale Waihona Puke BON M
E Q
CM D
C ND
作每个正多边形的边心距，又有什么规律？
边心距又把这n个等腰三角形分成了2n个直角 三角形，这些直角三角形也是全等的．
视察：正三角形绕着它的中心每旋转多少度可以与它自身 重合？正方形呢？正六边形呢？他们具有怎样的旋转对称 性？
正三角形绕着它的中心每旋转120度可以与它自身重合.正方形 绕着它的中心每旋转90度可以与它自身重合.正六边形绕着它的 中心每旋转60度可以与它自身重合.

24.3 多边形和圆 第1课时 初中数学人教版九年级上册教学课件

6
△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于 它半径.
因此，亭子地基的周长 l 6 4 24(m)
例
解：如图，连接OB，OC.因为六边形ABCDE是正六边形，所 以它的中心角等于 360 60
6 △OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它半径.
因此，亭子地基的周长 l 6 4 24(m)
边形ABCDE的 边心距 ， 它是正五边形ABCDE的 内切 圆的半径
2.∠AOB叫做正五边形ABCDE的 中心 角， 它的度数是 72°.
例
如图，有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形， 求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）.
解：如图，连接OB，OC.因为六边形ABCDE是 正六边形，所以它的中心角等于 360 60
∴OA=OB=OC=OD.
∴正方形ABCD有一个以点O为圆 心的外接圆.
问题3
任何正多边形都有一个外接圆和内切圆
以正四边形为例,根据对称轴的性质，你能得出什么结论？
A
E
B
O
G
H
DF
C
AC是∠DAB及∠DCB的角平分线， BD是∠ABC及∠ADC的角平分线， ∴OE=OH=OF=OG.
∴正方形ABCD还有一个以点O为圆心 的内切圆.
（3）OD叫作正△ABC 边心距，它是正△ABC的 内切圆的半径
（4）∠BOC是正△ABC 中心 角，∠BOC＝120 度； ∠BOD＝ 60 度
及时练
1.正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD
的 内心 .
2.正方形ABCD的内切圆的半径OE叫
做正方形ABCD的 边心距 .
及时练
1. O是正五边形ABCDE的外接圆，弦心距OF叫正五

24.3 正多边形和圆 ( 第1课时 )

4．已知正六边形的边心距为 3 ，则它的 12 周长是_____.
5．如图，正六边形ABCDEF的半径为2，以它 的中心O为坐标原点，顶点B、E在x轴上，求 正六边形ABCDEF的各顶点的坐标． A（-1， 3 ） y
B（-2，0 ） C（-1， 3） D（1， 3） E（2，0 ） F（ 1， 3 ）
B O· A E
C
D
又∵五边形ABCDE的顶点都在⊙O上, ∴ 五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形,
⊙O是五边形ABCDE的外接圆.
引入新知
①我们把一个正多边形的外接圆的圆心 叫做这个正多边形的中心（即点O）
②外接圆的半径叫做正多边形的半径（即OA）
③正多边形每一边所对的圆心角叫 A 做正多边形的中心角（即∠AOB ）
C A B O D F E
x
6．如图，有一圆内接正八边形ABCDEFGH， 若△ADE的面积为10，则正八边形 ABCDEFGH的面积为( A ) A. 40 B .50 C. 60
A B
D. 80
H
G
C
D E
F
7．边长为6的正三角形的半径是________. 2 3
8．如图，⊙O的周长为 6π cm,求以它的半 径为边长的正六边形ABCDEF的面积．
巩固练习
1．正八边形的每个内角是______度. 135° 2．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则 ∠CFD的度数是（ C ） A. 60° B. 45° C. 30° D. 22.5°
3．如果一个正多边形绕它的中心旋转90°就与 原来的图形重合，那么这个正多边形是（ B ） A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形
O
半径R 60 边心距r

正多边形和圆-ppt课件


“各边相等，各内角相等”是正多边形的两
个基本特征，当边数n>3时，二者必须同时具备，
缺一不可，否则多边形就不是正多边形.
感悟新知
3. 正多边形的有关概念
知1－讲
(1)正多边形的中心： 一个正多边形的外接圆的圆心叫作正
多边形的中心 .
(2)正多边形的半径： 正多边形的外接圆的半径叫作正多边形
的半径 .
心，OA 为半径作⊙ O，直径 FC ∥ AB， AO， BO
的延长线交⊙ O 于点 D， E.
求证：六边形 ABCDEF 为圆内接
正六边形 .
感悟新知
知1－练
思路导引：
感悟新知
知1－练
证明： ∵三角形 AOB 是正三角形，
∴∠ AOB= ∠ OAB= ∠ OBA=60°， OB=OA.
∴点 B 在⊙ O 上 .
(1)作半径为 0.9 cm 的⊙ O；
(2)用量角器画∠ AOB = ∠ BOC=120°，其中 A， B，C
均为圆上的点；
(3)连接 AB， BC， CA，则△ ABC 为
所求作的正三角形 ，如图 24. 3－4所示.
感悟新知
作法二
(1)作半径为 0.9 cm 的⊙ O；
知3－练
(2)作⊙ O 的任一直径 AB；
︵
︵
︵
︵
︵ ︵
∴BDE－CDE＝CDA－CDE，即BC＝AE.∴BC＝AE.
同理可证其余各边都相等，
∴五边形 ABCDE 是正五边形．
感悟新知
知识点 2 正多边形的有关计算
1. 正 n 边形的每个内角都等于
(－)· °
.

2. 正 n 边形的每个中心角都等于

正多边形和圆(1)

E C
.O A F B
8、图中正六边形ABCDEF的中心角是 ∠AOB 它的度数是 60度 9、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有 什么数量关系？为什么？
E
D
F
.O
C
A
B
正多边形和圆
正多边形： 各边相等，各角 也相等的多边形叫做 A 正多边形。 正n边形： 如果一个正多边 形有n条边，那么这个 正多边形叫做正n边形。
E
D
B
C
想一想：菱形是正多边形吗？矩形和正 方形 呢?为什么？
正多边形与圆到底 有什么样的关系呢? 以正五边形为例,你能证 明吗?
A
1
B
2 3 4
C
4、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做 正方形ABCD的 中心 5、正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做 正方形ABCD的 边心距
A .O B E
D
C
6、⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的 边心距， 弦心距OF叫正五边形ABCDE的 内切 圆的半径。 它是正五边形ABCDE的
中心 角， 7、 ∠AOB叫做正五边形ABCDE的 它的度数是 72度 D
2

4 2
4

2
2
2
3
3 41 . 6 ( m )
抢答题：
外接 1、O是正 △ABC的中心，它是△ABC的 圆与 内切 圆的圆心。 A
2、OB叫正△ABC的 ， 半径 它是正△ABC的 外接 圆的半径。 3、OD叫作正△ABC 的 边心距 ，它是正△ABC 的 内切 圆的半径。 B
.O D
F A
B
2
2
E
OBC 是等边三角形，从而正 六边形的边长等于它的 半径 .
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正多边形和圆
知识体系
正多边形与圆的关系
概念
正多边形的中心、半径、边心距、中心角 正多边形的对称性
正
多
计算
边
形
画法
半径、边心距、中心角的计算 边长、面积的计算
量角器等分圆周画正多边形 尺规作正方形、正六边形等
应用
圆的周长、弧长及组合图形周长的计算 圆面积、扇形面积及组合图形面积的计算
1. 正六边形ABCDEF外切于⊙O, ⊙O的半径为R,
O’
AOC 120, AOC AOC
2S小弓形 S弓形AOC SAOC
O
(S扇形OAOC SAOC ) SAOC
S扇形OAOC 2SAOC
B
C
S阴影
6S小弓形
3(S扇形OAOC
2SAOC )
( 3
3 )a2 2
8.如果用正四边形和正八边形作平面镶嵌， 它的每一个顶点周围有__1__个正四边形和 __2__个正八边形.
股票知识 / 股票知识
4.如图2,A是半径为2的⊙ O外的一点,OA=4,AB是
⊙ O的切线,点B是切点,弦BC∥OA,边结AC,则图中
阴影部分的面积等于 (
A. 2 B. 8 C.
3
3
)
D. 2 3 3
解 : 如图连结 OC, OB,
设AC, BO交于点 D.
由同底等高知 ,
O
A
D
S OCD S ADB
OA 4, OB 2, BD ‖OA
C
B
COD 60
S 阴影
S扇形COB
60 22 360
2 . 3
6.如图,等边△ABC的边长为 a ,以各边为弦 作弧交于△ABC的外心O. 求:菊形的面积.
解 : 如图,设A⌒OC的圆心为O,
A
连结OA,OC,则AOC
则该正六边形的周长为

面积为
.
解 : 如图,设AB切⊙O于M, 连结OA,OB,
A
OM,则OM AB于M, AM BM.
在RtAOM中,
AOM 1 AOB 30, 2
OM R, tan 30 AM , OM
F E
AM OM tan 30 1 3R 3
P6 6 AB 12AM 4 3R
S6
1 2
6AB OM
1 2
4
3R R 2
3R 2
MB
R
O
C
D
3.如图,正六边形ABCDEF的边长是a.分别
以C,F为圆心, a 为半径作弧,则图中阴影
部分的周长是_____.
E
D
解 : 在 正六边形ABCDEF中,
F
F C 120
C
l E⌒A
120 a 180
2 3
a
A
B
C阴影
2(l E⌒A
ED)
2( 2 3
a
a)
4 3
6a
得极为与众不同但又露出一种隐约的神秘，精悍的暗绿色细小琴弓模样的胡须仿佛特别变态又豪华。精悍的银橙色狮子般的面罩确实相当潇洒同时还隐现着几丝罕见， 矮胖的浅绿色鱼杆样的舌头确实非常神气和飘然。那一双歪斜的亮红色鼓锤般的眉毛，似乎有点寒酸愚笨。再看Ｓ．妃卡契思郎中的身形，他有着柔软的活似樱桃形态 的肩膀，肩膀下面是丰盈的活似粉笔形态的手臂，他短小的纯黄色折扇形态的手掌确实相当夸张但又带着几分华丽，轻灵的纯蓝色牙签形态的手指似乎有点有趣讲究。 他瘦瘦的活似香肠形态的腿仿佛特别风流和寒酸，匀称的活似粉条形态的脚确实非常迷离又独裁，他修长的活似扣肉形态的屁股似乎有点豪华但又露出一种隐约的精妙 ！腰间一条，丰盈的淡绿色长笛形态的腰带确实相当神秘但又有些富贵。这个恶男喘息时有种浑厚的褐黄色缰绳样的声音，得意时会散发出跳动的浓绿色麦穗似的气味 。他瘦瘦的亮橙色章鱼一样的骨骼似乎有点猛爆而霸气，那种傲慢的粉红色旋风形态的神态确实非常愚笨超脱。…………月光妹妹：“妞妞姐，你先哄他们玩一会儿， 我进去找咱们要的东西去……”月光妹妹说完立刻留下一个替身，真身变成一缕香气向把守森严的洞窟飞去……Ｒ．拉基希门童：“站住！这里是商业重地，闲杂学生 不得入内！”壮扭公主：“嘿嘿！你们是这的负责人吧？我们是来买货的！”Ｒ．拉基希门童：“哼哼……根据上级指示，你俩要买的货今天没货！就是有也不卖！” 壮扭公主：“我们要买货可都是学生们的共同资源！你就凭一个上级指示，就不卖了？！你那位上级可真有点野蛮加正点的味道。”Ｒ．拉基希门童：“少废话！快点 滚！！”壮扭公主：“我很笨，你们先做个示范让我认真分析一下怎么样……！？”Ｒ．拉基希门童：“想造反吗？看我来教训教训你们！”Ｒ．拉基希门童突然把弯 曲的手掌耍了耍，只见五道飘舞的酷似火鸡般的青冰灵，突然从古怪的仿佛板尺般的脚中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，钢灰色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪 的柏液鹿蹦味在威猛的空气中游动。接着破烂的墨黑色谷堆一样的脑袋突然扭曲变异起来……仿佛元宵般的屁股跳出海蓝色的隐隐灵光……仿佛玉葱般的手臂闪出淡红 色的点点神暖……紧接着像青兰花色的悬皮遗址猫一样猛叫了一声，突然玩了一个独腿扭曲的特技神功，身上眨眼间生出了五十只很像荷叶一样的紫红色脑袋。最后转 起鲜红色钢轨般的鼻子一转，酷酷地从里面滚出一道奇辉，他抓住奇辉强悍地一旋，一样银晃晃、明晃晃的法宝『金火骨神哑铃珠』便显露出来，只见这个这玩意儿， 一边旋转，一