正多边形与圆

第三节正多边形与圆知识清单重难点难度系数构造垂径定理模型★★★圆与有关线段和角度的计算★★★正多边形的计算★★知识概述：一、正多边形与圆的相关概念⑴正多边形：各边、各角都相等的多边形注：正多边形必须同时满足2个条件：①每一条边都相等；②每一个角都相等⑵正多边形的中心：正多边形外接圆的圆心正多边形的半径：正多边形外接圆的半径正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离正多边形的中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角⑶正多边形都是轴对称图形，共有n条对称轴，每条对称轴都经过它的中心，当n为偶数时，正n边形还是中心对称图形。

二、正多边形中各元素间的关系1）设正多边形的边长为，半径为R，边心距为，中心角为a则有关系：2）正多边形的一些关系：①正n边形的中心角a=；②正n边形的周长；③正n边形的面积经典例题1.下列多边形中，是正多边形的是（）A.菱形B.矩形C.等腰梯形D.正六边形2.如图，五边形ABCDE是 O的内接正五边形，对角线AC、BD相交于点P，下列结论正确的有。

①∠BAC=36°；②PB=PC；③四边形APDE是菱形3.如图，正三角形的边长为12cm，剪去三个角后成为一个正六边形，则这个正六边形的内部任意一点到各边的距离和为多少cm？4.如图，五边形ABCDE内接于⊙O，CF与⊙O相切于点C，交AB延长线于点F．（1）若AE＝DC，∠E＝∠BCD，求证：DE＝BC；（2）若OB＝2，AB＝BD＝DA，∠F＝45°，求CF的长．综合检测时间：40分钟，分值：60分一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1.正六边形的边长为4，则它的面积为（）A．B．24C．60 D．2. 已知圆内接正六边形的边长是1，则该圆的内接正三角形的面积为（）A．B．2 C．D．3. 如果一个正多边形的中心角等于72°，那么这个多边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．900°4.若同一个圆的内接正三角形、正六边形的边长分别记作a3，a6，则a3：a6等于（）A．1：B．1：3 C．3：1 D．：15.如图，AB、AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三边形的边，BC是圆内接正n边形的一边，则n等于（）第5题图第6题图第7题图第8题图A．8 B．10 C．12 D．166.如图，点O是正五边形ABCDE的中心，则∠AOB的度数是（）A．65°B．70° C．72° D．78°7.如图，AC是⊙O的内接正四边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正六边形的一边．若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值为（）A．6 B．8 C．10 D．128.如图，若干相同正五边形排成环状．图中已经排好前3个五边形，还需（）个五边形完成这一圆环．A．6 B．7 C．8 D．9二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）9. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝100°，则∠DCE的度数为；第9题图第10题图第11题图第12题图10.如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且为50°，则∠E+∠C＝°．11．如图，正六边形ABCDEF的顶点B，C分别在正方形AMNP的边AM，MN上．若AB＝4，则CN＝．12. 如图，边长为4的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则⊙O的内接正三角形ACE的边长为．三．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）10.如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）求证：△ABC是等边三角形．（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．11.如图，⊙O的周长等于 8πcm，正六边形ABCDEF内接于⊙O．（1）求圆心O到AF的距离；（2）求正六边形ABCDEF的面积．12.如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上一点，连接DP，AP．（1）∠CPD＝°；（2）若DC＝4，CP，求DP的长．。

《正多边形与圆》讲义一、正多边形的定义在平面内，各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

例如，等边三角形、正方形、正五边形等等。

正多边形具有对称性，对称轴的条数与边数相同。

比如正六边形有6 条对称轴。

二、圆的基本性质圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，这个定点称为圆心，定长称为半径。

圆有无数条直径和半径，直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，半径是圆心到圆上任意一点的线段。

圆的周长 C ＝2πr （其中 r 是半径，π是圆周率，通常取 314），圆的面积 S ＝πr² 。

三、正多边形与圆的关系1、正多边形的外接圆以正多边形的中心为圆心，以中心到顶点的距离为半径作圆，这个圆就是正多边形的外接圆。

例如，对于正三角形，我们可以找到它的外接圆。

通过三角形的三个顶点作圆，圆心到三个顶点的距离相等。

2、正多边形的内切圆以正多边形的中心为圆心，以中心到边的距离为半径作圆，这个圆就是正多边形的内切圆。

比如正六边形，我们可以作出它的内切圆。

内切圆与正六边形的各边都相切。

3、正多边形的中心角正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。

正 n 边形的中心角为 360°／n 。

以正五边形为例，其中心角为 360°÷5 ＝ 72°。

4、正多边形的半径正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径。

5、正多边形的边心距正多边形内切圆的半径叫做正多边形的边心距。

四、正多边形的计算1、边长计算对于正 n 边形，如果已知半径 R ，我们可以通过三角函数求出边长a 。

以正六边形为例，连接圆心与一个顶点，形成一个等腰三角形，其顶角为 60°，底角为 60°，则边长等于半径，即 a ＝ R 。

对于正 n 边形，边长 a ＝ 2Rsin(180°／n) 。

2、面积计算正 n 边形的面积可以通过分割成多个三角形来计算。

设正 n 边形的边长为 a ，边心距为 r ，则面积 S ＝ 1/2 × n × a × r 。

知识点1：正多边形的性质及其有关概念正多边形：各条边都相等，各个角也相等的多边形是正多边形。

圆和正多边形的关系：（1）把圆分成n （n ＞2）等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的一个内接正n 边形。

（2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形。

性质：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆有公共的圆心。

相关概念：正多边形的中心：正多边形外接圆和内切圆的公共圆心。

正多边形的半径：正多边形外接圆的半径。

正多边形的边心距：正多边形内切圆的半径。

正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角。

如图所示，OA 为正n 边形的半径，OC 为边心距，AB 为边，∠AOB 为中心角。

提醒：（1）结合图形认识相关概念，增强直观性，有利于理解和记忆。

（2）正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形一共有n 条对称轴，每一条对称轴都通过正多边形的中心，如果一个正多边形由偶数条边，那么它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。

（3）正多边形的对称轴是其各边的垂直平分线，也是其各角的平分线所在的直线。

因此，任何多边形的外接圆与它的内切圆有公共的圆心。

知识点2：正多边形的相关计算正n 边形相关计算的方法：（1）正n 边形的内角和是（n-2）∙180°，它有n 个相等的内角，因此正n 边形每一个内角的度数都是nn 0180)2(∙-。

（2）正n 边形有n 个相等的中心角，而这些中心角的总和是360°，因此，正n 边形每个中心角的度数都是n360。

（3）正n 边形的外角：正n 边形的每个外角都等于n360。

（4）正n 边形的周长l n =n n a ∙（n a 为边长）。

（5）正多边形的面积n n n l r S ∙=21（为周长为边心距，n l n r ）。

（6）正n 边形的n 条半径把正n 边形分成n 个全等的等腰三角形，正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形（如上图所示）。

正多边形和圆导言在几何学中，正多边形和圆是两个常见的几何形状。

本文将介绍正多边形和圆的定义、性质以及它们之间的关系。

正多边形定义正多边形是一个具有相等边长和相等内角的多边形。

其中，边数必须大于或等于3。

性质•正多边形的内角和等于$(n-2) \\times 180˚$，其中n为边数。

•正多边形的每个内角都等于$\\frac{(n-2) \\times 180˚}{n}$。

•正多边形可以被分解为n个等边等角的小三角形。

•正多边形的外角等于$\\frac{360˚}{n}$。

•正多边形的对边平行且长度相等。

示例一个常见的例子是正三角形，也就是我们通常所说的等边三角形。

它的每个内角都等于60˚，外角为120˚。

圆定义圆由一个平面上到一个定点的距离恒定的点集构成。

这个定点称为圆心，距离称为半径。

性质•圆的内角和为360˚。

•圆的任意两点到圆心的距离相等。

•圆的半径是圆上的任意线段，长度为半径的两倍称为直径。

•圆的直径是其内接正多边形的边长，且直径与边的关系为：直径等于$\\frac{\\text{边数}}{2 \\times \\sin \\left( \\frac{180˚}{\\text{边数}} \\right)}$。

•圆的周长等于$2 \\pi r$，其中r为半径。

•圆的面积等于$\\pi r^2$，其中r为半径。

示例一个常见的例子是半径为1的单位圆。

它的直径为2，周长为$2 \\pi$，面积为$\\pi$。

正多边形与圆的关系正多边形可以与圆相互转化。

正多边形转圆正多边形可以通过逐渐增加边数，逼近于一个圆。

当边数趋于无穷大时，正多边形的内角和无限接近于圆的内角和360˚。

圆转正多边形圆可以通过绘制其内接正多边形来近似表示。

当内接正多边形的边数增加时，其形状越来越接近于一个圆。

结论正多边形和圆是几何学中的两个重要概念。

正多边形是具有相等边长和内角的多边形，而圆是由一组到圆心距离相等的点组成。

正多边形和圆之间存在着密切的联系，可以相互转换和逼近。

正多边形与圆的关系正多边形和圆是几何学中常见的两种图形，它们之间存在着一些特殊的关系。

在本文中，我们将探讨正多边形与圆的关系，并介绍其中的几个重要概念和性质。

一、正多边形的定义和性质正多边形是指所有边相等、所有角度相等的多边形。

以正n边形为例，它共有n条边和n个顶点，每个内角都是360°/n。

由于每个内角相等，所以每个外角也相等，每个外角都是360°/n。

正多边形具有一些重要的性质。

首先，正多边形的内角和外角之和分别为180°和360°。

其次，正多边形可以通过将圆分成若干等分扇形得到。

每个扇形对应正多边形上的一个顶点，而圆心则对应于正多边形的中心。

二、正多边形与圆的内切关系正多边形可以与一个圆内切，即正多边形的每个顶点都在圆上。

以正六边形为例，将其内接于一个圆，使得每个顶点都与圆的周边相切。

这样，正六边形的外接圆和内接圆就是同一个圆。

在正多边形内切圆的情况下，我们可以推导出一些有趣的数学关系。

首先，正多边形的内接圆的半径等于正多边形的边长的一半。

其次，正多边形的外接圆的半径等于正多边形的边长与正多边形的内接圆的半径之和。

三、正多边形与圆的外接关系正多边形还可以与一个圆外接，即正多边形的每条边都与圆相切。

这种情况下，正多边形的外接圆和内接圆不再是同一个圆。

在正多边形外接圆的情况下，我们可以得到与内接圆类似的数学关系。

首先，正多边形的外接圆的半径等于正多边形的边长的一半。

其次，正多边形的内接圆的半径等于正多边形的边长与正多边形的外接圆的半径之和。

四、正多边形与圆的面积关系正多边形的面积可以通过将其划分成若干等边三角形求和得到。

以正n边形为例，其面积可以表示为S=0.5*n*r*l，其中r为内接圆的半径，l为正多边形的边长。

而圆的面积可以表示为S=π*r^2，其中r为圆的半径。

通过比较正多边形的面积公式和圆的面积公式，我们可以发现一个有趣的关系：当n无限增大时，正多边形的面积逐渐接近于圆的面积。