浙江省宁波市2019届高三4月模拟考试(二模)数学试题

2019年浙江省宁波市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={1，x，x2﹣x}，且B⊆A，则x=（）A．1 B．0 C．2 D．﹣12．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣103．已知向量，为非零向量，则“（x+y）⊥（2y﹣x）对任意非零实数x，y都成立”是“⊥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件4．已知函数f（x）=，并给出以下命题，其中正确的是（）A．函数y=f（sinx）是奇函数，也是周期函数B．函数y=f（sinx）是偶函数，不是周期函数C．函数y=f（sin）是偶函数，但不是周期函数D．函数y=f（sin）是偶函数，也是周期函数5．下列命题中，正确的是（）A．若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线B．若a，b是两条直线，且a∥b，则直线a平行于经过直线b的所有平面C．若直线a与平面α不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行D．若直线a∥平面α，点P∈α，则平面α内经过点P且与直线a平行的直线有且只有一条6．已知二面角α﹣l﹣β的平面角为θ，PA⊥α，PB⊥β，A，B为垂足，PA=4，PB=2，设A，B到二面角的棱l的距离分别为x，y，当θ变化时点（x，y）的轨迹为（）A．圆弧 B．双曲线的一段 C．线段 D．椭圆的一段7．已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a=4，b+c=5，tanA+tanB+tanA•tanB，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．8．已知数列{a n}的首项a1=a，其前n项和为S n，且满足S n+S n﹣1=3n2+2n+4（n≥2），若对任意的n∈N*，a n ＜a n+1恒成立，则a的取值范围是（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（﹣∞，）二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）9．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的离心率为．则b= ，若以（2，1）为圆心，r为半径的圆与该双曲线的两条渐近线组成的图形只有一个公共点，则半径r= ．（k∈R），其中x，y满足，若z的最大值为3，则实数k的值为，10．记z=x+ky+1，z的最小值为．11．下面几个数中：①30.4；②；③log23•log98；④50.2；⑤3，最大的是，最小的是（请填写对应数的序号）12．如图，某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为．（单位：cm2）13．已知正数x，y满足xy≤1，则M=+的最小值为．14．已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），对于任意实数a，总存在实数m，当x∈[m，m+1]时，使得f （x）≤0恒成立，则b的取值范围为．15．在平面直角坐标系中，定义，（n∈N*）为点P n（x n，y n）到点P n+1（x n+1，y n+1）的一个变换，我们把它称为点变换，已知P1（1，0），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…是经过点变换得到的一无穷点列，则P3的坐标为；设a n=，则满足a1+a2+…+a n＞1000的最小正整数n= ．三、解答题（共5小题，满分74分）16．已知函数f（x）=msin（ωx）cos（ωx）+nsin2（ωx）（ω＞0）关于点（，1）对称．（Ⅰ）若m=4，求f（x）的最小值；（Ⅱ）若函数f（x）的最小正周期是一个三角形的最大内角的值，又f（x）≤f（）对任意实数x成立，求函数f（x）的解析式，并写出函数f（x）的单调递增区间．17．已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=，AD=1，AB=2CD=4，E为AB中点，将△ADE沿直线DE折起到△A1DE，使得A1在平面EBCD上的射影H在直线CD上．（Ⅰ）求证：平面A1EC⊥平面A1DC；（Ⅱ）求平面DEA1与平面A1BC所成的锐二面角的余弦值．18．已知f（x）=．（1）若a=﹣8，求当﹣6≤x≤5时，|f（x）|的最大值；（Ⅱ）对于任意实数x1（x1≤3），存在x2（x2≠x1），使得f（x2）=f（x1），求实数a的取值范围．19．已知F1（﹣，0），F2（，0）为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，且△PF1F2面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两点．△OAB的面积为1， =s+t（s，t∈R），当点G在椭圆C 上运动时，试问s2+t2是否为定值，若是定值，求出这个定值，若不是定值，求出s2+t2的取值范围．20．已知在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（Ⅰ）若t=0，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若t=1，求证：．2019年浙江省宁波市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={1，x，x2﹣x}，且B⊆A，则x=（）A．1 B．0 C．2 D．﹣1【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由A={﹣1，0，1，2}，B⊆A知x=﹣1或x=0或x=2，从而分类讨论求得．【解答】解：∵A={﹣1，0，1，2}，B⊆A，∴x=﹣1或x=0或x=2，若x=﹣1，则x2﹣x=2，故成立；若x=0，则x2﹣x=0，故不成立；若x=2，则x2﹣x=2，故不成立；故选：D．2．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10【考点】等差数列；等比数列．【分析】利用已知条件列出关于a1，d的方程，求出a1，代入通项公式即可求得a2．【解答】解：∵a4=a1+6，a3=a1+4，a1，a3，a4成等比数列，∴a32=a1•a4，即（a1+4）2=a1×（a1+6），解得a1=﹣8，∴a2=a1+2=﹣6．故选B．3．已知向量，为非零向量，则“（x+y）⊥（2y﹣x）对任意非零实数x，y都成立”是“⊥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“（x+y）⊥（2y﹣x）对任意非零实数x，y都成立”，可得：（x+y）•（2y﹣x）=2xy﹣xy+=0，⇔+=0，必然有=0．反之不一定成立．【解答】解：∵“（x+y）⊥（2y﹣x）对任意非零实数x，y都成立”，∴（x+y）•（2y﹣x）=2xy﹣xy+=0，⇔+=0，必然有=0．反之：可得（x+y）•（2y﹣x）=2xy﹣xy+=2xy（﹣）=0，不一定成立．因此“（x+y）⊥（2y﹣x）对任意非零实数x，y都成立”是“⊥”的充分不必要条件．故选：A．4．已知函数f（x）=，并给出以下命题，其中正确的是（）A．函数y=f（sinx）是奇函数，也是周期函数B．函数y=f（sinx）是偶函数，不是周期函数C．函数y=f（sin）是偶函数，但不是周期函数D．函数y=f（sin）是偶函数，也是周期函数【考点】函数奇偶性的判断；函数的周期性．【分析】求出y=f（sinx）的解析式，求出f[sin（﹣x）]，判断f（sinx）与f[sin（﹣x）]的关系，利用函数周期的定义得出y=f（sinx）的周期．同理判断y=f（sin）的奇偶性和周期性．【解答】解：∵f（x）=，∴f（sinx）=．当sinx＞0时，﹣sinx＜0，∴f[sin（﹣x）]=f（﹣sinx）=1+sinx=f（sinx），当sinx＜0时，﹣sinx＞0，∴f[sin（﹣x）]=f（﹣sinx）=1﹣sinx=f（sinx），∴f（sinx）是偶函数，∵f[sin（x+2π）]=f（sinx），∴y=f（sinx）是以2π为周期的函数．同理可得：y=f（sin）是偶函数，∵y=sin不是周期函数，∴y=f（sin）不是周期函数．故选：C．5．下列命题中，正确的是（）A．若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线B．若a，b是两条直线，且a∥b，则直线a平行于经过直线b的所有平面C．若直线a与平面α不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行D．若直线a∥平面α，点P∈α，则平面α内经过点P且与直线a平行的直线有且只有一条【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据命题条件举出反例判断．【解答】解：对于A，当α∥β，a，b分别为第三个平面γ与α，β的交线时，由面面平行的性质可知a∥b，故A错误．对于B，设a，b确定的平面为α，显然a⊂α，b⊂α，故B错误．对于C，当a⊂α时，直线a与平面α内的无数条直线都平行，故C错误．对于D，∵直线a∥平面α，∴存在直线b⊂α，使得a∥b，过P作c∥b，则a∥c．故D正确．故选：D．6．已知二面角α﹣l﹣β的平面角为θ，PA⊥α，PB⊥β，A，B为垂足，PA=4，PB=2，设A，B到二面角的棱l的距离分别为x，y，当θ变化时点（x，y）的轨迹为（）A．圆弧 B．双曲线的一段 C．线段 D．椭圆的一段【考点】二面角的平面角及求法．【分析】利用直角三角形的勾股定理得到（x，y）满足的方程，x，y的实际意义得到x，y都大于0据双曲线方程得到（x，y）的轨迹．【解答】解：∵PA⊥α，PB⊥β，∴PB2+BC2=PA2+AC2∴PB2+y2=PA2+x2∵PA=4，PB=2，∴4+y2=16+x2，即y2﹣x2=12其中x≥0，y≥0．故（x，y）轨迹为双曲线的一段，故选：B．7．已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a=4，b+c=5，tanA+tanB+tanA•tanB，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．【考点】解三角形的实际应用．【分析】根据tanC=﹣tan（A+B）利用正切的两角和公式化简整理求得tanC的值，继而求得C，利用余弦定理a=4，b+c=5，C=60°代入求得b，最后利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：∵tanC=﹣tan（A+B）=﹣化简得，∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，所以tanC=．所以C=60°．cosC=（a2+b2﹣c2），把a=4，b+c=5，C=60°代入解得b=，所以S=absinC=故选C8．已知数列{a n}的首项a1=a，其前n项和为S n，且满足S n+S n﹣1=3n2+2n+4（n≥2），若对任意的n∈N*，a n ＜a n+1恒成立，则a的取值范围是（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（﹣∞，）【考点】数列递推式．【分析】根据条件求出与a n的有关的关系式，利用条件a n＜a n+1恒成立，建立条件，即可得到结论【解答】解：由S n+S n﹣1=3n2+2n+4（n≥2），可以得到S n+1+S n=3（n+1）2+2（n+1）+4，两式相减得a n+1+a n=6n+5，故a n+2+a n+1=6n+11，两式再相减得a n+2﹣a n=6，由n=2得a1+a2+a1=20，a2=20﹣2a，故偶数项为以20﹣2a为首项，以6为公差的等差数列，从而a2n=6n+14﹣2a；n=3得a1+a2+a3+a1+a2=37，a3=2a﹣3，从而a2n+1=6n﹣9+2a，由条件得，解得＜a＜，故选：C．二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）9．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的离心率为．则b= 2 ，若以（2，1）为圆心，r为半径的圆与该双曲线的两条渐近线组成的图形只有一个公共点，则半径r= ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的a，c，运用离心率公式计算可得b=2；再由直线和圆相切的条件：d=r，运用点到直线的距离公式计算即可得到所求半径．【解答】解：双曲线x2﹣=1（b＞0）的a=1，c=，由题意可得e===，解得b=2；由双曲线x2﹣=1可得渐近线方程为y=±2x，由以（2，1）为圆心，r为半径的圆与渐近线y=2x相切，可得d=r，即r==．故答案为：2，．10．记z=x+ky+1，（k∈R），其中x，y满足，若z的最大值为3，则实数k的值为0 ，z的最小值为 1 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，根据z的最大值为3，判断目标函数的斜率得出k的值，根据可行域得出最优解的位置，计算z的最小值．【解答】解：作出约束条件的可行域，如图所示：（1）若k=0，则z=x+1，显然当x=2时z取得最大值3，符合题意，此时，当x=0时，z取得最小值1．（2）若k≠0，由z=x+ky+1得y=﹣．①若k＞0，则当直线y=﹣经过点B（2，2）时，直线截距最大，即z最大．∴3=2+2k+1，解得k=0（舍），②若k＜0，则当﹣≤2即k≤﹣时，直线y=﹣经过点C（1，0）时，直线截距最小，即z最大．∴3=1+0×k+1，无解．当﹣≥2即﹣k＜0时，直线y=﹣经过点B（2，2）时，直线截距最小，即z最大∴3=2+2k+1，解得k=0（舍）．综上，k=0，z的最小值为1．故答案为0，1．11．下面几个数中：①30.4；②；③log23•log98；④50.2；⑤3，最大的是②，最小的是④（请填写对应数的序号）【考点】不等式比较大小；对数的运算性质．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性、结合幂的运算法则，即可得出结论．【解答】解：①30.4=＞，且＜，②=tan（45°+15°）==，③log23•log98=•=，④50.2=⑤3，∴最大的是②，最小的是④．故答案为：②，④．12．如图，某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为64﹣．（单位：cm2）【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是棱长为4的正方体，去掉一个半径为4的球体，由此求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是棱长为4的正方体，去掉一个半径为4的球体，所以该几何体的体积为V=43﹣×π•43=64﹣．故答案为：64﹣．13．已知正数x，y满足xy≤1，则M=+的最小值为2﹣2 ．【考点】基本不等式．【分析】由条件可得0＜x≤，即有M≥+=1﹣=1﹣，运用基本不等式即可得到所求最小值．【解答】解：由正数x，y满足xy≤1，可得0＜x≤，则M=+≥+=+=1﹣+=1﹣=1﹣≥1﹣=1﹣=2﹣2．当且仅当y=，x=时，取得最小值2﹣2．故答案为：2﹣2．14．已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），对于任意实数a，总存在实数m，当x∈[m，m+1]时，使得f（x）≤0恒成立，则b的取值范围为b≤﹣．【考点】函数恒成立问题．【分析】根据题意可知函数与x轴有两交点，且两根差的绝对值应不小于1，可得出（m﹣n）2≥1恒成立，转换成最值问题求解即可．【解答】解：设f（x）=x2+ax+b=0，有两根x1，x2，∴4b＜a2，x1+x2=﹣a，x1x2=b，∵对于任意实数a，总存在实数m，当x∈[m，m+1]时，使得f（x）≤0恒成立，∴（x1﹣x2）2≥1恒成立，∴a2﹣1≥4b，∴b≤﹣．15．在平面直角坐标系中，定义，（n∈N*）为点P n（x n，y n）到点P n+1（x n+1，y n+1）的一个变换，我们把它称为点变换，已知P1（1，0），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…是经过点变换得到的一无穷点列，则P3的坐标为（0，2）；设a n=，则满足a1+a2+…+a n＞1000的最小正整数n= 10 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件即可求得点P1，P2到P7的坐标，从而可以求出向量的坐标，进行向量数量积的坐标运算便可求出a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，a5=16，从而便可看出数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，从而可求出前n项和为2n﹣1，从而可以得到2n＞1001，这样便可判断出最小正整数n的值．【解答】解：由条件得，P1（1，0），P2（1，1），P3（0，2），P4（﹣2，2），P5（﹣4，0），P6（﹣4，﹣4），P7（0，﹣8）…；∴，，，，；∴数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列；∴；∴由a1+a2+…+a n＞1000得，2n﹣1＞1000；∴2n＞1001；∵29=512，210=1024；∴满足a1+a2+…+a n＞1000的最小正整数n=10．故答案为：（0，2），10．三、解答题（共5小题，满分74分）16．已知函数f（x）=msin（ωx）cos（ωx）+nsin2（ωx）（ω＞0）关于点（，1）对称．（Ⅰ）若m=4，求f（x）的最小值；（Ⅱ）若函数f（x）的最小正周期是一个三角形的最大内角的值，又f（x）≤f（）对任意实数x成立，求函数f（x）的解析式，并写出函数f（x）的单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，结合f（x）关于点（，1）对称，得，即n=2，且，从而求得函数的最小值；（Ⅱ）由f（x）≤f（）对任意实数x成立，得，k∈Z，k≥0，再由t的范围可得T的值，由，得m=2．求得函数解析式，再由复合函数的单调性求得函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=msin（ωx）cos（ωx）+nsin2（ωx）===．其中cosθ=，∵f（x）关于点（，1）对称，∴，即n=2，且，∵m=4，∴f（x）=，∴；（Ⅱ）由f（x）≤f（）对任意实数x成立，则，k∈Z，k≥0，其中T为函数f（x）的最小正周期，且，得k=0，T=．．f（x）=，由，得m=2．f（x）=sin3x﹣cos3x+1=．由，得．∴f（x）的单调增区间为[]，k∈Z．17．已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=，AD=1，AB=2CD=4，E为AB中点，将△ADE沿直线DE折起到△A1DE，使得A1在平面EBCD上的射影H在直线CD上．（Ⅰ）求证：平面A1EC⊥平面A1DC；（Ⅱ）求平面DEA1与平面A1BC所成的锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）过A1过A1H⊥CD交CD于H，推导出A1H⊥CE，CD⊥CE，从而CE⊥平面A1CD，由此能证明平面A1EC⊥平面A1DC．（Ⅱ）连结AH交DE、BC于M，N，推导出A1A⊥DE，A1H⊥DE，从而DE⊥平面A1AH，设平面DEA1∩平面A1BC=l，则∠MA1N为二面角E﹣l﹣B的平面角，由此能求出平面DEA1与平面A1BC所成的锐二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）过A1过A1H⊥CD交CD于H，由A1在平面EBCD上的射影在直线CD上，知A1H⊥平面CDE，∴A1H⊥CE，又CD⊥CE，CD∩A1H=H，∴CE⊥平面A1CD，∵CE⊂平面A1EC，∴平面A1EC⊥平面A1DC．解：（Ⅱ）连结AH交DE、BC于M，N，由AD=A1D，AE=A1E，∴A1A⊥DE，又A1H⊥DE，∴DE⊥平面A1AH，∴DE⊥A1M，DE⊥A1N，DE⊥AH，又DE∥平面A1BC，设平面DEA1∩平面A1BC=l，∴DE∥l，从而l⊥A1M，l⊥A1N，∴∠MA1N为二面角E﹣l﹣B的平面角，DH=，A1H=，MH=，NH=3MH=，∴tan，tan，tan∠MA1N=tan（∠MA1H+∠NA1H）==，∴cos，∴平面DEA1与平面A1BC所成的锐二面角的余弦值为．18．已知f（x）=．（1）若a=﹣8，求当﹣6≤x≤5时，|f（x）|的最大值；（Ⅱ）对于任意实数x1（x1≤3），存在x2（x2≠x1），使得f（x2）=f（x1），求实数a的取值范围．【考点】函数的最值及其几何意义；分段函数的应用．【分析】（1）化简f（x）=，从而转化为当0≤x≤5时，|f（x）|的最大值，从而求得；（Ⅱ）分类讨论，从而确定f（x）的性质，再根据二次函数的性质判断a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣8，f（x）=，当﹣6≤x＜0时，存在0≤t＜2，使f（x）=f（t），从而只要求当0≤x≤5时，|f（x）|的最大值，而f（x）=x2﹣8x+9=（x﹣4）2﹣7，﹣7≤f（x）≤9；则|f（x）|≤9；故f（x）|的最大值为9；（Ⅱ）若x1＜2时，取x2=x1﹣2，则f（x2）=f（x1﹣2）=f（x1）；符合题意；只要考虑2≤x1≤3，存在x2（x2≠x1），使得f（x2）=f（x1）；（1）当﹣≤0，即a≥0时，f（x）=x2+ax+1﹣a在[0，+∞）上单调递增；故不存在x2（x2≠x1），f（x2）=f（x1）；（2）当0＜﹣＜2，即﹣4＜a＜0时，则只要f（3）≤f（0），即10+2a≤1﹣a，从而解得，﹣4＜a≤﹣3；（3）当2≤﹣≤3，即﹣6≤a≤﹣4时，取x1=﹣时，不存在x2（x2≠x1），使f（x2）=f（x1）；（4）当﹣＞3，即a＜﹣6时，取x2=﹣a﹣x1＞3，必有f（x2）=f（x1），符合题意；综上所述，a＜﹣6或﹣4＜a≤﹣3．19．已知F1（﹣，0），F2（，0）为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，且△PF1F2面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两点．△OAB的面积为1， =s+t（s，t∈R），当点G在椭圆C 上运动时，试问s2+t2是否为定值，若是定值，求出这个定值，若不是定值，求出s2+t2的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得c=，当P为短轴的端点时，△PF1F2面积取得最大值，即可得到b=1，求得a，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程x2+4y2=4，运用韦达定理，由三角形的面积公式结合向量数量积的定义和坐标表示，可得S△OAB=|x1y2﹣x2y1|=1，化简整理可得1+4k2=2m2，再由向量的坐标表示，计算即可得到x1x2+4y1y2=0，运用点满足椭圆方程，化简整理可得s2+t2=1为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得c=，当P为短轴的端点时，△PF1F2面积取得最大值•b•2c=，解得b=1，a==2，即有椭圆的方程为+y2=1；（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程x2+4y2=4，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），即有x1+x2=﹣，x1x2=，S△OAB=|OA|•|OB|sin∠AOB===|x1y2﹣x2y1|=|x1（kx2+m）﹣x2（kx1+m）|=|m（x1﹣x2）|=|m|•=1，化简可得1+4k2=2m2，设G（x，y），由=s+t，可得x=sx1+tx2，y=sy1+ty2．又因为点G在椭圆C上，所以有（sx1+tx2）2+4（sy1+ty2）2=4，整理可得：s2（x12+4y12）+t2（x22+4y22）+2st（x1x2+4y1y2）=4．即为4（s2+t2）+2st（x1x2+4y1y2）=4．由x1x2=2﹣，x1+x2=﹣，可得4y1y2=4（kx1+m）（kx2+m）=4[k2x1x2+km（x1+x2）+m2]=4k2•（2﹣）+4km（﹣）+4m2=﹣2，可得x1x2+4y1y2=0，即有s2+t2=1为定值．20．已知在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（Ⅰ）若t=0，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若t=1，求证：．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【分析】（Ⅰ）通过t=0可知a n+1=，进而取对数、变形可知lna n+1﹣ln2=2（lna n﹣ln2），计算即得结论；（Ⅱ）通过a1=1可知a n+1=且a n＞0，放缩即得++…+≥，利用a n+1﹣a n=＜0可知数列{a n}是递减数列，进而可知a n+1≤a n，即a n≤，利用a n+1﹣a n=﹣转化、相加即得结论．【解答】证明：（Ⅰ）若t=0，则a n+1=，由a1=1可知a n＞0，从而lna n+1=2lna n﹣ln2，从而lna n+1﹣ln2=2（lna n﹣ln2），即ln=2ln，又∵ln=ln2﹣1，∴数列{ln}是首项为ln2﹣1、公比为2的等比数列，∴ln=2n﹣1ln2﹣1=ln，即a n=；（Ⅱ）首先，由a1=1，a n+1=，可知a n＞0，则： ++…+≥=，∵a n+1﹣a n=＜0，∴数列{a n}是递减数列，∴==1﹣≤1﹣=，即a n+1≤a n，∴a n≤a1=，又∵a n+1﹣a n=﹣a n=﹣，∴++…+=（a1﹣a2）+2（a2﹣a3）+3（a3﹣a4）+…+n（a n﹣a n+1）=a1+a2+a3+a4+…+a n﹣na n+1＜1+++…+=＜，综上所述：．2019年8月5日数学高考模拟试卷（理科） 注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2019届浙江省十校联盟高三下学期4月高考适应性考试数学试题一、单选题1．已知集合{}{}2340,13A x x x B x x =-->=-≤≤，则R ()A B =I ð( ) A ．()1,3- B ．[]1,3- C ．[]1,4- D ．()1,4-【答案】B【解析】先由2340x x -->得4x >或1x <-，再计算R ()ðA B I 即可. 【详解】由2340x x -->得4x >或1x <-，()(),14,A ∴=-∞-⋃+∞，[]R 1,4ðA =-,又{}13B x x =-≤≤，[]R ()1,3A B ∴=-I ð. 故选：B 【点睛】本题主要考查了集合的交集，补集的运算，考查学生的运算求解能力. 2．双曲线22:21C x y -=的渐近线方程为( ) A．0x ±= B ．20x y ±= C．0y ±= D ．20x y ±=【答案】A【解析】将双曲线方程化为标准方程为22112y x -=，其渐近线方程为2212y x -=，化简整理即得渐近线方程. 【详解】双曲线22:21C x y -=得22112y x -=，则其渐近线方程为22012y x -=，整理得0x ±=.故选：A 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用.3．如图所示，已知某几何体的三视图及其尺寸（单位：cm ），则该几何体的表面积为( )A ．15π2cmB ．21π2cmC ．24π2cmD ．33π2cm【答案】C【解析】由三视图知，该几何体是一个圆锥，其母线长是5cm ，底面直径是6cm ，据此可计算出答案. 【详解】由三视图知，该几何体是一个圆锥，其母线长是5cm ，底面直径是6cm ，∴该几何体的表面积233524S πππ=⨯+⨯⨯=.故选：C 【点睛】本题主要考查了三视图的知识，几何体的表面积的计算.由三视图正确恢复几何体是解题的关键. 4．若复数12biz i-=+（b R,i ∈为虚数单位）的实部与虚部相等，则b 的值为( ) A ．3 B ．3±C ．3-D ．3【答案】C【解析】利用复数的除法，以及复数的基本概念求解即可.()221125b b ibi z i --+-==+，又z 的实部与虚部相等， 221b b ∴-=+，解得3b =-.故选:C 【点睛】本题主要考查复数的除法运算，复数的概念运用.5．将函数2()22cos f x x x =-图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移8π个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（ ） A ．3,08π⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,18⎛⎫-- ⎪⎝⎭π C ．3,08⎛⎫-⎪⎝⎭π D ．3,18⎛⎫- ⎪⎝⎭π 【答案】D【解析】先化简函数解析式,再根据函数()y Asin x ωϕ=+的图象变换规律,可得所求函数的解析式为22sin 134y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,再由正弦函数的对称性得解.【详解】222cos y x x =-Q()21cos 2x x =-+2sin 216x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,∴将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,所得函数的解析式为22sin 136y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,再向右平移8π个单位长度,所得函数的解析式为 22sin 1386y x ππ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦22sin 134x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,233,3428x k x k k Z ππππ-=⇒=+∈， 0k =可得函数图象的一个对称中心为3,18⎛⎫- ⎪⎝⎭π，故选D.三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解．6．已知,m n 表示两条不同的直线，αβ，表示两个不同的平面，且,m n αβ⊥⊂，则“αβ⊥”是“//m n ”的( )条件. A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 【答案】B【解析】根据充分必要条件的概念进行判断. 【详解】对于充分性：若αβ⊥，则,m n 可以平行，相交，异面，故充分性不成立； 若//m n ，则,n n αβ⊥⊂，可得αβ⊥，必要性成立. 故选：B 【点睛】本题主要考查空间中线线，线面，面面的位置关系，以及充要条件的判断，考查学生综合运用知识的能力.解决充要条件判断问题，关键是要弄清楚谁是条件，谁是结论. 7．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为()01p p <<，发球次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值范围为( )A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．70,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】根据题意，分别求出()()()123P X P X P X ===，，，再根据离散型随机变量期望公式进行求解即可 【详解】由题可知1P X p ==，21P X p p ==-，()()()()2323111P X p p p p ==-+-=-，则()()()()()()21232131 1.75E X P X P X P X p p p p =====+-+->+2+3解得5122p p ><或，由()0,1p ∈可得10,2p ⎛∈⎫ ⎪⎝⎭， 答案选A 【点睛】本题考查离散型随机变量期望的求解，易错点为第三次发球分为两种情况：三次都不成功、第三次成功8．已知方程1x x y y +=-表示的曲线为()y f x =的图象，对于函数()y f x =有如下结论：①()f x 在()+-∞∞，上单调递减；②函数()()F x f x x =+至少存在一个零点；③()y f x =的最大值为1；④若函数()g x 和()f x 图象关于原点对称，则()y g x =由方程1y y x x +=所确定；则正确命题序号为( ) A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④【答案】C【解析】分四类情况进行讨论，然后画出相对应的图象，由图象可以判断所给命题的真假性. 【详解】（1）当00x y ≥≥，时，221x y +=-，此时不存在图象；（2）当00，x y ≥<时，221-y x =，此时为实轴为y 轴的双曲线一部分； （3）当00，x y <≥时，221x y -=，此时为实轴为x 轴的双曲线一部分；（4）当00，x y <<时，221x y +=，此时为圆心在原点，半径为1的圆的一部分；画出()y f x =的图象，由图象可得：对于①，()f x 在()+-∞∞，上单调递减，所以①正确； 对于②，函数()y f x =与y x =-的图象没有交点，即()()F x f x x =+没有零点，所以②错误；对于③，由函数图象的对称性可知③错误；对于④，函数()g x 和()f x 图象关于原点对称，则1x x y y +=-中用x -代替x ，用y -代替y ，可得1y y x x +=，所以④正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的图象与性质，函数的零点概念，考查了数形结合的数学思想.9．已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均相等，侧棱1AA ⊥平面ABC ，过1AB 作平面α与1BC 平行，设平面α与平面11ACC A 的交线为l ，记直线l 与直线,,AB BC CA 所成锐角分别为αβγ，，，则这三个角的大小关系为( )A ．αγβ>>B ．αβγ=>C ．γβα>>D ．αβγ>=【答案】B【解析】利用图形作出空间中两直线所成的角，然后利用余弦定理求解即可. 【详解】如图，1111111，D C CC C E AC ==，设O 为11A C 的中点，1O 为11C E 的中点， 由图可知过1AB 且与1BC 平行的平面α为平面11AB D ，所以直线l 即为直线1AD ， 由题易知，11，D AB O CB ∠∠的补角，1D AC ∠分别为αβγ，，， 设三棱柱的棱长为2，在1D AB ∆中，1125225，，D B AB AD ===2212542555cos cos 2225D AB α+-∠==∴=⨯⨯；在1O BC ∆中，111125，，O B BC OC === (221541155cos cos 225O CB β+-∠==∴=⨯⨯； 在1D AC ∆中，114225，，CD AC AD ===155cos cos 5525D AC α∠==∴=， cos cos cos ，αβγαβγ=<∴=>Q .故选：B 【点睛】本题主要考查了空间中两直线所成角的计算，考查了学生的作图，用图能力，体现了学生直观想象的核心素养.10．已知正项数列{}{},n n a b 满足：110n n na ab +=+⎧⎨，设n n ac b =，当34c c +最小时，5c 的值为( )A ．2B ．145C ．3D ．4【答案】B【解析】由1110n n nn n n a a b b a b ++=+⎧⎨=+⎩得11911n nn n a a b b ++=++，即1911n n c c +=++，所以得3433911c c c c +=+++，利用基本不等式求出最小值，得到32c =，再由递推公式求出5c .【详解】由1110n n n n n n a a b b a b ++=+⎧⎨=+⎩得1110109111nn n n n n n n n nn na a ab b a a b a b b b ++++===++++，即1911n n c c +=++， 34339161c c c c ∴+=++≥+，当且仅当32c =时取得最小值， 此时45349914141115，c c c c =+==+=++. 故选：B 【点睛】本题主要考查了数列中的最值问题，递推公式的应用，基本不等式求最值，考查了学生的运算求解能力.二、双空题11．“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月共织九匹三丈．”其白话意译为：“现有一善织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织了5尺布，现在一个月（按30天计算）共织布390尺．”则每天增加的数量为____尺，设该女子一个月中第n 天所织布的尺数为n a ，则14151617+++=a a a a ______． 【答案】1652【解析】设从第2天开始,每天比前一天多织d 尺布,由等差数列前n 项和公式求出1629d =,由此利用等差数列通项公式能求出14151617a a a a +++. 【详解】设从第2天开始,每天比前一天多织d 尺布, 则3030293053902S d ⨯=⨯+=, 解得1629d =,即每天增加的数量为1629， 14151617111113141516a a a a a d a d a d a d ∴+++=+++++++ 1458a d =+ 1645585229=⨯+⨯=，故答案为1629，52. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的求和公式，意在考查利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.12．已知82(0)ax a⎛+> ⎝的展开式中各项系数之和为256，则a =________，展开式中6x 的系数为________. 【答案】1 70【解析】（1）由题知当1x =时，()81256a +=，解得1a =； （2）可得516218rr r T C x-+=，由51662r -=得4r =，即可得展开式中6x 项的系数. 【详解】（1）由82(0)ax a⎛> ⎝的展开式中各项系数之和为256，所以令1x =时，()81256a +=，解得1a =， （2）又516218rr r TC x-+=，由51662r -=得4r =， 所以展开式中6x 项的系数为4870C =.故答案为：(1). 1 (2). 70 【点睛】运算.13．若实数,x y 满足约束条件1010570x y x y x y -+≥⎧⎪++≥⎨⎪+-≤⎩，则该不等式组表示的平面区域的面积为________，目标函数32z x y =-的最小值为________. 【答案】6 2-【解析】（1）由约束条件画出可行域，然后求出不等式组表示的平面区域的面积； （2）利用目标函数的几何意义，结合图形求其最小值. 【详解】（1）由题意得，该不等式组表示的平面区域是直角三角形及其内部区域（如图中阴影部分所示），顶点分别为()()()1,01,22,3，，A B C --，且2232，，AB AC AB AC ⊥==，所以1223262ABC S ∆=⨯⨯=；（2）又32,032=32,0x y x z x y x y x -≥⎧=-⎨--<⎩，由图知目标函数在点()0,1处取得最小值，所以min 2z =-， 故答案为：(1). 6 (2). 2- 【点睛】本题主要考查二元一次不等式组的平面区域的面积计算，目标函数的最值问题，考查了数形结合的思想.r r r rr r r r r【答案】2 1【解析】（1）2a b +=r r（2）由()b ta b ⊥+r r r 得2()0b ta b ta b b ⋅+=⋅+=r r r ，代入解方程可得t .【详解】（1）22a b +===r r；（2）由()b ta b ⊥+r r 得2()0b ta b ta b b ⋅+=⋅+=，所以10t -=得1t =. 故答案为：(1). 2 (2). 1 【点睛】本题主要考查了向量模的计算，向量垂直的性质运用.三、填空题15．已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点分别为12F F 、，过2(1,0)F 且斜率为1的直线交椭圆于A B 、，若三角形1F AB 2，则该椭圆的离心率为________.1【解析】由题得直线AB 的方程为1x y =+，代入椭圆方程得：()222222220ab y b y b a b +++-=，设点()()1122,,A B x y x y ，，则有2222121222222，b b a b y y y y a b a b--+==++，由12121212F AB S F F y y ∆=⨯⨯-=，且221a b -=解出a ，进而求解出离心率.【详解】由题知，直线AB 的方程为1x y =+，代入22221x y a b+=消x 得：()222222220ab y b y b a b +++-=，设点()()1122,,A B x y x y ，，则有2222121222222，b b a b y y y y a b a b--+==++，12y y∴-===，而12121222112222F ABS F F y ya b∆=⨯⨯-=⨯⨯=+，又221a b-=，解得：a=，所以离心率12cea===.1【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，三角形面积计算与离心率的求解，考查了学生的运算求解能力16．安排4名男生和4名女生参与完成3项工作，每人参与一项，每项工作至少由1名男生和1名女生完成，则不同的安排方式共有________种（用数字作答）.【答案】1296【解析】先从4个男生选2个一组，将4人分成三组，然后从4个女生选2个一组，将4人分成三组，然后全排列即可.【详解】由于每项工作至少由1名男生和1名女生完成，则先从4个男生选2个一组，将4人分成三组，所以男生的排法共有234336C A=，同理女生的排法共有234336C A=，故不同的安排共有232343431296C A C A⋅=种.故答案为：1296【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，考查了学生应用数学解决实际问题的能力.17．已知1()()f x x a a Rx=+-∈，若存在1231,,,,[,2]2nx x x x⋅⋅⋅∈，使得121()()()nf x f x f x-++⋅⋅⋅+()nf x=成立的最大正整数n为6，则a的取值范围为________.【答案】15191321[)(,]81058⋃，【解析】由题意得()()()()min maxmin max56f x f xf x f x⎧≤⎪⎨>⎪⎩，分类讨论作出函数图象，求得最值解不等式组即可.【详解】原问题等价于()()()()min maxmin max56f x f x f x f x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩，当2a <时，函数图象如图此时()()min max 522，fx a f x a =-=-， 则()()55225622a a a a⎧-≤-⎪⎪⎨⎪->-⎪⎩，解得：1519810a ≤<； 当924a ≤<时，函数图象如图此时()()min max 502，f x f x a ==-， 则55025602a a⎧⨯≤-⎪⎪⎨⎪⨯>-⎪⎩，解得：a ∈∅；当9542a ≤<时，函数图象如图此时()()min max 02，f x f x a ==-， 则502602a a ⨯≤-⎧⎨⨯>-⎩，解得：a ∈∅；当52a ≥时，函数图象如图此时()()min max 522，f x a f x a =-=-，则55225622a a a a ⎧⎛⎫-≤- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪->- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：132158a <≤； 综上，满足条件a 的取值范围为15191321[)(,]81058⋃，. 故答案为：15191321[)(,]81058⋃， 【点睛】本题主要考查了对勾函数的图象与性质，函数的最值求解，存在性问题的求解等，考查了分类讨论，转化与化归的思想.四、解答题18．已知ABC ∆中，内角,,A B C 所对边分别是,,,a b c 其中2,3a c ==. （1）若角A 为锐角，且3sin 3C =，求sin B 的值； （2）设2()3cos 3cos f C C C C =+，求()f C 的取值范围.【答案】（1）6159；（2）33,322⎡+⎢⎣.【解析】（1）由正弦定理直接可求sin A ，然后运用两角和的正弦公式算出sin B ；（2）化简()3232f C C π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由余弦定理得22211cos 24a b c C b ab b +-⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求出1cos 2C ≥，确定角C 范围，进而求出()f C 的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理，得：sin sin a cA C=sin 2sin 3a C A c ∴== sin sin C A ∴<，且A 为锐角cos ,cos 33C A ∴==sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C ∴=+=+=（2）()1cos 21323sin 2cos 222222C f C C C C ⎫+=+⨯=++⎪⎪⎭3232C π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭222111cos 242a b c C b ab b +-⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭Q0,3C π⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦233C+πππ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦，[]sin 20,13C π⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭()33,22f C ⎡∴∈+⎢⎣【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，基本不等式的应用，三角函数的值域等，考查了学生运算求解能力.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧棱PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，90ABC ∠=o ，1AD =，2PA AB BC ===，M 是棱PB 中点.（1）已知点E 在棱BC 上，且平面//AME 平面PCD ，试确定点E 的位置并说明理由；（2）设点N 是线段CD 上的动点，当点N 在何处时，直线MN 与平面PAB 所成角最大？并求最大角的正弦值.【答案】（1）E 为BC 中点，理由见解析；（2）当点N 在线段DC 靠近C 的三等分点时，直线MN 与平面PAB 所成角最大，最大角的正弦值357. 【解析】(1)E 为BC 中点,可利用中位线与平行四边形性质证明//ME PC ，//AE DC ，从而证明平面//AME 平面PCD ；（2）以A 为原点，分别以AD ，AB ，AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出当点N 在线段DC 靠近C 的三等分点时，直线MN 与平面PAB 所成角最大，并可求出最大角的正弦值. 【详解】（1）E 为BC 中点，证明如下：Q M E 、分别为,PB BC 中点，//ME PC ∴又ME ⊄Q 平面,PDC PC ⊂平面PDC//ME ∴平面PDC又//EC AD Q ，且EC AD =∴四边形EADC 为平行四边形，//AE DC ∴同理，//AE 平面PDC ，又AE ME E ⋂=Q∴平面//AME 平面PDC（2）以A 为原点，分别以AD ，AB ，AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系则(000),(020),(220),(100),(002)A B C D P ，，，，，，，，，，，()011M ，， 设直线MN 与平面PAB 所成角为θ，()01DN DC λλ=≤≤u u u r u u u r则)(1211MN MA AD DN λλ=++=+--u u u u v u u u v u u u v u u u v，， 取平面PAB 的法向量为(1,0,0)n =r则2222(1)sin cos ,523(1)(21)1=MN n λθλλλλ+<>==-+++-+u u u u r r令[]11,2+=t λ∈，则22222(1)1511523523710()125t =t t t tλλλ+=≤-+-+-+ 所以35sin θ≤ 当5233t λ=⇔=时，等号成立 即当点N 在线段DC 靠近C 的三等分点时，直线MN 与平面PAB 所成角最大，最大35. 【点睛】本题主要考查了平面与平面的平行，直线与平面所成角的求解，考查了学生的直观想象与运算求解能力.20．若数列{}n a 前n 项和为{}n S ，且满足()21n n tS a t =--（t 为常数，且0,1t t ≠≠）（1）求数列{}n a 的通项公式：（2）设1n n b S =-，且数列{}n b 为等比数列，令3log n n n c a b =，.求证：1232n c c c ++⋯+<. 【答案】（1）2nn a t =（2）详见解析【解析】（1）利用1n n n a S S -=-可得{}n a 的递推关系，从而可求其通项. （2）由{}n b 为等比数列可得13t =，从而可得{}n c 的通项，利用错位相减法可得{}n c 的前n 项和，利用不等式的性质可证1232n c c c ++⋯+<. 【详解】（1）由题意，得：()21n n tS a t =--（t 为常数，且0,1t t ≠≠）， 当1n =时，得()1121tS a t =--，得12a t =. 由()()11212(2)1n n n n t S a t t S a n t --⎧=-⎪⎪-⎨⎪=-≥⎪-⎩，故()111n n n n n tS S a a a t ---==--，1(2)n n a ta n -∴=≥，故2n n a t =. （2）由()()211221111nn n n t t b S t t t t =-=--=----， 由{}n b 为等比数列可知：2213b b b =，又22312312,122,1222b t b t t b t t t =-=--=---，故()()()2223122121222t t t t t t --=----，化简得到3262t t =，所以13t =或0t =（舍）. 所以，12,33nn n n b a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则3212log 333nn n n n c ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭=. 设{}n c 的前n 项和为n T .则12242333nn nT =++⋯+ 23112423333n n nT +=++⋯+，相减可得1232332232n n n n T c c c +=+++=-<⋅L 【点睛】数列的通项{}n a 与前n 项和n S 的关系式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，我们常利用这个关系式实现{}n a 与n S 之间的相互转化. 数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.21．已知抛物线24C y x =：的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点M ，点P 在抛物线上，直线PF 与抛物线C 交于另一点A .（1）设直线MP ，MA 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k +常数；（2）①设PMA ∆的内切圆圆心为(,)G a b 的半径为r ，试用r 表示点G 的横坐标a ； ②当PMA ∆的内切圆的面积为12π时，求直线PA 的方程. 【答案】（1）证明见解析；（2）①24r a =；②34108x y ±-=.【解析】（1）设过F 的直线1x my =+交抛物线于11(,)P x y ，22(,)A x y ，联立24y x =，利用直线的斜率公式和韦达定理表示出12k k +，化简即可；（2）由（1）知点G 在x 轴上，故(),0G a ，设出直线,PA PM 方程，求出交点P 坐标，因为内心到三角形各边的距离相等且均为内切圆半径，列出方程组求解即可. 【详解】（1）设过F 的直线1x my =+交抛物线于11(,)P x y ，22(,)A x y ，(1,0)M -联立方程组214x my y x=+⎧⎨=⎩，得：2440y my --=.于是，有：121244y y my y +=⎧⎨⋅=-⎩ 1212211212121212111y y y x y x y y k k x x x x x x +++∴+=+=+++++， 又12211212121211()()(4)44044y x y x y y y y y y y y m m +++=⋅+++=⋅-⋅+=， 120k k ∴+=；（2）①由（1）知点G 在x 轴上，故(),0G a ，联立,PA PM 的直线方程：11x my x ny =+⎧⎨=-⎩.2,m n P n m n m +⎛⎫∴ ⎪--⎝⎭，又点P 在抛物线24y x =上，得221n m -=，()()()()()22222222211411r m a r r n m a r n a ⎧+=-⎪==⇒⇒-=⎨+=+⎪⎩， 24r a ∴=；②由题得，2211228S r r a ππ==⇒=⇒= （解法一）()22111128+m ⎛⎫⇒=- ⎪⎝⎭m ⇒= 所以直线PA的方程为10x y -= （解法二）设内切圆半径为r，则2r =.设直线PM 的斜率为k ，则： 直线MP 的方程为：(1)y k x =+代入直线PA 的直线方程，可得12(,)11mk kP mk mk+--于是有：221()411k mkmk mk+=⋅--， 得22(1)1k m +=，又由（1）可设内切圆的圆心为(,0).t则2==，即：2222212(1)2(1)1m t k t k ⎧+=-⎨+=+⎩，解得：18t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，直线PA的方程为：10x y ±-=. 【点睛】本题主要考查了抛物线的性质，直线与抛物线相关的综合问题的求解，考查了学生的运算求解与逻辑推理能力.22．已知函数2()ln (0)，f x x bx a x a b R =-+>∈.（1）设2b a =+，若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且121x x ->，求证：12()()34ln 2f x f x ->-；（2）设()()g x xf x =，()g x 在[1,]e 不单调，且124b e a+≤恒成立，求a 的取值范围.（e 为自然对数的底数）. 【答案】（1）证明见解析；（2）⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）先求出()f x '，又由121x x ->可判断出()f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故()()212ln 142a a f x f x a -=--，令22a t =>，记()22ln 1h t t t t =--， 利用导数求出()h t 的最小值即可；（2）由()g x 在[]1,e 上不单调转化为()0g x '=在()1,e 上有解，可得23ln 2x a x a b x++=，令()ln 13a a x F x x x a +=++，分类讨论求()F x 的最大值，再求解()max 4F x e ≤即可.【详解】（1）已知22(0),()ln b a a f x x bx a x =+>=-+，(1)(2)()2a x x a f x x b x x--'∴=-+=， 由()0f x '=可得1212a x x ==，， 又由121x x ->,知22a > ()f x ∴在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， ()()()2121ln 1242a a a f x f x f f a ⎛⎫∴-=-=-- ⎪⎝⎭ 令22a t =>，记()22ln 1h t t t t =--，则()22ln 2h t t t '=-- 22(1)()20t h t t t-''∴=-=>()h t '∴在()2+∞，上单调递增； ()(2)2(1ln 2)0h t h ''∴>=->，()h t ∴在()2+∞，上单调递增；()(2)34ln 20h t h -∴>=>，12()()34ln 2f x f x ∴->-（2）32()ln g x x bx ax x =-+，2()32ln g x x bx a x a '∴=-++，()g x Q 在[]1,e 上不单调，()g x '∴在()1,e 上有正有负，()0g x '∴=在()1,e 上有解，23ln 2x a x a b x++∴=，(1,)x e ∈， 124b e a+≤Q 恒成立， 记()ln 13a a x F x x x a +=++，则()2223ln 3ln x a x x F x a x a x -⎛⎫'==- ⎪⎝⎭， 记2ln ()x G x x =，312ln ()x G x x -'∴=，()G x ∴在(上单调增，在)e 上单调减.max 1()2G x G e==于是知（i ）当312a e≥即6a e ≤时，()0F x '≥恒成立，()F x 在()1,e 上单调增， ()2134a F e e e e a ∴=++≤，2220a e a e ∴-+≤，a ≤≤. （ii ）当6a e >时，14F e a =+>=>，故不满足题意.综上所述，a ∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查了导数的综合应用，考查了分类讨论，转化与化归的思想，考查了学生的运算求解能力.。

2019年宁波市高三数学下期末模拟试卷含答案一、选择题1．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2，n S ，3n a 成等差数列，则5S 的值是（ ）A ．243-B ．242-C ．162-D ．2432．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2b c =，6a =，7cos 8A =，则ABC ∆的面积为（ ） A ．17B ．3C ．15D ．1523．()22x xe ef x x x --=+-的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．4．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于xOy 平面对称 C ．关于坐标原点对称 D ．以上都不对 5．如图所示的组合体，其结构特征是（ ）A ．由两个圆锥组合成的B ．由两个圆柱组合成的C ．由一个棱锥和一个棱柱组合成的D ．由一个圆锥和一个圆柱组合成的6．设集合2{|20,}M x x x x R =+=∈，2{|20,}N x x x x R =-=∈，则M N ⋃=（ ） A ．{}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-7．若不等式222424ax ax x x +-<+ 对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(22)-，B ．(2)(2)-∞-⋃+∞，， C ．(22]-，D ．(2]-∞，8．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3x π=对称的函数是（ ）A ．2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．2sin 23x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭9．<n+1(n∈N *),某同学应用数学归纳法的证明过程如下:(1)当n=1时不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N *)时,不等式成立,<k+1. 那么当n=k+1时=<所以当n=k+1时,不等式也成立.根据(1)和(2),可知对于任何n∈N *,不等式均成立. 则上述证法（ ） A ．过程全部正确 B ．n=1验得不正确C ．归纳假设不正确D ．从n=k 到n=k+1的证明过程不正确10．函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后关于原点对称，则函数()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为（）A ．B ．2C ．12D ．12-11．已知抛物线22(0)y px p =>交双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线于A ，B 两点（异于坐标原点O AOB ∆的面积为32，则抛物线的焦点为（ ） A ．(2,0)B ．(4,0)C ．(6,0)D ．(8,0)12．在ABC ∆中，A 为锐角，1lg lg()lgsin b A c+==-，则ABC ∆为（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形二、填空题13．关于x 的不等式a 34≤x 2﹣3x +4≤b 的解集为[a ，b ]，则b －a ＝________． 14．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件. 15．在区间[1,1]-上随机取一个数x ，cos 2xπ的值介于1[0,]2的概率为 ．16．已知函数21,1()()1a x x f x x a x ⎧-+≤=⎨->⎩，函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______． 17．若9()a x x-的展开式中3x 的系数是84-，则a = ．18．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ． 19．能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________． 20．若log 41,a b =-则+a b 的最小值为_________.三、解答题21．若0,0a b >>,且11a b+=（1）求33+a b 的最小值；（2）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由. 22．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 3cos c B b C a B +=．（1）求cos B 的值；（2）若2CA CB -=u u u v u u u v，ABC ∆的面积为b ．23．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束. （1）求P （X =2）；（2）求事件“X =4且甲获胜”的概率. 24．已知函数()|1|f x x =+（1）求不等式()|21|1f x x <+-的解集M （2）设,a b M ∈，证明：(ab)()()f f a f b >--.25．2016年某市政府出台了“2020年创建全国文明城市简称创文”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；采用百分制评分，内认定为满意，80分及以上认定为非常满意；市民对公交站点布局的满意率不低于即可进行验收；用样本的频率代替概率．求被调查者满意或非常满意该项目的频率；若从该市的全体市民中随机抽取3人，试估计恰有2人非常满意该项目的概率； 已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中选取2人担任群众督察员，记为群众督查员中老年人的人数，求随机变量的分布列及其数学期望．26．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=u u u r u u u r，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为2,,3n n S a 成等差数列，所以223n n S a =+，当1n =时，111223,2S a a =+∴=-；当2n ≥时，1113333112222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--=-，即11322n n a a -=，即()132nn a n a -=≥，∴数列{}n a 是首项12a =-，公比3q =的等比数列，()()55151213242113a q S q---∴===---，故选B.2．D解析：D 【解析】 【分析】三角形的面积公式为1sin 2ABC S bc A ∆=，故需要求出边b 与c ，由余弦定理可以解得b 与c . 【详解】解：在ABC ∆中，2227cos 28b c a A bc +-==将2b c =，a =22246748c c c +-=， 解得：2c =由7cos 8A =得sin 8A ==所以，11sin 242282ABC S bc A ∆==⨯⨯⨯=故选D. 【点睛】三角形的面积公式常见形式有两种：一是12（底⨯高），二是1sin 2bc A .借助12（底⨯高）时，需要将斜三角形的高与相应的底求出来；借助1sin 2bc A 时，需要求出三角形两边及其夹角的正弦值.3．A解析：A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，排除D ；根据函数解析式可知定义域为{}1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1，利用特殊值x=0.01和x=1.001代入即可排除错误选项． 【详解】由函数解析式()22x x e e f x x x --=+-，易知()22x xe ef x x x ---=+-=() f x - 所以函数()22x xe ef x x x --=+-为奇函数，排除D 选项根据解析式分母不为0可知,定义域为{}1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1， 当x=0.01时，代入()f x 可得()0f x <，排除C 选项 当x=1.001时，代入()f x 可得()0f x >，排除B 选项 所以选A 【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数的图象，依据主要是奇偶性、单调性、特殊值等，注意图中坐标的位置及特殊直线，属于中档题．4．A解析：A【解析】点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的x 坐标相同，而y 、z 坐标互为相反数，所以两点关于x 轴对称． 考点：空间两点间的距离.5．D解析：D 【解析】 【分析】根据圆柱与圆锥的结构特征，即可判定，得到答案. 【详解】根据空间几何体的结构特征，可得该组合体上面是圆锥，下接一个同底的圆柱，故选D. 【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，其中解答熟记圆柱与圆锥的结构特征是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：M ＝{x|x 2＋2x ＝0，x ∈R}＝{0，-2}，N ＝{x|x 2－2x ＝0，x ∈R}＝{ 0，2}，所以M N ⋃={-2,0,2}，故选D ．考点：1、一元二次方程求根；2、集合并集的运算．7．C解析：C 【解析】由题意，不等式222424ax ax x x +-<+，可化为2(2)2(2)40a x a x -+--<， 当20a -=，即2a =时，不等式恒成立，符合题意；当20a -≠时，要使不等式恒成立，需2)2204(44(2)0a a a --<⎧⎨∆=+⨯-<⎩n ， 解得22a -<<，综上所述，所以a 的取值范围为(2,2]-，故选C ． 8．B解析：B 【解析】 【分析】首先选项C 中函数2sin 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为2412T ππ==,故排除C,将3x π=,代入A,B,D 求得函数值,而函数sin()y A x B ωϕ=++在对称轴处取最值,即可求出结果. 【详解】先选项C 中函数2sin 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为2412T ππ==,故排除C,将3x π=,代入A,B,D求得函数值为0,,而函数sin()y A x B ωϕ=++在对称轴处取最值. 故选:B . 【点睛】本题考查三角函数的周期性、对称性,难度较易.9．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】题目中当n=k+1时不等式的证明没有用到n=k 时的不等式，正确的证明过程如下： 在（2）中假设n k =1k <+(1)1k ++成立，即1n k =+时成立，故选D ． 点睛：数学归纳法证明中需注意的事项(1)初始值的验证是归纳的基础，归纳递推是证题的关键，两个步骤缺一不可． (2)在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从k 到k ＋1时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误．(3)解题中要注意步骤的完整性和规范性，过程中要体现数学归纳法证题的形式.10．B解析：B 【解析】【分析】由条件根据函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得3πφk π-+=，k z ∈，由此根据||2ϕπ<求得ϕ的值，得到函数解析式即可求最值． 【详解】函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后， 得到函数sin 2sin 263ππy x φx φ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象， 再根据所得图象关于原点对称，可得3πφk π-+=，k z ∈， ∵||2ϕπ<，∴3πϕ=，()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由题意,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，得42,333πππx ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，∴21,32πsin x ⎡⎛⎫-∈-⎢⎪⎝⎭⎣⎦，∴函数()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 故选B ． 【点睛】本题主要考查函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，考查了正弦函数最值的求法，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，能根据正弦函数的性质求最值，属于基础题．11．B解析：B 【解析】 【分析】由题意可得2ba=，设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性列出方程组确定p 的值即可确定焦点坐标. 【详解】2222222215c a b b e a a a+===+=，∴2b a =， 设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性可得：22322n m mn n pm ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，解得：8p =，∴抛物线的焦点为()4,0，故选B . 【点睛】本题主要考查圆锥曲线的对称性，双曲线的渐近线，抛物线焦点坐标的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由1lg lg()lgsin b A c+==-lglg 22b bc c =⇒=且sin A =A 为锐角，所以45A =o，由2b c =，根据正弦定理，得sin sin sin(135)cos sin 22B C B B B ==-=+o ，解得cos 090B B =⇒=o ，所以三角形为等腰直角三角形，故选D. 考点：三角形形状的判定.二、填空题13．4【解析】【分析】设f （x ）x2﹣3x+4其函数图象是抛物线画两条与x 轴平行的直线y ＝a 和y ＝b 如果两直线与抛物线有两个交点得到解集应该是两个区间；此不等式的解集为一个区间所以两直线与抛物线不可能有解析：4 【解析】 【分析】 设f （x ）34=x 2﹣3x +4，其函数图象是抛物线，画两条与x 轴平行的直线y ＝a 和y ＝b ，如果两直线与抛物线有两个交点，得到解集应该是两个区间；此不等式的解集为一个区间，所以两直线与抛物线不可能有两个交点，所以直线y ＝a 应该与抛物线只有一个或没有交点，所以a 小于或等于抛物线的最小值且a 与b 所对应的函数值相等且都等于b ，利用f （b ）＝b 求出b 的值，由抛物线的对称轴求出a 的值，从而求出结果． 【详解】解：画出函数f （x ）＝34x 2﹣3x +4＝34（x －2）2＋1的图象，如图，可得f （x ）min ＝f （2）＝1，由图象可知，若a >1，则不等式a ≤34x 2－3x ＋4≤b 的解集分两段区域，不符合已知条件， 因此a ≤1，此时a ≤x 2－3x ＋4恒成立．又不等式a ≤34x 2－3x ＋4≤b 的解集为[a ，b ]， 所以a ≤1<b ，f （a ）＝f （b ）＝b ，可得2233443344a ab b b b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩由34b 2－3b ＋4＝b ，化为3b 2－16b ＋16＝0， 解得b ＝43或b ＝4. 当b ＝43时，由34a 2－3a ＋4－43＝0，解得a ＝43或a ＝83， 不符合题意，舍去， 所以b ＝4，此时a ＝0， 所以b －a ＝4. 故答案为：4 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，解题时应灵活应用函数的思想解决实际问题，是中档题．14．18【解析】应从丙种型号的产品中抽取件故答案为18点睛:在分层抽样的过程中为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比即ni解析：18 【解析】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件，故答案为18． 点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N ．15．【解析】试题分析：由题意得因此所求概率为考点：几何概型概率解析：13【解析】试题分析：由题意得1220cos,[1,1]112232222333xx x x x x πππππππ≤≤∈-⇒≤≤-≤≤-⇒≤≤-≤≤-或或，因此所求概率为22(1)13.1(1)3-=--考点：几何概型概率16．【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实 解析：(]2,3【解析】 【分析】由函数()2()g x f x =-，把函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，转化为()1f x =恰有4个实数根，列出相应的条件，即可求解. 【详解】由题意，函数()2()g x f x =-，且函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点， 即()1f x =恰有4个实数根，当1x ≤时，由11a x -+=，即110x a +=-≥，解得2=-x a 或x a =-，所以2112a a a a -≤⎧⎪-≤⎨⎪-≠-⎩，解得13a <?；当1x >时，由2()1x a -=，解得1x a =-或1x a =+，所以1111a a ->⎧⎨+>⎩，解得2a >，综上可得：实数a 的取值范围为(]2,3. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为()1f x =，绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.17．1【解析】【分析】先求出二项式的展开式的通项公式令的指数等于求出的值即可求得展开式中的项的系数再根据的系数是列方程求解即可【详解】展开式的的通项为令的展开式中的系数为故答案为1【点睛】本题主要考查二解析：1【解析】 【分析】先求出二项式9()a x x-的展开式的通项公式，令x 的指数等于4，求出r 的值，即可求得展开式中3x 的项的系数，再根据3x 的系数是84-列方程求解即可. 【详解】9()a x x -展开式的的通项为()992199rr r r r rr a T C x C x a x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令9233r r -=⇒=，9()a x x-的展开式中3x 的系数为()339841C a a -=-⇒=，故答案为1. 【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.18．【解析】【分析】【详解】设AB=2作CO ⊥面ABDEOH ⊥AB 则CH ⊥AB ∠CHO 为二面角C−AB−D 的平面角CH=3√OH=CHcos ∠CHO=1结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为解析：16【解析】 【分析】 【详解】设AB =2,作CO ⊥面ABDEOH ⊥AB ，则CH ⊥AB ，∠CHO 为二面角C −AB −D 的平面角， CH =3√，OH =CH cos ∠CHO =1，结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，11(),2212AN EM CH ANAC AB EM AC AE AN EM ====+=-∴⋅=u u u ru u ur u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r 故EM ,AN116=，19．y=sinx （答案不唯一）【解析】分析：举的反例要否定增函数可以取一个分段函数使得f （x ）>f （0）且（02］上是减函数详解：令则f （x ）>f （0）对任意的x∈（02］都成立但f （x ）在［02］上不解析：y =sin x （答案不唯一）【解析】分析：举的反例要否定增函数，可以取一个分段函数，使得f （x ）>f （0）且（0，2］上是减函数.详解：令0,0()4,(0,2]x f x x x =⎧=⎨-∈⎩，则f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f（x ）在［0，2］上不是增函数.又如，令f （x ）=sin x ，则f （0）=0，f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f （x ）在［0，2］上不是增函数.点睛：要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值0x ，使0()p x 不成立即可.通常举分段函数.20．1【解析】试题分析：由得所以（当且仅当即时等号成立）所以答案应填1考点：1对数的运算性质；2基本不等式解析：1 【解析】试题分析：由log 41,a b =-得104a b=>，所以114a b b b +=+≥=（当且仅当14b b =即12b =时，等号成立） 所以答案应填1.考点：1、对数的运算性质；2、基本不等式.三、解答题21．（1）；（2）不存在. 【解析】 【分析】（1）由已知11a b+=，利用基本不等式的和积转化可求2ab ≥，利用基本不等式可将33+a b 转化为ab ，由不等式的传递性，可求33+a b 的最小值；（2）由基本不等式可求23a b +的最小值为6>，故不存在． 【详解】（111a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==故33+a b ≥≥a b ==所以33+a b 的最小值为（2）由（1）知，23a b +≥≥由于6>，从而不存在,a b ，使得236a b +=成立． 【考点定位】 基本不等式． 22．（1）1cos 3B =；（2）3b = 【解析】 【分析】（1）直接利用余弦定理的变换求出B 的余弦值．（2）利用（1）的结论首先求出sin B 的值，进一步利用平面向量的模的运算求出c ，再利用三角形的面积公式求出a ，最后利用余弦定理的应用求出结果． 【详解】解：在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 3cos c B b C a B +=．则：2222222223222a c b a b c a c b c b a ac ab ac+-+-+-+=g g g ， 整理得：22223ac a c b =+-，所以：2221cos 23a cb B ac +-==； （2）由于1cos 3B =，(0,)B π∈，所以：sin 3B ==， 在ABC ∆中，由于：||2CA CB -=u u u r u u u r，则：2BA =u u u r，即：2c =．由于ABC ∆的面积为所以：1sin 2ac B =解得：3a =，故：2222cos b a c ac B =+- 14922393=+-=g g g ，解得：3b =． 【点睛】本题考查的知识要点：平面向量的模的运算的应用，余弦定理和三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题． 23．（1）0.5；（2）0.1 【解析】 【分析】(1)本题首先可以通过题意推导出()2P X =所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果；(2)本题首先可以通过题意推导出()4P X =所包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果． 【详解】(1)由题意可知，()2P X =所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球” 所以()20.50.40.50.60.5P X ==??(2)由题意可知，()4P X =包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”所以()40.50.60.50.4+0.50.40.50.40.1P X ==创创创= 【点睛】本题考查古典概型的相关性质，能否通过题意得出()2P X =以及()4P X =所包含的事件是解决本题的关键，考查推理能力，考查学生从题目中获取所需信息的能力，是中档题．24．(1){1M x x =<-或 }1x >；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求交集，最后求并集（2）利用分析法证明，先根据绝对值三角不等式将不等式转化为证明1ab a b +>+，再两边平方，因式分解转化为证明()()22110a b -->，最后根据条件221,1a b >>确定()()22110ab -->成立.【详解】（1）∵()211f x x <+-，∴12110x x +-++<.当1x <-时，不等式可化为()12110x x --+++<， 解得1x <-，∴1x <-； 当112x -≤≤-,不等式可化为()12110x x ++++<，解得1x <-， 无解； 当12x >-时，不等式可化为()12110x x +-++<，解得1x >，∴1x >. 综上所述，{1M x x =<-或}1x >.（2）∵()()()1111f a f b a b a b a b --=+--++--+=+≤， 要证()()()f ab f a f b >--成立， 只需证1ab a b +>+， 即证221ab a b +>+， 即证222210a b a b --+>, 即证()()22110a b -->.由（1）知，{1M x x =<-或}1x >， ∵a b M ∈、，∴221,1a b >>， ∴()()22110a b -->成立.综上所述，对于任意的a b M ∈、都有()()()f ab f a f b >--成立.点睛：(1)分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.(2)利用综合法证明不等式，关键是利用好已知条件和已经证明过的重要不等式. 25．（1）；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）根据直方图的意义，求出后四个小矩形的面积和即可求得被调查者满意或非常满意该项目的频率；（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是，根据独立重复试验次发生次的概率公式可得结果；（3）随机变量的所有可能取值为0，1，2，利用组合知识根据古典概型概率公式分别求出各随机变量的概率，即可得分布列，根据期望公式可得结果.试题解析：（1）根据题意：60分或以上被认定为满意或非常满意，在频率分布直方图中， 评分在的频率为：；（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是，用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取1人， 该人非常满意该项目的概率为，现从中抽取3人恰有2人非常满意该项目的概率为：；（3）∵评分低于60分的被调查者中，老年人占， 又从被调查者中按年龄分层抽取9人， ∴这9人中，老年人有3人，非老年人6人， 随机变量的所有可能取值为0，1，2，的分布列为：0 1 2的数学期望.26．（1）3,2a c ==；（2）2327【解析】试题分析：（1）由2BA BC ⋅=u u u r u u u r 和1cos 3B =，得ac=6.由余弦定理，得2213a c +=.解，即可求出a ，c ；（2） 在ABC ∆中，利用同角基本关系得22sin B =由正弦定理，得2sin sin 9c C B b ==，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此27cos 1sin 9C C =-=，利用cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+，即可求出结果. （1）由2BA BC ⋅=u u u r u u u r得，，又1cos 3B =，所以ac=6. 由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+. 又b=3，所以2292213a c +=+⨯=. 解，得a=2，c=3或a=3，c=2.因为a>c,∴ a=3，c=2.（2）在ABC ∆中，22122sin 1cos 1()3B B =-=-= 由正弦定理，得22242sin sin 339c C B b ==⋅=，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此22427cos 1sin 1()99C C =-=-=.于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+=1724223393927⋅+⋅=. 考点：1.解三角形；2.三角恒等变换.。

数学试卷 6-4
1g。
(本 题满分 1s分 )中 国古代数学经典 《 数书九章》中,将 底面为矩形且有一条侧棱
与底面垂直的四棱锥称为 孺
” “ “ 阳马 ,将 四个面都为直角三角形的四面体称之为 鳖
”,在 CD中 ,底 面 剧BCD是 矩形 ,″ ⊥平面 Ⅱ BCD, 如图所示的阳马 P-犭 ￡
″ 〓/D〓
取值范围为 ▲ .
为 ▲ 。 范围 2,|∶ -B|〓 1,则 |乙 +乙 |的 取 1,|莎 ← 值 已 量乙 知向 ,B,乙 满足 |乙 卜 骤。 或 演 过 程 证明 说明、 文字 竿步 共5小 题,共 T0分 .解 答应写出 题 答 题:本 大 解
(本 题满分
1。
分 )在 △ /BC中
q缨望 沪 ^ sIn'+sIn B =望 c
1.已 绅集合 Z〓 {蚓 0兰 艿兰7},B〓 {州 /-8豸 +7≥ Ol,则 /∩ B〓
A. [0,刂
B. (7)
c・
(7) [0,刂 ∪
D・
ll,7]
3= 2.已 知双曲 10)0)的 渐近线方程为Jh± y〓 o,负 刂 线JL-釜 〓
2雨
A。
⒊J
三 ⒍卫
2
D。
-1
4雨
1+D〓 1-i(i为 虚数 3.己 知复 单位),则 z的 虚部为 数z满 足灭
则 %=⊥
″
%u坞
=
数学试卷
6-3
13.已 知随机变 量 X的 分布列如 下表
X
1一
:
-1
0
1
P
D〓 贝 刂 ▲
三~三 b
4 3
D2