高一教案2.1.1 函数-函数的概念

第二章函数§2.1函数2.1.1函数第1课时变量与函数的概念【学习要求】1.通过丰富实例，加深对函数概念的理解，学会用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．2.了解构成函数的三要素．3.能够正确使用“区间”的符号表示某些集合．【学法指导】通过实例体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会用集合与对应刻画函数的必要性的重要性.填一填：知识要点、记下疑难点1.函数的概念：设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数.记作y＝f(x)，x∈A.其中x叫做自变量，自变量的取值范围(数集A)叫做这个函数的定义域.2.区间概念：设a，b∈R，且a<b.(1)满足a≤x≤b的全体实数x的集合，叫做闭区间，记作[a，b]．(2)满足a<x<b 的全体实数x的集合，叫做开区间，记作(a，b)．(3)满足a≤x<b或a<x≤b的全体实数x的集合，叫做半开半闭区间，分别记作[a，b)或(a，b]．(4)满足x≥a，x>a，x≤a，x<a的全体实数x的集合分别表示为[a，＋∞) ，(a，＋∞)，(－∞，a] ，(－∞，a) .研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]初中是用运动变化的观点对函数进行定义，虽然这种定义较为直观，但并未完全揭示出函数概念的本质．对于y＝1(x∈R)是不是函数，如果用运动变化的观点去看它，就不好解释，显得牵强．但如果用集合与对应的观点来解释，就十分自然．因此，用集合与对应的思想来理解函数，对函数概念的再认识，就很有必要．探究点一变量与函数的概念问题1阅读教材29－30页中的(1)，(2)，(3)，(4)四个函数关系的例子，指出这四个例子的共同特点是什么？变量之间的对应关系采用什么形式表达的？问题2从上述的四个例子中，你能感悟到一个函数关系涉及到哪些量？问题3如何用集合与对应的观点来阐述上面四个例子有什么共同特点？问题4确定一个函数最少需要几个要素？为什么？问题5若检查给定两个变量之间是否具有函数关系，只须检查什么？例1对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有()①y是x的函数；②对于不同的x，y的值也不同；③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来．A．1个B．2个C．3个D．4个跟踪训练1下列函数中哪个与函数y＝x相等？(1)y＝(x)2；(2)y＝3x3；(3)y＝x2；(4)y＝x2x.探究点二区间的概念问题1阅读教材31页下半段，然后回答区间的概念是如何定义的？问题2实数集R及x≥a，x>a，x≤b，x<b如何用区间表示？问题3在数轴上如何表示区间[a，b]、(a，b)、[a，b)、(a，b]、[a，＋∞)、(a，＋∞)?探究点三求函数的定义域导引在函数关系式的表述中，函数的定义域有时可以省略，这时就约定这个函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合．问题1对于一个确定的函数关系式，我们通常从哪些方面考虑求函数的定义域？问题2在初中已学函数的定义域和值域是怎样的？例2求下列函数的定义域：(1)f(x)＝1x－2；(2)f(x)＝3x＋2；(3)f(x)＝x＋1＋12－x.跟踪训练2 求函数f(x)＝1x ＋1的定义域．探究点四 求函数值和值域例3 求函数f(x)＝1x 2＋1(x ∈R)，在x ＝0,1,2处的函数值和值域．跟踪训练3 求下列函数的值域．(1)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4}； (2)y ＝x ＋1.例4 (1)已知函数f(x)＝x 2，求f(x －1)； (2)已知函数f(x －1)＝x 2，求f(x)．跟踪训练4 (1)已知函数f(x)的定义域为(0,1)，求f(x 2)的定义域．(2)已知函数f(2x ＋1)的定义域为(0,1)，求f(x)的定义域．练一练：当堂检测、目标达成落实处1.下列说法中，不正确的是 ( )A ．函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应法则确定后，函数值域也就确定D ．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素2.下列关于函数与区间的说法正确的是 ( )A ．函数定义域必不是空集，但值域可以是空集B ．函数定义域和值域确定后，其对应法则也就确定了C ．数集都能用区间表示D ．函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应3.已知函数f(1－x 1＋x)＝x ，求f(2)的值．课堂小结：1.函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系．由于函数的定义域和对应法则一经确定，值域随之确定，所以判断两个函数是否相等只须两个函数的定义域和对应法则一样即可.2. f(x)是函数符号，f 表示对应法则，f(x)表示x 对应的函数值，绝对不能理解为f 与x 的乘积．在不同的函数中f 的具体含义不同，由课本的四个实例可看出对应法则可以是解析式、图象、表格等．函数除了可用符号f(x)表示外，还可用g(x)，F(x)等表示.。

高一数学教案复习函数的基本概念与性质函数是数学中一种重要的概念，它在数理科学的研究和实际应用中都有着广泛的应用。

高一学生正处于数学基础知识的学习和掌握阶段，因此对于函数的基本概念与性质的复习显得尤为重要。

本篇教案将细致地介绍函数的基本概念和常见的性质，以帮助学生加深对该知识点的理解和运用。

一、函数的基本概念函数是指两个集合之间的一种特殊关系，其中每个元素（自变量）在定义域内只对应一个元素（因变量）。

为了确定一个函数，我们需要明确以下几个要素：1.1 定义域和值域函数的定义域是指自变量可能取值的集合，而值域则是函数的所有可能输出值的集合。

需要注意的是，函数的定义域可以是实数集、整数集或自然数集等不同数集。

1.2 关系式或图表函数可以通过关系式或图表的形式来表示。

关系式是指将自变量和因变量之间的关系用式子表示出来，如y = 2x + 3；图表则是将自变量和因变量的对应关系用表格或图像呈现出来。

1.3 函数的特性函数可以通过一些特性来描述和判断，比如奇偶性、单调性、周期性等。

这些特性可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为。

二、函数的性质与图像除了基本概念之外，函数还具有一些常见的性质。

下面我们将介绍一些关于函数性质的重要内容，并通过图像来进一步说明。

2.1 奇偶性一个函数可以是奇函数、偶函数或者既不是奇函数也不是偶函数。

奇函数的图像关于原点对称，即f(-x) = -f(x)；偶函数的图像关于y轴对称，即f(-x) = f(x)。

2.2 单调性单调函数是指在定义域上具有单调性的函数。

如果函数在某一区间上递增，那么它是递增函数；如果函数在某一区间上递减，那么它是递减函数。

2.3 周期性周期函数是指在一定区间内，函数的值按照一定规律重复出现。

常见的周期函数有正弦函数和余弦函数等。

周期可以通过函数的图像来观察和确定。

三、函数的应用函数的概念和性质在数学和实际应用中都有广泛的应用。

在数学上，函数可以用于解决各种数学问题，如方程的求解、不等式的证明等。

高一数学《函数的概念》深入理解教案教学目标：1. 掌握函数的定义和性质，能够准确地描述函数的定义和图像特征；2. 理解函数的基本概念，能够将实际问题转化为函数的形式进行求解；3. 引导学生深入思考函数在实际生活中的应用，培养学生的逻辑思维能力。

教学重点：1. 函数的定义和性质；2. 函数图像的绘制方法；3. 实际问题中函数的应用。

教学难点：1. 函数的性质和图像特征的准确描述；2. 实际问题的函数建模和求解。

教学过程：引入：通过举例子和提问的方式，引导学生思考函数的概念。

比如：“在生活中，我们碰到过哪些具有函数性质的事物？”，“函数在哪些领域中有着重要的应用？”第一步：函数的定义和性质（时间：15分钟）1. 引导学生回顾函数的定义：“函数是一个将一个集合的元素（称为自变量）映射到另一个集合的元素（称为因变量）的规则。

”2. 讲解函数的符号表示和记法：“通常用f(x)表示函数，其中f表示函数名，x表示自变量。

”3. 讲解函数的定义域和值域的概念：“函数的定义域是指自变量的取值范围，值域是指因变量的取值范围。

”4. 引导学生理解函数的性质：“函数的每一个自变量只能与唯一的因变量相对应。

”5. 通过示例演示函数的性质，帮助学生更好地理解。

第二步：函数图像的绘制方法（时间：20分钟）1. 讲解如何通过函数的定义绘制函数的图像。

2. 引导学生回顾如何绘制线性函数、二次函数、绝对值函数等常见函数的图像。

3. 引导学生思考如何通过函数的变换（平移、缩放、翻转等）绘制函数的图像。

4. 通过练习题和实例，让学生熟悉函数图像的绘制方法。

第三步：实际问题中函数的应用（时间：25分钟）1. 引导学生思考函数在实际问题中的应用，比如：在某个时间段内，物体的位置如何随时间的变化而变化？某商品的销售量与价格之间是否存在某种函数关系？2. 通过具体问题的分析和讨论，引导学生将实际问题转化为函数的形式进行求解。

3. 引导学生通过解析几何、物理、经济等领域的例子，加深对函数应用的理解。

2．1．1函数（第一课时）【知识梳理】自学课本P 29—P 31，填充以下空格。

1、设集合A 是一个非空的实数集，对于A 内 ，按照确定的对应法则f ，都有 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记作 。

2、对函数A x x f y ∈=),(，其中x 叫做 ，x 的取值范围（数集A ）叫做这个函数的 ，所有函数值的集合}),(|{A x x f y y ∈=叫做这个函数的 ，函数y=f(x) 也经常写为 。

3、因为函数的值域被 完全确定，所以确定一个函数只需要 。

4、依函数定义，要检验两个给定的变量之间是否存在函数关系，只要检验： ① ；② 。

【例题解析】题型一：函数的概念例1：下图中可表示函数y=f (x)的图像的只可能是（ ）题型二：相同函数的判断问题 例2：已知下列四组函数：①x y x=与y=1②y =y=x ③y =y =④21y x =+与21y t =+其中表示同一函数的是（ ） A ． ② ③ B. ② ④ C. ① ④ D. ④题型三：函数的定义域和函数值问题例3：求下列函数的定义域1、 （1）1()1f x x =+ （2）、0()f x x =+ （3）、()f x =2、例4：求函数21()1f x x =+，()x R ∈，求(0)f ,(1)f ,(2)f ,(1)f -,(2)f - 【当堂检测】1、下列图形哪些是函数的图象，哪些不是，为什么？2、已知下列四组函数，表示同一函数的是（ ）A. ()1f x x =-和21()1x f x x -=+ B. 0()f x x =和()1f x =C. 2()f x x =和2()(1)f x x =+ D. ()f x =和()g x =3、求下列函数的定义域 （1）、1()2f x x =- （2）()f x =（3）、0(x)(1)f x =+ （4）1()2f x x=+-4、已知21()1f x x =+，21()1x g x x +=+ （1）求(2),g(2)f 的值（2）求(g(2))f 的值A B CD。

高中数学函数概论教案模板
一、教学目标
1. 理解函数的概念及其特点；
2. 掌握函数的定义、性质和基本性质；
3. 熟练运用函数的相关知识解决实际问题。

二、教学内容及安排
1. 函数的概念
- 什么是函数？
- 函数的符号表示：y = f(x)、f: x → y
- 自变量和因变量的概念
2. 函数的性质
- 定义域和值域
- 函数的奇偶性
- 函数的增减性
3. 函数的基本性质
- 函数的连续性
- 函数的周期性
- 函数的单调性
4. 函数的运算
- 函数的相加、相减、相乘、相除
- 函数的复合
5. 实际问题的解决
- 利用函数解决实际问题
- 实际问题的函数建模
三、教学重点与难点
1. 函数的概念及其特点是本节课的重点，学生需要掌握清楚；
2. 函数的运算和实际问题的解决是本节课的难点，需要帮助学生理解和应用。

四、教学方法
1. 讲授与示范结合
2. 分组讨论与合作学习
3. 案例分析与实践应用
五、教学资源
1. 教材
2. 多媒体设备
六、教学评价
1. 课堂练习
2. 作业完成情况
3. 知识掌握程度
七、教学进度安排
第一课：函数的概念
第二课：函数的性质
第三课：函数的基本性质
第四课：函数的运算
第五课：实际问题的解决
八、教学反馈
1. 教师定期对学生学习情况进行诊断和反馈
2. 学生可以提出问题和建议，促进教学质量的提高。

以上为高中数学函数概论教案模板范本，可根据实际教学情况进行调整和修改。

１．２．１函数的概念一、关于教学内容的思考教学任务：帮助学生认识函数的构成要素；明确函数的定义；理解定义域、对应关系、值域的含义；掌握判断两个函数是否相等的方法；正确使用区间表示定义域、值域； 教学目的：引导学生树立函数思想研究变量之间的关系。

教学意义：培养学生通过观察事物的表象，分析事物变化的本质，揭示变量之间内在相互联系、相互制约的关系。

二、教学过程１．在背景材料下，引出函数的定义：一般地，设Ａ，Ｂ是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合Ａ中的任意一个数x ，在集合Ｂ中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合Ａ到集合Ｂ的一个函数，记作(),y f x x A =∈。

其中，x 叫做自变量，x 的取值范围Ａ叫做函数的定义域；与x 的值对应的y 值叫做函数值；函数值的集合{()|}f x x A ∈叫做函数的值域，值域是集合Ｂ的子集。

注意：两个非空数集；一对一或多对一；集合Ａ中的任意一个数已知R x ∈，在解析式x y x y x y 2,|||,|2===中，哪些可以成为函数的解析式？ ２．一个函数的构成要素：定义域、对应关系和值域。

３．函数相等具备的条件：定义域、对应关系完全一致。

４．对应关系常见形式：①解析法②图象法③列表法５．理解和正确使用区间符号：),(],,(),,(),,[),,(),,[],,(],,[b b a a b a b a b a b a -∞-∞+∞+∞ 注意：对区间[,],(,],[,),(,)a b a b a b a b 来说，(前提条件b a <)６．求函数定义域：①由问题的实际背景确定；②能使解析式有意义的实数的集合。

注意：通过解析式求定义域，无需化简，应注意自变量取值的等价性。

7.掌握常数函数、一元一次函数、一元二次函数、反比例函数的值域情况。

三、教材节后练习（可以在课堂上随着教学内容穿插进行）四、教学备用例子 １．已知函数15)(2+=x x x f ，若2)(=a f ，则=a 。

高一数学《函数概念》教案高一数学《函数概念》教案范文一、教材分析本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修1》(人教A版)《1.2.1 函数的概念》共3课时，本节课是第1课时。

托马斯说：“函数概念是近代数学思想之花”。

生活中的许多现象如物体运动，气温升降，投资理财等都可以用函数的模型来刻画，是我们更好地了解自己、认识世界和预测未来的重要工具。

函数是数学的重要的基础概念之一，是高等数学重多学科的基础概念和重要的研究对象。

同时函数也是物理学等其他学科的重要基础知识和研究工具，教学内容中蕴涵着极其丰富的辩证思想。

函数的的重要性正如恩格斯所说：“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动就进入了数学;有了变数，辩证法就进入了数学”。

二、学生学习情况分析函数是中学数学的主体内容，学生在中学阶段对函数的认识分三个阶段：(一)初中从运动变化的角度来刻画函数，初步认识正比例、反比例、一次和二次函数;(二)高中用集合与对应的观点来刻画函数，研究函数的性质，学习典型的对、指、幂和三解函数;(三)高中用导数工具研究函数的单调性和最值。

1.有利条件现代教育心理学的研究认为，有效的概念教学是建立在学生已有知识结构的基础上的，因此教师在设计教学的过程中必须注意在学生已有知识结构中寻找新概念的固着点，引导学生通过同化或顺应，掌握新概念，进而完善知识结构。

初中用运动变化的观点对函数进行定义的，它反映了历史上人们对它的一种认识，而且这个定义较为直观，易于接受，因此按照由浅入深、力求符合学生认知规律的内容编排原则，函数概念在初中介绍到这个程度是合适的。

也为我们用集合与对应的观点研究函数打下了一定的基础。

2.不利条件用集合与对应的观点来定义函数，形式和内容上都是比较抽象的，这对学生的理解能力是一个挑战，是本节课教学的一个不利条件。

三、教学目标分析课标要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.1.知识与能力目标：⑴能从集合与对应的角度理解函数的概念，更要理解函数的本质属性;⑵理解函数的三要素的`含义及其相互关系;⑶会求简单函数的定义域和值域2.过程与方法目标：⑴通过丰富实例，使学生建立起函数概念的背景，体会函数是描述变量之间依赖关系的数学模型;⑵在函数实例中，通过对关键词的强调和引导使学发现它们的共同特征，在此基础上再用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用.3.情感、态度与价值观目标：感受生活中的数学，感悟事物之间联系与变化的辩证唯物主义观点。

2．1．1 函数（1）
一、教学目标：
知识目标：理解函数的概念，会用集合的语言来刻画函数，了解函数的构成要素．能力目标：通过大量的实例抽象概括出函数模型，体会函数模型中的对应关系的重要作用，进一步认识数学的高度抽象性、严密的逻辑性、应用的广泛性的特点，培养抽象概括、分析总结、数学交流表达能力，提高学生分析解决问题的能力．
情感目标：通过师生、生生活动增进师生情感，通过交流讨论抽象出函数的概念、体验数学研究问题的思想方法学生能够体会到成功的愉悦，进而提高学生学习数学的兴趣，增进学习数学的热情，树立学好数学的信心。

二、教学重点、难点：
重点：理解函数的概念，难点：对函数符号y=f(x)的理解.
三、教学方法手段：
教学方法：采用启发探究讨论式教学方法，设置各种学生积极参与的教学活动情景教学手段：采用计算机辅助教学，增强直观性，实现变量的任意取值，可以加深学生对函数的理解，提高课堂效率。

高一数学教案《函数概念》高一数学教案《函数概念》作为一名专为他人授业解惑的人民教师，可能需要进行教案编写工作，编写教案有利于我们弄通教材内容，进而选择科学、恰当的教学方法。

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高一数学教案《函数概念》1教学目标：使学生理解函数的概念，明确决定函数的三个要素，学会求某些函数的定义域，掌握判定两个函数是否相同的方法;使学生理解静与动的辩证关系.教学重点：函数的概念，函数定义域的求法.教学难点：函数概念的理解.教学过程：Ⅰ.课题导入[师]在初中，我们已经学习了函数的概念，请同学们回忆一下，它是怎样表述的?(几位学生试着表述，之后，教师将学生的回答梳理，再表述或者启示学生将表述补充完整再条理表述).设在一个变化的过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有惟一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量.[师]我们学习了函数的概念，并且具体研究了正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数，请同学们思考下面两个问题：问题一：y=1(xR)是函数吗?问题二：y=x与y=x2x 是同一个函数吗?(学生思考，很难回答)[师]显然，仅用上述函数概念很难回答这些问题，因此，需要从新的高度来认识函数概念(板书课题).Ⅱ.讲授新课[师]下面我们先看两个非空集合A、B的元素之间的一些对应关系的例子.在(1)中，对应关系是乘2，即对于集合A中的每一个数n，集合B 中都有一个数2n和它对应.在(2)中，对应关系是求平方，即对于集合A中的每一个数m，集合B中都有一个平方数m2和它对应.在(3)中，对应关系是求倒数，即对于集合A中的每一个数x，集合B中都有一个数 1x 和它对应.请同学们观察3个对应，它们分别是怎样形式的对应呢?[生]一对一、二对一、一对一.[师]这3个对应的共同特点是什么呢?[生甲]对于集合A中的任意一个数，按照某种对应关系，集合B中都有惟一的数和它对应.[师]生甲回答的很好，不但找到了3个对应的共同特点，还特别强调了对应关系，事实上，一个集合中的数与另一集合中的数的对应是按照一定的关系对应的，这是不能忽略的. 实际上，函数就是从自变量x的集合到函数值y的集合的一种对应关系.现在我们把函数的概念进一步叙述如下：(板书)设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应，那么就称f︰AB为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，xA其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y(或f(x))值叫做函数值，函数值的集合{y|y=f(x)，xA}叫函数的值域.一次函数f(x)=ax+b(a0)的定义域是R，值域也是R.对于R中的任意一个数x，在R中都有一个数f(x)=ax+b(a0)和它对应.反比例函数f(x)=kx (k0)的定义域是A={x|x0}，值域是B={f(x)|f(x)0}，对于A中的任意一个实数x，在B中都有一个实数f(x)= kx (k0)和它对应.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的定义域是R，值域是当a0时B={f(x)|f(x)4ac-b24a };当a0时，B={f(x)|f(x)4ac-b24a }，它使得R中的任意一个数x与B中的数f(x)=ax2+bx+c(a0)对应.函数概念用集合、对应的语言叙述后，我们就很容易回答前面所提出的两个问题.y=1(xR)是函数，因为对于实数集R中的任何一个数x，按照对应关系函数值是1，在R中y都有惟一确定的值1与它对应，所以说y是x的函数.Y=x与y=x2x 不是同一个函数，因为尽管它们的对应关系一样，但y=x的定义域是R，而y=x2x 的定义域是{x|x0}. 所以y=x与y=x2x 不是同一个函数.[师]理解函数的定义，我们应该注意些什么呢?(教师提出问题，启发、引导学生思考、讨论，并和学生一起归纳、总结)注意：①函数是非空数集到非空数集上的一种对应.②符号f:AB表示A到B的一个函数，它有三个要素;定义域、值域、对应关系，三者缺一不可.③集合A中数的任意性，集合B中数的惟一性.④f表示对应关系，在不同的函数中，f的具体含义不一样.⑤f(x)是一个符号，绝对不能理解为f与x的乘积.[师]在研究函数时，除用符号f(x)表示函数外，还常用g(x) 、F(x)、G(x)等符号来表示Ⅲ.例题分析[例1]求下列函数的定义域.(1)f(x)=1x-2 (2)f(x)=3x+2 (3)f(x)=x+1 +12-x分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定.如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域.那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x的集合.解：(1)x-20，即x2时，1x-2 有意义这个函数的定义域是{x|x2}(2)3x+20，即x-23 时3x+2 有意义函数y=3x+2 的定义域是[-23 ，+)(3) x+10 x2这个函数的定义域是{x|x{x|x2}=[-1，2)(2，+).注意：函数的定义域可用三种方法表示：不等式、集合、区间.从上例可以看出，当确定用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R;(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合;(3)如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合;(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集);(5)如果f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.例如：一矩形的宽为x m，长是宽的2倍，其面积为y=2x2，此函数定义域为x0而不是全体实数.由以上分析可知：函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定.[师]自变量x在定义域中任取一个确定的值a时，对应的函数值用符号f(a)来表示.例如，函数f(x)=x2+3x+1，当x=2时的函数值是f(2)=22+32+1=11注意：f(a)是常量，f(x)是变量，f(a)是函数f(x)中当自变量x=a时的函数值.下面我们来看求函数式的值应该怎样进行呢?[生甲]求函数式的值，严格地说是求函数式中自变量x为某一确定的值时函数式的值，因此，求函数式的值，只要把函数式中的x换为相应确定的数(或字母，或式子)进行计算即可.[师]回答正确，不过要准确地求出函数式的值，计算时万万不可粗心大意噢![生乙]判定两个函数是否相同，就看其定义域或对应关系是否完全一致，完全一致时，这两个函数就相同;不完全一致时，这两个函数就不同.[师]生乙的回答完整吗?[生]完整!(课本上就是如生乙所述那样写的).[师]大家说，判定两个函数是否相同的依据是什么?[生]函数的定义.[师]函数的定义有三个要素：定义域、值域、对应关系，我们判定两个函数是否相同为什么只看两个要素：定义域和对应关系，而不看值域呢?(学生窃窃私语：是啊，函数的三个要素不是缺一不可吗?怎不看值域呢?)(无人回答)[师]同学们预习时还是欠仔细，欠思考!我们做事情，看问题都要多问几个为什么!函数的值域是由什么决定的，不就是由函数的定义域与对应关系决定的吗!关注了函数的定义域与对应关系，三者就全看了!(生恍然大悟，我们怎么就没想到呢?)[例2]求下列函数的值域(1)y=1-2x (xR) (2)y=|x|-1 x{-2，-1，0，1，2}(3)y=x2+4x+3 (-31)分析：求函数的值域应确定相应的定义域后再根据函数的具体形式及运算确定其值域.对于(1)(2)可用直接法根据它们的定义域及对应法则得到(1)(2)的值域.对于(3)可借助数形结合思想利用它们的图象得到值域，即图象法.解：(1)yR(2)y{1，0，-1}(3)画出y=x2+4x+3(-31)的图象，如图所示，当x[-3，1]时，得y[-1，8]Ⅳ.课堂练习课本P24练习17.Ⅴ.课时小结本节课我们学习了函数的定义(包括定义域、值域的概念)、区间的概念及求函数定义域的方法.学习函数定义应注意的问题及求定义域时的各种情形应该予以重视.(本小结的内容可由学生自己来归纳) Ⅵ.课后作业课本P28，习题1、2. 文章来高一数学教案《函数概念》2教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；教学过程：一、引入课题1.复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2.阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题备用实例：我国xxxx年4月份非典疫情统计：日期222324252627282930新增确诊病例数10610589103113126981521013.引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；4.根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．二、新课教学（一）函数的'有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域（range）．注意：○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论（由学生完成，师生共同分析讲评）（二）典型例题1．求函数定义域课本P20例1解：（略）说明：○1函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例；○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．巩固练习：课本P22第1题2．判断两个函数是否为同一函数课本P21例2解：（略）说明：○1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）○2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

2.1函数的概念2．1.1函数的概念和图象第1课时函数的概念1.了解构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域．2.理解函数的概念．3.掌握求函数定义域的方法．[学生用书P15]函数的概念一般地，设A、B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为y＝f(x)，x∈A.其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域，与输入值x对应的所有输出值y组成的集合称为函数的值域．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)区间表示数集，数集一定能用区间表示．()(2)数集{x|x≥2}可用区间表示为[2，＋∞]．()(3)函数的定义域和对应法则确定后，函数的值域也就确定了．()(4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应．()(5)函数的定义域和值域一定是无限集合．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2．函数f(x)＝xx－1的定义域为()A．[0，1)B．(1，＋∞)C．[0，1)∪(1，＋∞) D．(0，1)∪(1，＋∞)答案：C3．已知f(x)＝x2＋1，则f(2)＝________，若f(x)＝3，则x＝________．答案：5 ±2相同函数的判断[学生用书P15]下列各组函数是否表示同一函数？ (1)f (x )＝2x ＋1与g (x )＝4x 2＋4x ＋1； (2)f (x )＝x 2－xx与g (x )＝x －1；(3)f (x )＝2x －1(x ∈Z )与g (x )＝2x ＋1(x ∈Z )．【解】 (1)g (x )＝（2x ＋1）2＝|2x ＋1|与f (x )＝2x ＋1对应法则不同，因此f (x )与g (x )不是同一个函数．(2)f (x )＝x 2－xx ＝x －1(x ≠0)与g (x )定义域不同，因此f (x )与g (x )不是同一个函数．(3)f (x )与g (x )对应法则不同，不是同一个函数．(1)当一个函数的对应法则和定义域确定后，其值域也随之得到确定，所以两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，为同一个函数．(2)讨论函数是否为同一个函数问题时，要保持定义域优先的原则，判断两个函数是否相等，要先求定义域，若定义域不同，则不相等；若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应法则是否相同．1.下列函数与函数g (x )＝2x －1(x ＞2)相等的是( )A ．f (m )＝2m －1(m ＞2)B ．f (x )＝2x －1(x ∈R )C ．f (x )＝2x ＋1(x ＞2)D ．f (x )＝x －2(x ＜－1)解析：选A.对于A ，函数y ＝f (m )与y ＝g (x )的定义域与对应关系均相同，故为相等的函数；对于B ，两函数的定义域不同，因此不是相等的函数；对于C ，两函数的对应关系不同，因此不是相等的函数；对于D ，两函数的定义域与对应关系都不相同，故也不是相等的函数．求函数的定义域[学生用书P16]求下列函数的定义域： (1)y ＝（x ＋1）2x ＋1－1－x ；(2)y ＝5－x|x |－3.【解】 (1)要使函数式有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，解得x ≤1，且x ≠－1，即函数的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}．(2)要使函数式有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0，|x |－3≠0，解得x ≤5，且x ≠±3，即函数的定义域为{x |x ≤5，且x ≠±3}．(1)①求函数的定义域，其实质是以使函数的表达式所含运算有意义为准则，其原则有：a.分式中分母不为零；b ．偶次根式中，被开方数非负；c.对于y ＝x 0要求x ≠0.d.实际问题中函数定义域，要考虑实际意义．②函数的定义域一定要用集合或区间的形式表示．(2)第(1)题易出现y ＝x ＋1－1－x ，错求定义域{x |x ≤1}，在求函数定义域时，不能盲目对函数式变形．2.求下列函数的定义域：(1)f (x )＝11－x ＋x ；(2)f (x )＝1－x ＋11＋x.解：(1)因为⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≠0，x ≥0，所以x ≥0且x ≠1，所以f (x )＝11－x＋x 的定义域为[0，1)∪(1，＋∞)．(2)因为⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，1＋x >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x >－1，即－1<x ≤1，所以f (x )＝1－x ＋11＋x的定义域为(－1，1]． 求函数值和值域[学生用书P16]已知f (x )＝12－x (x ∈R ，x ≠2)，g (x )＝x ＋4(x ∈R )．(1)求f (1)，g (1)的值； (2)求f [g (x )]．【解】 (1)f (1)＝12－1＝1，g (1)＝1＋4＝5.(2)f [g (x )]＝f (x ＋4)＝12－（x ＋4）＝1－2－x ＝－1x ＋2(x ∈R ，且x ≠－2)．1．在本例条件下，求g [f (1)]的值及f (2x ＋1)的表达式． 解：g [f (1)]＝g (1)＝1＋4＝5.f (2x ＋1)＝12－（2x ＋1）＝－12x －1⎝⎛⎭⎫x ∈R ，且x ≠12. 2．若将本例g (x )的定义域改为{0，1，2，3}，求g (x )的值域． 解：因为g (x )＝x ＋4，x ∈{0，1，2，3}， 所以g (0)＝4，g (1)＝5，g (2)＝6，g (3)＝7. 所以g (x )的值域为{4，5，6，7}．(1)求函数值的方法①先要确定出函数的对应关系f 的具体含义，②然后将变量取值代入解析式计算，对于f [g (x )]型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f [g (x )]与g [f (x )]的区别．(2)求函数值域的常用方法①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；②配方法：此法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法；③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；④换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．3.求下列函数的值域：(1)y ＝2x ＋1；(2)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1，5)； (3)y ＝3x －1x ＋1；(4)y ＝x ＋x .解：(1)因为x ∈R ，所以2x ＋1∈R ， 即函数的值域为R .(2)配方：y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2，因为x ∈[1，5)，如图所示． 所以所求函数的值域为[2，11)． (3)借助反比例函数的特征求．y ＝3（x ＋1）－4x ＋1＝3－4x ＋1，显然4x ＋1可取0以外的一切实数，即所求函数的值域为{y |y ≠3}． (4)设u ＝x (x ≥0)，则x ＝u 2(u ≥0)， y ＝u 2＋u ＝⎝⎛⎭⎫u ＋122－14(u ≥0)． 因为由u ≥0，可知⎝⎛⎭⎫u ＋122≥14，所以y ≥0.所以函数y ＝x ＋x 的值域为[0，＋∞)．理解函数的概念应关注五点(1)“A ，B 是非空的数集”，一方面强调了A ，B 只能是数集，即A ，B 中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．(2)理解函数的概念要注意函数的定义域是非空数集A ，但函数的值域不一定是非空数集B ，而是集合B 的子集．(3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A 中的任意一个(任意性)元素x ，在非空数集B 中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y 与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．(4)y ＝f (x )仅仅是函数符号，不是表示“y 等于f 与x 的乘积”，f (x )也不一定就是解析式． (5)除f (x )外，有时还用g (x )、u (x )、F (x )、G (x )等符号来表示函数．判断下列对应是否为函数： (1)x →2x，x ≠0，x ∈R ；(2)x →y ，这里y 2＝x ，x ∈N ，y ∈R ；(3)集合A ＝R ，B ＝{－1，1}，对应关系f ：当x 为有理数时，f (x )＝－1；当x 为无理数时，f (x )＝1，该对应是不是从A 到B 的函数？(4)A ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，B ＝R .对任意的(x ，y )∈A ，(x ，y )→x ＋y .[解] (1)是，对于任意一个非零实数x ，2x 被x 唯一确定，所以当x ≠0时，x →2x 是函数．这个函数也可以表示为f (x )＝2x(x ≠0)．(2)不是，当x ＝4时，y 2＝4，得y ＝2或y ＝－2，不是有唯一值和x 对应，所以x →y (y 2＝x )不是函数．(3)是，满足函数的定义，在A 中任取一个值，B 中有唯一确定的值和它对应． (4)不是，因为集合A 不是数集．(1)错因：判断一个从A 到B 的对应是否为函数，易忽视定义域应为非空数集的要求，还容易忽视A 中任一元素在B 中都要有元素与之对应的判断，好多同学只判断A 中元素在B 中的对应元素是否唯一．(2)防范：函数是一种特殊的对应，要检验给定两个变量之间是否具有函数关系，只要检验：①定义域和对应关系是否给出；②对定义域内的任一x ，是否在B 中存在唯一的值与之对应．1．函数f (x )＝1＋x －2x 的定义域是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，0)∪(0，＋∞)C ．[－1，0)∪(0，＋∞)D ．R解析：选C.要使函数有意义，x 的取值需满足⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥0，x ≠0，解得x ≥－1，且x ≠0，则函数的定义域是[－1，0)∪(0，＋∞)．2．设f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f （2）f ⎝⎛⎭⎫12等于( )A ．1B ．－1 C.35D ．－35解析：选B.f (2)＝35，f ⎝⎛⎭⎫12＝－35，所以f （2）f ⎝⎛⎭⎫12＝－1.故选B.3．已知函数f (x )＝x ＋2x －6，则f (f (14))＝________；若f (x )＝3，则x ＝________.解析：f (14)＝14＋214－6＝168＝2，故f (f (14))＝f (2)＝2＋22－6＝－1；由f (x )＝x ＋2x －6＝3，解得x ＝10.答案：－1 104．设一个函数的解析式为f (x )＝2x ＋3，它的值域为{－1，2，5，8}，则此函数的定义域为__________．解析：分别令y ＝－1，2，5，8解出x ＝－2，－12，1，52.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－12，1，52[学生用书P88(单独成册)])[A 基础达标]1．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0)D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z解析：选C.A 项中两函数的定义域不同；B 项，D 项中两函数的对应关系不同．故选C.2．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x解析：选C.若f (x )＝|x |，则f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；若f (x )＝x －|x |，则f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )；若f (x )＝－x ，则f (2x )＝－2x ＝2f (x )；若f (x )＝x ＋1，则f (2x )＝2x ＋1，不满足f (2x )＝2f (x )．3．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝1xC ．y ＝1xD ．y ＝x 2＋1解析：选 B.y ＝x 的值域为[0，＋∞)，y ＝1x 的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y ＝x 2＋1的值域为[1，＋∞)．4．若函数f (x )＝ax 2－1，a 为一个正数，且f (f (－1))＝－1，那么a 的值是( ) A ．1 B ．0 C ．－1D ．2解析：选A.因为f (x )＝ax 2－1，所以f (－1)＝a －1， f (f (－1))＝f (a －1)＝a ·(a －1)2－1＝－1. 所以a (a －1)2＝0.又因为a 为正数，所以a ＝1.5．函数f (x )＝（x －1）04－2x的定义域用区间表示为________．解析：要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，x ≥0，4－2x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠1，x ≥0，x <2.所以函数的定义域为[0，1)∪(1，2)． 答案：[0，1)∪(1，2) 6．函数y ＝1－1x的值域为________．解析：定义域要求1－1x ≥0且x ≠0，故有1－1x ≥0且1－1x ≠1，所以函数的值域为{y |y ≥0且y ≠1}． 答案：{y |y ≥0且y ≠1}7．如果函数f ：A →B ，其中A ＝{－3，－2，－1，1，2，3，4}，对于任意a ∈A ，在B 中都有唯一确定的|a |和它对应，则函数的值域为________．解析：由题意知，对a ∈A ，|a |∈B ， 故函数值域为{1，2，3，4}． 答案：{1，2，3，4}8．若函数f (x )的定义域为[－2，1]，则g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域为________．解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤1，－2≤－x ≤1，即－1≤x ≤1.故g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域为[－1，1]． 答案：[－1，1]9．已知函数y ＝kx ＋1k 2x 2＋3kx ＋1的定义域为R ，求实数k 的值．解：函数y ＝kx ＋1k 2x 2＋3kx ＋1的定义域即是使k 2x 2＋3kx ＋1≠0的实数x 的集合．由函数的定义域为R ，得方程k 2x 2＋3kx ＋1＝0无解． 当k ＝0时，函数y ＝kx ＋1k 2x 2＋3kx ＋1＝1，函数定义域为R ，因此k ＝0符合题意；当k ≠0时，k 2x 2＋3kx ＋1＝0无解，即Δ＝9k 2－4k 2＝5k 2<0，不等式不成立．所以实数k 的值为0.10．求下列函数的定义域． (1)f (x )＝6x 2－3x ＋2；(2)f (x )＝3x －1＋1－2x ； (3)f (x )＝(x －2)0＋2x ＋1. 解：(1)要使函数有意义，只需x 2－3x ＋2≠0， 即x ≠2且x ≠1.所以函数的定义域为{x |x ∈R ，x ≠2且x ≠1}．(2)要使函数有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧3x －1≥0，1－2x ≥0，解得13≤x ≤12，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13≤x ≤12. (3)要使函数有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧x －2≠0，2x ＋1≥0，x ＋1≠0，解得x >－1且x ≠2，所以函数的定义域为{x |x >－1且x ≠2}．[B 能力提升]1．已知f (x )满足f (ab )＝f (a )＋f (b )，且f (2)＝p ，f (3)＝q ，那么f (72)等于( ) A ．p ＋q B ．3p ＋2q C ．2p ＋3qD ．p 3＋q 2解析：选B.因为f (ab )＝f (a )＋f (b )， 所以f (9)＝f (3)＋f (3)＝2q ， f (8)＝f (2)＋f (2)＋f (2)＝3p ，所以f (72)＝f (8×9)＝f (8)＋f (9)＝3p ＋2q .2．已知f (x )＝1x ＋1，则f (f (x ))的定义域为________．解析：法一：因为f (x )＝1x ＋1，所以f (x )的定义域为{x |x ≠－1}， 则在f (f (x ))中，f (x )≠－1，即1x ＋1≠－1， 解得x ≠－2.所以f (f (x ))的定义域为{x |x ≠－2且x ≠－1}．法二：因为f (x )＝1x ＋1，则f (f (x ))＝f ⎝⎛⎭⎫1x ＋1＝x ＋1x ＋2，所以x ＋2≠0 且x ＋1≠0，即x ≠－2且x ≠－1.所以f (f (x ))的定义域为{x |x ≠－2且x ≠－1}． 答案：{x |x ≠－2且x ≠－1}3．若函数y ＝f (x ＋1)的定义域为[－1，2]，则函数y ＝f (x )的定义域为________． 解析：由题意易得y ＝f (x ＋1)中的x 满足－1≤x ≤2，所以0≤x ＋1≤3，所以函数y ＝f (x )的定义域为[0，3]．答案：[0，3]4．(选做题)已知函数f (x )＝x 21＋x 2.(1)求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13的值； (2)求证：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x 是定值；(3)求2f (1)＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2 016)＋f ⎝⎛⎭⎫12 016＋f (2 017)＋f ⎝⎛⎭⎫12 017的值． 解：(1)因为f (x )＝x 21＋x 2，所以f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝221＋22＋⎝⎛⎭⎫1221＋⎝⎛⎭⎫122＝1， f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝321＋32＋⎝⎛⎭⎫1321＋⎝⎛⎭⎫132＝1. (2)证明：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝⎛⎭⎫1x 21＋⎝⎛⎭⎫1x 2＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1，是定值． (3)由(2)知，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1， 因为f (1)＋f (1)＝1， f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝1， f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝1， f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝1， …f (2 017)＋f ⎝⎛⎭⎫12 017＝1，所以2f (1)＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2 016)＋f ⎝⎛⎭⎫12 016＋f (2 017)＋f ⎝⎛⎭⎫12 017＝2 017.。

高一数学教案：函数的概念高一数学教案：函数的概念精选4篇（一）教案标题：函数的概念教学目标：1. 理解函数的基本概念；2. 能够根据给定的函数定义进行函数值的计算；3. 能够掌握函数的图像表示方法。

教学准备：1. PowerPoint或黑板；2. 教材《高中数学》；3. 教学PPT或教学黑板稿。

教学步骤：步骤一：引入问题（5分钟）1. 通过生活中的例子引导学生思考“什么是函数？”；2. 引导学生记忆和理解“自变量”和“因变量”的概念。

步骤二：函数的定义（10分钟）1. 引导学生学习教科书上的函数定义；2. 解释函数的定义中自变量、因变量和对应规律的含义；3. 通过一些例子帮助学生理解函数的定义。

步骤三：函数的表示方法（10分钟）1. 引导学生学习函数的表示方法；2. 介绍函数的表格表示和解析式表示；3. 通过具体例子的计算来展示函数的表示方法。

步骤四：函数值的计算（15分钟）1. 引导学生学习函数值的计算方法；2. 通过给定函数和自变量求因变量的例子来演示函数值的计算。

步骤五：函数的图像表示（15分钟）1. 引导学生学习函数的图像表示方法；2. 通过函数表格和坐标系画出函数的图像；3. 解释图像上自变量和因变量的含义；4. 引导学生发现函数图像的特点，如单调性和奇偶性。

步骤六：练习与总结（10分钟）1. 给学生提供一些练习题，加深对函数的理解和掌握；2. 回顾课堂内容，让学生总结函数的概念和表示方法。

教学延伸：1. 引导学生进一步探究函数的性质，如定义域、值域、单调性等；2. 引导学生学习更复杂的函数概念，如反函数、复合函数等。

教学反思：通过讲解函数的概念和表示方法，学生能够初步理解函数的含义和计算方法。

在教学过程中，可以适当增加一些生动的例子和练习，培养学生的兴趣和动手能力。

在教学结束前，可以布置一些相关的课后作业，巩固学生的学习成果。

高一数学教案：函数的概念精选4篇（二）教学目标：1. 理解函数的概念，掌握函数的基本性质；2. 掌握函数的表示法：显式表示法、隐式表示法和参数表示法；3. 能够根据题目要求选择适当的函数表示法。

高一必修一函数教案(精心整理)高一必修一函数教案完整版(精心整理)一、教学目标- 理解函数的定义和性质，掌握函数的表示方法；- 运用函数概念解决实际问题；- 掌握函数的基本性质，如奇偶性、单调性等；- 学会绘制函数图像并分析函数的特点；- 掌握函数的运算，如函数的复合、逆运算等；- 进一步认识数学与实际生活的联系。

二、教学内容1. 函数的概念- 函数的定义和特点；- 函数的表示方法。

2. 函数的性质- 奇偶性；- 单调性。

3. 函数的图像与分析- 函数图像的绘制；- 函数图像的特点分析。

4. 函数的运算- 函数的复合；- 函数的逆运算。

5. 数学与实际生活的联系- 函数在实际问题中的应用。

三、教学过程1. 函数的概念- 介绍函数的定义和性质；- 讲解函数的表示方法。

2. 函数的性质- 解释奇偶性的概念和判断方法；- 讲解单调性的概念和判断方法。

3. 函数的图像与分析- 演示如何绘制函数的图像；- 分析函数图像的特点。

4. 函数的运算- 演示函数的复合运算方法；- 讲解函数的逆运算概念及求解方法。

5. 数学与实际生活的联系- 通过实际问题案例，引导学生理解函数的实际应用。

四、教学评价- 开展相应的小组活动和讨论，检验学生对函数概念的掌握程度；- 布置作业，要求学生独立解决实际问题，并将解答方法和结果展示；- 针对学生的解答进行评价和指导。

五、教学反思本次教学中，注重理论与实际应用的结合，培养学生对函数的认识和应用能力。

通过多种教学方法的运用，激发学生的研究兴趣，提高研究效果。

同时，通过评价和反思教学过程，不断改进教学策略，进一步提升教学效果。

以上是针对高一必修一函数教案的完整版本，希望能够帮助到您。

如有任何问题，请随时与我联系。

谢谢！。

1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念整体设计三维目标1.知识与技能：会用集合与对应的语言来刻画函数,理解函数符号y=f(x)的含义;通过学习函数的概念,培养学生观察问题、提出问题的探究能力,进一步培养学习数学的兴趣和抽象概括能力;2.过程与方法：启发学生运用函数模型表述思考和解决现实世界中蕴涵的规律,逐渐形成善于提出问题的习惯,学会数学表达和交流,发展数学应用意识.3.情感态度、价值观：掌握构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域,体会对应关系在刻画函数概念中的作用,使学生感受到学习函数的必要性的重要性,激发学生学习的积极性. 重点难点教学重点:理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数.教学难点:符号“y=f(x)”的含义,不容易认识到函数概念的整体性,而将函数单一地理解成对应关系,甚至认为函数就是函数值.课时安排2课时教学过程第1课时函数的概念导入新课思路1.北京时间2005年10月12日9时整,万众瞩目的“神舟”六号飞船胜利发射升空,5天后圆满完成各项任务并顺利返回.在“神舟”六号飞行期间,我们时刻关注“神舟”六号离我们的距离y随时间t是如何变化的,本节课就对这种变量关系进行定量描述和研究.引出课题请用初中所学函数的定义来解释y与x的函数关系？先让学生回答后,教师指出:这样解释会显得十分勉强,本节将用新的观点来解释,引出课题.提出问题(1)给出下列三种对应:(幻灯片)①一枚炮弹发射后,经过26 s落到地面击中目标.炮弹的射高为845 m,且炮弹距地面的高度为h(单位:m)随时间t(单位:s)变化的规律是h=130t-5t2.时间t的变化范围是数集A={t|0≤t≤26},h的变化范围是数集B={h|0≤h≤845}.则有对应f:t→h=130t-5t2,t∈A,h∈B.②近几十年来,大气层的臭氧迅速减少,因而出现了臭氧洞问题.图1-2-1-1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积S(单位:106 km2)随时间t(单位:年)从1991~2001年的变化情况.图1-2-1-1根据图1-2-1-1中的曲线,可知时间t的变化范围是数集A={t|1979≤t≤2001},空臭氧层空洞面积S的变化范围是数集B={S|0≤S≤26},则有对应:f:t→S,t ∈A,S ∈B.③国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.下表中的恩格尔系数y 随时间t(年)变化的情况表明,“八五”计划以来,我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况时间1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001恩格尔系数y 53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9根据上表,可知时间t 的变化范围是数集A={t|1991≤t≤2001},恩格尔系数y 的变化范围是数集B={S|37.9≤S≤53.8}.则有对应: f:t→y,t ∈A,y ∈B.以上三个对应有什么共同特点？(2)我们把这样的对应称为函数,请用集合的观点给出函数的定义.(3)函数的定义域是自变量的取值范围,那么你是如何理解这个“取值范围”的？ (4)函数有意义又指什么？(5)函数f:A→B 的值域为C,那么集合B=C 吗？ 活动：让学生认真思考三个对应,也可以分组讨论交流,引导学生找出这三个对应的本质共性. 解：(1)共同特点是:集合A 、B 都是数集,并且对于数集A 中的每一个元素x,在对应关系f:A→B 下,在数集B 中都有唯一确定的元素y 与之对应.(2)一般地,设A 、B 都是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A 中的任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数,记作y=f(x),x ∈A,其中x 叫自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域,函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫做函数的值域.在研究函数时常会用到区间的概念,设a,b 是两个实数,且a<b,如下表所示:定义 名称 符号 数轴表示{x|a≤x≤b} 闭区间 ［a,b ］ {x|a<x<b} 开区间 (a,b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 ［a,b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间(a,b ］ {x|x≥a} ［a,+∞) {x|x>a} (a,b ］ {x|x≤a} (-∞,a ］ {x|x<a} (-∞,a) R(-∞,+∞)(3)自变量的取值范围就是使函数有意义的自变量的取值范围.(4)函数有意义是指:自变量的取值使分母不为0;被开方数为非负数;如果函数有实际意义时,那么还要满足实际取值等等. (5)C ⊆B. 应用示例思路11.已知函数f(x)=3x ++21+x , (1)求函数的定义域; (2)求f(-3),f(32)的值;(3)当a>0时,求f(a),f(a-1)的值. 活动：(1)让学生回想函数的定义域指的是什么？函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围,故转化为求使3x +和21+x 有意义的自变量的取值范围;3x +有意义,则x+3≥0, 21+x 有意义,则x+2≠0,转化解由x+3≥0和x+2≠0组成的不等式组. (2)让学生回想f(-3),f(32)表示什么含义？f(-3)表示自变量x=-3时对应的函数值,f(32)表示自变量x=32时对应的函数值.分别将-3,32代入函数的对应法则中得f(-3),f(32)的值.(3)f(a)表示自变量x=a 时对应的函数值,f(a-1)表示自变量x=a-1时对应的函数值.分别将a,a-1代入函数的对应法则中得f(a),f(a-1)的值. 解：(1)要使函数有意义,自变量x 的取值需满足⎩⎨⎧≠+≥+.02,03x x 解得-3≤x<-2或x>-2,即函数的定义域是［-3,-2)∪(-2,+∞). (2)f(-3)=33-++231+-=-1;f(32)=2321332+++=23383+.(3)∵a>0,∴a ∈［-3,-2)∪(-2,+∞), 即f(a),f(a-1)有意义.则f(a)=3a ++21+a ; f(a-1)=21131-a +-++a =112+++a a .点评：本题主要考查函数的定义域以及对符号f(x)的理解.求使函数有意义的自变量的取值范围,通常转化为解不等式组.f(x)是表示关于变量x 的函数,又可以表示自变量x 对应的函数值,是一个整体符号,分开符号f(x)没有什么意义.符号f 可以看作是对“x”施加的某种法则或运算.例如f(x)=x 2-x+5,当x=2时,看作“2”施加了这样的运算法则:先平方,再减去2,再加上5;当x 为某一代数式(或某一个函数记号时),则左右两边的所有x 都用同一个代数式(或某一个函数)来代替.如:f(2x+1)=(2x+1)2-(2x+1)+5,f ［g(x)］=［g(x)］2-g(x)+5等等.符号y=f(x)表示变量y 是变量x 的函数,它仅仅是函数符号,并不表示y 等于f 与x 的乘积;符号f(x)与f(m)既有区别又有联系,当m 是变量时,函数f(x)与函数f(m)是同一个函数;当m 是常数时,f(m)表示自变量x=m 对应的函数值,是一个常量.已知函数的解析式,求函数的定义域,就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围,即: (1)如果f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R .(2)如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.(3)如果f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合. (4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集).(5)对于由实际问题的背景确定的函数,其定义域还要受实际问题的制约. 变式训练1.求函数y=x x x --++11)1(2的定义域. 答案：{x|x≤1,且x≠-1}.点评：本题容易错解：化简函数的解析式为y=x+1x -1-,得函数的定义域为{x|x≤1}.其原因是这样做违背了讨论函数问题要保持定义域优先的原则.化简函数的解析式容易引起函数的定义域发生变化,因此求函数的定义域之前时,不要化简解析式. 2.2007山东滨州二模,理1若f(x)=x1的定义域为M,g(x)=|x|的定义域为N,令全集U=R ,则M∩N 等于( )A.MB.NC.MD.N 分析:由题意得M={x|x>0},N=R ,则M∩N={x|x>0}=M. 答案：A3.已知函数f(x)的定义域是［-1,1］,则函数f(2x-1)的定义域是________. 分析:要使函数f(2x-1)有意义,自变量x 的取值需满足-1≤2x -1≤1,∴0≤x≤1. 答案：［0,1］思路21.2007湖北武昌第一次调研,文14已知函数f(x)=221x x +,那么f(1)+f(2)+f(21)+f(3)+f(31)+f(4)+f(41)=________. 活动：观察所求式子的特点,引导学生探讨f(a)+f(a1)的值. 解法一：原式=22222222222222)41(1)41(414)31(1)31(313)21(1)21(212111+++++++++++++=21+ 17117161011095154+++++=27. 解法二：由题意得f(x)+f(x 1)=2222)1(1)1(1xx x x +++=222111x x x +++=1. 则原式=21+1+1+1=27.点评：本题主要考查对函数符号f(x)的理解.对于符号f(x),当x 是一个具体的数值时,相应地f(x)也是一个具体的函数值.本题没有求代数式中的各个函数值,而是看到代数式中含有f(x)+f(x 1),故先探讨f(x)+f(x1)的值,从而使问题简单地获解.求含有多个函数符号的代数式值时,通常不是求出每个函数值,而是观察这个代数式的特 ?找到规律再求解.受思维定势的影响,本题很容易想到求出每个函数值来求解,虽然可行,但是这样会浪费时间,得不偿失.其原因是解题前没有观察思考,没有注意经验的积累. 变式训练1.已知a 、b ∈N *,f(a+b)=f(a)f(b),f(1)=2,则)2006()2007()2()3()1()2(f f f f f f +++ =_________.分析:令a=x,b=1(x ∈N *),则有f(x+1)=f(x)f(1)=2f(x), 即有)()1(x f x f +=2(x ∈N *). 所以,原式=2006222++=4012. 答案：40122.2007山东蓬莱一模,理13设函数f(n)=k(k ∈N *),k 是π的小数点后的第n 位数字,π=3.1415926535…,则[]{}100)10(f f f 等于________.分析:由题意得f(10)=5,f(5)=9,f(9)=3,f(3)=1,f(1)=1,…, 则有[]{}100)10(f f f =1.答案：12.2007山东济宁二模,理10已知A={a,b,c},B={-1,0,1},函数f:A→B 满足f(a)+f(b)+f(c)=0,则这样的函数f(x)有( )A.4个B.6个C.7个D.8个 活动：学生思考函数的概念,什么是不同的函数.定义域和值域确定后,不同的对应法则就是不同的函数,因此对f(a),f(b),f(c)的值分类讨论,注意要满足f(a)+f(b)+f(c)=0. 解：当f(a)=-1时,则f(b)=0,f(c)=1或f(b)=1,f(c)=0, 即此时满足条件的函数有2个; 当f(a)=0时,则f(b)=-1,f(c)=1或f(b)=1,f(c)=-1或f(b)=0,f(c)=0, 即此时满足条件的函数有3个; 当f(a)=1时,则f(b)=0,f(c)=-1或f(b)=-1,f(c)=0, 即此时满足条件的函数有2个.综上所得,满足条件的函数共有2+3+2=7(个). 故选C.点评：本题主要考查对函数概念的理解,用集合的观点来看待函数. 变式训练若一系列函数的解析式相同,值域相同,但是定义域不同,则称这些函数为“同族函数”.那么解析式为y=x 2,值域是{1,4}的“同族函数”共有( )A.9个B.8个C.5个D.4个分析:“同族函数”的个数由定义域的个数来确定,此题中每个“同族函数”的定义域中至少含有1个绝对值为1的实数和绝对值为2的实数. 令x 2=1,得x=±1;令x 2=4,得x=±2.所有“同族函数”的定义域分别是{1,2},{1,-2},{-1,2},{-1,-2},{1,-1,2},{1,-1,-2},{1,-2,2}, {-1,-2,2},{1,-1,-2,2},则“同族函数”共有9个. 答案：A 知能训练1.2007学年度山东淄博高三第二次摸底考试,理16已知函数f(x)满足:f(p+q)=f(p)f(q),f(1)=3,则)9()10()5()7()8()4()5()6()3()3()4()2()1()2()1(22222f f f f f f f f f f f f f f f +++++++++=______.解：∵f(p+q)=f(p)f(q),∴f(x+x)=f(x)f(x),即f 2(x)=f(2x). 令q=1,得f(p+1)=f(p)f(1),∴)()1(p f p f +=f(1)=3.∴原式=)9()10(2)7()8(2)5()6(2)3()4(2)1()2(2f f f f f f f f f f ++++=2(3+3+3+3+3)=30. 答案：302.2006第十七届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)第一试,2若f(x)=x1的定义域为A,g(x)=f(x+1)-f(x)的定义域为B,那么( )A.A ∪B=BB.A BC.A ⊆BD.A∩B=∅分析:由题意得A={x|x≠0},B={x|x≠0,且x≠-1}.则A ∪B=A,则A 错;A∩B=B,则D 错;由于B A,则C 错,B 正确. 答案：B 拓展提升问题:已知函数f(x)=x 2+1,x ∈R .(1)分别计算f(1)-f(-1),f(2)-f(-2),f(3)-f(-3)的值. (2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明.活动：让学生探求f(x)-f(-x)的值.分析(1)中各值的规律,归纳猜想出结论,再用解析式证明. 解：(1)f(1)-f(-1)=(12+1)-［(-1)2+1］=2-2=0; f(2)-f(-2)=(22+1)-［(-2)2+1］=5-5=0; f(3)-f(-3)=(32+1)-［(-3)2+1］=10-10=0.(2)由(1)可发现结论:对任意x ∈R ,有f(x)=f(-x).证明如下: 由题意得f(-x)=(-x)2+1=x 2+1=f(x). ∴对任意x ∈R ,总有f(x)=f(-x). 课堂小结本节课学习了:函数的概念、函数定义域的求法和对函数符号f(x)的理解. 作业课本P24,习题1.2A组1、5.设计感想本节教学中,在归纳函数的概念时,本节设计运用了大量的实例,如果不借助于信息技术,那么会把时间浪费在实例的书写上,会造成课时不足即拖堂现象.本节重点设计了函数定义域的求法,而函数值域的求法将放在函数的表示法中学习.由于函数是高中数学的重点内容之一,也是高考的重点和热点,因此对函数的概念等知识进行了适当的拓展,以满足高考的需要.。

高一数学教案《函数概念》高一数学教案《函数概念》高一数学教案《函数概念》篇1一、教材分析^p函数作为初等数学的核心内容，贯穿于整个初等数学体系之中。

函数这一章在高中数学中，起着承上启下的作用，它是对初中函数概念的承接与深化。

在初中，只停留在详细的几个简单类型的函数上，把函数看成变量之间的依赖关系，而高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，更是从“变量说”到“对应说”，这是对函数本质特征的进一步认识，也是学生认识上的一次飞跃。

这一章内容浸透了函数的思想，集合的思想以及数学建模的思想等内容，这些内容的学习，无疑对学生今后的学习起着深化的影响。

本节《函数的概念》是函数这一章的起始课。

概念是数学的根底，只有对概念做到深化理解，才能正确灵敏地加以应用。

本课从集合间的对应来描绘函数概念，起到了上承集合，下引函数的作用。

也为进一步学习函数这一章的其它内容提供了方法和根据。

二、重难点分析^p二、重难点确实定根据对上述对教材的分析^p 及新课程标准的要求，确定函数的概念既是本节课的重点，也应该是本章的难点。

三、学情分析^p1、有利因素：一方面学生在初中已经学习了变量观点下的函数定义，并详细研究了几类最简单的函数，对函数已经有了一定的感性认识；另一方面在本书第一章学生已经学习了集合的概念，这为学习函数的现代定义打下了根底。

2、不利因素：函数在初中虽已讲过，不过较为浅薄，本课主要是从两个集合间对应来描绘函数概念，是一个抽象过程，要求学生的抽象、分析^p 、概括的才能比较高，学生学起来有一定的难度。

四、目的分析^p1、理解函数的概念，会用函数的定义判断函数，会求一些最根本的函数的定义域、值域。

2、通过对实际问题分析^p 、抽象与概括，培养学生抽象、概括、归纳知识以及逻辑思维、建模等方面的才能。

3、通过对函数概念形成的探究过程，培养学生发现问题，探究问题，不断超越的创新品质。

五、教法学法本节课的教学以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者，我一方面精心设计问题情景，引导学生主动探究。

§2.1 函数及其表示要点梳理1．函数的基本概念(1)函数的定义设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A .(2)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫作自变量，x 的取值范围A 叫作函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫作函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的值域．显然，值域是集合B 的子集． (3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (4)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图像法、列表法．2．映射的概念设A 、B 是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射． 3． 函数解析式的求法求函数解析式常用方法有待定系数法、配凑法、换元法、构造方程组法等．4． 常见函数定义域的求法(1)分母≠0.(2)偶次方根的被开方式≥0.(3) x 0中，x ≠0(4)对数的真数>0(5)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z . (6)复合函数定义域题型分类 深度解析题型一 函数的定义域例1 (1)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为______________． （2）已知()f x 的定义域为[1,3]，求f (2x ＋1)的定义域；（3）已知(1)f x -的定义域为[1,0]-，求()f x 的定义及(1)f x +的定义域．练习 (1)若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是__________． (2)已知f (x )的定义域是[0,4]，则f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域是__________．（3）已知f(x 2)的定义域为{}31<<x x ，则f(2x-1)的定义域是__________．题型二 分段函数 例2 (1)设f (x )＝⎩⎨⎧≤+>+10))5((103x x f f x x ，，,则f (5)的值为_______． (2)已知a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧≥--<+1212x a x x a x ，，，若f (1-a )＝f (1+a )，则a 的值为_______．练习 （1）设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤2，log 81x ，x >2，则满足f (x )＝14的x 值为 。