北京版-数学-九年级上册- 二次函数的应用 教案

学习内容：19.4二次函数的应用（19）
学习目标：
体会二次函数的应用，提高用数学意识；
经历建立平面直角坐标系的过程，初步体会坐标法的意义和作用以及繁琐与简洁。

学习过程：
活动一：复习旧知：
如图，有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m。

现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中。

（1）求这条抛物线的解析式。

（2）在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是多少
m？
活动二：探究新知
1.自主学习57页例3
2.请你尝试换一种建坐标系得方法，并求解。

3.请将你的方法与书中的方法比较，并在组内交流，总结如下：
活动三：分层提高
1．如图，隧道的横截面由抛物线和长方形构成，长方形的长
是8m，宽是2m，抛物线的解析式为
2
1
4
4
y x
=-+。

（1）一辆货运车车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？
（2）如果该隧道内设双行道，中间遇车间隙为0.4m，那么这
辆卡车是否可以通过？
2．如图是抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽46米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽43米，若洪水到来时，水位以每小时0.25米速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?
3.一位运动员在距篮下水平距离4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米. 若该运动员身高1.8米，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？篮圈
出手处
最高点。

《二次函数的应用》教案教学目标：1、继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程。

2、会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离、利润等的函数最值问题。

3、发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。

教学重点和难点：重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题。

难点：例3将现实问题数学化，情景比较复杂。

教学过程：一、复习：1.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质？并指出顶点、对称轴、与坐标轴的交点、与x轴两交点间的距离？2.各类二次函数顶点位置与a、b、c的关系？(顶点在x轴上、y轴上、原点、经过原点)3.求二次函数y＝－2x2＋10x＋1的最大(或最小)值？思考：如何求下列函数的最值：(1) y＝－2x2＋10x＋1(3≤x≤4)(2)y=2x2＋4x＋5(3)y＝1100－5x2(4) y=x2＋1 x22利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是：(1)列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围。

(2)在自变量取值范围内，运用公式或配方法求出二次函数的最大值和最小值。

二、例题讲解例题2：B船位于A船正东26km处，现在A、B两船同时出发，A船发每小时12km的速度朝正北方向行驶，B船发每小时5km的速度向正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？分析：设经过t时后AB两船分别到达A’，B’，两船之间距离为A’B’=AB'2+AA'2 =(26-5t)2+(12t)2 =169t2-260t+676 。

因此只要求出被开方式169t2-260t+676的最小值，就可以求出两船之间的距离s的最小值。

解:设经过t 时后，A ，B AB 两船分别到达A ’，B ’，两船之间距离为S=A ’B ’=AB'2+AA'2 =(26-5t)2+(12t)2=169t 2-260t+676 = 169（t-1013 ）2+576 （t>0） 当t=1013 时，被开方式169（t-1013 ）2+576有最小值576。

《二次函数的应用》教案【教学目标】1．能根据二次函数y ＝ax 2＋bx+c 的图象与x 轴的交点横坐标与一元二次方程的关系求方程ax 2＋bx+c=0的近似解；2．能根据实际问题列出函数表达式，并根据实际情况求最值；3．通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题，解决问题的能力，提高学生用数学的意识.【重点难点】根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的范围及最值.【教学过程】一、复习旧知1．通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

(1)y ＝6x 2＋12x ； (2)y ＝－4x 2＋8x －102．以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值?说出两个函数的最大值、最小值分别是多少?3．上面两个函数与坐标轴的交点坐标分别是什么？二、提出问题，解决问题1.求近似解（1）如何利用二次函数y ＝ax 2＋bx+c 的图象来求一元二次方程ax 2＋bx+c=0的近似解。

（2）例1：利用函数图象求212202x x --=的近似解（精确到0.1）. 分析：根据二次函数与一元二次方程的关系，可设21222y x x =--，列表作图.根据表格和图象将解的范围缩小，估计与x 轴的交点坐标。

列表：作图：这种利用二次函数图象求一元二次方程解的方法叫做图象法，常用来求近似解。

2.求最大利润生活中还有许多问题需要用二次函数的值来解决，例如求最大利润，最大面积等等。

某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。

将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?解：设每件商品降价x元(0≤x≤2)，该商品每天的利润为y元。

商品每天的利润y与x的函数关系式是：y＝(10－x－8)(100＋100x)即y＝－100x2＋100x＋200 配方得y＝－100(x－0.5)2＋225因为x＝0.5时，满足0≤x≤2。

上课日期2013.10.21 课的类型新授课授课教师贾金利课题总课时： 2 第 1 课时教学目标重点使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题。

难点进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想准备课件教师活动学生活动设计意图时间安排教学过程教一、引言在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。

本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题。

二、探索问题问题1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水。

连喷头在内，柱高为0.8m。

水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示。

根据设计图纸已知：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y＝－x2＋2x＋45。

听老师讲述本节课的教学内容在练习本上试着化图像，确立直角坐标系根据解析式，观察图像，解答提出的问题用所学的二次函数知识解决实际问题让学生了解建立直角坐标系的方法培养学生建立数形结合的思想5分钟10分钟(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?问题2：一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3)所示，现测得，当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m。

这时，离开水面1.5m 处，涵洞宽ED是多少?是否会超过1m?教师分析：根据已知条件，要求ED的宽，只要求出FD的长度。

在如图(3)的直角坐标系中，即只要求出D点的横坐标。

问题3：画出函数y＝x2－x－3/4的图象，根据图象回答下列问题。

(1)图象与x轴交点的坐标是什么；(2)当x取何值时，y＝0?这里x的取值与方程x2－x－34＝0有什么关系?四、课堂练习：根据问题3的图象回答下列问题。

当x取何值时，y＜0?当x取何值时，y＞0?五、小结：通过本节课的学习，你有什么收获?有什么困惑?六、作业：结合图像，针对教师的分析，以小组合作的形式完成学生回顾函数y＝ax2＋bx＋c图象的画法，按列表、描点、连线等步骤画出函数y＝x2－x－34的图象培养学生观察的能力培养学生合作探究的能力巩固所学的知识总结概括，能力提升10分钟10分钟5分钟板书设计问题1：解：问题3：解：课后反思学生能把实际问题转化成二次函数问题解决，并会应用图像、性质解决相关问题。

二次函数的应用【教学目标】1．知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会求解实际问题中的最值问题。

2．过程与方法：通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值问题转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想、函数思想和数学模型思想。

3．情感态度价值观：通过学生之间的讨论、交流和探索，建立合作意识，提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望，体会数学在生活中广泛的应用价值。

【教学重点】利用二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质，求最值问题【教学难点】1．正确构建数学模型2．对函数图象顶点、端点与最值关系的理解与应用【教学过程】一、复习引入（1）由二次函数y= -x2 +20x的解析式我们能够想到的图象特征和性质是…？（2）根据同学们描述信息，画出函数的示意图为：二、讲解新课1．在情境中发现问题[做一做]1）你能够画一个周长为40cm的矩形吗？2）周长为40cm的矩形是唯一的吗？3）谁画出的矩形的面积最大？4）有没有一个矩形的面积是最大呢？最大面积为多少？2．在解决问题中找出方法[想一想]：某小区想用40m的栅栏围成一个矩形花园，问矩形的长和宽各取多少米，才能使花园的面积最大，最大面积为多少？3．在巩固与应用中提高技能变式一：如果矩形的一面靠墙，（墙的最大利用长度为18m），那么此时用40m的栅栏可以围成矩形的面积（1）能够为202m2吗？（2）能够为200m2吗？（3）此时还会有最大面积吗？如果有，请说明最大面积为多少？画出示意图。

在（想一想）的基础上，我在此设计了一个条件墙长18米来限制定义域，目的在于告诉学生一个道理，数学不能脱离生活实际，估计大部分学生在求解时还会在顶点处找最值，导致错解，此时教师再提醒学生通过画函数的图像辅助观察、理解最值的实际意义，体会顶点与端点的不同作用，加深对知识的理解，做到数与形的完美结合，通过此题的有意训练，学生必然会对定义域的意义有更加深刻的理解，这样既培养了学生思维的严密性，又为今后能灵活地运用知识解决问题奠定了坚实的基础。

北京课改版数学九年级上册19.3《二次函数的性质》教学设计一. 教材分析《二次函数的性质》是北京课改版数学九年级上册第19.3节的内容。

本节内容是在学生已经掌握了函数的概念、一次函数的性质的基础上，引入二次函数的概念，让学生了解二次函数的图像和性质。

教材通过例题和练习题，使学生掌握二次函数的图像特点，了解二次函数的顶点、开口、对称轴等基本概念，并能够运用这些概念解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对一次函数的性质有所了解。

但是，二次函数的概念和性质较为抽象，学生可能难以理解和接受。

因此，在教学过程中，需要通过具体实例和实际问题，引导学生理解二次函数的性质，提高学生的学习兴趣和积极性。

三. 教学目标1.了解二次函数的概念，掌握二次函数的图像特点。

2.掌握二次函数的顶点、开口、对称轴等基本概念，并能运用这些概念解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.二次函数的概念和图像特点。

2.二次函数的顶点、开口、对称轴等基本概念的理解和运用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过实际问题引导学生思考和探索。

2.使用多媒体教学，展示二次函数的图像，帮助学生直观理解。

3.小组讨论，让学生合作解决问题，提高学生的参与度和积极性。

4.进行课堂练习，及时巩固所学知识。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.相关的教学软件或教具。

3.练习题和测试题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出二次函数的概念，激发学生的兴趣。

例题：某商品打8折后的售价为120元，原价是多少？2.呈现（10分钟）通过多媒体展示二次函数的图像，让学生观察和分析二次函数的图像特点。

二次函数的一般形式：y = ax^2 + bx + c图像特点：开口、顶点、对称轴。

3.操练（10分钟）让学生通过计算器或图形计算器，绘制二次函数的图像，并观察和分析二次函数的图像特点。

19.4 二次函数的应用一、解答题（共10小题；共130分）1. 某种商品每天的销售利润（元）与销售单价（元）之间满足关系：，其图象如图所示．(1) 销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2) 销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于元？2. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过、两点．(1) 求此二次函数的解析式；(2) 点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，交二次函数的图象于点．当点位于点的上方时，直接写出的取值范围．3. 某校九年级进行集体跳绳比赛．如下图所示，跳绳时，绳甩到最高处时的形状可看作是某抛物线的一部分，记作，绳子两端的距离约为米，两名甩绳同学拿绳的手到地面的距离和基本保持米，当绳甩过最低点时刚好擦过地面，且与抛物线关于直线AB对称．(1) 求抛物线的表达式并写出自变量的取值范围；(2) 如果身高为米的小华站在之间，且距点的水平距离为米，绳子甩过最高处时超过她的头顶，直接写出的取值范围．4. 如图，抛物线经过、、三点，直线经过、两点．(1) 写出方程的解；(2) 若，写出的取值范围．5. 已知抛物线（）(1) 求证：该抛物线与轴总有两个交点．(2) 当抛物线与轴的两个交点横坐标为整数时，求的整数值．6. 某工厂设计了一款产品，成本为每件元．投放市场进行试销，经调查发现，该种产品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足（），设销售这种产品每天的利润为（元）．(1) 求销售这种产品每天的利润（元）与销售单价（元）之间的函数表达式；(2) 当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？7. 中踏销售某种商品，每件进价为元，在销售过程中发现，平均每天的销售量（件）与销售价（元/件）之间的关系可近似的看做一次函数：；(1) 求中踏平均每天销售这种商品的利润（元）与销售价之间的函数关系式；(2) 当这种商品的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？8. 已知二次函数．(1) 把这个二次函数化成的形式；(2) 画出这个二次函数的图象，并利用图象写出当为何值时，．9. 已知抛物线与轴交于，（点在点左侧）两点，且对称轴为．(1) 的值为；并在坐标系中利用描点法画出此抛物线；(2) 若直线过点且与抛物线交于点，根据图象回答当取什么值时，．10. 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面的宽为米，如果水位上升米，则水面的宽是米．(1) 建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；(2) 当水位在正常水位时，有一艘宽为米的货船经过这里，船舱上有高出水面米的长方体货物（货物与货船同宽）．问：此船能否顺利通过这座拱桥？答案第一部分1. (1) 图象过点，，所以解得二次函数关系式为．，，即销售单价为元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为当时，最大元．1. (2) 把代入，得解得如图，结合图形可知当时，，即当销售单价满足时，该种商品每天的销售利润不低于元．2. (1) 把、分别代入中，解得所求二次函数的解析式为．2. (2) ．3. (1) 如图所示建立平面直角坐标系．由题意可知， , ,顶点．设抛物线的表达式为．在抛物线G上，，，．自变量的取值范围为．3. (2) ．4. (1) 方程的解为，．4. (2) ．5. (1)且该抛物线与轴总有两个交点．5. (2) 令，则，解得：，．又为整数，且方程的根为整数，且．．6. (1)6. (2) ．当销售单价定为元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是元．7. (1) 由题意，得：7. (2) 时，最大答：当销售单价定为元时，每月可获得最大利润，最大利润是元．8. (1) ．8. (2) 二次函数图象如图，当或时，．9. (1) 由题意得．即．．抛物线解析式为：．令，即．解得，．点，点．抛物线的顶点坐标为．五点描图法画出函数图象：9. (2) 由图象可知，当或时，．10. (1) 设抛物线解析式为设点，点，由题意：解得．10. (2) 当时，．．在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．。