导数的应用一(一个极值点)

高等数学导数的应用高等数学中的导数是一个非常重要的概念，它不仅仅是一个数值上的表示，更是一种函数变化率的度量。

在实际生活和工程中，导数的应用非常广泛，以下将介绍一些高等数学导数的应用。

1. 切线和法线在曲线的某一点上，通过该点的曲线的切线是指与曲线在该点的切点相切的直线。

切线的斜率等于在该点处的导数。

因此，我们可以使用导数来确定曲线在任意点上的切线。

法线是与曲线在某一点相切且垂直于切线的直线。

法线的斜率等于切线的斜率的负倒数，即导数的倒数。

因此，导数还可以用于确定曲线在任意点上的法线。

应用导数来计算曲线上各点的切线和法线可以在物理学、工程学中的很多领域得到应用，比如建筑设计中的曲线道路的设计和医学中的曲线血管的研究等。

2. 极值问题在数学中，极值是函数在给定范围内取得的最大值或最小值。

通过导数可以确定函数的极值点。

具体来说，一个函数在极值点处的导数为零。

通过求导可以找到函数的每个极点，并通过对导数的符号进行分析，判断这些极点是极大值还是极小值。

极值问题在实际生活中的应用非常广泛，例如在经济学中，极值问题可以用于确定某个经济模型的最大利润或最小成本。

3. 凹凸性和拐点通过导数的二阶导数可以判断函数的凹凸性和拐点。

具体来说，如果一个函数在某一区间上的二阶导数大于零，则该函数是凸的；如果二阶导数小于零，则该函数是凹的。

在工程学和物理学中，例如在材料力学中，通过判断曲线的凹凸性，可以确定材料的变形状态，以及判断结构的强度和稳定性。

拐点是指函数曲线由凸向凹（或由凹向凸）转变的位置。

通过导数的二阶导数和零点可以确定曲线的拐点。

拐点在物理学、经济学和工程学等领域中广泛应用，如经济学中的边际效益递减和工程学中的挠曲分析等。

4. 泰勒级数展开泰勒级数展开是利用函数的导数来逼近函数的方法。

通过泰勒级数展开，我们可以将一个复杂的函数表示成若干个简单函数之和，从而方便计算和分析。

泰勒级数展开在近似计算和数值计算中非常重要。

导数应用与极值问题在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。

通过求导可以得到函数的导数，而导数可以帮助我们解决一系列的应用问题，其中包括极值问题。

本文将探讨导数应用于极值问题的方法和步骤。

一、导数的基本概念在介绍导数应用于极值问题之前，首先需要了解导数的基本概念。

对于一个函数f(x)，它在某点x处的导数表示函数在该点处的变化率，可以用以下的方式表示：f'(x) = lim(h -> 0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，lim表示极限，h表示自变量x的增量。

导数的几何意义是函数曲线在该点处的切线斜率。

当导数为正时，函数在该点处递增；当导数为负时，函数在该点处递减；当导数为零时，函数在该点处取得极值。

二、极值问题的求解在解决极值问题时，我们通常要对函数f(x)进行求导，并通过导数的性质来分析函数的极值点。

1. 导数为零的点首先，我们需要找到函数f(x)的导数为零的点，即f'(x) = 0。

这些点可能是函数的极值点。

2. 导数的符号接下来，我们要确定导数在导数为零的点的两侧的符号。

当导数从正数变成负数时，函数在该点有极大值；当导数从负数变成正数时，函数在该点有极小值。

3. 极值点的判断通过对导数的符号进行分析，我们可以判断出函数的极值点。

需要注意的是，导数为零的点并不一定都是极值点，还需要进行二阶导数的判断。

3.1 二阶导数的求解求得函数f(x)的导数为零的点后，我们可以进一步求解它的二阶导数f''(x)。

二阶导数可以帮助我们判断导数为零的点处的极值类型。

3.2 二阶导数的判断当二阶导数f''(x)大于零时，函数在导数为零的点处有极小值；当二阶导数f''(x)小于零时，函数在导数为零的点处有极大值；当二阶导数f''(x)等于零时，判断不明确，需要进行其他方法的分析。

4. 求解极值点通过以上的步骤，我们可以确定函数f(x)的极值点。

导数的应用的单调性与极值在微积分学中，导数是一个非常重要的概念，它有着广泛的应用。

本文将讨论导数的应用方面，着重探讨其与单调性和极值的关系。

一、导数与函数的单调性在研究函数的单调性时，导数是一个非常重要的工具。

通过求函数的导数，我们可以得到函数的增减性质。

1. 单调递增如果一个函数在某个区间内的导数恒大于零，那么这个函数在该区间内是单调递增的。

也就是说，函数的图像在这个区间上是向上的。

举个例子，考虑函数f(x) = x^2，我们可以求得它的导数f'(x) = 2x。

由于2x大于零，所以函数f(x)在整个实数轴上都是单调递增的。

2. 单调递减类似地，如果一个函数在某个区间内的导数恒小于零，那么这个函数在该区间内是单调递减的。

还是以前面的例子f(x) = x^2为例，我们可以看到，函数f(x)的导数2x在负数区间上小于零，因此函数f(x)在负数区间上是单调递减的。

通过上述例子可以看出，导数可以帮助我们分析函数的单调性，从而更好地理解函数的变化规律。

二、导数与函数的极值另一个与导数密切相关的概念是函数的极值。

极值分为极大值和极小值，而导数可以帮助我们判断函数的极值点。

1. 极值点一个函数在某个点上的导数等于零时，该点就是函数的极值点。

根据导数的定义，导数为零表示函数在该点附近的变化趋势趋向于水平。

2. 极大值如果一个函数在某个点的导数从正数变为负数，那么这个点就是函数的极大值点。

在极大值点上，函数的图像从上升转向下降。

3. 极小值与极大值相反，如果一个函数在某个点的导数从负数变为正数，那么这个点就是函数的极小值点。

在极小值点上，函数的图像从下降转向上升。

例如，考虑函数f(x) = x^3，我们可以求得它的导数f'(x) = 3x^2。

当x等于零时，导数为零，说明函数在x=0处有极值。

通过进一步的分析，我们可以得知这个点是极小值点。

三、综合应用导数的应用不仅仅局限于单调性和极值的讨论，还可以应用于其他问题的求解。

导数的应用切线与极值问题导数的应用：切线与极值问题导数是微积分中的重要概念，它在各个科学领域中都有着广泛的应用。

其中，切线与极值问题是导数应用的两个常见问题。

本文将探讨如何使用导数解决切线和极值问题，并通过实例解释其应用。

一、切线问题切线是曲线上某一点处与该点相切的直线。

通过导数，我们可以确定曲线上某点的切线方程。

设曲线方程为y=f(x)，点P(x,y)处的切线斜率k即为函数f(x)在该点的导数，即k=f'(x)。

例子1：求曲线y=x^2+2x+1在点P(1,4)处的切线方程。

解：首先求导数：f'(x)=(x^2+2x+1)'=2x+2。

然后求点P(1,4)处的斜率：k=f'(1)=2(1)+2=4。

由切线斜率和点可确定切线方程，即y-4=4(x-1)。

将其化简，得到切线方程为y=4x。

二、极值问题在求解极值问题时，我们可以利用导数为0的点来确定函数的最大值或最小值。

设函数f(x)在[a,b]区间上连续且在区间内可导，若f'(c)=0且c∈(a,b)，则c称为f(x)在[a,b]上的临界点。

临界点和区间端点都有可能是函数的极值点。

例子2：求函数f(x)=x^3-3x^2的极小值。

解：首先求导数：f'(x)=(x^3-3x^2)'=3x^2-6x。

然后求导函数的临界点：3x^2-6x=0。

化简得到x(x-2)=0，解得x=0或x=2。

接下来，我们通过判断临界点和区间端点的函数值来确定极小值。

计算f(0)=-0、f(2)=-4，因此f(x)=x^3-3x^2的极小值为-4，在x=2处取得。

综上，我们通过求解导数和判断临界点来确定函数的极值。

三、切线和极值问题的应用切线问题和极值问题在实际应用中有着广泛的运用。

例子3：一辆汽车在某段时间内行驶的路程和时间的关系如图所示。

求该段时间内汽车的平均速度，以及汽车行驶的最快和最慢速度。

图表：时间（小时） 0 2 4 6 8 10路程（公里）***********解：我们可以通过导数来求解这个问题。

导数在函数中的应用一、知识梳理1.函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.2.函数的极值与导数形如山峰形如山谷3.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若函数f (x )在(a ，b )内单调递增，那么一定有f ′(x )>0.( )(2)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性.( ) (3)函数的极大值一定大于其极小值.( )(4)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0为极值点的充要条件.( )(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( ) 解析 (1)f (x )在(a ，b )内单调递增，则有f ′(x )≥0. (3)函数的极大值也可能小于极小值.(4)x 0为f (x )的极值点的充要条件是f ′(x 0)＝0，且x 0两侧导函数异号. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√2.如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 由题意知在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正. 答案 A3.函数f (x )＝2x －x ln x 的极值是( ) A.1eB.2eC.eD.e 2解析 因为f ′(x )＝2－(ln x ＋1)＝1－ln x ，令f ′(x )＝0，所以x ＝e ，当f ′(x )>0时，解得0<x <e ；当f ′(x )<0时，解得x >e ，所以x ＝e 时，f (x )取到极大值，f (x )极大值＝f (e)＝e. 答案 C4.(2019·青岛月考)函数f (x )＝cos x －x 在(0，π)上的单调性是( ) A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增D.单调递减解析易知f′(x)＝－sin x－1，x∈(0，π)，则f′(x)<0，所以f(x)＝cos x－x在(0，π)上递减.答案D5.(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()解析设导函数y＝f′(x)与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1，x2，x3，由导函数y＝f′(x)的图象易得当x∈(－∞，x1)∪(x2，x3)时，f′(x)<0；当x∈(x1，x2)∪(x3，＋∞)时，f′(x)>0(其中x1<0<x2<x3)，所以函数f(x)在(－∞，x1)，(x2，x3)上单调递减，在(x1，x2)，(x3，＋∞)上单调递增，观察各选项，只有D选项符合.答案D6.(2019·豫南九校考评)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为()A.4B.2或6C.2D.6解析函数f(x)＝x(x－c)2的导数为f′(x)＝3x2－4cx＋c2，由题意知，在x＝2处的导数值为12－8c＋c2＝0，解得c＝2或6，又函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，故导数在x＝2处左侧为负，右侧为正，而当e＝6时，f(x)＝x(x－6)2在x＝2处有极大值，故c＝2.答案C考点一 求函数的单调区间【例1】 已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值. (1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，求函数g (x )的单调减区间. 解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0，即3a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x ，故g ′(x )＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )<0，即x (x ＋1)(x ＋4)<0， 解得－1<x <0或x <－4，所以g (x )的单调减区间为(－1，0)，(－∞，－4). 规律方法 1.求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f ′(x )；(3)在定义域内解不等式f ′(x )>0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f ′(x )<0，得单调递减区间. 2.若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接.【训练1】 (1)已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( ) A.在(0，＋∞)上递增 B.在(0，＋∞)上递减 C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递增 D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递减 (2)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间为________.解析 (1)因为函数f (x )＝x ln x ，定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，当f ′(x )>0时，解得x >1e ，即函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞；当f ′(x )<0时，解得0<x <1e ，即函数的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e .(2)f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x .令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.答案 (1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2考点二 讨论函数的单调性【例2】 (2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，其中参数a ≤0. (1)讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )≥0，求a 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且a ≤0. f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a ).①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增. ②若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增.(2)①当a ＝0时，f (x )＝e 2x ≥0恒成立.②若a <0，则由(1)得，当x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2， 故当且仅当a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2≥0， 即0>a ≥－2e 34时，f (x )≥0.综上，a 的取值范围是[－2e 34，0].【训练2】 已知f (x )＝x 22－a ln x ，a ∈R ，求f (x )的单调区间.解 因为f (x )＝x 22－a ln x ，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax .(1)当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数. (2)当a >0时，f ′(x )＝（x ＋a ）（x －a ）x，则有①当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递减区间为(0，a ). ②当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞). 综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间. 当a >0时，函数f (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞).考点三 函数单调性的简单应用 角度1 比较大小或解不等式【例3－1】 (1)已知函数y ＝f (x )对于任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x ＝1＋ln x ，其中f ′(x )是函数f (x )的导函数，则下列不等式成立的是( ) A.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4B.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4C.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4D.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6(2)已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (1)＝1e ，对任意实数都有f (x )－f ′(x )>0，设F (x )＝f （x ）e x ，则不等式F (x )<1e 2的解集为( ) A.(－∞，1) B.(1，＋∞) C.(1，e)D.(e ，＋∞)解析 (1)令g (x )＝f （x ）cos x ，则g ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )(－sin x )cos 2x ＝1＋ln x cos 2x .由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <π2，g ′(x )>0，解得1e <x <π2；由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <π2，g ′(x )<0，解得0<x <1e .所以函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，π2上单调递增，又π3>π4，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos π4， 即2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4.(2)F ′(x )＝f ′(x )e x －e x f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ，又f (x )－f ′(x )>0，知F ′(x )<0， ∴F (x )在R 上单调递减.由F (x )<1e 2＝F (1)，得x >1， 所以不等式F (x )<1e 2的解集为(1，＋∞).答案 (1)B (2)B角度2 根据函数单调性求参数【例3－2】 (2019·日照质检)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x . (1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求实数a 的取值范围. 解 h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x >0.∴h ′(x )＝1x －ax －2.(1)若函数h (x )在(0，＋∞)上存在单调减区间， 则当x >0时，1x －ax －2<0有解，即a >1x 2－2x 有解. 设G (x )＝1x 2－2x ，所以只要a >G (x )min . 又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1.所以a >－1.即实数a 的取值范围是(－1，＋∞). (2)由h (x )在[1，4]上单调递减，∴当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立， 则a ≥1x 2－2x 恒成立，设G (x )＝1x 2－2x ， 所以a ≥G (x )max . 又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，x ∈[1，4]，因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716.又当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝（7x －4）（x －4）16x，∵x ∈[1，4]，∴h ′(x )＝（7x －4）（x －4）16x ≤0，当且仅当x ＝4时等号成立. ∴h (x )在[1，4]上为减函数. 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.规律方法 1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 2.根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集.(2)f (x )是单调递增的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.【训练3】 (1)已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f ′(x )，且不等式xf ′(x )<2f (x )恒成立，则( ) A.4f (1)<f (2) B.4f (1)>f (2) C.f (1)<4f (2)D.f (1)>4f ′(2)(2)(2019·淄博模拟)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A.(－∞，－2]B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.[2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12解析 (1)设函数g (x )＝f (x )x 2(x >0)，则g ′(x )＝x 2f ′(x )－2xf (x )x 4＝xf ′(x )－2f (x )x 3<0，所以函数g (x )在(0，＋∞)内为减函数，所以g (1)>g (2)，即f (1)12>f (2)22，所以4f (1)>f (2).(2)由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，等价于f ′(x )＝k －1x ≥0在(2，＋∞)上恒成立，由于k ≥1x ，而0<1x <12，所以k ≥12.即k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 答案 (1)B (2)B三、课后练习1.(2017·山东卷)若函数e x f (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是( ) A.f (x )＝2－x B.f (x )＝x 2 C.f (x )＝3－xD.f (x )＝cos x解析 设函数g (x )＝e x ·f (x )，对于A ，g (x )＝e x ·2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x，在定义域R 上为增函数，A 正确.对于B ，g (x )＝e x ·x 2，则g ′(x )＝x (x ＋2)e x ，由g ′(x )>0得x <－2或x >0，∴g (x )在定义域R 上不是增函数，B 不正确.对于C ，g (x )＝e x ·3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x在定义域R 上是减函数，C 不正确.对于D ，g (x )＝e x ·cos x ，则g ′(x )＝2e x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，g ′(x )>0在定义域R 上不恒成立，D 不正确. 答案 A2.(2019·上海静安区调研)已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，则不等式f (ln x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x <2f (1)的解集为( ) A.(e ，＋∞)B.(0，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(1，e) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 解析 f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝f (ln x ).则原不等式可变形为f (ln x )<f (1)⇔f (|ln x |)<f (1). 又f ′(x )＝x cos x ＋2x ＝x (2＋cos x )， 由2＋cos x >0，得x >0时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. ∴|ln x |<1⇔－1<ln x <1⇔1e <x <e. 答案 D3.若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝1－23(2cos 2x －1)＋a cos x ＝－43cos 2 x ＋a cos x ＋53，f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立.令cos x ＝t ，t ∈[－1，1]，则－43t 2＋at ＋53≥0在[－1，1]上恒成立，即4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1，1]上恒成立. 令g (t )＝4t 2－3at －5，则⎩⎨⎧g (1)＝4－3a －5≤0，g (－1)＝4＋3a －5≤0，解得－13≤a ≤13. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，134.已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R ). (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′（x ）＋m 2在区间(t ，3)上总不是单调函数，求m 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝a （1－x ）x， 当a >0时，f (x )的递增区间为(0，1)， 递减区间为(1，＋∞)；当a <0时，f (x )的递增区间为(1，＋∞)，递减区间为(0，1)； 当a ＝0时，f (x )为常函数.(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a 2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x .∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x ， ∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t ，3)上总不是单调函数， 即g ′(x )在区间(t ，3)上有变号零点.由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎨⎧g ′(t )<0，g ′(3)>0.当g ′(t )<0时，即3t 2＋(m ＋4)t －2<0对任意t ∈[1，2]恒成立， 由于g ′(0)<0，故只要g ′(1)<0且g ′(2)<0， 即m <－5且m <－9，即m <－9；由g ′(3)>0，即m >－373. ∴－373<m <－9.即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9.。

导数在极值问题的应用1. 引言在数学中，导数是函数的一个基本概念。

它描述了函数在每一个点上的变化率。

导数的概念广泛应用于不同领域的问题中，特别是在求解极值问题时。

极值问题是数学中常见的一类问题，涉及找到函数的最大值或最小值。

在本文中，我们将探讨导数在极值问题中的应用。

2. 极值问题在数学中，极值问题是指寻找函数的最大值或最小值。

对于一个函数而言，最大值是指函数取得的最高值，最小值是指函数取得的最低值。

极值问题在许多实际问题中都有应用，比如经济学中的最大化利润和最小化成本问题，物理学中的最小作用量原理等等。

3. 导数的意义导数是函数变化率的描述。

对于函数f(x)，它的导数f′(x)表示函数在某一点x处的变化率。

导数可以用来确定函数的增减性、判断函数的极值以及确定函数的拐点等。

4. 寻找极值点的方法为了寻找函数的极值点，我们需要使用导数的相关知识。

一般来说，函数在极值点处的导数为0或者不存在。

因此，我们可以通过求解方程f′(x)=0来寻找极值点。

具体寻找极值点的方法有如下步骤：1.求出函数f(x)的导函数f′(x)；2.求解方程f′(x)=0，得到解$x_1, x_2, \\ldots, x_n$；3.将解$x_1, x_2, \\ldots, x_n$代入函数f(x)，计算出对应的函数值$f(x_1), f(x_2), \\ldots, f(x_n)$；4.比较函数值$f(x_1), f(x_2), \\ldots, f(x_n)$，得到函数的极值。

需要注意的是，通过求解方程f′(x)=0得到的解并不一定都是函数的极值点，还需要进行进一步的判断。

5. 极值点的判断在上一步中，我们已经得到了解$x_1, x_2, \\ldots, x_n$，这些解可能是函数的极值点，也可能是函数的拐点。

为了确定这些解的性质，我们需要进行进一步的判断。

根据函数的导数f′(x)的符号变化情况，可以判断出函数在不同区间上的增减性。

导数在函数极值中的应用例题和知识点总结在数学的广袤天地中，导数无疑是一座连接函数性质与实际应用的重要桥梁。

而在函数的研究中，极值问题又占据着关键地位。

通过导数来求解函数的极值，不仅能让我们更深入地理解函数的变化规律，还能为解决实际问题提供有力的工具。

接下来，我们将通过具体的例题和详细的知识点总结，来探讨导数在函数极值中的应用。

一、知识点回顾1、导数的定义函数＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x ＝ x_0\）处的导数＼（f'（x_0)＼）定义为：＼（f'（x_0) ＝＼lim_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)｝｛＼Delta x}＼）2、导数的几何意义导数＼（f'（x_0)＼）表示函数＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x ＝ x_0\）处的切线斜率。

3、函数的单调性与导数的关系若＼（f'（x) ＞ 0\），则函数＼（f(x)＼）在区间内单调递增；若＼（f'（x) ＜ 0\），则函数＼（f(x)＼）在区间内单调递减。

4、函数的极值设函数＼（f(x)＼）在＼（x_0\）处可导，且在＼（x_0\）处附近左增右减，则＼（x_0\）为函数的极大值点，＼（f(x_0)＼）为极大值；若在＼（x_0\）处附近左减右增，则＼（x_0\）为函数的极小值点，＼（f(x_0)＼）为极小值。

5、求函数极值的步骤（1）求导数＼（f'（x)＼）；（2）解方程＼（f'（x) ＝ 0\），求出函数的驻点；（3）分析驻点左右两侧导数的符号，确定极值点；（4）将极值点代入函数，求出极值。

二、例题讲解例 1：求函数＼（f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ 1\）的极值。

解：首先，对函数求导：＼（f'（x) ＝ 3x^2 6x\）令＼（f'（x) ＝ 0\），即＼（3x^2 6x ＝ 0\），解得＼（x ＝ 0\）或＼（x ＝ 2\）当＼（x ＜ 0\）时，＼（f'（x) ＞ 0\），函数单调递增；当＼（0 ＜ x ＜ 2\）时，＼（f'（x) ＜ 0\），函数单调递减；当＼（x ＞ 2\）时，＼（f'（x) ＞ 0\），函数单调递增。

导数的应用与极值例题和知识点总结在数学的广袤领域中，导数无疑是一个极为重要的工具。

它不仅能够帮助我们描绘函数的变化趋势，还能在解决各种实际问题中发挥关键作用。

接下来，让我们一起深入探讨导数的应用与极值，通过具体的例题来加深对相关知识点的理解。

一、导数的定义与几何意义导数的定义为函数在某一点的瞬时变化率。

如果函数＄y ＝ f(x)＄在点＄x_0$ 处可导，那么其导数记为＄f'（x_0)＄，表示函数在＄x_0$ 处的切线斜率。

从几何意义上看，导数就是函数图像在某一点处切线的斜率。

当导数大于零，函数单调递增；当导数小于零，函数单调递减；当导数等于零，可能是函数的极值点。

二、导数的计算对于常见的基本函数，如幂函数、指数函数、对数函数等，都有相应的求导公式。

例如，对于幂函数＄y ＝ x^n$ ，其导数为＄y' ＝ nx^｛n 1}＄；对于指数函数＄y ＝ e^x$ ，其导数仍为＄y' ＝ e^x$ ；对于对数函数＄y ＝＼ln x$ ，其导数为＄y' ＝＼frac{1}｛x}＄。

三、利用导数求函数的单调性例 1：求函数＄f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ 2$ 的单调区间。

首先，对函数求导：＄f'（x) ＝ 3x^2 6x$令＄f'（x) ＝ 0$ ，即＄3x^2 6x ＝ 0$ ，解得＄x ＝ 0$ 或＄x ＝2$ 。

当＄x ＜ 0$ 时，＄f'（x) ＞ 0$ ，函数单调递增；当＄0 ＜ x ＜ 2$ 时，＄f'（x) ＜ 0$ ，函数单调递减；当＄x ＞ 2$ 时，＄f'（x) ＞ 0$ ，函数单调递增。

所以，函数的单调递增区间为＄（＼infty, 0)＄和＄（2, ＋＼infty)＄，单调递减区间为＄（0, 2)＄。

四、利用导数求函数的极值例 2：求函数＄g(x) ＝ 2x^3 9x^2 ＋ 12x 3$ 的极值。

对函数求导：＄g'（x) ＝ 6x^2 18x ＋ 12$令＄g'（x) ＝ 0$ ，即＄6x^2 18x ＋ 12 ＝ 0$ ，化简得＄x^2 3x＋ 2 ＝ 0$ ，解得＄x ＝ 1$ 或＄x ＝ 2$ 。