第2章初等数学模块

第二章初等数学模块
第一节多位数问题
基本知识点
多位数问题是针对“一个数及其个位、十位、百位等位置上的数字，以及小数点后一位、两位、三位等位置上的数字”的问题。

掌握多位数问题首先要掌握多位数的基本概念：
1 位数从 1 到9 共9 个
2 位数从10 到99 共90 个
3 位数从100 到999 共900 个
4 位数从1000 到9999 共9000 个
一位数1 ——9 ，共9-1+1=9个数。

两位数10 ——99 ，共99-10+1=90个数。

三位数100——999，共有999-100+1=900个数。

基本解题思路
“直接代入法”在多位数问题中起核心性作用。

【例 1】最大的四位数比最大的两位数大的倍数是（）。

A.99
B.100
C.101
D.102
解析：9999÷99=101，题干问的是大的倍数，所以选择B 100。

【例 2】最大的四位数与最小的五位数相差多少？（）
A.1
B.9
C.1000
D.1111
解析：选9999-10000=-1
【例 3】一个三位数，百位上的数比十位上的数大 4，个位上的数比十位上的数大 2，这个三位数恰好是后两个数字组成的两位数的 21 倍，那么，这个三位数是（）。

A.532
B.476
C.676
D.735
解析：代入法，选D。

这个三位数是（）这样的题型用代入法。

【例 4】一个小数的小数点向右移动一位与向左移动一位所得的两数之和为 1214.222，这个小数是多少?（）
A.118.82
B.119.22
C.119.82
D.120.22
解析：代入法。

选D。

代入也有代入的技巧。

向右移动一位与向左移动一位差两位。

是多少不重要，是不是才重要。

【例 5】大小两个数的差是 49.23，较小数的小数点向右移动一位就等于较大的数，求较小的数？（）
A.4.923
B.5.23
C.5.47
D.6.27
解析：代入法，选C 。

【例 6】 编一本书的书页，用了 270 个数字（重复的也算，如页码 115 用了 2 个 1 和 1 个 5，共 3 个数字），问这本书一共有多少页？（ ） A. 117 B. 126 C. 127 D. 189
解析：检验：只有一个数字的是1——9页，共9-1+1=9个数字。

有两个数字的是10——99页，共2×（99-10+1）=180个数字。

有三个数字的是100——999页。

由于本书只有270个数字，那么在100和999范围之间的是（270-180-9）÷3=27。

即100+27-1=126页。

“100～999页书”页码与数字问题：页码=数字
3 +36
一位数的页码（1页——9页）=数字+ 0×9
1 =数字本身
二位数页码（10页——99页）=数字+ 1×9
2
三位数的页码（100页——999页）=数字+ 12×9
3
四位数的页码（1000页——9999页）=数字+ 123×9
4
五位数（10000页+99999页）=数字+ 1234×9
5
第二节余数相关问题
余数问题基本等式
余数基本关系式：被除数÷除数=商…余数（0≤余数＜除数）
余数基本恒等式：被除数=除数×商 + 余数
同余问题核心口诀（应先尝试代入法、试值法）
“公倍数作周期：余同取余，和同加和，差同减差”
1.余同：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，此时该数可以选这个相同的余数，余同取余
例：“一个数除以 4 余 1，除以 5 余 1，除以 6 余 1”，则取 1，表示为 60n+1
2.和同：用一个数除以几个不同的数，得到的余数和除数的和相同，此时该数可以选这个相同的和数，和同加和
例：“一个数除以 4 余 3，除以 5 余 2，除以 6 余 1”，则取 7，表示为 60n+7
3.差同：用一个数除以几个不同的数，得到的余数和除数的差相同，此时该数可以选除数的最小公倍数减去这个相同的差数，差同减差
例：“一个数除以 4 余 1，除以 5 余 2，除以 6 余 3”，则取-3，表示为 60n-3
选取的这个数加上除数的最小公倍数的任意整数倍（即例中的 60n）都满足条件
注：余数问题：一个数除以几商几余几
同余问题：一个数除以几余几
【例 1】一个两位数除以一个一位数，商仍然是两位数，余数是 8。

问被除数、除、商以及余数之和是多少？
A. 98
B. 107
C. 114
D. 125
解析：除数要比余数大，余数是8，除数只能是9。

商是两位数，被除数也是两位数，那么商肯定是10，被除数是98。

□9□8÷□9=□10 (8)
【例 2】两个整数相除，商是 5，余数是 11，被除数、除数、商及余数的和是 99，求被除数是多少？（）
A.12
B.41
C.67
D.71
解析：除数肯定比余数大，除数是整数且大于11。

被除数是除数的5倍加上11，排除A、B，代入C、D，得D。

【例 3】有四个自然数 A、B、C、D，它们的和不超过 400，并且 A 除以 B 商是 5 余 5，A除以 C 商是 6 余 6，A 除以 D 商是 7 余 7。

那么，这四个自然数的和是？
A. 216
B. 108
C. 314
D. 348
解析：A=5B+5；A=6C+6；A=7D+D；所以A是210的倍数。

由于是自然数，A、B、C、D和不超过400，A是210，可以据此算出B、C、D的大小。

【例 4】一堆苹果，5 个 5 个的分剩余 3 个；7 个 7 个的分剩余 2 个。

问这堆苹果的个数最少为（）。

A.31
B.10
C.23
D.41
解析：同余问题。

代入法，从小代起。

选C。

【例 5】一个数除以 3 余 2，除以 4 余 1，请问这个数除以 12 余数是多少？
A.3
B.4
C.5
D.6
解析：公倍数作周期，和同加和。

这个数=12N+5。

这个数除以12余数是5。

【例 6】自然数 P 满足下列条件：P 除以 10 的余数为 9，P 除以 9 的余数为 8，P 除以 8的余数为 7。

如果：100<P<1000，则这样的 P 有几个?
A.不存在
B.1 个
C.2 个
D.3 个
解析：公倍数作周期，差同减差。

100<P（即360N-1）<1000，P为359或719。

【例 7】一个三位数除以 9 余 7，除以 5 余 2，除以 4 余 3，这样的三位数共有多少个？A. 5 个 B. 6 个 C. 7 个 D. 8 个
解析：180N，余不同，差不同，和不同，介绍两种做法：
方法1：不将这个数算出来，周期为180，三位数一共有999-100+1=900个，那么900个数字里面有5个这样的周期。

900÷180=5个周期。

方法2：注意观察，5…2和4…3和同，为20N+7；20N+7与9N…7余同，写成180N+7，这样的数有：187、367、547、727、907。

第三节星期日期问题
平年与闰年
判断方法一共天数 2 月平年年份不能被 4 整除365 天有 28 天
闰年年份可以被 4 整除366 天有 29 天
附：实际平年和闰年的计算比这个复杂，我们一般只要掌握上述规律即可。

注意：如果是00结尾的年份，要能被400整除才是闰年。

星期日期问题主要有两种情况：
一种情况是月份相同、年份不同时：过一年+1，过一闰月(闰年中的二月)+1（即闰年+2）；
另一种情况是年份不同、月份不同时：先考虑年份，再考虑月份，年份的考虑如第一种情况，月份的考虑如下：过一个小月(小月指的是30天)+2，同理递推，过28天不用加，过29天+1，过31天+3。

大月与小月
包括月份共有天数大月一、三、五、七、八、十、腊（十二）月31 天
小月二、四、六、九、十一月30 天（2 月除外）
【例 1】2003 年 7 月 1 日是星期二，那么 2005 年 7 月 1 日是？
A. 星期三
B. 星期四
C. 星期五
D. 星期六
解析：年数过一年，星期过一天；闰年过两天。

2004为闰年，2004的7月1日是星期四，2005年7月1日是星期五。

【例 2】甲、乙、丙、丁四个人去图书馆借书，甲每隔 5 天去一次，乙每隔 11 天去一次，丙每隔 17 天去一次，丁每隔 29 天去一次，如果 5 月 18 日四人在图书馆相遇，则下一次四个人相遇是几月几号？（）
A. 10 月 18 日
B. 10 月 14 日
C. 11 月 18 日
D. 11 月 14 日
解析：隔 5 天，指每6天。

6、12、18、30的最小公倍数是180。

如果一个月按照30天来计算，那么至少经过6个月，排除A、B，由于后面有大月（31日一个月），所以排除C。