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2017-2018学年高中物理第三章磁场第4讲习题课：安培力的综合应用学案教科版选修3-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中物理第三章磁场第4讲习题课：安培力的综合应用学案教科版选修3-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第4讲习题课：安培力的综合应用［目标定位] 1。
知道安培力的概念，会用左手定则判定安培力的方向2。
理解并熟练应用安培力的计算公式F＝ILB sin θ.3。
会用左手定则分析解决通电导体在磁场中的受力及平衡类问题．一、安培力作用下导线的平衡1．一般解题步骤:（1)明确研究对象;(2)先把立体图改画成平面图，并将题中的角度、电流的方向、磁场的方向标注在图上；(3)根据平衡条件：F合＝0列方程求解．2．求解安培力时注意：(1）首先确定出通电导线所在处的磁感线的方向,再根据左手定则判断安培力方向；(2）安培力大小与导线放置的角度有关，但一般情况下只要求导线与磁场垂直的情况，其中L 为导线垂直于磁场方向的长度，即有效长度．例1如图1所示，质量m＝0.1 kg的导体棒静止于倾角为θ＝30°的斜面上，导体棒长度L ＝0。
5 m．通入垂直纸面向里的电流，电流大小I＝2 A，整个装置处于磁感应强度B＝0。
5 T、方向竖直向上的匀强磁场中．求:（取g＝10 m/s2）图1(1)导体棒所受安培力的大小和方向；(2）导体棒所受静摩擦力的大小和方向．解析解决此题的关键是分析导体棒的受力情况，明确各力的方向和大小．(1）安培力F安＝ILB＝2×0.5×0。
高中物理人教版选修3-1教学案：第三章第4节通电导线在磁场中受到的力含答案2．当磁感应强度B的方向与导线方向成θ角时，公式F＝ILB sin_θ。
三、磁电式电流表图3-4-11．原理安培力与电流的关系。
2．构造磁铁、线圈、螺旋弹簧、指针、软铁、极靴。
如图3-4-1所示。
3．特点两极间的极靴和极靴中间的铁质圆柱，使极靴与圆柱间的磁场都沿半径方向，使线圈平面都与磁场方向平行，从而使表盘刻度均匀。
图3-4-24．工作原理如图3-4-2所示是线圈在磁场中受力的示意图。
当电流通过线圈时，导线受到安培力的作用，由左手定则知，线圈左右两边所受的安培力的方向相反，于是架在轴上的线圈就要转动，通过转轴收紧螺旋弹簧使其变形，反抗线圈的转动，电流越大，安培力就越大，螺旋弹簧的形变也就越大，所以，从线圈偏转的角度就能判断通过电流的大小。
线圈中的电流方向改变时，安培力的方向随着改变，指针的偏转方向也随着改变。
所以，根据指针的偏转方向，可以知道被测电流的方向。
5．优缺点优点是灵敏度高，可以测出很弱的电流；缺点是线圈的导线很细，允许通过的电流很弱。
1．自主思考——判一判(1)安培力的方向与磁感应强度的方向相同。
(×)(2)安培力的方向与磁感应强度的方向垂直。
(√)(3)应用左手定则时，四指指向电流方向，拇指指向安培力方向。
(√)(4)通电导线在磁场中不一定受安培力。
(√)(5)一通电导线放在磁场中某处不受安培力，该处的磁感应强度不一定是零。
(√)(6)若磁场一定，导线的长度和电流也一定的情况下，导线平行于磁场时，安培力最大，垂直于磁场时，安培力最小。
(×)2．合作探究——议一议图3-4-3(1)如图3-4-3所示，两条平行的通电直导线之间会通过磁场发生相互作用，在什么情况下两条直导线相互吸引，什么情况下两条直导线相互排斥？提示：每一条通电直导线均处在另一直导线电流产生的磁场中，根据安培定则可判断出直线电流产生的磁场的方向，再根据左手定则可判断出每一条通电直导线所受的安培力，由此可知，同向电流相互吸引，反向电流相互排斥。
§3.4 通电导线在磁场中受到的力学案【学习目标】1、认识安培力。
2、会判断安培力的方向。
3、会计算匀强磁场中的安培力。
4、会判断通电导线在磁场中的运动情况。
5、了解磁电式电流表的基本原理。
【学习重点和难点】1、安培力方向的判断。
2、通电导线在磁场中的运动情况的判断。
【自主学习】一、安培力的方向1．安培力：通电导线在中受的力．2．决定安培力方向的因素：(1) 方向；(2) 方向．3．左手定则：如右图所示，伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且拇指与手掌在同一平面内．让磁感线从进入并使四指指向，这时拇指所指的方向就是通电导线在磁场中所受安培力的方向．4．安培力的特点与电流方向、磁感应强度的方向都，即安培力F 于B和I决定的平面．二、安培力的大小1．当长为L的导线，垂直于磁场B放置，通过的电流为I时，F＝，此时电流受力最大．2．当磁感应强度B的方向与通电导线时，导线受力为零．3．当磁感应强度B的方向与通电导线方向成θ角时，F＝ .这是一般情况下安培力的表达式．其中Bsinθ是B垂直于电流方向的分量．三、磁电式电流表1．基本组成部分：磁铁和放在磁铁两极之间的2．工作原理：如右图所示，磁场的方向总沿着均匀辐射地分布，在距轴线等距离处的磁感应强度的大小总是的，保证B的大小不发生变化，且安培力的方向与线圈平面，当电流通过线圈时，导线受到安培力的作用，线圈转动，螺旋弹簧变形，反抗线圈的转动，电流越大，安培力就，螺旋弹簧的形变也就，I与指针偏角θ成正比，表盘刻度 (选填“均匀”、“不均匀”)．所以，从线圈偏转的角度就能判断通过电流的大小．3．优、缺点：优点是高，能测出很弱的电流；缺点是线圈的导线很细，允许通过的电流很弱.【合作探究】1、为什么平行导线间同向电流相互吸引，反向电流相互排斥？2、．“安培定则(右手螺旋定则)”和“左手定则”有何区别和联系？3、磁电式电流表线圈处的磁场为何是辐射状的？【精讲点拨】1．判定安培力的方向应注意的问题在解决有关磁场对电流的作用问题时，能否正确判断安培力的方向是解决问题的关键，在判定安培力方向时要注意以下几点：(1)安培力的方向总是既与磁场方向垂直，又与电流方向垂直，也就是说安培力的方向总是垂直于磁场和电流所决定的平面．所以判断时要首先确定磁场与电流所确定的平面，从而判断出安培力的方向在哪一条直线上，然后再根据左手定则判断出安培力的具体方向．(2)当电流方向跟磁场方向不垂直时，安培力的方向仍垂直电流与磁场所决定的平面，所以仍可用左手定则来判断安培力的方向，只是磁感线不再垂直穿过手心，而是斜穿过手心．(3)在具体判断安培力的方向时．初学者由于受到静电力方向判断方法的影响，有时错误地认为安培力的方向沿着磁场方向．为避免这种错误，应该把静电力和安培力进行比较，搞清力的方向与场的方向的关系及区别． 例、下图表示放在匀强磁场里的通电直导线，直导线与磁场方向垂直，图中分别标出了电流、磁感应强度和安培力这三个量中的两个的方向，试标出第三个量的方向．(注：一般用“⊗”表示电流垂直纸面向里，用“⊙”表示电流垂直纸面向外．)2．安培力大小的计算计算安培力大小时，要注意理解和灵活应用公式F=ILB 和F=ILBsin θ.(1)公式F=ILB 中L 指的是“有效长度”．当B 与I 垂直时，F 最大，F=ILB ；当B 与I 平行时，F=0. 弯曲导线的有效长度L ，等于连接两端点直线的长度(如下图所示)；相应的电流沿L 由始端流向末端．(2)当磁场和电流成θ角时，如下图所示．将磁感应强度B 正交分解成B ⊥＝Bsin θ和B ∥＝Bcos θ，而B ∥对电流是没有作用的．F ＝B ⊥IL ＝BILsin θ，即F ＝BILsin θ.(3)安培力公式一般用于匀强磁场，或通电导线所处区域的B 的大小和方向处处相同．如果导线各部分所处的位置B 的大小、方向不相同，应将导体分成若干段，使每段导线所处的范围B 的大小和方向近似相同，求出各段导线受的磁场力，然后再求合力．3．通电导线在安培力作用下运动情况的判断方法（1）基本方法：首先确定导线所在位置的磁场分布情况，然后结合左手定则准确判断导线的受力情况，再根据力和运动的关系确定导线的的运动情况。
电磁学第三章课后习题答案电磁学第三章课后习题答案电磁学是物理学中的重要分支，研究电荷和电流之间相互作用的规律。
在电磁学的学习过程中，习题是巩固知识和提高能力的重要途径。
本文将为大家提供电磁学第三章的课后习题答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 一个导线的长度为l，电流为I，如图所示。
求导线两端的电势差。
答案：根据欧姆定律，电势差等于电流乘以电阻。
而导线的电阻可以通过电阻率乘以长度除以横截面积来计算。
所以，导线两端的电势差为V = I × (ρl/A)。
2. 一个导线的电阻为R，电流为I，如图所示。
求导线两端的电势差。
答案：根据欧姆定律，电势差等于电流乘以电阻。
所以，导线两端的电势差为V = I × R。
3. 一个导线的电阻为R，电流为I，导线的长度为l，电阻率为ρ，横截面积为A。
求导线两端的电势差。
答案：根据欧姆定律，电势差等于电流乘以电阻。
而导线的电阻可以通过电阻率乘以长度除以横截面积来计算。
所以，导线两端的电势差为V = I × R = I × (ρl/A)。
4. 在一个电路中，有一个电阻为R1的电阻器和一个电阻为R2的电阻器连接在一起，电流为I。
求两个电阻器上的电势差。
答案：根据欧姆定律，电势差等于电流乘以电阻。
所以，第一个电阻器上的电势差为V1 = I × R1，第二个电阻器上的电势差为V2 = I × R2。
5. 在一个电路中，有一个电阻为R1的电阻器和一个电阻为R2的电阻器连接在一起，电阻器之间的电势差为V。
求电流的大小。
答案：根据欧姆定律，电势差等于电流乘以电阻。
所以，V = I × (R1 + R2)。
解方程可得电流的大小为I = V / (R1 + R2)。
6. 一个电路中有两个电阻器，电阻分别为R1和R2，电流为I。
求电路中的总电阻。
答案：电路中的总电阻可以通过电阻器的并联和串联来计算。
如果电阻器是串联的，总电阻等于各个电阻器的电阻之和，即R = R1 + R2。
3.4通电导线在磁场中受到的力【课前预习】1、左手定则：。
2、垂直于磁场B放置、长为L的一段导线，当通过的电流为I时，它所受的安培力F为。
当磁感应强度B的方向与导线方向夹角成α角时，安培力的大小为3、磁电式仪表最基本的组成部分是和。
为了使电流表表盘的刻度均匀，两磁极间装有极靴，极靴中间又有一个铁质圆柱，使磁场都沿方向，线圈始终跟磁感线。
【课堂学习】一、安培力的方向1.安培力的方向与什么因素有关呢？演示实验（在右图中标出电流，磁感应强度，安培力的方向）左手定则：伸开左手，使大拇指跟其余四个手指垂直，并且都和手掌在一个平面内，把手放入磁场中，让磁感线垂直，并使指向电流的方向，那么，所指的方向就是通电导线在磁场中所受安培力的方向。
例1.条形磁铁放在水平桌面上，在其正中央的上方固定一根长直导线，导线与磁铁垂直，给导线通以垂直纸面向外的电流，则 ( )A磁铁对桌面压力减小，不受桌面的摩擦力作用B磁铁对桌面压力减小，受到桌面的摩擦力作用C磁铁对桌面压力增大，不受桌面的摩擦力作用D磁铁对桌面压力增大，受到桌面的摩擦力作用例2.如图所示，把一重力不计的通电直导线水平放在蹄形磁铁磁极的正上方，导线可以自由转动，当导线通入图示方向电流时，导线的运动情况是（俯视图）（）针对练习：判断下图中导线受安培力的方向A、顺时针方向转动，同时下降B、顺时针方向转动，同时上升C、逆时针方向转动，同时下降D、逆时针方向转动，同时上升2．通电平行直导线间的作用力方向如图，两根靠近的平行直导线通入方向相同的电流时，它们相互间的作用力的方向如何?电流相反的情况又如何呢？结论：二．安培力的大小同一通电导线，按不同方式放在同一磁场中(1)导线与磁场方向垂直时，F=(2)当导线与磁场方向平行时，F=(3)当磁场和电流成θ时，F= ，θ为夹角（4）安培力的范围是针对练习：将长度为20cm、通有0.1A电流的直导线放入一匀强磁场中，电流与磁场的方向如图所示已知磁感应强度为1T。
通电导线在磁场中受到的力一、教学目标核心素养层面：教学目标：1.知识与技能（1）知道安培力，会计算安培力的大小（2）知道安培力的方向与电流、磁场方向都垂直，会用左手定则判断安培力的方向；（3）知道磁电式电表的基本构造以及运用它测量电流大小和方向的基本原理.2.过程与方法（1）经历推导磁场中安培力的表达式，感受逻辑的力量；（2）通过学生分组实验，经历探究磁场对电流的作用力的方向和电流方向、磁场方向的关系这一过程，体验控制变量探究物理规律的方法.3.情感、态度与价值观（1）了解安培力在生产、生活中的作用，培养学生将科学技术服务于人类社会的意识；（2）经历磁场对电流的作用力的方向和电流方向、磁场方向的关系这一过程，培养学生的科学探究意识和正确的科学态度以及责任心.二、教学内容与学情分析1、教材分析：本节教材系人教版物理选修3-1第三章第4节的内容，磁场对电流的作用――安培力，在教材中起着承上启下的作用。
它不仅是与上节知识（磁场性质）的联系点，而且是学习电流表工作原理和推导洛伦兹力公式的基础。
安培力方向与电流、磁场方向关系的实验探究是采用控制变量法探究物理基本规律的一节课，涵盖了科学探究的基本因素，有助于培养学生物理学科的核心素养。
2、学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了磁场，知道了磁体和电流周围磁场的性质及特点，了解到磁体间的相互作用、电流周围存在着磁场以及电与磁之间有联系。
学生通过高一物理“必修”课程的学习，经历了牛顿第二定律等实验探究过程，已经掌握了变量控制实验探究的一些科学研究方法，为本节的探究性学习做了铺垫。
三、任务分解四、教学活动教学过程设计教师教学活动设计活动设计复习一：（1）图中已知磁场方向，根据安培定则判断电流方向？教师教学活动设计活动设计复习一：（1）图中已知磁场方向，根据安培定则判断电流方向？（2）图中已知电流方向，请判断小磁针转动方向？提出问题：（1）在通电导线旁边的小磁针为什么会转动？（2）根据逆向思维，小磁针的磁场会不会对通电导线也有力的作用呢？引入新课：【活动一】创设情境，提出本节课的核心任务（1）创设情景（视频展示）央视国际频道的一则电磁轨道炮的新闻. （2）提出课题电磁轨道炮，是一种新式武器，既安全精准又威力巨大，各国正在争相研发，它与常规炮弹靠化学剂的推动不同，电磁轨道炮利用的是一种新型的推进方式，它的原理是怎样的呢？这节课，我们就来揭秘“电磁轨道炮”.【活动二】感受小型“电磁轨道炮”，经历理性分析实验现象过程（1）介绍实验装置如图1，这也是一个小型的电磁轨道炮.它是由竖直向下的匀强磁场，金属轨道和炮弹（金属棒）组成.（2）实验演示将导体棒放在磁场中，接通电源，导体棒就通上电，同学们观察到：电磁轨道炮被发射出去了.（3）解释现象提问：通电导体棒为什么会被发射出去？说明什么？实验验证①撤去磁场，其它不变，发现金属棒不动.说明金属棒受到的力的施力物体确实是磁场；②切开电源，其它不变，发现金属棒不动.说明这个力是磁场对通电导线（电流）的力.（4）提出概念为了纪念法国物理学家安培在电磁学中做出的卓越贡献，我们把磁场对通电导线（电流）的力叫做安培力.（5）提出从刚才的实验中我们看到，安培力就是电磁炮发射的动力，为了有效的发射电磁轨道炮我们必须知道这个力的方向是怎样的，受哪些因素影响，下面我们通过实验来探究.新课教学：【活动三】实验探究安培力的方向与磁场方向和电流方向的关系演示：按照右图所示进行实验：复习电流磁效应，为后面做铺垫以尖端科技（电磁轨道炮）引入新课，学生感觉很新奇，可以有效激发学生学习兴趣，将学生的注意力集中到课堂.通过演示实验，模拟电磁轨道炮的发射过程，学生获得感性认识，为本课题学习提供必要的感性材料.通过对问题的参与与自我尝试，培养独立思考的品质和探索精神（科学态度）（1）改变导线中电流的方向，观察受力方向是否改变？（2）上下交互磁场的位置以改变磁场的方向，观察受力方向是否变化？（3）提出猜测通过刚才的演示，你认为安培力的方向跟哪些因素有关系呢？接下来我们通过分组实验来探究安培力方向与磁场、电流方向之间有怎样的关系.有没有更简洁的方法表达这个关系呢？课堂练习：练习1、2、3练习4：两条靠近的平行导线在通电时会出现什么现象？（看视频）（引导学生先理论分析，得到同向电流相互吸引，反向电流相互排斥.）【活动四】理论探究安培力大小的表达式提出问题：根据左手定则，我们可以准确的设定电磁炮的发射方向了，我们还需要进一步研究怎样让电磁炮具有更强的杀伤力，这与它的动力系统有着密不可分的联系.制约安培力大小的因素有哪些呢？下面我们进一步探究.（1）回顾B的定义提问：磁感应强度是怎样定义的？追问2：对导线的放置有什么要求？追问3：如果导线平行磁场放置，安培力是多大？追问4：如果导线与磁场既不平行也不垂直，安培力是多大？（介于零和垂直放置之间）下面，请同学们推导安培力的表达式.（2）理论推导特殊情况问1：当通电导线垂直磁场放置时，安培力大小？当通电导线平行磁场放置时，安培力大小？（3）理论推导一般情况，如果磁场与电流成θ角时，安培力表达式怎样？请各小组先讨论，并给出结论？（学生思考后给出两种方法，一种是分解B，另一种分解L，得到相同的结果F=BILsinθ，并认识到垂直和平行是两种特殊情况.）【活动五】揭秘电磁轨道炮（1）设置情景电磁轨道炮原理如图所示，整个装置可以把质量为20 g弹体（包括金属杆的质量）发射出去.若轨道宽2m，金属杆上电流为10 A，磁感应强度为1 T，经过t=2 s的加速，问弹体获得速度是多大？思考讨论：如果要提高电磁炮的发射速度，你认为可以怎么办？学生讨论后得到三种方式：①增大电流、②增强磁场、③减轻质量.【活动六】规律应用，探究磁电式电表的工作原理（1）观察磁电式电表如图8，让学生观察磁铁、铝框、线圈、螺旋弹簧、极靴、指针、铁质圆柱等构件，了解它们之中哪些是固定的，哪些是可以动的.（2）看书93页磁电式电流表第1—3段，分组讨论（屏幕上显示如下问题）问1：线圈的转动是怎样产生的？问2：线圈为什么不能一直转动下去？问3：为什么指针偏转角度的大小可以说明被测电流的强弱？问4：如何根据指针偏转的方向来确定电路上电流的强弱？问5：使用时要注意什么？（引导）前面我们学过右手螺旋定则，来表达电流方向和磁场的关系，这个方法很简洁的，我们能不能也类似的用手来表达这种关系呢？学生分组实验探究，经历规律发现过程，尝试用“左手”归纳判断安培力方向的方法，可以让学生最大程度的参与课堂；②借助小工具立体展现三个量的方向关系，体验空间关系构建方法.在定义磁感应强度时，学生经历了实验探究的过程，所以此处只进行理论探究，推导出安培力大小的表达式学生经历安培力方向的探究、安培力大小的探究、解决电磁轨道炮的问题，学生意识到看似神秘的电磁炮，其实它的原理并不深奥！先让学生观察磁电式电表的结构，再分组讨论、自学其工作原理，最后让。
物理与电子工程学院
注：教案按授课章数填写，每一章均应填写一份。
重复班授课可不另填写教案。
教学内容须另加附页。
总结：
1、E P 0
（1）极化率 各点相同，为均匀介质
（2）
i
p P
各点相同，为均匀极化
2、极化电荷体密度
S
S
S
d P S d P q d S d P q
（1）对均匀极化的介质：0 q
（2）特例：仅对均匀介质，不要求均匀极化，只要该点自由电荷体密度0000q ，则：， （第5节小字部分给出证明）
3、极化电荷面密度 n
P P ˆ12
2P 、1P
分别为媒质2、1的极化强度，n
ˆ为界面上从2→1的法向单位矢。
当电介质置于真空（空气中）或金属中：
n P n P ˆ n P
：电介质内的极化强度 n ˆ：从电介质指向真空或
金属的法向单位矢。
例（补充）：求一均匀极化的电介质球表面上极化电荷的分布，以及极
化电荷在球心处产生的电场强度，已知极化强度为P。
-
-z
解：（1）求极化电荷的分布，取球心O 为原点，极轴与P
平行的球极
坐标，选球表面任一点A （这里认为置于真空中），则：
学习资料
A n
P ˆ
由于均匀极化，P 处处相同，而极化电荷 的分布情况由A n
ˆ与P
的夹角而定，即 是θ的函数（任一点的n
ˆ都是球面的径向r ˆ） A A A P n P cos ˆ
任一点有：
cos P
所以极化电荷分布：
140230030
22P
右半球在、象限，左半球在、象限，左右两极处，，最大上下两极处，，最小 （2）求极化电荷在球心处产生的场强
由以上分析知 以z 为轴对称地分布在球表面上，因此 在球心处产
生的E
只有z 轴的分量，且方向为z 轴负方向。
在球表面上任意选取一面元S d
，面元所带电荷量dS q d
，其在球心O 处产生场强为：
R R dS E d ˆ42
其z 分量为： cos 4cos 2
0R
dS
E d E d z （方向为z 轴负方向） 全部极化电荷在O 处所产生的场强为：
2
0222
0cos 4cos sin cos 4z S
dS
E dE R
P R d d R
乙
220
00
cos sin 1
2cos cos 423P d d P d P
E
的方向为z 轴负方向，大小为0
3 P 。
例1：书P103例题1
半径为R ，电荷量为0q 的金属球埋在绝对介电常量为 的均匀无限大
电介质中，求电介质内的场强E
及电介质与金属交界面上的极化电荷面密
度。
ε
解：（1）由于电场具有球对称性，故在介质中过P 点作一个半径为r
与金属球同心的球面S 为高斯面，S 上各点的D
大小相等且沿径向，由高
斯定理得：
0S
D ds q v v Ò
2
04r D q 00
22ˆ44q q D D r r r
v
因 E D
，得：
0020
ˆ0ˆ4ˆ0q E r
q E r r q E r v
v v ，与同向,背离球心，与反向,指向球心
（2）在交界面上取一点B ，过B 点作界面的法线单位矢n
ˆ（由介质指向金属），则：
0ˆˆB B P n
E n v v
而0
2
ˆ4B q E r R
v 00
2
4q R
又 0
001
故 00000
022
44q q R R
讨论：（1）0
，故交界面上 与0q （0 ）始终反号：0q 为正，
则 为负；0q 为负，则 为正。
（2）交界面上的极化电荷总量为：
2
04q R q
即 0q q ： 极化电荷绝对值小于自由电荷绝对值。
（3）交界面上的总电荷量为：0
0r q q q q
这说明总电荷减小到自由电荷的r 1
倍。
（4）把介质换为真空，则场强为
02
0ˆ4q r
r
，此式与前面有介质时的结果比较知：充满均匀介质时场强减小到无介质时的
r 1
倍：
2
2
041
4r q r q r
例2（补充）：类似于P104例题2
平行板电容器两极板面积S ，极板上自由电荷面密度 ，两极板间充满电介质1 、2 ，厚度分别为d 1、d 2，①求各电介质内的电位移和场强；②电容器的电容。
解：（1）如图，由对称性知介质中的E 及D 都与板面垂直。
在两介质分界面处作高斯面S 1，S 1内自由电荷为零，故有
1
11210S D ds D S D S
v v
Ò
得 D 1=D 2
为求电介质中D 和E
的大小，作另一高斯面S 2，对S 2有：
2
1221S D ds D S S D
v v
Ò
而
2212111E D D E D ，
11012202r r E E
（2）正负两极板A 、B 间的电势差为：
221
122112211 d d S q d d d E d E V V B A
∴ 2
211 d d S
V V q C B A
（此电容值与电介质的放置次序无关）
也可理解为两电容的串联：C d C d C
2
221
11S
S
， =结果
例1：书上P112例题
在均匀无限大电介质中有一个金属球，已知电介质的绝对介电常量为
，金属球的半径和自由电荷分别为R 及q 0，求整个电场的能量。
ε
解：（1）电场的分布：前例已求出，介质中的电位移为：
0202
ˆ4ˆ4q D r r q E r r
v
v
而金属内部：00 E D
（2）场能体密度：2
E
D
=
202432q r 整个电场的能量为：
2
2024
sin 32q W dV r drd d r
（=
2
2024
432R
q r dr r
）
=
2
2200221
sin 328R
o o q q dr d d r R
例2（补充）：平行板空气电容器，极板面积S ，间距d ，用电源充电后，
两极板上带电分别为±Q 。
断开电源后，再把两极板的距离拉开到2d 。
求（1）外力克服两极板相互吸引力所作的功；（2）两极板之间的相互吸引力（空气的介电常量取为0 ）
解法1：由静电能求解
（1）两极板的间距为d 和2d 时，平行板电容器的电容分别为：
10
202S
S
C C d d
极板间带电±Q 时所储存的电能分别为：
22212100122Q Q d Q d W W C S S
拉开极板后，电容器中电场能量的增量为：
22102Q d
W W W S
由于电容器两极板间有相互吸引力，要使两极板间的距离拉开，外力必须作正功，而外力所作的功应等于两极板间电场能量的增量，即：
2012Q d
A W S
外
（2）设两极板间的相互吸引力为F ，拉开两极板时，所加外力应等于F ，外力所作的功： A F d F F 外外，而
∴ 2
02A Q F F d S
外
解法2：由电场的能量求解
两极板的间距为d 和2d 时，极板间电场大小为：
1200Q E E S
极板间场能体密度：
2
2
01122022E Q S
两极板间的电场为均匀电场，能量的分布也是均匀的，所以极板间整个电场的能量为：
2111102Q d
W V Sd S
22202Q d
W S d S
后面的计算与前面解法1相同。
例3（补充）：
计算一个球形电容器电场中所储存的能量。
解：在半径为r 的球面上（R A ≤ r ≤R B ）电场强度是等值的（方向沿
球半径方向），取体积元（在电场区域）dr r dV 2
4 ，其中的电场能量为：
dr r E dV E dV dW 22222
1
全部电场中所储有的能量为：
B A
R R R R R R Q dr r r Q dr r E dW W B
A
B
A
118422222
22
2 =C Q R R R R Q A
B B A 2
22142
1。
