结构力学9

(1) 简支梁 m = 1, EI = 1, l = 1 。不考虑轴向变形， K 为2x2矩阵。 1. 将消为K 2. 分别计算ω 为9和10的 K （J0=0 ) 3. 观察对角线元素正负号的变化，可得出什么结论？ (2) 十字型刚架，各杆长 l =1，且 m = 1, EI = 1, EA = ∞ 试计算前4阶频率的近似值。
参考文献
[1] W. H. Wittrick and F. W. Williams, A general algorithm for computing natural frequencies of elastic structures, Q. J. Mech. Appl. Math. 24(3):263-284(1971). [2] F. W. Williams and W. H. Wittrick, An automatic comptational procedure for calculating natural frequencies of skeletal structures, Int. J. Mech. Sci. 12: 781-791(1970). [3] Yuan Si, Ye Kangsheng and F. W. Williams, Towards exact computation of vibration modes in dynamic stiffness matrix methods, Proc. of 5th Int. Conf. On Structural Engineering for Young Experts, Augast, Shenyang, 1998.
7(II) - 1
§5 频率的计算
§5.1 频率数 JK 的确定
J K = s{K (ω *)}
上三角阵 K 对角 线上负元素的个数 对角阵 D 对角 线上负元素个数
将 K 做普通的 LDLT 分解（不换行）： JK = count(mask=Diag(:)<zero, dim=1) F90 内部函数
固端频率：
(2) ω Fix = π , π , π , 2π , …
1 2
3 2
重合频率： 3 1 π, π,… 2 2
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k
(1)
ω cos ω 1 = sin ω 1 cos ω
cos ω 换为 cos 2ω
k (2)
sin ω 换为 sin 2ω
cos ω + cos 2ω sin ω sin 2ω K =ω 1 sin 2ω cos ω + cos 2ω sin ω sin 2ω K = ω 0
+ x
1
1/4
+ x
ωπ
K
1/5
+ x
x +
J0
0 0 0
0 1 1
0 1 1
1 1 2 …
3 1 4
JK
J
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算例 2：
十字型刚架，各杆长 l =1，且 m = 1, EI = 1, EA = 10000 解：
(3) (2) (1) (4)
K1 K =0 0
0 K1 0
0 0 K2
(1 (3 K1 = 2( k11) + k 22 ) ), (1 K 2 = 4k33)
e k11 = ν ctg(ν )
EA EI EI e e , k 22 = T 3 , k33 = S l l l
ω = λ2 , ν = λ2 100
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1 sin 2ω cos 2ω sin 2ω 2 cos ω sin ω (3 4 cos ω ) 4 cos 4 ω 5 cos 2 ω + 1
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1 sin 2ω
单元 2
单元 1和 2
ω Fix π
频率数：
1/2 1
1/8
+ x +
1 2
3/4 … … 6/5
λ ω
K
J0
3.5 12.25
+ + +
0 0 0
0 1 1
0 3 3
4 0 4
4 0 4
4 1 5
4 3 7
8 0 8
JK
J
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算例 1：
轴向振动：m = l = EA = 1
(1)
(2) 2l
解：
ν (1) = ω , ν ( 2 ) = 2ω
由解析解可知：
l
两个单元
1 1 5 7 3 整体频率： ω = π , π , π , π , π , … 6 2 6 6 2
(1) ω Fix = π , 2π , 3π , 4π , …
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3）结果分析 (ω l , ω u ) — （收敛后的）频率区间 则在频率区间内： 频率数： 固端频率数：
N r = J ωu J ωl N r 0 = J 0 ωu J 0 ωl
即频率区间 (ωl , ωu ) 内共有 Nr 个频
Nr0 率，有
个单元固端频率。
若 Nr ≤ Nr0 > 0 ，则所有频率为固端频率。
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§5.2 固端频率数J0的确定
低于ω * 的所有单元固端频率的数目: 弯曲振动 (bending)
J0 = ∑ J e = ∑(Ja + J b )
e e
单元 e
轴向振动 (axial)
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(1) J a
m ν = ωl 固端频率方程： sin(ν ) = 0 EA ν = kπ , k = 1, 2, 3,…
ν * J a = Int π
Int[ ] — 截断取整
F90: Ja = int(nu/pi)
(2)
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(2) J b
固端频率方程： 1 chλ cosλ = 0ຫໍສະໝຸດ λ =l5π 24
ω m
2
EI
… … …
λ
cos λ
0
π
2
π
-1 +
3π 2
2π 1
3π -1 +
1 0
0 1
2）微调频率区间 再采用二分法，直至 注： 绝对误差控制：ω u ω l ≤ Tol 相对误差控制：ω u ω l ≤ Tol ω u
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ωl < ωk < ωu
或
ω k ∈ (ω l , ω u )
ω u ω l ≤ Tol (1 + ω u )
用户 指定 的误 差限
F90例： ! 求第k个频率 freq1 = one freq2 = ten do ! find a lower bound for freq(k) call Calculate_J0(J01, freq1,Elem) call Calculate_Jk(Jk, freq1,GKcol,Elem) J_l = J01 + Jk if (J_l < k) exit freq1 = freq1/two end do do ! find an upper bound for freq(k) call Calculate_J0(J02, freq2,Elem) call Calculate_Jk(Jk, freq2,GKcol,Elem) J_u = J02 + Jk if (J_u >= k) exit freq2 = freq2*two end do
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评注：
简单、方便、可靠、任意精度 不丢根漏根，单根、重根均可处理 一个杆件一个单元 普通的LDLT分解或Gauss消去法即可（不必选主元） 只作分解或前消去，无须回代过程 保留 K 的带状稀疏性 万一 K 奇异，只需稍调整一下频率值即可
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习题：
(
)
(3)
F90: sg = sng(1,one-cosh(lambda)*cos(lambda)) i = int(lambda/pi) Jb=i-(1-(-1)**i*sg)/2
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§5.3 实施
1）粗略确定上下界 若求第 k 个频率 ω k ，只需不断调整
J ωu ≥ k ωu 则有 使得 ωl J ωl ≤ k 1
改
λFix = 4.73004,
频率数：
7.85, … 1
4 16
+ +
2
4.73 22.37
1
5 25
+ + +
1
7 49
+ + +
2
7.7 7.8 59.29 60.84
+ +
1
8 64
+ + +
0 1
1 chλ cos λ 0 1
图形示例： 2 kπ , 2 kπ + π 2 kπ π , 2 kπ 中 根总位于 或 2 2
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归纳整理后有：
1 i J b = i 1 ( 1) sign(1 chλcosλ ) 2 λ i = Int π Int[ ] — 截断取整
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do ! find the Freq by narrowing the interval freqm = (freq1+freq2)/two call Calculate_J0(J0, freqm,Elem) call Calculate_Jk(Jk, freqm,GKcol,Elem) Jm = J0 + Jk if (Jm >= k) then freq2 = freqm J_u = Jm J02 = J0 else freq1 = freqm J_l = Jm J01 = J0 end if if ( (freq2-freq1)<=Toler*(one+freq2) ) exit end do