10粒子在单粒子态上的分布解析

二、玻色分布
一个单粒子态可以容纳任意个玻色子 n 个玻色子占据能量为ε的单粒子态时 可能状态 ( N , E n )：
(0， 0 ) (1, ε ) (2, 2ε )LL
巨和： ξ = ∑ e −αN n − βE n
n
N 0 1 2 状态 3 … n … 系统的巨和：
ε
0 ε 2ε 3ε … nε …
对照B (ε ) 可看作是单粒子系统的正则分布
1 −ε / kT 乘以 e Z1
系统的粒子数 N。 一个 N 粒子系统看作由 N 个单粒子系统构成， 系统的配分函数为 各子系统配分函数之积： 定域粒子(第八章)： Z = ( Z 1 ) N 1 非定域粒子(理想气体系统)： Z = (Z1 ) N N! 3、状态的准经典描述 Z 1 ~ Ω(ε )dε ： Ω(ε )dε → Z 1 在ε~ε+dε区间内，单个自由粒子的状态数为： V 2m 3 / 2 1 / 2 Ω (ε ) d ε = ( ) ε dε ←粒子微观性质得到； 4π 2 h 2 对经典粒子来说， 采用其坐标和动量(x, y, z, Px, Py, Pz)描述粒子的 状态。 相空间（状态空间） ：采用坐标和动量为轴构成的空间 在单粒子状态空间中，每个状态平均占有相空间体积为： h r [ h —普朗克常数， r —为粒子自由度] 因而状态数与相空间大小成正比。
N = ∫ e (μ −ε ) / kT ⋅ cε
0
∞
1
2
dε = ce μ / kT ∫ e −ε / kT ⋅ ε
0
/ kT
∞
1
2
dε ← x = ε
1
2
N = 2ce =V(
μ / kT
∞

单粒子状态的量子描述
3
分布和微观状态
例1 一维无限深势阱（宽L，粒子质量m）
4
8例4 转子
2
2
(1),0,1,2,... 212l l l l l g l I ε+===+=l 为角量子数
9
微观状态数
10
Boltzmann系统
粒子可以分辨，量子态容纳的粒子数不受限制Bose 系统
粒子不可以分辨，量子态容纳的粒子数不受限制，自旋量子数为整数，
Fermi系统
粒子不可以分辨，量子态容纳的粒子数最多为
1，自旋量子数为半整数
11
16
Bose system （确定量子态上粒子数）
Bose
1984.1.1-1974.2.4{}..(1)!!(1)!i i B E i i i i n g W n n g +−=−∏
17
Fermi system （确定量子态上粒子数）Pauli 不相容原理
Bose (1984-1974)
i i
g n ≥相当于从g i 个量子态中挑出n i 个来
为粒子所占据
!!()!i i
n i i g i i i g W C n g n ==−{}.!!()!i F D i i i i i g W n n g n =−∏
27
Bose分布（确定量子态上粒子数）
33
34
利用Lagrange待定乘子法
α，β由约束条件定，物理意义？
35
Fermi 分布
类似Bose分布
37
半经典分布
条件：
48。

等离子体行为的双重性
流体／单个粒子的集合

什么是单粒子轨道理论？
是一种简单近似的理论； 忽略等离子体粒子之间的相互作用，认为集体 效应不重要的理论； 从单个带电粒子在电磁场中的运动方程出发； 用单个带电粒子在电磁场中的运动轨道描述等 离子体。
适用条件 稀薄等离子体，粒子密度很低，粒子间的相互 作用可以忽略，认为等离子体是无碰撞的； 电荷及电流的分布在动力学中不起主要作用； 感应场与外加场比起来是小量； 等离子体热压与磁压之比很小。 优点 简单直观，物理图象清晰。 意义 是一种有用的基本描述方法； 是研究复杂问题的出发点； 在强磁场情况下具有实际意义。
(11.2)
对（11）式求时间导数，得到
图2 电漂移
d vx dt
2 2
2
vx
2 2
qE Ω m
,
(12.1)
d vy dt
2
vy 0 ,
(12.2)
很容易得到方程（12）的解
v x v cos t a v y v sin t a E B (13.2) (13.3) (13.1)
dΩ dy
,
(21.2)
d vy dt
2
(21.3)
我们采用漂移近似，磁场满足缓变条件
rc B B
粒子旋转一周的过程中磁场几乎不变，所以可 以在引导中心附近展开
y y0 y y0 d dy | y y 0 y y 0 （22） 0 0


回旋频率 回旋半径（拉摩半径） 引导中心（导向中心） 磁距 等离子体抗磁性
二、带电粒子在均匀电磁场中的运动

ˆ (q ) (q ) (q ) 其中 H 0 k m k m m k
注：交换简并显然存在： ) j ( )k ( ) 中填 粒子交换只不过是 i ( 入不同的排列，它们仍是 H 的属于 E 的本征函数。 2、对称化波函数与泡利原理 描述全同粒子体系的波函数必须是对称化的波函数。 交换简并的存在使我们有可能把波函数进行线性组合。
可以证明下面两个函数是H的属于能级E的本征函数 (q1 , q 2 ) i (q1 ) j (q 2 ) ( 7 .7 2 ) (q 2 , q1 ) i (q 2 ) j (q1 )
ˆ (q , q ) [ H ˆ (q ) H ˆ (q )] (q ) (q ) 证明： H 1 2 0 1 0 2 i 1 j 2
ˆ ， 则称 A 若P 为交换反对称波函数。 ij A A 交换对称性或反对称性是全同粒子体系波函数的特殊的 固有的性质，因此也是(微观)粒子的特殊的、固有的性质。 它决定了粒子所服从的统计。
也就是说，描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或 反对称的，它们的对称性不随时间改变。 这一点可以从全同粒子体系的哈密顿算符是粒子交换下不变 的这点出发,很易得到证明. 全同粒子体系的哈密顿算符是粒子交换不变的
其中
ˆ ( s s s ) ( s s s ) E ( s s s ) H 1 1 N 1 1 N s 1 1 N
对于两个费米子体系的情况，只有如下两种形式：
(q1q2 q N ) (r1 r2 rN ) ( s1 s2 s N ) ˆ H (r1 r2 rN ) (r1 r2 rN ) Er (r1 r2 rN )
2 2 2 ˆ [ H 1 U (q1 )] [ 2 2 U (q 2 )] 2 2 ˆ H ˆ (q ) H ˆ (q ) H