空心方阵和实心方阵课件概论

方阵问题☜知识要点方阵是指行数和列数相等的正方形队形。

方阵的分类：实心方阵和空心方阵。

实心方阵是指，每行个数与每列个数相等的方阵。

空心方阵是指，行数等于列数，但每行个数和每列个数不完全相等的方阵。

空心方阵中，里层比外层的一边少2个数，里层的总个数一定比外层的总个数少8个。

实心方阵总数=每行个数×每列个数空心方阵总数=（最外层每边个数－层数）×层数×4☜精选例题【例1】：81人排成一个实心方阵，这个方阵每边多少人？☝思路点拨：根据实心方阵总数公式，将81拆成两个相同的整数相乘的形式，这个数就是方阵最外层每边所站的人数。

☝标准答案：9×9=81（人）答：这个方阵每边9人。

✌活学巧用1、100人排成一个实心方阵，这个方阵每边人数是多少？2、每边站13人，可以排成一个共有多少人的实心方阵？3、121人排成一个实心方阵，这个方阵每边多少人？【例2】：甲用棋子摆了一个实心方阵，后来又用了7个棋子添上，使得原方阵增加一行一列，成为一个大一点的实心方阵。

求原来这个实心方阵共有多少棋子？☝思路点拨：通过对实心方阵的观察可以知道，原有的行和列需要的的棋子数相同，原来每边的个数=（7－1）÷2=3（个）原来的棋子共有3×3=9（个）思考：如果是减少一行一列共去掉了7个棋子，那么这个实心方阵原来共有多少个棋子呢？☝标准答案：3×3=9（个）答：原来的实心方阵有9个棋子。

✌活学巧用1、一个正方形花坛，原来放了一些花，组成一个实心方阵，后来又运来21盆花添上去，使每行每列各增加一排，成了一个大一点的实心方阵，问原来放了多少盆花？2、运动会入场式要求运动员排成一个10行10列的正方形方阵，如果去掉2行2列，要减少多少名学生？3、一个由棋子组成的实心方阵，如果减少一行一列，共减少了9颗棋子，问原来这个实心方阵共有多少颗棋子？【例3】：将16人围成一个一层空心方阵，问每边站几人？☝思路点拨：根据空心方阵总数=（最外层每边个数－层数）×层数×4。

方阵问题(2010-05-11 11:15:10)转载▼分类：数学标签：杂谈方阵其实是一种队形，一个团队排队,横着排叫行,竖着排叫列,若行数与列数都相等,正好排成一个正方形,这种队形就叫做方阵。

将一些物体按照这样的方式排列起来，也叫做方阵。

方阵一般分为两类：实心方阵和空心方阵。

其基本特点是：不论哪一层,每边上的人(或物)数量都相同；每向里一层,每条边上的人(或物)就少2，每一层的人(或物)的总数就少4。

1、方阵不论哪一层,每边上的人(或物)数量都相同,每向里一层,每边上的人数就少2。

2、每边人(或物)数和四周人(或物)的关系;四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+13、中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数4、空心方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－空心方阵的层数）×空心方阵的层数×46、方阵外一层总人数比内一层的总人数多87、去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数*2-1通过点子图理解方阵的特点及方阵问题中的四个数量关系第一个空心方阵的总点数：（11-3）×3×4=56（点）；第二个实心方阵外层点数：（9-1）×4=32（点例题讲解例1、某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是96人，问这个学校共有学生？分析：要求出学校总人数，就要求出每边有多少人？要求每边人数，利用已知，最外层的人数是96人，利用公式2，可以求出每边上的人数。

每边人数=96/4+1=25公式3：中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数25*25=625例2、明明用围棋子摆成一个三层空心方阵，如果最外层每边有围棋子15个，明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子？摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子?第一问：可以用2种方法解答第一种：利用公式1：方阵不论哪一层,每边上的人(或物)数量都相同,每向里一层,每边上的人数就少2最外层每边15个，里边一层每边（15-2），再往里一层每边（15-2-2）个知道最里边每边有（15-2-2）个利用公式2：四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4（15-2-2-1）*4=40个第二种方法：利用公式2，求出最外一层四周有多少个：（15-1）*4=56个利用公式6：方阵外一层总人数比内一层的总人数多8，56-8-8=40个第二问：可以用2种方法解答第一种：最外边四周有几个：（15-1）*4=56里边一层四周有几个：（15-2-1）*4=48最里边一层有几个：（15-2-2-1）*4=40共用：56+48+40=144第二种利用公式4：空心方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4（15-3）*3*4=144例3、军训的学生进行队列表演，排成了一个7行7列的正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉多少人？还剩下多少人？利用公式：去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数*2-1例4、国庆节前夕，在街中心一塑像的周围，用204盆鲜花围成一个每边三成的方阵。

每边数=每层数÷4+1每边数=（每横排与每竖排之和-1）÷2每层数=（每边数-1）×4空心方阵：总数=大实心方阵数-小实心方阵数总数=（最外层每边数-层数）×层数×4总数=（最外层数+最内层数）×层数÷2最外层每边数=总数÷4÷层数+层数空心方阵外边人数=总人数/4/层数+层数总人数/4=每一层一边的人数总和-层数*1 而且每一边人数都是成等差数列的. 总人数/4/层数=中位数-1中位数+层数-1=最外边的人数2、小华用围棋摆了一个六层的空心方阵,共用264颗棋子,问最里层有多少个棋子对于空心方阵，最外层每边数=总数÷4÷层数+层数最外层每边数=（264/4/6）+6=17人共六层，最外一层与最里一层相差5层。

每层每边数差两个，所以最里层每边数=17-5*2=7个那么最里层个数是4*7-4=24个。

或者这样理解：方阵每层相差8个。

那么从里向外数，第二层比第一层多8个第三比第一层多16个，第四层比第一层多24个，第五层比第一层多32个，第六层比第一层多40个；那么最里一层就是（264-8-16-24-32-40）/6=24个3、一个两层空心方阵最外层有16人，一共多少人最外层16人-四个角4人=12人12/4=3，即每个边3人内层每个边应该比外层少2人以占角拐弯，故每个边仅1人，加上4个角，内层共8人综上，内外两层共24人总而言之，就是外层每排5人，内层每排3人，最中间空出一个人位置的两层空心方阵。

4、方阵问题1、方阵外一层总人数比内一层的总人数多82、每边人数与该层人数关系是：最外层总人数＝（边人数－1）×43、方阵总人数＝最外层每边人数的平方4、空心方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－空心方阵的层数）×空心方阵的层数×45、去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数*2-1例：某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是96人，问这个学校共有学生？析：最外层每边的人数是96/4+1＝25，刚共有学生25*25=625例：五年级学生分成两队参加学校广播操比赛，他们排成甲乙两个方阵，其中甲方阵每边的人数等于8，如果两队合并，可以另排成一个空心的丙方阵，丙方阵每边的人数比乙方阵每边的人数多4人，甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心。