二次函数

专题十一 二次函数图象及其性质一、考点扫描1、理解二次函数的概念：y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a ≠0)2、会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标)44,2(2a b ac a b --、对称轴ab x 2-=和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；3、会平移二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象得到二次函数y ＝a(x ＋k)2＋h 的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想； 4、会用待定系数法求二次函数的解析式；5、利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。

二、考点训练1、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图，则点M （b ，c a）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（第1题） （第2题） （第6题）2、 已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图2所示，•则下列结论：①a 、b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x 的值只能取0.其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3、二次函数y=x 2的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式是（ ） A.y=x 2+3 B. y=x 2-3 C. y=（x+3）2 D. y=（x-3）24、二次函数y=-（x-1）2+3图像的顶点坐标是（ ） A ．（-1，3）B ．（1，3） C ．（-1，-3） D ．（1，-3）5、（2006年南充市）二次函数y=ax 2+bx+c ，b 2=ac ，且x=0时y=-4则y 的最值是（ ） A ．最大值-4 B ．最小值-4 C ．最大值-3 D ．最小值-36、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a>0；②c>0；•③b 2-4ac>0，其中正确的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7、（2006年常德市）根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y•的对应值，判断方程ax 2+bx+c=0（a ≠0，a ，b ，cA ．6<x<6.17B ． 6.19<x<6.208、（06年长春）函数y=x 2+bx-c 的图象经过点（1，2），则b-c 的值为______．9、（06年宿迁市）将一抛物线向左平移4个单位后，再向下平移2个单位得抛物线y=x 2，•则平移前抛物线的解析式是________． 10、（06年锦州市）已知二次函数的图象开口向上，且顶点在y 轴的负半轴上，请你写出一个满足条件的二次函数的表达式________． 三、例题剖析 1、如图，在坐标系中，二次函数y=ax 2+c （a ≠0）的图象过正方形ABOC •的三个顶点A ，B ，C ，则ac 的值是________．2、观察下面的表格：（1）求a ，b ，c 的值，并在表格内的空格中填上正确的数； （2）求二次函数y=ax 2+bx+c 图象的顶点坐标与对称轴．3、13．（2006年南通市）已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A ，B ，C 三点，当x ≥0时，•其图象如图所示． （1）求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标； （2）画出抛物线y=ax 2+bx+c 当x<0时的图象；（3）利用抛物线y=ax 2+bx+c ，写出x 为何值时，y>0．4、（06年长春市）如图，P 为抛物线y=34x 2-32x+14上对称轴右侧的一点，且点P 在x 轴上方，过点P 作PA 垂直x 轴于点A ，PB 垂直y 轴于点B ，得到矩形PAOB ．若AP=1，求矩形PAOB 的面积．四、综合应用 1、（2006年烟台市）如图（单位：m ），等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方形移动，直到AB 与CD 重合．设x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym 2． （1）写出y 与x 的关系式；（2）当x=2，3.5时，y 分别是多少？（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.2、（06年常州市）在平面直角坐标系中，已知二次函数y=a （x-1）2+k •的图像与x 轴相交于点A 、B ，顶点为C ，点D 在这个二次函数图像的对称轴上，若四边形ABCD •是一个边长为2且有一个内角为60°的菱形，求此二次函数的表达式．专题十二 二次函数的应用一、考点扫描二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二、例题剖析 1、（2006年旅顺口区）已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF=2，BF=1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积．2、某产品每件成本10y （件）之间的关系如下表：若日销售量y 是销售价x 的一次函数．（1）求出日销售量y （件）与销售价x （元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？•此时每日销售利润是多少元？3、在距离地面2m 高的某处把一物体以初速度V 0（m/s ）竖直向上抛出，•在不计空气阻力的情况下，其上升高度s （m ）与抛出时间t （s ）满足：S=V 0t-12gt 2（其中g 是常数，通常取10m/s 2），若V 0=10m/s ，则该物体在运动过程中最高点距离地面________m ．4、影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．•有研究表明，晴天在某段公路上行驶上，速度为V（km/h）的汽车的刹车距离S（m）可由公式S=1100V2确定；雨天行驶时，这一公式为S=150V2．如果车行驶的速度是60km/h，•那么在雨天行驶和晴天行驶相比，刹车距离相差_________米．5、（06年南京市）如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10．在EF上取一点M，•分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN～矩形ABCD．令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S 有最大值？最大值是多少？6、（2006年青岛市）在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕，•某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市（1）在直角坐标系内，作出各组有序数对（x，y）所对应的点．连接各点并观察所得的图形，判断y与x之间的函数关系，并求出y与x之间的函数关系式；（2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式，并求出当x取何值时，P的值最大？7、施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米，现在O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）．（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；（2）求出这条抛物线的函数解析式；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．三、综合应用1、如图10，点A 在抛物线214y x =上，过点A 作与x 轴平行的直线交抛物线于点B ，延长AO,BO 分别与抛物线218y x =-相交于点C,D ，连接AD,BC ，设点A 的横坐标为m ，且m>0．（1）当m=1时，求点A,B,D 的坐标； （2）当m 为何值时，四边形ABCD 的两条对角线互相垂直； （3）猜想线段AB 与CD 之间的数量关系，并证明你的结论．2、如图，已知抛物线234y x bx c =-++与坐标轴交于A 、B 、C 三点，点A 的横坐标为-1，过点C(0,3)的直线334y x t=-+与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，PH ⊥OB 于点H ．若PB=5t ，且0<t<1． （1）确定b c ，的值：__________b c ==，；（2）写出点B Q P ，，的坐标（其中Q P ，用含t 的式子表示）： (______)(______)(______)B Q P ，，，，，；（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使PQB △为等腰三角形？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由．图10专题十三函数的综合应用一、考点扫描函数应用1.:2.:3.:4.⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩一次函数图像及性质二次函数图像及性质反比例函数图像及性质综合应用二、考点训练1．在函数y=2x，y=x+5，y=x2的图象中是中心对称图形，且对称中心是原点的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2．下列四个函数中，y随x的增大而减少的是（）A．y=2x B．y=-2x+5 C．y=-3xD．y=-x2-2x-13．函数y=ax2-a与y=ax（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）4．函数y=kx-2与y=kx（k≠0）在同一坐标系内的图象可能是（）(第5题) (第6题) 5．如图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图象，观察图象写出y2 ≥y1时，x的取值范围__________．6．（2006年旅顺口）如图是一次函数y1=kx+b和反比例函数y2=mx的图象，•观察图象写出y1>y2时，x的取值范围是_________．7．（2005年十堰市）在同一平面直角坐标系中，函数y=kx+k，y=kx（k>0）•的图像大致是（）8．（2005年太原市）在反比例函数y=kx中，当x>0时，y随x的增大而增大，则二次函数y=kx2+2kx的图像大致是。

三、例题剖析 1、（2005年海门市）某校八年级（1）班共有学生50人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a 元．经测算和市场调查，•若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其他费用780元，其中，纯净水的销售价（元/桶）与年购买总量y （桶）之间满足如图所示关系．（1）求y 与x 的函数关系式；（2）若该班每年需要纯净水380桶，且a 为120时，请你根据提供的信息分析一下：•该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买材料，哪一种花钱更少？ （3）当a 至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算？从计算结果看，•你有何感想（不超过30字）？2、一蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜，根据今年的市场行情，预计从5月1•日起的50天内，它的市场售价y 1与上市时间x 的关系可用图（a ）的一条线段表示；它的种植成本y 2与上市时间x 的关系可用图（b ）中的抛物线的一部分来表示．（1）求出图（a ）中表示的市场售价y 1与上市时间x 的函数关系式． （2）求出图（b ）中表示的种植成本y 2与上市时间x 的函数关系式．（3）假定市场售价减去种植成本为纯利润，问哪天上市的这种绿色蔬菜既不赔本也不赚钱？ （市场售价和种植成本的单位：元/千克，时间单位：天）3、如图，一次函数y=ax+b 的图象与反比例函数y=mx的图象交于A 、B 两点，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ．已知tan ∠AOC=12，点B 的坐标为（12，-4）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△AOB 的面积．三、综合应用 1、（2006年潍坊市）为保证交通完全，汽车驾驶员必须知道汽车刹车后的停止距离（开始刹车到车辆停止车辆行驶的距离）与汽车行驶速度（开始刹车时的速度）的关系，以便及时刹车．下表是某款车在平坦道路上路况良好（1）•给出以下三个函数①y=ax+b ；②y=kx（k ≠0）；③y=ax 2+bx ，请选择恰当的函数来描述停止距离y （米）与汽车行驶速度x （千米/时）的关系，说明选择理由,并求出符合要求的函数的解析式；（2）根据你所选择的函数解析式，若汽车刹车后的停止距离为70米，求汽车行驶速度．专题十四 用函数的观点看方程（组）或不等式一、考点扫描二、考点训练 1．（2006年广西省）已知y=-2x+m ，当x=3时，y=1，则直线y=-2x+m 与x 轴的交点坐标为_______． 2．若直线y=12x-2与直线y=-14x+a 相交于x 轴，则直线y=-14x+a 不经过的象限是_____．3．若不等式kx+b>0的解集为x>-2，则直线y=kx+b 与x 轴的交点为_____． 4．（2006年衡阳市）如图，直线y 1=k 1x+b 1与直线y 2=k 2x+b 2交于点（-2，2），则当x____时，y 1<y 2．(第4题)5．若方程2x +bx+c=0有两个不相等的实数根，则抛物线y=2x +bx+c 与x 轴有____个交点．6．直线y=ax+b 与y=ax 2+bx+c （a ≠0）的交点为（-1，2）和（3，-4），则方程组2y ax by ax bx c=+⎧⎨=++⎩ 的解为_________．7．函数y=kx+b （k 、b 为常数）的图象如图，则关于x 的不等式kx+b>0的解集为（ ） A ．x>0 B ．x<0 C ．x<2 D ．x>2 8．（2006年安徽省）已知甲、乙两弹簧的长度y （cm ）与所挂物体质量x （kg ）之间的函数解析式分别为y 1=k 1x+a 1和y 2=k 2x+a 2，图象如图所示，设所挂物体质量为2kg 时，甲弹簧长为y 1，乙弹簧长为y 2，则y 1与y 2的大小关系为（ ）A ．y 1>y 2B ．y 1=y 2C ．y 1<y 2D ．不能确定(第7题) (第8题) (第9题)9．如图是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y （元）与销售量x （件）之间的函数图象．下列说法：①售2件时甲、乙两家售价一样；②买1件时买乙家的合算；③买3件时买甲家的合算；④买乙家的1件售价约为3元，其中正确的说法是（ ）A ．①②B ．②③④C ．②③D ．①②③ 10．（2006年江苏省）如图，L 1反映了某公司的销售收入与销售量的关系，L 2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系．当该公司赢利（收入大于成本）时，销售量应（ ）A ．小于3吨B ．大于3吨C ．小于4吨D ．大于4吨三、例题剖析1、直线y=kx+b （k ≠0）的图象如图，则方程kx+b=0•的解为 x=_______， 不等式kx+b<0的解集为x_______．（第1题） （第2题） 2、（2006年吉林省）已知二次函数y 1=ax 2+bx+c （a≠0）和直线y 2=kx+b （k ≠0）的图象如图，则当x=______时，y 1=0；当x______时，y 1<0；当x______时，y 1>y 2． 3、如图，平面直角坐标系中画出了函数y=kx+b 的图象． （1）根据图象，求k ，b 的值；（2）在图中画出函数y=-2x+2的图象；（3）求x 的取值范围，使函数y=kx+b 的函数值大于函数y=-2x+2的函数值．4、育才中学需要添置某种教学仪器．方案1：到商购买，每件需要8元；方案2：•学校自己制作，每件4元，另外需要制作工具的租用费120元．设需要仪器x件，方案1与方案2的费用分别为y1，y2（元）．（1）分别写出y1，y2的函数表达式；（2）当购置仪器多少件时，两种方案的费用相同？（3）若学校需要仪器50件，问采用哪种方案便宜？请说明理由．5、如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象（分别是正比例函数图象和一次函数图象），•根据图象解答下列问题：（1）请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）轮船和快艇在途中（不包括起点和终点）行驶的速度分别是多少？（3）问快艇出发多长时间赶上轮船？四、综合应用1、如图所示，设田地自动喷灌水管AB高出地面1.5米，在B•处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间喷出的水流是抛物线状，喷头B•和水流最高点C•的连线与水平地面成45°角，点C比B高出2米，在所建的坐标系中，求水流的落地点D到点A的距离是多少？。