江苏省无锡市2024-2025学年高三上学期期中教学质量调研测试数学试题（答案在最后）2024.11命题单位：注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.若集合{}2{11},20A x xB x x x =-<<=-+≤∣∣，则A B = （）A.[0,1)B.(1,1)- C.(1,2]- D.(1,0]-【答案】D 【解析】【分析】解一元二次不等式可得集合B ，根据集合的交集运算，即可求得答案.【详解】由题意知(){}2{11}1,1,20(,0][2,)A xx B x x x =-<<=-=-+≤=-∞+∞ ∣∣，故(1,0]A B =- ，故选：D 2.若复数12i34iz +=-（i 为虚数单位），则在复平面内z 所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据复数除法化简12i 55z =-+，进而可得点的坐标，即可求解.【详解】复数2212i (12i)(34i)386i 4i 510i 12i 34i (34i)(34i)342555z +++-++-+=====---++，对应点为12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第二象限，故选：B3.已知函数1sin 25y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象为C ，为了得到函数1sin 25y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只要把C 上所有的点（）A.向右平行移动15个单位长度 B.向左平行移动15个单位长度C.向右平行移动25个单位长度 D.向左平行移动25个单位长度【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的图象变换计算即可.【详解】易知1sin 25y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭向右平行移动15个单位长度可得111sin 2sin 2555y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：A4.一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费1y （单位：元）与仓库到车站的距离x （单位：km ）成反比，每月库存货物费2y （单位：元）与x 成正比；若在距离车站6km 处建仓库，则214y y =.要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站（）A.2kmB.3kmC.4kmD.5km【答案】B 【解析】【分析】设112212,,(0,0)k y y k x k k x==>>，结合题意求出129k k =，从而求出两项费用之和的表达式，利用基本不等式，即可求得答案.【详解】由题意设112212,,(0,0)k y y k x k k x==>>，仓库到车站的距离0x >，由于在距离车站6km 处建仓库，则214y y =，即121246,96kk k k =∴=，两项费用之和为2122296k y y y k x k x =+=+≥=，当且仅当229k k x x=，即3x =时等号成立，即要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站3km.故选：B5.若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“20240S >且20250S <”是“101210130a a <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的单调性以及等差数列的性质即可判断101210130,0a a ><，说明充分性，由101210130,0a a <>时，即可说明不必要性.【详解】因为20240S >且20250S <，所以等差数列{}n a 单调递减，且公差小于0，故20230S >，()()120231202520232025202320250,022S a a a S a +⨯+⨯=>=<，则12023101212025101320,20a a a a a a +=>+=<，即101210130,0a a ><，所以101210130a a <，由101210130a a <，当101210130,0a a <>时，等差数列{}n a 单调递增，则不可能满足20240S >且20250S <，因此“20240S >且20250S <”是“101210130a a <”的充分不必要条件.故选：A.6.已知函数2()ln 1x xf x x x -=+-，则下列函数是奇函数的是（）A.(1)1f x ++B.(1)1f x -+C.(1)1f x --D.(1)1f x +-【答案】D 【解析】【分析】利用函数的奇偶性计算即可.【详解】易知()21111(1)ln ln 111x x x f x x x x x-++-+=+=++++，所以()()()()1111ln1,00,11x f x x x x-+-=+∈-+ ，令()11ln1x g x x x -=++，则()11ln 1x g x x x+-=--，显然()()0g x g x +-=，所以()g x 为奇函数，即D 正确.故选：D7.若π3ππsin 24322θθ⎛⎫⎛⎫+=-<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 2θ的值为（）A .5-B.5C.7-D.7【答案】C 【解析】【分析】利用倍角公式可求πcos 2θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，根据诱导公式得到sin θ，利用同角三角函数的基本关系求出cos θ和tan θ，进而求出tan 2θ.【详解】∵π3sin 243θ⎛⎫+=⎪⎝⎭，∴22πππ31cos cos 212sin 122242433θθθ⎛⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-+=-⨯= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭，∵πcos sin 2θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴1sin 3θ=-，∵ππ22θ-<<，∴cos 3θ==，∴sin tan cos 4θθθ==-，∴22tan 42tan 21tan 7θθθ==--.故选：C.8.在ABC V 中，已知3,1,60BC AC ACB ︒==∠=，点D 是BC 的中点，点E 是线段AD 上一点，且13AE AD =，连接CE 并延长交边AB 于点P ，则线段CP 的长度为（）A.75B.375C.65D.5【答案】B【解析】【分析】首先根据平面向量基本定理的推论求得AB 与AP的关系，即可利用基底CA CB ,表示CP ，再两边平方，利用平面向量数量积公式，即可求解.【详解】11111332266AE AD AB AC AP AC λ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ ,因为点,,P E C 三点共线，所以1166λ+=，得5λ=，即5AB AP =，4155CP CA CB =+ ，两边平方2221618252525CP CA CB CA CB =++⋅ ，169817413252525250=++⨯⨯⨯=，所以5CP =.故选：B二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数中，在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的函数是（）A.πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.2πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.|sin 2|y x =D.2sin y x=【答案】BC 【解析】【分析】利用正弦函数和余弦函数的性质判断；【详解】A.因为π3π,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以π3π5π2,444x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin y t =在3π5π,44⎛⎫⎪⎝⎭上递减，故错误；B.因为π3π,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以2π7π17π,3612x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，cos y t =在7π17π,612⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，故正确；C.因为π3π,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以3π2π,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin y t =在3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭上递增，故正确；D.21cos 2sin 2x y x -==，因为π3π,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3π2π,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 2y x =在3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭上递增，则2sin y x =在3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭上递减，故错误；故选：BC10.下列说法中正确的有（）A.若0a b >>，0c d <<，则ac bd <B.若0a b >>，0c <，则c c a b>C.若13a <<，10b -<<，则23a b <-<D .若0a <，2ab a >，则22b a >【答案】ABD 【解析】【分析】利用不等式的基本性质逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，因为0a b >>，0c d <<，则0c d ->->，由不等式的基本性质可得ac bd ->-，则ac bd <，A 对；对于B 选项，因为0a b >>，不等式的两边同时除以ab 可得11a b<，因为0c <，由不等式的基本性质可得c ca b>，B 对；对于C 选项，因为13a <<，10b -<<，则01b <-<，由不等式的基本性质可得14a b <-<，C 错；对于D 选项，因为0a <，2ab a >，由不等式的基本性质可得0b a <<，则0b a ->->，由不等式的基本性质可得22a b <，D 对.故选：ABD.11.函数32()1f x x ax bx =++-.下列说法中正确的有（）A.当3,1a b ==时，有(2)()0f x f x --+=恒成立B.,a b ∃∈R ，使()f x 在(,1)-∞上单调递减C.当0b =时，存在唯一的实数a ，使()f x 恰有两个零点D.当0,[2,0]b x =∈-时，6()x f x x -≤≤恒成立，则1,14a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【答案】ACD 【解析】【分析】利用函数表达式计算(2)f x --，可得选项A 正确；求()f x '，可知()f x '为开口向上的二次函数，在(,1)-∞上()0f x '≤不可能恒成立，选项B 错误；零点问题转化为函数图象交点个数问题可得选项C 正确；分离参数a ，恒成立问题转化为a 大于等于函数的最大值或小于等于函数的最小值，分析函数即可得到选项D 正确.【详解】A.当3,1a b ==时，32()31f x x x x =++-,32(2)31f x x x x --=---+,∴(2)()0f x f x --+=，选项A 正确.B.由题意得，2()32f x x ax b '=++，为开口向上的二次函数，故0x ∃∈R ，使得0(,)x x ∈-∞时，()0f x '>，此时()f x 为增函数，所以不存在,a b ∈R ，使()f x 在(,1)-∞上单调递减.C.当0b =时，32()1f x x ax =+-，由(0)1f =-得，0不是函数()f x 的零点.当0x ≠时，由3210x ax +-=得，21a x x =-，令21()(0)g x x x x =-≠，则332()x g x x +'=-，由()0g x '=得x =当(,x ∈-∞时，330,20,()0x x g x '<+<<，()g x 为减函数，当(x ∈时，330,20,()0x x g x '<+>>，()g x 为增函数，当(0,)x ∈+∞时，330,20,()0x x g x '>+><，()g x 为减函数，()g x 图象如图所示：由图象可知，存在唯一的实数a ，使直线y a =与()g x 图象恰有两个交点，即()f x 恰有两个零点，选项C 正确.D.当0b =时，32()1f x x ax =+-，∵[2,0]x ∈-，6()x f x x -≤≤恒成立，∴3250x ax x +-+≥恒成立且3210x ax x +--≤.对于不等式325[2,00,]x a x x x ≥∈-+-+，当0x =时，不等式成立，当[2,0)x ∈-时，215a x x x ≥-+-恒成立，即2max 15a x x x ⎛⎫≥-+- ⎪⎝⎭，令2)15(2,0)[,h x x x x x ∈-=-+-，则3310()x x h x x--+'=，∵[2,0)x ∈-，∴33100,0x x x --+><，∴()0h x '<，∴()h x 在[2,0)-上为减函数，max 1()(2)4h x h =-=，∴1a 4≥.对于不等式321[2,00,]x a x x x ≤∈-+--，当0x =时，不等式成立，当[2,0)x ∈-时，211a x x x ≤-++恒成立，即2min 11a x x x ⎛⎫≤-++⎪⎝⎭，令2)11[2(,),0x x x xx ϕ∈-=-++，则332()x x x xϕ---'=，当(2,1)x ∈--时，3(2,10)x x --∈，3320,0x x x ---><，()0x ϕ'<，当(1,0)x ∈-时，3(0,2)x x --∈，3320,0x x x ---<<，()0x ϕ'>，∴()ϕx 在(2,1)--上为减函数，在(1,0)-上为增函数，∴min ()(1)1x ϕϕ=-=，∴1a ≤.综上得，1,14a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，选项D 正确.故选：ACD.【点睛】思路点睛：本题考查函数零点、函数与不等式综合问题，具体思路如下：（1）对于函数零点个数问题，先说明0不是函数()f x 的零点，再根据0x ≠时，由()0f x =分离出参数21a x x =-，问题转化为“存在唯一的实数a ，使得直线y a =与21()g x x x =-恰有两个交点”，通过求导分析单调性画出函数图象，通过图象即可得到结果.（2）对于不等式恒成立问题，分离参数a ，问题转化为max ()a h x ≥且min ()a x ϕ≤，对两个函数分别求导分析单调性，即可得到a 的取值集合.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.12.已知(0,2),a b == ，则向量a 在向量b上的投影向量的坐标为______.【答案】1,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据投影向量的定义计算即可求解.【详解】向量a 在向量b上的投影向量为)31,22a b b b b⎛⎫⋅⋅== ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：1,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭13.已知实数,,a b c 满足924a b c ==且113a b+=，则c =__________.【答案】6【解析】【分析】利用指数与对数的换算结合换底公式计算即可.【详解】由924a b c ==可知9240,log ,log c a c b c >==，所以11log 9log 24log 2163c c c a b+=+==，即332166c ==，所以6c =.故答案为：614.任何有理数mn都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化为m n 的形式，从而是有理数.则1.4=__________（写成m n的形式，m 与n 为互质的具体正整数）；若1.4,1.44,1.444, 构成了数列{}n a ，设数列()()111011n n nb a +=-⋅-，求数列{}n b 的前n 项和n S =__________.【答案】①.139②.()111364101n +--【解析】【分析】利用无限循环小数的性质设0.04t = ，然后建立等式求解即可；利用题中给出的规律先求出{}n a 的通项公式，然后得到{}n b 的通项公式，然后列项相消求解即可.【详解】令0.04t = ，则1.4110 1.4t t =+=+，解得245t =，所以131.41109t =+=易知()()()23410.1410.1410.11 1.4,1 1.44,1 1.444,999---+=+=+=所以()410.11341199910n nna -=+=-⨯所以()()()111191114101101410111013419910110110n n n n n n n n b +++⨯⎛⎫===- ⎪--⎛⎫--⎝⎭-⋅- ⎪-⎝⎭⨯所以1211231111111110110110110110110110110141n n n n n S -+-+-++-+---------⎛⎫=⎪⎝⎭()111111101101414601113n n ++⎛⎫==-⎪⎝⎭----所以答案为：139；()114113601n +--【点睛】关键点点睛：若0.04t = ，则0.410t = ，借此建立等式；()()244440.40.910.1;0.440.9910.19999=⨯=⨯-=⨯=⨯- ，借此求得{}n a 的通项公式；同样的道理()()2444449101;44991019999=⨯=⨯-=⨯=⨯- .四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量a 与b 的夹角为135︒，且||1,||a b == (1),c a b λλλ=+-∈R .（1）当b c ⊥时，求实数λ的值;（2）当||c 取最小值时，求向量b 与c夹角的余弦值.【答案】（1）23（2）10【解析】【分析】（1）由b c ⊥ ，所以0b c ⋅= ，将(1)c a b λλ=+- 代入可得()210a b b λλ⋅+-=，再由数量积的定义求得1a b ⋅=-，代回即可求解；（2）根据向量的模和二次函数求最值的方法求出λ的值，再根据向量的夹角公式计算即可.【小问1详解】因为b c ⊥ ，所以0b c ⋅=，即(1)0b a b λλ⎡⎤⋅+-=⎣⎦ ，所以()210a b b λλ⋅+-=，因为向量a 与b的夹角为135︒，且||1,||a b ==所以2cos135112a b a b ⎛⎫⋅=⋅⋅︒=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()210λλ-+-=，所以23λ=.【小问2详解】因为(1)c a b λλ=+-，所以222222(1)2(1)(1)c a b a a b b λλλλλλ=+-=+-⋅+- ，由（1）知1a b ⋅=-，且||1,||a b == 所以222222(1)(1)562a a b b λλλλλλ+-⋅+-=-+ ，则2231562555λλλ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，故当35λ=时，c 最小为55，此时3255c a b =+ ，则232323415555555b c b a b a b b ⎛⎫⋅=⋅+=⋅+=-+= ⎪⎝⎭ ，又55c b ⋅==，所以15cos ,105c b c b c b⋅===，所以向量b与c夹角的余弦值为10.16.已知函数2()ln(1),f x x a x a =++∈R .（1）若函数()f x 有两个不同的极值点，求a 的取值范围;（2）求函数()()22a g x f x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭的单调递减区间.【答案】（1）10,2⎛⎫⎪⎝⎭（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求导222()1x x af x x '++=+，可得2220x x a ++=有两个大于1-的不等实根，进而可得222122212(1)0Δ2420a a ⎧->-⎪⨯⎪⨯+⨯-+>⎨⎪=-⨯>⎪⎩，求解即可；（2）求导数，对a 分类讨论可求得单减区间.【小问1详解】函数2()ln(1)f x x a x =++的定义域为{|1}x x >-，求导得222()211a x x af x x x x ++'=+=++，令()0f x '=，可得2220x x a ++=，因为函数()f x 有两个不同的极值点，所以2220x x a ++=有两个大于1-的不等实根，所以222122212(1)0Δ2420a a ⎧->-⎪⨯⎪⨯+⨯-+>⎨⎪=-⨯>⎪⎩，解得102a <<.所以a 的取值范围为1(0,2；【小问2详解】2()()2ln(1)222a a g x f x x x a x x ⎛⎫⎛⎫=-+=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求导得2442(1)4(1)()22122(1)a a x x a a x x g x x x x '++-+-+⎛⎫=+-+= ⎪++⎝⎭244(44)(1)2(1)2(1)x ax a x a x x x -+-+--==++，令()0g x '=，解得14ax =-或1x =，当8a >时，114a ->，由()0g x '<，可得114ax <<-，函数()g x 在(1,1)4a-上单调递减，当8a =，114a-=，由()0g x '<，可得x ∈∅，函数()g x 无单调递减区间，当08a <<，1114a -<-<，由()0g x '<，可得114ax -<<，函数()g x 在(1,1)4a-上单调递减，当0a ≤时，114a-≤，由()0g x '<，可得11x -<<，函数()g x 在(1,1)-上单调递减，综上所述：当8a >时，函数()g x 在(1,1)4a-上单调递减，当8a =时，函数()g x 无单调递减区间，当08a <<时，函数()g x 在(1,1)4a-上单调递减，当0a ≤时，函数()g x 在(1,1)-上单调递减.17.在ABC V 中，已知)114A B --=.（1）若ABC V 为锐角三角形，求角C 的值，并求22sin cos A B -的取值范围;（2）若AB =，线段AB 的中垂线交边AC 于点D ，且1CD =，求A 的值.【答案】（1）π3C =；11,42⎛⎤ ⎥⎝⎦；（2）π18A =【解析】【分析】（1）利用正切的和角公式可得C ，再利用余弦的差角公式，辅助角公式结合三角函数的性质计算范围即可；（2）设AB 中点为E ，由正弦定理解三角形结合诱导公式计算即可.【小问1详解】由题意))113tan tan tan tan 14A B A B A B --=-++=，)tan tan 1tan tan A B A B -=+，所以()()tan tan tan tan π1tan tan A BA B C A B++===--，所以tan C =易知()0,πC ∈，所以π3C =，则2π3A B +=，因为ABC V 为锐角三角形，所以π2ππ0,,0,232A B A ⎛⎫⎛⎫∈=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ππ,62A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2222222π1sin cos sin cos sin cos sin 322A B A A A A A ⎛⎫⎛⎫-=--=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111sin sin cos cos cos 2sin 242444A A A A A A =+-=-+1πsin 226A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由ππ,62A ⎛⎫∈⎪⎝⎭知ππ5π2,666A ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以1π11sin 2,2642A ⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，即22sin cos A B -的取值范围为11,42⎛⎤⎥⎝⎦；【小问2详解】设AB 中点为E，则2π,2,3cos 2cos AE DBA A CBD A DB AD A A∠=∴∠=-===，在CBD △中，由正弦定理得π2πsin sin 233DB CD A =⎛⎫- ⎪⎝⎭，即112πcos sin 23A A =⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2ππsin 2cos sin 32A A A ⎛⎫⎛⎫-==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为线段AB 的中垂线交边AC 于点D ，可知A B <，所以π02A <<，则2ππ232A A -=-，解之得π6A =，此时π2B =，正切不存在，舍去；或2ππ2π32A A -+-=，解之得π18A =；综上π18A =.18.已知函数()e xf x =.（1）若x ∀∈R ，不等式()0mf x x ->恒成立，求实数m 的取值范围；（2）过点(,1)T t 可以作曲线()y f x =的两条切线，切点分别为()(),e ,,e abA aB b .①求实数t 的取值范围；②证明：若a b >，则||||AT BT >.【答案】（1）1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）()0,∞+；证明见解析.【解析】【分析】（1）分离参数结合导数研究函数的单调性与最值计算即可；（2）①利用导数的几何意义，统一设切点()00,ex x ，将问题转化为0011e x t x =+-有两个解，构造函数利用导数研究函数的单调性计算即可；②利用①的结论得出e e a b a b --+=+，根据极值点偏移证得0a b >->，再根据弦长公式得))1e e 1a bAT BT --⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，构造函数())()1e 0x m x x -=->判定其单调性即可证明.【小问1详解】易知e 0e xx x m x m ->⇔>，令()e x x g x =，则()1e xxg x ='-，显然1x <时，()0g x '>，1x >时，()0g x '<，即()ex xg x =在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，则()()max 11e g x g m ==<，即1,e m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭；【小问2详解】①设切点()0,e x x ，易知0x t ≠，()e xf x '=，则有000e 1e x x x t-=-，即0011e x t x =+-，令()e 1xh x x -=+-，则(),y t y h x ==有两个交点，横坐标即分别为,a b ，易知()1e xh x -=-'，显然0x >时，()0h x '>，0x <时，()0h x '<，则()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，且x →-∞时有()h x →+∞，x →+∞时也有()h x →+∞，()()00h x h ≥=，则要满足题意需0t >，即()0,t ∈+∞；②由上可知：()e 10e 1a b a tb a b t --⎧+-=<<⎨+-=⎩，作差可得e e 0a b a b ---+-=，即e e a b a b --+=+，由①知：()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，令()()()()()ee 22e e 0xx x x H x h x h x x H x --'=--=-+⇒=-+≤，则()H x 始终单调递减，所以()()()()00H a h a h a H =--<=，即()()()h a h b h a =<-，所以b a >-，所以0a b >->，不难发现e 11e a aa t a t t --+-=⇒=+->，e e aAT bBTk k ⎧=⎨=⎩，所以由弦长公式可知))AT a t BT t b ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，所以))1e e 1abAT BT --⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，设())()()21e 0ex xxm x x m x --'=->⇒=⋅所以由))01e1e aba b ->->⇒--=)1e e 1ebb b --=+，即AT BT >，证毕.【点睛】思路点睛：对于切线个数问题，可设切点利用导数的几何意义建立方程，将问题转化为解的个数问题；对于最后一问，弦长的大小含有双变量，常有的想法是找到两者的等量关系，抑或是不等关系，结合图形容易想到化为极值点偏移来处理.19.在下面n 行、n 列()*Nn ∈的表格内填数：第一列所填各数自上而下构成首项为1，公差为2的等差数列；第一行所填各数自左向右构成首项为1，公比为2的等比数列；其余空格按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写.设第2行的数自左向右依次记为123,,,,n c c c c .第1列第2列第3列…第n 列第1行1222…12n -第2行359第3行510……第n 行21n -（1）求数列{}n c 通项公式;（2）对任意的m *∈N ，将数列中落入区间[],m m b c 内项的个数记为m d ，①求1d 和10d 的值;②设数列{}m m a d ⋅的前m 项和m T ；是否存在*m ∈N ，使得()19253m m T m -+=⋅，若存在，求出所有m 的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）21nn c =+；（2）①12d =，10257d =；②4m =.【解析】【分析】（1）移项得12nn n c c +-=，运用累加法即可得到{}n c 通项公式；（2）①令m n m b a c ≤≤，解得1212222m m n -++≤≤，代入1m =得12d =，当2m ≥时，作差得221m m d -=+，代入即可得到10d ；②()22,1(21)21,2m m m m a d m m +=⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，利用错位相减法得12(23)22m m T m m -=-⋅++，再验证m 值即可.【小问1详解】由题意知112,3nn n c c c +=+=，12nn n c c +∴-=，当2n ≥时，()()()1211122112223n n n n n n n c c c c c c c c -----=-+-++-+=++++ ()121232112n n--=+=+-，而13c =也满足上式，21nn c ∴=+.【小问2详解】①111122,12(1)21,2,21n n m m n n m m b a n n b c ---=⋅==+-=-==+，令1121222212122m m m mm n m b a c n n --++≤≤⇒≤-≤+⇒≤≤，当1m =时，12n ≤≤，此时12d =，当2m ≥时，212121m m n --+≤≤+，此时1228102212121257m m m m d d ---=-+=+∴=+=，.②()22,1(21)21,2m m m m a d m m +=⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，记{}12m m -⋅从第2项到第m 项的和为m S ，12321223242(1)22m m m S m m --∴=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ，232122232(2)2(1)22m m m m S m m m --=⋅+⋅++-⋅+-⋅+⋅ ，上述两式作差得214222m mm S m --=+++-⋅ ()241242(1)212m mm m m --=+-⋅=-⋅-，(1)2m m S m ∴=-，当1m =时，2m T =；当2m ≥时，()1112(321)(1)2(1)2212m m mm m T m -⋅-+--=+-⋅+--12(23)22m m m -=-⋅++，1m =也满足上式，12(23)22m m T m m -∴=-⋅++，1211239(23)2453(23)2453m m m m m m m m m m ----⎡⎤∴-⋅++=⋅⇒-⋅++=⋅⎣⎦，()3125323240m m m m m --⇒⋅-+⋅--=，当1,2,3m =时，左边0<，舍去，当4m =时，经检验符合；当5m ≥时，左边恒0>，无解，综上:4m =.【点睛】关键点点睛：本题第二问的第二小问关键是利用错位相减法得(1)2mm S m =-，再计算得12(23)22m m T m m -=-⋅++.。
