中考数学专题复习-----压轴题

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．李明准备进行如下操作实验，把一根长40 cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．【答案】 (1) 李明应该把铁丝剪成12 cm和28 cm的两段；(2) 李明的说法正确，理由见解析.【解析】试题分析：（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可；（2）设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确．试题解析：设其中一段的长度为cm，两个正方形面积之和为cm2，则，（其中），当时，，解这个方程，得，，∴应将之剪成12cm和28cm 的两段；（2）两正方形面积之和为48时，，，∵，∴该方程无实数解，也就是不可能使得两正方形面积之和为48cm2，李明的说法正确．考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．2．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？【答案】经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．【解析】【分析】作出辅助线，过点Q作QE⊥PB于E，即可得出S△PQB=12×PB×QE，有P、Q点的移动速度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE关于t的表达式，代入面积公式，即可得出答案．【详解】解：如图，过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°．∵∠ABC＝30°，∴2QE＝QB．∴S△PQB＝12•PB•QE．设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t．根据题意，12•（6﹣t）•t＝4．t2﹣6t+8＝0．t2＝2，t2＝4．当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2．答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，注意对所求的值进行检验，对于不合适的值舍去．3．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0．（1）求证：对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．【答案】（1）证明见解析；（2）m的值为2，方程的另一个根是5．【解析】【分析】（1）先把方程化为一般式，利用根的判别式△=b2-4ac证明判断即可；（2）根据方程的根，利用代入法即可求解m的值，然后还原方程求出另一个解即可.【详解】（1）证明：∵（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0，∴x2﹣7x+12﹣m2=0，∴△=（﹣7）2﹣4（12﹣m2）=1+4m2，∵m2≥0，∴△＞0，∴对任意实数m ，方程总有2个不相等的实数根；（2）解：∵方程的一个根是2，∴4﹣14+12﹣m 2=0，解得m=±， ∴原方程为x 2﹣7x+10=0，解得x=2或x=5， 即m 的值为±，方程的另一个根是5．【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.当△=b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b 2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当△=b 2-4ac ＜0时，方程没有实数根.4．将m 看作已知量，分别写出当0<x<m 和x>m 时，与之间的函数关系式；5．已知关于x 的一元二次方程()2211204x m x m +++-=． ()1若此方程有两个实数根，求m 的最小整数值；()2若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足22212121184x x x x m ++=-，求m 的值． 【答案】（1）m 的最小整数值为4-；（2）3m =【解析】【分析】（1）根据方程有两个实数根得0∆≥,列式即可求解,（2）利用韦达定理即可解题.【详解】（1）解：()22114124m m ⎛⎫∆=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭22218m m m =++-+29m =+方程有两个实数根0∴∆≥，即290m +≥92m ∴≥- ∴ m 的最小整数值为4-（2）由根与系数的关系得：()121x x m +=-+，212124x x m =- 由22212121184x x x x m ++=-得：()22211121844m m m ⎛⎫⎡⎤-+--=- ⎪⎣⎦⎝⎭13m∴=，25m=-92m≥-3m∴=【点睛】本题考查了根的判别式和韦达定理,中等难度,熟悉韦达定理是解题关键.6．某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映:若售价每降价1元，每星期可多卖10箱．设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），每星期的销售量为y箱．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？（3）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元?【答案】(1)y=-10x+780；(2) 57；(3)当售价为59元时，利润最大，为3610元【解析】【分析】（1）根据售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设售价x元,则多销售的数量为60-x,（2）解一元二次方程即可求解,（3）表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解.【详解】解：（1）∵售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），则y=180+10（60-x）=-10x+780,(40≤x≤60),(2)依题意得：（x-40）(-10x+780)=3570,解得：x=57,∴当每箱售价为57元时，每星期的销售利润达到3570元.（3）设每星期的利润为w，W=（x-40）(-10x+780)=-10（x-59）2+3610,∵-10<0,二次函数向下,函数有最大值,当x=59时, 利润最大，为3610元.【点睛】本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,熟悉二次函数的实际应用是解题关键.7．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣12）＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值多少？【答案】（1）详见解析；（2）k＝32或2．【分析】（1）计算判别式的值，利用完全平方公式得到△＝（2k﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用求根公式解方程得到x1＝2k﹣1，x2＝2，再根据等腰三角形的性质得到2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，然后分别解关于k的方程即可．【详解】（1）∵△＝（2k+1）2﹣4×4（k﹣12）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2≥0，∴该方程总有实数根；（2）() 2k12k3 x=2±＋﹣∴x1＝2k﹣1，x2＝2，∵a、b、c为等腰三角形的三边，∴2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，∴k＝32或2．【点睛】本题考查了根的判别式以及等腰三角形的性质，分a是等腰三角形的底和腰两种情况是解题的关键.8．如图，一艘轮船以30km/h的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以10km/h的速度由东向西移动，距台风中心200km的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离AB=300km．（1）如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？（2）如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？（3）假设轮船航向不变，轮船航行速度不变，求受到台风影响的时间为多少小时？【答案】（1）如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区．（2）经过1515就会进入台风影响区；（3）15【分析】（1）作出肯定回答：这艘轮船不改变航向，那么它能进入台风影响区．（2）首先假设轮船能进入台风影响区，进而利用勾股定理得出等式求出即可．（3）将轮船刚好进入台风影响区和刚好离开台风影响的两个时间节点相减，即能得出受影响的时间长.【详解】解：（1）如图易知AB′=300﹣10t，AC′=400﹣30t，当B′C′=200时，将受到台风影响，根据勾股定理可得：(300﹣10t)2+(400﹣30t)2=2002，整理得到：t2﹣30t+210=0，解得t=15±15，由此可知，如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区．（2）由（1）可知经过(15﹣15)h就会进入台风影响区；（3）由（1）可知受到台风影响的时间为:15+15﹣（15﹣15）=215h．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于x的等式是解题关键．9．∵1.7×35=59.5，1.7×80=136＜151∴这家酒店四月份用水量不超过m吨（或水费是按y=1.7x来计算的），五月份用水量超过m吨（或水费是按来计算的）则有151=1.7×80+（80－m）×即m2－80m+1500=0解得m1=30，m2=50．又∵四月份用水量为35吨，m1=30＜35，∴m1=30舍去．∴m=50【解析】10．解方程：(x＋1)(x－1)＝2x.【答案】x1，x2【解析】试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可.试题解析：(x＋1)(x－1)＝x2-2x-1=0∵a=1，b=-c=-1∴△=b2-4ac=8+4=12＞0∴∴xx2.1。

中考数学压轴题----《反比例函数综合》例题讲解【例1】（2022•十堰）如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝（k1＞0）和y＝（k2＞0）的图像上．若BD∥y轴，点D的横坐标为3，则k1+k2＝（）A．36B．18C．12D．9【答案】B【解答】解：连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AE＝BE＝CE＝DE，设AE＝BE＝CE＝DE＝m，D（3，a），∵BD∥y轴，∴B（3，a+2m），A（3+m，a+m），∵A，B都在反比例函数y＝（k1＞0）的图像上，∴k1＝3（a+2m）＝（3+m）（a+m），∵m≠0，∴m＝3﹣a，∴B（3，6﹣a），∵B（3，6﹣a）在反比例函数y＝（k1＞0）的图像上，D（3，a）在y＝（k2＞0）的图像上，∴k1＝3（6﹣a）＝18﹣3a，k2＝3a，∴k1+k2＝18﹣3a+3a＝18；故选：B【变式1-1】（2021•鄂州）如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图像上一点，过点A作AC⊥x轴于点C，AC交反比例函数y＝（x＞0）的图像于点B，点P是y轴正半轴上一点．若△PAB的面积为2，则k的值为．【答案】8【解答】解：连接OA、OB，∵AC⊥x轴，∴AC∥y轴，∴S△AOB＝S△APB，∵S△APB＝2，∴S△AOB＝2，由反比例函数系数k的几何意义可得：S△AOC＝6，S△BOC＝，∴6﹣＝2，解得：k＝8，故答案为8．【变式2-2】（2021•荆州）如图，过反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图像上的四点P1，P2，P3，P4分别作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，A3，A4，再过P1，P2，P3，P4分别作y轴，P1A1，P2A2，P3A3的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，则S1与S4的数量关系为．【答案】S1＝4S4【解答】解：∵过双曲线上任意一点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S是个定值，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，∴S1＝k，S2＝k，S3＝k，S4＝k，∴S1＝4S4．故答案为：S1＝4S4．【变式1-3】（2022•毕节市）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，对角线交于点E，反比例函数y＝（x＞0，k ＞0）的图像经过点C，E．若点A（3，0），则k的值是．【答案】4【解答】解：设C（m，），∵四边形ABCD是正方形，∴点E为AC的中点，∴E（，），∵点E在反比例函数y＝上，∴，∴m＝1，作CH⊥y轴于H，∴CH＝1，∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠OBA＝∠HCB，∵∠AOB＝∠BHC，∴△AOB≌△BHC（AAS），∴BH＝OA＝3，OB＝CH＝1，∴C（1，4），∴k＝4，故答案为：4．【变式1-4】（2022•雁塔区校级模拟）如图，正方形ACBE的边长是，点B，C分别在x轴和y轴正半轴上，BO＝2，ED⊥x轴于点D，ED的中点F在反比例函数y＝（x＞0）的图像上，则k＝．【答案】3【解答】解：∵正方形ACBE的边长是，BO＝2，∴BC＝BE＝，∴OC＝＝＝1，∵∠ABC＝90°，∴∠OBC+∠EBD＝90°，∵∠OBC+∠OCB＝90°，∴∠OCB＝∠EBD，在△OBC和△DEB中，，∴△OBC≌△DEB（AAS），∴BD＝OC＝1，DE＝OB＝2，∴OD＝3，∴E（3，2），∵点F是ED的中点，∴F（3，1），∵点F在反比例函数y＝（x＞0）的图像上，∴k＝3×1＝3，故答案为3．【变式1-5】（2021•广元）如图，点A（﹣2，2）在反比例函数y＝的图像上，点M在x轴的正半轴上，点N在y轴的负半轴上，且OM＝ON＝5．点P （x，y）是线段MN上一动点，过点A和P分别作x轴的垂线，垂足为点D 和E，连接OA、OP．当S△OAD＜S△OPE时，x的取值范围是．【答案】1＜x＜4【解答】解：过点B作BF⊥ON于F，连接OB，过点C作CG⊥OM于点G，连接OC，如图，∵点A（﹣2，2）在反比例函数y＝的图像上，∴k＝﹣4．∴y＝．∵点A（﹣2，2），∴AD＝OD＝2．∴．设B（a，b），则ab＝﹣4，OF＝﹣b，BF＝a．∴＝＝2．同理：S△OCG＝2．从图中可以看出当点P在线段BC上时，S△OPE＞S△OBF，即当点P在线段BC上时，满足S△OAD＜S△OPE．∵OM＝ON＝5，∴N（0，﹣5），M（5，0）．设直线MN的解析式为y＝mx+n，则：，解得：．∴直线MN的解析式为y＝x﹣5．∴，解得：，．∴B（1，﹣4），C（4，﹣1）．∴x的取值范围为1＜x＜4．【变式1-6】（2021•荆门）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB斜边上的高为1，∠AOB＝30°，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A 的对应点C恰好在函数y＝（k≠0）的图像上，若在y＝的图像上另有一点M使得∠MOC＝30°，则点M的坐标为．【答案】（，1）【解答】解：作AE⊥OB于E，MF⊥x轴于F，则AE＝1，∵∠AOB＝30°，∴OE＝AE＝，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C为（1，），∵点C在函数y＝（k≠0）的图像上，∴k＝1×＝，∴y＝，∵∠COD＝∠AOB＝30°，∠MOC＝30°，∴∠DOM＝60°，∴∠MOF＝30°，∴OF＝MF，设MF＝n，则OF＝n，∴M（n，n），∵点M在函数y＝的图像上，∴n＝，∴n＝1（负数舍去），∴M（，1），故答案为（，1）．【变式1-7】（2021•达州）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块等腰直角三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，EF交BC于点M，反比例函数y＝（x＜0）的图像恰好经过点F，M，若直尺的宽CD＝1，三角板的斜边FG＝4，则k＝．【答案】﹣12【解答】解：过点M作MN⊥AD，垂足为N，则MN＝CD＝1，在Rt△FMN中，∠MFN＝45°，∴FN＝MN＝1又∵FG＝4，∴NA＝MB＝FG﹣FN＝4﹣1＝3，设OA＝a，则OB＝a+1，∴点F（﹣a，4），M（﹣a﹣1，3），又∵反比例函数y＝（x＜0）的图像恰好经过点F，M，∴k＝﹣4a＝3（﹣a﹣1），解得，a＝3，∴k＝﹣4a＝﹣12，故答案为：﹣12．a11。

中考数学专题复习：动点压轴题1．ABC 中，90B ∠=︒，5cm AB =，6cm BC =，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1cm /s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2cm /s 的速度移动．如果点P 、Q 分别从点A 、B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动．设运动时间为t 秒．(1)填空：BQ =________，PB =________（用含t 的代数式表示）；(2)是否存在t 的值，使得PBQ △的面积等于24cm ？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．2．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝16cm ，BC ＝8cm 动点P 从点C 出发沿着CB 方向以2cm /s 的速度向点B 运动，另一动点Q 从点A 出发沿着AC 方向以4cm /s 的速度向点C 运动，P 、Q 两点同时出发，当点P 到达B 点或点Q 到达C 点即停止运动，设运动时间为t （s ）．(1)当t 为多少秒时，以P 、C 、Q 为顶点的三角形和△ABC 相似？(2)当t 为多少秒时，△PCQ 的面积是△ACB 面积的143．如图，在ABC 中，90B ∠=︒，6cm AB =，8cm BC =点P 从A 开始沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2cm /s 的速度移动．点P ，Q 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动，设运动时间为t 秒．(1)填空：BQ =______cm ，PB =______cm ，（用含t 的代数式表示）(2)当t 为几秒时，PBQ △的面积等于25cm ？(3)是否存在某一时刻t ，使四边形APQC 的面积等于ABC 面积的23？如果存在，求出t 的值，如果不存在，请说明理由．4．如图①，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，8BC cm =，6AC cm =，点P 由A 点出发以1cm /s 的速度向终点C 匀速移动，同时点Q 由点C 出发以2cm /s 的速度向终点B 匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．(1)填空：在______秒时，△PCQ 的面积为△ACB 的面积的38；(2)经过几秒，以P ，C ，Q 为顶点的三角形与△ACB 相似？(3)如图②，D 为AB 上一点，且AD AC =，运动时间t 为多少时，CD PQ ⊥？5．如图所示，在平面直角坐标系中，直线3:3(0)4=-+>AB y x b b 与x 轴，y 轴分别交于B 点、A 点，点P 从点B 开始沿BA 边向终点A 以1厘米/秒的速度移动；点Q 从点A开始沿AO 边向终点O 以1厘米/秒的速度移动．若点P ，Q 同时出发，运动时间为t 秒．(1)当5s =t 时，①P 点的坐标__________；（用b 来表示）②当APQ 为直角三角形时，求b 的值；(2)当APQ 的面积为8平方厘米时，求b 与t 的数量关系．6．如图，在直角梯形ABCD 中，AB CD ∥，90BCD ∠=︒，10cm AB AD ==，8cm BC =．点P 从点A 出发，以每秒3cm 的速度沿折线ABC 方向运动，点Q 从点D 出发，以每秒2cm 的速度沿线段DC 方向向点C 运动．已知动点P 、Q 同时发，当点Q 运动到点C 时，P 、Q 运动停止，设运动时间为t ．(1)求CD 的长；(2)当四边形PBQD 为平行四边形时，求四边形PBQD 的周长；(3)在点P 、点Q 的运动过程中，是否存在某一时刻，使得BPQ V 的面积为215cm ？若存在，请求出所有满足条件的t 的值；若不存在，请说明理由．7．已知：如图，菱形ABCD 中，5AB =cm ，6AC =cm ，动点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动；同时，动点Q 从点C 出发，沿CB 方向匀速运动，它们的运动速度均为1cm/s ．过点P 做PM BC ∥，过点B 做BM PM ⊥，垂足为M ，连接QP ．设运动时间为t （s ）()05t <<．解答下列问题：(1)菱形ABCD 的高为______cm ，cos ABC ∠的值为______；(2)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使四边形MPQB 为平行四边形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．(3)是否存在某一时刻t ，使四边形MPQB 的面积是菱形ABCD 面积的225若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．(4)是否存在某一时刻t ，使点M 在PQB ∠的角平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．8．如图，△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P ，Q 同时从A ，B 两点出发，分别沿AB ，BC 匀速移动，它们的速度都是2cm/s ，当点P 到达点B 时，P ，Q 两点都停止运动，设点P 的运动时间为t s ，解答下列问题：(1)求△ABC 的面积；(2)当t 为何值时，△PBQ 是直角三角形？(3)是否存在t ，使四边形APQC 的面积是△ABC 面积的23若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．9．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝4cm ，AB ＝8cm ，点P 以1cm/s 的速度沿DA 向终点A 运动；同时点Q 从点B 出发，以2cm/s 的速度沿BA 向终点A 运动；当一个点到达终点时，另一个点同时停止运动．设点P 的运动时间为t ()s ，线段PQ 扫过的面积2(cm )y ．(1)AQ ＝cm （用含t 的代数式表示）；(2)求y 与t 之间的函数关系式；(3)当线段PQ 扫过的面积为矩形ABCD 面积的38时，求t 的值．10．如图，以等边△OAB 的边OB 所在直线为x 轴，点O 为坐标原点，使点A 在第一象限建立平面直角坐标系，其中△OAB 边长为6个单位，点P 从O 点出发沿折线OAB 向B 点以3单位/秒的速度向B 点运动．点Q 从O 点出发以2单位/秒的速度沿折线OBA 向A 点运动，两点同时出发．运动时间为t （单位：秒），当两点相遇时运动停止．(1)点A 坐标为；(2)当t ＝2时，S △OPQ ＝；当t ＝3时，S △OPQ ＝；(3)当t ＝2时，试求在y 轴上能否找一点M ，使得以M 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，若能找到请直接写出M 点的坐标，若不能找到请简单说明理由．(4)设△OPQ 的面积为S ，直接写出S 关于t 的函数关系式．11．如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝12cm ，BC ＝6cm ．点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2cm/秒的速度移动，点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/秒的速度移动，如果P 、Q 同时出发，用t （秒）表示移动的时间（0≤t ≤6），那么：(1)点Q 运动多少秒时，△APQ 的面积为5cm 2；(2)当t 为何值时，△QAP 与△ABC 相似？12．如图，在矩形ABCD 中，6cm AB =，12cm BC =，点P 从点A 出发沿边AB 以1cm/s 的速度向点B 移动；同时，点Q 从点B 出发沿边BC 以2cm/s 的速度向点C 移动，当点P 运动到点B 后，运动停止，设运动时间为x （s ）．(1)BP =______cm ，CQ =______cm （用含x 的式子表示）；(2)若PQ =时，求x 的值；(3)当x 为何值时，DPQ V 将成为以DP 为斜边的直角三角形．13．如图所示，在△ABC 中，∠C =30°，BC =20，AC =16，E 为BC 中点．动点P 从点B 出发，沿BE 方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点Q 从点C 出发，沿CE 方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度，当一个点停止移动时，另一个点也立即停止移动．过点P 作PD //AC ，交AB 于D ，连接DQ ，设点P 运动的时间为t （s ）．（0<t <10）(1)当t ＝3时，求PD 的长；(2)设△DPQ 面积为y ，求y 关于t 的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t ，使S △DPQ ：S △ABC ＝3：25？若存在，请求出t 的值；如果不存在，请说明理由．14．如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，10AC BC ==cm ．点D 从A 出发沿AC 以1cm/s 的速度向点C 移动；同时，点F 从B 出发沿BC 以2cm/s 的速度向点C 移动，移动过程中始终保持DE CB ∥（点E 在AB 上）．当其中一点到达终点时，另一点也同时停止移动．设移动时间为t （s ）（其中0t ≠）．(1)当t 为何值时，四边形DEFC 的面积为182cm ？(2)是否存在某个时刻t ，使得DF BE =，若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由．(3)点E 是否可能在以DF 为直径的圆上？若能，求出此时t 的值，若不能，请说明理由．15．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB =8cm ，CD =2cm ，AD =6cm ．点P 从A 点出发，以2cm /s 的速度沿AB 向B 点运动（运动到B 点即停止）；点Q 从C 点出发，以1cm/s的速度沿CD−DA向A点运动（当点P停止运动时，点Q也即停止），设P、Q同时出发并运动了t秒．(1)求梯形ABCD的高和∠A的度数；(2)当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值；(3)试问是否存在这样的t的值，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．16．已知：如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动时间为xs（0＜x＜2），解答下列问题：（1）如图①，当x为何值时，△APQ与△ACB相似；（2）如图②，连接PC，当x为何值时，PQ＝PC；（3）是否存在某时刻x，使线段PQ恰好把Rt△ACB面积平分？若存在，求出此时x 的值；若不存在，说明理由．17．如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝12cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，点Q从点B出发以2cm/s的速度沿BC 方向运动，设点P ，Q 运动的时间为x 秒．（1）当x 为何值时，△PBQ 的面积等于12cm 2；（2）当x 为何值时，以P ，B ，Q 为顶点的三角形与△BDC 相似18．如图，,,,A B C D 为矩形的四个顶点，16cm,6cm AB AD ==，动点,P Q 分别从点,A C 同时出发，点P 以3cm/s 的速度向点B 移动，一直到达B 点为止，点Q 以2m/s 的速度向D 点移动，当点P 到达B 点时点Q 随之停止运动，（1）AP =，BP =，CQ =，DQ =(用含t 的代数式表示）；（2）t 为多少时，四边形PBCQ 的面积为233cm ；（3）t 为多少时，点P 和点Q 的距离为10cm ．19．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝10cm ，BC ＝12cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以2cm /s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以4cm /s 的速度移动．如果点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点都停止运动．设运动时间为t s （t ＞0）．（1）线段BQ ＝cm ，PB ＝cm ；（用含t 的代数式表示）（2）当t 为何值时，PQ 的长为cm ？（3）是否存在t ，使得五边形APQCD 的面积等于99cm 2？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．20．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm.点M从A点出发沿AB以1cm/s的速度向B点运动；同时点N从B点出发沿BC以2cm/s的速度向C点运动.当其中一点到达终点时，另一点也停止运动.设点M、N的运动时间为t秒.（1）当t为何值时，MN29cm？（2）当t为何值时，MN的长度最短，最短长度是多少？（3）当t为何值时，△DMN为等腰三角形．参考答案：1．(1)2t ，5t-(2)存在，当1t =时，PBQ △的面积等于24cm 2．(1)当点P 、Q 同时运动2秒或165秒后，△PCQ 与△ACB 相似；(2)当t ＝2s 时△PCQ 的面积为△ABC 面积的14．3．(1)2t ，()6-t ；(2)当1t =时，PBQ △的面积等于25cm ；(3)ABC 面积的23，t 的值为24．(1)3；(2)经过125秒或1811秒，以P ，C ，Q 为顶点的三角形与△ACB 相似；(3)运动时间t 为1.2秒时，PQ ⊥CD5．(1)①(44,3)b -；②当APQ ∆为直角三角形时，b 的值为85或2516或83；(2)当APQ ∆的面积为28cm 时，b 与t 的关系式为25200t bt -+=或15310b t -=．6．(1)16CD =；(2)四边形PBQD 的周长为8+(3)满足条件的t 的值为2512秒或5秒7．(1)245cm ，725(2)存在，当12532t =时，四边形MPQB 为平行四边形，理由见详解；(3)存在，当12536t -=时，四边形MPQB 的面积是菱形ABCD 面积的225，理由见详解；(4)不存在，理由见详解8．(1)2(2)1t =或2t =(3)不存在9．(1)82t-(2)28y t t =-(3)2t =10．(1)（3，2(3)点M的坐标为（0，）或（0，19）或（00，0，﹣(4)S()()2202231835ttt⎧≤≤⎪⎪⎪⎪=+≤⎨⎪⎪⎫+≤⎪⎪⎭⎪⎩＜＜11．(1)1或5秒(2)3或1.212．(1)(6)x-，(122)x-(2)10.4x=或22x=(3)当x为1.5或6时，DPQV是以DP为斜边的直角三角形13．(1)125(2)()2240105y t t t=-+<<(3)4t=或6t=14．(1)4t=(2)不存在(3)能，103t=15．(1)梯形ABCD的高为，∠A=60°(2)53t=(3)存在t为92s时，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半16．（1）当x＝107或2513秒时，△APQ与△ACB相似；（2）109x=；（3）存在x使线段PQ恰好把△ABC的面积平分17．（1）2或6；（2）247或218．（1）AP=3t，BP=16-3t，CQ=2t，DQ=16-2t；（2）5；（3）85s或4.8s．19．（1）（10−2t）；4t；（2）t＝1秒（3）t＝32秒或t＝72秒20．（1）t＝1s或75s；（2）t＝65s；（3）t＝(8－)s或t＝(18)s。

一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．在平面直角坐标系内，双曲线：y= （x＞0）分别与直线OA：y=x和直线AB：y=﹣x+10，交于C，D两点，并且OC=3BD．（1）求出双曲线的解析式；（2）连结CD，求四边形OCDB的面积．【答案】（1）解：过点A、C、D作x轴的垂线，垂足分别是M、E、F，∴∠AMO=∠CEO=∠DFB=90°，∵直线OA：y=x和直线AB：y=﹣x+10，∴∠AOB=∠ABO=45°，∴△CEO∽△DEB∴= =3，设D（10﹣m，m），其中m＞0，∴C（3m，3m），∵点C、D在双曲线上，∴9m2=m（10﹣m），解得：m=1或m=0（舍去）∴C（3，3），∴k=9，∴双曲线y= （x＞0）（2）解：由（1）可知D（9，1），C（3，3），B（10，0），∴OE=3，EF=6，DF=1，BF=1，∴S四边形OCDB=S△OCE+S梯形CDFE+S△DFB= ×3×3+ ×（1+3）×6+ ×1×1=17，∴四边形OCDB的面积是17【解析】【分析】（1）过点A、C、D作x轴的垂线，垂足分别是M、E、F，由直线y=x和y=﹣x+10可知∠AOB=∠ABO=45°，证明△CEO∽△DEB，从而可知 = =3，然后设设D（10﹣m，m），其中m＞0，从而可知C的坐标为（3m，3m），利用C、D在反比例函数图象上列出方程即可求出m的值．（2）求分别求出△OCE、△DFB△、梯形CDFE的面积即可求出答案．2．如图．一次函数y=x+b的图象经过点B（﹣1，0），且与反比例函数（k为不等于0的常数）的图象在第一象限交于点A（1，n）．求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）当1≤x≤6时，反比例函数y的取值范围．【答案】（1）解：把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b得： 0=﹣1+b，∴b=1，∴一次函数解析式为：y=x+1，∵点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，∴n=1+1，∴n=2，∴点A的坐标是（1，2）．∵反比例函数的图象过点A（1，2）．∴k=1×2=2，∴反比例函数关系式是：y=（2）解：反比例函数y= ，当x＞0时，y随x的增大而减少，而当x=1时，y=2，当x=6时，y= ，∴当1≤x≤6时，反比例函数y的值：≤y≤2【解析】【分析】（1）根据题意首先把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b求出一次函数解析式，又点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，再利用一次函数解析式求出点A的坐标，然后利用代入系数法求出反比例函数解析式，（2）根据反比例函数的性质分别求出当x=1，x=6时的y值，即可得到答案．3．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y= （k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（，2）．（1）求k的值；（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的一个顶点恰好落在函数y= （k＞0，x ＞0）的图象上时，求菱形ABCD平移的距离．【答案】（1）解：作DE⊥BO，DF⊥x轴于点F，∵点D的坐标为（，2），∴DO=AD=3，∴A点坐标为：（，5），∴k=5 ；（2）解：∵将菱形ABCD向右平移，使点D落在反比例函数y= （x＞0）的图象上D′，∴DF=D′F′=2，∴D′点的纵坐标为2，设点D′（x，2）∴2= ，解得x= ，∴FF′=OF′﹣OF= ﹣ = ，∴菱形ABCD平移的距离为，同理，将菱形ABCD向右平移，使点B落在反比例函数y= （x＞0）的图象上，菱形ABCD平移的距离为，综上，当菱形ABCD平移的距离为或时，菱形的一个顶点恰好落在函数图象上．【解析】【分析】（1）根据菱形的性质和D的坐标即可求出A的坐标，代入求出即可；（2）B和D可能落在反比例函数的图象上，根据平移求出即可．4．已知反比例函数y= 的图象经过点A（﹣，1）．（1）试确定此反比例函数的解析式；（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；（3）已知点P（m， m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是，设Q点的纵坐标为n，求n2﹣2 n+9的值．【答案】（1）解：由题意得1= ，解得k=﹣，∴反比例函数的解析式为y=﹣（2）解：过点A作x轴的垂线交x轴于点C．在Rt△AOC中，OC= ，AC=1，∴OA= =2，∠AOC=30°，∵将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB，∴∠AOB=30°，OB=OA=2，∴∠BOC=60°．过点B作x轴的垂线交x轴于点D．在Rt△BOD中，BD=OB•sin∠BOD= ，OD= OB=1，∴B点坐标为（﹣1，），将x=﹣1代入y=﹣中，得y= ，∴点B（﹣1，）在反比例函数y=﹣的图象上（3）解：由y=﹣得xy=﹣，∵点P（m， m+6）在反比例函数y=﹣的图象上，其中m＜0，∴m（ m+6）=﹣，∴m2+2 m+1=0，∵PQ⊥x轴，∴Q点的坐标为（m，n）．∵△OQM的面积是，∴OM•QM= ，∵m＜0，∴mn=﹣1，∴m2n2+2 mn2+n2=0，∴n2﹣2 n=﹣1，∴n2﹣2 n+9=8．【解析】【分析】（1）由于反比例函数y= 的图象经过点A（﹣，1），运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式；（2）首先由点A的坐标，可求出OA的长度，∠AOC的大小，然后根据旋转的性质得出∠AOB=30°，OB=OA，再求出点B的坐标，进而判断点B是否在此反比例函数的图象上；（3）把点P（m， m+6）代入反比例函数的解析式，得到关于m的一元二次方程；根据题意，可得Q点的坐标为（m，n），再由△OQM的面积是，根据三角形的面积公式及m＜0，得出mn的值，最后将所求的代数式变形，把mn的值代入，即可求出n2﹣2 n+9的值．5．已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y= 的图象交于点C（3，1）（1）试确定上述比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）点D（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点C作直线AC⊥x 轴于点A，交OD的延长线于点B；若点D是OB的中点，DE⊥x轴于点E，交OC于点F，试求四边形DFCB的面积．【答案】（1）解：将点C（3，1）分别代入y= 和y=ax，得：k=3，a= ，∴反比例函数解析式为y= ，正比例函数解析式为y= x；（2）解：观察图象可知，在第二象限内，当0＜x＜3时，反比例函数值大于正比例函数值；（3）解：∵点D（m，n）是OB的中点，又在反比例函数y= 上，∴OE= OA= ，点D（，2），∴点B（3，4），又∵点F在正比例函数y= x图象上，∴F（，），∴DF= 、BC=3、EA= ，∴四边形DFCB的面积为 ×（ +3）× = ．【解析】【分析】（1）利用待定系数法把C坐标代入解析式即可；（2）须数形结合，先找出交点，在交点的左侧与y轴之间，反比例函数值大于正比例函数值.（3）求出DF、BC、EA，代入梯形面积公式即可.6．已知点P在一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0）的图象上，将点P向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点Q，点Q也在该函数y=kx+b的图象上．（1）k的值是________；（2）如图，该一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，且与反比例函数y=图象交于C，D两点（点C在第二象限内），过点C作CE⊥x轴于点E，记S1为四边形CEOB的面积，S2为△OAB的面积，若 = ，则b的值是________．【答案】（1）﹣2（2）3【解析】【解答】解：（1）设点P的坐标为（m，n），则点Q的坐标为（m﹣1，n+2），依题意得：，解得：k=﹣2．故答案为：﹣2．（2）∵BO⊥x轴，CE⊥x轴，∴BO∥CE，∴△AOB∽△AEC．又∵ = ，∴ = = ．令一次函数y=﹣2x+b中x=0，则y=b，∴BO=b；令一次函数y=﹣2x+b中y=0，则0=﹣2x+b，解得：x= ，即AO= ．∵△AOB∽△AEC，且 = ，∴．∴AE= AO= b，CE= BO= b，OE=AE﹣AO= b．∵OE•CE=|﹣4|=4，即 b2=4，解得：b=3 ，或b=﹣3 （舍去）．故答案为：3 ．【分析】（1）设出点P的坐标，根据平移的特性写出Q点的坐标，由点P,Q均在一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0）的图象上，即可得出关于k,m,n,b的四元次一方程组，两式作差即可求出k的值；（2）由BO⊥x轴，CE⊥x轴，找出△AOB∽△AEC．再由给定图形的面积比即可求出==，根据一次函数的解析式可以用含b的式子表示出OA,OB,由此即可得出线段CE,AE 的长，利用OE=AE﹣AO求出OE的长，再借助反比例函数K的几何意义得出关于b的一元二次方程，解方程即可得出结论。