1.5 函数图像变换

高考数学中的函数图像变换及其应用高考数学作为广大学生面临的一大挑战，其中数学分值占比不容忽视，其中函数图像变换的相关知识成为了考生备考重点之一。

本文将介绍这些知识，并探讨其相关应用。

一、函数图像的平移平移是函数图像变换中最基本的一种，它是通过改变函数图像与坐标轴的相对位置来实现的。

其中，平移的方向与距离是决定平移效果的两个重要因素。

对于一般的函数y=f(x)，将它的图像向右平移a个单位长度的方法如下：设新函数为y=f(x-a)，则各个点的实际位置为（x+a，y），根据平移的原理，需要将这些点在坐标系中向左平移a个单位长度即可实现。

类似地，将函数图像向左平移a个单位长度的方法就是y=f(x+a)，而将其上移或下移b个单位长度的方法分别为y=f(x)+b 和y=f(x)-b。

函数图像的平移主要应用于研究函数图像的周期性，以及改变其输出值区间、控制其渐进线等方面。

二、函数图像的伸缩伸缩也是函数图像变换中常用的一种方法，它是通过改变函数图像沿x、y轴的长度比例来实现的。

对于一般的函数y=f(x)，将其图像沿x轴方向压缩k倍的方法如下：设新函数为y=f(kx)，则每个点的实际位置为（x/k，y），因此只需将这些点在坐标系中沿x轴方向伸缩k倍即可。

类似地，函数图像沿y轴方向压缩k倍的方法为y=kf(x)，而沿x、y轴方向伸缩k倍的方法分别为y=f(x/k)和y=kf(kx)。

函数图像的伸缩主要应用于研究函数图像的单调性、极值、导数等性质，以及折线图、曲线图的绘制等方面。

三、函数图像的旋转旋转是函数图像变换中相对复杂的一种，它是通过改变函数图像与坐标轴的相对位置和形状来实现的。

对于一般的函数y=f(x)，将其图像沿原点逆时针旋转α角的方法如下：设新函数为y=f(xcosα+ysinα)，则原函数中每个点的坐标（x，y）将变为（xcosα+ysinα，-xsinα+ycosα），按照旋转的原理，需要将这些点在坐标系中沿逆时针方向旋转α角度即可实现。

1．函数y ＝sin(x 2＋π3)的图像是由y ＝sin x 2的图像沿x 轴( ) A ．向左平移π3个单位长度而得到的 B ．向右平移π3个单位长度而得到的 C ．向左平移π6个单位长度而得到的 D ．向左平移2π3个单位长度而得到的 解析：由y ＝sin 12(x ＋φ)，得12φ＝π3，∴φ＝23π， ∴向左平移2π3个单位长度． 答案：D2．把函数y ＝cos x 的图像上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12，然后将图像沿x 轴负方向平移π4个单位长度，就会得到________的图像．( ) A ．y ＝sin 2xB ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝cos(2x ＋π4)D ．y ＝cos(12x ＋π4) 解析：y ＝cos x 的图像上每一点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)得到y ＝cos 2x 的图像；再把y ＝cos 2x 的图像沿x 轴负方向平移π4个单位长度，就得到y ＝cos 2(x ＋π4)＝cos(2x ＋π2)的图像． 答案：B3．下列命题正确的是( )A ．y ＝cos x 的图像向右平移π2个单位长度得y ＝sin x 的图像 B ．y ＝sin x 的图像向右平移π2个单位长度得y ＝cos x 的图像 C ．当φ<0时，y ＝sin x 的图像向左平移|φ|个单位长度可得y ＝sin(x ＋φ)的图像D ．y ＝sin(2x ＋π3)的图像由y ＝sin 2x 的图像向左平移π3个单位长度得到 解析：y ＝cos x ―――――――→向右平移π2个单位长度 y ＝cos(x －π2)＝sin x .答案：A4．把y ＝sin x 的图像上所有点的横坐标缩短到原来的14倍(纵坐标不变)得____________的图像．解析：由三角函数图像的变换规律可知，把y ＝sin x 的图像上所有点的横坐标缩短到原来的14倍，可得到函数y ＝sin 4x 的图像． 答案：y ＝sin 4x5．将函数y ＝cos(2x ＋1)的图像向右平移1个单位所得图像的函数解析式为________． 解析：将函数y ＝cos(2x ＋1)的图像向右平移1个单位长度，可得y ＝cos [2(x －1)＋1]＝cos(2x －1)的图像．答案：y ＝cos(2x －1)6．经过怎样的变换可由函数y ＝sin 2x 的图像得到y ＝cos(x ＋π4)的图像？ 解：∵y ＝sin 2x ＝cos(2x －π2)，∴y ＝cos(2x －π2)的图像――――――――――→所有点的横坐标伸长到原来的2倍y ＝cos(x －π2)的图像34π−−−−−−→所有点向左平移个单位长度y ＝cos[(x ＋34π)－π2]＝cos(x ＋π4)的图像，或y ＝cos(2x －π2)的图像38π−−−−−−−→所有点向左平移个单位长度y ＝cos[2(x ＋3π8)－π2]＝cos(2x ＋π4)――――――――→所有点的横坐标伸长到原来的2倍y ＝cos(x ＋π4)的图像．。

（ 0,1 ）和（ 0,1 ） （ 2,0 ）和（ 2， 2 ）
三﹑对称变换
y
(-x,y) .
(-x,-y) .
(y,x) . .(x,y)
x
.(x,-y)
函数图象对称变换的规律:
1. y f ( x) y f ( x)
关于x轴对称
2. y f ( x) y f ( x)
函数图象变换的应用:
①作图﹑② 识图﹑ ③用图
(2)方程 f(x)－a＝x 的根的个数等价于 y＝f(x)与 y＝x－a 的交点的个数，所以可以借助图像进行分析．
规范解答 解
2 x－2 －1， x∈－∞，1]∪[3，＋∞ f(x)＝ 2 －x－2 ＋1， x∈1，3
作出图像如图所示．
[2 分]
(1)递增区间为[1,2]，[3，＋∞)， 递减区间为(－∞，1]，[2,3]． [4 分] (2)原方程变形为 |x2－4x＋3|＝x＋a， 于是，设 y＝x＋a，在同一坐标系下再作出 y＝x＋a 的图 像．如图． 则当直线 y＝x＋a 过点(1,0)时，a＝－1； [6 分]
a a
1 x
a

a ax a a a
x

ax a ax
1 y 1
a a a
x

a
x
x
a a
f (1 x)
所以，函数y=f(x)的图象关于点（1/2,1/2）对称
（2）由对称性知f(1-x)+f(x)=1,所以 f(-2)+ f(-1)+ f(0)+ f(1)+ f(2)+ f(3)=3。
对称变换是指两个函数图象之间的对称关系,而”满足 f(x)= f(2a-x)或f(a+x)= f(a-x)有y=f(x)关于直线x=a对称”是 指一个函数自身的性质属性,两者不可混为一谈.

7
导—3min
3.作函数 ysinx,y12sinx的简图. 解：这两个函数的周期T=2.因此作它在[0, 2 ] 的图象，再 按周期扩展.
列 x0 表: sinx 0
2
1
3 2
2
0 -1 0
2sinx 0 2 0 -2 0
1 2
sinx
0
1 2
0
1 2
0
8
导—3min 2 y
描 点: 1
o
连 线:
列x
0
表:
1 2
x
0
sin 12x 0
2 3 4
2
3 2
2
1 0 -1 0
5
导—3min
作图:
y
1
x

o
2
-1
6
导—3min
—周期变换 y=sinx, xR(>0,1)的图象可以由y=sinx的图象所有
点的横坐标伸长(<1)或缩短(>1)原来的1/倍,纵坐标
不变得到。
作图:
y
1
o
-1
2
3
4 x
y 2sin(1 x)
。
23
变换为函数
15
展—7min 4.把f(x)的图象沿x轴向右平移 个单位，再把所得 8 图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，恰好得到 y=cosx的图象，求函数f(x)的表达式。
16
评—7min
A ——振幅变换 y=Asinx, xR(A>0,A 1)的图象可以由y=sinx的图象所有点的 纵坐标伸长(A>1)或缩短(A<1)为原来的A倍，横坐标不变得到。 值域为[-A，A]