函数的图像及其变换

2-8函数的图像及其变换基 础 巩 固一、选择题1．(2012·湖北文，6)已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图像如图所示，则y ＝－f (2－x )的图像为( )[答案] B[解析] 本题主要考查了图像的中心对称问题．对于y ＝f (x )与y ＝－f (2－x )图像关于点(1,0)成中心对称，故根据这一性质可得其图像．关于图像的中心对称问题只要是f (x ＋a )＝－f (b －x )成立的图像均关于点(a ＋b2，0)成中心对称．2．函数y ＝2x －x 2的图像大致是( )[答案] A[解析]本题考查了函数图像的性质，考查了学生的识图能力，以及对函数知识的把握程度和数形结合的思维能力，令2x＝x2，y＝2x与y＝x2，由图看有3个交点，∴B、C排除，又x＝－2时2－2－(－2)2<0，故选A.3．设a<b，函数y＝(x－a)2(x－b)的图像可能是()[答案] C[解析]当x>b时，y>0，由数轴穿根法可知，从右上向左下穿，奇次穿偶次不穿可知，只有C 正确．4．(2012·威海质量检测)函数y ＝f (x )(x ∈R )的图像如图所示，下列说法正确的是( )①函数y ＝f (x )满足f (－x )＝－f (x )； ②函数y ＝f (x )满足f (x ＋2)＝f (－x )； ③函数y ＝f (x )满足f (－x )＝f (x )； ④函数y ＝f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )． A ．①③ B ．②④ C ．①② D ．③④[答案] C[解析] 由图像可知，函数f (x )为奇函数且关于直线x ＝1对称；对于②，因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以f [1＋(x ＋1)]＝f [1－(x ＋1)]，即f (x ＋2)＝f (－x )．故①②正确，选C.5．(文)(2011·四川文，4)函数y ＝(12)x ＋1的图像关于直线y ＝x 对称的图像大致是( )[答案] A [解析]该题考查反函数的图像关系及函数图像的平移．作y ＝(12)x 的图像，然后向上平移1个单位，得y ＝(12)x＋1的图像，再把图像关于y ＝x 对称即可．(理)(2011·四川理，7) 已知f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝(12)x ＋1，则f (x )的反函数的图像大致是( )[答案] A[解析] 本题主要考查利用奇偶性求解析式及函数与反函数图像，当x >0时，f (x )＝(12)x ＋1，设x <0，则－x >0，f (－x )＝(12)－x ＋1＝2x ＋1，∴f (－x )＝－f (x )＝2x ＋1，∴f (x )＝－2x －1，∴f (x )＝⎩⎨⎧(12)x ＋1 (x >0)－2x －1 (x <0)，作出函数f (x )图像，再作关于直线y＝x 图像，可以得出选A.6．(文)已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝|lg x |的图像的交点共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个[答案] A[解析] 本题考查了函数图像，函数性质，数形结合思想等． 根据题意画出函数示意图(x >0)．由lg10＝1知，交点共有10个．(理)(2012·安庆一模)函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝21－x在同一直角坐标系下的图像大致是()[答案] C[解析]本题主要考查函数图像的平移．利用函数的平移可画出所给函数的图像，函数f(x)＝1＋log2x的图像是由f(x)＝log2x的图像向上平移1个单位得到；而g(x)＝2－x＋1＝2－(x－1)的图像是由y＝2－x的图像右移1个单位而得．二、填空题7．设函数y＝f(x)是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0,1]上的图像如图中所示线段AB，则在区间[1,2]上，f(x)＝________.[答案] x[解析] 因为f (x )为偶函数，由偶函数的对称性可知，当x ∈[－1,0]时f (x )＝x ＋2，所以当x ∈[1,2]时，x －2∈[－1,0]，又f (x )是周期为2的偶函数，故当x ∈[1,2]时，f (x )＝f (x －2)＝(x －2)＋2＝x .8．把函数y ＝log 3(x －1)的图像先向右平移12个单位，再把横坐标变为原来的12，所得函数解析式为________．[答案] y ＝log 3(2x －32)[解析] y ＝log 3(x －1)的图像向右平移12个单位得到y ＝log 3[(x －12)－1]＝log 3(x －32)的图像，再把横坐标变为原来的12得y ＝log 3(2x －32)的图像．三、解答题9．(1)已知f (x )＝23x －1＋m 是奇函数，求常数m 的值；(2)画出函数y ＝|3x －1|的图像，并利用图像回答：k 为何值时，方程|3x －1|＝k 无解？有一解？有两解？[解析] (1)∵函数f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即23－x －1＋m ＝－23x －1－m ， 解得m ＝1.(2)当k <0时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图像无交点，即方程无解；当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图像有唯一的交点，所以方程有一解；当0<k <1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图像有两个不同交点，所以方程有两解.能 力 提 升一、选择题1．(2012·新课标理，10)已知函数f (x )＝1ln (x ＋1)－x，则y ＝f (x )的图像大致为( )[答案] B[解析] 本题考查了导数研究函数的性质及数形结合法在解题中的应用．g (x )＝ln(1＋x )－x ⇒g ′(x )＝－x1＋x⇒g ′(x )>0⇔－1<x <0，g ′(x )<0⇔x >0⇒g (x )<g (0)＝0，得：x >0或－1<x <0均有f (x )<0，排除A 、C 、D.2．(文)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4 x ≤1x 2－4x ＋3 x >1的图像和函数g (x )＝log 2x的图像的交点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1[答案] B[解析] 由图像易知有3个交点．(理)对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1，设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R ，若函数y ＝f (x )－c 的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－1,1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1,2]C ．(－∞，－2]∪(1,2]D ．[－2，－1][答案] B[解析] 依题意可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x ≤2，x －1，x <－1或x >2，作出其示意图如图所示．由数形结合知，实数c 需有1<c ≤2或－2<c ≤－1，故选B.二、填空题3．(文)函数y ＝f (x )(x ∈[－2,2])的图像如图所示，则f (x )＋f (－x )＝________.[答案] 0[解析] 由图像可知f (x )为定义域上的奇函数．∴f (x )＋f (－x )＝f (x )－f (x )＝0.(理)直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54 [解析] 如图，在同一直角坐标系内画出直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a ，由图可知，a 的取值必须满足⎩⎨⎧ a >14a －14<1，解得1<a <54.4．(文)(2012·天津文，14)已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图像与函数y ＝kx 的图像恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．[答案] (0,1)∪(1,2)[解析] 本题考查了绝对值函数，图像交点个数问题．y ＝|x 2－1|x －1＝|(x ＋1)(x －1)|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1， x ∈(－1，1)，x ＋1， x ∈(－∞，－1]∪(1，＋∞)， 画出函数图像，结合图形知k ∈(0,1)∪(1,2)．(理)(2012·天津理，14)已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图像与函数y ＝kx －2的图像恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．[答案] (0,1)∪(1,4)[解析] 本小题考查函数图像的画法、直线方程以及数形结合思想方法．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 x <－1或x >1，－x －1 －1<x <1， 由图知0<k <1时，两函数图像恰有两个交点，当直线y ＝kx －2过定点(0，－2)，其斜率k >1，倾斜角逐渐增大，到过点(1,2)时，倾斜角最大，k <2－(－2)1－0＝4，此时1<k <4，两函数图像恰有两个交点．三、解答题5．已知函数f (x )＝2x －a 2x ，将y ＝f (x )的图像向右平移两个单位，得到y ＝g (x )的图像．(1)求函数y ＝g (x )的解析式；(2)若函数y ＝h (x )与函数y ＝g (x )的图像关于直线y ＝1对称，求函数y ＝h (x )的解析式．[解析] (1)由题设，g (x )＝f (x －2)＝2x －2－a2x －2. (2)设(x ，y )在y ＝h (x )的图像上，(x 1，y 1)在y ＝g (x )的图像上，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x ，y 1＝2－y ， ∴2－y ＝g (x )，y ＝2－g (x )，即h (x )＝2－2x －2＋a2x －2. 6．(1)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且当x ∈R 时，f (m ＋x )＝f (m －x )恒成立，求证y ＝f (x )的图像关于直线x ＝m 对称；(2)若函数y ＝log 2|ax －1|的图像的对称轴是x ＝2，求非零实数a 的值．[解析] (1)设P (x 0，y 0)是y ＝f (x )图像上任意一点，则y 0＝f (x 0)．又P 点关于x ＝m 的对称点为P ′，则P ′的坐标为(2m －x 0，y 0)．由已知f (x ＋m )＝f (m －x )，得f (2m －x 0)＝f [m ＋(m －x 0)]＝f [m －(m －x 0)]＝f (x 0)＝y 0.即P ′(2m －x 0，y 0)在y ＝f (x )的图像上． ∴y ＝f (x )的图像关于直线x ＝m 对称．(2)对定义域内的任意x ，有f (2－x )＝f (2＋x )恒成立． ∴|a (2－x )－1|＝|a (2＋x )－1|恒成立，即|－ax ＋(2a －1)|＝|ax ＋(2a －1)|恒成立．又∵a ≠0，∴2a －1＝0，得a ＝12.7．已知函数y ＝f (x )同时满足以下五个条件：(1)f (x ＋1)的定义域是[－3,1]；(2)f (x )是奇函数；(3)在[－2,0)上，f ′(x )>0；(4)f (－1)＝0；(5)f (x )既有最大值又有最小值．请画出函数y ＝f (x )的一个图像，并写出相应于这个图像的函数解析式．[解析] 由(1)知，－3≤x ≤1，－2≤x ＋1≤2，故f (x )的定义域是[－2,2]．由(3)知，f (x )在[－2,0)上是增加的．综合(2)和(4)知，f (x )在(0,2]上也是增加的，且f (－1)＝f (1)＝0，f (0)＝0.故函数y ＝f (x )的一个图像如上图所示，与之相应的函数解析式是f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，－2≤x <0，0，x ＝0，x －1，0<x ≤2.。